प्राकृतिक संख्याएँ कम से कम 5. गणित पर सामग्री "संख्याएँ। प्राकृतिक संख्याएँ"

प्राकृतिक संख्याएँ मनुष्य से परिचित और सहज हैं, क्योंकि वे हमें बचपन से ही घेरे रहती हैं। नीचे दिए गए लेख में, हम प्राकृतिक संख्याओं के अर्थ का एक मूल विचार देंगे, उन्हें लिखने और पढ़ने के बुनियादी कौशल का वर्णन करेंगे। संपूर्ण सैद्धांतिक भाग उदाहरणों के साथ होगा।

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प्राकृतिक संख्याओं का सामान्य विचार

मानव जाति के विकास के एक निश्चित चरण में, कुछ वस्तुओं को गिनने और उनकी मात्रा निर्धारित करने का कार्य उत्पन्न हुआ, जिसके लिए इस समस्या को हल करने के लिए एक उपकरण खोजने की आवश्यकता थी। प्राकृतिक संख्याएँ एक ऐसा उपकरण बन गईं। प्राकृतिक संख्याओं का मुख्य उद्देश्य भी स्पष्ट है - यदि हम किसी समुच्चय के बारे में बात कर रहे हैं तो वस्तुओं की संख्या या किसी विशेष वस्तु की क्रम संख्या का अंदाजा लगाना।

यह तर्कसंगत है कि किसी व्यक्ति के लिए प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग करने के लिए, उन्हें देखने और पुन: पेश करने का एक तरीका होना आवश्यक है। तो, एक प्राकृतिक संख्या को आवाज दी जा सकती है या चित्रित किया जा सकता है, जो सूचना देने के प्राकृतिक तरीके हैं।

प्राकृतिक संख्याओं की आवाज (पढ़ने) और छवियों (लेखन) के बुनियादी कौशल पर विचार करें।

एक प्राकृतिक संख्या का दशमलव अंकन

याद करें कि निम्नलिखित वर्ण कैसे प्रदर्शित होते हैं (हम उन्हें अल्पविराम से अलग करते हैं): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . इन वर्णों को अंक कहते हैं।

अब हम एक नियम के रूप में लेते हैं कि किसी भी प्राकृतिक संख्या को चित्रित (लिखते) करते समय, केवल संकेतित अंकों का उपयोग किसी अन्य प्रतीकों की भागीदारी के बिना किया जाता है। मान लीजिए कि प्राकृत संख्या लिखते समय अंकों की ऊँचाई समान होती है, एक के बाद एक पंक्ति में लिखे जाते हैं, और बाईं ओर हमेशा एक अंक होता है जो शून्य से भिन्न होता है।

आइए हम प्राकृतिक संख्याओं के सही संकेतन के उदाहरण दें: 703, 881, 13, 333, 1023, 7, 500001। अंकों के बीच के इंडेंट हमेशा समान नहीं होते हैं, संख्याओं के वर्गों का अध्ययन करते समय इस पर नीचे और अधिक विस्तार से चर्चा की जाएगी। दिए गए उदाहरणों से पता चलता है कि एक प्राकृत संख्या लिखते समय उपरोक्त श्रृंखला के सभी अंकों का होना आवश्यक नहीं है। उनमें से कुछ या सभी को दोहराया जा सकता है।

परिभाषा 1

फॉर्म के रिकॉर्ड: 065, 0, 003, 0791 प्राकृतिक संख्याओं के रिकॉर्ड नहीं हैं, क्योंकि बाईं ओर संख्या 0 है।

सभी वर्णित आवश्यकताओं को ध्यान में रखकर बनाई गई प्राकृतिक संख्या का सही अंकन कहलाता है एक प्राकृतिक संख्या का दशमलव संकेतन.

प्राकृतिक संख्याओं का मात्रात्मक अर्थ

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, प्राकृतिक संख्याएँ शुरू में, अन्य बातों के अलावा, एक मात्रात्मक अर्थ रखती हैं। प्राकृतिक संख्याओं की तुलना करने के विषय में अंकन उपकरण के रूप में प्राकृतिक संख्याओं की चर्चा की जाती है।

आइए प्राकृतिक संख्याओं से शुरू करें, जिनमें से प्रविष्टियां अंकों की प्रविष्टियों के साथ मेल खाती हैं, अर्थात: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .

एक निश्चित वस्तु की कल्पना करें, उदाहरण के लिए, यह: । हम जो देखते हैं उसे लिख सकते हैं 1 विषय। प्राकृतिक संख्या 1 को "एक" या "एक" के रूप में पढ़ा जाता है। "इकाई" शब्द का एक और अर्थ भी है: ऐसा कुछ जिसे संपूर्ण माना जा सकता है। यदि कोई समुच्चय है, तो उसके किसी भी अवयव को एक से निरूपित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, कई चूहों में से कोई भी माउस एक होता है; फूलों के समूह से कोई भी फूल एक इकाई है।

अब कल्पना कीजिए: । हम एक वस्तु और दूसरी वस्तु देखते हैं, अर्थात्। रिकॉर्ड में यह होगा - 2 आइटम। प्राकृतिक संख्या 2 को "दो" के रूप में पढ़ा जाता है।

इसके अलावा, सादृश्य द्वारा: - 3 आइटम ("तीन"), - 4 ("चार"), - 5 ("पांच"), - 6 ("छः"), - 7 ("सात"), - 8 ("आठ"), - 9 (" नौ")।

संकेतित स्थिति से, एक प्राकृतिक संख्या का कार्य इंगित करना है मात्रासामान।

परिभाषा 1

यदि किसी संख्या की प्रविष्टि अंक 0 की प्रविष्टि से मेल खाती है, तो ऐसी संख्या कहलाती है "शून्य"।शून्य एक प्राकृतिक संख्या नहीं है, लेकिन इसे अन्य प्राकृतिक संख्याओं के साथ मिलकर माना जाता है। शून्य का अर्थ है नहीं, अर्थात। शून्य वस्तुओं का मतलब कोई नहीं है।

एकल अंक प्राकृतिक संख्याएं

यह एक स्पष्ट तथ्य है कि ऊपर चर्चा की गई प्रत्येक प्राकृतिक संख्या (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) को लिखते समय, हम एक चिह्न - एक अंक का उपयोग करते हैं।

परिभाषा 2

एकल अंक प्राकृतिक संख्या- एक प्राकृत संख्या, जिसे एक चिह्न - एक अंक का प्रयोग करके लिखा जाता है।

नौ एकल अंकों वाली प्राकृतिक संख्याएँ हैं: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9।

दो अंकों और तीन अंकों की प्राकृतिक संख्याएं

परिभाषा 3

दो अंकों की प्राकृत संख्या- प्राकृत संख्याएं, जो दो चिह्नों - दो अंकों का प्रयोग करके लिखी जाती हैं। इस मामले में, उपयोग की जाने वाली संख्या या तो समान या भिन्न हो सकती है।

उदाहरण के लिए, प्राकृत संख्याएँ 71, 64, 11 दो अंकों वाली हैं।

दो अंकों की संख्याओं के अर्थ पर विचार करें। हम पहले से ज्ञात एकल-मूल्यवान प्राकृतिक संख्याओं के मात्रात्मक अर्थ पर भरोसा करेंगे।

आइए ऐसी अवधारणा को "दस" के रूप में पेश करें।

वस्तुओं के एक समूह की कल्पना करें, जिसमें नौ और एक और शामिल हैं। इस मामले में, हम लगभग 1 दर्जन ("एक दर्जन") आइटम के बारे में बात कर सकते हैं। यदि आप एक दर्जन और एक और की कल्पना करते हैं, तो हम 2 दहाई ("दो दहाई") के बारे में बात करेंगे। दो दहाई में एक और दहाई जोड़ने पर हमें तीन दहाई प्राप्त होते हैं। और इसी तरह: एक दर्जन को जोड़ना जारी रखते हुए, हमें चार दहाई, पांच दहाई, छह दहाई, सात दहाई, आठ दहाई और अंत में नौ दहाई मिलते हैं।

आइए दो अंकों की संख्या को एकल-अंकीय संख्याओं के समूह के रूप में देखें, जिनमें से एक दाईं ओर लिखी गई है, दूसरी बाईं ओर। बाईं ओर की संख्या प्राकृतिक संख्या में दहाई की संख्या को इंगित करेगी, और दाईं ओर की संख्या इकाइयों की संख्या को इंगित करेगी। मामले में जब संख्या 0 दाईं ओर स्थित है, तो हम इकाइयों की अनुपस्थिति के बारे में बात कर रहे हैं। उपरोक्त प्राकृतिक दो अंकों की संख्याओं का मात्रात्मक अर्थ है। उनमें से कुल 90 हैं।

परिभाषा 4

तीन अंकों की प्राकृतिक संख्या- प्राकृत संख्याएँ, जो तीन वर्णों - तीन अंकों का उपयोग करके लिखी जाती हैं। संख्याएँ भिन्न हो सकती हैं या किसी भी संयोजन में दोहराई जा सकती हैं।

उदाहरण के लिए, 413, 222, 818, 750 तीन अंकों की प्राकृत संख्याएँ हैं।

तीन-मूल्यवान प्राकृतिक संख्याओं के मात्रात्मक अर्थ को समझने के लिए, हम अवधारणा का परिचय देते हैं "सौ"।

परिभाषा 5

एक सौ (1 सौ)दस दहाई का समुच्चय है। एक सौ जमा एक सौ दो सौ के बराबर होता है। एक और सौ जोड़ें और 3 शतक प्राप्त करें। धीरे-धीरे एक सौ जोड़ने पर, हमें मिलता है: चार सौ, पांच सौ, छह सौ, सात सौ, आठ सौ, नौ सौ।

तीन अंकों की संख्या के रिकॉर्ड पर ही विचार करें: इसमें शामिल एकल अंकों वाली प्राकृतिक संख्याएं एक के बाद एक बाएं से दाएं लिखी जाती हैं। सबसे दाहिना एकल अंक इकाइयों की संख्या को इंगित करता है; बाईं ओर एक अंक की अगली संख्या - दसियों की संख्या से; सबसे बाएं एकल अंक सैकड़ों की संख्या है। यदि प्रविष्टि में संख्या 0 शामिल है, तो यह इकाइयों और / या दहाई की अनुपस्थिति को इंगित करता है।

तो, तीन अंकों की प्राकृतिक संख्या 402 का अर्थ है: 2 इकाइयाँ, 0 दहाई (ऐसे दहाई नहीं हैं जो सैकड़ों में संयुक्त नहीं हैं) और 4 सैकड़ों।

सादृश्य द्वारा, चार अंकों, पांच अंकों और इसी तरह की प्राकृतिक संख्याओं की परिभाषा दी गई है।

बहुमूल्यवान प्राकृत संख्याएं

उपरोक्त सभी से, अब बहुमूल्यवान प्राकृत संख्याओं की परिभाषा की ओर बढ़ना संभव है।

परिभाषा 6

बहुमूल्यवान प्राकृत संख्याएं- प्राकृत संख्याएँ, जो दो या दो से अधिक वर्णों का प्रयोग करके लिखी जाती हैं। बहु-अंकीय प्राकृत संख्याएँ दो-अंकीय, तीन-अंकीय, आदि संख्याएँ होती हैं।

एक हजार एक सेट है जिसमें दस सौ शामिल हैं; एक लाख हजार हजार से बनता है; एक अरब - एक हजार मिलियन; एक ट्रिलियन एक हजार बिलियन है। बड़े सेटों के भी नाम होते हैं, लेकिन उनका उपयोग दुर्लभ होता है।

इसी प्रकार उपरोक्त सिद्धांत के समान, हम किसी भी बहु-अंकीय प्राकृत संख्या को एकल-अंकीय प्राकृत संख्याओं के समुच्चय के रूप में मान सकते हैं, जिनमें से प्रत्येक, एक निश्चित स्थान पर होने के कारण, उपस्थिति और इकाइयों की संख्या, दहाई, सैकड़ों, हजारों, दहाई को इंगित करता है। हजारों, सैकड़ों हजारों, लाखों, दसियों लाख, सैकड़ों लाखों, अरबों, और इसी तरह (क्रमशः दाएं से बाएं)।

उदाहरण के लिए, बहु-अंकीय संख्या 4 912 305 में शामिल हैं: 5 इकाइयाँ, 0 दहाई, तीन सौ, 2 हज़ार, 1 दहाई हज़ार, 9 सैकड़ों हज़ार और 4 मिलियन।

संक्षेप में, हमने इकाइयों को विभिन्न सेटों (दहाई, सैकड़ों, आदि) में समूहित करने के कौशल की जांच की और देखा कि एक बहु-अंकीय प्राकृतिक संख्या के रिकॉर्ड में संख्याएं ऐसे प्रत्येक सेट में इकाइयों की संख्या का एक पदनाम हैं।

प्राकृतिक संख्याओं को पढ़ना, कक्षाएं

उपरोक्त सिद्धांत में, हमने प्राकृत संख्याओं के नामों को निरूपित किया। तालिका 1 में, हम इंगित करते हैं कि भाषण में और वर्णानुक्रम में एकल-अंकीय प्राकृतिक संख्याओं के नामों का सही उपयोग कैसे करें:

संख्या	मर्दाना	स्त्री	नपुंसक लिंग
1 2 3 4 5 6 7 8 9	एक दो तीन चार पाँच छह सात आठ नौ	एक दो तीन चार पाँच छह सात आठ नौ	एक दो तीन चार पाँच छह सात आठ नौ

संख्या	कर्ताकारक मामले	संबंधकारक	संप्रदान कारक	कर्म कारक	इंस्ट्रुमेंटल केस	संबंधबोधक पूर्वसर्ग-संबंधी
1 2 3 4 5 6 7 8 9	एक दो तीन चार पाँच छह सात आठ नौ	एक दो तीन चार पाँच छह अर्द्ध आठ नौ	एक को दो ट्रेम चार पाँच छह अर्द्ध आठ नौ	एक दो तीन चार पाँच छह सात आठ नौ	एक दो तीन चार पाँच छह परिवार आठ नौ	लगभग एक लगभग दो तीन के बारे में लगभग चार फिर से लगभग छह लगभग सात लगभग आठ लगभग नौ

दो अंकों की संख्याओं को सक्षम रूप से पढ़ने और लिखने के लिए, आपको तालिका 2 में दिए गए डेटा को सीखना होगा:

संख्या	मर्दाना, स्त्री और नपुंसक
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90	दस ग्यारह बारह तेरह चौदह पंद्रह सोलह सत्रह अठारह उन्नीस बीस तीस चालीस पचास साठ सत्तर अस्सी नब्बे

संख्या	कर्ताकारक मामले	संबंधकारक	संप्रदान कारक	कर्म कारक	इंस्ट्रुमेंटल केस	संबंधबोधक पूर्वसर्ग-संबंधी
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90	दस ग्यारह बारह तेरह चौदह पंद्रह सोलह सत्रह अठारह उन्नीस बीस तीस चालीस पचास साठ सत्तर अस्सी नब्बे	दस ग्यारह बारह तेरह चौदह पंद्रह सोलह सत्रह अठारह उन्नीस बीस तीस अधेला पचास साठ सत्तर अस्सी नब्बे	दस ग्यारह बारह तेरह चौदह पंद्रह सोलह सत्रह अठारह उन्नीस बीस तीस अधेला पचास साठ सत्तर अस्सी नब्बे	दस ग्यारह बारह तेरह चौदह पंद्रह सोलह सत्रह अठारह उन्नीस बीस तीस चालीस पचास साठ सत्तर अस्सी नब्बे	दस ग्यारह बारह तेरह चौदह पंद्रह सोलह सत्रह अठारह उन्नीस बीस तीस अधेला पचास साठ सत्तर अस्सी नब्बे	करीब दस लगभग ग्यारह लगभग बारह लगभग तेरह लगभग चौदह लगभग पंद्रह लगभग सोलह लगभग सत्रह लगभग अठारह उन्नीस के बारे में लगभग बीस लगभग तीस ओह मैगपाई पचास के करीब लगभग साठ लगभग सत्तर लगभग अस्सी लगभग नब्बे

अन्य प्राकृतिक दो अंकों की संख्याओं को पढ़ने के लिए, हम दोनों तालिकाओं के डेटा का उपयोग करेंगे, इस पर एक उदाहरण के साथ विचार करें। मान लीजिए कि हमें दो अंकों की एक प्राकृतिक संख्या 21 को पढ़ना है। इस संख्या में 1 इकाई और 2 दहाई हैं, अर्थात्। 20 और 1. तालिकाओं की ओर मुड़ते हुए, हम संकेतित संख्या को "इक्कीस" के रूप में पढ़ते हैं, जबकि शब्दों के बीच "और" का उच्चारण करने की आवश्यकता नहीं है। मान लीजिए कि हमें किसी वाक्य में संकेतित संख्या 21 का उपयोग करने की आवश्यकता है, जो कि जनन मामले में वस्तुओं की संख्या को दर्शाता है: "21 सेब नहीं हैं।" इस मामले में, उच्चारण इस तरह लगेगा: "इक्कीस सेब नहीं हैं।"

आइए स्पष्टता के लिए एक और उदाहरण दें: संख्या 76, जिसे "छहत्तर" के रूप में पढ़ा जाता है और, उदाहरण के लिए, "छहत्तर टन।"

संख्या	कर्ताकारक मामले	संबंधकारक	संप्रदान कारक	कर्म कारक	इंस्ट्रुमेंटल केस	संबंधबोधक पूर्वसर्ग-संबंधी
100 200 300 400 500 600 700 800 900	एक सौ दो सौ तीन सौ चार सौ पांच सौ छे सौ सात सौ आठ सौ नौसो	स्टेडियम दो सौ तीन सौ चार सौ पांच सौ छे सौ सात सौ आठ सौ नौसो	स्टेडियम दो सौ ट्रेमस्टाम चार सौ पांच सौ छे सौ सात सौ आठ सौ नौसो	एक सौ दो सौ तीन सौ चार सौ पांच सौ छे सौ सात सौ आठ सौ नौसो	स्टेडियम दो सौ तीन सौ चार सौ पांच सौ छे सौ सात सौ आठ सौ नौसो	लगभग सौ लगभग दो सौ लगभग तीन सौ लगभग चार सौ लगभग पाँच सौ लगभग छह सौ लगभग सात सौ लगभग आठ सौ लगभग नौ सौ

तीन अंकों की संख्या को पूरी तरह से पढ़ने के लिए, हम सभी निर्दिष्ट तालिकाओं के डेटा का भी उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, एक प्राकृत संख्या 305 दी गई है। यह संख्या 5 इकाइयों, 0 दहाई और 3 सौ: 300 और 5 से मेल खाती है। तालिका को आधार के रूप में लेते हुए, हम पढ़ते हैं: "तीन सौ पांच" या मामलों में गिरावट में, उदाहरण के लिए, इस तरह: "तीन सौ पांच मीटर।"

आइए एक और संख्या पढ़ें: 543। तालिकाओं के नियमों के अनुसार, संकेतित संख्या इस तरह सुनाई देगी: "पांच सौ तैंतालीस" या मामले में गिरावट, उदाहरण के लिए, इस तरह: "कोई पांच सौ तैंतालीस रूबल।"

आइए बहु-अंकीय प्राकृत संख्याओं को पढ़ने के सामान्य सिद्धांत पर चलते हैं: एक बहु-अंकीय संख्या को पढ़ने के लिए, आपको इसे दाएं से बाएं तीन अंकों के समूहों में तोड़ना होगा, और सबसे बाएं समूह में 1, 2 या 3 अंक हो सकते हैं। . ऐसे समूहों को वर्ग कहा जाता है।

चरम दाहिना वर्ग इकाइयों का वर्ग है; फिर अगली कक्षा, बाईं ओर - हजारों की कक्षा; आगे - लाखों का वर्ग; उसके बाद अरबों का वर्ग आता है, उसके बाद खरबों का वर्ग आता है। निम्नलिखित वर्गों का भी एक नाम है, लेकिन बड़ी संख्या में वर्णों (16, 17 और अधिक) से युक्त प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग शायद ही कभी पढ़ने में किया जाता है, उन्हें कान से समझना काफी मुश्किल है।

रिकॉर्ड की धारणा की सुविधा के लिए, वर्गों को एक छोटे से इंडेंट द्वारा एक दूसरे से अलग किया जाता है। उदाहरण के लिए, 31 013 736 , 134 678 , 23 476 009 434 , 2 533 467 001 222 ।

कक्षा खरब	कक्षा एक अरब	कक्षा दस लाख	हजार वर्ग	इकाई वर्ग
			134	678
		31	013	736
	23	476	009	434
2	533	467	001	222

एक बहु-अंकीय संख्या को पढ़ने के लिए, हम उन संख्याओं को बारी-बारी से कॉल करते हैं जो इसे बनाते हैं (बाएं से दाएं, कक्षा के अनुसार, वर्ग का नाम जोड़ते हुए)। इकाइयों के वर्ग के नाम का उच्चारण नहीं किया जाता है, और वे वर्ग जो तीन अंक 0 बनाते हैं, उनका भी उच्चारण नहीं किया जाता है। यदि एक कक्षा में बाईं ओर एक या दो अंक 0 मौजूद हों, तो पढ़ते समय उनका किसी भी तरह से उपयोग नहीं किया जाता है। उदाहरण के लिए, 054 को "फिवन-फोर" या 001 को "एक" के रूप में पढ़ा जाता है।

उदाहरण 1

आइए हम संख्या 2 533 467 001 222 के पठन की विस्तार से जाँच करें:

हम संख्या 2 को खरबों के वर्ग के एक घटक के रूप में पढ़ते हैं - "दो";

वर्ग का नाम जोड़ने पर, हमें मिलता है: "दो ट्रिलियन";

हम निम्नलिखित संख्या पढ़ते हैं, संबंधित वर्ग का नाम जोड़ते हैं: "पांच सौ तैंतीस अरब";

हम सादृश्य द्वारा जारी रखते हैं, अगली कक्षा को दाईं ओर पढ़ते हुए: "चार सौ साठ-सत्तर मिलियन";

अगली कक्षा में, हम बाईं ओर स्थित दो अंक 0 देखते हैं। उपरोक्त पढ़े गए नियमों के अनुसार, अंक 0 हटा दिए जाते हैं और रिकॉर्ड पढ़ने में भाग नहीं लेते हैं। तब हमें मिलता है: "एक हजार";

हम इकाइयों के अंतिम वर्ग को उसका नाम जोड़े बिना पढ़ते हैं - "दो सौ बाईस"।

इस प्रकार, संख्या 2 533 467 001 222 इस तरह सुनाई देगी: दो ट्रिलियन पांच सौ तैंतीस अरब चार सौ साठ-सत्तर लाख एक हजार दो सौ बाईस। इस सिद्धांत का उपयोग करते हुए, हम अन्य दी गई संख्याओं को भी पढ़ सकते हैं:

31 013 736 - इकतीस लाख तेरह हजार सात सौ छत्तीस;

134 678 - एक सौ चौंतीस हजार छह सौ अहहत्तर;

23 476 009 434 - तेईस अरब चार सौ छिहत्तर मिलियन नौ हजार चार सौ चौंतीस।

इस प्रकार, बहु-अंकीय संख्याओं के सही पढ़ने का आधार एक बहु-अंकीय संख्या को वर्गों में विभाजित करने की क्षमता, संबंधित नामों का ज्ञान और दो- और तीन-अंकीय संख्याओं को पढ़ने के सिद्धांत की समझ है।

जैसा कि उपरोक्त सभी से पहले ही स्पष्ट हो गया है, इसका मूल्य उस स्थिति पर निर्भर करता है जिस पर अंक संख्या के रिकॉर्ड में है। उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्या 314 में संख्या 3 सैकड़ों की संख्या को दर्शाती है, अर्थात् 3 सौ। संख्या 2 दहाई (1 दस) की संख्या है, और संख्या 4 इकाइयों की संख्या (4 इकाइयों) है। इस स्थिति में, हम कहेंगे कि संख्या 4 इकाई के स्थान पर है और दी गई संख्या में इकाई के स्थान का मान है। संख्या 1 दहाई के स्थान पर है और दहाई स्थान के मान के रूप में कार्य करती है। अंक 3 सौ के स्थान पर स्थित होता है और सौ स्थान का मान होता है।

परिभाषा 7

स्राव होनाएक प्राकृतिक संख्या के अंकन में एक अंक की स्थिति है, साथ ही इस अंक का मान है, जो किसी दिए गए नंबर में इसकी स्थिति से निर्धारित होता है।

डिस्चार्ज के अपने नाम हैं, हम पहले ही उनका इस्तेमाल ऊपर कर चुके हैं। दाएं से बाएं, अंक अनुसरण करते हैं: इकाइयाँ, दहाई, सैकड़ों, हज़ार, दसियों हज़ार, आदि।

याद रखने की सुविधा के लिए, आप निम्न तालिका का उपयोग कर सकते हैं (हम 15 अंक दर्शाते हैं):

आइए इस विवरण को स्पष्ट करें: किसी दिए गए बहु-अंकीय संख्या में अंकों की संख्या संख्या प्रविष्टि में वर्णों की संख्या के समान होती है। उदाहरण के लिए, इस तालिका में 15 वर्णों वाली संख्या के सभी अंकों के नाम हैं। बाद के डिस्चार्ज के भी नाम होते हैं, लेकिन इनका उपयोग बहुत कम होता है और सुनने में बहुत असुविधाजनक होता है।

ऐसी तालिका की सहायता से किसी दी गई प्राकृत संख्या को तालिका में लिख कर रैंक निर्धारित करने का कौशल विकसित करना संभव होता है जिससे कि इकाई अंक में सबसे दाहिना अंक और फिर प्रत्येक अंक में अंक द्वारा लिखा जाए। उदाहरण के लिए, आइए एक बहु-अंकीय प्राकृत संख्या 56 402 513 674 इस प्रकार लिखें:

संख्या 0 पर ध्यान दें, जो दसियों लाख के निर्वहन में स्थित है - इसका अर्थ है इस श्रेणी की इकाइयों की अनुपस्थिति।

हम बहु-अंकीय संख्या के निम्नतम और उच्चतम अंकों की अवधारणाओं का भी परिचय देते हैं।

परिभाषा 8

निम्नतम (जूनियर) रैंककोई भी बहु-मूल्यवान प्राकृत संख्या इकाई अंक होती है।

उच्चतम (वरिष्ठ) श्रेणीकिसी भी बहु-अंकीय प्राकृत संख्या का - दी गई संख्या के अंकन में सबसे बाएं अंक के संगत अंक।

इसलिए, उदाहरण के लिए, संख्या 41,781 में: निम्नतम रैंक इकाइयों की रैंक है; उच्चतम रैंक दसियों हज़ार अंकों का है।

यह तार्किक रूप से इस प्रकार है कि एक दूसरे के सापेक्ष अंकों की वरिष्ठता के बारे में बात करना संभव है। बाएं से दाएं जाने पर प्रत्येक बाद का अंक पिछले वाले की तुलना में कम (छोटा) होता है। और इसके विपरीत: दाएं से बाएं जाने पर, प्रत्येक अगला अंक पिछले वाले की तुलना में अधिक (पुराना) होता है। उदाहरण के लिए, हजारों का अंक सैकड़ों अंकों से पुराना है, लेकिन लाखों अंकों से छोटा है।

आइए स्पष्ट करें कि कुछ व्यावहारिक उदाहरणों को हल करते समय, प्राकृतिक संख्या का उपयोग नहीं किया जाता है, बल्कि किसी दी गई संख्या के बिट शब्दों का योग होता है।

संक्षेप में दशमलव संख्या प्रणाली के बारे में

परिभाषा 9

नोटेशन- संकेतों का उपयोग करके संख्या लिखने की एक विधि।

स्थितीय संख्या प्रणाली- वे जिनमें किसी अंक का मान संख्या के अंकन में उसकी स्थिति पर निर्भर करता है।

इस परिभाषा के अनुसार, हम कह सकते हैं कि प्राकृत संख्याओं का अध्ययन करते समय और जिस तरह से उन्हें ऊपर लिखा गया है, हमने स्थितीय संख्या प्रणाली का उपयोग किया है। नंबर 10 यहां एक विशेष स्थान निभाता है। हम दसियों में गिनते रहते हैं: दस इकाइयाँ दस, दस दहाई को सौ में मिलाती हैं, और इसी तरह। संख्या 10 इस संख्या प्रणाली के आधार के रूप में कार्य करती है, और प्रणाली को ही दशमलव भी कहा जाता है।

इसके अलावा, अन्य संख्या प्रणाली भी हैं। उदाहरण के लिए, कंप्यूटर विज्ञान बाइनरी सिस्टम का उपयोग करता है। जब हम समय का ध्यान रखते हैं, तो हम सेक्जैसिमल संख्या प्रणाली का उपयोग करते हैं।

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पांचवीं शताब्दी ईसा पूर्व में, एलिया के प्राचीन यूनानी दार्शनिक ज़ेनो ने अपने प्रसिद्ध एपोरिया तैयार किए, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध एपोरिया "अकिलीज़ एंड द कछुआ" है। यहां बताया गया है कि यह कैसा लगता है:

मान लीजिए कि अकिलीस कछुए से दस गुना तेज दौड़ता है और उससे एक हजार कदम पीछे है। जिस समय के दौरान अकिलीज़ इतनी दूरी चलाता है, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगता है। जब अकिलीज़ सौ कदम दौड़ता है, तो कछुआ दस कदम और रेंगता है, और इसी तरह। प्रक्रिया अनिश्चित काल तक जारी रहेगी, अकिलीज़ कछुआ को कभी नहीं पकड़ पाएगा।

यह तर्क बाद की सभी पीढ़ियों के लिए एक तार्किक आघात बन गया। अरस्तू, डायोजनीज, कांट, हेगेल, गिल्बर्ट ... उन सभी को, एक तरह से या किसी अन्य, ज़ेनो के अपोरिया माना जाता है। झटका इतना जोरदार था कि " ... वर्तमान समय में चर्चा जारी है, वैज्ञानिक समुदाय अभी तक विरोधाभासों के सार के बारे में एक आम राय में आने में कामयाब नहीं हुआ है ... गणितीय विश्लेषण, सेट सिद्धांत, नए भौतिक और दार्शनिक दृष्टिकोण इस मुद्दे के अध्ययन में शामिल थे। ; उनमें से कोई भी समस्या का सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत समाधान नहीं बन पाया ..."[विकिपीडिया," ज़ेनो के एपोरियास "]। हर कोई समझता है कि उन्हें मूर्ख बनाया जा रहा है, लेकिन कोई नहीं समझता कि धोखा क्या है।

गणित के दृष्टिकोण से, ज़ेनो ने अपने एपोरिया में मूल्य से संक्रमण को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित किया। यह संक्रमण स्थिरांक के बजाय आवेदन करने का तात्पर्य है। जहां तक ​​मैं समझता हूं, माप की परिवर्तनीय इकाइयों को लागू करने के लिए गणितीय उपकरण या तो अभी तक विकसित नहीं हुआ है, या इसे ज़ेनो के एपोरिया पर लागू नहीं किया गया है। हमारे सामान्य तर्क का प्रयोग हमें एक जाल में ले जाता है। हम, सोच की जड़ता से, समय की निरंतर इकाइयों को व्युत्क्रम पर लागू करते हैं। भौतिक दृष्टिकोण से, यह समय में मंदी की तरह दिखता है जब तक कि यह उस समय पूरी तरह से बंद नहीं हो जाता जब अकिलीज़ कछुए को पकड़ लेता है। यदि समय रुक जाता है, तो अकिलीज़ कछुआ से आगे नहीं निकल सकता।

अगर हम उस तर्क को बदल दें जिसके हम आदी हैं, तो सब कुछ ठीक हो जाता है। अखिलेश निरंतर गति से दौड़ता है। इसके पथ का प्रत्येक बाद का खंड पिछले वाले की तुलना में दस गुना छोटा है। तदनुसार, इस पर काबू पाने में लगने वाला समय पिछले वाले की तुलना में दस गुना कम है। यदि हम इस स्थिति में "अनंत" की अवधारणा को लागू करते हैं, तो यह कहना सही होगा कि "अकिलीज़ असीम रूप से जल्दी से कछुए से आगे निकल जाएगा।"

इस तार्किक जाल से कैसे बचें? समय की निरंतर इकाइयों में बने रहें और पारस्परिक मूल्यों पर स्विच न करें। ज़ेनो की भाषा में, यह इस तरह दिखता है:

जिस समय में अकिलीस को एक हजार कदम चलने में लगता है, उसी दिशा में कछुआ सौ कदम रेंगता है। अगले समय अंतराल के दौरान, पहले के बराबर, अकिलीज़ एक और हज़ार कदम चलाएगा, और कछुआ एक सौ कदम क्रॉल करेगा। अब अकिलीस कछुआ से आठ सौ कदम आगे है।

यह दृष्टिकोण बिना किसी तार्किक विरोधाभास के वास्तविकता का पर्याप्त रूप से वर्णन करता है। लेकिन यह समस्या का पूर्ण समाधान नहीं है। प्रकाश की गति की दुर्गमता के बारे में आइंस्टीन का कथन ज़ेनो के एपोरिया "अकिलीज़ एंड द कछुआ" के समान है। हमें अभी इस समस्या का अध्ययन, पुनर्विचार और समाधान करना है। और समाधान को असीम रूप से बड़ी संख्या में नहीं, बल्कि माप की इकाइयों में खोजा जाना चाहिए।

ज़ेनो का एक और दिलचस्प एपोरिया एक उड़ते हुए तीर के बारे में बताता है:

एक उड़ता हुआ तीर गतिहीन होता है, क्योंकि वह हर क्षण विरामावस्था में होता है, और चूँकि वह प्रत्येक क्षण विरामावस्था में होता है, इसलिए वह सदैव विरामावस्था में रहता है।

इस एपोरिया में, तार्किक विरोधाभास को बहुत सरलता से दूर किया जाता है - यह स्पष्ट करने के लिए पर्याप्त है कि प्रत्येक क्षण में उड़ने वाला तीर अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं पर आराम करता है, जो वास्तव में गति है। यहां एक और बात ध्यान देने योग्य है। सड़क पर एक कार की एक तस्वीर से, उसके चलने के तथ्य या उससे दूरी का निर्धारण करना असंभव है। कार की गति के तथ्य को निर्धारित करने के लिए, एक ही बिंदु से अलग-अलग समय पर दो तस्वीरों की आवश्यकता होती है, लेकिन दूरी निर्धारित करने के लिए उनका उपयोग नहीं किया जा सकता है। कार की दूरी निर्धारित करने के लिए, आपको एक ही समय में अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होती है, लेकिन आप उनसे गति के तथ्य को निर्धारित नहीं कर सकते हैं (स्वाभाविक रूप से, आपको अभी भी गणना के लिए अतिरिक्त डेटा की आवश्यकता है, त्रिकोणमिति आपकी मदद करेगी)। मैं जो विशेष रूप से इंगित करना चाहता हूं वह यह है कि समय में दो बिंदु और अंतरिक्ष में दो बिंदु दो अलग-अलग चीजें हैं जिन्हें भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए क्योंकि वे अन्वेषण के विभिन्न अवसर प्रदान करते हैं।

बुधवार, 4 जुलाई 2018

बहुत अच्छी तरह से विकिपीडिया में सेट और मल्टीसेट के बीच के अंतरों का वर्णन किया गया है। हम देखो।

जैसा कि आप देख सकते हैं, "सेट में दो समान तत्व नहीं हो सकते", लेकिन यदि सेट में समान तत्व हैं, तो ऐसे सेट को "मल्टीसेट" कहा जाता है। विवेकशील प्राणी बेतुकेपन के ऐसे तर्क को कभी नहीं समझेंगे। यह बात करने वाले तोते और प्रशिक्षित बंदरों का स्तर है, जिसमें मन "पूरी तरह से" शब्द से अनुपस्थित है। गणितज्ञ सामान्य प्रशिक्षकों के रूप में कार्य करते हैं, अपने बेतुके विचारों का हमें प्रचार करते हैं।

एक बार की बात है, पुल का निर्माण करने वाले इंजीनियर पुल के परीक्षणों के दौरान पुल के नीचे एक नाव में थे। पुल ढह गया तो उसकी रचना के मलबे के नीचे औसत दर्जे का इंजीनियर मर गया। यदि पुल भार का सामना कर सकता है, तो प्रतिभाशाली इंजीनियर ने अन्य पुलों का निर्माण किया।

कोई फर्क नहीं पड़ता कि गणितज्ञ "माइंड मी, आई एम इन द हाउस" वाक्यांश के पीछे कैसे छिपते हैं, या बल्कि "गणित अमूर्त अवधारणाओं का अध्ययन करता है", एक गर्भनाल है जो उन्हें वास्तविकता से जोड़ती है। यह गर्भनाल धन है। आइए हम गणितीय समुच्चय सिद्धांत को स्वयं गणितज्ञों पर लागू करें।

हमने गणित का बहुत अच्छा अध्ययन किया और अब हम कैश डेस्क पर बैठे हैं, वेतन दे रहे हैं। यहाँ एक गणितज्ञ अपने पैसे के लिए हमारे पास आता है। हम उसके लिए पूरी राशि गिनते हैं और उसे अपनी मेज पर अलग-अलग ढेर में रख देते हैं, जिसमें हम एक ही मूल्यवर्ग के बिल डालते हैं। फिर हम प्रत्येक ढेर से एक बिल लेते हैं और गणितज्ञ को उसका "गणितीय वेतन सेट" देते हैं। हम गणित की व्याख्या करते हैं कि वह शेष बिल तभी प्राप्त करेगा जब वह यह साबित कर देगा कि समान तत्वों के बिना सेट समान तत्वों वाले सेट के बराबर नहीं है। मज़ा यहां शुरू होता है।

सबसे पहले, डिप्टी का तर्क काम करेगा: "आप इसे दूसरों पर लागू कर सकते हैं, लेकिन मुझ पर नहीं!" इसके अलावा, आश्वासन शुरू हो जाएगा कि एक ही मूल्यवर्ग के बैंक नोटों पर अलग-अलग बैंकनोट नंबर हैं, जिसका अर्थ है कि उन्हें समान तत्व नहीं माना जा सकता है। खैर, हम वेतन को सिक्कों में गिनते हैं - सिक्कों पर कोई संख्या नहीं होती है। यहां गणितज्ञ भौतिकी को याद करेंगे: अलग-अलग सिक्कों में अलग-अलग मात्रा में गंदगी होती है, प्रत्येक सिक्के के लिए क्रिस्टल संरचना और परमाणुओं की व्यवस्था अद्वितीय होती है ...

और अब मेरे पास सबसे दिलचस्प सवाल है: वह सीमा कहां है जिसके आगे एक मल्टीसेट के तत्व एक सेट के तत्वों में बदल जाते हैं और इसके विपरीत? ऐसी रेखा मौजूद नहीं है - सब कुछ शेमस द्वारा तय किया जाता है, यहां विज्ञान भी करीब नहीं है।

यहाँ देखो। हम समान क्षेत्र वाले फुटबॉल स्टेडियमों का चयन करते हैं। खेतों का क्षेत्रफल समान है, जिसका अर्थ है कि हमारे पास एक मल्टीसेट है। लेकिन अगर हम उन्हीं स्टेडियमों के नामों पर विचार करें तो हमें बहुत कुछ मिलता है, क्योंकि नाम अलग-अलग होते हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, तत्वों का एक ही सेट एक ही समय में एक सेट और एक मल्टीसेट दोनों है। कितना सही? और यहाँ गणितज्ञ-शमन-शुलर अपनी आस्तीन से एक तुरुप का इक्का निकालता है और हमें एक सेट या एक मल्टीसेट के बारे में बताना शुरू करता है। किसी भी मामले में, वह हमें विश्वास दिलाएगा कि वह सही है।

यह समझने के लिए कि आधुनिक शेमैन सेट थ्योरी के साथ कैसे काम करते हैं, इसे वास्तविकता से बांधते हुए, एक प्रश्न का उत्तर देने के लिए पर्याप्त है: एक सेट के तत्व दूसरे सेट के तत्वों से कैसे भिन्न होते हैं? मैं आपको बिना किसी "एक पूरे के रूप में बोधगम्य" या "एक पूरे के रूप में बोधगम्य नहीं" के बिना दिखाऊंगा।

रविवार, 18 मार्च 2018

एक संख्या के अंकों का योग तंबूरा के साथ शेमस का नृत्य है, जिसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है। हां, गणित के पाठों में हमें किसी संख्या के अंकों का योग ज्ञात करना और उसका उपयोग करना सिखाया जाता है, लेकिन वे उसके लिए शेमस हैं, अपने वंशजों को उनके कौशल और ज्ञान को सिखाने के लिए, अन्यथा शमां बस मर जाएंगे।

क्या आपको सबूत चाहिए? विकिपीडिया खोलें और "संख्या के अंकों का योग" पृष्ठ खोजने का प्रयास करें। वह मौजूद नहीं है। गणित में ऐसा कोई सूत्र नहीं है जिससे आप किसी भी संख्या के अंकों का योग ज्ञात कर सकें। आखिरकार, संख्याएँ ग्राफिक प्रतीक हैं जिनके साथ हम संख्याएँ लिखते हैं, और गणित की भाषा में, कार्य इस तरह लगता है: "किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले ग्राफिक प्रतीकों का योग ज्ञात करें।" गणितज्ञ इस समस्या को हल नहीं कर सकते, लेकिन शेमस इसे मूल रूप से कर सकते हैं।

आइए जानें कि दी गई संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए हम क्या और कैसे करते हैं। और इसलिए, मान लें कि हमारे पास संख्या 12345 है। इस संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए क्या करना होगा? आइए क्रम में सभी चरणों पर विचार करें।

1. कागज के एक टुकड़े पर संख्या लिखिए। हमने क्या किया है? हमने संख्या को एक संख्या ग्राफिक प्रतीक में बदल दिया है। यह कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

2. हमने एक प्राप्त तस्वीर को अलग-अलग संख्याओं वाले कई चित्रों में काट दिया। चित्र काटना कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

3. अलग-अलग ग्राफिक वर्णों को संख्याओं में बदलें। यह कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

4. परिणामी संख्याओं को जोड़ें। अब वह गणित है।

संख्या 12345 के अंकों का योग 15 है। ये गणितज्ञों द्वारा उपयोग किए जाने वाले शेमस के "काटने और सिलाई के पाठ्यक्रम" हैं। लेकिन वह सब नहीं है।

गणित की दृष्टि से इस बात से कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम किस संख्या प्रणाली में अंक लिखते हैं। तो, विभिन्न संख्या प्रणालियों में, एक ही संख्या के अंकों का योग भिन्न होगा। गणित में, संख्या प्रणाली को संख्या के दाईं ओर एक सबस्क्रिप्ट के रूप में दर्शाया जाता है। 12345 की एक बड़ी संख्या के साथ, मैं अपने सिर को मूर्ख नहीं बनाना चाहता, लेख से 26 नंबर पर विचार करें। आइए इस नंबर को बाइनरी, ऑक्टल, डेसीमल और हेक्साडेसिमल नंबर सिस्टम में लिखें। हम माइक्रोस्कोप के तहत प्रत्येक चरण पर विचार नहीं करेंगे, हम पहले ही ऐसा कर चुके हैं। आइए परिणाम देखें।

जैसा कि आप देख सकते हैं, विभिन्न संख्या प्रणालियों में, एक ही संख्या के अंकों का योग भिन्न होता है। इस परिणाम का गणित से कोई लेना-देना नहीं है। यह ऐसा है जैसे किसी आयत का क्षेत्रफल मीटर और सेंटीमीटर में ज्ञात करना आपको पूरी तरह से अलग परिणाम देगा।

सभी संख्या प्रणालियों में शून्य समान दिखता है और इसमें अंकों का कोई योग नहीं होता है। यह इस तथ्य के पक्ष में एक और तर्क है कि . गणितज्ञों के लिए एक प्रश्न: जो संख्या नहीं है उसे गणित में कैसे दर्शाया जाता है? क्या, गणितज्ञों के लिए, संख्याओं के अलावा कुछ भी मौजूद नहीं है? शेमस के लिए, मैं इसकी अनुमति दे सकता हूं, लेकिन वैज्ञानिकों के लिए, नहीं। वास्तविकता केवल संख्या के बारे में नहीं है।

प्राप्त परिणाम को प्रमाण के रूप में माना जाना चाहिए कि संख्या प्रणाली संख्याओं के मापन की इकाइयाँ हैं। आखिरकार, हम माप की विभिन्न इकाइयों के साथ संख्याओं की तुलना नहीं कर सकते। यदि एक ही मात्रा के माप की विभिन्न इकाइयों के साथ एक ही क्रिया की तुलना करने के बाद अलग-अलग परिणाम मिलते हैं, तो इसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है।

असली गणित क्या है? यह तब होता है जब गणितीय क्रिया का परिणाम संख्या के मूल्य, उपयोग की गई माप की इकाई और इस क्रिया को करने वाले पर निर्भर नहीं करता है।

दरवाजे पर हस्ताक्षर करें दरवाजा खोलता है और कहता है:

आउच! क्या यह महिला शौचालय नहीं है?
- जवान महिला! स्वर्ग में स्वर्गारोहण पर आत्माओं की अनिश्चितकालीन पवित्रता का अध्ययन करने के लिए यह एक प्रयोगशाला है! शीर्ष पर निंबस और ऊपर तीर। और क्या शौचालय?

महिला... शीर्ष पर एक प्रभामंडल और नीचे एक तीर नर है।

यदि आपके पास दिन में कई बार आपकी आंखों के सामने डिजाइन कला का ऐसा काम है,

तब यह आश्चर्य की बात नहीं है कि आप अचानक अपनी कार में एक अजीब आइकन पाते हैं:

व्यक्तिगत रूप से, मैं अपने आप को एक शिकार करने वाले व्यक्ति (एक तस्वीर) में शून्य से चार डिग्री देखने का प्रयास करता हूं (कई चित्रों की संरचना: ऋण चिह्न, संख्या चार, डिग्री पदनाम)। और मैं इस लड़की को मूर्ख नहीं मानता जो भौतिकी नहीं जानती। उसके पास ग्राफिक छवियों की धारणा का एक चाप स्टीरियोटाइप है। और गणितज्ञ हमें हर समय यही सिखाते हैं। यहाँ एक उदाहरण है।

1A "माइनस फोर डिग्री" या "वन ए" नहीं है। यह हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली में "पोपिंग मैन" या संख्या "छब्बीस" है। जो लोग इस संख्या प्रणाली में लगातार काम करते हैं, वे संख्या और अक्षर को एक ग्राफिक प्रतीक के रूप में स्वचालित रूप से देखते हैं।

पूर्णांकोंहमारे लिए बहुत परिचित और स्वाभाविक। और यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि उनके साथ परिचित होना हमारे जीवन के पहले वर्षों से सहज स्तर पर शुरू होता है।

इस लेख की जानकारी प्राकृतिक संख्याओं की एक बुनियादी समझ पैदा करती है, उनके उद्देश्य को प्रकट करती है, प्राकृतिक संख्याओं को लिखने और पढ़ने का कौशल पैदा करती है। सामग्री को बेहतर ढंग से आत्मसात करने के लिए आवश्यक उदाहरण और उदाहरण दिए गए हैं।

पृष्ठ नेविगेशन।

प्राकृतिक संख्याएँ एक सामान्य प्रतिनिधित्व हैं।

निम्नलिखित राय ध्वनि तर्क से रहित नहीं है: वस्तुओं की गिनती की समस्या की उपस्थिति (पहली, दूसरी, तीसरी वस्तु, आदि) और वस्तुओं की संख्या (एक, दो, तीन वस्तुओं, आदि) को इंगित करने की समस्या का नेतृत्व किया। इसके समाधान के लिए एक उपकरण के निर्माण के लिए, यह उपकरण था पूर्णांकों.

यह प्रस्ताव दिखाता है प्राकृतिक संख्याओं का मुख्य उद्देश्य- किसी आइटम की संख्या या किसी दिए गए आइटम की क्रम संख्या के बारे में जानकारी के आइटम के सेट में ले जाना।

किसी व्यक्ति के लिए प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग करने के लिए, उन्हें किसी न किसी तरह से, धारणा और प्रजनन दोनों के लिए सुलभ होना चाहिए। यदि आप प्रत्येक प्राकृतिक संख्या को ध्वनि करते हैं, तो यह कान से बोधगम्य हो जाएगा, और यदि आप एक प्राकृतिक संख्या को चित्रित करते हैं, तो इसे देखा जा सकता है। प्राकृतिक संख्याओं को व्यक्त करने और समझने के ये सबसे प्राकृतिक तरीके हैं।

तो आइए उनके अर्थ को सीखते हुए, प्राकृतिक संख्याओं को चित्रित करने (लिखने) और आवाज (पढ़ने) के कौशल को प्राप्त करना शुरू करें।

एक प्राकृतिक संख्या के लिए दशमलव संकेतन।

सबसे पहले, हमें यह तय करना चाहिए कि प्राकृत संख्याएँ लिखते समय हम क्या बनाएंगे।

आइए निम्नलिखित वर्णों की छवियों को याद करें (हम उन्हें अल्पविराम से अलग करके दिखाते हैं): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . दिखाए गए चित्र तथाकथित का एक रिकॉर्ड हैं नंबर. आइए तुरंत सहमत हों कि लिखते समय संख्याओं को पलटें, झुकाएं या अन्यथा विकृत न करें।

अब हम सहमत हैं कि किसी भी प्राकृत संख्या के अंकन में केवल संकेतित अंक ही मौजूद हो सकते हैं और कोई अन्य प्रतीक मौजूद नहीं हो सकता है। हम इस बात से भी सहमत हैं कि एक प्राकृतिक संख्या के अंकन में अंकों की ऊंचाई समान होती है, एक के बाद एक पंक्ति में व्यवस्थित होते हैं (लगभग कोई इंडेंट नहीं), और बाईं ओर एक अंक होता है जो अंक से भिन्न होता है 0 .

यहाँ प्राकृत संख्याओं के सही संकेतन के कुछ उदाहरण दिए गए हैं: 604 , 777 277 , 81 , 4 444 , 1 001 902 203, 5 , 900 000 (नोट: संख्याओं के बीच के इंडेंट हमेशा समान नहीं होते हैं, इस पर और अधिक समीक्षा करते समय चर्चा की जाएगी)। उपरोक्त उदाहरणों से, यह देखा जा सकता है कि एक प्राकृत संख्या में आवश्यक रूप से सभी अंक नहीं होते हैं 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ; एक प्राकृत संख्या लिखने में शामिल कुछ या सभी अंकों को दोहराया जा सकता है।

प्रविष्टियां 014 , 0005 , 0 , 0209 प्राकृत संख्याओं के अभिलेख नहीं हैं, क्योंकि बाईं ओर एक अंक है 0 .

इस पैराग्राफ में वर्णित सभी आवश्यकताओं को ध्यान में रखते हुए किए गए प्राकृतिक संख्या के रिकॉर्ड को कहा जाता है एक प्राकृतिक संख्या का दशमलव संकेतन.

आगे हम प्राकृत संख्याओं और उनके अंकन में अंतर नहीं करेंगे। आइए इसे स्पष्ट करें: पाठ में आगे, "एक प्राकृतिक संख्या दी गई" जैसे वाक्यांश 582 ", जिसका अर्थ होगा कि एक प्राकृतिक संख्या दी गई है, जिसके अंकन का रूप है 582 .

वस्तुओं की संख्या के अर्थ में प्राकृतिक संख्याएँ।

यह मात्रात्मक अर्थ से निपटने का समय है जो दर्ज की गई प्राकृतिक संख्या वहन करती है। वस्तुओं की संख्या के संदर्भ में प्राकृतिक संख्याओं का अर्थ प्राकृतिक संख्याओं की तुलना लेख में माना जाता है।

आइए प्राकृतिक संख्याओं से शुरू करें, जिनमें से प्रविष्टियां अंकों की प्रविष्टियों के साथ मेल खाती हैं, अर्थात संख्याओं के साथ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 तथा 9 .

कल्पना कीजिए कि हमने अपनी आँखें खोली और कुछ वस्तु देखी, उदाहरण के लिए, इस तरह। इस मामले में, हम वही लिख सकते हैं जो हम देखते हैं 1 विषय। प्राकृतिक संख्या 1 को "के रूप में पढ़ा जाता है" एक"(अंक "एक" की गिरावट, साथ ही साथ अन्य अंक, हम पैराग्राफ में देंगे), संख्या के लिए 1 एक और नाम अपनाया - " इकाई».

हालाँकि, "इकाई" शब्द बहु-मूल्यवान है; प्राकृतिक संख्या के अलावा 1 , कुछ ऐसा कहा जाता है जिसे संपूर्ण माना जाता है। उदाहरण के लिए, उनके समुच्चय में से किसी एक वस्तु को इकाई कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए, कई सेबों में से कोई भी सेब एक है, पक्षियों के कई झुंडों में से पक्षियों का झुंड भी एक है, और इसी तरह।

अब हम अपनी आँखें खोलते हैं और देखते हैं: यानी हम एक वस्तु और दूसरी वस्तु देखते हैं। इस मामले में, हम वही लिख सकते हैं जो हम देखते हैं 2 विषय। प्राकृतिक संख्या 2 , जैसे पढ़ता है " दो».

वैसे ही, - 3 विषय (पढ़ें " तीन" विषय), - 4 (« चार"") विषय के, - 5 (« पांच»), - 6 (« छह»), - 7 (« सात»), - 8 (« आठ»), - 9 (« नौ") सामान।

तो, विचार की स्थिति से, प्राकृतिक संख्याएँ 1 , 2 , 3 , …, 9 संकेत देना रकमसामान।

एक संख्या जिसका अंकन एक अंक के अंकन से मेल खाता है 0 , बुलाया " शून्य". संख्या शून्य एक प्राकृतिक संख्या नहीं है, हालांकि, इसे आमतौर पर प्राकृतिक संख्याओं के साथ माना जाता है। याद रखें: शून्य का अर्थ है किसी चीज का अभाव। उदाहरण के लिए, शून्य आइटम एक आइटम नहीं है।

लेख के निम्नलिखित पैराग्राफों में, हम मात्रा को इंगित करने के संदर्भ में प्राकृतिक संख्याओं के अर्थ को प्रकट करना जारी रखेंगे।

एकल अंक प्राकृतिक संख्याएँ।

जाहिर है, प्रत्येक प्राकृतिक संख्या का रिकॉर्ड 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 एक चिह्न से मिलकर बनता है - एक अंक।

परिभाषा।

एकल अंक प्राकृतिक संख्याएंप्राकृतिक संख्याएँ हैं, जिनके रिकॉर्ड में एक चिह्न - एक अंक होता है।

आइए सभी एकल अंकों वाली प्राकृतिक संख्याओं की सूची बनाएं: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . नौ एकल अंकों वाली प्राकृतिक संख्याएँ हैं।

दो अंकों और तीन अंकों की प्राकृतिक संख्याएं।

सबसे पहले, हम दो अंकों की प्राकृतिक संख्याओं की परिभाषा देते हैं।

परिभाषा।

दो अंकों की प्राकृत संख्या- ये प्राकृत संख्याएँ हैं, जिनका अभिलेख दो वर्णों का होता है - दो अंक (भिन्न या समान)।

उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक संख्या 45 - दो अंक, संख्या 10 , 77 , 82 भी दो अंक 5 490 , 832 , 90 037 - डबल डिजिट नहीं।

आइए जानें कि दो अंकों की संख्याओं का क्या अर्थ है, जबकि हम पहले से ज्ञात एकल-अंकीय प्राकृतिक संख्याओं के मात्रात्मक अर्थ से शुरू करेंगे।

सबसे पहले, आइए अवधारणा का परिचय दें दस.

आइए ऐसी स्थिति की कल्पना करें - हमने अपनी आँखें खोलीं और नौ वस्तुओं और एक और वस्तु से युक्त एक सेट देखा। इस मामले में, कोई बोलता है 1 दस (एक दर्जन) आइटम। यदि कोई एक साथ एक दस और एक और दस पर विचार करता है, तो कोई बोलता है 2 दहाई (दो दहाई)। यदि हम एक और दस से दो दहाई जोड़ते हैं, तो हमारे पास तीन दहाई होंगे। इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, हमें चार दहाई, पाँच दहाई, छह दहाई, सात दहाई, आठ दहाई और अंत में नौ दहाई मिलेंगे।

अब हम दो अंकों की प्राकृत संख्याओं के सार की ओर बढ़ सकते हैं।

ऐसा करने के लिए, दो अंकों की संख्या को दो एकल अंकों की संख्या के रूप में मानें - एक दो अंकों की संख्या के संकेतन में बाईं ओर है, दूसरी दाईं ओर है। बाईं ओर की संख्या दहाई की संख्या को इंगित करती है, और दाईं ओर की संख्या इकाई की संख्या को इंगित करती है। इसके अलावा, यदि दो अंकों की संख्या के रिकॉर्ड में दाईं ओर एक अंक है 0 , तो इसका अर्थ है इकाइयों की अनुपस्थिति। यह राशि को इंगित करने के संदर्भ में दो अंकों की प्राकृतिक संख्याओं का संपूर्ण बिंदु है।

उदाहरण के लिए, दो अंकों की प्राकृतिक संख्या 72 मेल खाती है 7 दर्जनों और 2 इकाइयों (अर्थात, 72 सेब सात दर्जन सेब और दो और सेब का एक सेट है), और संख्या 30 जवाब 3 दर्जनों और 0 ऐसी कोई इकाइयाँ नहीं हैं, अर्थात् ऐसी इकाइयाँ जो दहाई में संयुक्त न हों।

आइए इस प्रश्न का उत्तर दें: "कितनी दो अंकों की प्राकृतिक संख्याएँ मौजूद हैं"? जवाब दो उनको 90 .

हम तीन अंकों की प्राकृतिक संख्याओं की परिभाषा की ओर मुड़ते हैं।

परिभाषा।

प्राकृतिक संख्याएँ जिनके अंकन में शामिल हैं 3 संकेत - 3 अंक (भिन्न या दोहराए गए) कहलाते हैं तीन अंकों.

प्राकृतिक तीन अंकों वाली संख्याओं के उदाहरण हैं 372 , 990 , 717 , 222 . पूर्णांकों 7 390 , 10 011 , 987 654 321 234 567 तीन अंक नहीं हैं।

तीन अंकों की प्राकृतिक संख्याओं में निहित अर्थ को समझने के लिए, हमें अवधारणा की आवश्यकता है सैकड़ों.

दस दहाई का एक सेट है 1 एक सौ (एक सौ)। सौ सौ is 2 सैकड़ों। दो सौ और दूसरा सौ तीन सौ है। और इसी तरह, हमारे पास चार सौ, पांच सौ, छह सौ, सात सौ, आठ सौ और अंत में नौ सौ हैं।

अब आइए तीन अंकों वाली प्राकृत संख्या को तीन एकल अंकों वाली प्राकृत संख्याओं के रूप में देखें, जो एक के बाद एक तीन अंकों वाली प्राकृत संख्या के संकेतन में दाएं से बाएं की ओर जाती हैं। दाईं ओर की संख्या इकाइयों की संख्या को इंगित करती है, अगली संख्या दसियों की संख्या को इंगित करती है, अगली संख्या सैकड़ों की संख्या को इंगित करती है। नंबर 0 तीन अंकों की संख्या के रिकॉर्ड में दहाई और (या) की अनुपस्थिति का मतलब है।

इस प्रकार, तीन अंकों की एक प्राकृत संख्या 812 मेल खाती है 8 सैकड़ों 1 शीर्ष दस और 2 इकाइयां; संख्या 305 - तीन सौ 0 दहाई, यानी दहाई को सैकड़ों में नहीं जोड़ा गया है, नहीं) और 5 इकाइयां; संख्या 470 - चार सौ सात दहाई (ऐसी कोई इकाइयाँ नहीं हैं जो दसियों में संयोजित न हों); संख्या 500 - पांच सौ (दहाई को सैकड़ों में नहीं जोड़ा जाता है, और इकाइयों को दहाई में नहीं जोड़ा जाता है, नहीं)।

इसी तरह, कोई चार अंकों, पांच अंकों, छह अंकों, और इसी तरह परिभाषित कर सकता है। प्राकृतिक संख्या।

बहुमूल्यवान प्राकृतिक संख्याएँ।

इसलिए, हम बहु-मूल्यवान प्राकृतिक संख्याओं की परिभाषा की ओर मुड़ते हैं।

परिभाषा।

बहुमूल्यवान प्राकृत संख्याएं- ये प्राकृत संख्याएँ हैं, जिनके अभिलेख में दो या तीन या चार आदि होते हैं। संकेत। दूसरे शब्दों में, बहु-अंकीय प्राकृत संख्याएँ दो-अंकीय, तीन-अंकीय, चार-अंकीय आदि हैं। संख्याएं।

आइए तुरंत कहें कि दस सौ से मिलकर बना सेट है एक हजार, एक हजार हजार is दस लाख, एक हजार मिलियन is एक अरब, एक हजार अरब is दस खरब. एक हजार खरब, एक हजार खरब आदि को भी उनके अपने नाम दिए जा सकते हैं, लेकिन इसकी कोई विशेष आवश्यकता नहीं है।

तो बहु-मूल्यवान प्राकृतिक संख्याओं के पीछे क्या अर्थ है?

आइए एक बहु-अंकीय प्राकृत संख्या को एक के बाद एक दाएँ से बाएँ अनुसरण करने वाली एकल-अंकीय प्राकृत संख्याओं के रूप में देखें। दाईं ओर की संख्या इकाइयों की संख्या को इंगित करती है, अगली संख्या दसियों की संख्या है, अगला सैकड़ों की संख्या है, फिर हजारों की संख्या है, अगला दसियों हज़ारों की संख्या है, अगला सैकड़ों हज़ारों की संख्या है , अगला लाखों की संख्या है, अगला दसियों लाख की संख्या है, अगला है सैकड़ों मिलियन, अगला - अरबों की संख्या, फिर - दसियों अरबों की संख्या, फिर - सैकड़ों अरबों, फिर - खरब, फिर - दसियों खरब, फिर - सैकड़ों खरब, और इसी तरह।

उदाहरण के लिए, एक बहु-अंकीय प्राकृत संख्या 7 580 521 मेल खाती है 1 इकाई, 2 दर्जनों, 5 सैकड़ों 0 हजारों 8 दसियों हजारों की 5 सैकड़ों हजारों और 7 लाखों

इस प्रकार, हमने इकाइयों को दहाई, दहाई में सैकड़ों, सैकड़ों में हजारों, हजारों में दसियों, और इसी तरह समूह बनाना सीखा, और यह पाया कि एक बहु-अंकीय प्राकृतिक संख्या के रिकॉर्ड में संख्याएं उस संख्या की संगत संख्या को दर्शाती हैं उपरोक्त समूह।

प्राकृतिक संख्याएँ, कक्षाएं पढ़ना।

हम पहले ही बता चुके हैं कि एक अंक वाली प्राकृत संख्याओं को कैसे पढ़ा जाता है। आइए निम्नलिखित तालिकाओं की सामग्री को दिल से जानें।

और अन्य दो अंकों की संख्याएँ कैसे पढ़ी जाती हैं?

आइए एक उदाहरण के साथ समझाते हैं। एक प्राकृतिक संख्या पढ़ना 74 . जैसा कि हमने ऊपर पाया, यह संख्या से मेल खाती है 7 दर्जनों और 4 इकाइयों, अर्थात् 70 तथा 4 . हम अभी लिखी गई तालिकाओं की ओर मुड़ते हैं, और संख्या 74 हम पढ़ते हैं: "चौहत्तर" (हम संघ "और" का उच्चारण नहीं करते हैं)। अगर आप एक नंबर पढ़ना चाहते हैं 74 वाक्य में: "नहीं 74 सेब" (जननांग मामला), तो यह इस तरह ध्वनि करेगा: "चौहत्तर सेब नहीं हैं।" एक और उदाहरण। संख्या 88 - ये है 80 तथा 8 , इसलिए, हम पढ़ते हैं: "अट्ठाईस।" और यहाँ एक वाक्य का उदाहरण है: "वह अट्ठासी रूबल के बारे में सोच रहा है।"

आइए तीन अंकों की प्राकृत संख्याओं को पढ़ने के लिए आगे बढ़ते हैं।

ऐसा करने के लिए, हमें कुछ और नए शब्द सीखने होंगे।

यह दिखाना बाकी है कि शेष तीन अंकों की प्राकृतिक संख्याएँ कैसे पढ़ी जाती हैं। इस मामले में, हम पहले से अर्जित कौशल का उपयोग एकल-अंकों और दोहरे अंकों की संख्याओं को पढ़ने में करेंगे।

आइए एक उदाहरण लेते हैं। आइए पढ़ते हैं नंबर 107 . यह संख्या मेल खाती है 1 सौ और 7 इकाइयों, अर्थात् 100 तथा 7 . तालिकाओं की ओर मुड़ते हुए, हम पढ़ते हैं: "एक सौ सात।" अब नंबर बताते हैं 217 . यह संख्या है 200 तथा 17 , इसलिए, हम पढ़ते हैं: "दो सौ सत्रह।" वैसे ही, 888 - ये है 800 (आठ सौ) और 88 (अट्ठाईस), हम पढ़ते हैं: "आठ सौ अट्ठासी।"

हम बहु-अंकीय संख्याओं को पढ़ने की ओर मुड़ते हैं।

पढ़ने के लिए, एक बहु-अंकीय प्राकृत संख्या के रिकॉर्ड को दाईं ओर से शुरू करते हुए, तीन अंकों के समूहों में विभाजित किया जाता है, जबकि सबसे बाईं ओर ऐसे समूह में या तो हो सकता है 1 , या 2 , या 3 संख्याएं। इन समूहों को कहा जाता है कक्षाओं. दाईं ओर के वर्ग को कहा जाता है इकाई वर्ग. अगली कक्षा (दाएँ से बाएँ) कहलाती है हजारों की कक्षा, अगली कक्षा है लाखों का वर्ग, अगला - अरबों का वर्ग, फिर जाता है ट्रिलियन वर्ग. आप निम्नलिखित वर्गों के नाम दे सकते हैं, लेकिन प्राकृत संख्याएँ, जिनका रिकॉर्ड निम्न में से है 16 , 17 , 18 आदि। संकेतों को आमतौर पर पढ़ा नहीं जाता है, क्योंकि उन्हें कानों से समझना बहुत मुश्किल होता है।

बहु-अंकीय संख्याओं को वर्गों में विभाजित करने के उदाहरण देखें (स्पष्टता के लिए, वर्गों को एक छोटे से इंडेंट द्वारा एक दूसरे से अलग किया जाता है): 489 002 , 10 000 501 , 1 789 090 221 214 .

आइए दर्ज की गई प्राकृतिक संख्याओं को एक तालिका में रखें, जिसके अनुसार उन्हें पढ़ना सीखना आसान है।

एक प्राकृत संख्या को पढ़ने के लिए, हम बाएं से दाएं उन संख्याओं पर कॉल करते हैं जो इसे कक्षा के अनुसार बनाते हैं और वर्ग का नाम जोड़ते हैं। उसी समय, हम इकाइयों के वर्ग के नाम का उच्चारण नहीं करते हैं, और उन वर्गों को भी छोड़ देते हैं जो तीन अंक बनाते हैं 0 . यदि वर्ग रिकॉर्ड में बाईं ओर एक अंक है 0 या दो अंक 0 , तो इन नंबरों को अनदेखा करें 0 और इन अंकों को हटाकर प्राप्त संख्या को पढ़िए 0 . उदाहरण के लिए, 002 "दो" के रूप में पढ़ें, और 025 - जैसे "पच्चीस"।

आइए पढ़ते हैं नंबर 489 002 दिए गए नियमों के अनुसार।

हम बाएं से दाएं पढ़ते हैं,

• नंबर पढ़ें 489 , हज़ारों के वर्ग का प्रतिनिधित्व करने वाला, "चार सौ अस्सी-नौ" है;
• वर्ग का नाम जोड़ें, हमें "चार सौ अस्सी-नौ हजार" मिलता है;
• इकाइयों के वर्ग में आगे हम देखते हैं 002 , शून्य बाईं ओर हैं, हम उन्हें अनदेखा करते हैं, इसलिए 002 "दो" के रूप में पढ़ें;
• इकाई वर्ग का नाम जोड़ने की आवश्यकता नहीं है;
• परिणामस्वरूप हमारे पास है 489 002 - चार सौ अस्सी-नौ हजार दो।

आइए नंबर पढ़ना शुरू करें 10 000 501 .

• लाखों की कक्षा में बाईं ओर हम संख्या देखते हैं 10 , हम "दस" पढ़ते हैं;
• वर्ग का नाम जोड़ें, हमारे पास "दस मिलियन" हैं;
• आगे हम रिकॉर्ड देखते हैं 000 हजारों वर्ग में, क्योंकि तीनों अंक अंक हैं 0 , फिर हम इस कक्षा को छोड़ देते हैं और अगली कक्षा में चले जाते हैं;
• इकाई वर्ग संख्या का प्रतिनिधित्व करता है 501 , जिसे हम "पांच सौ एक" पढ़ते हैं;
• इस प्रकार, 10 000 501 दस लाख पांच सौ एक।

आइए इसे विस्तृत स्पष्टीकरण के बिना करें: 1 789 090 221 214 - "एक ट्रिलियन सात सौ अस्सी-नौ अरब नब्बे मिलियन दो सौ इक्कीस हजार दो सौ चौदह।"

तो, बहु-अंकीय प्राकृत संख्याओं को पढ़ने के कौशल का आधार बहु-अंकीय संख्याओं को वर्गों में तोड़ने की क्षमता, वर्गों के नामों का ज्ञान और तीन अंकों की संख्याओं को पढ़ने की क्षमता है।

एक प्राकृत संख्या के अंक, अंक का मान।

प्राकृत संख्या लिखने में प्रत्येक अंक का मान उसकी स्थिति पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक संख्या 539 मेल खाती है 5 सैकड़ों 3 दर्जनों और 9 इकाइयों, इसलिए आंकड़ा 5 संख्या प्रविष्टि में 539 सैकड़ों की संख्या को परिभाषित करता है, एक अंक 3 दहाई की संख्या है, और अंक 9 - इकाइयों की संख्या। कहा जाता है कि संख्या 9 में खड़ा है इकाई अंकऔर संख्या 9 है इकाई अंक मूल्य, संख्या 3 में खड़ा है दस जगहऔर संख्या 3 है दहाई का स्थानीय मान, और संख्या 5 - में सैकड़ों जगहऔर संख्या 5 है सैकड़ों स्थानीय मान.

इस तरह, स्राव होना- यह एक ओर, एक प्राकृतिक संख्या के अंकन में अंक की स्थिति है, और दूसरी ओर, इस अंक का मूल्य, इसकी स्थिति से निर्धारित होता है।

रैंकों को नाम दिया गया है। यदि आप दाएँ से बाएँ किसी प्राकृत संख्या के अभिलेख में संख्याओं को देखें, तो निम्नलिखित अंक उनके अनुरूप होंगे: इकाइयाँ, दहाई, सैकड़ों, हज़ार, दसियों हज़ार, सैकड़ों हज़ार, लाखों, दसियों लाख, और जल्द ही।

श्रेणियों के नाम याद रखने में सुविधाजनक होते हैं जब उन्हें तालिका के रूप में प्रस्तुत किया जाता है। आइए एक तालिका लिखें जिसमें 15 अंकों के नाम हों।

ध्यान दें कि किसी दी गई प्राकृत संख्या के अंकों की संख्या इस संख्या को लिखने में शामिल वर्णों की संख्या के बराबर होती है। इस प्रकार, दर्ज की गई तालिका में सभी प्राकृतिक संख्याओं के अंकों के नाम होते हैं, जिनके रिकॉर्ड में अधिकतम 15 वर्ण होते हैं। निम्नलिखित अंकों के भी अपने नाम हैं, लेकिन उनका उपयोग बहुत कम होता है, इसलिए उनका उल्लेख करने का कोई मतलब नहीं है।

अंकों की तालिका का उपयोग करके किसी दी गई प्राकृत संख्या के अंक ज्ञात करना सुविधाजनक होता है। ऐसा करने के लिए, आपको इस प्राकृतिक संख्या को इस तालिका में लिखना होगा ताकि प्रत्येक अंक में एक अंक हो, और सबसे दाहिना अंक इकाई अंक में हो।

आइए एक उदाहरण लेते हैं। आइए एक प्राकृत संख्या लिखें 67 922 003 942 तालिका में, और इन अंकों के अंक और मान स्पष्ट रूप से दिखाई देने लगेंगे।

इस संख्या के अभिलेख में अंक 2 इकाई के स्थान पर खड़ा है, अंक 4 - दहाई के स्थान पर, अंक 9 - सौ स्थान आदि में। नंबरों पर ध्यान दें 0 , जो दसियों हज़ार और सैकड़ों हज़ारों के अंकों में होते हैं। नंबर 0 इन अंकों का अर्थ है इन अंकों की इकाइयों का अभाव।

हमें बहुमूल्यवान प्राकृत संख्या की तथाकथित निम्नतम (निम्नतम) और उच्चतम (उच्चतम) श्रेणी का भी उल्लेख करना चाहिए। लोअर (जूनियर) रैंककोई भी बहु-मूल्यवान प्राकृत संख्या इकाई अंक होती है। किसी प्राकृत संख्या का उच्चतम (उच्चतम) अंकइस संख्या के रिकॉर्ड में सबसे दाहिने अंक के अनुरूप अंक है। उदाहरण के लिए, प्राकृत संख्या 23004 का सबसे छोटा महत्वपूर्ण अंक इकाई अंक है, और उच्चतम अंक दसियों हजार अंकों का है। यदि किसी प्राकृत संख्या के अंकन में हम अंकों के अनुसार बाएँ से दाएँ चलते हैं, तो प्रत्येक अगला अंक निचला (छोटा)पिछला वाला। उदाहरण के लिए, हजारों का अंक दसियों हजार के अंक से कम होता है, विशेष रूप से हजारों का अंक सैकड़ों हजारों, लाखों, दसियों लाख आदि के अंक से कम होता है। यदि, एक प्राकृत संख्या के संकेतन में, हम अंकों में दाएँ से बाएँ चलते हैं, तो प्रत्येक अगला अंक उच्च (पुराना)पिछला वाला। उदाहरण के लिए, सैकड़ों का अंक दहाई के अंक से पुराना है, और इससे भी अधिक, यह इकाई के अंक से पुराना है।

कुछ मामलों में (उदाहरण के लिए, जोड़ या घटाव करते समय), प्राकृतिक संख्या का उपयोग नहीं किया जाता है, बल्कि इस प्राकृतिक संख्या के बिट शब्दों का योग होता है।

संक्षेप में दशमलव संख्या प्रणाली के बारे में।

इसलिए, हम प्राकृतिक संख्याओं से परिचित हुए, उनमें निहित अर्थ के साथ, और दस अंकों का उपयोग करके प्राकृतिक संख्याओं को लिखने का तरीका।

सामान्य तौर पर, संकेतों का उपयोग करके संख्या लिखने की विधि को कहा जाता है संख्या प्रणाली. किसी संख्या प्रविष्टि में किसी अंक का मान उसकी स्थिति पर निर्भर हो भी सकता है और नहीं भी। संख्या प्रणालियाँ जिनमें किसी संख्या प्रविष्टि में किसी अंक का मान उसकी स्थिति पर निर्भर करता है, कहलाती है अवस्था का.

इस प्रकार, हमने जिन प्राकृत संख्याओं पर विचार किया है और उन्हें लिखने की विधि से संकेत मिलता है कि हम एक स्थितीय संख्या प्रणाली का उपयोग कर रहे हैं। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि इस संख्या प्रणाली में एक विशेष स्थान की संख्या होती है 10 . दरअसल, स्कोर दसियों में रखा जाता है: दस इकाइयों को दस में जोड़ा जाता है, दस दसियों को एक सौ में, दस सैकड़ों को एक हजार में जोड़ा जाता है, और इसी तरह। संख्या 10 बुलाया आधारदी गई संख्या प्रणाली, और संख्या प्रणाली को ही कहा जाता है दशमलव.

दशमलव संख्या प्रणाली के अलावा, अन्य भी हैं, उदाहरण के लिए, कंप्यूटर विज्ञान में, बाइनरी पोजिशनल नंबर सिस्टम का उपयोग किया जाता है, और जब समय मापने की बात आती है तो हम सेक्सेजिमल सिस्टम का सामना करते हैं।

ग्रंथ सूची।

• गणित। शैक्षणिक संस्थानों की 5 कक्षाओं के लिए कोई पाठ्यपुस्तक।

सबसे सरल संख्या है प्राकृतिक संख्या. इनका उपयोग दैनिक जीवन में गिनती के लिए किया जाता है आइटम, यानी उनकी संख्या और क्रम की गणना करने के लिए।

एक प्राकृतिक संख्या क्या है: प्राकृतिक संख्याउन संख्याओं के नाम बताइए जिनका उपयोग किया जाता है मदों की गिनती या सभी सजातीय से किसी भी वस्तु की क्रम संख्या को इंगित करने के लिएसामान।

पूर्णांकोंएक से शुरू होने वाली संख्याएं हैं। गिनती करते समय वे स्वाभाविक रूप से बनते हैं।उदाहरण के लिए, 1,2,3,4,5... -पहली प्राकृतिक संख्याएँ।

सबसे छोटी प्राकृत संख्या- एक। कोई सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या नहीं है। संख्या गिनते समय शून्य का उपयोग नहीं किया जाता है, इसलिए शून्य एक प्राकृत संख्या है।

संख्याओं की प्राकृतिक श्रृंखलासभी प्राकृतिक संख्याओं का क्रम है। प्राकृतिक संख्याएँ लिखें:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

प्राकृत संख्याओं में, प्रत्येक संख्या पिछली संख्या से एक अधिक होती है।

प्राकृतिक श्रृंखला में कितनी संख्याएँ होती हैं? प्राकृतिक श्रृंखला अनंत है, कोई सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या नहीं है।

दशमलव के बाद से किसी भी श्रेणी की 10 इकाइयाँ उच्चतम क्रम की 1 इकाई बनाती हैं। स्थितीय तो किसी अंक का मान संख्या में उसके स्थान पर कैसे निर्भर करता है, अर्थात उस श्रेणी से जहां इसे दर्ज किया गया है।

प्राकृतिक संख्याओं के वर्ग।

किसी भी प्राकृत संख्या को 10 अरबी अंकों का प्रयोग करके लिखा जा सकता है:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

प्राकृत संख्याओं को पढ़ने के लिए, उन्हें दाईं ओर से शुरू करते हुए, प्रत्येक 3 अंकों के समूहों में विभाजित किया जाता है। 3 पहले दाईं ओर की संख्याएँ इकाइयों का वर्ग हैं, अगले 3 हज़ारों के वर्ग हैं, फिर लाखों, अरबों के वर्ग हैं औरआदि। वर्ग के प्रत्येक अंक को उसका कहा जाता हैस्राव होना.

प्राकृतिक संख्याओं की तुलना।

2 प्राकृत संख्याओं में से जो संख्या पहले गिनती में आती है वह कम होती है। उदाहरण के लिए, संख्या 7 कम 11 (इस तरह लिखा है:7 < 11 ) जब एक संख्या दूसरी से बड़ी हो, तो इसे इस प्रकार लिखा जाता है:386 > 99 .

अंकों की तालिका और संख्याओं के वर्ग।

प्रथम श्रेणी इकाई	पहली इकाई अंक दूसरा स्थान दस तीसरी रैंक सैकड़ों
द्वितीय श्रेणी हजार	हज़ारों की पहली अंक इकाइयाँ दूसरा अंक दसियों हज़ार तीसरी रैंक सैकड़ों हजारों
तीसरी कक्षा लाखों	पहली अंक इकाइयाँ मिलियन दूसरा अंक दसियों लाख तीसरा अंक सैकड़ों लाखों
चौथी कक्षा अरबों	पहली अंक इकाइयाँ अरब दूसरा अंक दसियों अरबों तीसरा अंक सैकड़ों अरबों

5 वीं कक्षा और उससे ऊपर की संख्या बड़ी संख्या है। 5 वीं कक्षा की इकाइयाँ - खरब, 6 वीं वर्ग - क्वाड्रिलियन, 7वीं क्लास - क्विंटिलियन, 8वीं क्लास - सेक्सटिलियन, 9वीं क्लास -एप्टिलियंस प्राकृतिक संख्याओं के मूल गुण। जोड़ की कम्यूटेटिविटी . ए + बी = बी + ए गुणन की क्रमपरिवर्तनशीलता। अब = बीए जोड़ की साहचर्यता। (ए + बी) + सी = ए + (बी + सी) गुणन की साहचर्यता। जोड़ के संबंध में गुणन का वितरण: प्राकृतिक संख्याओं पर क्रियाएँ। 4. प्राकृत संख्याओं का विभाजन गुणन के विपरीत एक संक्रिया है। यदि एक बी सी \u003d ए, फिर विभाजन सूत्र: ए: 1 = ए ए: ए = 1, ए 0 0: ए = 0, ए 0 (एक∙ बी): सी = (ए: सी) ∙ बी (एक∙ बी): सी = (बी: सी) ∙ ए संख्यात्मक भाव और संख्यात्मक समानताएं। एक संकेतन जहां संख्याएं क्रिया चिह्नों से जुड़ी होती हैं संख्यात्मक अभिव्यक्ति. उदाहरण के लिए, 10∙3+4; (60-2∙5) :10. प्रविष्टियाँ जहाँ बराबर चिह्न 2 अंकीय व्यंजकों को जोड़ता है संख्यात्मक समानताएं. समानता का एक बांया पक्ष और एक दायां पक्ष होता है। वह क्रम जिसमें अंकगणितीय संक्रियाएँ की जाती हैं। संख्याओं का जोड़ और घटाव पहली डिग्री के संचालन हैं, जबकि गुणा और भाग दूसरी डिग्री के संचालन हैं। जब एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति में केवल एक डिग्री की क्रियाएं होती हैं, तो उन्हें क्रमिक रूप से किया जाता हैबाएं से दाएं। जब अभिव्यक्तियों में केवल पहली और दूसरी डिग्री की क्रियाएं होती हैं, तो क्रियाएं पहले की जाती हैं दूसरी डिग्री, और फिर - पहली डिग्री की क्रियाएं। जब व्यंजक में कोष्ठक होते हैं, तो कोष्ठक में क्रिया पहले की जाती है। उदाहरण के लिए, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.

पूर्णांकों- प्राकृतिक संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिनका उपयोग वस्तुओं को गिनने के लिए किया जाता है। सभी प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को कभी-कभी प्राकृत श्रेणी कहते हैं: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, आदि। .

प्राकृत संख्याएँ लिखने के लिए दस अंकों का प्रयोग किया जाता है: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. इनकी सहायता से आप कोई भी प्राकृत संख्या लिख ​​सकते हैं। इस अंकन को दशमलव कहते हैं।

संख्याओं की प्राकृतिक श्रृंखला को अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है। ऐसी कोई संख्या नहीं है जो अंतिम हो, क्योंकि एक को हमेशा अंतिम संख्या में जोड़ा जा सकता है और एक को वह संख्या मिलेगी जो पहले से ही वांछित संख्या से बड़ी है। इस मामले में, हम कहते हैं कि प्राकृतिक श्रृंखला में कोई सबसे बड़ी संख्या नहीं है।

प्राकृत संख्याओं के अंक

संख्याओं का उपयोग करते हुए किसी भी संख्या को लिखने में वह स्थान महत्वपूर्ण होता है, जिस पर संख्या का स्थान होता है। उदाहरण के लिए, संख्या 3 का अर्थ है: 3 इकाइयाँ यदि यह संख्या में सबसे अंत में आती है; 3 दहाई यदि यह अंतिम स्थान पर संख्या में होगा; 4 शतक, अगर वह अंत से तीसरे नंबर पर होगी।

अंतिम अंक का अर्थ है इकाइयों का अंक, अंतिम एक - दहाई का अंक, अंत से 3 - सैकड़ों अंक।

एकल और एकाधिक अंक

यदि किसी संख्या के किसी अंक में 0 है, तो इसका अर्थ है कि इस अंक में कोई इकाई नहीं है।

संख्या 0 का अर्थ शून्य है। शून्य "कोई नहीं" है।

शून्य कोई प्राकृत संख्या नहीं है। हालांकि कुछ गणितज्ञ अन्यथा सोचते हैं।

यदि किसी संख्या में एक अंक होता है, तो उसे एक अंक, दो - दो अंक, तीन - तीन अंक आदि कहा जाता है।

वे संख्याएँ जो एकल अंक नहीं होतीं, बहु अंक कहलाती हैं।

बड़ी प्राकृत संख्याओं को पढ़ने के लिए अंकों की कक्षाएं

बड़ी प्राकृतिक संख्याओं को पढ़ने के लिए, संख्या को दाहिने किनारे से शुरू करते हुए, तीन अंकों के समूहों में विभाजित किया जाता है। इन समूहों को वर्ग कहा जाता है।

दाहिने किनारे से पहले तीन अंक इकाई वर्ग हैं, अगले तीन हजार वर्ग हैं, अगले तीन लाख वर्ग हैं।

एक मिलियन एक हजार हजार है, रिकॉर्ड के लिए वे संक्षिप्त नाम मिलियन 1 मिलियन = 1,000,000 का उपयोग करते हैं।

एक अरब = एक हजार करोड़। रिकॉर्डिंग के लिए, संक्षिप्त नाम बिलियन 1 बिलियन = 1,000,000,000 का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण लिखें और पढ़ें

इस संख्या में अरबों वर्ग में 15 इकाइयाँ, लाखों वर्ग में 389 इकाइयाँ, हज़ार वर्ग में शून्य इकाइयाँ और इकाई वर्ग में 286 इकाइयाँ हैं।

यह संख्या इस प्रकार पढ़ती है: 15 अरब 389 मिलियन 286।

बाएं से दाएं नंबर पढ़ें। बदले में, प्रत्येक वर्ग की इकाइयों की संख्या को बुलाया जाता है और फिर वर्ग का नाम जोड़ा जाता है।