أوجد المصفوفة 1 مع معكوس المصفوفة. تعريف المصفوفة العكسية للوجود والتفرد

دعونا نحصل على مصفوفة مربعة. تحتاج إلى العثور على المصفوفة العكسية.

الطريقة الأولى. تشير النظرية 4.1 حول وجود وتفرد المصفوفة العكسية إلى إحدى الطرق للعثور عليها.

1. احسب محدد هذه المصفوفة. إذا، فالمصفوفة العكسية غير موجودة (المصفوفة مفردة).

2. أنشئ مصفوفة من المكملات الجبرية لعناصر المصفوفة.

3. قم بتبديل المصفوفة للحصول على المصفوفة المجاورة .

4. أوجد المصفوفة العكسية (4.1) بقسمة جميع عناصر المصفوفة المجاورة على المحدد

الطريقة الثانية. للعثور على المصفوفة العكسية، يمكنك استخدام التحويلات الأولية.

1. قم بإنشاء مصفوفة كتلة عن طريق تعيين مصفوفة هوية لمصفوفة معينة بنفس الترتيب.

2. باستخدام التحويلات الأولية التي يتم إجراؤها على صفوف المصفوفة، قم بإحضار الكتلة اليسرى إلى أبسط أشكالها. في هذه الحالة يتم تقليل المصفوفة الكتلية إلى الشكل حيث يتم الحصول على مصفوفة مربعة نتيجة التحولات من مصفوفة الهوية.

3. إذا كانت الكتلة تساوي معكوس المصفوفة، أي إذا، فإن المصفوفة ليس لها معكوس.

في الواقع، بمساعدة التحولات الأولية لصفوف المصفوفة، من الممكن تقليل الكتلة اليسرى إلى شكل مبسط (انظر الشكل 1.5). في هذه الحالة، يتم تحويل المصفوفة الكتلية إلى الشكل حيث تكون مصفوفة أولية تحقق المساواة. إذا كانت المصفوفة غير متحللة، فوفقًا للفقرة 2 من الملاحظات 3.3، يتطابق شكلها المبسط مع مصفوفة الهوية. ثم من المساواة يتبع ذلك. إذا كانت المصفوفة مفردة، فإن شكلها المبسط يختلف عن مصفوفة الوحدة، ولا تحتوي المصفوفة على معكوس.

11. معادلات المصفوفة وحلها. شكل مصفوفة لتسجيل SLAE. طريقة المصفوفة (طريقة المصفوفة العكسية) لحل SLAEs وشروط تطبيقها.

معادلات المصفوفة هي معادلات بالشكل: A*X=C; X*أ=ج; أ*س*ب=ج حيث المصفوفة أ، ب، جمعروفة، المصفوفة X غير معروفة، إذا كانت المصفوفات A و B ليست مفردة، فسيتم كتابة حلول المصفوفات الأصلية بالشكل المناسب: X = A -1 * C؛ X=C*أ -1 ; X=أ -1 *ج*ب -1 شكل مصفوفة لأنظمة كتابة المعادلات الجبرية الخطية.يمكن ربط عدة مصفوفات بكل SLAE؛ علاوة على ذلك، يمكن كتابة SLAE نفسها في شكل معادلة مصفوفية. بالنسبة لـ SLAE (1)، ضع في اعتبارك المصفوفات التالية:

تسمى المصفوفة A مصفوفة النظام. تمثل عناصر هذه المصفوفة معاملات SLAE معينة.

المصفوفة A˜ تسمى نظام المصفوفة الموسعة. يتم الحصول عليها عن طريق إضافة عمود يحتوي على مصطلحات مجانية b1,b2,...,bm إلى مصفوفة النظام. عادةً ما يتم فصل هذا العمود بخط عمودي من أجل الوضوح.

تسمى مصفوفة العمود B مصفوفة الأعضاء الأحرار، ومصفوفة العمود X هي مصفوفة المجهول.

باستخدام الترميز المقدم أعلاه، يمكن كتابة SLAE (1) في شكل معادلة مصفوفية: A⋅X=B.

ملحوظة

يمكن كتابة المصفوفات المرتبطة بالنظام بطرق مختلفة: كل شيء يعتمد على ترتيب المتغيرات والمعادلات الخاصة بـ SLAE قيد النظر. ولكن على أية حال، فإن ترتيب المجهولات في كل معادلة لـ SLAE معين يجب أن يكون هو نفسه.

تعتبر طريقة المصفوفة مناسبة لحل SLAEs التي يتطابق فيها عدد المعادلات مع عدد المتغيرات المجهولة ويختلف محدد المصفوفة الرئيسية للنظام عن الصفر. إذا كان النظام يحتوي على أكثر من ثلاث معادلات، فإن العثور على المصفوفة العكسية يتطلب جهدًا حسابيًا كبيرًا، لذلك ينصح في هذه الحالة باستخدام طريقة غاوسية.

12. SLAEs المتجانسة، شروط وجود حلولها غير الصفرية. خصائص الحلول الجزئية لـ SLAEs المتجانسة.

تسمى المعادلة الخطية متجانسة إذا كان حدها الحر يساوي صفرًا، وغير متجانسة إذا كان حدها الحر يساوي صفرًا. يسمى النظام الذي يتكون من معادلات متجانسة متجانسة وله الشكل العام:

13 .مفهوم الاستقلال الخطي والاعتماد على حلول معينة SLAE متجانسة. نظام الحلول الأساسي (FSD) وتحديده. تمثيل الحل العام لـ SLAE المتجانس من خلال FSR.

نظام الوظيفة ذ 1 (س ), ذ 2 (س ), …, ذ ن (س ) يسمى تعتمد خطيافي الفاصل ( أ , ب )، إذا كانت هناك مجموعة من المعاملات الثابتة لا تساوي الصفر في نفس الوقت، بحيث يكون التركيب الخطي لهذه الدوال مساويا للصفر على ( أ , ب ): ل . إذا كانت المساواة ممكنة فقط بالنسبة لنظام الوظائف ذ 1 (س ), ذ 2 (س ), …, ذ ن (س ) يسمى مستقل خطيافي الفاصل ( أ , ب ). وبعبارة أخرى، الوظائف ذ 1 (س ), ذ 2 (س ), …, ذ ن (س ) تعتمد خطيافي الفاصل ( أ , ب )، إذا كان هناك يساوي صفر على ( أ , ب ) مجموعتهم الخطية غير تافهة. المهام ذ 1 (س ),ذ 2 (س ), …, ذ ن (س ) مستقل خطيافي الفاصل ( أ , ب ) ، إذا كانت مجموعتها الخطية التافهة تساوي الصفر على ( أ , ب ).

نظام القرار الأساسي (FSR)إن SLAE المتجانس هو أساس نظام الأعمدة هذا.

عدد العناصر في FSR يساوي عدد العناصر المجهولة في النظام مطروحًا منها رتبة مصفوفة النظام. اي حل النظام الأصليهناك مزيج خطي قرارات FSR.

نظرية

الحل العام لـ SLAE غير المتجانس يساوي مجموع محلول معين لـ SLAE غير متجانس والحل العام لـ SLAE المتجانس المقابل.

1 . إذا كانت الأعمدة عبارة عن حلول لنظام متجانس من المعادلات، فإن أي مجموعة خطية منها هي أيضًا حل للنظام المتجانس.

في الواقع، من المساواة يتبع ذلك

أولئك. مجموعة خطية من الحلول هي الحل لنظام متجانس.

2. إذا كانت رتبة مصفوفة نظام متجانس تساوي، فإن النظام لديه حلول مستقلة خطيا.

وبالفعل، باستخدام الصيغة (5.13) للحل العام لنظام متجانس نجد حلولاً خاصة، مما يعطي المتغيرات الحرة ما يلي مجموعات القيمة القياسية (في كل مرة نفترض أن أحد المتغيرات الحرة يساوي واحدًا والباقي يساوي صفرًا):

والتي تكون مستقلة خطيا. في الواقع، إذا قمت بإنشاء مصفوفة من هذه الأعمدة، فإن صفوفها الأخيرة تشكل مصفوفة الهوية. وبالتالي فإن القاصر الموجود في الأسطر الأخيرة لا يساوي صفراً (إنه يساوي واحداً)، أي: أساسي. وبالتالي فإن رتبة المصفوفة ستكون متساوية. وهذا يعني أن جميع أعمدة هذه المصفوفة مستقلة خطيًا (انظر النظرية 3.4).

تسمى أي مجموعة من الحلول المستقلة خطيا لنظام متجانس النظام الأساسي (مجموعة) من الحلول .

14 صغرى من الرتبة الرابعة، صغرى أساسية، رتبة المصفوفة. حساب رتبة المصفوفة.

الترتيب k الثانوي للمصفوفة A هو المحدد لبعض مصفوفاتها الفرعية المربعة من الرتبة k.

في مصفوفة A ذات أبعاد mxn، تسمى المصفوفة الثانوية من الرتبة r أساسية إذا كانت غير صفرية، وجميع العناصر الثانوية ذات الرتبة الأعلى، إذا كانت موجودة، تساوي الصفر.

تسمى أعمدة وصفوف المصفوفة A، عند تقاطعها قاعدة ثانوية، بالأعمدة والصفوف الأساسية للمصفوفة A.

النظرية 1. (على رتبة المصفوفة). بالنسبة لأي مصفوفة، الرتبة الثانوية تساوي رتبة الصف وتساوي رتبة العمود.

النظرية 2. (على أساس قاصر). يتم تقسيم كل عمود مصفوفة إلى مجموعة خطية من أعمدة الأساس الخاصة به.

رتبة المصفوفة (أو رتبة ثانوية) يسمى ترتيب الأساس الصغير أو، بمعنى آخر، الترتيب الأكبر الذي توجد فيه صغريات غير الصفر. تعتبر رتبة المصفوفة الصفرية 0 حسب التعريف.

دعونا نلاحظ خاصيتين واضحتين للرتبة الثانوية.

1) لا تتغير رتبة المصفوفة أثناء النقل، حيث أنه عند نقل المصفوفة، يتم نقل جميع مصفوفاتها الفرعية ولا تتغير العناصر الثانوية.

2) إذا كانت A' عبارة عن مصفوفة فرعية للمصفوفة A، فإن رتبة A' لا تتجاوز رتبة A، نظرًا لأن القاصر غير الصفري المدرج في A' يتم تضمينه أيضًا في A.

15. مفهوم المتجه الحسابي ذو الأبعاد. المساواة بين المتجهات. العمليات على المتجهات (الجمع، الطرح، الضرب في عدد، الضرب في مصفوفة). مزيج خطي من المتجهات.

جمع أمر نتسمى الأعداد الحقيقية أو المعقدة ناقلات الأبعاد ن. يتم استدعاء الأرقام إحداثيات المتجهات.

متجهان (غير صفر). أو بتكون متساوية إذا كانت موجهة بالتساوي ولها نفس الوحدة. جميع المتجهات الصفرية تعتبر متساوية. وفي جميع الحالات الأخرى، فإن المتجهات ليست متساوية.

إضافة المتجهات. هناك طريقتان لإضافة المتجهات: 1. قاعدة متوازي الأضلاع. لجمع المتجهات و، نضع أصول كل منهما في نفس النقطة. نحن نبني متوازي الأضلاع ومن نفس النقطة نرسم قطريًا لمتوازي الأضلاع. سيكون هذا مجموع المتجهات.

2. الطريقة الثانية لإضافة المتجهات هي قاعدة المثلث. لنأخذ نفس المتجهات و . سنضيف بداية الثانية إلى نهاية المتجه الأول. الآن دعونا نربط بداية الأول ونهاية الثانية. هذا هو مجموع المتجهات و . باستخدام نفس القاعدة، يمكنك إضافة عدة ناقلات. نرتبها واحدة تلو الأخرى، ثم نربط بداية الأول بنهاية الأخير.

طرح المتجهات. يتم توجيه المتجه عكس المتجه. أطوال المتجهات متساوية. أصبح من الواضح الآن ما هو طرح المتجهات. فرق المتجه هو مجموع المتجه والمتجه.

ضرب المتجه بعدد

ضرب المتجه برقم k ينتج عنه متجه طوله k مضروبًا في الطول. يكون اتجاهًا مشتركًا مع المتجه إذا كانت k أكبر من الصفر، ويكون اتجاهه معاكسًا إذا كانت k أقل من الصفر.

المنتج القياسي للمتجهات هو حاصل ضرب أطوال المتجهات وجيب تمام الزاوية بينهما.إذا كانت المتجهات متعامدة، فإن حاصل ضربها القياسي يساوي صفرًا. وهذه هي الطريقة التي يتم بها التعبير عن المنتج القياسي من خلال إحداثيات المتجهات و .

مزيج خطي من المتجهات

مزيج خطي من المتجهات يسمى ناقل

أين - معاملات الجمع الخطية. لو ويسمى الجمع تافهاً إذا كان غير تافه.

16 .المنتج العددي للمتجهات الحسابية. طول المتجه والزاوية بين المتجهات. مفهوم التعامد النواقل.

المنتج العددي للمتجهين a و b هو العدد

يتم استخدام المنتج القياسي لحساب: 1) إيجاد الزاوية بينهما؛ 2) إيجاد إسقاط المتجهات؛ 3) حساب طول المتجه؛ 4) شروط عمودي المتجهات.

يُطلق على طول القطعة AB المسافة بين النقطتين A وB. تسمى الزاوية بين المتجهين A و B الزاوية α = (a، b)، 0≥ α ≥P. والتي تحتاج من خلالها إلى تدوير متجه واحد بحيث يتزامن اتجاهه مع متجه آخر. بشرط أن تتطابق أصولهما.

Ortom a هو المتجه a الذي له وحدة طول واتجاه a.

17. نظام المتجهات ومجموعته الخطية. مفهوم الاعتماد الخطيواستقلال نظام المتجهات. نظرية الشروط الضرورية والكافية للاعتماد الخطي لنظام المتجهات.

يسمى نظام المتجهات a1,a2,...,an معتمدًا خطيًا إذا كان هناك أرقام π1,π2,...,ạn بحيث يكون أحدها على الأقل غير صفر و π1a1+Φ2a2+...+Φnan=0 . خلاف ذلك، يسمى النظام مستقل خطيا.

يُسمى المتجهان a1 وa2 على خط واحد إذا كان اتجاههما متماثلًا أو متضادًا.

تسمى المتجهات الثلاثة a1 وa2 وa3 متحدة المستوى إذا كانت موازية لمستوى ما.

المعايير الهندسية للاعتماد الخطي:

أ) يعتمد النظام (a1,a2) خطيًا إذا كان المتجهان a1 وa2 على خط واحد فقط.

ب) النظام (a1,a2,a3) يعتمد خطيًا إذا وفقط إذا كانت المتجهات a1 وa2 وa3 متحدة المستوى.

نظرية. (شرط ضروري وكاف للاعتماد الخطي أنظمةثلاثة أبعاد.)

نظام المتجهات المتجه فضاءيكون خطيلا يعتمد إلا إذا تم التعبير عن أحد متجهات النظام خطيًا بدلالة المتجهات الأخرى المتجههذا النظام.

النتيجة الطبيعية 1. يكون نظام المتجهات في الفضاء المتجه مستقلاً خطيًا إذا وفقط إذا لم يتم التعبير عن أي من متجهات النظام خطيًا من حيث المتجهات الأخرى لهذا النظام.2. نظام من المتجهات يحتوي على ناقل صفري أو متجهين متساويين يعتمد خطيًا.

دعونا ننظر في مشكلة تحديد العملية العكسية لضرب المصفوفة.

لتكن A مصفوفة مربعة من الرتبة n. المصفوفة A^(-1) تحقق مع المصفوفة A المعطاة المساواة:

A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E،

مُسَمًّى يعكس. تسمى المصفوفة A تفريغ، إذا كان هناك عكس لذلك، وإلا - لا رجعة فيه.

ويترتب على التعريف أنه إذا كانت المصفوفة العكسية A^(-1) موجودة، فهي كذلك مربع ذلكنفس الترتيب مثل أ. ومع ذلك، ليس كل مصفوفة مربعة لها معكوس. إذا كان محدد المصفوفة A يساوي الصفر (\det(A)=0)، فلا يوجد معكوس لها. في الواقع، بتطبيق نظرية محدد ضرب المصفوفات لمصفوفة الهوية E=A^(-1)A نحصل على تناقض

\det(E)=\det(A^(-1)\cdot A)=\det(A^(-1))\det(A)=\det(A^(-1))\cdot0=0

حيث أن محدد مصفوفة الوحدة يساوي 1. وتبين أن المحدد غير الصفري لمصفوفة مربعة هو الشرط الوحيد لوجود مصفوفة معكوسة. تذكر أن المصفوفة المربعة التي يكون محددها يساوي الصفر تسمى مفردة (مفردة)، وإلا فإنها تسمى غير منحلة (غير مفردة).

النظرية 4.1 حول وجود وتفرد المصفوفة العكسية. مصفوفة مربعة A=\begin(pmatrix)a_(11)&\cdots&a_(1n)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_(n1)&\cdots&a_(nn) \end(pmatrix)، الذي محدده غير صفر، لديه مصفوفة معكوسة، وعلاوة على ذلك، واحد فقط:

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot\! \begin(pmatrix)A_(11)&A_(21)&\cdots&A_(1n)\\ A_(12)&A_(22)&\cdots&A_(n2)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_(1n) )&A_(2n)&\cdots&A_(nn) \end(pmatrix)= \frac(1)(\det(A))\cdot A^(+),

حيث A^(+) هي المصفوفة المنقولة لمصفوفة مكونة من مكملات جبرية لعناصر المصفوفة A.

تسمى المصفوفة A^(+). مصفوفة مجاورةفيما يتعلق بالمصفوفة A.

في الواقع، المصفوفة \frac(1)(\det(A))\,A^(+)موجود تحت الشرط \det(A)\ne0 . من الضروري إظهار أنه معكوس لـ A، أي. يستوفي شرطين:

\begin(aligned)\mathsf(1))&~A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)=E;\\ \mathsf (2))&~ \!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)\!\cdot A=E.\end(محاذاة)

دعونا نثبت المساواة الأولى. وفقا للفقرة 4 من الملاحظة 2.3، من خصائص المحدد يتبع ذلك AA^(+)=\det(A)\cdot E. لهذا

A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)= \frac(1)(\det(A))\cdot AA^(+) = \frac(1)(\det(A))\cdot \det(A)\cdot E=E،

وهو ما يجب إظهاره. وأثبتت المساواة الثانية بطريقة مماثلة. ولذلك، في ظل الشرط \det(A)\ne0، فإن المصفوفة A لها معكوس

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+).

سوف نثبت تفرد المصفوفة العكسية بالتناقض. دعونا، بالإضافة إلى المصفوفة A^(-1)، تكون هناك مصفوفة معكوسة أخرى B\,(B\ne A^(-1)) بحيث تكون AB=E. بضرب طرفي هذه المساواة من اليسار بالمصفوفة A^(-1) نحصل عليها \الدعامة السفلية(A^(-1)AB)_(E)=A^(-1)E. وبالتالي B=A^(-1) ، وهو ما يتعارض مع الافتراض B\ne A^(-1) . ولذلك، فإن المصفوفة العكسية فريدة من نوعها.

ملاحظات 4.1

1. يترتب على التعريف أن المصفوفتين A و A^(-1) تتنقلان.

2. معكوس المصفوفة القطرية غير المفردة هو أيضًا قطري:

\Bigl[\operatorname(diag)(a_(11),a_(22),\ldots,a_(nn))\Bigr]^(-1)= \operatorname(diag)\!\left(\frac(1) )(a_(11))),\,\frac(1)(a_(22)),\,\ldots,\,\frac(1)(a_(nn))\right)\!.

3. معكوس المصفوفة المثلثية السفلية (العلوية) غير المفردة هو المثلث السفلي (العلوي).

4. المصفوفات الأولية لها معكوسات، وهي أيضًا أولية (انظر الفقرة 1 من الملاحظات 1.11).

خصائص المصفوفة العكسية

تتميز عملية قلب المصفوفة بالخصائص التالية:

\begin(aligned)\bold(1.)&~~ (A^(-1))^(-1)=A\,;\\ \bold(2.)&~~ (AB)^(-1 )=B^(-1)A^(-1)\,;\\ \bold(3.)&~~ (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T\ ,;\\ \bold(4.)&~~ \det(A^(-1))=\frac(1)(\det(A))\,;\\ \bold(5.)&~~ E^(-1)=E\,. \end(محاذاة)

إذا كانت العمليات المحددة في المساواة 1-4 منطقية.

دعونا نثبت الخاصية 2: إذا كان المنتج AB غير منحط المصفوفات المربعةمن نفس الترتيب لديه مصفوفة معكوسة، ثم (AB)^(-1)=B^(-1)أ^(-1).

في الواقع، محدد حاصل ضرب المصفوفتين AB لا يساوي الصفر، إذًا

\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B)، أين \det(A)\ne0,~\det(B)\ne0

ولذلك، فإن المصفوفة العكسية (AB)^(-1) موجودة وفريدة من نوعها. دعونا نوضح بالتعريف أن المصفوفة B^(-1)A^(-1) هي معكوس المصفوفة AB. حقًا.

تُسمى المصفوفة $A^(-1)$ بعكس المصفوفة المربعة $A$ إذا كان الشرط $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$ قد تم استيفاءه، حيث $E $ هي مصفوفة الهوية، وترتيبها يساوي ترتيب المصفوفة $A$.

المصفوفة غير المفردة هي مصفوفة لا يساوي محددها الصفر. وبناء على ذلك، فإن المصفوفة المفردة هي تلك التي يكون محددها يساوي الصفر.

المصفوفة العكسية $A^(-1)$ موجودة فقط إذا كانت المصفوفة $A$ غير مفردة. إذا كانت المصفوفة العكسية $A^(-1)$ موجودة، فهي فريدة من نوعها.

هناك عدة طرق للعثور على معكوس المصفوفة، وسنتناول اثنتين منها. ستناقش هذه الصفحة طريقة المصفوفة المجاورة، والتي تعتبر معيارًا في معظم دورات الرياضيات العليا. أما الطريقة الثانية لإيجاد المصفوفة العكسية (طريقة التحويلات الأولية) والتي تتضمن استخدام طريقة غاوس أو طريقة غاوس-جوردان فقد تمت مناقشتها في الجزء الثاني.

طريقة المصفوفة المجاورة

دع المصفوفة $A_(n\times n)$ تعطى. من أجل العثور على المصفوفة العكسية $A^(-1)$، يلزم ثلاث خطوات:

1. ابحث عن محدد المصفوفة $A$ وتأكد من أن $\Delta A\neq 0$، أي. أن المصفوفة A غير مفردة.
2. قم بتكوين المكملات الجبرية $A_(ij)$ لكل عنصر من عناصر المصفوفة $A$ واكتب المصفوفة $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ من الجبر الذي تم العثور عليه يكمل.
3. اكتب المصفوفة العكسية مع مراعاة الصيغة $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*)^T$.

غالبًا ما تسمى المصفوفة $(A^(*))^T$ بأنها ملحقة (متبادلة، متحالفة) مع المصفوفة $A$.

إذا تم الحل يدويًا، فإن الطريقة الأولى تكون جيدة فقط للمصفوفات ذات الطلبات الصغيرة نسبيًا: الثانية ()، الثالثة ()، الرابعة (). للعثور على معكوس مصفوفة ذات ترتيب أعلى، يتم استخدام طرق أخرى. على سبيل المثال، طريقة غاوس، والتي تمت مناقشتها في الجزء الثاني.

المثال رقم 1

أوجد معكوس المصفوفة $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

بما أن جميع عناصر العمود الرابع تساوي الصفر، فإن $\Delta A=0$ (أي أن المصفوفة $A$ مفردة). بما أن $\Delta A=0$، فلا توجد مصفوفة معكوسة للمصفوفة $A$.

المثال رقم 2

أوجد معكوس المصفوفة $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$.

نحن نستخدم طريقة المصفوفة المجاورة. أولاً، دعونا نوجد محدد المصفوفة المعطاة $A$:

$$ \دلتا أ=\يسار| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

بما أن $\Delta A \neq 0$، فإن المصفوفة العكسية موجودة، لذلك سنواصل الحل. إيجاد المكملات الجبرية

\begin(محاذاة) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(محاذاة)

نقوم بتكوين مصفوفة من الإضافات الجبرية: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

نقوم بتبديل المصفوفة الناتجة: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (the غالبًا ما تسمى المصفوفة الناتجة بالمصفوفة المجاورة أو المتحالفة مع المصفوفة $A$). باستخدام الصيغة $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$، لدينا:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$

لذلك، تم العثور على المصفوفة العكسية: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array )\صحيح) $. للتحقق من صحة النتيجة، يكفي التحقق من صحة إحدى المعادلتين: $A^(-1)\cdot A=E$ أو $A\cdot A^(-1)=E$. دعونا نتحقق من المساواة $A^(-1)\cdot A=E$. لكي نتمكن من العمل بشكل أقل مع الكسور، سنستبدل المصفوفة $A^(-1)$ ليس بالشكل $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$، وبالصيغة $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(مصفوفة )\يمين)$:

إجابة: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.

المثال رقم 3

أوجد المصفوفة العكسية للمصفوفة $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$ .

لنبدأ بحساب محدد المصفوفة $A$. إذن محدد المصفوفة $A$ هو:

$$ \دلتا أ=\يسار| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36+56-12=26. $$

بما أن $\Delta A\neq 0$، فإن المصفوفة العكسية موجودة، لذلك سنواصل الحل. نجد المكملات الجبرية لكل عنصر في مصفوفة معينة:

نقوم بتكوين مصفوفة من الإضافات الجبرية ونقلها:

$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) $$

باستخدام الصيغة $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$، نحصل على:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 و -3/26 و 37/26 \end(صفيف) \يمين) $$

إذن $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 و -3/26 و 37/26 \end(array) \right)$. للتحقق من صحة النتيجة، يكفي التحقق من صحة إحدى المعادلتين: $A^(-1)\cdot A=E$ أو $A\cdot A^(-1)=E$. دعونا نتحقق من المساواة $A\cdot A^(-1)=E$. لكي نتمكن من العمل بشكل أقل مع الكسور، سنستبدل المصفوفة $A^(-1)$ ليس بالشكل $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$، وبالصيغة $\frac(1)(26) )\cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:

تم التحقق بنجاح، وتم العثور على المصفوفة العكسية $A^(-1)$ بشكل صحيح.

إجابة: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 و -3/26 و 37/26 \end(array) \right)$.

المثال رقم 4

أوجد معكوس المصفوفة للمصفوفة $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.

بالنسبة لمصفوفة من الدرجة الرابعة، فإن العثور على المصفوفة العكسية باستخدام الإضافات الجبرية أمر صعب إلى حد ما. ومع ذلك، فإن مثل هذه الأمثلة تحدث في أوراق الاختبار.

للعثور على معكوس المصفوفة، عليك أولًا حساب محدد المصفوفة $A$. أفضل طريقة للقيام بذلك في هذه الحالة هي تحليل المحدد على طول صف (عمود). نختار أي صف أو عمود ونبحث عن المكملات الجبرية لكل عنصر من عناصر الصف أو العمود المحدد.

عادة، يتم استخدام العمليات العكسية لتبسيط التعبيرات الجبرية المعقدة. على سبيل المثال، إذا كانت المشكلة تتعلق بعملية القسمة على كسر، فيمكنك استبدالها بعملية الضرب بمقلوب الكسر، وهي العملية العكسية. علاوة على ذلك، لا يمكن تقسيم المصفوفات، لذا عليك الضرب في المصفوفة العكسية. يعد حساب معكوس مصفوفة 3x3 أمرًا مملاً للغاية، لكن يجب أن تكون قادرًا على القيام بذلك يدويًا. يمكنك أيضًا إيجاد المقلوب باستخدام آلة حاسبة بيانية جيدة.

خطوات

باستخدام المصفوفة المجاورة

تبديل المصفوفة الأصلية.التحويل هو استبدال الصفوف بالأعمدة بالنسبة للقطر الرئيسي للمصفوفة، أي أنك تحتاج إلى تبديل العناصر (i,j) و (j,i). في هذه الحالة، لا تتغير عناصر القطر الرئيسي (يبدأ في الزاوية اليسرى العليا وينتهي في الزاوية اليمنى السفلى).

• لتحويل الصفوف إلى أعمدة، اكتب عناصر الصف الأول في العمود الأول، وعناصر الصف الثاني في العمود الثاني، وعناصر الصف الثالث في العمود الثالث. يظهر ترتيب تغيير موضع العناصر في الشكل، حيث يتم وضع دائرة حول العناصر المقابلة بدوائر ملونة.

أوجد تعريف كل مصفوفة 2x2.يرتبط كل عنصر في أي مصفوفة، بما في ذلك العنصر المنقول، بمصفوفة 2x2 مقابلة. للعثور على مصفوفة 2x2 تتوافق مع عنصر معين، قم بشطب الصف والعمود الذي يوجد فيه العنصر المحدد، أي أنك تحتاج إلى شطب خمسة عناصر من المصفوفة الأصلية 3x3. ستبقى أربعة عناصر غير متقاطعة، وهي عناصر المصفوفة المقابلة 2x2.

• على سبيل المثال، للعثور على مصفوفة 2x2 للعنصر الموجود عند تقاطع الصف الثاني والعمود الأول، قم بشطب العناصر الخمسة الموجودة في الصف الثاني والعمود الأول. العناصر الأربعة المتبقية هي عناصر مصفوفة 2x2 المقابلة.
• أوجد محدد كل مصفوفة 2×2. للقيام بذلك، اطرح منتج عناصر القطر الثانوي من منتج عناصر القطر الرئيسي (انظر الشكل).
• يمكن العثور على معلومات تفصيلية حول مصفوفات 2x2 المقابلة لعناصر محددة من مصفوفة 3x3 على الإنترنت.

إنشاء مصفوفة العوامل المساعدة.اكتب النتائج التي تم الحصول عليها سابقًا في شكل مصفوفة عوامل مساعدة جديدة. للقيام بذلك، اكتب المحدد الموجود لكل مصفوفة 2x2 حيث يوجد العنصر المقابل للمصفوفة 3x3. على سبيل المثال، إذا كنت تفكر في مصفوفة 2x2 للعنصر (1،1)، فاكتب محددها في الموضع (1،1). ثم قم بتغيير علامات العناصر المقابلة وفقًا لمخطط معين كما هو موضح في الشكل.

• مخطط تغيير العلامات: علامة العنصر الأول من السطر الأول لا تتغير؛ معكوسة إشارة العنصر الثاني من السطر الأول؛ ولا تتغير إشارة العنصر الثالث من السطر الأول، وهكذا سطرًا سطرًا. يرجى ملاحظة أن علامتي "+" و"-" الموضحتين في الرسم التخطيطي (انظر الشكل) لا تشيران إلى أن العنصر المقابل سيكون موجبًا أو سالبًا. وفي هذه الحالة تشير علامة "+" إلى عدم تغير إشارة العنصر، وعلامة "-" تشير إلى تغير إشارة العنصر.
• يمكن العثور على معلومات تفصيلية حول مصفوفات العوامل المساعدة على الإنترنت.
• بهذه الطريقة سوف تجد المصفوفة المجاورة للمصفوفة الأصلية. يطلق عليها أحيانًا مصفوفة مترافقة معقدة. يُشار إلى هذه المصفوفة بالصفة (M).

اقسم كل عنصر من عناصر المصفوفة المجاورة على محدده.تم حساب محدد المصفوفة M في البداية للتأكد من وجود المصفوفة العكسية. الآن قم بتقسيم كل عنصر من عناصر المصفوفة المجاورة على هذا المحدد. اكتب نتيجة كل عملية قسمة حيث يوجد العنصر المقابل. بهذه الطريقة ستجد المصفوفة معكوسة للمصفوفة الأصلية.

• محدد المصفوفة التي تظهر في الشكل هو 1. وبالتالي فإن المصفوفة المجاورة هنا هي المصفوفة العكسية (لأنه عندما يتم قسمة أي رقم على 1 فإنه لا يتغير).
• في بعض المصادر، يتم استبدال عملية القسمة بعملية الضرب بـ 1/det(M). ومع ذلك، فإن النتيجة النهائية لا تتغير.

اكتب المصفوفة العكسية.اكتب العناصر الموجودة على النصف الأيمن من المصفوفة الكبيرة كمصفوفة منفصلة وهي المصفوفة العكسية.

أدخل المصفوفة الأصلية في ذاكرة الآلة الحاسبة.للقيام بذلك، انقر فوق زر المصفوفة، إذا كان متاحًا. بالنسبة لآلة حاسبة Texas Instruments، قد تحتاج إلى الضغط على الزرين الثاني والمصفوفة.

حدد قائمة التحرير.قم بذلك باستخدام أزرار الأسهم أو زر الوظيفة المناسب الموجود أعلى لوحة مفاتيح الآلة الحاسبة (يختلف موقع الزر وفقًا لطراز الآلة الحاسبة).

أدخل تدوين المصفوفة.يمكن أن تعمل معظم الآلات الحاسبة الرسومية مع 3 إلى 10 مصفوفات، والتي يمكن تخصيصها الحروف أ-ي. عادة، ما عليك سوى تحديد [A] لتعيين المصفوفة الأصلية. ثم اضغط على زر الإدخال.

أدخل حجم المصفوفة.تتحدث هذه المقالة عن المصفوفات 3x3. لكن الآلات الحاسبة الرسومية يمكنها العمل مع المصفوفات أحجام كبيرة. أدخل عدد الصفوف، واضغط على Enter، ثم أدخل عدد الأعمدة واضغط على Enter مرة أخرى.

أدخل كل عنصر مصفوفة.سيتم عرض المصفوفة على شاشة الآلة الحاسبة. إذا قمت مسبقًا بإدخال مصفوفة في الآلة الحاسبة، فسوف تظهر على الشاشة. سيسلط المؤشر الضوء على العنصر الأول في المصفوفة. أدخل قيمة العنصر الأول واضغط على Enter. سينتقل المؤشر تلقائيًا إلى عنصر المصفوفة التالي.

دعونا نواصل المحادثة حول الإجراءات مع المصفوفات. وهي، خلال دراسة هذه المحاضرة سوف تتعلم كيفية العثور على المصفوفة العكسية. يتعلم. حتى لو كانت الرياضيات صعبة.

ما هي المصفوفة العكسية؟ هنا يمكننا رسم تشبيه مع أرقام متبادلة: خذ على سبيل المثال الرقم المتفائل 5 ورقمه العكسي. حاصل ضرب هذه الأعداد يساوي واحدًا: . كل شيء مشابه للمصفوفات! حاصل ضرب المصفوفة ومصفوفتها العكسية يساوي - مصفوفة الهوية، وهو المصفوفة التناظرية للوحدة العددية. لكن، أول الأشياء أولًا – دعونا نحل أولًا مسألة عملية مهمة، وهي أن نتعلم كيفية إيجاد هذه المصفوفة المعكوسة.

ما الذي تحتاج إلى معرفته وتكون قادرًا على فعله للعثور على المصفوفة العكسية؟ يجب أن تكون قادرًا على اتخاذ القرار تصفيات. يجب أن تفهم ما هو عليه مصفوفةوتكون قادرة على القيام ببعض الإجراءات معهم.

هناك طريقتان رئيسيتان للعثور على المصفوفة العكسية:
باستخدام الإضافات الجبريةو باستخدام التحولات الأولية.

اليوم سوف ندرس الطريقة الأولى والأبسط.

لنبدأ بالأكثر فظاعة وغير المفهومة. دعونا نفكر مربعمصفوفة. يمكن العثور على المصفوفة العكسية باستخدام الصيغة التالية:

أين محدد المصفوفة، هو المصفوفة المنقولة للمكملات الجبرية للعناصر المقابلة للمصفوفة.

مفهوم المصفوفة العكسية موجود فقط للمصفوفات المربعة، المصفوفات "اثنان في اثنين"، "ثلاثة في ثلاثة"، وما إلى ذلك.

التسميات: كما لاحظت بالفعل، تتم الإشارة إلى المصفوفة العكسية بخط مرتفع

لنبدأ بأبسط حالة - مصفوفة رتبة اثنين في اثنين. في أغلب الأحيان، بالطبع، مطلوب "ثلاثة في ثلاثة"، ولكن، مع ذلك، أوصي بشدة بدراسة مهمة أبسط لإتقانها المبدأ العامحلول.

مثال:

أوجد معكوس المصفوفة

دعونا نقرر. من الملائم تقسيم تسلسل الإجراءات نقطة تلو الأخرى.

1) أولا نجد محدد المصفوفة.

إذا لم يكن فهمك لهذا الإجراء جيدًا، فاقرأ المادة كيفية حساب المحدد؟

مهم!إذا كان محدد المصفوفة يساوي صفر- مصفوفة معكوسة غير موجود.

في المثال قيد النظر، كما اتضح فيما بعد، مما يعني أن كل شيء في محله.

2) العثور على مصفوفة القصر.

لحل مشكلتنا، ليس من الضروري معرفة ما هو القاصر، ولكن من المستحسن قراءة المقال كيفية حساب المحدد.

مصفوفة القاصرين لها نفس أبعاد المصفوفة، في هذه الحالة.
كل ما عليك فعله هو العثور على أربعة أرقام ووضعها بدلاً من العلامات النجمية.

دعنا نعود إلى المصفوفة لدينا
دعونا نلقي نظرة على العنصر العلوي الأيسر أولاً:

كيفية العثور عليه صغير?
ويتم ذلك على النحو التالي: قم بشطب الصف والعمود الذي يوجد فيه هذا العنصر عقليًا:

العدد المتبقي هو طفيفة من هذا العنصر، والتي نكتبها في مصفوفة القصر لدينا:

خذ بعين الاعتبار عنصر المصفوفة التالي:

قم بشطب الصف والعمود عقليًا الذي يظهر فيه هذا العنصر:

ويتبقى هو العنصر الأصغر من هذا العنصر، والذي نكتبه في مصفوفتنا:

وكذلك نعتبر عناصر الصف الثاني ونجد صغراتها:


مستعد.

انه سهل. في مصفوفة القاصرين التي تحتاجها علامات التغييررقمين:

هذه هي الأرقام التي قمت بوضع دائرة عليها!

– مصفوفة الإضافات الجبرية للعناصر المقابلة للمصفوفة.

و فقط...

4) أوجد المصفوفة المنقولة للإضافات الجبرية.

- مصفوفة منقولة للمكملات الجبرية للعناصر المقابلة للمصفوفة.

5) الإجابة.

دعونا نتذكر الصيغة لدينا
تم العثور على كل شيء!

وبالتالي فإن المصفوفة العكسية هي:

ومن الأفضل ترك الإجابة كما هي. لا حاجةاقسم كل عنصر من عناصر المصفوفة على 2، لأن النتيجة هي أرقام كسرية. تمت مناقشة هذا الفارق الدقيق بمزيد من التفصيل في نفس المقالة. الإجراءات مع المصفوفات.

كيفية التحقق من الحل؟

تحتاج إلى إجراء ضرب المصفوفة أو

فحص:

تلقى سبق ذكره مصفوفة الهويةهي مصفوفة مع تلك التي قطري الرئيسيوالأصفار في أماكن أخرى.

وهكذا تم العثور على المصفوفة العكسية بشكل صحيح.

إذا قمت بتنفيذ الإجراء، فستكون النتيجة أيضًا مصفوفة هوية. هذه إحدى الحالات القليلة التي يكون فيها ضرب المصفوفات عملية تبادلية، ويمكن العثور على مزيد من التفاصيل في المقالة خصائص العمليات على المصفوفات. تعبيرات المصفوفة. لاحظ أيضًا أنه أثناء الفحص، يتم تقديم الثابت (الكسر) ومعالجته في النهاية - بعد ضرب المصفوفة. هذه هي التقنية القياسية.

دعنا ننتقل إلى حالة أكثر شيوعًا عمليًا - المصفوفة ثلاثة في ثلاثة:

مثال:

أوجد معكوس المصفوفة

الخوارزمية هي نفسها تمامًا كما في حالة "اثنان في اثنين".

نجد المصفوفة العكسية باستخدام الصيغة: حيث توجد المصفوفة المنقولة للمكملات الجبرية للعناصر المقابلة للمصفوفة.

1) أوجد محدد المصفوفة.

وهنا يتم الكشف عن المحدد على السطر الأول.

ولا تنسَ أيضًا ذلك، مما يعني أن كل شيء على ما يرام - المصفوفة العكسية موجودة.

2) العثور على مصفوفة القصر.

مصفوفة القاصرين لها بعد "ثلاثة في ثلاثة" وعلينا العثور على تسعة أرقام.

سألقي نظرة على اثنين من القاصرين بالتفصيل:

خذ بعين الاعتبار عنصر المصفوفة التالي:

قم بشطب الصف والعمود الذي يوجد فيه هذا العنصر عقليًا:

نكتب الأعداد الأربعة المتبقية في المحدد "اثنين في اثنين".

هذا اثنين من اثنين المحدد و هو قاصر هذا العنصر. يجب أن يتم حسابها:


هذا كل شيء، تم العثور على القاصر، نكتبه في مصفوفة القاصرين لدينا:

كما خمنت على الأرجح، تحتاج إلى حساب تسعة محددات من الرتبة اثنين في اثنين. العملية، بالطبع، مملة، لكن الحالة ليست هي الأشد، يمكن أن تكون أسوأ.

حسنًا، للدمج – العثور على قاصر آخر في الصور:

حاول حساب القاصرين المتبقين بنفسك.

النتيجة النهائية:
- مصفوفة ثانوية من العناصر المقابلة للمصفوفة.

إن حقيقة أن جميع القاصرين كانت سلبية هي مجرد حادث.

3) أوجد مصفوفة الإضافات الجبرية.

في مصفوفة القصر فمن الضروري علامات التغييربدقة للعناصر التالية:

في هذه الحالة:

نحن لا نفكر في العثور على مصفوفة معكوسة لمصفوفة "أربعة في أربعة"، حيث لا يمكن إعطاء هذه المهمة إلا بواسطة معلم سادي (لكي يقوم الطالب بحساب محدد "أربعة في أربعة" و16 محددًا "ثلاثة في ثلاثة" ). في ممارستي، لم يكن هناك سوى حالة واحدة من هذا القبيل، والعميل عمل اختباريدفعت ثمناً باهظاً لعذابي =).

في عدد من الكتب المدرسية والأدلة، يمكنك العثور على طريقة مختلفة قليلاً للعثور على المصفوفة العكسية، لكنني أوصي باستخدام خوارزمية الحل الموضحة أعلاه. لماذا؟ لأن احتمال الخلط في الحسابات والإشارات أقل بكثير.