Как да изчислим средноаритметичното. Определяне на средната стойност, вариация и форма на разпределение. Описателна статистика

Темата за средното аритметично и геометрично е включена в програмата по математика за 6-7 клас. Тъй като параграфът е доста лесен за разбиране, той бързо се преминава и заключението е учебна годинаучениците го забравят. Но са необходими познания по основни статистики преминаване на изпита, както и за международни SAT изпити. Да и за Ежедневиеторазвитото аналитично мислене никога не вреди.

Как да изчислим средноаритметичната и геометричната стойност на числата

Да предположим, че има поредица от числа: 11, 4 и 3. Средната аритметична стойност е сумата от всички числа, разделена на броя на дадените числа. Тоест при числата 11, 4, 3 отговорът ще бъде 6. Как се получава 6?

Решение: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Знаменателят трябва да съдържа число, равно на броя на числата, чиято средна стойност трябва да се намери. Сборът се дели на 3, тъй като има три члена.

Сега трябва да се справим със средното геометрично. Да кажем, че има поредица от числа: 4, 2 и 8.

Средната геометрична е произведението на всички дадени числа, което е под корен със степен, равна на броя на дадените числа.Тоест при числата 4, 2 и 8 отговорът е 4. Ето как се получи :

Решение: ∛(4 × 2 × 8) = 4

И в двата варианта бяха получени цели отговори, тъй като за пример бяха взети специални числа. Това не винаги е така. В повечето случаи отговорът трябва да бъде закръглен или оставен в основата. Например за числата 11, 7 и 20 средноаритметичното е ≈ 12,67, а средното геометрично е ∛1540. А за числата 6 и 5 отговорите съответно ще бъдат 5,5 и √30.

Може ли да се случи средноаритметичното да стане равно на средното геометрично?

Разбира се, че може. Но само в два случая. Ако има поредица от числа, състояща се само от единици или нули. Прави впечатление също, че отговорът не зависи от броя им.

Доказателство с единици: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (средно аритметично).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (средно геометрично).

Доказателство с нули: (0 + 0) / 2=0 (средно аритметично).

√(0 × 0) = 0 (средно геометрично).

Друг вариант няма и не може да има.

Отговор:всеки получи а 4 круши.

Пример 2. За курсове на английскив понеделник дойдоха 15 души, във вторник - 10, в сряда - 12, в четвъртък - 11, в петък - 7, в събота - 14, в неделя - 8. Намерете средната посещаемост на курсовете за седмицата.
Решение:Нека намерим средното аритметично:

15 + 10 + 12 + 11 + 7 + 14 + 8	=	77	= 11
7		7

Отговор:средно дойдоха курсове по английски език 11 човек на ден.

Пример 3. Шофьор е карал два часа със скорост 120 км/ч и един час със скорост 90 км/ч. Намерете средната скорост на автомобила по време на състезанието.
Решение:Нека намерим средноаритметичната стойност на скоростите на автомобила за всеки час пътуване:

120 + 120 + 90	=	330	= 110
3		3

Отговор:средната скорост на автомобила по време на състезанието беше 110 км/ч

Пример 4. Средноаритметичното на 3 числа е 6, а средноаритметичното на други 7 числа е 3. Колко е средноаритметичното на тези десет числа?
Решение:Тъй като средноаритметичното на 3 числа е 6, то тяхната сума е 6 3 = 18, по същия начин сумата на останалите 7 числа е 7 3 = 21.
Така сумата от всичките 10 числа ще бъде 18 + 21 = 39, а средното аритметично е

39	= 3.9
10

Отговор:средноаритметичното на 10 числа е 3.9 .

Понятието средно аритметично означава резултат от проста последователност от изчисления на средната стойност за поредица от числа, определени предварително. Трябва да се отбележи, че тази стойност в момента се използва широко от специалисти в редица индустрии. Например, формулите са известни, когато се правят изчисления от икономисти или работници в статистическата индустрия, където се изисква да има стойност от този тип. В допълнение, този показател се използва активно в редица други индустрии, които са свързани с горното.

Една от характеристиките на изчисленията дадена стойносте простотата на процедурата. Извършете изчислениявсеки може. За това не е нужно специално образование. Често не е необходимо да се използват компютърни технологии.

Като отговор на въпроса как да намерите средната аритметична стойност, помислете за редица ситуации.

от най-много прост вариантизчисляването на дадено количество е неговото изчисляване за две числа. Процедурата за изчисление в този случай е много проста:

1. Първоначално е необходимо да се извърши операцията по добавяне на избраните числа. Това често може да се направи, както се казва, ръчно, без да се използва електронно оборудване.
2. След като се направи добавянето и се получи неговият резултат, е необходимо да се раздели. Тази операция включва разделяне на сумата от две добавени числа на две - броя на добавените числа. Именно това действие ще ви позволи да получите необходимата стойност.

Формула

Така формулата за изчисляване на необходимата стойност в случай на две ще изглежда така:

(A+B)/2

Тази формула използва следната нотация:

A и B са предварително избрани числа, за които трябва да намерите стойност.

Намиране на стойност за три

Изчисляването на тази стойност в ситуация, в която са избрани три числа, няма да се различава много от предишната опция:

1. За да направите това, изберете числата, необходими за изчислението, и ги добавете, за да получите общата сума.
2. След намирането на този сбор от три е необходимо отново да се извърши процедурата за деление. В този случай получената сума трябва да бъде разделена на три, което съответства на броя на избраните числа.

Формула

По този начин формулата, необходима при изчисляване на аритметичното три, ще изглежда така:

(A+B+C)/3

В тази формулае приета следната нотация:

A, B и C са числата, на които ще е необходимо да се намери средното аритметично.

Изчисляване на средно аритметично от четири

Както вече се видя по аналогия с предишните опции, изчисляването на тази стойност за сума, равна на четири, ще бъде в следния ред:

1. Избират се четири цифри, за които да се изчисли средноаритметичната стойност. След това се извършва сумирането и намирането на крайния резултат от тази процедура.
2. Сега, за да получите крайния резултат, трябва да вземете получения сбор от четири и да го разделите на четири. Получените данни ще бъдат необходимата стойност.

Формула

От описаната по-горе последователност от действия за намиране на средната аритметична стойност за четири можете да получите следната формула:

(A+B+C+E)/4

В тази формулапроменливите имат следното значение:

A, B, C и E са тези, за които трябва да намерите средната аритметична стойност.

Прилагане тази формула, винаги ще бъде възможно да се изчисли необходимата стойност за даден брой числа.

Изчисляване на средно аритметично от пет

Извършването на тази операция ще изисква определен алгоритъм от действия.

1. На първо място, трябва да изберете пет числа, за които ще се изчисли средноаритметичната стойност. След този избор, тези числа, както и в предишните опции, просто трябва да добавите и да получите крайната сума.
2. Получената сума ще трябва да бъде разделена на техния брой на пет, което ще ви позволи да получите необходимата стойност.

Формула

По този начин, подобно на разгледаните по-рано опции, получаваме следната формула за изчисляване на средната аритметична стойност:

(A+B+C+E+P)/5

В тази формула променливите имат следната нотация:

A, B, C, E и P са числата, за които искате да получите средната аритметична стойност.

Универсална формула за изчисление

Провеждане на преглед различни опцииформули за изчисляване на средната аритметична стойност, можете да обърнете внимание на факта, че те имат общ модел.

Следователно ще бъде по-практично да се приложи общата формула за намиране на средната аритметична стойност. В крайна сметка има ситуации, когато броят и размерът на изчисленията могат да бъдат много големи. Следователно би било по-разумно да се използва универсална формула и да не се извежда индивидуална технология всеки път, за да се изчисли тази стойност.

Основното при определянето на формулата е принципът на изчисляване на средната аритметична стойностО.

Този принцип, както се вижда от горните примери, изглежда така:

1. Броят на числата, които са зададени за получаване на необходимата стойност, се преброява. Тази операция може да се извърши както ръчно с малък брой числа, така и с помощта на компютърна технология.
2. Избраните числа се сумират. Тази операция в повечето ситуации се извършва с помощта на компютърна технология, тъй като числата могат да се състоят от две, три или повече цифри.
3. Сумата, получена чрез събиране на избраните числа, трябва да бъде разделена на техния брой. Тази стойност се определя в началния етап на изчисляване на средното аритметично.

Така общата формула за изчисляване на средната аритметична стойност на поредица от избрани числа ще изглежда така:

(А+В+…+N)/N

Тази формула съдържаследните променливи:

A и B са числа, които са избрани предварително, за да се изчисли тяхната средна аритметична стойност.

N е броят на числата, взети за изчисляване на необходимата стойност.

Заменяйки всеки път избраните числа в тази формула, винаги можем да получим необходимата стойност на средната аритметична стойност.

Както се вижда, намиране на средното аритметичное лесна процедура. Въпреки това, трябва да сте внимателни към изчисленията и да проверите получения резултат. Този подход се обяснява с факта, че дори в най-простите ситуации съществува възможност за получаване на грешка, която след това може да повлияе на по-нататъшни изчисления. В тази връзка се препоръчва използването на компютърна технология, която е в състояние да прави изчисления с всякаква сложност.

Сега нека поговорим за как да изчислим средно.
В своята класическа форма общата теория на статистиката ни предлага една версия на правилата за избор на средната стойност.
Първо трябва да направите правилна логическа формула за изчисляване на средната стойност (LFS). За всяка средна стойност винаги има само една логическа формула за нейното изчисляване, така че тук е трудно да се направи грешка. Но винаги трябва да помним, че в числителя (това е в горната част на дробта) е сумата от всички явления, а в знаменателя (това, което е в долната част на дробта) е общият брой елементи.

След като логическата формула е съставена, можете да използвате правилата (за по-лесно разбиране ще ги опростим и намалим):
1. Ако знаменателят на логическата формула е представен в първоначалните данни (определени от честотата), тогава изчислението се извършва по формулата на средноаритметичната претеглена стойност.
2. Ако числителят на логическата формула е представен в първоначалните данни, тогава изчислението се извършва по формулата на хармоничната средна претеглена стойност.
3. Ако и числителят, и знаменателят на логическата формула присъстват в проблема едновременно (това се случва рядко), тогава изчислението се извършва с помощта на тази формула или с помощта на простата формула за средна аритметична стойност.
Това е класическа идея за избор на правилната формула за изчисляване на средната стойност. След това представяме последователността от действия при решаване на задачи за изчисляване на средната стойност.

Алгоритъм за решаване на задачи за изчисляване на средна стойност

A. Определете метода за изчисляване на средната стойност - прости или претеглени . Ако данните са представени в таблица, тогава използваме претеглен метод, ако данните са представени чрез просто изброяване, тогава използваме прост метод на изчисление.

B. Определете или подредете конвенции – х - опция, f - честота . Вариантът е явлението, за което искате да намерите средната стойност. Останалите данни в таблицата ще бъдат честотата.

Б. Определяме формата за изчисляване на средната стойност - аритметичен или хармоничен . Дефиницията се извършва в колоната за честота. Аритметичната форма се използва, ако честотите са дадени с изрично число (условно можете да замените думата парчета, броя на елементите "парчета" за тях). Хармоничната форма се използва, ако честотите са дадени не чрез явно число, а чрез комплексен показател (произведението на средната стойност и честотата).

Най-трудно е да се познае къде и колко се дава, особено за ученик, който няма опит в подобни въпроси. В такава ситуация можете да използвате един от следните методи. За някои задачи (икономически) е подходяща декларацията, разработена през годините на практика (клауза B.1). В други ситуации ще трябва да използвате параграф B.2.

C.1 Ако честотата е зададена в парични единици (в рубли), тогава хармоничната средна стойност се използва за изчисление, такова твърдение винаги е вярно, ако откритата честота е зададена в пари, в други ситуации това правило не се прилага.

B.2 Използвайте правилата за избор на средната стойност, посочени по-горе в тази статия. Ако честотата е дадена от знаменателя на логическата формула за изчисляване на средната стойност, тогава изчисляваме чрез средноаритметичната форма, ако честотата е дадена от числителя на логическата формула за изчисляване на средната стойност, тогава изчисляваме чрез средна хармонична форма.

Разгледайте примерите за използването на този алгоритъм.

A. Тъй като данните са представени в ред, ние използваме прост метод за изчисление.

Б. В. Имаме данни само за размера на пенсиите и те ще бъдат нашата версия – х. Данните са представени като просто число (12 души), за изчислението използваме простата средна аритметична стойност.

Средната пенсия на пенсионер е 9208,3 рубли.

Б. Тъй като се изисква да се намери средният размерплащания на дете, тогава опциите са в първата колона, там поставяме обозначението x, втората колона автоматично става честотата f.

C. Честотата (брой деца) се дава с изрично число (можете да замените думата парчета деца, от гледна точка на руския език фразата е неправилна, но всъщност е много удобно да проверка), което означава, че за изчислението се използва среднопретеглената аритметична стойност.

Модно е да се решава същия проблем не по формулен начин, а по табличен начин, тоест да се въведат всички данни от междинните изчисления в таблица.

В резултат на това всичко, което трябва да се направи сега, е да се разделят двете суми в правилния ред.

Средното плащане на дете на месец е 1910 рубли.

A. Тъй като данните са представени в таблицата, ние използваме претеглената форма за изчислението.

Б. Честотата (цената на продукцията) се задава от имплицитно количество (честотата се задава в рубли Алгоритъм B1), което означава, че хармоничната среднопретеглена стойност се използва за изчислението. Като цяло, всъщност себестойността на продукцията е сложен показател, който се получава чрез умножаване на себестойността на единица продукт по броя на такива продукти, това е същността на средната хармонична стойност.

За да се реши този проблем с помощта на формулата за средно аритметично е необходимо вместо производствената себестойност да има броя на продуктите със съответната себестойност.

Обърнете внимание, че сумата в знаменателя, получена след изчисления 410 (120 + 80 + 210) е общият брой произведени продукти.

Средната цена на един продукт е 314,4 рубли.

A. Тъй като данните са представени в таблицата, ние използваме претеглената форма за изчислението.

B. Тъй като се изисква да се намери средната единична цена на продукта, опциите са в първата колона, поставяме обозначението x там, втората колона автоматично става честотата f.

C. Честотата (общ брой пропуски) се дава от имплицитно число (то е продукт на два показателя за броя на пропуските и броя на учениците с такъв брой пропуски), което означава, че хармоничната среднопретеглена стойност е използвани за изчислението. Ще използваме точката на алгоритъма B2.

За да се реши този проблем с помощта на формулата за средно аритметично е необходимо вместо общия брой пропуски да има броя на учениците.

Ние правим логическа формула за изчисляване на средния брой пропуски на ученик.

Честота по условие на задачата Общ бройпреминава. В логическата формула този показател е в числителя, което означава, че използваме формулата за хармонична средна.

Моля, обърнете внимание, че сумата в знаменателя след изчисляване на 31 (18+8+5) е общият брой ученици.

Средният брой отсъствия на ученик е 13,8 дни.

При изчисляването на средната стойност се губи.

Средно аритметично значениенабор от числа е равен на сумата от числата S, разделена на броя на тези числа. Тоест, оказва се, че средно аритметично значениее равно на: 19/4 = 4,75.

Забележка

Ако трябва да намерите средната геометрична стойност само за две числа, тогава нямате нужда от инженерен калкулатор: извадете корена на втора степен ( Корен квадратен) от всяко число може да се направи с помощта на най-обикновения калкулатор.

Полезен съвет

За разлика от средната аритметична, средната геометрична не се влияе толкова силно от големи отклонения и колебания между отделните стойности в изследвания набор от показатели.

източници:

• Онлайн калкулатор, който изчислява средната геометрична стойност
• формула за средна геометрична стойност

Средно аритметичностойността е една от характеристиките на набор от числа. Представлява число, което не може да бъде извън диапазона, определен от най-голямото и най-малките стойностив този набор от числа. Средно аритметичноаритметична стойност - най-често използваната разновидност на средните стойности.

Инструкция

Добавете всички числа в набора и ги разделете на броя членове, за да получите средното аритметично. В зависимост от конкретните условия на изчислението, понякога е по-лесно да разделите всяко от числата на броя на стойностите в набора и да сумирате резултата.

Използвайте, например, включени в операционната система Windows, ако не е възможно да изчислите средноаритметичното в ума си. Можете да го отворите с помощта на диалоговия прозорец за стартиране на програмата. За да направите това, натиснете "горещите клавиши" WIN + R или щракнете върху бутона "Старт" и изберете командата "Изпълни" от главното меню. След това въведете calc в полето за въвеждане и натиснете Enter или щракнете върху бутона OK. Същото може да се направи и чрез главното меню - отворете го, отидете в секцията "Всички програми" и в секцията "Стандарт" и изберете реда "Калкулатор".

Въведете последователно всички числа в набора, като натиснете клавиша Плюс след всяко от тях (с изключение на последното) или като щракнете върху съответния бутон в интерфейса на калкулатора. Можете също така да въвеждате числа както от клавиатурата, така и като щракнете върху съответните бутони на интерфейса.

Натиснете клавиша с наклонена черта или щракнете върху това в интерфейса на калкулатора, след като въведете последната зададена стойност и отпечатайте броя на числата в поредицата. След това натиснете знака за равенство и калкулаторът ще изчисли и ще покаже средното аритметично.

Можете да използвате редактор на електронни таблици за същата цел. Microsoft Excel. В този случай стартирайте редактора и въведете всички стойности на поредицата от числа в съседни клетки. Ако след въвеждане на всяко число натиснете Enter или клавишите със стрелка надолу или надясно, редакторът сам ще премести фокуса на въвеждане в съседната клетка.

Щракнете върху клетката до последното въведено от вас число, ако не искате да видите само средното аритметично. Разгънете падащото меню на гръцката сигма (Σ) на командите за редактиране в раздела Начало. Изберете реда " Средно аритметично” и редакторът ще вмъкне желаната формула за изчисляване на средноаритметично в избраната клетка. Натиснете клавиша Enter и стойността ще бъде изчислена.

Средната аритметична стойност е една от мерките на централната тенденция, широко използвана в математиката и статистическите изчисления. Намерете средната стойност аритметично числоза няколко стойности е много проста, но всяка задача има свои собствени нюанси, които просто трябва да знаете, за да извършите правилни изчисления.

Какво е средно аритметично

Средната аритметична стойност определя средната стойност за целия оригинален масив от числа. С други думи, от определен набор от числа се избира стойност, обща за всички елементи, чието математическо сравнение с всички елементи е приблизително равно. Средната аритметична стойност се използва предимно при изготвянето на финансови и статистически отчети или за изчисляване на резултатите от подобни експерименти.

Как да намерим средното аритметично

Търсенето на средната аритметична стойност за масив от числа трябва да започне с определяне на алгебричната сума на тези стойности. Например, ако масивът съдържа числата 23, 43, 10, 74 и 34, тогава тяхната алгебрична сума ще бъде равна на 184. При запис средноаритметичното се означава с буквата μ (mu) или x (x с a бар). По-нататък алгебрична суматрябва да се раздели на броя на числата в масива. В този пример имаше пет числа, така че средноаритметичната стойност ще бъде 184/5 и ще бъде 36,8.

Характеристики на работа с отрицателни числа

Ако в масива има отрицателни числа, тогава средноаритметичната стойност се намира с помощта на подобен алгоритъм. Разлика има само при пресмятане в среда за програмиране или ако задачата я има допълнителни условия. В тези случаи намирането на средно аритметично на числа с различни знацисе свежда до три стъпки:

1. Намиране на общото средно аритметично по стандартния метод;
2. Намиране на средно аритметично на отрицателни числа.
3. Изчисляване на средно аритметично на положителни числа.

Отговорите на всяко от действията се изписват разделени със запетаи.

Естествени и десетични дроби

Ако е представен масив от числа десетични знаци, решението се получава по метода за изчисляване на средноаритметичното на цели числа, но резултатът се редуцира според изискванията на задачата за точността на отговора.

Когато работите с естествени дроби, те трябва да бъдат намалени до общ знаменател, което се умножава по броя на числата в масива. Числителят на отговора ще бъде сумата от намалените числители на първоначалните дробни елементи.

• Инженерен калкулатор.

Инструкция

Имайте предвид, че в общия случай средното геометрично на числата се намира, като тези числа се умножат и от тях се извади коренът на степента, която съответства на броя на числата. Например, ако трябва да намерите средното геометрично на пет числа, тогава ще трябва да извлечете корена на градуса от продукта.

За да намерите средното геометрично на две числа, използвайте основното правило. Намерете техния продукт и след това извлечете квадратния корен от него, тъй като числата са две, което съответства на степента на корена. Например, за да намерите средното геометрично на числата 16 и 4, намерете произведението им 16 4=64. От полученото число извадете корен квадратен √64=8. Това ще бъде желаната стойност. Моля, имайте предвид, че средноаритметичната стойност на тези две числа е по-голяма и равна на 10. Ако коренът не е напълно изваден, закръглете резултата до желания ред.

За да намерите средното геометрично на повече от две числа, използвайте и основното правило. За да направите това, намерете произведението на всички числа, за които искате да намерите средната геометрична стойност. От получения продукт извлечете корена на степента, равен на броя на числата. Например, за да намерите средното геометрично на числата 2, 4 и 64, намерете произведението им. 2 4 64=512. Тъй като трябва да намерите резултата от средното геометрично на три числа, извлечете корена на трета степен от продукта. Трудно е да направите това устно, затова използвайте инженерен калкулатор. За да направите това, има бутон "x ^ y". Наберете номер 512, натиснете бутона "x^y", след това наберете номер 3 и натиснете бутона "1/x", за да намерите стойността 1/3, натиснете бутона "=". Получаваме резултат от повдигане на 512 на степен 1/3, което съответства на корен от трета степен. Вземете 512^1/3=8. Това е средното геометрично на числата 2,4 и 64.

Като се използва инженерен калкулаторможете да намерите средното геометрично по друг начин. Намерете бутона за регистрация на клавиатурата. След това вземете логаритъм за всяко от числата, намерете тяхната сума и я разделете на броя на числата. От полученото число вземете антилогаритъм. Това ще бъде средното геометрично на числата. Например, за да намерите средното геометрично на същите числа 2, 4 и 64, направете набор от операции на калкулатора. Въведете числото 2, след това натиснете бутона log, натиснете бутона "+", въведете числото 4 и натиснете отново log и "+", въведете 64, натиснете log и "=". Резултатът ще бъде число, равно на сумата от десетичните логаритми на числата 2, 4 и 64. Разделете полученото число на 3, тъй като това е броят на числата, по които се търси средното геометрично. От резултата вземете антилогаритъм чрез превключване на бутона за регистриране и използване на същия лог ключ. Резултатът е числото 8, това е желаната средна геометрична стойност.