البحث عن نظام fsr. مجموعة الحلول الأساسية لنظام متجانس من المعادلات الخطية

حتى في المدرسة، درس كل واحد منا المعادلات، وبالتأكيد أنظمة المعادلات. لكن لا يعلم الكثير من الناس أن هناك عدة طرق لحلها. اليوم سوف نحلل بالتفصيل جميع طرق حل نظام المعادلات الجبرية الخطية التي تتكون من أكثر من مساويتين.

قصة

ومن المعروف اليوم أن فن حل المعادلات وأنظمتها نشأ في بابل القديمة ومصر. إلا أن المساواة بشكلها المعتاد ظهرت بعد ظهور علامة التساوي "=" التي قدمها عالم الرياضيات الإنجليزي ريكورد عام 1556. بالمناسبة، تم اختيار هذه العلامة لسبب ما: فهي تعني قطعتين متوازيتين متساويتين. والحقيقة هي أفضل مثاللا يمكن تصور المساواة.

مؤسس تسميات الحروف الحديثة للمجهول وعلامات الدرجات هو عالم رياضيات فرنسي، إلا أن تسمياته اختلفت بشكل كبير عن تسميات اليوم. على سبيل المثال، أشار إلى مربع رقم غير معروف بالحرف Q (lat. "quadratus")، والمكعب بالحرف C (lat. "cubus"). تبدو هذه الرموز غريبة الآن، لكنها كانت في ذلك الوقت الطريقة الأكثر قابلية للفهم لكتابة أنظمة المعادلات الجبرية الخطية.

ومع ذلك، كان العيب في طرق الحل آنذاك هو أن علماء الرياضيات اعتبروا الجذور الموجبة فقط. ربما هذا يرجع إلى حقيقة ذلك القيم السلبيةلم يكن لها تطبيق عملي. بطريقة أو بأخرى، كان علماء الرياضيات الإيطاليون نيكولو تارتاليا وجيرولامو كاردانو ورافائيل بومبيلي هم أول من فكر في الجذور السالبة في القرن السادس عشر. أ نظرة حديثة، تم إنشاء طريقة الحل الرئيسية (من خلال التمييز) فقط في القرن السابع عشر بفضل أعمال ديكارت ونيوتن.

وفي منتصف القرن الثامن عشر، اكتشف عالم الرياضيات السويسري غابرييل كريمر طريق جديدمن أجل اتخاذ قرار الأنظمة المعادلات الخطيةأسهل. وقد سميت هذه الطريقة فيما بعد باسمه ومازلنا نستخدمها حتى يومنا هذا. لكننا سنتحدث عن طريقة كريمر في وقت لاحق قليلا، ولكن الآن سنناقش المعادلات الخطية وطرق حلها بشكل منفصل عن النظام.

المعادلات الخطية

المعادلات الخطية هي أبسط المعادلات ذات المتغيرات. يتم تصنيفها على أنها جبرية. اكتب بشكل عام كما يلي: أ 1 * س 1 + أ 2 * س 2 + ... و ن * س ن \u003d ب. سنحتاج إلى تمثيلها بهذا الشكل عند تجميع الأنظمة والمصفوفات بشكل أكبر.

أنظمة المعادلات الجبرية الخطية

وتعريف هذا المصطلح هو كما يلي: هو مجموعة من المعادلات ذات مجهولات مشتركة وحل مشترك. كقاعدة عامة، في المدرسة، تم حل كل شيء من خلال أنظمة ذات معادلتين أو حتى ثلاث معادلات. ولكن هناك أنظمة تحتوي على أربعة مكونات أو أكثر. دعونا أولاً نتعرف على كيفية كتابتها بحيث يكون من المناسب حلها لاحقًا. أولاً، ستبدو أنظمة المعادلات الجبرية الخطية أفضل إذا تمت كتابة جميع المتغيرات بالشكل x مع المؤشر المناسب: 1،2،3، وهكذا. ثانيًا، يجب إحضار جميع المعادلات إلى الصيغة الأساسية: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n =b.

بعد كل هذه الإجراءات، يمكننا أن نبدأ في الحديث عن كيفية إيجاد حل لأنظمة المعادلات الخطية. المصفوفات مفيدة جدًا لهذا الغرض.

المصفوفات

المصفوفة عبارة عن جدول يتكون من صفوف وأعمدة، وعند تقاطعها توجد عناصرها. يمكن أن تكون هذه قيمًا أو متغيرات محددة. في أغلب الأحيان، لتعيين العناصر، يتم وضع اشتراكات تحتها (على سبيل المثال، 11 أو 23). الفهرس الأول يعني رقم الصف والثاني رقم العمود. يمكنك تنفيذ الأمر على المصفوفات، وكذلك على أي عنصر رياضي آخر عمليات مختلفة. وهكذا، يمكنك:

2) ضرب المصفوفة ببعض الأرقام أو المتجهات.

3) تبديل: تحويل صفوف المصفوفة إلى أعمدة والأعمدة إلى صفوف.

4) ضرب المصفوفات إذا كان عدد صفوف إحداها يساوي عدد أعمدة الأخرى.

وسنناقش كل هذه التقنيات بمزيد من التفصيل، لأنها ستكون مفيدة لنا في المستقبل. إن طرح المصفوفات وإضافتها أمر سهل للغاية. وبما أننا نأخذ مصفوفات من نفس الحجم، فإن كل عنصر في جدول واحد يتوافق مع كل عنصر في جدول آخر. وهكذا نضيف (نطرح) هذين العنصرين (من المهم أن يكونا في نفس الأماكن في مصفوفاتهما). عند ضرب مصفوفة في رقم أو متجه، فإنك تحتاج ببساطة إلى ضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة في ذلك الرقم (أو المتجه). النقل هو عملية مثيرة للاهتمام للغاية. من المثير للاهتمام أحيانًا رؤيته الحياه الحقيقيه، على سبيل المثال، عند تغيير اتجاه جهازك اللوحي أو هاتفك. الرموز الموجودة على سطح المكتب عبارة عن مصفوفة، وعندما تقوم بتغيير موضعها، فإنها تتحول وتصبح أوسع، ولكن يتناقص ارتفاعها.

دعونا نحلل هذه العملية، على الرغم من أنها لن تكون مفيدة لنا، إلا أنه سيكون من المفيد التعرف عليها. لا يمكنك ضرب مصفوفتين إلا إذا كان عدد الأعمدة في جدول واحد يساوي عدد الصفوف في الجدول الآخر. الآن لنأخذ عناصر صف من مصفوفة واحدة وعناصر العمود المقابل من مصفوفة أخرى. نضربهم في بعضهم البعض ثم نضيفهم (أي مثلا حاصل ضرب العنصرين أ 11 و أ 12 في ب 12 و ب 22 يساوي: أ 11 * ب 12 + أ 12 * ب 22) . وهكذا يتم الحصول على عنصر واحد من الجدول، ويتم ملؤه بطريقة مماثلة.

الآن يمكننا أن نبدأ في النظر في كيفية حل نظام المعادلات الخطية.

طريقة غاوس

يبدأ هذا الموضوع في المدرسة. نحن نعرف جيدًا مفهوم "نظام المعادلتين الخطيتين" ونعرف كيفية حلهما. ولكن ماذا لو كان عدد المعادلات أكثر من اثنين؟ وهذا سوف يساعدنا

بالطبع، هذه الطريقة ملائمة للاستخدام إذا قمت بإنشاء مصفوفة خارج النظام. لكن لا يمكنك تحويلها وحلها في شكلها النقي.

إذًا، كيف يتم حل نظام المعادلات الغوسية الخطية بهذه الطريقة؟ بالمناسبة، على الرغم من أن هذه الطريقة تحمل اسمه، إلا أنها تم اكتشافها في العصور القديمة. يقترح غاوس ما يلي: إجراء عمليات باستخدام المعادلات من أجل تقليل المجموعة بأكملها في النهاية إلى شكل متدرج. أي أنه من الضروري أنه من أعلى إلى أسفل (إذا تم وضعه بشكل صحيح) من المعادلة الأولى إلى الأخيرة، يتناقص واحد مجهول. بمعنى آخر، نحن بحاجة للتأكد من أننا حصلنا، على سبيل المثال، على ثلاث معادلات: في الأولى - ثلاثة مجهولين، في الثانية - اثنان، في الثالثة - واحد. ثم من المعادلة الأخيرة نجد المجهول الأول، ونعوض قيمته في المعادلة الثانية أو الأولى، ثم نوجد المتغيرين المتبقيين.

طريقة كريمر

لإتقان هذه الطريقة، من الضروري إتقان مهارات الجمع والطرح في المصفوفات، كما تحتاج أيضًا إلى أن تكون قادرًا على العثور على المحددات. لذلك، إذا قمت بكل هذا بشكل سيء أو لا تعرف كيف على الإطلاق، فسيتعين عليك التعلم والممارسة.

ما هو جوهر هذه الطريقة، وكيفية جعلها بحيث يتم الحصول على نظام معادلات كرامر الخطية؟ كل شيء بسيط جدا. يتعين علينا بناء مصفوفة من المعاملات العددية (دائمًا تقريبًا) لنظام المعادلات الجبرية الخطية. للقيام بذلك، نحن ببساطة نأخذ الأرقام الموجودة أمام المجهولين ونضعها في الجدول بالترتيب المكتوب في النظام. إذا كان الرقم مسبوقا بعلامة "-"، فإننا نكتب معاملا سلبيا. لذلك، قمنا بتجميع المصفوفة الأولى لمعاملات المجهولين، دون تضمين الأرقام بعد علامات المساواة (بطبيعة الحال، يجب تخفيض المعادلة إلى الشكل القانوني، عندما يكون الرقم فقط على اليمين، وجميع المجهولين مع المعاملات على اليسار). ثم تحتاج إلى إنشاء عدة مصفوفات أخرى - واحدة لكل متغير. وللقيام بذلك، في المصفوفة الأولى، نقوم بدورنا باستبدال كل عمود به معاملات بعمود من الأرقام بعد علامة التساوي. وهكذا نحصل على عدة مصفوفات ثم نوجد محدداتها.

وبعد أن وجدنا المحددات فالأمر صغير. لدينا مصفوفة أولية، وهناك العديد من المصفوفات الناتجة التي تتوافق مع متغيرات مختلفة. للحصول على حلول النظام نقسم محدد الجدول الناتج على محدد الجدول الأولي. الرقم الناتج هو قيمة أحد المتغيرات. وبالمثل، نجد كل المجهول.

أساليب أخرى

هناك عدة طرق للحصول على حل لأنظمة المعادلات الخطية. على سبيل المثال، ما يسمى بطريقة غاوس-جوردان، والتي تستخدم لإيجاد حلول للنظام المعادلات التربيعيةويرتبط أيضًا باستخدام المصفوفات. هناك أيضًا طريقة جاكوبي لحل نظام من المعادلات الجبرية الخطية. إنه الأسهل للتكيف مع الكمبيوتر ويستخدم في تكنولوجيا الكمبيوتر.

الحالات الصعبة

ينشأ التعقيد عادة عندما يكون عدد المعادلات أقل من عدد المتغيرات. ومن ثم يمكننا أن نقول على وجه اليقين أن النظام غير متناسق (أي ليس له جذور)، أو أن عدد حلوله يميل إلى ما لا نهاية. إذا كانت لدينا الحالة الثانية، فعلينا كتابة الحل العام لنظام المعادلات الخطية. وسوف تحتوي على متغير واحد على الأقل.

خاتمة

هنا وصلنا إلى النهاية. دعونا نلخص: لقد قمنا بتحليل ماهية النظام والمصفوفة، وتعلمنا كيفية إيجاد حل عام لنظام المعادلات الخطية. وبالإضافة إلى ذلك، تم النظر في خيارات أخرى. اكتشفنا كيفية حل نظام المعادلات الخطية: طريقة غاوس وتحدثنا عن الحالات الصعبة وطرق أخرى لإيجاد الحلول.

في الواقع، هذا الموضوع أكثر شمولا، وإذا كنت ترغب في فهمه بشكل أفضل، فننصحك بقراءة المزيد من الأدبيات المتخصصة.

سوف نستمر في تلميع هذه التقنية التحولات الأوليةعلى نظام متجانس من المعادلات الخطية.
بحسب الفقرات الأولى، قد تبدو المادة مملة وعادية، لكن هذا الانطباع خادع. بالإضافة إلى المزيد من تطوير التقنيات، سيكون هناك الكثير من المعلومات الجديدة، لذا يرجى محاولة عدم إهمال الأمثلة الواردة في هذه المقالة.

ما هو نظام متجانس من المعادلات الخطية؟

الجواب يقترح نفسه. نظام المعادلات الخطية متجانس إذا كان الحد الحر الجميعمعادلة النظام هي صفر. على سبيل المثال:

ومن الواضح تماما أن النظام المتجانس دائمًا متسقأي أن لديه دائمًا حلًا. وقبل كل شيء، ما يسمى تافهحل . تافهة، بالنسبة لأولئك الذين لا يفهمون معنى الصفة على الإطلاق، تعني bespontovoe. ليس أكاديميًا بالطبع، ولكن بشكل واضح =) ... لماذا تتجول في الأدغال، دعنا نكتشف ما إذا كان لهذا النظام أي حلول أخرى:

مثال 1

حل: لحل نظام متجانس لا بد من الكتابة مصفوفة النظاموبمساعدة التحولات الأولية، قم بإحضارها إلى شكل متدرج. لاحظ أنه ليست هناك حاجة لكتابة الشريط العمودي والعمود الصفري للأعضاء الأحرار هنا - ففي النهاية، مهما فعلت بالأصفار، فإنها ستبقى صفرًا:

(1) تمت إضافة الصف الأول إلى الصف الثاني مضروبًا في -2. تمت إضافة السطر الأول إلى السطر الثالث مضروبًا في -3.

(2) أضيف السطر الثاني إلى السطر الثالث مضروبا في -1.

إن تقسيم الصف الثالث على 3 ليس له أي معنى.

نتيجة للتحولات الأولية، يتم الحصول على نظام متجانس مكافئ وبتطبيق الحركة العكسية للطريقة الغوسية، من السهل التحقق من أن الحل فريد.

إجابة:

دعونا صياغة معيار واضح: وجود نظام متجانس من المعادلات الخطية حل تافهة فقط، لو رتبة مصفوفة النظام(في هذه الحالة، 3) يساوي عدد المتغيرات (في هذه الحالة، 3 قطع).

نقوم بتسخين الراديو الخاص بنا وضبطه على موجة من التحولات الأولية:

مثال 2

حل نظام متجانس من المعادلات الخطية

لإصلاح الخوارزمية أخيرًا، دعنا نحلل المهمة النهائية:

مثال 7

حل نظامًا متجانسًا، واكتب الإجابة على الصورة المتجهة.

حل: نكتب مصفوفة النظام، وباستخدام التحويلات الأولية، نأتي بها إلى شكل متدرج:

(١) تم تغيير علامة السطر الأول. مرة أخرى، ألفت الانتباه إلى التقنية التي تمت مواجهتها بشكل متكرر، والتي تتيح لك تبسيط الإجراء التالي بشكل كبير.

(١) أضيف السطر الأول إلى السطرين الثاني والثالث. تمت إضافة السطر الأول مضروبًا في 2 إلى السطر الرابع.

(٣) الأسطر الثلاثة الأخيرة متناسبة، وقد حذف منها اثنان.

ونتيجة لذلك، يتم الحصول على مصفوفة الخطوة القياسية، ويستمر الحل على طول المسار المخرش:

- المتغيرات الأساسية؛
هي متغيرات حرة.

نعبر عن المتغيرات الأساسية بدلالة المتغيرات الحرة. من المعادلة الثانية :

- عوض في المعادلة الأولى :

إذن الحل العام هو:

بما أن هناك ثلاثة متغيرات حرة في المثال قيد النظر، فإن النظام الأساسي يحتوي على ثلاثة متجهات.

استبدل ثلاثية القيم في الحل العام واحصل على المتجه الذي تلبي إحداثياته ​​كل معادلة نظام متجانس. ومرة أخرى، أكرر أنه من المرغوب فيه للغاية التحقق من كل ناقل تم استلامه - لن يستغرق الأمر الكثير من الوقت، ولكنه سيوفر مائة بالمائة من الأخطاء.

لثلاثية من القيم العثور على ناقلات

وأخيرا للثلاثية نحصل على المتجه الثالث:

إجابة: ، أين

أولئك الذين يرغبون في تجنب القيم الكسرية قد يفكرون في ثلاثة توائم والحصول على الجواب في النموذج المعادل:

الحديث عن الكسور. دعونا نلقي نظرة على المصفوفة التي تم الحصول عليها في المشكلة واطرح السؤال - هل من الممكن تبسيط الحل الإضافي؟ بعد كل شيء، هنا قمنا أولاً بالتعبير عن المتغير الأساسي من حيث الكسور، ثم المتغير الأساسي من حيث الكسور، ويجب أن أقول إن هذه العملية لم تكن الأسهل وليست الأكثر متعة.

الحل الثاني:

الفكرة هي المحاولة اختر المتغيرات الأساسية الأخرى. دعونا نلقي نظرة على المصفوفة ونلاحظ وجود اثنتين منها في العمود الثالث. فلماذا لا تحصل على الصفر في الأعلى؟ لنقم بإجراء تحول أولي آخر:

بيانات المصفوفة

البحث عن: 1) أأ - ب ب،

حل: 1) نجد بالتسلسل باستخدام قواعد ضرب المصفوفة في رقم وإضافة المصفوفات ..

2. ابحث عن A*B إذا

حل: استخدم قاعدة ضرب المصفوفة

إجابة:

3. لمصفوفة معينة، أوجد الصغرى M 31 واحسب المحدد.

حل: Minor M 31 هو محدد المصفوفة التي يتم الحصول عليها من A

بعد حذف الصف 3 والعمود 1. ابحث عن

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

لنقم بتحويل المصفوفة A دون تغيير محددها (لنقم بعمل أصفار في الصف 1)

-3*, -, -4*
-10			-15
-20			-25
-4			-5

الآن نحسب محدد المصفوفة A عن طريق التوسع على طول الصف 1

الجواب: م 31 = 0، ديتا = 0

حل باستخدام طريقة غاوس وطريقة كرامر.

2س 1 + س 2 + س 3 = 2

× 1 + × 2 + 3 × 3 = 6

2x1 + x2 + 2x3 = 5

حل: دعونا تحقق

يمكنك استخدام طريقة كريمر

حل النظام: x 1 = D 1 / D = 2، x 2 = D 2 / D = -5، x 3 = D 3 / D = 3

نحن نطبق طريقة غاوس.

نقوم بتقليل المصفوفة الممتدة للنظام إلى شكل مثلث.

وللتسهيل على الحسابات، نقوم بتبديل السطور:

اضرب الصف الثاني في (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) وأضف إلى الثالث:

	1 / 2		7 / 2

اضرب الصف الأول في (k = -2 / 2 = -1 ) وأضف إلى الثاني:

الآن يمكن كتابة النظام الأصلي على النحو التالي:

× 1 = 1 - (1/2 × 2 + 1/2 × 3)

× 2 = 13 - (6×3)

من السطر الثاني نعبر

من السطر الأول نعبر

الحل هو نفسه.

الجواب: (2؛ -5؛ 3)

أوجد الحل العام للنظام وFSR

13x 1 - 4x 2 - س 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0

11x 1 - 2x 2 + س 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

حل: تطبيق طريقة غاوس. نقوم بتقليل المصفوفة الممتدة للنظام إلى شكل مثلث.

	-4	-1	-4	-6
	-2		-2	-3
× 1	×2	× 3	×4	×5

اضرب الصف الأول في (-11). اضرب الصف الثاني في (13). دعنا نضيف السطر الثاني إلى الأول:

	-2		-2	-3

اضرب الصف الثاني في (-5). اضرب الصف الثالث في (11). دعنا نضيف السطر الثالث إلى الثاني:

اضرب الصف الثالث بـ (-7). اضرب الصف الرابع في (5). دعنا نضيف السطر الرابع إلى الثالث:

المعادلة الثانية هي مزيج خطي من الباقي

أوجد رتبة المصفوفة.

	-18	-24	-18	-27
× 1	×2	× 3	×4	×5

القاصر المحدد لديه أعلى ترتيب (من بين جميع القاصرين الممكنين) وهو غير صفر (هو يساوي منتج العناصر على القطر المتبادل)، وبالتالي رن (A) = 2.

هذا القاصر أساسي. ويتضمن معاملات المجهول x 1، x 2، مما يعني أن المجهول x 1، x 2 تابع (أساسي)، و x 3، x 4، x 5 مجانية.

النظام ذو معاملات هذه المصفوفة يعادل النظام الأصلي وله الشكل:

18x2 = 24x3 + 18x4 + 27x5

7x1 + 2x2 = - 5x3 - 2x4 - 3x5

من خلال طريقة القضاء على المجهول نجد قرار مشترك:

س 2 = - 4 / 3 × 3 - س 4 - 3 / 2 × 5

× 1 = - 1 / 3 × 3

نجد نظام الحلول الأساسي (FSR) والذي يتكون من حلول (n-r). في حالتنا، n=5، r=2، فإن النظام الأساسي للحلول يتكون من 3 حلول، ويجب أن تكون هذه الحلول مستقلة خطيًا.

لكي تكون الصفوف مستقلة خطيا، من الضروري والكافي أن تكون رتبة المصفوفة المكونة من عناصر الصفوف مساوية لعدد الصفوف، أي 3.

يكفي إعطاء القيم الحرة المجهولة x 3 ,x 4 ,x 5 من صفوف المحدد من الدرجة الثالثة تختلف عن الصفر وحساب x 1 ,x 2 .

أبسط محدد غير الصفر هو مصفوفة الهوية.

ولكن هنا هو أكثر ملاءمة لاتخاذ

نجد باستخدام الحل العام :

أ) × 3 = 6، × 4 = 0، × 5 = 0 Þ × 1 = - 1/3 × 3 = -2، × 2 = - 4/3 × 3 - × 4 - 3/2 × 5 = - 4 ص

قرار FSR: (-2؛ -4؛ 6؛ 0؛ 0)

ب) × 3 = 0، × 4 = 6، × 5 = 0 Þ × 1 = - 1/3 × 3 = 0، × 2 = - 4/3 × 3 - × 4 - 3/2 × 5 = - 6 ذ

قرار FSR الثاني: (0; -6; 0; 6; 0)

ج) × 3 = 0، × 4 = 0، × 5 = 6 Þ × 1 = - 1/3 × 3 = 0، × 2 = - 4/3 × 3 - × 4 - 3/2 × 5 = -9 ذ

III قرار FSR: (0; - 9; 0; 0; 6)

Þ FSR: (-2؛ -4؛ 6؛ 0؛ 0)، (0؛ -6؛ 0؛ 6؛ 0)، (0؛ - 9؛ 0؛ 0؛ 6)

6. بالنظر إلى: z 1 \u003d -4 + 5i، z 2 \u003d 2 - 4i. أوجد: أ) ض 1 - 2 ض 2 ب) ض 1 ض 2 ج) ض 1 / ض 2

حل: أ) ض 1 - 2ض 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

ب) ض 1 ض 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

الإجابة: أ) -3i ب) 12+26i ج) -1.4 - 0.3i

الطريقة الغوسية لها عدد من العيوب: من المستحيل معرفة ما إذا كان النظام متسقًا أم لا حتى يتم تنفيذ جميع التحولات اللازمة في الطريقة الغوسية؛ الطريقة الغوسية غير مناسبة للأنظمة ذات معاملات الحروف.

فكر في طرق أخرى لحل أنظمة المعادلات الخطية. تستخدم هذه الطرق مفهوم رتبة المصفوفة وتختصر حل أي نظام مشترك إلى حل النظام الذي تنطبق عليه قاعدة كرامر.

مثال 1أوجد الحل العام لنظام المعادلات الخطية التالي باستخدام النظام الأساسي لحلول النظام المتجانس المختزل وحل معين للنظام غير المتجانس.

1. نصنع مصفوفة أوالمصفوفة المعززة للنظام (1)

2. اكتشف النظام (1) من أجل التوافق. للقيام بذلك، نجد صفوف المصفوفات أو https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width = "17" height = "26 src = ">). إذا تبين ذلك، فإن النظام (1) غير متوافق. إذا حصلنا على ذلك إذن هذا النظام ثابت وسنقوم بحله. (تعتمد دراسة الاتساق على نظرية كرونيكر-كابيلي).

أ. نجد را.

لايجاد را، سننظر على التوالي إلى العناصر الثانوية غير الصفرية من الأول والثاني وما إلى ذلك من أوامر المصفوفة أوالقاصرين المحيطين بهم.

م1=1≠0 (1 مأخوذ من الزاوية اليسرى العليا للمصفوفة أ).

المتاخمة م1الصف الثاني والعمود الثاني من هذه المصفوفة. . نواصل الحدود م1السطر الثاني والعمود الثالث..gif" width="37" height="20 src=">. الآن نحدد الحدود الثانوية غير الصفرية م2'الدرجة الثانية.

لدينا: (لأن العمودين الأولين متماثلان)

(لأن الخطين الثاني والثالث متناسبان).

نحن نرى ذلك ص = 2، وهو الأساس الثانوي للمصفوفة أ.

ب. نجد .

قاصر الأساسية بما فيه الكفاية م2'المصفوفات أحدود بعمود من الأعضاء الأحرار وجميع الأسطر (لدينا السطر الأخير فقط).

. ويترتب على ذلك أن م3""يبقى الأساس الثانوي للمصفوفة https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

لأن م2'- أساس ثانوي للمصفوفة أأنظمة (2) فإن هذا النظام يعادل النظام (3) ، تتكون من المعادلتين الأوليين للنظام (2) (ل م2'موجود في أول صفين من المصفوفة A).

(3)

نظرًا لأن القاصر الأساسي هو https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

في هذا النظام هناك مجهولان حران ( ×2 و ×4 ). لهذا FSR أنظمة (4) يتكون من حلين. للعثور عليهم، نقوم بتعيين مجهولين مجانيين لـ (4) القيم أولا ×2=1 , ×4=0 ، وثم - س2=0 , ×4=1 .

في ×2=1 , ×4=0 نحن نحصل:

.

هذا النظام لديه بالفعل الشيء الوحيد الحل (يمكن إيجاده بقاعدة كرامر أو بأي طريقة أخرى). وبطرح المعادلة الأولى من المعادلة الثانية نحصل على:

سيكون قرارها ×1= -1 , س3=0 . نظرا للقيم ×2 و ×4 التي قدمناها نحصل على الأول قرار أساسيأنظمة (2) : .

الآن نضع (4) س2=0 , ×4=1 . نحن نحصل:

.

نحن نحل هذا النظام باستخدام نظرية كرامر:

.

نحصل على الحل الأساسي الثاني للنظام (2) : .

حلول β1 , β2 والمكياج FSR أنظمة (2) . ثم سيكون الحل العام لها

γ= ج1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

هنا ج1 , ج2 هي ثوابت اعتباطية.

4. ابحث عن واحدة خاص حل نظام غير متجانس(1) . كما في الفقرة 3 ، بدلاً من النظام (1) النظر في النظام المعادل (5) ، تتكون من المعادلتين الأوليين للنظام (1) .

(5)

نقوم بنقل المجهول الحر إلى الجانب الأيمن ×2و ×4.

(6)

دعونا نعطي المجهول مجانا ×2 و ×4 القيم التعسفية، على سبيل المثال، س2=2 , ×4=1 وقم بتوصيلها (6) . دعونا الحصول على النظام

هذا النظام لديه القرار الوحيد(لأن محددها م2′0). بحلها (باستخدام نظرية كرامر أو طريقة غاوس) نحصل عليها س1=3 , س3=3 . نظرا لقيم المجهولة الحرة ×2 و ×4 ، نحن نحصل حل خاص لنظام غير متجانس(1)α1=(3,2,3,1).

5. الآن يبقى أن نكتب الحل العام α لنظام غير متجانس(1) : يساوي المبلغ قرار خاصهذا النظام و الحل العام لنظامها المتجانس المختزل (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

هذا يعنى: (7)

6. فحص.للتحقق مما إذا كنت قد قمت بحل النظام بشكل صحيح (1) ، نحن بحاجة إلى حل عام (7) استبدال في (1) . إذا أصبحت كل معادلة هوية ( ج1 و ج2 ينبغي تدميرها)، ثم يتم العثور على الحل بشكل صحيح.

سوف نستبدل (7) على سبيل المثال، فقط في المعادلة الأخيرة للنظام (1) (س1 + س2 + س3 ‑9 س4 =‑1) .

نحصل على: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

حيث -1=-1. لقد حصلنا على هوية. نحن نفعل هذا مع جميع المعادلات الأخرى للنظام (1) .

تعليق.عادةً ما يكون التحقق مرهقًا للغاية. يمكننا أن نوصي بـ "التحقق الجزئي" التالي: في الحل الشامل للنظام (1) قم بتعيين بعض القيم للثوابت التعسفية واستبدل الحل المعين الناتج فقط في المعادلات المهملة (أي في تلك المعادلات من (1) التي لم يتم تضمينها في (5) ). إذا حصلت على هويات، ثم اكثر اعجابا، حل النظام (1) وجدت بشكل صحيح (ولكن مثل هذا الاختيار لا يعطي ضمانة كاملة للصحة!). على سبيل المثال، إذا كان في (7) يضع ج2=- 1 , ج1=1، فنحصل على: x1=-3، x2=3، x3=-1، x4=0. بالتعويض في المعادلة الأخيرة للنظام (1) نحصل على: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 ، أي –1=–1. لقد حصلنا على هوية.

مثال 2إيجاد حل عام لنظام المعادلات الخطية (1) ، معبراً عن المجهولات الرئيسية من حيث المجهولات الحرة.

حل.كما في مثال 1، إنشاء المصفوفات أوhttps://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> من هذه المصفوفات. الآن نترك فقط معادلات النظام تلك (1) التي تدخل معاملاتها في هذا القاصر الأساسي (أي لدينا المعادلتين الأوليين) وننظر إلى النظام المكون منهما والذي يعادل النظام (1).

دعونا ننقل المجهول الحر إلى الجانب الأيمن من هذه المعادلات.

نظام (9) نحلها بالطريقة الغوسية، باعتبار الأجزاء الصحيحة أعضاء حرة.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

الخيار 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width = "192" height = "106 src = ">

الخيار 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

الخيار 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

الخيار 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

يعد حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية (SLAE) بلا شك أهم موضوع في مقرر الجبر الخطي. يتم تقليل عدد كبير من المشكلات من جميع فروع الرياضيات إلى حل أنظمة المعادلات الخطية. تشرح هذه العوامل سبب إنشاء هذه المقالة. يتم تحديد مادة المقالة وتنظيمها بحيث يمكنك مساعدتها

• يلتقط أفضل طريقةحل نظام المعادلات الجبرية الخطية،
• دراسة نظرية الطريقة المختارة ،
• حل نظام المعادلات الخطية الخاص بك، بعد النظر بالتفصيل في حلول الأمثلة والمسائل النموذجية.

وصف موجز لمادة المقال.

أولاً، نعطي جميع التعاريف والمفاهيم اللازمة ونقدم بعض الرموز.

بعد ذلك، سننظر في طرق حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية التي يكون فيها عدد المعادلات مساويًا لعدد المتغيرات غير المعروفة والتي لها حل فريد. أولاً، دعونا نركز على طريقة كرامر، ثانياً، سنعرض طريقة المصفوفة لحل مثل هذه الأنظمة من المعادلات، وثالثاً، سنقوم بتحليل طريقة غاوس (طريقة الحذف المتتالي للمتغيرات غير المعروفة). لتعزيز النظرية، سنقوم بالتأكيد بحل العديد من SLAEs بطرق مختلفة.

بعد ذلك ننتقل إلى حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية منظر عام، حيث لا يتطابق عدد المعادلات مع عدد المتغيرات غير المعروفة أو تتدهور المصفوفة الرئيسية للنظام. دعونا نقوم بصياغة نظرية كرونيكر - كابيلي، والتي تسمح لنا بتحديد توافق SLAE. دعونا نحلل حل الأنظمة (في حالة توافقها) باستخدام مفهوم الأساس الثانوي للمصفوفة. سننظر أيضًا في طريقة غاوس ونصف حلول الأمثلة بالتفصيل.

تأكد من التركيز على بنية الحل العام للأنظمة المتجانسة وغير المتجانسة للمعادلات الجبرية الخطية. دعونا نعطي مفهوم النظام الأساسي للحلول ونوضح كيف تتم كتابة الحل العام لـ SLAE باستخدام متجهات النظام الأساسي للحلول. للحصول على فهم أفضل، دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

في الختام، سننظر في أنظمة المعادلات التي يتم اختزالها إلى المعادلات الخطية، وكذلك المهام المختلفة، والذي يؤدي حله إلى SLAEs.

التنقل في الصفحة.

التعاريف والمفاهيم والتسميات.

سننظر في أنظمة المعادلات الجبرية الخطية p مع n متغيرات غير معروفة (p قد تكون مساوية لـ n ) من النموذج

متغيرات غير معروفة، - المعاملات (بعض الأعداد الحقيقية أو المركبة)، - الأعضاء الحرة (أيضًا الأعداد الحقيقية أو المركبة).

يسمى هذا الشكل من SLAE تنسيق.

في شكل مصفوفةهذا النظام من المعادلات له الشكل
أين - المصفوفة الرئيسية للنظام، - عمود المصفوفة للمتغيرات غير المعروفة، - عمود المصفوفة للأعضاء الأحرار.

إذا أضفنا إلى المصفوفة A مثل العمود (n + 1) عمود المصفوفة ذات الحدود الحرة، فإننا نحصل على ما يسمى مصفوفة موسعةأنظمة المعادلات الخطية. عادة يرمز للمصفوفة الموسعة بالحرف T، ويتم فصل عمود الأعضاء الحرة بخط عمودي عن باقي الأعمدة، أي،

من خلال حل نظام المعادلات الجبرية الخطيةتسمى مجموعة قيم المتغيرات المجهولة، والتي تحول جميع معادلات النظام إلى متطابقات. تتحول معادلة المصفوفة للقيم المعطاة للمتغيرات المجهولة أيضًا إلى هوية.

إذا كان لنظام المعادلات حل واحد على الأقل، فإنه يسمى مشترك.

إذا لم يكن لنظام المعادلات حلول يسمى غير متوافق.

إذا كان لدى SLAE حل فريد، فسيتم استدعاؤه تأكيد; إذا كان هناك أكثر من حل، ثم - غير مؤكد.

إذا كانت الحدود الحرة لجميع معادلات النظام تساوي صفراً ، ثم يتم استدعاء النظام متجانس، خلاف ذلك - غير متجانسة.

حل الأنظمة الأولية للمعادلات الجبرية الخطية.

إذا كان عدد معادلات النظام يساوي عدد المتغيرات المجهولة وكان محدد مصفوفتها الرئيسية لا يساوي الصفر، فسنسمي هذه SLAEs ابتدائي. مثل هذه الأنظمة من المعادلات لها حل فريد، وفي حالة النظام المتجانس، تكون جميع المتغيرات المجهولة تساوي الصفر.

لقد بدأنا بدراسة مثل هذه SLAEs في المدرسة الثانوية. عند حلها، أخذنا معادلة واحدة، وعبرنا عن متغير مجهول بدلالة متغيرات أخرى وعوضنا به في المعادلات المتبقية، ثم أخذنا المعادلة التالية، وعبرنا عن المتغير المجهول التالي وعوضنا به في معادلات أخرى، وهكذا. أو استخدموا طريقة الجمع، أي أنهم أضافوا معادلتين أو أكثر لحذف بعض المتغيرات المجهولة. لن نتناول هذه الأساليب بالتفصيل، لأنها في الأساس تعديلات على طريقة غاوس.

الطرق الرئيسية لحل الأنظمة الأولية للمعادلات الخطية هي طريقة كرامر وطريقة المصفوفة وطريقة غاوس. دعونا فرزها.

حل أنظمة المعادلات الخطية بطريقة كرامر.

دعونا نحتاج إلى حل نظام من المعادلات الجبرية الخطية

حيث يكون عدد المعادلات مساوياً لعدد المتغيرات المجهولة ومحدد المصفوفة الرئيسية للنظام يختلف عن الصفر، أي .

اسمحوا أن يكون المحدد للمصفوفة الرئيسية للنظام، و هي محددات المصفوفات التي يتم الحصول عليها من A عن طريق الاستبدال الأول، الثاني، …، نالعمود على التوالي إلى عمود الأعضاء الأحرار:

مع هذا التدوين، يتم حساب المتغيرات غير المعروفة بواسطة صيغ طريقة كرامر مثل . هذه هي الطريقة التي يتم بها إيجاد حل نظام المعادلات الجبرية الخطية باستخدام طريقة كرامر.

مثال.

طريقة كريمر .

حل.

المصفوفة الرئيسية للنظام لها الشكل . احسب محدده (إذا لزم الأمر، راجع المقالة):

وبما أن محدد المصفوفة الرئيسية للنظام يختلف عن الصفر، فإن النظام لديه حل فريد يمكن إيجاده بطريقة كرامر.

تكوين وحساب المحددات اللازمة (يتم الحصول على المحدد عن طريق استبدال العمود الأول في المصفوفة A بعمود من الأعضاء الأحرار، المحدد - عن طريق استبدال العمود الثاني بعمود من الأعضاء الأحرار - عن طريق استبدال العمود الثالث من المصفوفة A بعمود من الأعضاء الأحرار ):

العثور على متغيرات غير معروفة باستخدام الصيغ :

إجابة:

العيب الرئيسي لطريقة كرامر (إذا كان من الممكن تسميتها عيبًا) هو تعقيد حساب المحددات عندما يكون عدد معادلات النظام أكثر من ثلاثة.

حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية بطريقة المصفوفة (باستخدام المصفوفة العكسية).

دع نظام المعادلات الجبرية الخطية يُعطى في شكل مصفوفة، حيث المصفوفة A لها البعد n في n ومحددها غير صفر.

نظرًا لأن المصفوفة A قابلة للعكس، أي أن هناك مصفوفة معكوسة. إذا ضربنا كلا جزأي المساواة في الجانب الأيسر، فسنحصل على صيغة لإيجاد مصفوفة الأعمدة للمتغيرات غير المعروفة. وبذلك حصلنا على حل نظام المعادلات الجبرية الخطية بطريقة المصفوفة.

مثال.

حل نظام المعادلات الخطية طريقة المصفوفة.

حل.

دعونا نعيد كتابة نظام المعادلات في شكل مصفوفة:

لأن

ثم يمكن حل SLAE بطريقة المصفوفة. باستخدام مصفوفة معكوسةيمكن العثور على الحل لهذا النظام على النحو التالي .

دعونا نبني مصفوفة معكوسة باستخدام مصفوفة من المكملات الجبرية لعناصر المصفوفة A (إذا لزم الأمر، راجع المقالة):

يبقى حساب - مصفوفة المتغيرات غير المعروفة عن طريق ضرب المصفوفة العكسية في عمود المصفوفة للأعضاء الأحرار (راجع المقالة إذا لزم الأمر):

إجابة:

أو بترميز آخر x 1 = 4، x 2 = 0، x 3 = -1.

المشكلة الرئيسية في إيجاد حل لأنظمة المعادلات الجبرية الخطية بطريقة المصفوفة هي تعقيد إيجاد المصفوفة العكسية، خاصة بالنسبة إلى المصفوفات المربعةترتيب أعلى من الثالث.

حل أنظمة المعادلات الخطية بطريقة غاوس.

لنفترض أننا بحاجة إلى إيجاد حل لنظام من المعادلات الخطية n مع n متغيرات غير معروفة
محدد المصفوفة الرئيسية التي تختلف عن الصفر.

جوهر طريقة غاوستتمثل في الاستبعاد المتتالي للمتغيرات المجهولة: أولاً يتم استبعاد x 1 من جميع معادلات النظام بدءاً من الثانية، ثم يتم استبعاد x 2 من جميع المعادلات بدءاً من الثالثة وهكذا حتى المتغير المجهول فقط يبقى x n في المعادلة الأخيرة. تسمى عملية تحويل معادلات النظام للتخلص المتتالي من المتغيرات غير المعروفة طريقة غاوس المباشرة. بعد الانتهاء من التشغيل الأمامي للطريقة الغوسية، يتم العثور على x n من المعادلة الأخيرة، ويتم حساب x n-1 من المعادلة قبل الأخيرة باستخدام هذه القيمة، وهكذا، يتم العثور على x 1 من المعادلة الأولى. تسمى عملية حساب المتغيرات المجهولة عند الانتقال من المعادلة الأخيرة للنظام إلى المعادلة الأولى طريقة غاوس العكسية.

دعونا نصف بإيجاز خوارزمية إزالة المتغيرات غير المعروفة.

سنفترض ذلك، حيث يمكننا دائمًا تحقيق ذلك عن طريق إعادة ترتيب معادلات النظام. نستبعد المتغير المجهول x 1 من جميع معادلات النظام بدءاً من الثانية. للقيام بذلك، أضف المعادلة الأولى مضروبة في إلى المعادلة الثانية للنظام، أضف الأولى مضروبة في إلى المعادلة الثالثة، وهكذا، أضف الأولى مضروبة في إلى المعادلة النونية. نظام المعادلات بعد هذه التحولات سوف يأخذ الشكل

اين ا .

سوف نصل إلى نفس النتيجة إذا عبرنا عن x 1 بدلالة متغيرات أخرى غير معروفة في المعادلة الأولى للنظام وقمنا باستبدال التعبير الناتج في جميع المعادلات الأخرى. وبذلك يتم استبعاد المتغير x 1 من جميع المعادلات بدءاً من الثانية.

بعد ذلك، نتصرف بالمثل، ولكن فقط مع جزء من النظام الناتج، والذي تم وضع علامة عليه في الشكل

للقيام بذلك، أضف الثانية مضروبة في إلى المعادلة الثالثة للنظام، أضف الثانية مضروبة في إلى المعادلة الرابعة، وهكذا، أضف الثانية مضروبة في المعادلة n. نظام المعادلات بعد هذه التحولات سوف يأخذ الشكل

اين ا . وبذلك يتم استبعاد المتغير x 2 من جميع المعادلات بدءاً من الثالثة.

بعد ذلك، ننتقل إلى حذف المجهول × 3، مع العمل بالمثل مع جزء النظام المحدد في الشكل

لذلك نواصل المسار المباشر لطريقة غاوس حتى يأخذ النظام الشكل

من هذه اللحظة نبدأ المسار العكسي لطريقة غاوس: نحسب x n من المعادلة الأخيرة، وباستخدام القيمة التي تم الحصول عليها x n نجد x n-1 من المعادلة قبل الأخيرة، وهكذا نجد x 1 من المعادلة الأولى معادلة.

مثال.

حل نظام المعادلات الخطية طريقة غاوسية.

حل.

لنستبعد المتغير المجهول x 1 من المعادلتين الثانية والثالثة للنظام. للقيام بذلك، إلى كلا الجزأين من المعادلتين الثانية والثالثة، نضيف الأجزاء المقابلة من المعادلة الأولى، مضروبة في و على التوالي:

الآن نستبعد x 2 من المعادلة الثالثة وذلك بإضافة الجزأين الأيمن والأيسر من المعادلة الثانية إلى جزأها الأيسر والأيمن مضروباً في:

وبهذا نكون قد انتهينا من المسار الأمامي لطريقة غاوس، ونبدأ المسار العكسي.

ومن المعادلة الأخيرة لنظام المعادلات الناتج نجد × 3:

ومن المعادلة الثانية نحصل على .

من المعادلة الأولى نجد المتغير المجهول المتبقي وهذا يكمل المسار العكسي لطريقة غاوس.

إجابة:

× 1 \u003d 4، × 2 \u003d 0، × 3 \u003d -1.

حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية ذات الصورة العامة.

في الحالة العامة، لا يتطابق عدد معادلات النظام p مع عدد المتغيرات المجهولة n:

قد لا يكون لهذه SLAEs حلول، أو لديها حل واحد، أو لديها عدد لا نهائي من الحلول. ينطبق هذا البيان أيضًا على أنظمة المعادلات التي تكون مصفوفتها الرئيسية مربعة ومنحلة.

نظرية كرونيكر كابيلي.

قبل إيجاد حل لنظام المعادلات الخطية، من الضروري التأكد من توافقه. الإجابة على السؤال متى يكون SLAE متوافقًا ومتى يكون غير متوافق نظرية كرونيكر-كابيلي:
لكي يكون نظام معادلات p مع مجهولين (p يمكن أن يساوي n ) متوافقًا، من الضروري والكافي أن تكون رتبة المصفوفة الرئيسية للنظام مساوية لرتبة المصفوفة الموسعة، أي الرتبة( أ)=الرتبة(ت) .

دعونا نفكر في تطبيق نظرية كرونيكر-كابيلي لتحديد مدى توافق نظام المعادلات الخطية كمثال.

مثال.

معرفة ما إذا كان نظام المعادلات الخطية لديه حلول.

حل.

. دعونا نستخدم طريقة الحدود مع القاصرين. الصغرى من الدرجة الثانية مختلفة عن الصفر . دعنا نتناول القاصرين من الدرجة الثالثة المحيطين به:

وبما أن جميع العناصر الثانوية من الدرجة الثالثة المجاورة تساوي صفرًا، فإن رتبة المصفوفة الرئيسية هي اثنان.

في المقابل، رتبة المصفوفة المعززة تساوي ثلاثة، لأن الأصغر من الدرجة الثالثة

مختلفة عن الصفر .

هكذا، Rang(A) لذلك، وفقًا لنظرية كرونيكر-كابيلي، يمكننا أن نستنتج أن النظام الأصلي للمعادلات الخطية غير متناسق.

إجابة:

لا يوجد نظام حل.

لذلك، تعلمنا تحديد عدم اتساق النظام باستخدام نظرية كرونيكر-كابيلي.

ولكن كيف يمكن العثور على حل SLAE إذا تم التأكد من توافقه؟

للقيام بذلك، نحتاج إلى مفهوم الأساس الأصغر للمصفوفة ونظرية رتبة المصفوفة.

يُطلق على أعلى رتبة ثانوية في المصفوفة A، بخلاف الصفر أساسي.

ويترتب على تعريف الأساس الأصغر أن ترتيبه يساوي رتبة المصفوفة. بالنسبة للمصفوفة غير الصفرية A، يمكن أن يكون هناك العديد من العناصر الثانوية الأساسية؛ هناك دائمًا قاعدة ثانوية واحدة.

على سبيل المثال، النظر في المصفوفة .

جميع العناصر الثانوية من الدرجة الثالثة في هذه المصفوفة تساوي صفرًا، لأن عناصر الصف الثالث من هذه المصفوفة هي مجموع العناصر المقابلة في الصفين الأول والثاني.

العناصر الثانوية التالية من الدرجة الثانية أساسية، لأنها غير صفرية

القُصّر ليست أساسية، لأنها تساوي الصفر.

نظرية رتبة المصفوفة.

إذا كانت رتبة مصفوفة من الرتبة p بواسطة n هي r، فإن جميع عناصر الصفوف (والأعمدة) للمصفوفة التي لا تشكل الأساس الثانوي المختار يتم التعبير عنها خطيًا من حيث العناصر المقابلة للصفوف (والأعمدة) ) التي تشكل الأساس القاصر.

ماذا تعطينا نظرية رتبة المصفوفة؟

إذا أثبتنا، من خلال نظرية كرونيكر-كابيلي، توافق النظام، فإننا نختار أي ثانوية أساسية للمصفوفة الرئيسية للنظام (ترتيبها يساوي r)، ونستبعد من النظام جميع المعادلات التي لا تشكيل القاصر الأساسي المختار. سيكون SLAE الذي تم الحصول عليه بهذه الطريقة مكافئًا للمعادلة الأصلية، نظرًا لأن المعادلات المهملة لا تزال زائدة عن الحاجة (وفقًا لنظرية رتبة المصفوفة، فهي عبارة عن مزيج خطي من المعادلات المتبقية).

ونتيجة لذلك، بعد التخلص من المعادلات المفرطة للنظام، هناك حالتان محتملتان.

إذا كان عدد المعادلات r في النظام الناتج يساوي عدد المتغيرات المجهولة، فإنها ستكون محددة ويمكن إيجاد الحل الوحيد بطريقة كرامر أو طريقة المصفوفة أو طريقة غاوس.

مثال.

.

حل.

رتبة المصفوفة الرئيسية للنظام يساوي اثنين، لأن الأصغر من الدرجة الثانية مختلفة عن الصفر . رتبة المصفوفة الموسعة ويساوي أيضًا اثنين، لأن الأصغر الوحيد من الدرجة الثالثة يساوي صفرًا

والقاصر من الدرجة الثانية المذكورة أعلاه يختلف عن الصفر. واستنادا إلى نظرية كرونيكر-كابيلي، يمكن للمرء تأكيد التوافق النظام الأصليالمعادلات الخطية، منذ Rank(A)=Rank(T)=2 .

كأساس قاصر، ونحن نأخذ . وتتكون من معاملات المعادلتين الأولى والثانية:


المعادلة الثالثة للنظام لا تشارك في تكوين القاصر الأساسي لذا نستبعدها من النظام بناء على نظرية رتبة المصفوفة:


وهكذا حصلنا على نظام أولي من المعادلات الجبرية الخطية. دعونا نحلها بطريقة كريمر:


إجابة:

× 1 \u003d 1، × 2 \u003d 2.

إذا كان عدد المعادلات r في SLAE الناتج أقل من عدد المتغيرات المجهولة n، فإننا نترك الحدود التي تشكل الصغرى الأساسية في الأجزاء اليسرى من المعادلات، وننقل الحدود المتبقية إلى الأجزاء اليمنى من المعادلات للنظام مع الإشارة المعاكسة.

تسمى المتغيرات غير المعروفة (هناك r منها) المتبقية على الجانب الأيسر من المعادلات رئيسي.

يتم استدعاء المتغيرات غير المعروفة (يوجد منها n - r) والتي انتهت على الجانب الأيمن حر.

الآن نفترض أن المتغيرات الحرة غير المعروفة يمكن أن تأخذ قيما عشوائية، في حين سيتم التعبير عن المتغيرات غير المعروفة الرئيسية من حيث المتغيرات الحرة غير المعروفة بطريقة فريدة. يمكن العثور على تعبيرها عن طريق حل SLAE الناتج بواسطة طريقة Cramer، أو طريقة المصفوفة، أو طريقة Gauss.

لنأخذ مثالا.

مثال.

حل نظام المعادلات الجبرية الخطية .

حل.

أوجد رتبة المصفوفة الرئيسية للنظام بطريقة القاصرين المتاخمين. لنأخذ 1 1 = 1 كقيمة ثانوية غير صفرية. لنبدأ بالبحث عن قاصر من الدرجة الثانية غير الصفر يحيط بهذا القاصر:


لذلك وجدنا صغريا غير الصفر من الدرجة الثانية. لنبدأ بالبحث عن قاصر غير صفري من الدرجة الثالثة:


وبالتالي فإن رتبة المصفوفة الرئيسية هي ثلاثة. ورتبة المصفوفة المعززة تساوي أيضًا ثلاثة، أي أن النظام متسق.

سيتم اعتبار القاصر غير الصفري من الدرجة الثالثة الذي تم العثور عليه هو القاصر الأساسي.

وللتوضيح نعرض العناصر التي تشكل الأساس الثانوي:


نترك الحدود المشاركة في الصغرى الأساسية على الجانب الأيسر من معادلات النظام، وننقل الباقي بإشارات متضادة إلى الجانب الأيمن:


نعطي متغيرات غير معروفة مجانية x 2 و x 5 قيمًا عشوائية، أي أننا نأخذها ، أين الأرقام التعسفية. في هذه الحالة، يأخذ SLAE النموذج


نقوم بحل النظام الأولي للمعادلات الجبرية الخطية بطريقة كرامر:


لذلك، .

في الإجابة لا تنسى الإشارة إلى المتغيرات الحرة غير المعروفة.

إجابة:

أين الأرقام التعسفية.

لخص.

لحل نظام من المعادلات الجبرية الخطية ذات الصورة العامة، نكتشف أولاً مدى توافقه باستخدام نظرية كرونيكر-كابيلي. إذا كانت رتبة المصفوفة الرئيسية لا تساوي رتبة المصفوفة الموسعة فإننا نستنتج أن النظام غير متناسق.

إذا كانت رتبة المصفوفة الرئيسية تساوي رتبة المصفوفة الموسعة، فإننا نختار القاصر الأساسي ونتجاهل معادلات النظام التي لا تشارك في تكوين القاصر الأساسي المختار.

إذا كان ترتيب الأساس قاصراً يساوي العددمتغيرات غير معروفة، فإن SLAE لديه حل فريد يمكن العثور عليه بأي طريقة معروفة لدينا.

إذا كان ترتيب الأساس الأصغر أقل من عدد المتغيرات المجهولة، فإننا نترك الحدود مع المتغيرات الرئيسية المجهولة على الجانب الأيسر من معادلات النظام، وننقل الحدود المتبقية إلى الأطراف اليمنى ونخصص قيماً عشوائية للمتغيرات الحرة غير المعروفة. من نظام المعادلات الخطية الناتج، نجد المجهولين الرئيسيين متغيرات الطريقةطريقة كرامر أو طريقة المصفوفة أو طريقة غاوس.

طريقة غاوس لحل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية ذات الصورة العامة.

باستخدام طريقة غاوس، يمكن للمرء حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية من أي نوع دون التحقق الأولي من توافقها. إن عملية الحذف المتتالي للمتغيرات غير المعروفة تجعل من الممكن التوصل إلى نتيجة حول التوافق وعدم الاتساق في SLAE، وإذا كان هناك حل، فإنه يجعل من الممكن العثور عليه.

ومن وجهة نظر العمل الحسابي، فإن الطريقة الغوسية هي الأفضل.

شاهد هذه وصف تفصيليوحللت الأمثلة في مقالة طريقة غاوس لحل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية ذات الصورة العامة.

تسجيل الحل العام للأنظمة الجبرية الخطية المتجانسة وغير المتجانسة باستخدام ناقلات النظام الأساسي للحلول.

في هذا القسم نحن سوف نتكلمحول الأنظمة المشتركة المتجانسة وغير المتجانسة للمعادلات الجبرية الخطية ذات عدد لا نهائي من الحلول.

دعونا نتعامل مع الأنظمة المتجانسة أولاً.

نظام القرار الأساسيالنظام المتجانس للمعادلات الجبرية الخطية p مع n متغيرات غير معروفة هو مجموعة من الحلول المستقلة خطيًا (n - r) لهذا النظام، حيث r هو ترتيب الأساس الثانوي للمصفوفة الرئيسية للنظام.

إذا كنا نشير إلى حلول مستقلة خطيا SLAE متجانسةمثل X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) هي n في مصفوفات عمود واحد)، ثم الحل العام لهذا النظام المتجانس يتم تمثيله كمجموعة خطية من ناقلات النظام الأساسي للحلول ذات المعاملات الثابتة التعسفية С 1 , С 2 , ..., С (n-r) ، أي .

ماذا يعني مصطلح الحل العام لنظام متجانس من المعادلات الجبرية الخطية (أوروسلاو)؟

المعنى بسيط: الصيغة تحدد كل شيء الحلول الممكنة SLAE الأصلي، بمعنى آخر، أخذ أي مجموعة من قيم الثوابت التعسفية С 1 , С 2 , …, С (n-r) ، وفقًا للصيغة نحصل على أحد حلول SLAE الأصلية المتجانسة.

وبالتالي، إذا وجدنا نظامًا أساسيًا للحلول، فيمكننا تعيين جميع حلول SLAE المتجانسة كـ

دعونا نعرض عملية بناء نظام أساسي من الحلول لـ SLAE متجانس.

نختار الصغرى الأساسية للنظام الأصلي للمعادلات الخطية، ونستبعد جميع المعادلات الأخرى من النظام، وننقل إلى الجانب الأيمن من معادلات النظام ذات العلامات المتضادة جميع الحدود التي تحتوي على متغيرات حرة مجهولة. لنعطي المتغيرات الحرة غير المعروفة القيم 1,0,0,…,0 ونحسب المجهول الرئيسي عن طريق حل النظام الأولي الناتج من المعادلات الخطية بأي طريقة، على سبيل المثال، بطريقة كرامر. وبذلك سيتم الحصول على X (1) - الحل الأول للنظام الأساسي. إذا أعطينا المجهولات الحرة القيم 0,1,0,0,…,0 وقمنا بحساب المجهولات الرئيسية، فسنحصل على X (2) . وما إلى ذلك وهلم جرا. إذا أعطينا المتغيرات الحرة غير المعروفة القيم 0,0,…,0,1 وقمنا بحساب المجهول الرئيسي، فسنحصل على X (n-r) . هذه هي الطريقة التي سيتم بها بناء النظام الأساسي للحلول لـ SLAE المتجانس ويمكن كتابة حله العام في النموذج .

بالنسبة للأنظمة غير المتجانسة للمعادلات الجبرية الخطية، يتم تمثيل الحل العام على النحو التالي:

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة.

مثال.

أوجد النظام الأساسي للحلول والحل العام لنظام متجانس من المعادلات الجبرية الخطية .

حل.

إن رتبة المصفوفة الرئيسية للأنظمة المتجانسة للمعادلات الخطية تساوي دائمًا رتبة المصفوفة الموسعة. دعونا نجد رتبة المصفوفة الرئيسية بطريقة التهديب القصر. كعنصر ثانوي غير صفري من الدرجة الأولى، نأخذ العنصر a 1 1 = 9 من المصفوفة الرئيسية للنظام. أوجد الحد الصغير غير الصفري من الدرجة الثانية:

تم العثور على قاصر من الدرجة الثانية يختلف عن الصفر. دعنا نمر عبر القاصرين من الدرجة الثالثة المتاخمين لها بحثًا عن واحد غير الصفر:

جميع الحدود الثانوية من الدرجة الثالثة تساوي صفرًا، وبالتالي فإن رتبة المصفوفة الرئيسية والممتدة هي اثنان. لنأخذ القاصر الأساسي. وللتوضيح نلاحظ عناصر النظام الذي يتكون منه:

المعادلة الثالثة من SLAE الأصلية لا تشارك في تكوين القاصر الأساسي لذلك يمكن استبعادها:

نترك الحدود التي تحتوي على المجهولات الرئيسية في الطرف الأيمن من المعادلات، وننقل الحدود ذات المجهولات الحرة إلى الطرف الأيمن:

دعونا نبني نظامًا أساسيًا من الحلول للنظام المتجانس الأصلي للمعادلات الخطية. يتكون النظام الأساسي لحلول SLAE من حلين، حيث أن SLAE الأصلي يحتوي على أربعة متغيرات غير معروفة، وترتيب فرعيه الأساسي هو اثنان. للعثور على X (1) نعطي المتغيرات الحرة غير المعروفة القيم x 2 \u003d 1، x 4 \u003d 0، ثم نجد المجهول الرئيسي من نظام المعادلات
.