نظريات الجمع والضرب للاحتمالات.
أحداث مستقلة ومستقلة

يبدو العنوان مخيفًا، لكنه في الواقع بسيط جدًا. في هذا الدرس، سوف نتعرف على نظريتي الجمع والضرب لاحتمالات الأحداث، بالإضافة إلى تحليل المهام النموذجية التي، جنبًا إلى جنب مع مهمة للتعريف الكلاسيكي للاحتمالسوف تلتقي بالتأكيد أو على الأرجح قد التقيت بالفعل في طريقك. ل التعلم الفعالمواد هذه المقالة، تحتاج إلى معرفة وفهم المصطلحات الأساسية نظرية الاحتمالاتوتكون قادرة على إجراء العمليات الحسابية البسيطة. كما ترون، هناك حاجة إلى القليل جدًا، وبالتالي فإن زيادة الدهون في الأصل مضمونة تقريبًا. ولكن من ناحية أخرى، أحذر مرة أخرى من الموقف السطحي تجاه أمثلة عملية- هناك أيضًا ما يكفي من التفاصيل الدقيقة. حظ سعيد:

نظرية الجمع لاحتمالات الأحداث غير المتوافقة: احتمال حدوث أحدهما غير متوافقالأحداث أو (بغض النظر)، يساوي مجموع احتمالات هذه الأحداث:

حقيقة مماثلة تنطبق أيضًا على أكثرأحداث غير متوافقة، على سبيل المثال، لثلاثة أحداث غير متوافقة و:

نظرية الحلم =) ومع ذلك، فإن مثل هذا الحلم يخضع أيضًا للإثبات، والذي يمكن العثور عليه، على سبيل المثال، في دليل الدراسة V. E. جمورمان.

دعونا نتعرف على مفاهيم جديدة غير مرئية حتى الآن:

أحداث مستقلة ومستقلة

لنبدأ بـ لا الأحداث التابعة. الأحداث هي مستقل إذا كان احتمال حدوثه أيا منهم لا يعتمدمن ظهور/عدم ظهور أحداث أخرى للمجموعة المدروسة (في جميع المجموعات الممكنة). ... ولكن ما الذي يمكن استخلاص العبارات الشائعة منه:

نظرية ضرب احتمالات الأحداث المستقلة: احتمال وقوع أحداث مشتركة مستقلة ويساوي حاصل ضرب احتمالات هذه الأحداث:

لنعود إلى أبسط مثال للدرس الأول والذي يتم فيه رمي قطعتين من النقود والأحداث التالية:

- سوف تقع الرؤوس على العملة الأولى؛
- رؤوس على العملة الثانية.

لنجد احتمالية الحدث (ستظهر الرؤوس على العملة الأولى وسيظهر النسر على العملة الثانية - تذكر كيف تقرأ نتاج الاحداث!) . إن احتمال الحصول على صورة على عملة واحدة لا يعتمد على نتيجة رمي عملة أخرى، وبالتالي فإن الأحداث مستقلة.

بصورة مماثلة:
هو احتمال أن تهبط العملة الأولى على الرؤوس وعلى الذيل الثاني.
هو احتمال ظهور الرؤوس على العملة الأولى وعلى الذيل الثاني.
هو احتمال أن تهبط العملة الأولى على ذيولها وعلى النسر الثاني.

لاحظ أن الأحداث تشكل مجموعة كاملةومجموع احتمالاتها يساوي واحدًا: .

من الواضح أن نظرية الضرب تمتد إلى عدد أكبر من الأحداث المستقلة، على سبيل المثال، إذا كانت الأحداث مستقلة، فإن احتمال حدوثها معًا هو: . دعونا نتدرب على أمثلة ملموسة:

المهمة 3

يحتوي كل صندوق من الصناديق الثلاثة على 10 أجزاء. يوجد في الصندوق الأول 8 أجزاء قياسية، في الثاني - 7، في الثالث - 9. تتم إزالة جزء واحد بشكل عشوائي من كل صندوق. أوجد احتمال أن تكون جميع الأجزاء قياسية.

حل: احتمال استخراج المعيار أو جزء غير قياسيمن أي صندوق لا يعتمد على الأجزاء التي سيتم استخراجها من الصناديق الأخرى، وبالتالي فإن المشكلة تتعامل مع أحداث مستقلة. النظر في الأحداث المستقلة التالية:

- تتم إزالة الجزء القياسي من الصندوق الأول؛
- تتم إزالة الجزء القياسي من الصندوق الثاني؛
- تمت إزالة جزء قياسي من الدرج الثالث.

حسب التعريف الكلاسيكي:
هي الاحتمالات المقابلة.

الحدث الذي يهمنا (سيتم أخذ الجزء القياسي من الدرج الأول ومن المعيار الثاني ومن المعيار الثالث)يتم التعبير عنها بواسطة المنتج.

وفقًا لنظرية ضرب احتمالات الأحداث المستقلة:

هو احتمال استخراج جزء قياسي واحد من ثلاثة صناديق.

إجابة: 0,504

بعد تنشيط التمارين باستخدام الصناديق، لا تنتظرنا جرارات أقل إثارة للاهتمام:

المهمة 4

ثلاث جرار تحتوي على 6 كرات بيضاء و4 كرات سوداء. يتم سحب كرة واحدة بشكل عشوائي من كل جرة. أوجد احتمال أن: أ) أن تكون الكرات الثلاث بيضاء اللون؛ ب) جميع الكرات الثلاث ستكون بنفس اللون.

بناءً على المعلومات الواردة، خمن كيفية التعامل مع العنصر "يكون" ;-) عينة عينةتم تصميم القرار بأسلوب أكاديمي مع وصف تفصيلي لجميع الأحداث.

الأحداث التابعة. الحدث يسمى متكل إذا كان احتماله يعتمد علىمن حدث أو أكثر قد حدث بالفعل. ليس عليك أن تذهب بعيدًا للحصول على أمثلة - ما عليك سوى الذهاب إلى أقرب متجر:

- غدا الساعة 19.00 سيتم بيع الخبز الطازج.

يعتمد احتمال هذا الحدث على العديد من الأحداث الأخرى: ما إذا كان سيتم تسليم الخبز الطازج غدًا، وما إذا كان سيتم بيعه قبل الساعة 7 مساءً أم لا، وما إلى ذلك. يعتمد على ظروف مختلفةحدث معين يمكن أن يكون مؤكدًا ومستحيلًا. هكذا يكون الحدث متكل.

الخبز... وكما طالب الرومان بالسيرك:

- في الامتحان سيحصل الطالب على تذكرة بسيطة.

إذا لم تذهب أولا، فسيعتمد الحدث، لأن احتماله سيعتمد على التذاكر التي رسمها زملاء الدراسة بالفعل.

كيفية تحديد التبعية/استقلال الأحداث؟

في بعض الأحيان يتم ذكر ذلك مباشرة في حالة المشكلة، ولكن في أغلب الأحيان يتعين عليك إجراء تحليل مستقل. لا يوجد مبدأ توجيهي لا لبس فيه هنا، وحقيقة الاعتماد أو استقلال الأحداث تأتي من التفكير المنطقي الطبيعي.

لكي لا نرمي كل شيء في كومة واحدة ، المهام للأحداث التابعةسأسلط الضوء على الدرس التالي، ولكن في الوقت الحالي سننظر في مجموعة النظريات الأكثر شيوعًا في الممارسة العملية:

مشاكل في نظريات الجمع للاحتمالات غير المتناسقة
وضرب احتمالات الأحداث المستقلة

هذا الترادف، وفقا لتقييمي الشخصي، يعمل في حوالي 80٪ من المهام المتعلقة بالموضوع قيد النظر. ضربة ناجحة وكلاسيكية حقيقية لنظرية الاحتمالات:

المهمة 5

أطلق اثنان من الرماة رصاصة واحدة على الهدف. احتمالية إصابة مطلق النار الأول هي 0.8 وللثانية 0.6. أوجد احتمال أن:

أ) سوف يصل مطلق النار واحد فقط إلى الهدف؛
ب) سوف يصيب واحد على الأقل من الرماة الهدف.

حل: من الواضح أن احتمالية الإصابة أو الخطأ لأحد الرماة مستقلة عن أداء الرامي الآخر.

تأمل الأحداث:
- مطلق النار الأول سيصيب الهدف؛
- سوف يصيب مطلق النار الثاني الهدف.

بالشرط : .

لنجد احتمالات الأحداث المعاكسة - التي ستخطئها الأسهم المقابلة:

أ) خذ بعين الاعتبار الحدث: - مطلق النار واحد فقط يصيب الهدف. يتكون هذا الحدث من نتيجتين غير متوافقتين:

سوف يضرب مطلق النار الأول ويخطئ الثاني
أو
الأول سوف يغيب وسوف يضرب الثاني.

على اللسان جبر الأحداثيمكن كتابة هذه الحقيقة على النحو التالي:

أولاً نستخدم نظرية جمع احتمالات الأحداث غير المتوافقة، ثم - نظرية ضرب احتمالات الأحداث المستقلة:

هو احتمال أن يكون هناك ضربة واحدة فقط.

ب) خذ بعين الاعتبار الحدث: - أصاب أحد الرماة الهدف على الأقل.

أولاً، دعونا نفكر - ماذا يعني الشرط "واحد على الأقل"؟ في هذه الحالة، هذا يعني أن الرامي الأول سيضرب (الثاني سيخطئ) أوالثاني (الأول يخطئ) أوكلا السهمين في وقت واحد - ما مجموعه 3 نتائج غير متوافقة.

الطريقة الأولى: بالنظر إلى الاحتمال المعد للعنصر السابق، فمن المناسب تمثيل الحدث كمجموع الأحداث المنفصلة التالية:

سوف يحصل المرء (حدث يتكون بدوره من نتيجتين غير متوافقتين) أو
إذا ضرب كلا السهمين، نشير إلى هذا الحدث بالحرف .

هكذا:

وفقًا لنظرية ضرب احتمالات الأحداث المستقلة:
هو احتمال إصابة مطلق النار الأول وسوف يضرب مطلق النار الثاني.

وفقًا لنظرية إضافة احتمالات الأحداث غير المتوافقة:
هو احتمال إصابة واحدة على الأقل بالهدف.

الطريقة الثانية: فكر في الحدث المعاكس: – سيخطئ كلا الرماة.

وفقًا لنظرية ضرب احتمالات الأحداث المستقلة:

نتيجة ل:

انتبه بشكل خاص للطريقة الثانية - فهي بشكل عام أكثر عقلانية.

بالإضافة إلى ذلك، هناك طريقة ثالثة بديلة للحل، تعتمد على نظرية جمع الأحداث المشتركة، والتي سكتت أعلاه.

! إذا كنت تقرأ المادة لأول مرة، فمن أجل تجنب الارتباك، فمن الأفضل تخطي الفقرة التالية.

الطريقة الثالثة : الأحداث مشتركة، مما يعني أن مجموعها يعبر عن الحدث "إصابة مطلق واحد على الأقل بالهدف" (انظر الشكل 1). جبر الحدث). بواسطة نظرية جمع احتمالات الأحداث المشتركةونظرية ضرب احتمالات الأحداث المستقلة:

دعونا نتحقق: الأحداث و (0، 1 و 2 زيارة على التوالي)كونوا مجموعة كاملة، بحيث يكون مجموع احتمالاتها مساويًا لواحد:
، والذي كان من المقرر التحقق منه.

إجابة:

من خلال دراسة شاملة لنظرية الاحتمال، ستواجه العشرات من المهام ذات المحتوى العسكري، وهو أمر نموذجي، بعد ذلك لن ترغب في إطلاق النار على أي شخص - فالمهام تكاد تكون هدية. لماذا لا تجعل القالب أكثر بساطة؟ دعونا نختصر الإدخال:

حل: حسب الشرط: ، هو احتمال إصابة الرماة المناظرين. ثم احتمالات فقدانهم هي:

أ) وفقًا لنظريتي جمع احتمالات الأحداث غير المتوافقة وضرب احتمالات الأحداث المستقلة:
هو احتمال إصابة مطلق النار واحد فقط بالهدف.

ب) وفقًا لنظرية ضرب احتمالات الأحداث المستقلة:
هو احتمال أن يخطئ كلا الرماة.

إذن: هو احتمال إصابة واحد على الأقل من الرماة بالهدف.

إجابة:

في الممارسة العملية، يمكنك استخدام أي خيار التصميم. بالطبع، في كثير من الأحيان يذهبون إلى الطريق القصير، ولكن لا ينبغي لأحد أن ينسى الطريقة الأولى - على الرغم من أنها أطول، إلا أنها ذات معنى أكبر - فهي أكثر وضوحًا فيها، ماذا ولماذا ولماذايضيف ويتضاعف. في بعض الحالات، يكون النمط المختلط مناسبًا الحروف الكبيرةمن الملائم الإشارة إلى بعض الأحداث فقط.

مهام مماثلة ل قرار مستقل:

المهمة 6

تم تركيب جهازي استشعار يعملان بشكل مستقل لإنذار الحريق. احتمالات عمل المستشعر أثناء الحريق هي 0.5 و 0.7 للمستشعر الأول والثاني على التوالي. أوجد احتمال حدوث حريق:

أ) سوف يفشل كلا المستشعرين؛
ب) سيعمل كلا المستشعرين.
ج) باستخدام نظرية الجمع لاحتمالات الأحداث التي تشكل مجموعة كاملة، أوجد احتمال تشغيل مستشعر واحد فقط أثناء الحريق. التحقق من النتيجة عن طريق الحساب المباشر لهذا الاحتمال (باستخدام نظريات الجمع والضرب).

هنا يتم توضيح استقلالية تشغيل الأجهزة بشكل مباشر في الحالة، وهو بالمناسبة توضيح مهم. تم تصميم نموذج الحل بأسلوب أكاديمي.

ماذا لو تم إعطاء نفس الاحتمالات في مسألة مماثلة، على سبيل المثال، 0.9 و0.9؟ عليك أن تقرر نفس الشيء بالضبط! (والتي، في الواقع، تم توضيحها بالفعل في المثال بعملتين معدنيتين)

المهمة 7

احتمال إصابة الهدف من قبل مطلق النار الأول برصاصة واحدة هو 0.8. احتمال عدم إصابة الهدف بعد إطلاق الرماة الأول والثاني طلقة واحدة هو 0.08. ما احتمال إصابة الهدف من الرامي الثاني بطلقة واحدة؟

وهذا لغز صغير، تم تأطيره بطريقة قصيرة. يمكن إعادة صياغة الشرط بشكل أكثر إيجازًا، لكنني لن أقوم بإعادة صياغة الأصل - في الممارسة العملية، لا بد لي من الخوض في المزيد من الافتراءات المزخرفة.

قابله - فهو الذي قطع لك قدرًا لا يحصى من التفاصيل =):

المهمة 8

عامل يشغل ثلاث آلات. احتمال أن تتطلب الآلة الأولى تعديلًا أثناء التحول هو 0.3 والثانية - 0.75 والثالثة - 0.4. أوجد احتمال أنه أثناء التحول:

أ) سوف تتطلب جميع الآلات التعديل؛
ب) سوف تحتاج آلة واحدة فقط إلى التعديل؛
ج) سيتطلب جهاز واحد على الأقل التعديل.

حل: لأن الشرط لا يقول شيئا عن واحد العملية التكنولوجية، فيجب اعتبار تشغيل كل آلة مستقلاً عن تشغيل الأجهزة الأخرى.

قياسًا على المهمة رقم 5، يمكنك هنا إدخال الأحداث في الاعتبار والتي تتمثل في حقيقة أن الآلات المقابلة ستتطلب تعديلًا أثناء التحول، وكتابة الاحتمالات، والعثور على احتمالات الأحداث المعاكسة، وما إلى ذلك. ولكن مع ثلاثة أشياء، لا أريد حقًا أن أرسم المهمة بهذه الطريقة - فسوف تصبح طويلة ومملة. لذلك، من المربح بشكل ملحوظ استخدام النمط "السريع" هنا:

حسب الحالة: - احتمال أن تتطلب الآلات المقابلة ضبطًا أثناء الوردية. ثم احتمالات أنها لن تتطلب الاهتمام هي:

وجد أحد القراء خطأً مطبعيًا رائعًا هنا، ولن أصححه حتى =)

أ) وفقًا لنظرية ضرب احتمالات الأحداث المستقلة:
هو احتمال أن تتطلب جميع الآلات الثلاثة التعديل أثناء التحول.

ب) يتكون الحدث "أثناء الوردية، ستتطلب آلة واحدة فقط التعديل" من ثلاث نتائج غير متوافقة:

1) الآلة الأولى سوف يتطلبانتباه والآلة الثانية لن يتطلب والآلة الثالثة لن يتطلب
أو:
2) الآلة الأولى لن يتطلبانتباه والآلة الثانية سوف يتطلب والآلة الثالثة لن يتطلب
أو:
3) الجهاز الأول لن يتطلبانتباه والآلة الثانية لن يتطلب والآلة الثالثة سوف يتطلب.

وفقًا لنظريتي جمع احتمالات عدم التوافق وضرب احتمالات الأحداث المستقلة:

- احتمال أن تحتاج آلة واحدة فقط إلى التعديل خلال فترة الوردية.

أعتقد الآن أنه يجب أن يكون واضحًا لك من أين جاء هذا التعبير

ج) احسب احتمال أن الآلات لن تحتاج إلى تعديل، ثم احتمال الحدث المعاكس:
- حقيقة أن جهازًا واحدًا على الأقل سيتطلب التعديل.

إجابة:

يمكن أيضًا حل العنصر "ve" من خلال المجموع، حيث يوجد احتمال أنه خلال فترة الوردية سوف تحتاج آلتان فقط إلى التعديل. يتضمن هذا الحدث بدوره 3 نتائج غير متوافقة، تم توقيعها عن طريق القياس مع العنصر "be". حاول أن تجد الاحتمال بنفسك للتحقق من المشكلة برمتها بمساعدة المساواة.

المهمة 9

أطلقت ثلاث بنادق رصاصة على الهدف. احتمال الضرب برصاصة واحدة فقط من البندقية الأولى هو 0.7 ، من الثانية - 0.6 ، من الثالثة - 0.8. أوجد احتمال أن: 1) تصيب قذيفة واحدة على الأقل الهدف؛ 2) مقذوفتان فقط ستصلان إلى الهدف؛ 3) سيتم ضرب الهدف مرتين على الأقل.

الحل والإجابة في نهاية الدرس.

ومرة أخرى حول المصادفات: في حالة تطابق قيمتين أو حتى جميع قيم الاحتمالات الأولية (على سبيل المثال، 0.7 و0.7 و0.7) حسب الشرط، فيجب اتباع نفس خوارزمية الحل تمامًا.

وفي ختام المقال سنقوم بتحليل لغز شائع آخر:

المهمة 10

يصيب مطلق النار الهدف بنفس الاحتمالية مع كل طلقة. ما هو هذا الاحتمال إذا كان احتمال إصابة واحدة على الأقل في ثلاث طلقات هو 0.973.

حل: تشير إلى - احتمالية إصابة الهدف بكل طلقة.
ومن خلال - احتمالية الخطأ مع كل تسديدة.

فلنكتب الأحداث:
- مع 3 طلقات، سيصيب مطلق النار الهدف مرة واحدة على الأقل؛
- سوف يخطئ مطلق النار 3 مرات.

ووفقا للشرط، فإن احتمال الحدث المعاكس:

ومن ناحية أخرى، وفقا لنظرية ضرب احتمالات الأحداث المستقلة:

هكذا:

- احتمالية الخطأ مع كل تسديدة.

نتيجة ل:
هو احتمال ضرب كل طلقة.

إجابة: 0,7

بسيطة وأنيقة.

في المشكلة المدروسة، يمكن طرح أسئلة إضافية حول احتمال إصابة واحدة فقط، وضربتين فقط، واحتمال ثلاث ضربات على الهدف. سيكون مخطط الحل هو نفسه تمامًا كما في المثالين السابقين:

ومع ذلك، فإن الفرق الجوهري الأساسي هو أن هناك الاختبارات المستقلة المتكررة، والتي يتم إجراؤها بالتتابع، بشكل مستقل عن بعضها البعض وبنفس احتمالية النتائج.

دع الأحداث أو فيغير متوافقة، واحتمالات هذه الأحداث معروفة. سؤال: كيف تجد احتمال وقوع أحد هذه الأحداث المنفصلة؟ تتم الإجابة على هذا السؤال من خلال نظرية الجمع.

نظرية.إن احتمال وقوع أحد الحدثين غير المتوافقين يساوي مجموع احتمالات هذين الحدثين:

ص(أ + في) = ص(أ) + ص(في) (1.6)

دليل. في الواقع، اسمحوا ن – الرقم الإجماليجميع النتائج المحتملة وغير المتوافقة (أي الأولية) متساوية. دع الحدث أحسنات م 1 النتائج والحدث في – م 2 نتائج. إذن، وبحسب التعريف الكلاسيكي فإن احتمالات هذه الأحداث هي: ص(أ) = م 1 / ن, ص(ب) = م 2 / ن .

منذ الأحداث أو فيغير متناسقة، وبالتالي لن تكون أي من النتائج مواتية لهذا الحدث أ، لا يحبذ الحدث في(انظر الرسم البياني أدناه).

ولذلك الحدث أ+فيسوف تفضل م 1 + م 2 نتائج. لذلك بالنسبة للاحتمال ص(أ+ب) نحن نحصل:

النتيجة 1. مجموع احتمالات الأحداث التي تشكل مجموعة كاملة يساوي واحدًا:

ص(أ) + ص(في) + ص(مع) + … + ص(د) = 1.

وبالفعل دع الأحداث أ,في,مع, … , دتشكيل مجموعة كاملة. ولهذا السبب، فهي غير متوافقة والوحيدة الممكنة. ولذلك الحدث أ + ب + ج + …+د، والذي يتكون من ظهور (نتيجة للاختبار) لواحد على الأقل من هذه الأحداث، موثوق به، أي. أ+ب+ج+…+د = و ص(أ+ب+ج+…+د) = 1.

بسبب عدم توافق الأحداث أ,في,مع, … , دالصيغة الصحيحة هي:

ص(أ+ب+ج+…+د) = ص(أ) + ص(في) + ص(مع) + … + ص(د) = 1.

مثال.تحتوي الجرة على 30 كرة، 10 منها حمراء و5 زرقاء و15 بيضاء. أوجد احتمال سحب كرة حمراء أو زرقاء، بشرط سحب كرة واحدة فقط من الجرة.

حل. دع الحدث أ 1ـ يتم استخراج الكرة الحمراء، والحدث أ 2- استخراج الكرة الزرقاء . هذه الأحداث غير متوافقة، و ص(أ 1) = 10 / 30 = 1 / 3; ص(أ 2) = 5/30 = 1/6. وبنظرية الجمع نحصل على:

ص(أ 1 + أ 2) = ص(أ 1) + ص(أ 2) = 1 / 3 + 1 / 6 = 1 / 2.

ملاحظة 1.نؤكد أنه وفقا لمعنى المشكلة، من الضروري أولا تحديد طبيعة الأحداث قيد النظر - ما إذا كانت غير متوافقة. إذا تم تطبيق النظرية المذكورة أعلاه على الأحداث المشتركة، فإن النتيجة ستكون غير صحيحة.

نظريات الجمع والضرب للاحتمالات.

نظرية جمع احتمالات حدثين. احتمال مجموع حدثين يساوي مجموع احتمالات هذين الحدثين دون احتمال حدوثهما معًا:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

نظرية جمع احتمالات حدثين غير متوافقين. احتمال مجموع حدثين غير متوافقين يساوي مجموع احتمالاتهما:

ف(أ+ب)=ف(أ)+ف(ب).

مثال 2.16.يطلق مطلق النار النار على هدف مقسم إلى 3 مناطق. احتمال ضرب المنطقة الأولى هو 0.45 والثانية - 0.35. أوجد احتمال أن يصيب مطلق النار المنطقة الأولى أو الثانية بطلقة واحدة.

حل.

الأحداث أ- "مطلق النار أصاب المنطقة الأولى" و في- "ضرب مطلق النار المنطقة الثانية" - غير متسقة (الضرب في منطقة واحدة يلغي الدخول إلى منطقة أخرى)، وبالتالي فإن نظرية الإضافة قابلة للتطبيق.

الاحتمال المطلوب يساوي:

ف(أ+ب)=ف(أ)+ف(ب)= 0,45+ 0,35 = 0,8.

نظرية الجمع صأحداث غير متوافقة. احتمال مجموع n من الأحداث غير المتوافقة يساوي مجموع احتمالات هذه الأحداث:

ف (أ 1 + أ 2 + ... + أ ص) \u003d ف (أ 1) + ف (أ 2) + ... + ف (أ ص).

مجموع احتمالات الأحداث المعاكسة يساوي واحدًا:

احتمالية الحدث فيعلى افتراض وقوع حدث ما أ، يسمى الاحتمال المشروط للحدث فيويتم وضع علامة مثل هذا: ف (ب / أ)،أو ر أ (ب).

. احتمال حاصل ضرب حدثين يساوي حاصل ضرب احتمال أحدهما في الاحتمال الشرطي للآخر، بشرط وقوع الحدث الأول:

P(AB)=P(A)P A(B).

حدث فيلا يعتمد على الحدث أ، لو

ف أ (ب) \u003d ف (ب)،

أولئك. احتمال الحدث فيلا يعتمد على ما إذا كان الحدث قد وقع أ.

نظرية ضرب احتمالات حدثين مستقلين.احتمال حاصل ضرب حدثين مستقلين يساوي حاصل ضرب احتمالاتهما:

P(AB)=P(A)P(B).

مثال 2.17.احتمالات إصابة الهدف عند إطلاق المدفعين الأول والثاني متساوية على التوالي: ص 1 = 0,7; ص 2= 0.8. أوجد احتمال الإصابة بتسديدة واحدة (من كلا السلاحين) بواحدة على الأقل من البنادق.

حل.

إن احتمال إصابة الهدف بكل من المدفعين لا يعتمد على نتيجة إطلاق النار من المدفع الآخر، هكذا الأحداث أ- "ضربة البندقية الأولى" و في- "الضربة الثانية" مستقلة.

احتمالية الحدث أ.ب- "أصاب كلا السلاحين":

الاحتمال المرغوب

ف (أ + ب) \u003d ف (أ) + ف (ب) - ف (AB)= 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

نظرية الضرب الاحتمالية صالأحداث.إن احتمالية حاصل ضرب n من الأحداث يساوي حاصل ضرب إحداها في الاحتمالات الشرطية لجميع الأحداث الأخرى، محسوبة على افتراض أن جميع الأحداث السابقة قد حدثت:

مثال 2.18. تحتوي الجرة على 5 كرات بيضاء و4 كرات سوداء و3 كرات زرقاء. يتكون كل اختبار من حقيقة أنه يتم سحب كرة واحدة بشكل عشوائي دون إعادتها مرة أخرى. أوجد احتمال ظهور كرة بيضاء في التجربة الأولى (الحدث أ)، وكرة سوداء في التجربة الثانية (الحدث ب)، وكرة زرقاء في التجربة الثالثة (الحدث ج).

حل.

احتمال ظهور كرة بيضاء في التجربة الأولى:

احتمال ظهور كرة سوداء في التجربة الثانية، محسوب على افتراض ظهور كرة بيضاء في التجربة الأولى، أي الاحتمال الشرطي:

احتمال ظهور كرة زرقاء في التجربة الثالثة، محسوب على افتراض ظهور كرة بيضاء في التجربة الأولى وأخرى سوداء في التجربة الثانية، أي الاحتمال الشرطي:

الاحتمال المطلوب يساوي:

نظرية الضرب الاحتمالية صأحداث مستقلة.احتمال حاصل ضرب n من الأحداث المستقلة يساوي حاصل ضرب احتمالاتها:

ف (أ 1 أ 2 ... أ ع) \u003d ف (أ 1) ف (أ 2) ... ف (أ ع).

احتمال وقوع حدث واحد على الأقل. احتمال وقوع حدث واحد على الأقل A 1 , A 2 , ..., A p مستقل في المجموع يساوي الفرق بين الوحدة وحاصل ضرب احتمالات الأحداث المعاكسة:

.

مثال 2.19.احتمالات إصابة الهدف عند إطلاق النار من ثلاث بنادق هي كما يلي: ص 1 = 0,8; ص 2 = 0,7;ص 3= 0.9. أوجد احتمالية حدوث نتيجة واحدة على الأقل (event أ) مع طلقة واحدة من جميع الأسلحة.

حل.

إن احتمال إصابة الهدف بكل سلاح من الأسلحة لا يعتمد على نتائج إطلاق النار من أسلحة أخرى، لذا فإن الأحداث قيد النظر أ 1(أصيب بالرصاصة الأولى) أ2(أصيبت بالمسدس الثاني) و أ 3(ضربة البندقية الثالثة) مستقلة في المجموع.

احتمالات الأحداث المعاكسة للأحداث أ 1, أ2و أ 3(أي الاحتمالات الضائعة)، على التوالي، تساوي:

, , .

الاحتمال المطلوب يساوي:

إذا كانت الأحداث مستقلة أ1، أ2، ...، أ صلديهم نفس الاحتمال ر، ثم يتم التعبير عن احتمال حدوث واحد على الأقل من هذه الأحداث بالصيغة:

Р(А)= 1 – ف ن ,

أين س=1-ص

2.7. صيغة الاحتمال الإجمالي. صيغة بايز.

دع الحدث أيمكن أن يحدث في حالة حدوث أحد الأحداث غير المتوافقة ن 1، ن 2، ...، ن ص، وتشكيل مجموعة كاملة من الأحداث. نظرًا لأنه من غير المعروف مسبقًا أي من هذه الأحداث سيحدث، يتم استدعاؤها فرضيات.

احتمالية وقوع حدث ما أمحسوبة بواسطة صيغة الاحتمال الإجمالي:

P (A) \u003d P (N 1) P (A / N 1) + P (N 2) P (A / N 2) + ... + P (N p) P (A / N p).

لنفترض أنه تم إجراء تجربة، ونتيجة لذلك حدث أحدث. احتمالات الحدث الشرطي ن 1، ن 2، ...، ن صفيما يتعلق بالحدث أعازم صيغ بايز:

,

مثال 2.20. في مجموعة مكونة من 20 طالبًا حضروا الامتحان، 6 منهم ممتازون، و8 جيدون، و4 مرضيون، و2 ضعيفو الاستعداد. هناك 30 سؤالا في أوراق الامتحان. يمكن للطالب المجهز جيدًا الإجابة على جميع الأسئلة الثلاثين، والطالب المجهز جيدًا يمكنه الإجابة على 24 سؤالًا، والطالب المُرضي يمكنه الإجابة على 15، والطالب الضعيف يمكنه الإجابة على 7.

أجاب طالب تم الاتصال به عشوائيًا على ثلاثة طلاب بشكل عشوائي. الأسئلة المطروحة. أوجد احتمال أن يكون هذا الطالب مستعدًا: أ) ممتاز؛ ب) سيئة.

حل.

الفرضيات - "الطالب مستعد جيدًا"؛

- "الطالب مستعد جيدًا" ؛

- "تم إعداد الطالب بشكل مرض"؛

- "الطالب ضعيف الإعداد."

قبل التجربة:

; ; ; ;

7. ما يسمى مجموعة كاملة من الأحداث؟

8. ما هي الأحداث التي يطلق عليها احتمالية متساوية؟ أعط أمثلة على مثل هذه الأحداث.

9. ما يسمى النتيجة الأولية؟

10. ما هي النتائج التي أسميها مواتية لهذا الحدث؟

11. ما هي العمليات التي يمكن إجراؤها على الأحداث؟ أعطهم تعريفات. كيف يتم تعيينهم؟ أعط أمثلة.

12. ما يسمى الاحتمال؟

13. ما هو احتمال وقوع حدث معين؟

14. ما هو احتمال وقوع حدث مستحيل؟

15. ما هي حدود الاحتمال؟

16. كيف يتم تحديد الاحتمال الهندسي على المستوى؟

17. كيف يتم تعريف الاحتمال في الفضاء؟

18. كيف يتم تحديد الاحتمال على خط مستقيم؟

19. ما هو احتمال مجموع حدثين؟

20. ما هو احتمال مجموع حدثين غير متوافقين؟

21. ما هو احتمال مجموع الأحداث غير المتوافقة؟

22. ما هو الاحتمال المشروط؟ اعط مثالا.

23. صياغة نظرية ضرب الاحتمالات.

24. كيف تجد احتمالية وقوع حدث واحد على الأقل؟

25. ما هي الأحداث التي تسمى الفرضيات؟

26. متى يتم تطبيق صيغة الاحتمالية الإجمالية وصيغ بايز؟

المحاضرة 7. نظرية الاحتمالية

عواقب نظريات الجمع والضرب

نظرية الجمع لاحتمالات الحدث المشترك

نظرية الجمع ل غير متوافقالأحداث. هنا سوف نقدم نظرية الجمع ل مشتركالأحداث.

يتم استدعاء حدثين مشتركإذا كان حضور أحدهما لا يمنع ظهور الآخر في نفس المحاكمة.

مثال 1 . أ- ظهور أربع نقاط عند رمي النرد؛ ب - ظهور عدد زوجي من النقاط. الحدثان A وB مشتركان.

ليكن الحدثان A وB مشتركين، مع ذكر احتمالات هذين الحدثين واحتمال وقوعهما معًا. كيف يمكن العثور على احتمال وقوع حدث A + B، والذي يتكون من ظهور حدث واحد على الأقل من الحدثين A و B؟ الإجابة على هذا السؤال تأتي من نظرية الجمع لاحتمالات الأحداث المشتركة.

نظرية. احتمال وقوع حدث واحد على الأقل من الحدثين المشتركين يساوي مجموع احتمالات هذين الحدثين دون احتمال وقوعهما المشترك: P(A + B) = P(A) + P(B) - P (أ ب).

دليل . بما أن الحدثين A وB، حسب الشرط، مشتركان، فإن الحدث A + B سيحدث في حالة وقوع أحد الأحداث الثلاثة غير المتوافقة التالية: . وفقا لنظرية جمع احتمالات الأحداث غير المتوافقة، لدينا:

ف(أ + ب) = ف(أ) + ف(ب) + ف(AB).(*)

سيحدث الحدث A في حالة وقوع أحد الحدثين غير المتوافقين: أ
أو للمركبات. وباستخدام نظرية الجمع لاحتمالات الأحداث غير المتوافقة، لدينا

ف (أ) \u003d ف (أ) + ف (AB).

ف (أ) \u003d ف (أ) - ف (أب).(**)

وبالمثل، لدينا

ف(ب) = ف(ĀB) + ف(AB).

P(ĀB) = P(B) - P(AB).(***)

بالتعويض (**) و (***) في (*)، نحصل أخيرًا على

ف(أ + ب) = ف(أ) + ف(ب) - ف(AB).(****)

Q.E.D.

ملاحظة 1. عند استخدام الصيغة الناتجة، يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن الحدثين A وB يمكن أن يكونا كلاهما مستقل، و متكل.

للمناسبات المستقلة

ف (أ + ب) \u003d ف (أ) + ف (ب) - ف (أ) * ف (ب)؛

للأحداث التابعة

ف (أ + ب) \u003d ف (أ) + ف (ب) - ف (أ) * ف أ (ب).

ملاحظة 2. إذا كان الحدثان A و B غير متوافق، فإن اتحادهما حدث مستحيل، وبالتالي P(AB) = 0.

تأخذ الصيغة (****) للأحداث غير المتوافقة الشكل

ف(أ + ب) = ف(أ) + ف(ب).

لقد حصلنا مرة أخرى على نظرية الجمع للأحداث غير المتوافقة. وبالتالي، فإن الصيغة (****) صالحة لكل من الأحداث المشتركة وغير المشتركة.

مثال 2 احتمالات إصابة الهدف عند إطلاق المدفعين الأول والثاني متساوية على التوالي: p 1 = 0.7؛ ص2 = 0.8. أوجد احتمال الضربة بضربة واحدة
(من كلا السلاحين) بواحدة على الأقل من البنادق.

حل . إن احتمال إصابة الهدف بكل من المسدسين لا يعتمد على نتيجة إطلاق النار من المسدس الآخر، وبالتالي فإن الحدثين A (الإصابة بالمدفع الأول) وB (الإصابة بالمدفع الثاني) مستقلان.

احتمالية الحدث AB (إصابة كلا السلاحين)

P (AB) \u003d P (A) * P (B) \u003d 0.7 * 0.8 \u003d 0.56.

الاحتمال المطلوب P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB) \u003d 0.7 + 0.8 - 0.56 \u003d 0.94.

ملاحظة 3. بما أن الحدثين A وB في هذا المثال مستقلان، فقد كان من الممكن استخدام الصيغة Р = 1 - q 1 q 2

في الواقع، فإن احتمالات الأحداث المعاكسة للحدثين A و B، أي. الاحتمالات المفقودة هي:

ف 1 \u003d 1 - ص 1 \u003d 1 - 0.7 \u003d 0.3؛

ف 2 \u003d 1 - ص 2 \u003d 1 - 0.8 \u003d 0.2؛

الاحتمال المرغوب أن يصيب سلاح واحد على الأقل في طلقة واحدة يساوي

ف \u003d 1 - ف 1 ف 2 \u003d 1 - 0.3 * 0.2 \u003d 1 - 0.06 \u003d 0.94.

وكما هو متوقع، يتم الحصول على نفس النتيجة.

تبدأ دراسة نظرية الاحتمالات بحل مسائل جمع وضرب الاحتمالات. ومن الجدير بالذكر على الفور أن الطالب، عند إتقان هذا المجال من المعرفة، قد يواجه مشكلة: إذا كان من الممكن تصور العمليات الفيزيائية أو الكيميائية وفهمها تجريبيا، فإن مستوى التجريد الرياضي مرتفع للغاية، والفهم هنا لا يأتي إلا مع خبرة.

ومع ذلك، فإن اللعبة تستحق كل هذا العناء، لأن الصيغ - سواء تلك التي تم تناولها في هذه المقالة أو الأكثر تعقيدًا - تُستخدم في كل مكان اليوم وقد تكون مفيدة في العمل.

أصل

ومن الغريب أن الدافع لتطوير هذا القسم من الرياضيات كان ... القمار. في الواقع، يعتبر النرد، ورمي العملة، والبوكر، والروليت من الأمثلة النموذجية التي تستخدم الجمع والضرب للاحتمالات. في مثال المهام في أي كتاب مدرسي، يمكن رؤية ذلك بوضوح. كان الناس مهتمين بمعرفة كيفية زيادة فرصهم في الفوز، ويجب أن أقول إن البعض نجح في ذلك.

على سبيل المثال، بالفعل في القرن الحادي والعشرين، استخدم شخص واحد، لن نكشف عن اسمه، هذه المعرفة المتراكمة على مر القرون "لتنظيف" الكازينو حرفيًا، وربح عدة عشرات الملايين من الدولارات في لعبة الروليت.

ومع ذلك، على الرغم من الاهتمام المتزايد بالموضوع، إلا بحلول القرن العشرين، تم تطوير قاعدة نظرية جعلت "النظرية" كاملة، واليوم، في أي علم تقريبًا، يمكنك العثور على حسابات باستخدام الأساليب الاحتمالية.

القابلية للتطبيق

نقطة مهمة عند استخدام صيغ جمع وضرب الاحتمالات، الاحتمال الشرطي هو مدى استيفاء نظرية الحد المركزي. خلاف ذلك، على الرغم من أنه قد لا يدركه الطالب، فإن جميع الحسابات، بغض النظر عن مدى معقوليتها، ستكون غير صحيحة.

نعم، يميل المتعلم ذو الحافز العالي إلى استخدام المعرفة الجديدة في كل فرصة. ولكن في هذه الحالة، ينبغي للمرء أن يتباطأ قليلا ويحدد بدقة نطاق التطبيق.

تتعامل نظرية الاحتمالية مع الأحداث العشوائية، والتي هي من الناحية التجريبية نتائج التجارب: يمكننا رمي حجر نرد ذي ستة جوانب، وسحب بطاقة من مجموعة أوراق اللعب، والتنبؤ بعدد الأجزاء المعيبة في الدفعة. ومع ذلك، في بعض الأسئلة، من المستحيل بشكل قاطع استخدام الصيغ من هذا القسم من الرياضيات. سنناقش ميزات النظر في احتمالات الحدث، ونظريات الجمع والضرب للأحداث في نهاية المقال، ولكن الآن دعونا ننتقل إلى الأمثلة.

مفاهيم أساسية

الحدث العشوائي هو بعض العمليات أو النتائج التي قد تظهر أو لا تظهر كنتيجة للتجربة. على سبيل المثال، نرمي شطيرة - يمكن أن تسقط الزبدة لأعلى أو الزبدة للأسفل. وستكون أي من النتيجتين عشوائية، ولا نعرف مقدما أي منهما سيحدث.

عند دراسة الجمع والضرب للاحتمالات، نحتاج إلى مفهومين آخرين.

الأحداث المشتركة هي تلك الأحداث التي لا يمنع وقوع إحداها وقوع الأخرى. لنفترض أن شخصين يطلقان النار على هدف في نفس الوقت. إذا أنتج أحدهم واحدة ناجحة، فلن يؤثر ذلك على قدرة الثاني على إصابة هدف الهدف أو إخفاقه.

ستكون الأحداث غير المتناسقة هي الأحداث التي يكون حدوثها مستحيلًا في نفس الوقت. على سبيل المثال، من خلال سحب كرة واحدة فقط من الصندوق، لا يمكنك الحصول على اللونين الأزرق والأحمر في وقت واحد.

تعيين

يُشار إلى مفهوم الاحتمالية بالحرف اللاتيني الكبير P. وبعد ذلك، توجد بين قوسين حجج تشير إلى بعض الأحداث.

في صيغ نظرية الجمع، الاحتمال الشرطي، نظرية الضرب، سترى تعبيرات بين قوسين، على سبيل المثال: A+B، AB أو A|B. سوف يحسبون طرق مختلفة، سوف ننتقل إليهم الآن.

إضافة

خذ بعين الاعتبار الحالات التي يتم فيها استخدام صيغ جمع وضرب الاحتمالات.

بالنسبة للأحداث غير المتوافقة، والأكثر صلة صيغة بسيطةبالإضافة إلى ذلك: احتمال أي من النتائج العشوائية سيكون مساوياً لمجموع احتمالات كل من هذه النتائج.

لنفترض أن هناك صندوقًا يحتوي على كرتين زرقاء و3 حمراء و5 كرات صفراء. يوجد إجمالي 10 عناصر في الصندوق. ما نسبة صحة عبارة أننا سنرسم كرة زرقاء أو حمراء؟ فيكون يساوي 2/10 + 3/10، أي خمسين بالمائة.

في حالة الأحداث غير المتوافقة، تصبح الصيغة أكثر تعقيدا، حيث يتم إضافة مصطلح إضافي. وسنعود إليه في فقرة واحدة، بعد النظر في صيغة أخرى.

عمليه الضرب

يتم استخدام جمع وضرب احتمالات الأحداث المستقلة في حالات مختلفة. إذا كنا، وفقًا لشروط التجربة، راضين عن أي من النتيجتين المحتملتين، فسنحسب المجموع؛ إذا أردنا الحصول على نتيجتين مؤكدتين واحدة تلو الأخرى، فسنلجأ إلى استخدام صيغة مختلفة.

وبالعودة إلى المثال من القسم السابق، نريد رسم الكرة الزرقاء أولاً ثم الكرة الحمراء. الرقم الأول الذي نعرفه هو 2/10. ماذا حدث بعد ذلك؟ هناك 9 كرات متبقية، ولا يزال هناك نفس العدد من الكرات الحمراء - ثلاث قطع. وفقا للحسابات، تحصل على 3/9 أو 1/3. ولكن ماذا تفعل برقمين الآن؟ الإجابة الصحيحة هي أن تضرب لتحصل على 2/30.

الأحداث المشتركة

الآن يمكننا أن ننتقل مرة أخرى إلى صيغة مجموع الأحداث المشتركة. لماذا نحيد عن الموضوع؟ لمعرفة كيفية مضاعفة الاحتمالات. الآن نحن بحاجة إلى هذه المعرفة.

نحن نعلم بالفعل ما سيكون عليه الحدان الأولان (كما هو الحال في صيغة الجمع التي تناولناها سابقًا)، لكننا الآن بحاجة إلى طرح حاصل ضرب الاحتمالات، والذي تعلمنا للتو كيفية حسابه. للتوضيح، نكتب الصيغة: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB). اتضح أنه في تعبير واحد يتم استخدام جمع وضرب الاحتمالات.

لنفترض أنه يتعين علينا حل أي من المشكلتين من أجل الحصول على الائتمان. يمكننا حل الأول باحتمال 0.3 والثاني - 0.6. الحل: 0.3 + 0.6 - 0.18 = 0.72. لاحظ أن مجرد جمع الأرقام هنا لن يكون كافيًا.

احتمال مشروط

وأخيرا، هناك مفهوم الاحتمال الشرطي، الذي يشار إلى حججه بين قوسين ويفصل بينها شريط عمودي. يقرأ الإدخال P(A|B) كما يلي: "احتمال الحدث A المحدد للحدث B".

دعونا نلقي نظرة على مثال: أعطاك أحد الأصدقاء جهازًا ما، فليكن هاتفًا. يمكن أن يكون مكسورًا (20٪) أو جيدًا (80٪). أنت قادر على إصلاح أي جهاز يقع بين يديك باحتمال 0.4 أو لا تستطيع القيام بذلك (0.6). وأخيرا، إذا كان الجهاز في حالة صالحة للعمل، يمكنك الاتصال الشخص المناسبمع احتمال 0.7.

من السهل أن نرى كيف يعمل الاحتمال الشرطي في هذه الحالة: لا يمكنك الوصول إلى الشخص إذا كان الهاتف مكسورًا، وإذا كان جيدًا، فلن تحتاج إلى إصلاحه. وبالتالي، من أجل الحصول على أي نتائج في "المستوى الثاني"، تحتاج إلى معرفة الحدث الذي تم تنفيذه في الأول.

العمليات الحسابية

النظر في أمثلة لحل المسائل المتعلقة بجمع وضرب الاحتمالات، باستخدام البيانات من الفقرة السابقة.

أولاً، دعنا نجد احتمال قيامك بإصلاح الجهاز المعطى لك. للقيام بذلك، أولا، يجب أن يكون معيباً، وثانياً، يجب عليك التعامل مع الإصلاح. هذه مسألة ضرب نموذجية: نحصل على 0.2 * 0.4 = 0.08.

ما هو احتمال أن تصل على الفور إلى الشخص المناسب؟ أسهل من البسيط: 0.8 * 0.7 \u003d 0.56. في هذه الحالة، وجدت أن الهاتف يعمل وقمت بإجراء مكالمة بنجاح.

أخيرًا، ضع في اعتبارك هذا السيناريو: لقد تلقيت هاتفًا مكسورًا، وقمت بإصلاحه، ثم اتصلت بالرقم، وقام الشخص الموجود على الطرف الآخر بالتقاط الهاتف. هنا مطلوب بالفعل مضاعفة ثلاثة مكونات: 0.2 * 0.4 * 0.7 \u003d 0.056.

ولكن ماذا لو كان لديك هاتفان لا يعملان في وقت واحد؟ ما مدى احتمالية إصلاح واحد منهم على الأقل؟ على جمع وضرب الاحتمالات، حيث يتم استخدام الأحداث المشتركة. الحل: 0.4 + 0.4 - 0.4 * 0.4 = 0.8 - 0.16 = 0.64. وبالتالي، إذا وقع جهازان مكسوران في يديك، فستتمكن من إصلاحهما في 64% من الحالات.

الاستخدام المدروس

كما ذكرنا في بداية المقال، فإن استخدام نظرية الاحتمالات يجب أن يكون متعمدًا وواعيًا.

كلما كانت سلسلة التجارب أكبر، كلما اقتربت القيمة المتوقعة نظريًا من القيمة التي تم الحصول عليها عمليًا. على سبيل المثال، نحن نرمي عملة معدنية. من الناحية النظرية، مع العلم بوجود صيغ لجمع وضرب الاحتمالات، يمكننا التنبؤ بعدد المرات التي ستسقط فيها الصورة والذيول إذا أجرينا التجربة 10 مرات. لقد أجرينا تجربة، وبالصدفة، كانت نسبة الجوانب التي سقطت من 3 إلى 7. ولكن إذا أجريت سلسلة من 100 أو 1000 محاولة أو أكثر، يتبين أن الرسم البياني للتوزيع يقترب أكثر فأكثر من النظرية الأولى: من 44 إلى 56، ومن 482 إلى 518، وهكذا.

تخيل الآن أن هذه التجربة لم يتم تنفيذها باستخدام عملة معدنية، ولكن بإنتاج بعض العملات الجديدة المواد الكيميائية، وهو ما لا نعرف احتماله. سنجري 10 تجارب، وبدون الحصول على نتيجة ناجحة، يمكننا التعميم: "لا يمكن الحصول على المادة". لكن من يدري لو قمنا بالمحاولة الحادية عشرة هل كنا سنصل إلى الهدف أم لا؟

وبالتالي، إذا كنت ذاهبًا إلى المجهول، إلى منطقة غير مستكشفة، فقد لا تكون نظرية الاحتمال قابلة للتطبيق. قد تنجح كل محاولة لاحقة في هذه الحالة، وستكون التعميمات مثل "X غير موجود" أو "X مستحيل" سابقة لأوانها.

كلمة أخيرة

لذلك، تناولنا نوعين من الجمع، الضرب والاحتمالات الشرطية. مع مزيد من الدراسة لهذا المجال، من الضروري تعلم كيفية التمييز بين المواقف عند استخدام كل صيغة محددة. بالإضافة إلى ذلك، عليك أن تفهم ما إذا كانت الأساليب الاحتمالية قابلة للتطبيق بشكل عام في حل مشكلتك.

إذا تدربت، فبعد فترة ستبدأ في تنفيذ جميع العمليات المطلوبة حصريًا في عقلك. بالنسبة لأولئك الذين هم مدمنون لعب الورق، يمكن اعتبار هذه المهارة قيمة للغاية - ستزيد فرصك في الفوز بشكل كبير، فقط عن طريق حساب احتمالية سقوط بطاقة أو بدلة معينة. ومع ذلك، يمكن بسهولة تطبيق المعرفة المكتسبة في مجالات أخرى من النشاط.