توقع كش ملك يمكن أن يكون أكبر من 1. الخصائص العددية للمتغيرات العشوائية

يمكن اعتبار مفهوم التوقع الرياضي باستخدام مثال رمي حجر النرد. مع كل رمية، يتم تسجيل النقاط المسقطة. وللتعبير عنها يتم استخدام القيم الطبيعية في النطاق 1 – 6.

بعد عدد معين من الرميات لا تستخدم حسابات معقدةيمكنك العثور على المتوسط القيمة الحسابيةالنقاط المسقطة.

تمامًا مثل حدوث أي من القيم في النطاق، ستكون هذه القيمة عشوائية.

ماذا لو قمت بزيادة عدد الرميات عدة مرات؟ مع عدد كبير من الرميات، يقترب المتوسط ​​الحسابي للنقاط من رقم محدد، وهو ما يسمى في نظرية الاحتمالات بالتوقع الرياضي.

لذا، نعني بالتوقع الرياضي متوسط ​​قيمة المتغير العشوائي. يمكن أيضًا تقديم هذا المؤشر كمجموع مرجح لقيم القيمة المحتملة.

هذا المفهوم له عدة مرادفات:

• متوسط ​​القيمة؛
• متوسط ​​القيمة؛
• مؤشر الاتجاه المركزي.
• اللحظة الأولى.

بمعنى آخر، هو ليس أكثر من رقم تتوزع حوله قيم متغير عشوائي.

في مجالات متنوعةالنشاط البشري، ستكون طرق فهم التوقعات الرياضية مختلفة بعض الشيء.

يمكن اعتباره كما يلي:

• متوسط ​​الفائدة التي يتم الحصول عليها من اتخاذ القرار، عندما يتم النظر في هذا القرار من وجهة نظر نظرية الأعداد الكبيرة؛
• المبلغ المحتمل للفوز أو الخسارة (نظرية المقامرة)، ويتم حسابه في المتوسط ​​لكل رهان. في العامية، تبدو هذه الكلمات مثل "ميزة اللاعب" (إيجابية للاعب) أو "ميزة الكازينو" (سلبية للاعب)؛
• نسبة الربح المستلم من المكاسب.

التوقع الرياضي ليس إلزاميا للجميع على الاطلاق المتغيرات العشوائية. إنه غائب بالنسبة لأولئك الذين لديهم تناقض في المبلغ المقابل أو التكامل.

خصائص التوقع الرياضي

مثل أي معلمة إحصائية، فإن التوقع الرياضي له الخصائص التالية:

الصيغ الأساسية للتوقعات الرياضية

يمكن إجراء حساب التوقع الرياضي لكل من المتغيرات العشوائية التي تتميز بالاستمرارية (الصيغة أ) والتمييز (الصيغة ب):

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi، حيث xi هي قيم المتغير العشوائي، pi هي الاحتمالات:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx، حيث f(x) هي الكثافة الاحتمالية المحددة.

أمثلة على حساب التوقع الرياضي

مثال أ.

هل من الممكن معرفة متوسط ​​\u200b\u200bارتفاع الأقزام في حكاية سنو وايت؟ ومن المعروف أن كل من الأقزام السبعة كان له ارتفاع معين: 1.25؛ 0.98؛ 1.05؛ 0.71؛ 0.56؛ 0.95 و 0.81 م.

خوارزمية الحساب بسيطة للغاية:

• نجد مجموع كل قيم مؤشر النمو (متغير عشوائي):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• اقسم المبلغ الناتج على عدد التماثيل:
  6,31:7=0,90.

وهكذا فإن متوسط ​​ارتفاع التماثيل في الحكاية الخيالية هو 90 سم، وبعبارة أخرى، هذا هو التوقع الرياضي لنمو التماثيل.

صيغة العمل - M(x)=4 0.2+6 0.3+10 0.5=6

التنفيذ العملي للتوقعات الرياضية

يتم اللجوء إلى حساب المؤشر الإحصائي للتوقع الرياضي في مختلف مجالات النشاط العملي. بادئ ذي بدء، نحن نتحدث عن المجال التجاري. بعد كل شيء، يرتبط تقديم هيغنز لهذا المؤشر بتحديد الفرص التي يمكن أن تكون مواتية، أو على العكس من ذلك، غير مواتية، لبعض الأحداث.

يُستخدم هذا المقياس على نطاق واسع لتقييم المخاطر، خاصة عندما يتعلق الأمر بالاستثمارات المالية.
وبالتالي، في مجال الأعمال التجارية، يعمل حساب التوقعات الرياضية كوسيلة لتقييم المخاطر عند حساب الأسعار.

ويمكن أيضا استخدام هذا المؤشر لحساب فعالية بعض التدابير، على سبيل المثال، حماية العمال. بفضله، يمكنك حساب احتمالية وقوع حدث ما.

مجال آخر لتطبيق هذه المعلمة هو الإدارة. ويمكن أيضًا حسابه أثناء مراقبة جودة المنتج. على سبيل المثال، باستخدام حصيرة. التوقعات، يمكنك حساب العدد المحتمل للأجزاء المعيبة المنتجة.

كما تبين أن التوقع الرياضي لا يمكن الاستغناء عنه عند إجراء المعالجة الإحصائية للنتائج التي تم الحصول عليها أثناء ذلك بحث علمينتائج. يسمح لك بحساب احتمالية النتيجة المرغوبة أو غير المرغوب فيها لتجربة أو دراسة اعتمادًا على مستوى تحقيق الهدف. ففي نهاية المطاف، يمكن أن يرتبط إنجازه بالربح والمنفعة، ويمكن أن يرتبط فشله بالخسارة أو الخسارة.

استخدام التوقعات الرياضية في الفوركس

التطبيق العملي لهذه المعلمة الإحصائية ممكن عند إجراء المعاملات في سوق الصرف الأجنبي. بمساعدتها، يمكنك تحليل نجاح المعاملات التجارية. علاوة على ذلك، تشير الزيادة في قيمة التوقعات إلى زيادة في نجاحهم.

من المهم أيضًا أن نتذكر أن التوقعات الرياضية لا ينبغي اعتبارها المعلمة الإحصائية الوحيدة المستخدمة لتحليل أداء المتداول. يؤدي استخدام العديد من المعلمات الإحصائية إلى جانب القيمة المتوسطة إلى زيادة دقة التحليل بشكل كبير.

لقد أثبتت هذه المعلمة نفسها جيدًا في مراقبة ملاحظات حسابات التداول. بفضله، يتم إجراء تقييم سريع للعمل المنجز على حساب الوديعة. في الحالات التي يكون فيها نشاط المتداول ناجحًا ويتجنب الخسائر، لا يوصى باستخدام حساب التوقع الرياضي حصريًا. وفي هذه الحالات، لا تؤخذ المخاطر بعين الاعتبار، مما يقلل من فعالية التحليل.

تشير الدراسات التي أجريت حول تكتيكات المتداولين إلى ما يلي:

• التكتيكات الأكثر فعالية هي تلك التي تعتمد على الإدخال العشوائي؛
• الأقل فعالية هي التكتيكات التي تعتمد على مدخلات منظمة.

وفي تحقيق نتائج إيجابية، لا يقل أهمية ما يلي:

• تكتيكات إدارة الأموال؛
• استراتيجيات الخروج.

باستخدام مؤشر مثل التوقع الرياضي، يمكنك التنبؤ بالربح أو الخسارة عند استثمار دولار واحد. ومن المعروف أن هذا المؤشر المحسوب لجميع الألعاب التي تمارس في الكازينو هو لصالح المنشأة. هذا هو ما يسمح لك بكسب المال. متى سلسلة طويلةالألعاب، تزداد احتمالية خسارة العميل للمال بشكل كبير.

تقتصر الألعاب التي يلعبها اللاعبون المحترفون على فترات زمنية قصيرة، مما يزيد من احتمالية الفوز ويقلل من مخاطر الخسارة. ويلاحظ نفس النمط عند إجراء العمليات الاستثمارية.

يمكن للمستثمر كسب مبلغ كبير من خلال وجود توقعات إيجابية وإجراء عدد كبير من المعاملات في فترة زمنية قصيرة.

يمكن اعتبار التوقع هو الفرق بين نسبة الربح (PW) مضروبة في متوسط ​​الربح (AW) واحتمال الخسارة (PL) مضروبة في متوسط ​​الخسارة (AL).

على سبيل المثال، يمكننا أن نأخذ في الاعتبار ما يلي: المركز – 12.5 ألف دولار، المحفظة – 100 ألف دولار، مخاطر الودائع – 1٪. تبلغ ربحية المعاملات 40٪ من الحالات بمتوسط ​​ربح 20٪. وفي حالة الخسارة يكون متوسط ​​الخسارة 5%. حساب التوقع الرياضي للمعاملة يعطي قيمة 625 دولارًا.

التوقع هو التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي

التوقع الرياضي، التعريف، التوقع الرياضي للمتغيرات العشوائية المنفصلة والمستمرة، العينة، التوقع الشرطي، الحساب، الخصائص، المسائل، تقدير التوقع، التشتت، دالة التوزيع، الصيغ، أمثلة حسابية

قم بتوسيع المحتويات

طي المحتوى

القيمة المتوقعة- هذا هو التعريف

أحد أهم المفاهيم في الإحصاء الرياضي ونظرية الاحتمالات، وهو وصف توزيع القيم أو احتمالات المتغير العشوائي. يتم التعبير عنه عادةً كمتوسط ​​مرجح لجميع المعلمات الممكنة لمتغير عشوائي. يستخدم على نطاق واسع في التحليل الفني، ودراسة سلاسل الأرقام، ودراسة العمليات المستمرة والمستهلكة للوقت. لقد مهمعند تقييم المخاطر، والتنبؤ بمؤشرات الأسعار عند التداول الأسواق المالية، يستخدم في تطوير استراتيجيات وأساليب تكتيكات الألعاب في نظرية القمار.

التوقع الرياضي هومتوسط ​​قيمة المتغير العشوائي، ويؤخذ في الاعتبار التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي في نظرية الاحتمالات.

التوقع الرياضي هومقياس لمتوسط ​​قيمة المتغير العشوائي في نظرية الاحتمالات. توقع وجود متغير عشوائي سيُشار إليه بـ م (خ).

التوقع الرياضي هو

التوقع الرياضي هوفي نظرية الاحتمالات، المتوسط ​​المرجح للجميع القيم الممكنة، والتي يمكن أن يأخذها هذا المتغير العشوائي.

التوقع الرياضي هومجموع منتجات جميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي واحتمالات هذه القيم.

التوقع الرياضي هومتوسط ​​الاستفادة من قرار معين، على أن يمكن اعتبار مثل هذا القرار في إطار نظرية الأعداد الكبيرة والمسافات الطويلة.

التوقع الرياضي هوفي نظرية المقامرة، مقدار المكاسب التي يمكن للاعب أن يكسبها أو يخسرها، في المتوسط، لكل رهان. في لغة المقامرة، يُطلق على هذا أحيانًا اسم "حافة اللاعب" (إذا كانت إيجابية بالنسبة للاعب) أو "حافة المنزل" (إذا كانت سلبية بالنسبة للاعب).

التوقع الرياضي هوالنسبة المئوية للربح لكل فوز مضروبة في متوسط ​​الربح مطروحًا منها احتمال الخسارة مضروبًا في متوسط ​​الخسارة.

التوقع الرياضي للمتغير العشوائي في النظرية الرياضية

إحدى الخصائص العددية المهمة للمتغير العشوائي هي توقعه الرياضي. دعونا نقدم مفهوم نظام المتغيرات العشوائية. لنفكر في مجموعة من المتغيرات العشوائية التي هي نتائج نفس التجربة العشوائية. إذا كانت إحدى القيم المحتملة للنظام، فإن الحدث يتوافق مع احتمال معين يرضي بديهيات كولموغوروف. تسمى الوظيفة المحددة لأي قيم محتملة للمتغيرات العشوائية بقانون التوزيع المشترك. تتيح لك هذه الوظيفة حساب احتمالات أي أحداث من. على وجه الخصوص، قانون التوزيع المشترك للمتغيرات العشوائية، والذي يأخذ القيم من المجموعة ويعطى بالاحتمالات.

مصطلح "التوقع الرياضي" قدمه بيير سيمون ماركيز دي لابلاس (1795) ويأتي من مفهوم "القيمة المتوقعة للمكاسب"، والذي ظهر لأول مرة في القرن السابع عشر في نظرية القمار في أعمال بليز باسكال وكريستيان هيغنز. ومع ذلك، فإن أول فهم نظري كامل وتقييم لهذا المفهوم قدمه بافنوتي لفوفيتش تشيبيشيف (منتصف القرن التاسع عشر).

يصف قانون توزيع المتغيرات العددية العشوائية (دالة التوزيع وسلسلة التوزيع أو كثافة الاحتمال) سلوك المتغير العشوائي بشكل كامل. ولكن في عدد من المسائل يكفي معرفة بعض الخصائص العددية للكمية قيد الدراسة (على سبيل المثال، قيمتها المتوسطة و انحراف محتملمنه) للإجابة على السؤال المطروح. الخصائص العددية الرئيسية للمتغيرات العشوائية هي التوقع الرياضي والتباين والمنوال والوسيط.

التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المنفصل هو مجموع حاصل ضرب قيمه الممكنة والاحتمالات المقابلة لها. ويطلق على التوقع الرياضي أحيانا اسم المتوسط ​​المرجح، لأنه يساوي تقريبا الوسط الحسابي للقيم المرصودة للمتغير العشوائي عند عدد كبيرالتجارب. ويترتب على تعريف التوقع الرياضي أن قيمته لا تقل عن أصغر قيمة ممكنة للمتغير العشوائي ولا تزيد عن أكبرها. التوقع الرياضي للمتغير العشوائي هو متغير غير عشوائي (ثابت).

التوقع الرياضي له معنى فيزيائي بسيط: إذا وضعت كتلة وحدة على خط مستقيم، أو وضعت كتلة معينة في بعض النقاط (لتوزيع منفصل)، أو "تلطيخها" بكثافة معينة (لتوزيع مستمر تمامًا) فإن النقطة المقابلة للتوقع الرياضي ستكون إحداثية "مركز الثقل" مستقيمة.

القيمة المتوسطة للمتغير العشوائي هي رقم معين، كما لو كان "ممثله" ويحل محله في حسابات تقريبية تقريبًا. عندما نقول: "متوسط ​​مدة تشغيل المصباح 100 ساعة" أو "متوسط ​​نقطة الارتطام مزاح بالنسبة للهدف بمقدار 2 متر إلى اليمين"، فإننا نشير إلى خاصية عددية معينة لمتغير عشوائي يصف موقعه على المحور العددي، أي. "خصائص الموقف".

من بين خصائص الموقف في نظرية الاحتمالات، يلعب الدور الأكثر أهمية التوقع الرياضي لمتغير عشوائي، والذي يسمى أحيانًا ببساطة القيمة المتوسطة للمتغير العشوائي.

النظر في المتغير العشوائي X، وجود القيم المحتملة ×1، ×2، …، ×نمع الاحتمالات ص1، ص2، …، ص. نحتاج إلى أن نوصف برقم ما موضع قيم المتغير العشوائي على المحور السيني، مع الأخذ في الاعتبار أن هذه القيم لها احتمالات مختلفة. ولهذا الغرض، فمن الطبيعي استخدام ما يسمى "المتوسط ​​المرجح" للقيم الحادي عشر، ويجب أن تؤخذ كل قيمة xi أثناء المتوسط ​​في الاعتبار مع "وزن" يتناسب مع احتمالية هذه القيمة. وبالتالي، فإننا سوف نحسب متوسط ​​المتغير العشوائي X، والتي نشير إليها م |س|:

ويسمى هذا المتوسط ​​المرجح بالتوقع الرياضي للمتغير العشوائي. وبذلك نكون قد أدخلنا في الاعتبار أحد أهم مفاهيم نظرية الاحتمالات وهو مفهوم التوقع الرياضي. التوقع الرياضي للمتغير العشوائي هو مجموع منتجات جميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي واحتمالات هذه القيم.

Xيرتبط باعتماد غريب على الوسط الحسابي للقيم المرصودة للمتغير العشوائي على عدد كبير من التجارب. وهذا الاعتماد هو من نفس نوع الاعتماد بين التكرار والاحتمال، أي: مع عدد كبير من التجارب، يقترب الوسط الحسابي للقيم المرصودة لمتغير عشوائي (يتقارب في الاحتمالية) من توقعه الرياضي. ومن وجود علاقة بين التكرار والاحتمال يمكن استنتاج وجود علاقة مماثلة بين الوسط الحسابي والتوقع الرياضي. في الواقع، النظر في المتغير العشوائي X، وتتميز بسلسلة التوزيع:

دعها تنتج نتجارب مستقلة، في كل منها القيمة Xيأخذ قيمة معينة. لنفترض أن القيمة ×1ظهر م1مرات، قيمة ×2ظهر م2مرات، معنى عام الحادي عشرظهرت مرات مي. دعونا نحسب الوسط الحسابي للقيم المرصودة للقيمة X، والتي على عكس التوقع الرياضي م|س|نشير م*|س|:

مع تزايد عدد التجارب نالترددات بايسوف تقترب (تتقارب في الاحتمالية) من الاحتمالات المقابلة. وبالتالي الوسط الحسابي للقيم المرصودة للمتغير العشوائي م|س|ومع زيادة عدد التجارب سوف يقترب (يتقارب في الاحتمالية) من توقعاته الرياضية. تشكل العلاقة بين المتوسط ​​الحسابي والتوقع الرياضي المذكورة أعلاه محتوى أحد أشكال قانون الأعداد الكبيرة.

نحن نعلم بالفعل أن جميع أشكال قانون الأعداد الكبيرة تنص على حقيقة أن بعض المتوسطات تكون مستقرة على مدى عدد كبير من التجارب. نحن هنا نتحدث عن ثبات الوسط الحسابي من سلسلة ملاحظات بنفس الكمية. مع عدد قليل من التجارب، يكون المتوسط ​​الحسابي لنتائجها عشوائيًا؛ مع زيادة كافية في عدد التجارب، يصبح "غير عشوائي تقريبًا" ويستقر، ويقترب من قيمة ثابتة - التوقع الرياضي.

يمكن بسهولة التحقق من استقرار المتوسطات على عدد كبير من التجارب تجريبيا. على سبيل المثال، عند وزن جسم ما في المختبر بمقاييس دقيقة، ونتيجة الوزن نحصل على قيمة جديدة في كل مرة؛ لتقليل خطأ الملاحظة، نقوم بوزن الجسم عدة مرات ونستخدم الوسط الحسابي للقيم التي تم الحصول عليها. من السهل أن نرى أنه مع زيادة أخرى في عدد التجارب (الوزن)، يتفاعل الوسط الحسابي مع هذه الزيادة بشكل أقل وأقل، ومع وجود عدد كبير بما فيه الكفاية من التجارب، يتوقف عمليا عن التغيير.

تجدر الإشارة إلى ذلك أهم خاصيةموضع المتغير العشوائي - التوقع الرياضي - غير موجود لجميع المتغيرات العشوائية. من الممكن تكوين أمثلة على هذه المتغيرات العشوائية التي لا يوجد لها توقع رياضي، حيث أن المجموع المقابل أو التكامل يتباعد. ومع ذلك، فإن مثل هذه الحالات ليست ذات أهمية كبيرة للممارسة. عادةً ما تحتوي المتغيرات العشوائية التي نتعامل معها على نطاق محدود من القيم المحتملة، وبطبيعة الحال، لها توقع رياضي.

بالإضافة إلى أهم خصائص موضع المتغير العشوائي - التوقع الرياضي - عمليًا، يتم أحيانًا استخدام خصائص أخرى للموضع، على وجه الخصوص، منوال ووسيط المتغير العشوائي.

نمط المتغير العشوائي هو قيمته الأكثر احتمالا. مصطلح "القيمة الأكثر احتمالا" بالمعنى الدقيق للكلمة ينطبق فقط على الكميات غير المتصلة؛ بالنسبة للكمية المستمرة، يكون الوضع هو القيمة التي تكون فيها كثافة الاحتمال الحد الأقصى. توضح الأشكال طريقة المتغيرات العشوائية المتقطعة والمستمرة، على التوالي.

إذا كان لمضلع التوزيع (منحنى التوزيع) أكثر من حد أقصى واحد، فإن التوزيع يسمى "متعدد الوسائط".

في بعض الأحيان تكون هناك توزيعات تحتوي على الحد الأدنى في المنتصف بدلاً من الحد الأقصى. تسمى هذه التوزيعات "مضادة للوسائط".

في الحالة العامة، لا يتطابق الوضع والتوقع الرياضي للمتغير العشوائي. في الحالة الخاصة، عندما يكون التوزيع متماثلًا ومشروطًا (أي له نمط) ويوجد توقع رياضي، فإنه يتزامن مع نمط ومركز تماثل التوزيع.

غالبًا ما يتم استخدام خاصية موضعية أخرى - ما يسمى بمتوسط ​​المتغير العشوائي. تُستخدم هذه الخاصية عادة فقط للمتغيرات العشوائية المستمرة، على الرغم من أنه يمكن تعريفها رسميًا للمتغير غير المستمر. هندسيًا، الوسيط هو حدود النقطة التي تنقسم عندها المساحة المحاطة بمنحنى التوزيع إلى النصف.

في حالة التوزيع النموذجي المتماثل، يتزامن الوسيط مع التوقع والوضع الرياضي.

التوقع الرياضي هو القيمة المتوسطة للمتغير العشوائي - وهي خاصية عددية للتوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي. في الطريقة الأكثر عمومية، التوقع الرياضي لمتغير عشوائي × (ث)يتم تعريفه على أنه تكامل Lebesgue فيما يتعلق بقياس الاحتمال رفي فضاء الاحتمال الأصلي:

يمكن أيضًا حساب التوقع الرياضي باعتباره تكامل Lebesgue Xعن طريق التوزيع الاحتمالي بكسلكميات X:

يمكن تعريف مفهوم المتغير العشوائي ذو التوقع الرياضي اللانهائي بطريقة طبيعية. والمثال النموذجي هو أوقات العودة لبعض جولات المشي العشوائية.

بمساعدة التوقع الرياضي، العديد من الأرقام و الخصائص الوظيفيةالتوزيعات (مثل التوقع الرياضي للوظائف المقابلة من متغير عشوائي)، على سبيل المثال، توليد الوظيفة، الوظيفة المميزة، لحظات من أي ترتيب، على وجه الخصوص التشتت، التغاير.

التوقع الرياضي هو خاصية موقع قيم المتغير العشوائي (متوسط ​​قيمة توزيعه). وبهذه الصفة، يكون التوقع الرياضي بمثابة بعض معلمات التوزيع "النموذجية" ودورها مشابه لدور العزم الثابت - إحداثيات مركز ثقل توزيع الكتلة - في الميكانيكا. من الخصائص الأخرى للموقع الذي يتم من خلاله وصف التوزيع بعبارات عامة - المتوسطات، والأنماط، يختلف التوقع الرياضي في القيمة الأكبر التي يتمتع بها وخاصية التشتت المقابلة - التشتت - في نظريات الحد لنظرية الاحتمالات. يتم الكشف عن معنى التوقع الرياضي بشكل كامل من خلال قانون الأعداد الكبيرة (عدم مساواة تشيبيشيف) وقانون الأعداد الكبيرة المعزز.

توقع وجود متغير عشوائي منفصل

يجب أن يكون هناك متغير عشوائي يمكن أن يأخذ إحدى القيم الرقمية المتعددة (على سبيل المثال، يمكن أن يكون عدد النقاط عند رمي النرد 1 أو 2 أو 3 أو 4 أو 5 أو 6). في كثير من الأحيان في الممارسة العملية، لمثل هذه القيمة، هناك سؤال: ما هي القيمة التي تأخذها "في المتوسط" مع عدد كبير من الاختبارات؟ ما هو متوسط ​​دخلنا (أو خسارتنا) من كل معاملة من المعاملات المحفوفة بالمخاطر؟

لنفترض أن هناك نوعًا من اليانصيب. نريد أن نفهم ما إذا كان من المربح المشاركة فيها أم لا (أو حتى المشاركة بشكل متكرر ومنتظم). لنفترض أن كل تذكرة رابعة هي الفائزة، وستكون الجائزة 300 روبل، وسعر أي تذكرة سيكون 100 روبل. مع عدد لا نهائي من المشاركات، هذا ما يحدث. في ثلاثة أرباع الحالات، سنخسر، كل ثلاث خسائر ستكلف 300 روبل. في كل حالة رابعة سنفوز بـ 200 روبل. (الجائزة مطروحًا منها التكلفة)، أي أننا نخسر في المتوسط ​​100 روبل لأربع مشاركات، ولواحدة - في المتوسط ​​25 روبل. في المجموع، سيكون متوسط ​​\u200b\u200bسعر الخراب لدينا 25 روبل لكل تذكرة.

نحن رمي النرد. إذا لم يكن ذلك غشًا (دون تغيير مركز الثقل، وما إلى ذلك)، فكم عدد النقاط التي سنحصل عليها في المتوسط ​​في المرة الواحدة؟ وبما أن كل خيار متساوي في الاحتمال، فإننا ببساطة نأخذ الوسط الحسابي ونحصل على 3.5. نظرًا لأن هذا متوسط، فلا داعي للاستياء من عدم وجود لفة محددة ستعطي 3.5 نقطة - حسنًا، هذا المكعب ليس له وجه بهذا الرقم!

الآن دعونا نلخص أمثلةنا:

دعونا نلقي نظرة على الصورة المقدمة للتو. على اليسار جدول توزيع المتغير العشوائي. يمكن أن تأخذ القيمة X إحدى القيم n الممكنة (كما هو موضح في السطر العلوي). ولا يمكن أن يكون هناك أي معاني أخرى. تحت كل قيمة محتملة، يتم كتابة احتمالها أدناه. على اليمين توجد الصيغة، حيث يُطلق على M(X) اسم التوقع الرياضي. معنى هذه القيمة هو أنه مع وجود عدد كبير من الاختبارات (مع عينة كبيرة)، فإن متوسط ​​القيمة سوف يميل إلى نفس التوقع الرياضي.

دعنا نعود مرة أخرى إلى نفس مكعب اللعب. التوقع الرياضي لعدد النقاط عند الرمي هو 3.5 (احسبه بنفسك باستخدام الصيغة إذا كنت لا تصدقني). لنفترض أنك رميتها عدة مرات. وكانت النتائج 4 و6. وكان المتوسط ​​5، وهو بعيد عن 3.5. لقد ألقوا بها مرة أخرى، وحصلوا على 3، أي في المتوسط ​​(4 + 6 + 3)/3 = 4.3333... بعيدًا إلى حد ما عن التوقعات الرياضية. والآن قم بتجربة مجنونة: قم بلف المكعب 1000 مرة! وحتى لو لم يكن المتوسط ​​3.5 بالضبط، فإنه سيكون قريبًا من ذلك.

دعونا نحسب التوقع الرياضي لليانصيب الموصوف أعلاه. ستبدو اللوحة هكذا:

فيكون التوقع الرياضي كما ذكرنا أعلاه:

شيء آخر هو أنه سيكون من الصعب فعل الشيء نفسه "على الأصابع"، بدون صيغة، إذا كان هناك المزيد من الخيارات. حسنًا، لنفترض أنه سيكون هناك 75% من التذاكر الخاسرة، و20% من التذاكر الفائزة، و5% بشكل خاص التذاكر الفائزة.

الآن بعض خصائص التوقع الرياضي.

من السهل إثبات:

ويمكن إخراج العامل الثابت كعلامة على التوقع الرياضي، وهو:

هذه حالة خاصة من الخاصية الخطية للتوقع الرياضي.

نتيجة أخرى لخطية التوقع الرياضي:

أي أن التوقع الرياضي لمجموع المتغيرات العشوائية يساوي مجموع التوقعات الرياضية للمتغيرات العشوائية.

دع X، Y تكون متغيرات عشوائية مستقلة، ثم:

ومن السهل أيضًا إثبات ذلك) العمل س صفي حد ذاته متغير عشوائي، وإذا كانت القيم الأولية يمكن أن تأخذ نو مالقيم وفقا لذلك، ثم س صيمكن أن تأخذ قيم نانومتر. يتم حساب احتمالية كل قيمة بناءً على حقيقة الاحتمالات أحداث مستقلةتتضاعف. ونتيجة لذلك نحصل على هذا:

توقع متغير عشوائي مستمر

المتغيرات العشوائية المستمرة لها خاصية مثل كثافة التوزيع (كثافة الاحتمال). إنه يميز بشكل أساسي الموقف الذي توجد فيه بعض القيم من المجموعة أرقام حقيقيةيأخذ المتغير العشوائي مرات أكثر، وبعضها أقل. على سبيل المثال، النظر في هذا الرسم البياني:

هنا X- المتغير العشوائي الفعلي، و (خ)- كثافة التوزيع. اذا حكمنا من خلال هذا الرسم البياني، خلال التجارب القيمة Xغالبًا ما يكون رقمًا قريبًا من الصفر. تم تجاوز الفرص 3 أو تكون أصغر -3 بالأحرى نظرية بحتة.

لنفترض، على سبيل المثال، أن يكون هناك توزيع موحد:

وهذا يتوافق تمامًا مع الفهم البديهي. لنفترض أنه إذا تلقينا العديد من الأرقام الحقيقية العشوائية مع توزيع موحد، كل قطعة |0; 1| ، فيجب أن يكون الوسط الحسابي حوالي 0.5.

خصائص التوقع الرياضي - الخطية، وما إلى ذلك، والتي تنطبق على المتغيرات العشوائية المنفصلة، ​​تنطبق هنا أيضًا.

العلاقة بين التوقع الرياضي والمؤشرات الإحصائية الأخرى

في التحليل الإحصائي، إلى جانب التوقع الرياضي، هناك نظام من المؤشرات المترابطة التي تعكس تجانس الظواهر واستقرار العمليات. غالبًا ما لا يكون لمؤشرات التباين أي معنى مستقل وتستخدم لمزيد من تحليل البيانات. والاستثناء هو معامل التباين الذي يميز تجانس البيانات وهو خاصية إحصائية قيمة.

يمكن قياس درجة التباين أو استقرار العمليات في العلوم الإحصائية باستخدام عدة مؤشرات.

أهم مؤشر يميز تباين المتغير العشوائي هو تشتت، والذي يرتبط ارتباطًا وثيقًا ومباشرًا بالتوقع الرياضي. يتم استخدام هذه المعلمة بنشاط في أنواع أخرى من التحليل الإحصائي (اختبار الفرضيات، وتحليل العلاقات بين السبب والنتيجة، وما إلى ذلك). مثل متوسط ​​الانحراف الخطي، يعكس التباين أيضًا مدى انتشار البيانات حول القيمة المتوسطة.

ومن المفيد ترجمة لغة الإشارات إلى لغة الكلمات. وتبين أن التشتت هو متوسط ​​مربع الانحرافات. أي أنه يتم حساب متوسط ​​القيمة أولاً، ثم يتم أخذ الفرق بين كل قيمة أصلية ومتوسطة، وتربيعه، وإضافته، ثم قسمته على عدد القيم في المجتمع. يعكس الفرق بين القيمة الفردية والمتوسط ​​مقياس الانحراف. يتم تربيعها بحيث تصبح جميع الانحرافات أرقامًا موجبة حصريًا ولتجنب التدمير المتبادل للانحرافات الإيجابية والسلبية عند تلخيصها. وبعد ذلك، وبالنظر إلى الانحرافات التربيعية، فإننا ببساطة نحسب الوسط الحسابي. المتوسط ​​- المربع - الانحرافات. يتم تربيع الانحرافات ويتم حساب المتوسط. الجواب على الكلمة السحرية "التشتت" يكمن في ثلاث كلمات فقط.

ومع ذلك، في شكل نقي، مثل الوسط الحسابي، أو الفهرس، ولا يتم استخدام التباين. إنه بالأحرى مؤشر مساعد ومتوسط ​​يستخدم لأنواع أخرى من التحليل الإحصائي. ولا تحتوي حتى على وحدة قياس عادية. إذا حكمنا من خلال الصيغة، فهذا هو مربع وحدة قياس البيانات الأصلية.

دعونا نقيس متغير عشوائي نمرات، على سبيل المثال، نقيس سرعة الرياح عشر مرات ونريد إيجاد القيمة المتوسطة. كيف ترتبط القيمة المتوسطة بوظيفة التوزيع؟

أو أننا سوف رمي النرد عدد كبير منمرة واحدة. عدد النقاط التي ستظهر على حجر النرد مع كل رمية هو متغير عشوائي ويمكن أن يأخذ أي قيمة طبيعية من 1 إلى 6. والمتوسط ​​الحسابي للنقاط المسقطة المحسوبة لجميع رميات النرد هو أيضًا متغير عشوائي، ولكن بالنسبة للرميات الكبيرة نإنه يميل إلى رقم محدد للغاية - التوقع الرياضي مكس. في هذه الحالة Mx ​​= 3.5.

كيف حصلت على هذه القيمة؟ اتركه نالاختبارات ن1بمجرد حصولك على نقطة واحدة، ن2مرة واحدة - نقطتان وهكذا. ثم عدد النتائج التي سقطت فيها نقطة واحدة:

وبالمثل بالنسبة للنتائج عندما يتم رمي 2 و3 و4 و5 و6 نقاط.

لنفترض الآن أننا نعرف قانون توزيع المتغير العشوائي x، أي أننا نعلم أن المتغير العشوائي x يمكن أن يأخذ القيم x1، x2، ...، xk مع الاحتمالات p1، p2، ​​...، pk.

التوقع الرياضي Mx للمتغير العشوائي x يساوي:

إن التوقع الرياضي ليس دائمًا تقديرًا معقولًا لبعض المتغيرات العشوائية. لذلك، لتقدير المتوسط أجورمن المنطقي أكثر استخدام مفهوم الوسيط، أي القيمة التي يتزامن فيها عدد الأشخاص الذين يتلقون راتبًا أقل من المتوسط ​​مع راتب أكبر.

الاحتمال p1 أن المتغير العشوائي x سيكون أقل من x1/2، والاحتمال p2 أن المتغير العشوائي x سيكون أكبر من x1/2، هما نفس الشيء ويساويان 1/2. لا يتم تحديد الوسيط بشكل فريد لجميع التوزيعات.

الانحراف المعياري أو المعياريفي الإحصاء، تسمى درجة انحراف بيانات المراقبة أو المجموعات عن القيمة المتوسطة. يُشار إليه بالحروف s أو s. يشير الانحراف المعياري الصغير إلى أن البيانات تتجمع حول المتوسط، بينما يشير الانحراف المعياري الكبير إلى أن البيانات الأولية تقع بعيدًا عنه. الانحراف المعياري هو الجذر التربيعيكمية تسمى التشتت. إنه متوسط ​​مجموع الفروق التربيعية للبيانات الأولية التي تنحرف عن القيمة المتوسطة. الانحراف المعياري للمتغير العشوائي هو الجذر التربيعي للتباين:

مثال. في ظل ظروف الاختبار عند إطلاق النار على هدف، احسب التشتت والانحراف المعياري للمتغير العشوائي:

تفاوت- التقلب والتغير في قيمة الخاصية بين وحدات السكان. تسمى القيم العددية الفردية للخاصية الموجودة في السكان قيد الدراسة متغيرات القيم. القيمة المتوسطة غير كافية لـ الخصائص الكاملةيجبرنا السكان على استكمال القيم المتوسطة بمؤشرات تسمح لنا بتقييم نموذجية هذه المتوسطات من خلال قياس التباين (التباين) للخاصية قيد الدراسة. يتم حساب معامل الاختلاف باستخدام الصيغة:

نطاق الاختلاف(R) يمثل الفرق بين الحد الأقصى و الحد الأدنى من القيمسمة في السكان قيد الدراسة. هذا المؤشر يعطي أكثر فكرة عامةحول تباين الخاصية المدروسة، حيث أنها تظهر الفرق فقط بين القيم الحدية للخيارات. الاعتماد على القيم المتطرفة للخاصية يمنح نطاق الاختلاف طابعًا عشوائيًا غير مستقر.

متوسط ​​الانحراف الخطييمثل الوسط الحسابي للانحرافات المطلقة (المعيارية) لجميع قيم السكان الذين تم تحليلهم عن متوسط ​​قيمتها:

التوقع الرياضي في نظرية القمار

التوقع الرياضي هومتوسط ​​المبلغ المالي الذي يمكن للمقامر ربحه أو خسارته في رهان معين. يعد هذا مفهومًا مهمًا جدًا للاعب لأنه أساسي لتقييم معظم مواقف الألعاب. يعد التوقع الرياضي أيضًا الأداة المثالية لتحليل تخطيطات البطاقات الأساسية ومواقف الألعاب.

لنفترض أنك تلعب لعبة العملات المعدنية مع صديق، وتراهن بالتساوي بمبلغ دولار واحد في كل مرة، بغض النظر عما يحدث. الذيول يعني أنك تفوز، والرأس يعني أنك تخسر. احتمالات ظهور الأمر هي واحد إلى واحد، لذلك تراهن بمبلغ 1 دولار إلى 1 دولار. وبالتالي فإن توقعك الرياضي هو صفر، لأن من وجهة نظر رياضية، لا يمكنك معرفة ما إذا كنت ستتقدم أم ستخسر بعد رميتين أو بعد 200.

ربحك بالساعة هو صفر. المكاسب بالساعة هي مقدار المال الذي تتوقع ربحه خلال ساعة. يمكنك رمي قطعة النقود 500 مرة في الساعة، لكنك لن تفوز أو تخسر لأن... فرصك ليست إيجابية ولا سلبية. إذا نظرت إليها، من وجهة نظر اللاعب الجاد، فإن نظام الرهان هذا ليس سيئًا. ولكن هذا مجرد مضيعة للوقت.

ولكن لنفترض أن شخصًا ما يريد المراهنة بمبلغ 2 دولار مقابل 1 دولار في نفس اللعبة. ثم لديك على الفور توقع إيجابي بقيمة 50 سنتًا من كل رهان. لماذا 50 سنتا؟ في المتوسط، تفوز برهان واحد وتخسر ​​الثاني. راهن بالدولار الأول وستخسر 1 دولار، وراهن بالدولار الثاني وستربح 2 دولار. لقد راهنت بدولار واحد مرتين وتتقدم بمقدار دولار واحد. لذا فإن كل رهاناتك بدولار واحد أعطاك 50 سنتًا.

إذا ظهرت العملة 500 مرة في ساعة واحدة، فإن أرباحك في الساعة ستكون بالفعل 250 دولارًا، لأن... في المتوسط، خسرت دولارًا واحدًا 250 مرة وربحت دولارين 250 مرة. 500 دولار ناقص 250 دولارًا يساوي 250 دولارًا، وهو إجمالي المكاسب. يرجى ملاحظة أن القيمة المتوقعة، وهي متوسط ​​المبلغ الذي تربحه لكل رهان، هي 50 سنتًا. لقد ربحت 250 دولارًا عن طريق المراهنة بدولار 500 مرة، أي ما يعادل 50 سنتًا لكل رهان.

التوقع الرياضي ليس له علاقة بالنتائج قصيرة المدى. يمكن لخصمك، الذي قرر المراهنة بمبلغ 2 دولار ضدك، أن يهزمك في أول عشر لفات على التوالي، ولكنك، الذي تتمتع بميزة المراهنة بنسبة 2 إلى 1، مع تساوي جميع العوامل الأخرى، سوف تكسب 50 سنتًا على كل رهان بقيمة 1 دولار في أي رهان. ظروف. لا يوجد فرق سواء فزت أو خسرت رهانًا واحدًا أو عدة رهانات، طالما أن لديك ما يكفي من النقود لتغطية التكاليف بشكل مريح. إذا واصلت الرهان بنفس الطريقة، فمن أجل فترة طويلةبمرور الوقت، ستقترب أرباحك من مجموع القيم المتوقعة في القوائم الفردية.

في كل مرة تقوم فيها بأفضل رهان (رهان قد يتبين أنه مربح على المدى الطويل)، عندما تكون الاحتمالات في صالحك، لا بد أن تفوز بشيء ما، بغض النظر عما إذا كنت قد خسرته أم لا في أعطى اليد. على العكس من ذلك، إذا قمت بوضع رهان مستضعف (رهان غير مربح على المدى الطويل) عندما تكون الاحتمالات ضدك، فستخسر شيئًا بغض النظر عما إذا كنت قد فزت أو خسرت توزيع الورق.

أنت تضع رهانا بأفضل النتائج إذا كانت توقعاتك إيجابية، وتكون إيجابية إذا كانت الاحتمالات في صالحك. عندما تضع رهانًا بأسوأ نتيجة، يكون لديك توقعات سلبية، وهو ما يحدث عندما تكون الاحتمالات ضدك. اللاعبون الجادون يراهنون فقط على أفضل النتائج، وإذا حدث الأسوأ، فإنهم ينسحبون. ماذا تعني الاحتمالات لصالحك؟ قد ينتهي بك الأمر بالفوز بأكثر مما تجلبه الاحتمالات الحقيقية. الاحتمالات الحقيقية لرؤوس الهبوط هي 1 إلى 1، لكنك تحصل على 2 إلى 1 بسبب نسبة الأرجحية. في هذه الحالة، الاحتمالات في صالحك. ستحصل بالتأكيد على أفضل النتائج مع توقع إيجابي قدره 50 سنتًا لكل رهان.

إليك المزيد مثال معقدتوقع رياضي. يقوم أحد الأصدقاء بكتابة الأرقام من واحد إلى خمسة ويراهن بمبلغ 5 دولارات مقابل الدولار الواحد الخاص بك بحيث لا يمكنك تخمين الرقم. هل يجب أن توافق على مثل هذا الرهان؟ ما هو التوقع هنا؟

في المتوسط ​​سوف تكون مخطئا أربع مرات. وبناءً على ذلك، فإن احتمالات عدم تخمينك للرقم هي 4 إلى 1. احتمالات عدم خسارتك دولارًا في محاولة واحدة. ومع ذلك، فإنك تفوز بنسبة 5 إلى 1، مع إمكانية الخسارة بنسبة 4 إلى 1. وبالتالي فإن الاحتمالات في صالحك، ويمكنك أن تأخذ الرهان وتأمل في الحصول على أفضل النتائج. إذا قمت بهذا الرهان خمس مرات، فسوف تخسر في المتوسط ​​دولارًا واحدًا أربع مرات وتربح 5 دولارات مرة واحدة. وبناءً على ذلك، لجميع المحاولات الخمس سوف تكسب دولارًا واحدًا مع توقع رياضي إيجابي قدره 20 سنتًا لكل رهان.

اللاعب الذي سيفوز بأكثر مما يراهن، كما في المثال أعلاه، يجازف. على العكس من ذلك، فهو يفسد فرصه عندما يتوقع فوزاً أقل مما يراهن. يمكن للمراهن أن يكون لديه توقعات إيجابية أو سلبية، وهذا يعتمد على ما إذا كان سيفوز أو يفسد الاحتمالات.

إذا راهنت بمبلغ 50 دولارًا لتربح 10 دولارات مع فرصة للفوز بنسبة 4 إلى 1، فستحصل على توقع سلبي بقيمة 2 دولار لأنه في المتوسط، سوف تربح 10 دولارات أربع مرات وتخسر ​​50 دولارًا مرة واحدة، مما يدل على أن الخسارة لكل رهان ستكون 10 دولارات. ولكن إذا راهنت بمبلغ 30 دولارًا لتربح 10 دولارات، مع نفس احتمالات الفوز بنسبة 4 إلى 1، ففي هذه الحالة يكون لديك توقع إيجابي بقيمة 2 دولار، لأنه تربح مرة أخرى 10 دولارات أربع مرات وتخسر ​​30 دولارًا مرة واحدة، لتحقق ربحًا قدره 10 دولارات. توضح هذه الأمثلة أن الرهان الأول سيئ، والثاني جيد.

التوقع الرياضي هو مركز أي موقف ألعاب. عندما يشجع وكيل المراهنات مشجعي كرة القدم على المراهنة بمبلغ 11 دولارًا للفوز بـ 10 دولارات، فإن لديه توقعات إيجابية تبلغ 50 سنتًا على كل 10 دولارات. إذا قام الكازينو بدفع أموال حتى من خط المرور في لعبة الكرابس، فإن التوقع الإيجابي للكازينو سيكون حوالي 1.40 دولارًا لكل 100 دولار، لأن تم تصميم هذه اللعبة بحيث يخسر أي شخص يراهن على هذا الخط بنسبة 50.7% في المتوسط ​​ويفوز بنسبة 49.3% من الوقت الإجمالي. مما لا شك فيه أن هذا الحد الأدنى من التوقعات الإيجابية هو الذي يجلب أرباحًا هائلة لأصحاب الكازينو حول العالم. وكما أشار بوب ستوباك، مالك كازينو فيجاس وورلد، فإن "احتمالًا سلبيًا بنسبة واحد في الألف من واحد بالمائة على مسافة طويلة بما فيه الكفاية سيدمر أغنى رجل في العالم".

التوقع عند لعب البوكر

وتعتبر لعبة البوكر المثال الأكثر توضيحا وتوضيحا من وجهة نظر استخدام نظرية وخصائص التوقع الرياضي.

القيمة المتوقعة في لعبة البوكر هي متوسط ​​الاستفادة من قرار معين، بشرط أن يمكن اعتبار مثل هذا القرار في إطار نظرية الأعداد الكبيرة والمسافات الطويلة. لعبة ناجحةفي لعبة البوكر هو قبول الحركات دائمًا فقط مع توقع رياضي إيجابي.

المعنى الرياضي للتوقع الرياضي عند لعب البوكر هو أننا غالبًا ما نواجه متغيرات عشوائية عند اتخاذ القرارات (لا نعرف ما هي البطاقات التي يحملها الخصم في يديه، وما هي البطاقات التي ستأتي في جولات الرهان اللاحقة). يجب علينا النظر في كل حل من الحلول من وجهة نظر نظرية الأعداد الكبيرة، التي تنص على أنه مع وجود عينة كبيرة بما فيه الكفاية، فإن متوسط ​​قيمة المتغير العشوائي سوف يميل إلى توقعه الرياضي.

من بين الصيغ الخاصة لحساب التوقع الرياضي، ما يلي هو الأكثر تطبيقًا في لعبة البوكر:

عند لعب البوكر، يمكن حساب القيمة المتوقعة لكل من الرهانات والمكالمات. في الحالة الأولى، ينبغي أن تؤخذ الأسهم القابلة للطي في الاعتبار، وفي الحالة الثانية، احتمالات البنك الخاصة. عند تقييم التوقع الرياضي لحركة معينة، يجب أن تتذكر أن الطية دائمًا ما يكون توقعها صفرًا. وبالتالي، فإن التخلص من البطاقات سيكون دائمًا قرارًا أكثر ربحية من أي خطوة سلبية.

يخبرك التوقع بما يمكنك توقعه (الربح أو الخسارة) مقابل كل دولار تخاطر به. تجني الكازينوهات الأموال لأن التوقعات الرياضية لجميع الألعاب التي يتم لعبها فيها تكون لصالح الكازينو. مع سلسلة طويلة بما فيه الكفاية من الألعاب، يمكنك أن تتوقع أن يخسر العميل أمواله، لأن "الاحتمالات" لصالح الكازينو. ومع ذلك، فإن لاعبي الكازينو المحترفين يقصرون ألعابهم على فترات زمنية قصيرة، وبالتالي تتراكم الاحتمالات لصالحهم. الشيء نفسه ينطبق على الاستثمار. إذا كانت توقعاتك إيجابية، فيمكنك كسب المزيد من المال عن طريق إجراء العديد من الصفقات في فترة زمنية قصيرة. التوقع هو النسبة المئوية للربح لكل فوز مضروبة في متوسط ​​ربحك، مطروحًا منه احتمال الخسارة مضروبًا في متوسط ​​خسارتك.

يمكن أيضًا اعتبار البوكر من وجهة نظر التوقع الرياضي. قد تفترض أن حركة معينة مربحة، ولكن في بعض الحالات قد لا تكون الأفضل لأن حركة أخرى أكثر ربحية. لنفترض أنك حصلت على منزل كامل في لعبة البوكر ذات الخمس أوراق. خصمك يراهن. أنت تعلم أنه إذا قمت برفع الرهان، فسوف يستجيب. لذلك، يبدو أن الرفع هو أفضل تكتيك. ولكن إذا قمت برفع الرهان، فسوف ينسحب اللاعبان المتبقيان بالتأكيد. ولكن إذا اتصلت، فلديك ثقة كاملة في أن اللاعبين الآخرين الذين يقفون خلفك سيفعلون الشيء نفسه. عندما ترفع رهانك تحصل على وحدة واحدة، وعندما تتصل فقط تحصل على وحدتين. وبالتالي، فإن الاتصال يمنحك قيمة متوقعة إيجابية أعلى وسيكون أفضل تكتيك.

يمكن أن يعطي التوقع الرياضي أيضًا فكرة عن تكتيكات البوكر الأقل ربحية والأكثر ربحية. على سبيل المثال، إذا لعبت بتوزيع ورق معين وتعتقد أن خسارتك ستبلغ في المتوسط ​​75 سنتًا بما في ذلك الرهان المسبق، فيجب عليك أن تلعب توزيع الورق هذا لأنه وهذا أفضل من الطي عندما يكون الرهان المسبق 1 دولار.

سبب آخر مهم لفهم مفهوم القيمة المتوقعة هو أنه يمنحك شعورا براحة البال سواء فزت بالرهان أم لا: إذا قمت برهان جيد أو طويت في الوقت المناسب، فسوف تعرف أنك ربحت أو توفير مبلغ معين من المال لا يستطيع اللاعب الأضعف ادخاره. من الصعب جدًا التراجع إذا كنت منزعجًا لأن خصمك رسم يدًا أقوى. مع كل هذا، فإن الأموال التي توفرها بعدم اللعب بدلاً من المراهنة تتم إضافتها إلى أرباحك لليلة أو شهر.

فقط تذكر أنه إذا غيرت يديك، فسيناديك خصمك، وكما سترى في مقال النظرية الأساسية للبوكر، فهذه مجرد واحدة من مزاياك. يجب أن تكون سعيدًا عندما يحدث هذا. يمكنك أيضًا أن تتعلم كيفية الاستمتاع بخسارة توزيع الورق لأنك تعلم أن اللاعبين الآخرين في مركزك كانوا سيخسرون أكثر من ذلك بكثير.

كما تمت مناقشته في مثال لعبة العملة في البداية، ترتبط نسبة الربح بالساعة بالتوقعات الرياضية هذا المفهوممهم بشكل خاص للاعبين المحترفين. عندما تذهب للعب البوكر، يجب عليك أن تقدر عقليًا المبلغ الذي يمكنك الفوز به خلال ساعة من اللعب. في معظم الحالات، ستحتاج إلى الاعتماد على حدسك وخبرتك، ولكن يمكنك أيضًا استخدام بعض الرياضيات. على سبيل المثال، إذا كنت تلعب كرة منخفضة وشاهدت ثلاثة لاعبين يراهنون بمبلغ 10 دولارات ثم يتبادلون ورقتين، وهو تكتيك سيء للغاية، يمكنك معرفة أنه في كل مرة يراهنون فيها بمبلغ 10 دولارات، فإنهم يخسرون حوالي 2 دولار. يقوم كل منهم بذلك ثماني مرات في الساعة، مما يعني أن الثلاثة يخسرون حوالي 48 دولارًا في الساعة. أنت أحد اللاعبين الأربعة المتبقين المتساويين تقريبًا، لذلك يجب على هؤلاء اللاعبين الأربعة (وأنت من بينهم) تقسيم 48 دولارًا، بحيث يحقق كل منهم ربحًا قدره 12 دولارًا في الساعة. احتمالاتك بالساعة في هذه الحالة تساوي ببساطة حصتك من المبلغ المالي الذي خسره ثلاثة لاعبين سيئين في الساعة.

على مدى فترة طويلة من الزمن، يكون إجمالي مكاسب اللاعب هو مجموع توقعاته الرياضية في الأيدي الفردية. كلما زاد عدد توزيعات الورق التي تلعبها بتوقع إيجابي، كلما فزت أكثر، وعلى العكس من ذلك، كلما زاد عدد توزيعات الورق التي تلعب بها بتوقعات سلبية، زادت خسارتك. ونتيجة لذلك، يجب عليك اختيار لعبة يمكنها زيادة توقعاتك الإيجابية إلى الحد الأقصى أو إلغاء توقعاتك السلبية حتى تتمكن من تحقيق أقصى قدر من أرباحك في الساعة.

توقعات رياضية إيجابية في استراتيجية الألعاب

إذا كنت تعرف كيفية عد البطاقات، فيمكنك الحصول على ميزة على الكازينو، طالما أنهم لم يلاحظوا ذلك ويطردونك. الكازينوهات تحب اللاعبين المخمورين ولا تتسامح مع لاعبي عد البطاقات. ستسمح لك الميزة بالفوز بمرور الوقت. عدد أكبرمرات من أن يخسر. يمكن أن تساعدك الإدارة الجيدة للأموال باستخدام حسابات القيمة المتوقعة في استخلاص المزيد من الأرباح من هامشك وتقليل خسائرك. بدون ميزة، من الأفضل أن تتبرع بالمال للجمعيات الخيرية. في اللعبة في البورصة، الميزة تعطى من خلال نظام اللعبة، مما يحقق أرباحًا أكبر من الخسائر وفروق الأسعار والعمولات. لا يمكن لأي قدر من إدارة الأموال أن ينقذ شيئًا سيئًا نظام الألعاب.

يتم تعريف التوقع الإيجابي على أنه قيمة أكبر من الصفر. وكلما زاد هذا الرقم، كلما كانت التوقعات الإحصائية أقوى. إذا كانت القيمة أقل من الصفر، فإن التوقع الرياضي سيكون سلبيًا أيضًا. كلما كانت وحدة القيمة السالبة أكبر، كان الوضع أسوأ. إذا كانت النتيجة صفر، فإن الانتظار هو نقطة التعادل. لا يمكنك الفوز إلا عندما يكون لديك توقعات رياضية إيجابية ونظام لعب معقول. اللعب بالحدس يؤدي إلى الكارثة.

التوقعات الرياضية وتداول الأسهم

التوقع الرياضي هو مؤشر إحصائي شائع الاستخدام على نطاق واسع عند تنفيذ تداول العملات في الأسواق المالية. أولا وقبل كل شيء، يتم استخدام هذه المعلمة لتحليل نجاح التداول. ليس من الصعب تخمين ذلك أكثر قيمة معينة، وهو سبب إضافي لاعتبار التجارة قيد الدراسة ناجحة. وبطبيعة الحال، لا يمكن إجراء تحليل لعمل المتداول باستخدام هذه المعلمة وحدها. ومع ذلك، فإن القيمة المحسوبة، بالاشتراك مع أساليب أخرى لتقييم جودة العمل، يمكن أن تزيد بشكل كبير من دقة التحليل.

غالبًا ما يتم حساب التوقع الرياضي في خدمات مراقبة حساب التداول، مما يسمح لك بتقييم العمل المنجز على الإيداع بسرعة. وتشمل الاستثناءات الاستراتيجيات التي تستخدم الصفقات غير المربحة "الجلوس". قد يكون المتداول محظوظاً لبعض الوقت، وبالتالي قد لا تكون هناك خسائر في عمله على الإطلاق. في هذه الحالة، لن يكون من الممكن الاسترشاد بالتوقعات الرياضية فقط، لأنه لن يتم أخذ المخاطر المستخدمة في العمل بعين الاعتبار.

في تداول السوق، يتم استخدام التوقع الرياضي في أغلب الأحيان عند التنبؤ بربحية أي شركة استراتيجية التداولأو عند التنبؤ بدخل المتداول بناءً على البيانات الإحصائية من تداولاته السابقة.

فيما يتعلق بإدارة الأموال، من المهم جدًا أن نفهم أنه عند إجراء عمليات تداول ذات توقعات سلبية، لا يوجد نظام لإدارة الأموال يمكنه بالتأكيد تحقيق أرباح عالية. إذا واصلت اللعب في سوق الأوراق المالية في ظل هذه الظروف، فبغض النظر عن كيفية إدارتك لأموالك، فسوف تخسر حسابك بالكامل، بغض النظر عن حجمه في البداية.

هذه البديهية لا تنطبق فقط على الألعاب أو الصفقات ذات التوقعات السلبية، بل تنطبق أيضًا على الألعاب ذات الفرص المتساوية. لهذا الحالة الوحيدةعندما تتاح لك الفرصة للاستفادة منها طويل الأمد، هو إبرام المعاملات مع توقعات رياضية إيجابية.

الفرق بين التوقع السلبي والتوقع الإيجابي هو الفرق بين الحياة والموت. لا يهم مدى إيجابية أو سلبية التوقعات؛ كل ما يهم هو ما إذا كان إيجابيا أم سلبيا. لذلك، قبل التفكير في إدارة الأموال، يجب عليك العثور على لعبة ذات توقعات إيجابية.

إذا لم تكن لديك هذه اللعبة، فلن تنقذك إدارة الأموال في العالم. من ناحية أخرى، إذا كان لديك توقعات إيجابية، فيمكنك، من خلال الإدارة السليمة للأموال، تحويلها إلى دالة نمو أسي. لا يهم مدى صغر التوقعات الإيجابية! بمعنى آخر، لا يهم مدى ربحية نظام التداول بناءً على عقد واحد. إذا كان لديك نظام يفوز بمبلغ 10 دولارات لكل عقد لكل صفقة (بعد العمولات والانزلاق)، فيمكنك استخدام تقنيات إدارة الأموال لجعله أكثر ربحية من النظام الذي يبلغ متوسطه 1000 دولار لكل صفقة (بعد خصم العمولات والانزلاق).

ما يهم ليس مدى ربحية النظام، ولكن مدى التأكد من أن النظام يُظهر على الأقل الحد الأدنى من الربح في المستقبل. ولذلك، فإن أهم إعداد يمكن للمتداول القيام به هو التأكد من أن النظام سيُظهر قيمة متوقعة إيجابية في المستقبل.

لكي تحصل على قيمة إيجابية متوقعة في المستقبل، من المهم جدًا عدم الحد من درجات حرية نظامك. ويتم تحقيق ذلك ليس فقط عن طريق إزالة أو تقليل عدد المعلمات المراد تحسينها، ولكن أيضًا عن طريق تقليلها قدر الإمكان أكثرقواعد النظام. كل معلمة تضيفها، وكل قاعدة تقوم بها، وكل تغيير صغير تجريه على النظام يقلل من عدد درجات الحرية. من الناحية المثالية، تحتاج إلى بناء نظام بدائي وبسيط إلى حد ما من شأنه أن يجلب باستمرار ربح صغيرفي أي سوق تقريبًا. مرة أخرى، من المهم بالنسبة لك أن تفهم أنه لا يهم مدى ربحية النظام، طالما أنه مربح. سيتم كسب الأموال التي تكسبها من التداول من خلال الإدارة الفعالةمال.

نظام التداول هو ببساطة أداة تمنحك قيمة متوقعة إيجابية حتى تتمكن من استخدام إدارة الأموال. إن الأنظمة التي تنجح (تظهر الحد الأدنى من الأرباح على الأقل) في سوق واحد فقط أو عدد قليل من الأسواق، أو التي لديها قواعد أو معايير مختلفة لأسواق مختلفة، من المرجح ألا تعمل في الوقت الحقيقي لفترة طويلة. المشكلة مع معظم المتداولين ذوي التوجهات الفنية هي أنهم يقضون الكثير من الوقت والجهد في التحسين قواعد مختلفةوقيم معلمات نظام التداول. وهذا يعطي نتائج معاكسة تماما. بدلاً من إهدار الطاقة ووقت الكمبيوتر في زيادة أرباح نظام التداول، قم بتوجيه طاقتك نحو زيادة مستوى الموثوقية للحصول على الحد الأدنى من الربح.

مع العلم أن إدارة الأموال هي مجرد لعبة أرقام تتطلب استخدام التوقعات الإيجابية، يمكن للمتداول التوقف عن البحث عن "الكأس المقدسة" لتداول الأسهم. وبدلاً من ذلك، يمكنه البدء في اختبار طريقة التداول الخاصة به، ومعرفة مدى منطقية هذه الطريقة، وما إذا كانت تعطي توقعات إيجابية. الطرق الصحيحةإدارة الأموال، المطبقة على أي طريقة تداول، حتى ولو كانت متواضعة جدًا، سوف تقوم ببقية العمل بنفسها.

لكي ينجح أي متداول في عمله، عليه حل ثلاث مهام أهمها: . التأكد من أن عدد المعاملات الناجحة يفوق الأخطاء وسوء التقدير التي لا مفر منها؛ قم بإعداد نظام التداول الخاص بك بحيث تتاح لك الفرصة لكسب المال كلما أمكن ذلك؛ تحقيق نتائج إيجابية مستقرة من عملياتك.

وهنا، بالنسبة لنا نحن المتداولين، يمكن للتوقعات الرياضية أن تكون ذات فائدة كبيرة. هذا المصطلح هو أحد المصطلحات الأساسية في نظرية الاحتمالات. بمساعدتها، يمكنك تقديم تقدير متوسط ​​لبعض القيمة العشوائية. إن التوقع الرياضي للمتغير العشوائي يشبه مركز الثقل، إذا تخيلت كل الاحتمالات الممكنة كنقاط ذات كتل مختلفة.

فيما يتعلق باستراتيجية التداول، غالبا ما يستخدم التوقع الرياضي للربح (أو الخسارة) لتقييم فعاليتها. يتم تعريف هذه المعلمة على أنها مجموع منتجات مستويات معينة من الربح والخسارة واحتمال حدوثها. على سبيل المثال، تفترض استراتيجية التداول المطورة أن 37% من جميع المعاملات ستجلب الربح، والجزء المتبقي - 63% - لن يكون مربحًا. وفي الوقت نفسه، سيكون متوسط ​​الدخل من الصفقة الناجحة 7 دولارات، ومتوسط ​​الخسارة 1.4 دولار. دعونا نحسب التوقع الرياضي للتداول باستخدام هذا النظام:

ماذا يعني هذا الرقم؟ تنص الرسالة على أنه باتباع قواعد هذا النظام، سنتلقى في المتوسط ​​1,708 دولارًا من كل معاملة مغلقة. وبما أن معدل الكفاءة الناتج أكبر من الصفر، فيمكن استخدام هذا النظام في العمل الحقيقي. إذا تبين أن التوقعات الرياضية سلبية، نتيجة للحساب، فهذا يشير بالفعل إلى خسارة متوسطة وسيؤدي هذا التداول إلى الخراب.

يمكن أيضًا التعبير عن مبلغ الربح لكل معاملة كقيمة نسبية على شكل %. على سبيل المثال:

- نسبة الدخل لكل معاملة واحدة - 5%؛

- نسبة عمليات التداول الناجحة - 62%؛

- نسبة الخسارة لكل معاملة واحدة - 3%؛

- نسبة المعاملات غير الناجحة - 38%؛

أي أن متوسط ​​التجارة سيحقق 1.96%.

من الممكن تطوير نظام، على الرغم من هيمنة الصفقات غير المربحة، سوف يؤدي إلى نتيجة إيجابية، حيث أن MO>0.

ومع ذلك، الانتظار وحده لا يكفي. من الصعب كسب المال إذا كان النظام يعطي إشارات تداول قليلة جدًا. وفي هذه الحالة، ستكون ربحيتها مماثلة للفائدة المصرفية. دع كل عملية تنتج في المتوسط ​​0.5 دولار فقط، ولكن ماذا لو كان النظام يتضمن 1000 عملية في السنة؟ سيكون هذا مبلغًا كبيرًا جدًا في وقت قصير نسبيًا. ويترتب على ذلك منطقيا أن السمة المميزة الأخرى لنظام التداول الجيد يمكن اعتبارها فترة قصيرة من الاحتفاظ بالصفقات.

المصادر والروابط

dic.academic.ru - القاموس الأكاديمي على الإنترنت

maths.ru – موقع تعليمي في الرياضيات

nsu.ru – الموقع التعليمي لجامعة ولاية نوفوسيبيرسك

webmath.ru – البوابة التعليميةللطلاب والمتقدمين وأطفال المدارس.

موقع exponenta.ru التعليمي الرياضي

ru.tradimo.com – مجاني المدرسة على الانترنتتجارة

crypto.hut2.ru – مصدر معلومات متعدد التخصصات

poker-wiki.ru – موسوعة البوكر المجانية

sernam.ru – مكتبة العلوممنشورات مختارة في العلوم الطبيعية

reshim.su – موقع ويب سوف نقوم بحل مشاكل المقررات الدراسية للاختبار

unfx.ru - الفوركس على UNFX: التدريب، وإشارات التداول، وإدارة الثقة

slovopedia.com - كبير القاموس الموسوعيسلوفوبيديا

pokermansion.3dn.ru – دليلك في عالم البوكر

statanaliz.info – مدونة المعلومات “تحليل البيانات الإحصائية”

Forex-trader.rf - بوابة تاجر الفوركس

Megafx.ru - تحليلات الفوركس الحالية

fx-by.com - كل شيء للمتداول

يتم تحديد كل قيمة فردية بالكامل من خلال وظيفة التوزيع الخاصة بها. وأيضا لحل مشاكل عمليةويكفي معرفة بعض الخصائص العددية، والتي بفضلها يصبح من الممكن تقديم السمات الرئيسية للمتغير العشوائي في شكل مختصر.

وتشمل هذه الكميات في المقام الأول القيمة المتوقعةو تشتت .

القيمة المتوقعة— متوسط ​​قيمة المتغير العشوائي في نظرية الاحتمالات. كما تدل .

أكثر بطريقة بسيطةالتوقع الرياضي للمتغير العشوائي × (ث)، اكتشف كيف أساسيليبيجفيما يتعلق بمقياس الاحتمال ر إبداعي مساحة الاحتمال

يمكنك أيضًا العثور على التوقع الرياضي للقيمة كـ لا يتجزأ من ليبيغمن Xعن طريق التوزيع الاحتمالي آر إكسكميات X:

أين هي مجموعة كل القيم الممكنة X.

التوقع الرياضي للدوال من متغير عشوائي Xوجدت من خلال التوزيع آر إكس. على سبيل المثال، لو X- متغير عشوائي بقيم في و و (خ)- خالية من الغموض بوريلوظيفة X ، الذي - التي:

لو و(خ)- وظيفة التوزيع X، فإن التوقع الرياضي قابل للتمثيل أساسيليبيج - ستيلتجيس (أو ريمان - ستيلتجيس):

في هذه الحالة التكامل Xمن ناحية ( * ) يتوافق مع محدودية التكامل

في حالات محددة، لو Xلديه توزيع منفصل مع القيم المحتملة س ك, ك=1، 2، . ، والاحتمالات إذن

لو Xلديه توزيع مستمر تماما مع كثافة الاحتمال ع (خ)، الذي - التي

وفي هذه الحالة، فإن وجود توقع رياضي يعادل التقارب المطلق للمتسلسلة أو التكامل المقابل.

خصائص التوقع الرياضي للمتغير العشوائي.

• التوقع الرياضي لقيمة ثابتة يساوي هذه القيمة:

ج- ثابت؛

• م=سم[X]

• التوقع الرياضي لمجموع القيم المأخوذة عشوائيا يساوي مجموع توقعاتها الرياضية:

• التوقع الرياضي لحاصل ضرب المتغيرات المستقلة العشوائية = حاصل ضرب توقعاتها الرياضية:

م=م[س]+م[ص]

لو Xو يمستقل.

إذا كانت المتسلسلة متقاربة:

خوارزمية لحساب التوقع الرياضي.

خصائص المتغيرات العشوائية المنفصلة: يمكن إعادة ترقيم جميع قيمها بأعداد طبيعية؛ تعيين كل قيمة احتمال غير الصفر.

1. اضرب الأزواج واحدًا تلو الآخر: × طعلى باي.

2. أضف منتج كل زوج س ط ص ط.

على سبيل المثال، ل ن = 4 :

دالة التوزيع لمتغير عشوائي منفصلوتدريجيًا، يزداد فجأة عند تلك النقاط التي يكون لاحتمالاتها إشارة إيجابية.

مثال:أوجد التوقع الرياضي باستخدام الصيغة.

وتبين أنه يمكن حل عدد من المشاكل العملية باستخدام عدد قليل من خصائص التوزيع، كما تبين أن معرفة دالة التوزيع الدقيقة لمتغير عشوائي أمر اختياري. تتضمن هذه الخصائص المميزة للمتغير العشوائي، على سبيل المثال، متوسطه وقيمه المربعة القياسية، بالإضافة إلى الانحراف المعياري.

يمكنك معرفة متوسط ​​قيم المتغيرات العشوائية من خلال التجربة وكذلك من معرفة دوال توزيع المتغيرات العشوائية. دعونا نلقي نظرة على كيفية العثور على هذه المتوسطات في حالات مختلفة.

دع المتغير العشوائي يأخذ: القيم ذات الاحتمالية أو تسقط هذه القيمة مرة واحدة

قيمة ذات احتمالية أو تسقط هذه القيمة مرة واحدة من النهاية،

القيمة مع الاحتمال أو تقع هذه القيمة مرة واحدة من

فيكون مجموع قيم المتغير العشوائي أثناء الاختبار:

للعثور على متوسط ​​قيمة متغير عشوائي، أي القيمة لكل اختبار، تحتاج إلى قسمة المجموع على إجمالي عدد الاختبارات:

إذا كان لدينا قيمة متوسطة معينة تم العثور عليها باستخدام الصيغة (2.11)، فعادةً، بالنسبة لقيم مختلفة لإجمالي عدد الاختبارات، ستكون قيم القيمة المتوسطة مختلفة أيضًا، نظرًا لأن القيم الموجودة تحت الاعتبارات عشوائية بطبيعتها. ومع ذلك، مع زيادة العدد، فإن القيمة المتوسطة لكمية معينة سوف تميل إلى حد معين أ. وكلما زاد عدد الاختبارات كلما اقتربت الصيغة المحددة (2.11) من هذه القيمة الحدية:

المساواة الأخيرة هي ما يسمى بقانون الأعداد الكبيرة أو نظرية تشيبيشيف: تميل القيمة المتوسطة للمتغير العشوائي إلى رقم ثابتمع عدد كبير جدا من القياسات.

لذا فإن متوسط ​​قيمة المتغير العشوائي يساوي مجموع منتجات المتغير العشوائي واحتمال حدوثه.

إذا كان المتغير العشوائي يتغير بشكل مستمر، فيمكن إيجاد متوسط ​​قيمته باستخدام التكامل:

تحتوي القيم المتوسطة على عدد من الخصائص المهمة:

1) القيمة المتوسطة للقيمة الثابتة تساوي القيمة الثابتة نفسها، أي.

2) القيمة المتوسطة لبعض المتغيرات العشوائية هي قيمة ثابتة، أي.

3) القيمة المتوسطة لمجموع عدة متغيرات عشوائية تساوي مجموع القيم المتوسطة لهذه المتغيرات، أي.

4) أن متوسط ​​قيمة حاصل ضرب متغيرين عشوائيين مستقلين عن بعضهما البعض يساوي حاصل ضرب متوسط ​​قيم كل منهما، أي

وبتوسيع هذه القاعدة إلى عدد أكبر من الكميات المستقلة، نحصل على:

في بعض الأحيان، لسبب أو لآخر، تكون معرفة متوسط ​​قيمة المتغير العشوائي غير كافية. في مثل هذه الحالات، لا يتم البحث عن متوسط ​​قيمة المتغير العشوائي فحسب، بل يتم البحث عن متوسط ​​قيمة مربع هذه القيمة (التربيعي). في هذه الحالة، تنطبق صيغ مماثلة:

للقيم المنفصلة و

في حالة التغير المستمر للمتغير العشوائي.

القيمة المربعة المتوسطة للمتغير العشوائي تكون دائمًا موجبة ولا تختفي.

في كثير من الأحيان يجب على المرء أن يهتم ليس فقط بمتوسط ​​قيم المتغير العشوائي نفسه، ولكن أيضًا بمتوسط ​​قيم بعض وظائف المتغير العشوائي.

على سبيل المثال، بمعلومية توزيع الجزيئات حسب السرعة، يمكننا إيجاد السرعة المتوسطة. لكننا قد نكون مهتمين أيضًا بمتوسط ​​الطاقة الحركية للحركة الحرارية، وهي وظيفة من الدرجة الثانيةسرعة. في مثل هذه الحالات، يمكنك استخدام الصيغ العامة التالية التي تحدد متوسط ​​قيمة دالة اختيارية لمتغير عشوائي لحالة التوزيع المنفصل

في حالة التوزيع المستمر

للعثور على القيم المتوسطة لمتغير عشوائي أو دالة لمتغير عشوائي باستخدام دالة توزيع غير طبيعية، استخدم الصيغ:

هنا يتم التكامل في كل مكان على كامل نطاق القيم الممكنة للمتغير العشوائي

الانحراف عن المتوسط.في عدد من الحالات، يتبين أن معرفة القيمة المتوسطة والجذر لمتوسط ​​مربع المتغير العشوائي غير كافية لوصف المتغير العشوائي. يعد توزيع المتغير العشوائي حول قيمته المتوسطة أمرًا مهمًا أيضًا. للقيام بذلك، يتم فحص انحراف المتغير العشوائي عن القيمة المتوسطة.

أما إذا أخذنا متوسط ​​انحراف المتغير العشوائي عن متوسط ​​قيمته، أي متوسط ​​الأرقام:

ومن ثم نحصل، سواء في حالة التوزيع المنفصل أو في حالة التوزيع المستمر، على صفر. حقًا،

في بعض الأحيان يكون من الممكن إيجاد القيمة المتوسطة لمعامل انحرافات متغير عشوائي من القيمة المتوسطة، أي القيمة:

ومع ذلك، الحسابات مع القيم المطلقةغالبا ما تكون صعبة وأحيانا مستحيلة.

لذلك، في كثير من الأحيان، لوصف توزيع متغير عشوائي حول قيمته المتوسطة، يتم استخدام ما يسمى بالانحراف المعياري أو الانحراف المربع المتوسط. ويسمى متوسط ​​انحراف المربع أيضًا تباين المتغير العشوائي. يتم تحديد التباين بواسطة الصيغ:

والتي يتم تحويلها إلى نوع واحد (انظر المسائل 5، 9).

حيث تمثل القيمة مربع انحراف المتغير العشوائي عن قيمته المتوسطة.

يسمى الجذر التربيعي لتباين المتغير العشوائي بالانحراف المعياري للمتغير العشوائي، وبالنسبة للكميات الفيزيائية - التقلب:

في بعض الأحيان يتم تقديم تقلب نسبي، تحدده الصيغة

وبالتالي، بمعرفة قانون توزيع المتغير العشوائي، يمكننا تحديد جميع خصائص المتغير العشوائي التي تهمنا: القيمة المتوسطة، متوسط ​​المربع، متوسط ​​قيمة دالة عشوائية لمتغير عشوائي، متوسط ​​انحراف المربع أو تشتت وتقلب متغير عشوائي.

لذلك، فإن إحدى المهام الرئيسية للفيزياء الإحصائية هي إيجاد القوانين ووظائف التوزيع لبعض المتغيرات والمعلمات العشوائية الفيزيائية في الأنظمة الفيزيائية المختلفة.

دعونا لمتغير عشوائي سالقيم الممكنة:

X1، X2، ...، XK.

يتم أخذ القياسات نمرات، نتيجة س أنالاحظ ن أنامرة واحدة إذن

متوسط ​​القيمة

(مجموع نتائج القياس)/(عدد جميع القياسات) =
.

في
مع الأخذ في الاعتبار (1.1)

نحن نحصل

. (1.5)

لدالة متغيرة عشوائية

. (1.5 أ)

القيمة المتوسطة لكمية ما تساوي مجموع منتجات قيمها واحتمالات هذه القيم .

في
نحن نحصل
و (1.5 أ) يعطي تطبيع الاحتمالات

. (1.6)

خصائص المتوسط

للثابت
والمتغيرات العشوائية المستقلة سو ذإجراء:

1)

- يتم إخراج المضاعف الثابت من تحت علامة المتوسط؛

- متوسط ​​المجموع/الفرق يساوي مجموع/الفرق بين المتوسطات؛

3)

– متوسط ​​حاصل ضرب الكميات المستقلة يساوي حاصل ضرب متوسطاتها.

إثبات الملكية 1

من تعريف المتوسط ​​(1.5 أ)

نحن نحصل

إثبات الملكية 2

وظيفة
، واصفا التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي س، هو نفسه بالنسبة للوظائف
و
ثم من تعريف المتوسط ​​(1.5 أ)

;

دليلملكيات 3

نستخدم تعريف المتوسط ​​ودالة التوزيع
المتغيرات العشوائية المستقلة سو ذ. وفقا لنظرية الأحداث المستقلة، يتم ضرب احتمالاتها

ثم نحصل

.

التعاريف الأساسية

الانحراف عن المتوسطمتغير عشوائي

.

متوسط ​​الانحراف من المتوسطالمتغير العشوائي يساوي صفر

متوسط ​​قيمة المربع

. (1.7)

لمتوسط ​​قيم المتغيرات العشوائية سو ذإجراء عدم المساواة بين كوشي وبونياكوفسكي وشوارتز

. (1.7 أ)

من (1.7 أ) الساعة
نجد

. (1.7 ب)

جذر الوسط أكبر من أو يساوي مربع المتوسط.

تشتت- الانحراف المعياري عن المتوسط

من (1.7 ب) نحصل عليها
.

التقلب– الجذر التربيعي للتباين

التقلب النسبي

. (1.10)

لو سيتغير بشكل عشوائي مع مرور الوقت، فإن التقلب النسبي يوضح نسبة الوقت الذي يكون فيه النظام في حالة
.

نظرية:يتناقص التقلب النسبي للكمية المضافة التي تميز النظام بشكل عكسي مع الجذر التربيعي لعدد الأنظمة الفرعية المستقلة ويكون صغيرًا بالنسبة للنظام العياني. مثال على الكمية المضافة (من الكلمة اللاتينية additivus - "المضافة") هي الطاقة. تقلبات الطاقة في النظام الماكرو لا تذكر، لكنها مهمة في النظام المصغر.

دليل

الكمية المضافة Xللنظام يساوي مجموع القيم س كل نالنظم الفرعية المستقلة

.

وفقًا للخاصية 2 للمتوسط ​​- متوسط ​​المجموع يساوي مجموع المتوسطات

- يتناسب مع عدد الأنظمة الفرعية.

الانحراف عن المتوسط

,

تشتت

.

عند التربيع
وبحساب متوسط ​​نتيجة المنتجات الاتجاهية، يتم أخذ الخاصية 3 للمتوسط ​​بعين الاعتبار - متوسط ​​حاصل ضرب الكميات المستقلة يساوي حاصل ضرب متوسطاتها

,
,

ويستخدم أن متوسط ​​الانحراف عن المتوسط ​​هو صفر

.

مربعات الكميات تبقى غير صفر. ونتيجة لذلك، تقلب

.

التقلب النسبي

(ص.1.11)

يتناقص بشكل عكسي مع الجذر التربيعي لعدد الأنظمة الفرعية المستقلة.

وظيفة توليد. هناك متغير عشوائي ن، والذي يأخذ قيمًا منفصلة في الفاصل الزمني
. احتمال الحصول على نتيجة نيساوي
. تحديد وظيفة التوليد

. (ص.1.14)

إذا كانت دالة التوليد معروفة فيتم الحصول على التوزيع الاحتمالي من (أ.1.14)

, (ص1.15)

حيث تستخدم

حالة التطبيع (1.6)

يتطلب الوفاء

. (ص.1.16)

للحصول على متوسط ​​قيم المتغير العشوائي نفرق (أ.1.14)

,

ونجد

. (ص.1.17)

التمايز المزدوج (أ.1.14)

. (ص.1.18)

نظرية على منتج توليد الوظائف. في حالة حدوث نوعين مستقلين من الأحداث، يتم وصفهما بتوزيعات احتمالية مع وظائف توليد
و
، ثم يتم التعبير عن توزيع مجموع الأحداث بمنتج وظائف توليدها