دالة التوزيع لأي متغير عشوائي هي دالة. توقع متغير عشوائي مستمر

علامات الحمل بعد زرع الأجنة

دالة التوزيع للمتغير العشوائي X هي الدالة F(x)، التي تعبر عن احتمالية كل x قيمة عشوائيةسوف يأخذ X القيمة, أصغر ×

مثال 2.5. نظرا لسلسلة التوزيع لمتغير عشوائي

البحث عن وظيفة التوزيع الخاصة بها وتصويرها بيانياً. حل. حسب التعريف

F(ي ج) = 0 في X X

و(خ) = 0.4 + 0.1 = 0.5 عند 4 F(x) = 0.5 + 0.5 = 1 عند X > 5.

لذلك (انظر الشكل 2.1):


خصائص وظيفة التوزيع:

1. دالة التوزيع للمتغير العشوائي هي دالة غير سالبة بين صفر وواحد:

2. دالة التوزيع للمتغير العشوائي هي دالة غير تناقصية على كامل المحور العددي، أي. في X 2 >س

3. عند سالب ما لا نهاية، تكون دالة التوزيع تساوي صفرًا، وعند زائد ما لا نهاية تساوي واحدًا، أي.

4. احتمال ضرب متغير عشوائي Xفي الفاصل الزمنييساوي تكامل محددمن كثافة احتمالية تتراوح من أقبل ب(انظر الشكل 2.2)، أي.


أرز. 2.2

3. يمكن التعبير عن دالة التوزيع للمتغير العشوائي المستمر (انظر الشكل 2.3) من خلال كثافة الاحتمال وفقًا للصيغة:

و(خ)=جي بي(*)*. (2.10)

4. التكامل غير الصحيح في الحدود اللانهائية للكثافة الاحتمالية لمتغير عشوائي مستمر يساوي الوحدة:

الخصائص الهندسية / و 4 كثافات الاحتمالية تعني أن الرسم البياني الخاص بها هو منحنى التوزيع - لا تقع تحت المحور السيني, والمساحة الإجمالية لهذا الرقم, يحدها منحنى التوزيع والمحور السيني, يساوي واحد.

للمتغير العشوائي المستمر X القيمة المتوقعة م (س)والتباين د(س)يتم تحديدها بواسطة الصيغ:

(إذا كان التكامل متقاربًا تمامًا)؛ أو

(إذا تقاربت التكاملات المذكورة أعلاه).

جنبا إلى جنب مع الخصائص العددية المذكورة أعلاه، يتم استخدام مفهوم الكميات والنقاط المئوية لوصف متغير عشوائي.

المستوى الكمي ف(أو q-quantile) هي مثل هذه القيمةس سمتغير عشوائي, حيث تأخذ وظيفة التوزيع القيمة, يساوي ف،أي.

  • 100النقطة q%-ou هي الكمية X~ q.
  • ؟ مثال 2.8.

بناءً على البيانات الواردة في المثال 2.6، أوجد الكمية xqj ونقطة المتغير العشوائي 30% X.

حل. حسب التعريف (2.16) F(xo t3)= 0.3، أي.

~ص~ = 0.3، من أين يأتي الكم؟ × 0 3 = 0.6. 30% نقطة متغيرة عشوائية Xأو الكمية X)_o,z = xoj"تم العثور عليه بالمثل من المعادلة ^ = 0.7. حيث *،= 1.4. ؟

ضمن الخصائص العدديةتم عزل المتغير العشوائي أوليالخامس * و وسطص* لحظات من أجل ك، يتم تحديدها للمتغيرات العشوائية المنفصلة والمستمرة بواسطة الصيغ:


للعثور على دوال توزيع المتغيرات العشوائية ومتغيراتها، من الضروري دراسة جميع ميزات هذا المجال من المعرفة. هناك العديد أساليب مختلفةللعثور على القيم المعنية، بما في ذلك التغيير المتغير وتوليد عزم الدوران. التوزيع هو مفهوم يعتمد على عناصر مثل التشتت والاختلافات. ومع ذلك، فهي تحدد فقط مدى نطاق التشتت.

إن الوظائف الأكثر أهمية للمتغيرات العشوائية هي تلك المرتبطة والمستقلة والموزعة بشكل مماثل. على سبيل المثال، إذا كان X1 هو وزن فرد تم اختياره عشوائيًا من مجتمع الذكور، وX2 هو وزن شخص آخر، ...، وXn هو وزن فرد آخر من مجتمع الذكور، فإننا نحتاج إلى معرفة كيفية ذلك وظيفة عشوائيةيتم توزيع X. في هذه الحالة، تنطبق نظرية كلاسيكية تسمى نظرية الحد المركزي. إنها تسمح لنا بإظهار أن الدالة بالنسبة إلى n الكبيرة تتبع التوزيعات القياسية.

وظائف متغير عشوائي واحد

تهدف نظرية الحد المركزي إلى تقريب القيم المنفصلة ذات الاهتمام، مثل ذات الحدين وبواسون. تعتبر دوال التوزيع للمتغيرات العشوائية في المقام الأول على قيم بسيطة لمتغير واحد. على سبيل المثال، إذا كان X متغيرًا عشوائيًا مستمرًا له توزيع احتمالي خاص به. تستكشف هذه الحالة كيفية العثور على دالة الكثافة Y باستخدام طريقتين مختلفتين، وهما طريقة دالة التوزيع والتغيير في طريقة المتغير. أولاً، يتم أخذ القيم الفردية فقط بعين الاعتبار. يجب بعد ذلك تعديل أسلوب تغيير المتغير للعثور على احتماله. وأخيرًا، عليك أن تتعلم كيف يمكن للتوزيع التراكمي أن يساعد في وضع النموذج أرقام عشوائية، والتي تتبع أنماطًا متسلسلة معينة.

طريقة توزيع القيم المدروسة

يتم استخدام طريقة دالة التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي لإيجاد كثافته. تحسب هذه الطريقة القيمة التراكمية. ومن ثم، من خلال التفريق بينها، يمكن الحصول على كثافة الاحتمال. الآن بعد أن أصبح لدينا طريقة دالة التوزيع، يمكننا أن ننظر إلى بعض الأمثلة الأخرى. اجعل X متغيرًا عشوائيًا مستمرًا له كثافة احتمالية معينة.

ما هي دالة الكثافة الاحتمالية لـ x2؟ إذا نظرت إلى الدالة أو رسمتها بيانيًا (أعلى ويمين) y = x2، فيمكنك ملاحظة أنها تزيد X و0

في المثال الأخير، تم الحرص على فهرسة الوظائف التراكمية والكثافات الاحتمالية إما باستخدام X أو Y للإشارة إلى المتغير العشوائي الذي تنتمي إليه. على سبيل المثال، عند إيجاد دالة التوزيع التراكمي لـ Y، حصلنا على X. إذا كنت بحاجة إلى العثور على المتغير العشوائي X وكثافته، فأنت بحاجة فقط إلى التمييز بينه.

تقنية تغيير المتغيرات

اجعل X متغيرًا عشوائيًا مستمرًا محددًا بواسطة دالة التوزيع ذات القاسم المشترك f (x). في هذه الحالة، إذا قمت بوضع قيمة y في X = v(Y)، فستحصل على قيمة x، على سبيل المثال v(y). الآن نحتاج إلى الحصول على دالة التوزيع لمتغير عشوائي مستمر Y حيث تتم المساواة الأولى والثانية من تعريف Y التراكمي. ويتم تحقيق المساواة الثالثة لأن جزء الدالة الذي له u (X) ≥ y صحيح أيضًا أن X ≥ v (Y ). ويتم إجراء الأخير لتحديد الاحتمالية في متغير عشوائي مستمر X. الآن نحن بحاجة إلى أخذ مشتق FY(y)، دالة التوزيع التراكمي لـ Y، للحصول على كثافة الاحتمالية لـ Y.

تعميم لوظيفة التخفيض

اجعل X متغيرًا عشوائيًا مستمرًا مع تعريف f(x) المشترك على c1

ولمعالجة هذه المشكلة، يمكن جمع البيانات الكمية واستخدام دالة التوزيع التراكمي التجريبية. يتطلب الحصول على هذه المعلومات والقبول بها مجموعة من وسائل العينة والانحرافات المعيارية وبيانات الوسائط وما إلى ذلك.

وبالمثل، حتى النموذج الاحتمالي البسيط إلى حد ما يمكن أن يكون له عدد كبير من النتائج. على سبيل المثال، إذا قمت بقلب عملة معدنية 332 مرة. ومن ثم فإن عدد النتائج التي تم الحصول عليها من الثورات أكبر من عدد نتائج جوجل (10100) - وهو رقم، ولكن ليس أقل من 100 كوينتيليون مرة أعلى من الجسيمات الأولية في الكون المعروف. أنا لست مهتمًا بالتحليل الذي يعطي إجابة لكل نتيجة محتملة. ستكون هناك حاجة إلى مفهوم أبسط مثل عدد الرؤوس أو أطول ضربة للذيول. للتركيز على القضايا ذات الاهتمام، يتم اعتماد نتيجة محددة. التعريف في هذه الحالة هو كما يلي: المتغير العشوائي هو دالة حقيقية ذات مساحة احتمالية.

يسمى النطاق S للمتغير العشوائي أحيانًا بمساحة الحالة. وبالتالي، إذا كانت X هي القيمة المعنية، فإن N = X2، وexp ↵X، وX2 + 1، وtan2 X، وbXc، وهكذا. آخرها، وهو تقريب X إلى أقرب عدد صحيح، يسمى دالة الأرضية.

وظائف التوزيع

بمجرد تحديد دالة التوزيع محل الاهتمام للمتغير العشوائي x، يصبح السؤال عادة: “ما هي احتمالات وقوع X ضمن مجموعة فرعية من قيم B؟” على سبيل المثال، B = (أرقام فردية)، B = (أكبر من 1)، أو B = (بين 2 و 7) للإشارة إلى تلك النتائج التي تحتوي على X، قيمة المتغير العشوائي، في المجموعة الفرعية A. لذلك في ما سبق على سبيل المثال، يمكنك وصف الأحداث على النحو التالي.

(X عدد فردي)، (X أكبر من 1) = (X> 1)، (X بين 2 و 7) = (2)

المتغيرات العشوائية ووظائف التوزيع

وبالتالي، يمكننا حساب احتمال أن تأخذ دالة التوزيع للمتغير العشوائي x قيمًا في الفاصل الزمني بالطرح. عليك أن تفكر في تضمين أو استبعاد نقاط النهاية.

سوف نسمي المتغير العشوائي منفصلاً إذا كان له مساحة حالة لا نهائية محدودة أو قابلة للعد. وبالتالي، X هو عدد الصور على ثلاث رميات مستقلة لعملة متحيزة ترتفع مع الاحتمال p. نحتاج إلى إيجاد دالة التوزيع التراكمي للمتغير العشوائي المنفصل FX لـ X. دع X هو عدد القمم في مجموعة من ثلاث بطاقات. ثم Y = X3 عبر FX. يبدأ FX عند 0، وينتهي عند 1، ولا يتناقص مع زيادة قيم x. تكون دالة توزيع FX التراكمية للمتغير العشوائي المنفصل X ثابتة باستثناء القفزات. عند القفز، يكون FX مستمرًا. يمكنك إثبات العبارة المتعلقة بالاستمرارية الصحيحة لدالة التوزيع من خاصية الاحتمال باستخدام التعريف. يبدو الأمر كالتالي: المتغير العشوائي الثابت له FX تراكمي، وهو قابل للاشتقاق.

ولإظهار كيف يمكن أن يحدث ذلك، يمكن إعطاء مثال: هدف بوحدة نصف قطر. محتمل. يتم توزيع السهام بالتساوي على المنطقة المحددة. بالنسبة للبعض 0> 0، فإن دوال التوزيع للمتغيرات العشوائية المستمرة تزداد بسلاسة. لدى FX خصائص دالة التوزيع.

رجل ينتظر في محطة للحافلات حتى وصولها. بعد أن قرر بنفسه أنه سيرفض عندما يصل الانتظار إلى 20 دقيقة. تحتاج هنا إلى العثور على دالة التوزيع التراكمي لـ T. الوقت الذي سيظل فيه الشخص في محطة الحافلات أو لن يغادرها. على الرغم من تحديد دالة التوزيع التراكمي لكل متغير عشوائي. ومع ذلك، سيتم استخدام خصائص أخرى في كثير من الأحيان: الكتلة لمتغير منفصل ودالة كثافة التوزيع لمتغير عشوائي. عادةً ما يتم إخراج القيمة باستخدام إحدى هاتين القيمتين.

وظائف الكتلة

يتم أخذ هذه القيم بعين الاعتبار من خلال الخصائص التالية، وهي ذات طبيعة عامة (كتلة). الأول يعتمد على حقيقة أن الاحتمالات ليست سلبية. والثاني يتبع من ملاحظة أن المجموعة لكل x = 2S، مساحة الحالة لـ X، تشكل قسمًا من الحرية الاحتمالية لـ X. مثال: رمي عملة متحيزة تكون نتائجها مستقلة. يمكنك الاستمرار في تنفيذ إجراءات معينة حتى تحصل على لقطة للأهداف. دع X تشير إلى المتغير العشوائي الذي يعطي عدد الأطراف قبل الرأس الأول. وp يدل على الاحتمال في أي إجراء معين.

لذا، فإن دالة الاحتمالية الجماعية لها السمات المميزة التالية. وبما أن المصطلحات تشكل تسلسلاً عدديًا، فإن X تسمى متغيرًا عشوائيًا هندسيًا. مخطط هندسي ج، كر، كر2،. ، crn لديه مبلغ. وبالتالي فإن sn له نهاية عندما يكون n 1. وفي هذه الحالة، يكون المجموع اللانهائي هو النهاية.

تشكل دالة الكتلة أعلاه تسلسلًا هندسيًا مع النسبة. لذلك، هناك أعداد طبيعية أ و ب. الفرق في القيم في دالة التوزيع يساوي قيمة دالة الكتلة.

قيم الكثافة قيد النظر لها التعريف التالي: X هو متغير عشوائي يحتوي توزيعه FX على مشتق. FX مرضية Z xFX (x) = fX (t) dt-1 تسمى دالة كثافة الاحتمال. ويسمى X بالمتغير العشوائي المستمر. في النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل، دالة الكثافة هي مشتقة التوزيع. يمكنك حساب الاحتمالات عن طريق حساب التكاملات المحددة.

نظرًا لأنه يتم جمع البيانات من ملاحظات متعددة، يجب أخذ أكثر من متغير عشوائي في الاعتبار في وقت واحد لنمذجة الإجراءات التجريبية. ولذلك فإن مجموعة هذه القيم وتوزيعها المشترك لمتغيرين X1 وX2 تعني عرض الأحداث. بالنسبة للمتغيرات العشوائية المنفصلة، ​​يتم تحديد وظائف الكتلة الاحتمالية المشتركة. بالنسبة للأخرى المستمرة، يتم أخذ fX1 وX2 في الاعتبار، حيث يتم استيفاء كثافة الاحتمالية المشتركة.

المتغيرات العشوائية المستقلة

المتغيران العشوائيان X1 وX2 مستقلان إذا كان هناك حدثان مرتبطان بهما متماثلان. بمعنى آخر، فإن احتمال وقوع حدثين (X1 2 B1) و (X2 2 B2) في وقت واحد، y، يساوي حاصل ضرب المتغيرات أعلاه في حدوث كل منهما على حدة. بالنسبة للمتغيرات العشوائية المنفصلة المستقلة، توجد دالة كتلة احتمالية مشتركة، وهي حاصل ضرب حجم الأيون المحدد. بالنسبة للمتغيرات العشوائية المستمرة المستقلة، تكون دالة الكثافة الاحتمالية المشتركة هي حاصل ضرب قيم الكثافة الحدية. وأخيرًا، يتم أخذ n الملاحظات المستقلة x1، x2 في الاعتبار. ، xn ناشئة عن كثافة غير معروفة أو دالة كتلة f. على سبيل المثال، معلمة غير معروفة في الوظائف لمتغير عشوائي أسي يصف وقت انتظار الحافلة.

محاكاة المتغيرات العشوائية

الهدف الرئيسي لهذا المجال النظري هو توفير الأدوات اللازمة لتطوير الإجراءات الاستدلالية على أساس المبادئ السليمة للعلوم الإحصائية. وبالتالي، أحد التطبيقات المهمة جدًا للبرنامج هو القدرة على إنشاء بيانات زائفة لمحاكاة المعلومات الفعلية. وهذا يجعل من الممكن اختبار وتحسين طرق التحليل قبل استخدامها في قواعد البيانات الحقيقية. وهذا مطلوب من أجل استكشاف خصائص البيانات من خلال النمذجة. بالنسبة للعديد من عائلات المتغيرات العشوائية شائعة الاستخدام، يوفر R أوامر لإنشائها. وفي ظروف أخرى، ستكون هناك حاجة إلى طرق لنمذجة سلسلة من المتغيرات العشوائية المستقلة ذات التوزيع المشترك.

المتغيرات العشوائية المنفصلة ونمط الأوامر. يتم استخدام أمر العينة لإنشاء عينات عشوائية بسيطة وطبقية. ونتيجة لذلك، في حالة وجود تسلسل x، تحدد العينة (x, 40) 40 إدخالًا من x بحيث تكون جميع الخيارات ذات الحجم 40 ذات احتمالية متساوية. يستخدم هذا الأمر R الافتراضي للاختيار بدون استبدال. يمكن استخدامها أيضًا لنمذجة المتغيرات العشوائية المنفصلة. للقيام بذلك، تحتاج إلى توفير مساحة الحالة في المتجه x والدالة الجماعية f. يشير استدعاء الاستبدال = TRUE إلى أن أخذ العينات يحدث مع الاستبدال. بعد ذلك، لإعطاء عينة من n متغيرات عشوائية مستقلة لها دالة جماعية مشتركة f، يتم استخدام العينة (x، n، استبدال = TRUE، prob = f).

تم تحديد أن 1 هو أصغر قيمة ممثلة و 4 هو الأكبر على الإطلاق. إذا تم حذف الأمر prob = f، فسيتم أخذ عينات من العينة بشكل موحد من القيم الموجودة في المتجه x. يمكنك التحقق من المحاكاة مقابل دالة الكتلة التي أنشأت البيانات من خلال ملاحظة علامة التساوي المزدوجة، ==. ومن خلال حساب الملاحظات التي تأخذ كل قيمة ممكنة لـ x. يمكنك عمل طاولة. كرر هذا لمدة 1000 وقارن المحاكاة مع دالة الكتلة المقابلة.

توضيح التحول الاحتمالي

أولاً، محاكاة وظائف التوزيع المتجانسة للمتغيرات العشوائية u1، u2،. , الأمم المتحدة على الفاصل الزمني . يجب أن يكون حوالي 10% من الأرقام ضمن . وهذا يتوافق مع 10% من عمليات المحاكاة لكل فاصل زمني للمتغير العشوائي مع عرض دالة توزيع العملات الأجنبية. وبالمثل، ينبغي أن يكون حوالي 10% من الأرقام العشوائية في النطاق . وهذا يتوافق مع 10% من عمليات المحاكاة على الفاصل الزمني المتغير العشوائي مع دالة التوزيع FX. ويمكن الحصول على هذه القيم على المحور x بأخذ معكوس FX. إذا كان X متغيرًا عشوائيًا مستمرًا بكثافة fX موجبة في كل مكان في مجاله، فإن دالة التوزيع تتزايد بشكل صارم. في هذه الحالة، لدى FX الدالة العكسية لـ FX-1، المعروفة باسم الدالة الكمية. FX (x) u فقط إذا كان x FX-1 (u). يتبع التحول الاحتمالي تحليل المتغير العشوائي U = FX (X).

يتراوح نطاق FX من 0 إلى 1. ولا يمكن أن يأخذ قيمًا أقل من 0 أو أعلى من 1. بالنسبة لقيم u بين 0 و1. إذا كان من الممكن نمذجة U، فمن الضروري محاكاة متغير عشوائي باستخدام توزيع العملات الأجنبية من خلال دالة كمية. خذ المشتقة لترى أن الكثافة u تتغير خلال 1. بما أن المتغير العشوائي U له كثافة ثابتة خلال فترة قيمه المحتملة، فإنه يسمى منتظمًا في الفترة. تم تصميمه بلغة R باستخدام الأمر runif. تسمى الهوية بالتحول الاحتمالي. يمكنك أن ترى كيف يعمل ذلك في المثال باستخدام لوحة السهام. X بين 0 و 1، دالة التوزيع هي u = FX (x) = x2، وبالتالي فإن الدالة الكمية هي x = FX-1 (u). من الممكن محاكاة الملاحظات المستقلة للمسافة من مركز لوحة السهام، مع توليد متغيرات عشوائية موحدة U1، U2،. ،الأمم المتحدة. تعتمد وظيفة التوزيع والدالة التجريبية على 100 محاكاة لتوزيع لوحة السهام. بالنسبة للمتغير العشوائي الأسي، من المفترض u = FX(x) = 1 - exp(- x)، وبالتالي x = - 1 ln(1 - u). في بعض الأحيان يتكون المنطق من عبارات متكافئة. في هذه الحالة، تحتاج إلى الجمع بين جزأين من الوسيطة. الهوية مع التقاطع متشابهة لجميع 2 (S i i) S، بدلاً من بعض القيمة. الاتحاد Ci يساوي مساحة الحالة S وكل زوج متنافي. لأن Bi مقسمة إلى ثلاث بديهيات. يعتمد كل اختبار على الاحتمال المقابل P. لأي مجموعة فرعية. استخدام الهوية للتأكد من أن الإجابة لا تعتمد على ما إذا كانت نقاط النهاية للفاصل الزمني متضمنة.

الدالة الأسية ومتغيراتها

لكل نتيجة في جميع الأحداث، يتم استخدام الخاصية الثانية لاستمرارية الاحتمالات في النهاية، والتي تعتبر بديهية. يوضح قانون توزيع دالة المتغير العشوائي هنا أن لكل منها حلها وإجابتها الخاصة.

الموضوع رقم 11

ومن الناحية العملية، عادة ما يتم استخدام دالة التوزيع لتحديد المتغيرات العشوائية العامة.

احتمال وجود متغير عشوائي Xسيأخذ قيمة معينة × 0، يتم التعبير عنها من خلال دالة التوزيع وفقًا للصيغة

ر (X = س 0) = و(س 0 +0) – و(س 0).(3)

على وجه الخصوص، إذا كانت الدالة F(x) متصلة عند النقطة x = x 0، إذن

ر (X = × 0) =0.

قيمة عشوائية Xمع التوزيع ع (أ)تسمى منفصلة إذا كانت هناك مجموعة W محدودة أو قابلة للعد على خط الأعداد ر(ث،) = 1.

دع W = ( × 1، × 2،…)و باي= ص({× ط}) = ص(س = × ط), أنا= 1,2,.... ثم لأي مجموعة بوريل أاحتمالا ع (أ)يتم تحديده بشكل فريد من خلال الصيغة

وضع في هذه الصيغة أ = (س ط / س ط< x}, x Î R ، نحصل على صيغة دالة التوزيع و(خ)المتغير العشوائي المنفصل X:

و(خ) = ص(س < س) =. (5)

رسم بياني للدالة و(خ)هو خط متدرج. يقفز وظيفة و(خ)في النقاط س = × 1، × 2…(× 1 يساوي الاحتمالات المقابلة ص 1، ص 2، ....

مثال 1: ابحث عن دالة التوزيع

المتغير العشوائي المنفصل x من المثال 1§ 13.

باستخدام دالة التوزيع، احسب

احتمالية الأحداث: x< 3, 1 £ x < 4, 1 £ x £ 3.

و(خ)
0 × 1 × 2 × 3 × 4 X
حل. باستخدام البيانات من الجدول،

تم الحصول عليها في § 13، والصيغة (5)، نحصل عليها

وظيفة التوزيع:

وفقًا للصيغة (1) Р(x< 3) = F(3) = 0,1808; по формуле (2)

ع(1 جنيه س< 4) = F (4) – F(1) = 0,5904 – 0,0016 = 0,5888;

ع (1 جنيه استرليني × 3 جنيه استرليني) = ع (1 جنيه استرليني س<3) + p(x = 3) = F(3) – F(1) + F(3+0) – F(3) =

ف(3+0) – ف(1) = 0.5904 – 0.0016 = 0.5888.

مثال 2. نظرا لوظيفة

هل الدالة F(x) هي دالة التوزيع لبعض المتغيرات العشوائية؟ إذا كان الجواب بنعم، فابحث . ارسم رسمًا بيانيًا للدالة F(x).

حل. لكي تكون الوظيفة المحددة مسبقًا F(x) دالة توزيع لبعض المتغيرات العشوائية x، فمن الضروري والكافي استيفاء الشروط التالية (الخصائص المميزة لوظيفة التوزيع):

1. F(x) هي دالة غير تناقصية.

3. لأي x О R F( س– 0) = و( س).

لوظيفة معينة F(x)، التنفيذ

هذه الشروط واضحة. وسائل،

F(x) – دالة التوزيع.

احتمالا احسب بواسطة

الصيغة (2):

رسم بياني للدالة F( س) يرد في الشكل 13.

مثال 3. دع F 1 ( س) و ف 2 ( س) - وظائف التوزيع للمتغيرات العشوائية X 1 و X 2 على التوالي، أ 1 و أ 2 هي أرقام غير سالبة مجموعها 1.

أثبت أن ف( س) = أ 1 ف 1 ( س) + أ 2 ف 2 ( س) هي دالة التوزيع لبعض المتغيرات العشوائية X.



حل. 1) منذ F 1 ( س) و ف 2 ( س) هي وظائف غير متناقصة و أ 1 ³ 0, أ 2 ³ 0 إذن أ 1 ف 1 ( س) و أ 2 ف 2 ( س) غير متناقصة، وبالتالي فإن مجموعها F( س) هو أيضا غير متناقص.

3) لأي x О R F ( س - 0) = أ 1 ف 1 ( س - 0) + أ 2 ف 2 ( س - 0)= أ 1 ف 1 ( س) + أ 2 ف 2 ( س) = و( س).

مثال 4. نظرا لوظيفة

هل F(x) دالة التوزيع لمتغير عشوائي؟

حل. من السهل أن نرى أن F(1) = 0.2 > 0.11 = F(1,1). ولذلك ف( س) ليست غير متناقصة، وبالتالي فهي ليست دالة توزيع لمتغير عشوائي. لاحظ أن الخاصيتين المتبقيتين صالحتان لهذه الوظيفة.

مهمة الاختبار رقم 11

1. المتغير العشوائي المنفصل X

س) وباستخدامه، ابحث عن احتمالات الأحداث: أ) -2 جنيه إسترليني X < 1; б) ½X½ £ 2. ارسم رسمًا بيانيًا لوظيفة التوزيع.

3. المتغير العشوائي المنفصل Xيعطى من جدول التوزيع :

× ط
باي 0,05 0,2 0,3 0,35 0,1

أوجد دالة التوزيع F( س) وأوجد احتمالات الأحداث التالية: أ) س < 2; б) 1 £ X < 4; в) 1 £ X 4 جنيهات إسترلينية؛ د) 1< س 4 جنيهات إسترلينية؛ د) X = 2,5.

4. أوجد دالة التوزيع لمتغير عشوائي منفصل X، يساوي عدد النقاط التي تم رميها خلال رمية النرد الواحدة. باستخدام دالة التوزيع، أوجد احتمال المتداول بمقدار 5 نقاط على الأقل.

5. يتم إجراء اختبارات متتالية لـ 5 أجهزة للتأكد من الموثوقية. يتم اختبار كل جهاز لاحق فقط إذا تبين أن الجهاز السابق موثوق به. قم بإنشاء جدول توزيع وأوجد دالة التوزيع لعدد الاختبارات العشوائية للأجهزة إذا كان احتمال اجتياز الاختبارات لكل جهاز هو 0.9.

6. يتم إعطاء دالة التوزيع لمتغير عشوائي منفصل X:

أ) أوجد احتمال الحدث 1 جنيهًا إسترلينيًا X 3 جنيهات استرلينية.

ب) أوجد جدول توزيع المتغير العشوائي X.

7. يتم إعطاء دالة التوزيع لمتغير عشوائي منفصل X:

أنشئ جدولاً لتوزيع هذا المتغير العشوائي.

8. إرم العملة نمرة واحدة. قم بإنشاء جدول توزيع وابحث عن دالة التوزيع لعدد مرات ظهور شعار النبالة. ارسم وظيفة التوزيع في ن = 5.

9. يتم رمي العملة حتى يظهر شعار النبالة. قم بإنشاء جدول توزيع وابحث عن دالة التوزيع لعدد مرات ظهور الرقم.

10. يطلق القناص النار على الهدف حتى الضربة الأولى. احتمال الخطأ في تسديدة واحدة يساوي ر. أوجد دالة التوزيع لعدد الأخطاء.

المتغيرات العشوائية

مثال 2.1.قيمة عشوائية Xتعطى بواسطة وظيفة التوزيع

أوجد احتمالية ذلك نتيجة للاختبار Xسوف يأخذ القيم الموجودة في الفاصل الزمني (2.5؛ 3.6).

حل: Xفي الفاصل الزمني (2.5؛ 3.6) يمكن تحديده بطريقتين:

مثال 2.2.في ما قيم المعلمة أو فيوظيفة F(س) = أ + كن - سيمكن أن تكون دالة توزيع للقيم غير السالبة للمتغير العشوائي X.

حل:حيث أن جميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي Xتنتمي إلى الفاصل الزمني، لكي تكون الدالة دالة توزيع لـ X، يجب أن يكون العقار راضيًا:

.

إجابة: .

مثال 2.3.يتم تحديد المتغير العشوائي X بواسطة دالة التوزيع

أوجد احتمال أن تكون القيمة نتيجة لأربعة اختبارات مستقلة Xبالضبط 3 مرات سوف تأخذ قيمة تنتمي إلى الفاصل الزمني (0.25؛0.75).

حل:احتمال ضرب القيمة Xفي الفترة (0.25;0.75) نجد باستخدام الصيغة:

مثال 2.4.احتمال اصطدام الكرة بالسلة برصاصة واحدة هو 0.3. ضع قانون توزيع لعدد الضربات بثلاث رميات.

حل:قيمة عشوائية X- عدد الضربات في السلة بثلاث تسديدات - يمكن أن تأخذ القيم التالية: 0، 1، 2، 3. الاحتمالات التي X

X:

مثال 2.5.يطلق كل من الرماة طلقة واحدة على الهدف. احتمال إصابة مطلق النار الأول به هو 0.5 والثاني - 0.4. ضع قانون توزيع لعدد الضربات على الهدف.

حل:دعونا نجد قانون توزيع المتغير العشوائي المنفصل X– عدد الضربات على الهدف . ليكن الحدث هو إصابة الرامي الأول بالهدف، وليكن الرامي الثاني يصيب الهدف، ويكون أخطأهم على التوالي.



دعونا نؤلف قانون التوزيع الاحتمالي لـ SV X:

مثال 2.6.تم اختبار ثلاثة عناصر، تعمل بشكل مستقل عن بعضها البعض. المدة الزمنية (بالساعات) للتشغيل الخالي من الأعطال للعناصر لها دالة كثافة التوزيع: لأول مرة: F 1 (ر) =1-ه- 0,1 ر، للمرة الثانية: F 2 (ر) = 1-ه- 0,2 ر، للثالث: F 3 (ر) =1-ه- 0,3 ر. أوجد احتمال أنه في الفترة الزمنية من 0 إلى 5 ساعات: سوف يفشل عنصر واحد فقط؛ عنصرين فقط سوف يفشلان؛ جميع العناصر الثلاثة سوف تفشل.

حل:دعنا نستخدم تعريف دالة توليد الاحتمالية:

احتمال أنه في تجارب مستقلة، في أولها احتمال وقوع حدث أيساوي ، في الحدث الثاني، وما إلى ذلك أيظهر مرة واحدة بالضبط، يساوي المعامل في توسيع دالة التوليد في صلاحيات . دعونا نجد احتمالات الفشل وعدم الفشل على التوالي للعنصر الأول والثاني والثالث في الفترة الزمنية من 0 إلى 5 ساعات:

لنقم بإنشاء دالة توليد:

المعامل at يساوي احتمال وقوع الحدث أسيظهر ثلاث مرات بالضبط، أي احتمال فشل العناصر الثلاثة؛ المعامل at يساوي احتمال فشل عنصرين بالضبط؛ المعامل يساوي احتمال فشل عنصر واحد فقط.

مثال 2.7.نظرا لكثافة الاحتمال F(س) متغير عشوائي X:

أوجد دالة التوزيع F(x).

حل:نحن نستخدم الصيغة:

.

وهكذا تبدو دالة التوزيع كما يلي:

مثال 2.8.يتكون الجهاز من ثلاثة عناصر تعمل بشكل مستقل. احتمال فشل كل عنصر في تجربة واحدة هو 0.1. ضع قانون توزيع لعدد العناصر الفاشلة في تجربة واحدة.

حل:قيمة عشوائية X- عدد العناصر التي فشلت في تجربة واحدة - يمكن أن تأخذ القيم التالية: 0، 1، 2، 3. الاحتمالات التي Xبأخذ هذه القيم نجد باستخدام صيغة برنولي:

وهكذا نحصل على قانون التوزيع الاحتمالي التالي للمتغير العشوائي X:

مثال 2.9.في مجموعة مكونة من 6 أجزاء يوجد 4 أجزاء قياسية. تم اختيار 3 أجزاء عشوائيا ضع قانون توزيع لعدد الأجزاء القياسية بين الأجزاء المختارة.

حل:قيمة عشوائية X- عدد الأجزاء القياسية بين الأجزاء المختارة - يمكن أن يأخذ القيم التالية: 1، 2، 3 وله توزيع هندسي مفرط. احتمالات ذلك X

أين -- عدد الأجزاء في الدفعة؛

-- عدد الأجزاء القياسية في الدفعة؛

– عدد الأجزاء المختارة

-- عدد الأجزاء القياسية بين تلك المختارة.

.

.

.

مثال 2.10.المتغير العشوائي له كثافة التوزيع

وغير معروفة، ولكن، و . اعثر و.

حل:وفي هذه الحالة المتغير العشوائي Xله توزيع ثلاثي (توزيع سمبسون) على الفترة [ أ، ب]. الخصائص العددية X:

لذلك، . وبحل هذا النظام نحصل على زوجين من القيم: . لأنه وفقا لشروط المشكلة، لدينا أخيرا: .

إجابة: .

مثال 2.11.في المتوسط، في أقل من 10٪ من العقود، تدفع شركة التأمين مبالغ التأمين فيما يتعلق بحدوث حدث مؤمن عليه. احسب التوقع الرياضي وانتشار عدد هذه العقود بين أربعة عقود تم اختيارها عشوائيا.

حل:يمكن العثور على التوقع الرياضي والتباين باستخدام الصيغ:

.

القيم المحتملة لـ SV (عدد العقود (من أصل أربعة) مع وقوع حدث مؤمن عليه): 0، 1، 2، 3، 4.

نستخدم صيغة برنولي لحساب احتمالات أعداد مختلفة من العقود (من أصل أربعة) التي تم دفع مبالغ التأمين عليها:

.

سلسلة توزيع IC (عدد العقود مع وقوع حدث مؤمن عليه) لها الشكل:

0,6561 0,2916 0,0486 0,0036 0,0001

إجابة: ، .

مثال 2.12.ومن بين الورود الخمس، اثنتان بيضاء اللون. أنشئ قانون توزيع متغير عشوائي يعبر عن عدد الورود البيضاء بين ورودتين مأخوذتين في وقت واحد.

حل:في مجموعة مختارة من وردتين، قد لا تكون هناك وردة بيضاء، أو قد تكون هناك وردة بيضاء واحدة أو اثنتين. وبالتالي المتغير العشوائي Xيمكن أن تأخذ القيم: 0، 1، 2. احتمالات ذلك Xبأخذ هذه القيم نجدها باستخدام الصيغة:

أين -- عدد الورود

-- عدد الورود البيضاء

– عدد الورود المأخوذة في نفس الوقت؛

-- عدد الورود البيضاء بين تلك التي تم التقاطها.

.

.

.

فيكون قانون توزيع المتغير العشوائي كما يلي:

مثال 2.13.من بين 15 وحدة مجمعة، هناك 6 منها تتطلب تشحيمًا إضافيًا. ضع قانون توزيع لعدد الوحدات التي تحتاج إلى تشحيم إضافي بين خمس وحدات تم اختيارها عشوائياً من العدد الإجمالي.

حل:قيمة عشوائية X– عدد الوحدات التي تتطلب تشحيمًا إضافيًا من بين الوحدات الخمسة المختارة – يمكن أن يأخذ القيم التالية: 0، 1، 2، 3، 4، 5 وله توزيع هندسي مفرط. احتمالات ذلك Xبأخذ هذه القيم نجدها باستخدام الصيغة:

أين -- عدد الوحدات المجمعة

-- عدد الوحدات التي تتطلب تزييت إضافي؛

– عدد الوحدات المختارة

-- عدد الوحدات التي تتطلب تزييتًا إضافيًا بين الوحدات المختارة.

.

.

.

.

.

.

فيكون قانون توزيع المتغير العشوائي كما يلي:

مثال 2.14.من بين الساعات العشر التي تم استلامها للإصلاح، تتطلب 7 منها تنظيفًا عامًا للآلية. لا يتم فرز الساعات حسب نوع الإصلاح. السيد، الذي يريد العثور على الساعات التي تحتاج إلى التنظيف، يفحصها واحدة تلو الأخرى، وبعد العثور على مثل هذه الساعات، يتوقف عن المزيد من المشاهدة. أوجد التوقع الرياضي والتباين لعدد ساعات المشاهدة.

حل:قيمة عشوائية X– عدد الوحدات التي تحتاج إلى تشحيم إضافي من بين الوحدات الخمس المختارة – يمكن أن يأخذ القيم التالية: 1، 2، 3، 4. احتمالات ذلك Xبأخذ هذه القيم نجدها باستخدام الصيغة:

.

.

.

.

فيكون قانون توزيع المتغير العشوائي كما يلي:

الآن دعونا نحسب الخصائص العددية للكمية:

إجابة: ، .

مثال 2.15.لقد نسي المشترك الرقم الأخير من رقم الهاتف الذي يحتاجه، لكنه يتذكر أنه غريب. أوجد التوقع الرياضي والتباين لعدد المرات التي يتصل فيها برقم هاتف قبل الوصول إلى الرقم المطلوب، إذا اتصل بالرقم الأخير بشكل عشوائي ولم يتصل بعد ذلك بالرقم المطلوب.

حل:يمكن للمتغير العشوائي أن يأخذ القيم التالية: . وبما أن المشترك لا يطلب الرقم المطلوب في المستقبل، فإن احتمالات هذه القيم متساوية.

لنقم بتجميع سلسلة توزيع لمتغير عشوائي:

0,2

دعونا نحسب التوقع الرياضي والتباين لعدد محاولات الاتصال:

إجابة: ، .

مثال 2.16.احتمال الفشل أثناء اختبارات الموثوقية لكل جهاز في السلسلة يساوي ص. تحديد التوقع الرياضي لعدد الأجهزة التي فشلت إذا تم اختبارها نالأجهزة.

حل:المتغير العشوائي المنفصل X هو عدد الأجهزة الفاشلة ناختبارات مستقلة، في كل منها احتمال الفشل متساوي ص،موزعة وفقا لقانون ذات الحدين. التوقع الرياضي للتوزيع ذي الحدين يساوي عدد المحاولات مضروبًا في احتمال وقوع حدث في تجربة واحدة:

مثال 2.17.المتغير العشوائي المنفصل Xيأخذ 3 قيم محتملة: مع الاحتمال؛ مع الاحتمال ومع الاحتمال. ابحث عن و ، مع العلم أن M( X) = 8.

حل:نستخدم تعريفات التوقع الرياضي وقانون توزيع المتغير العشوائي المنفصل:

نجد: .

مثال 2.18.يقوم قسم المراقبة الفنية بفحص المنتجات للتأكد من مطابقتها للمعايير. احتمال أن يكون المنتج قياسيًا هو 0.9. تحتوي كل دفعة على 5 منتجات. أوجد التوقع الرياضي لمتغير عشوائي X– عدد الدفعات التي تحتوي كل منها على 4 منتجات قياسية بالضبط، إذا كانت 50 دفعة خاضعة للفحص.

حل:في هذه الحالة، تكون جميع التجارب التي تم إجراؤها مستقلة، واحتمالات أن تحتوي كل دفعة على 4 منتجات قياسية بالضبط هي نفسها، لذلك يمكن تحديد التوقع الرياضي من خلال الصيغة:

,

أين هو عدد الأطراف؟

احتمال أن تحتوي الدفعة على 4 منتجات قياسية بالضبط.

نجد الاحتمال باستخدام صيغة برنولي:

إجابة: .

مثال 2.19.أوجد تباين متغير عشوائي X- عدد مرات حدوث الحدث أفي تجربتين مستقلتين، إذا كانت احتمالات وقوع حدث في هاتين التجربتين متساوية وكان من المعروف أن م(X) = 0,9.

حل:يمكن حل المشكلة بطريقتين.

1) القيم المحتملة لـ SV X: 0، 1، 2. باستخدام صيغة برنولي، نحدد احتمالات هذه الأحداث:

, , .

ثم قانون التوزيع Xلديه النموذج:

ومن تعريف التوقع الرياضي نحدد الاحتمال:

دعونا نجد تشتت SV X:

.

2) يمكنك استخدام الصيغة:

.

إجابة: .

مثال 2.20.التوقع والانحراف المعياري للمتغير العشوائي الموزع طبيعيا Xيساوي 20 و5 على التوالي. أوجد احتمالية ذلك نتيجة للاختبار Xسوف تأخذ القيمة الموجودة في الفاصل الزمني (15؛ 25).

حل:احتمال ضرب متغير عشوائي عادي Xفي القسم من إلى يتم التعبير عنه من خلال وظيفة لابلاس:

مثال 2.21.الوظيفة المعطاة:

في ما قيمة المعلمة جهذه الدالة هي كثافة التوزيع لبعض المتغيرات العشوائية المستمرة X؟ أوجد التوقع الرياضي والتباين لمتغير عشوائي X.

حل:لكي تكون الدالة هي كثافة توزيع بعض المتغيرات العشوائية، يجب أن تكون غير سالبة، ويجب أن تستوفي الخاصية:

.

لذلك:

دعونا نحسب التوقع الرياضي باستخدام الصيغة:

.

دعونا نحسب التباين باستخدام الصيغة:

T يساوي ص. ومن الضروري إيجاد التوقع الرياضي والتباين لهذا المتغير العشوائي.

حل:قانون توزيع المتغير العشوائي المنفصل X - عدد مرات حدوث حدث في تجارب مستقلة، في كل منها احتمال وقوع الحدث يساوي، يسمى ذو الحدين. التوقع الرياضي للتوزيع ذي الحدين يساوي حاصل ضرب عدد المحاولات واحتمال وقوع الحدث A في تجربة واحدة:

.

مثال 2.25.تم إطلاق ثلاث طلقات مستقلة على الهدف. احتمال ضرب كل طلقة هو 0.25. تحديد الانحراف المعياري لعدد الضربات بثلاث طلقات.

حل:بما أنه تم إجراء ثلاث تجارب مستقلة، واحتمال وقوع الحدث A (الضربة) في كل تجربة هو نفسه، فسوف نفترض أن المتغير العشوائي المنفصل X - عدد الضربات على الهدف - يتم توزيعه وفقًا لـ قانون ذو الحدين.

إن تباين التوزيع ذي الحدين يساوي حاصل ضرب عدد المحاولات واحتمال وقوع أو عدم وقوع حدث في تجربة واحدة:

مثال 2.26.متوسط ​​عدد العملاء الذين يزورون شركة التأمين خلال 10 دقائق هو ثلاثة. أوجد احتمال وصول عميل واحد على الأقل خلال الدقائق الخمس القادمة.

متوسط ​​عدد العملاء الذين يصلون خلال 5 دقائق: . .

مثال 2.29.يخضع وقت انتظار التطبيق في قائمة انتظار المعالج لقانون التوزيع الأسي بمتوسط ​​قيمة 20 ثانية. أوجد احتمال انتظار الطلب التالي (العشوائي) على المعالج لأكثر من 35 ثانية.

حل:في هذا المثال، التوقع الرياضي ، ونسبة الفشل تساوي .

ثم الاحتمال المطلوب:

مثال 2.30.تعقد مجموعة مكونة من 15 طالبًا اجتماعًا في قاعة بها 20 صفًا يضم كل صف 10 مقاعد. يأخذ كل طالب مكانه في القاعة بشكل عشوائي. ما احتمال ألا يكون هناك أكثر من ثلاثة أشخاص في المركز السابع من الصف؟

حل:

مثال 2.31.

ثم، وفقا للتعريف الكلاسيكي للاحتمال:

أين -- عدد الأجزاء في الدفعة؛

-- عدد الأجزاء غير القياسية في الدفعة؛

– عدد الأجزاء المختارة

-- عدد الأجزاء غير القياسية بين تلك المختارة.

فيكون قانون توزيع المتغير العشوائي على النحو التالي.

متغير عشوائي هو متغير يمكن أن يأخذ قيم معينة حسب الظروف المختلفة، و المتغير العشوائي يسمى مستمر ، إذا كان يمكن أن يأخذ أي قيمة من أي فترة محدودة أو غير محدودة. بالنسبة للمتغير العشوائي المستمر، من المستحيل الإشارة إلى جميع القيم الممكنة، لذلك نقوم بتعيين فترات من هذه القيم المرتبطة باحتمالات معينة.

تتضمن أمثلة المتغيرات العشوائية المستمرة: قطر الجزء الذي يتم طحنه إلى حجم معين، وارتفاع الشخص، ومدى طيران المقذوف، وما إلى ذلك.

منذ المتغيرات العشوائية المستمرة الدالة F(س)، خلافا المتغيرات العشوائية المنفصلة، لا توجد قفزات في أي مكان، فإن احتمال أي قيمة فردية لمتغير عشوائي مستمر هو صفر.

هذا يعني أنه بالنسبة للمتغير العشوائي المستمر، ليس من المنطقي الحديث عن التوزيع الاحتمالي بين قيمه: كل واحد منهم لديه احتمال صفر. ومع ذلك، بمعنى ما، من بين قيم المتغير العشوائي المستمر هناك "احتمال أكبر وأقل". على سبيل المثال، لا يكاد أحد يشك في أن قيمة المتغير العشوائي - ارتفاع شخص يتم مواجهته بشكل عشوائي - 170 سم - هي أكثر احتمالا من 220 سم، على الرغم من أن كلا القيمتين يمكن أن تحدثا في الممارسة العملية.

دالة التوزيع للمتغير العشوائي المستمر وكثافة الاحتمال

كقانون توزيع منطقي فقط للمتغيرات العشوائية المستمرة، تم تقديم مفهوم كثافة التوزيع أو كثافة الاحتمال. دعونا نتعامل مع الأمر من خلال مقارنة معنى دالة التوزيع لمتغير عشوائي مستمر ومتغير عشوائي منفصل.

إذن، دالة التوزيع لمتغير عشوائي (منفصل ومستمر) أو وظيفة متكاملةتسمى دالة تحدد احتمالية أن تكون قيمة المتغير العشوائي Xأقل من أو يساوي القيمة الحدية X.

لمتغير عشوائي متقطع عند نقاط قيمه س1 , س 2 , ..., سأنا،...تتركز كتل من الاحتمالات ص1 , ص 2 , ..., صأنا،...، ومجموع كل الكتل يساوي 1. دعنا ننقل هذا التفسير إلى حالة المتغير العشوائي المستمر. لنتخيل أن كتلة تساوي 1 لا تتركز في نقاط فردية، ولكنها "تلطخ" بشكل مستمر على طول محور الإحداثي المحوري أوهمع بعض الكثافة غير المتكافئة. احتمال سقوط متغير عشوائي في أي منطقة Δ سسيتم تفسيرها على أنها الكتلة لكل قسم، ومتوسط ​​الكثافة في ذلك القسم على أنها نسبة الكتلة إلى الطول. لقد قدمنا ​​للتو مفهومًا مهمًا في نظرية الاحتمالات: كثافة التوزيع.

كثافة الاحتمال F(س) للمتغير العشوائي المستمر هو مشتق دالة التوزيع الخاصة به:

.

بمعرفة دالة الكثافة، يمكنك إيجاد احتمال أن تنتمي قيمة المتغير العشوائي المستمر إلى الفترة المغلقة [ أ; ب]:

احتمال وجود متغير عشوائي مستمر Xسوف تأخذ أي قيمة من الفاصل الزمني [ أ; ب]، يساوي تكاملًا معينًا لكثافة احتمالية تتراوح من أقبل ب:

.

في هذه الحالة، الصيغة العامة للوظيفة F(س) التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المستمر، والذي يمكن استخدامه إذا كانت دالة الكثافة معروفة F(س) :

.

يسمى الرسم البياني للكثافة الاحتمالية للمتغير العشوائي المستمر بمنحنى التوزيع (الشكل أدناه).

مساحة الشكل (المظلل في الشكل) التي يحدها منحنى، خطوط مستقيمة مرسومة من النقاط أو بعمودي على المحور السيني، والمحور أوه، يعرض بيانيًا احتمال أن تكون قيمة المتغير العشوائي المستمر Xيقع ضمن نطاق أقبل ب.

خصائص دالة الكثافة الاحتمالية للمتغير العشوائي المستمر

1. احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي أي قيمة من الفاصل الزمني (ومساحة الشكل التي يقتصرها الرسم البياني للدالة F(س) والمحور أوه) يساوي واحد:

2. لا يمكن لدالة كثافة الاحتمال أن تأخذ قيمًا سالبة:

وخارج وجود التوزيع قيمته صفر

كثافة التوزيع F(س)، وكذلك وظيفة التوزيع F(س)، هو أحد أشكال قانون التوزيع، ولكن على عكس دالة التوزيع، فهو ليس عالميًا: كثافة التوزيع موجودة فقط للمتغيرات العشوائية المستمرة.

ولنذكر أهم نوعين من توزيع المتغير العشوائي المستمر عملياً.

إذا كانت دالة كثافة التوزيع F(س) متغير عشوائي مستمر في بعض الفترات المحدودة [ أ; ب] يأخذ قيمة ثابتة ج، وخارج الفترة يأخذ قيمة تساوي الصفر، فهذا التوزيع يسمى موحد .

إذا كان الرسم البياني لدالة كثافة التوزيع متماثلًا حول المركز، فإن القيم المتوسطة تتركز بالقرب من المركز، وبالابتعاد عن المركز يتم جمع القيم الأكثر اختلافًا عن المتوسط ​​(يشبه الرسم البياني للدالة مقطعًا من الجرس)، ثم هذا التوزيع يسمى عادي .

مثال 1.تُعرف دالة التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المستمر:

البحث عن وظيفة F(س) الكثافة الاحتمالية للمتغير العشوائي المستمر. إنشاء الرسوم البيانية لكلا الدالتين. أوجد احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي المستمر أي قيمة في الفترة من 4 إلى 8: .

حل. نحصل على دالة الكثافة الاحتمالية من خلال إيجاد مشتق دالة التوزيع الاحتمالي:

رسم بياني للدالة F(س) - القطع المكافئ:

رسم بياني للدالة F(س) - مستقيم:

لنجد احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي المستمر أي قيمة في النطاق من 4 إلى 8:

مثال 2.يتم إعطاء دالة كثافة الاحتمال لمتغير عشوائي مستمر على النحو التالي:

حساب المعامل ج. البحث عن وظيفة F(س) التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المستمر. إنشاء الرسوم البيانية لكلا الدالتين. أوجد احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي المستمر أي قيمة في النطاق من 0 إلى 5: .

حل. معامل في الرياضيات او درجة جنجد باستخدام الخاصية 1 لدالة الكثافة الاحتمالية:

وبالتالي فإن دالة الكثافة الاحتمالية للمتغير العشوائي المستمر هي:

وبالتكامل نجد الدالة F(س) التوزيعات الاحتمالية. لو س < 0 , то F(س) = 0 . إذا 0< س < 10 , то

.

س> 10 إذن F(س) = 1 .

وبالتالي، فإن السجل الكامل لوظيفة التوزيع الاحتمالي هو:

رسم بياني للدالة F(س) :

رسم بياني للدالة F(س) :

لنجد احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي المستمر أي قيمة في النطاق من 0 إلى 5:

مثال 3.الكثافة الاحتمالية للمتغير العشوائي المستمر Xويعطى من قبل المساواة ، و . أوجد المعامل أ، احتمال أن يكون متغير عشوائي مستمر Xسوف تأخذ أي قيمة من الفاصل الزمني ]0، 5[، دالة التوزيع لمتغير عشوائي مستمر X.

حل. بالشرط نصل إلى المساواة

ولذلك، من أين. لذا،

.

الآن نجد احتمال وجود متغير عشوائي مستمر Xسوف تأخذ أي قيمة من الفاصل الزمني ]0، 5[:

الآن نحصل على دالة التوزيع لهذا المتغير العشوائي:

مثال 4.أوجد الكثافة الاحتمالية للمتغير العشوائي المستمر X، والتي تأخذ فقط القيم غير السالبة، ووظيفة التوزيع الخاصة بها .

منشورات حول هذا الموضوع