توسيع الوظائف الأولية في سلسلة الطاقة. توسيع الوظائف إلى سلسلة الطاقة

في نظرية السلاسل الوظيفية ، يحتل القسم المخصص لتوسيع دالة إلى سلسلة مكانًا مركزيًا.

وبالتالي ، يتم طرح المشكلة: لوظيفة معينة مطلوب للعثور على سلسلة الطاقة هذه

التي تقاربت في فترة ما وكان مجموعها يساوي
, أولئك.

= ..

هذه المهمة تسمى مشكلة توسيع دالة إلى سلسلة أس.

شرط ضروري لتوسيع دالة إلى سلسلة أسهو تمايزها بعدد لا حصر له من المرات - وهذا ناتج عن خصائص متسلسلة القدرة المتقاربة. يتم استيفاء هذا الشرط ، كقاعدة عامة ، للوظائف الأولية في مجال تعريفها.

لذلك لنفترض أن الدالة
له مشتقات من أي أمر. هل يمكن توسيعها إلى سلسلة طاقة ، إذا كان الأمر كذلك ، فكيف تجد هذه السلسلة؟ الجزء الثاني من المشكلة أسهل في الحل ، فلنبدأ به.

لنفترض أن الدالة
يمكن تمثيلها كمجموع لسلسلة القدرة المتقاربة في فترة تحتوي على نقطة X 0 :

= .. (*)

أين أ 0 ،أ 1 ،أ 2 ،...،أ ص ,... - معاملات غير مؤكدة (حتى الآن).

دعونا نضع في المساواة (*) القيمة س = س 0 , ثم نحصل

.

نفرق بين مصطلح سلسلة القوة (*) حسب المصطلح

= ..

ويضع هنا س = س 0 , نحن نحصل

.

مع التفاضل التالي ، نحصل على السلسلة

= ..

افتراض س = س 0 , نحن نحصل
، أين
.

بعد صضعف التمايز الذي نحصل عليه

بافتراض المساواة الأخيرة س = س 0 , نحن نحصل
، أين

لذلك تم العثور على المعاملات

,
,
, …,
,….,

استبدال أي في صف (*) ، نحصل عليه

تسمى السلسلة الناتجة بالقرب من تايلور للوظيفة
.

وهكذا ، لقد أثبتنا ذلك إذا كان من الممكن توسيع الدالة إلى سلسلة أس في قوى (x - x 0 ) ، فإن هذا التوسع فريد والسلسلة الناتجة بالضرورة سلسلة تايلور.

لاحظ أنه يمكن الحصول على سلسلة Taylor لأي وظيفة لها مشتقات من أي ترتيب في هذه النقطة س = س 0 . لكن هذا لا يعني حتى الآن أنه يمكن وضع علامة المساواة بين الوظيفة والسلسلة الناتجة ، أي أن مجموع المتسلسلة يساوي الوظيفة الأصلية. أولاً ، يمكن لمثل هذه المساواة أن تكون منطقية فقط في منطقة التقارب ، وقد تتباعد سلسلة تايلور التي تم الحصول عليها للوظيفة ، وثانيًا ، إذا تقاربت سلسلة تايلور ، فقد لا يتطابق مجموعها مع الوظيفة الأصلية.

3.2 شروط كافية لتوسيع وظيفة إلى سلسلة تايلور

دعونا نصيغ بيانًا بمساعدة حل المشكلة المذكورة.

إذا كانت الوظيفة
في بعض المناطق المجاورة للنقطة س 0 له مشتقات تصل إلى (ن+ 1) -الترتيب شامل ، ثم في هذا الحي لدينامعادلة تايلور

أينص ن (X)- المصطلح المتبقي لصيغة تايلور - له الشكل (شكل لاغرانج)

أين نقطةξ تقع بين x و x 0 .

لاحظ أن هناك فرقًا بين سلسلة Taylor وصيغة Taylor: صيغة Taylor عبارة عن مبلغ محدود ، أي ف -عدد ثابت.

أذكر أن مجموع السلسلة س(x) يمكن تعريفه على أنه حد التسلسل الوظيفي للمجاميع الجزئية س ص (x) في بعض الفترات X:

.

وفقًا لهذا ، فإن توسيع دالة إلى سلسلة تايلور يعني العثور على سلسلة مثل تلك لأي XX

نكتب صيغة تايلور بالشكل حيث

لاحظ أن
يحدد الخطأ الذي حصلنا عليه ، استبدل الوظيفة F(x) متعدد الحدود س ن (x).

لو
، الذي - التي
،أولئك. تتوسع الوظيفة إلى سلسلة تايلور. على العكس من ذلك ، إذا
، الذي - التي
.

هكذا أثبتنا معيار لتوسيع دالة إلى سلسلة تايلور.

من أجل ذلك في بعض الفترات الوظيفةF(خ) يتوسع في سلسلة تايلور ، من الضروري والكافي أن يتم ذلك في هذا الفاصل الزمني
، أينص ن (x) هو الجزء المتبقي من سلسلة تايلور.

بمساعدة المعيار المصاغ ، يمكن للمرء الحصول عليها كافٍشروط لتوسيع وظيفة إلى سلسلة تايلور.

إذا كان فيبعض الجوار من النقطة س 0 القيم المطلقة لجميع مشتقات الدالة محدودة بنفس الرقم M≥ 0 ، أي

، تس في هذا الحي ، تتوسع الوظيفة إلى سلسلة تايلور.

مما سبق يتبع الخوارزميةتوسيع الوظيفة F(x) في سلسلة تايلورعلى مقربة من النقطة X 0 :

1. إيجاد التوابع المشتقة F(x):

و (س) ، و "(س) ، و" (س) ، و "" (س) ، و (ن) (س) ، ...

2. نحسب قيمة الدالة وقيم مشتقاتها عند النقطة X 0

و (x 0 ) ، f '(x 0 ) ، و "(x 0 ) ، و "" (x 0 )، F (ن) (x 0 ),…

3. نكتب سلسلة Taylor رسميًا ونجد منطقة التقارب لسلسلة الطاقة الناتجة.

4. نتحقق من استيفاء الشروط الكافية ، أي إنشاء التي Xمن منطقة التقارب ، المدى المتبقي ص ن (x) يميل إلى الصفر في
أو
.

يسمى توسيع الوظائف في سلسلة تايلور وفقًا لهذه الخوارزمية توسيع دالة في سلسلة تايلور حسب التعريفأو التحلل المباشر.

16.1. توسيع الوظائف الأولية في سلسلة تايلور و

ماكلورين

دعونا نظهر أنه إذا تم تحديد وظيفة تعسفية في المجموعة
بالقرب من النقطة
له العديد من المشتقات وهو مجموع سلسلة الأس:

ثم يمكنك إيجاد معاملات هذه السلسلة.

عوّض في متسلسلة أس
. ثم
.

أوجد المشتق الأول للدالة
:

في
:
.

للمشتق الثاني نحصل على:

في
:
.

استمرار هذا الإجراء نبمجرد أن نحصل على:
.

وهكذا ، حصلنا على سلسلة قوى بالشكل:

,

من اتصل بالقرب من تايلورللوظيفة
حول النقطة
.

حالة خاصة من سلسلة تايلور سلسلة Maclaurinفي
:

يتم الحصول على ما تبقى من سلسلة Taylor (Maclaurin) عن طريق التخلص من السلسلة الرئيسية نالمصطلحات الأولى ويشار إليها على أنها
. ثم الوظيفة
يمكن كتابتها كمجموع نأول أعضاء السلسلة
والباقي
:,

.

الباقي عادة
معبرا عنها بصيغ مختلفة.

واحد منهم في شكل لاغرانج:

، أين
.
.

لاحظ أنه من الناحية العملية ، يتم استخدام سلسلة Maclaurin في كثير من الأحيان. وهكذا ، من أجل كتابة الوظيفة
في شكل مجموع سلسلة الطاقة ، من الضروري:

1) ابحث عن معاملات سلسلة Maclaurin (Taylor) ؛

2) أوجد منطقة التقاء سلسلة الطاقة الناتجة ؛

3) إثبات أن السلسلة المعطاة تتقارب مع الوظيفة
.

نظرية1 (شرط ضروري وكاف لتقارب سلسلة Maclaurin). دع نصف قطر التقارب للسلسلة
. لكي تتقارب هذه السلسلة في الفترة الزمنية
للعمل
، من الضروري والكافي استيفاء الشرط التالي:
ضمن الفترة الزمنية المحددة.

نظرية 2.إذا كانت مشتقات أي ترتيب للدالة
في بعض الفترات
محدودة في القيمة المطلقة لنفس الرقم م، إنه
، ثم في هذه الفترة الدالة
يمكن توسيعها في سلسلة Maclaurin.

مثال1 . توسع في سلسلة تايلور حول النقطة
وظيفة.

حل.

.

,;

,
;

,
;

,

.......................................................................................................................................

,
;

منطقة التقارب
.

مثال2 . توسيع وظيفة في سلسلة تايلور حول نقطة
.

حل:

نجد قيمة الدالة ومشتقاتها عند
.

,
;

,
;

...........……………………………

,
.

استبدل هذه القيم في صف واحد. نحن نحصل:

أو
.

دعونا نجد منطقة التقاء هذه السلسلة. وفقًا لاختبار d'Alembert ، تتقارب السلسلة إذا

.

لذلك ، لأي هذا الحد أقل من 1 ، وبالتالي فإن منطقة التقاء المتسلسلة ستكون:
.

دعونا ننظر في العديد من الأمثلة للتوسع في سلسلة Maclaurin للوظائف الأولية الأساسية. تذكر أن سلسلة Maclaurin:

.

يتقارب في الفترة
للعمل
.

لاحظ أنه لتوسيع الوظيفة إلى سلسلة ، من الضروري:

أ) إيجاد معاملات سلسلة Maclaurin لوظيفة معينة ؛

ب) حساب نصف قطر التقارب للسلسلة الناتجة.

ج) إثبات أن السلسلة الناتجة تتقارب مع الوظيفة
.

مثال 3ضع في اعتبارك الوظيفة
.

حل.

دعونا نحسب قيمة الدالة ومشتقاتها
.

ثم يكون للمعاملات العددية للسلسلة الشكل:

لأي احد ن.نستبدل المعاملات الموجودة في سلسلة Maclaurin ونحصل على:

أوجد نصف قطر التقارب للسلسلة الناتجة ، وهي:

.

لذلك ، تتقارب المتسلسلة في الفترة
.

هذه السلسلة تتقارب مع الوظيفة لأية قيم ، لأنه في أي فترة
وظيفة ومشتقات قيمتها المطلقة محدودة بالعدد .

مثال4 . ضع في اعتبارك الوظيفة
.

حل.

:

من السهل رؤية تلك المشتقات ذات الترتيب الزوجي
، ومشتقات النظام الفردي. استبدلنا المعاملات الموجودة في سلسلة Maclaurin ونحصل على التمدد:

أوجد فترة التقارب هذه السلسلة. وفقًا لدالمبرت:

لأي احد . لذلك ، تتقارب المتسلسلة في الفترة
.

هذه السلسلة تتقارب مع الوظيفة
، لأن جميع مشتقاته تقتصر على واحد.

مثال5 .
.

حل.

دعونا نجد قيمة الدالة ومشتقاتها عند
:

وبالتالي ، فإن معاملات هذه السلسلة:
و
، لذلك:

وبالمثل مع السلسلة السابقة مجال التقارب
. تتقارب السلسلة مع الوظيفة
، لأن جميع مشتقاته تقتصر على واحد.

لاحظ أن الوظيفة
التوسع الفردي والمتسلسل في القوى الفردية ، وظيفة
- حتى والتوسع في سلسلة في القوى الزوجية.

مثال6 . سلسلة ذات الحدين:
.

حل.

دعونا نجد قيمة الدالة ومشتقاتها عند
:

وهذا يبين أن:

نستبدل هذه القيم للمعاملات في سلسلة Maclaurin ونحصل على توسيع هذه الوظيفة في سلسلة الطاقة:

لنجد نصف قطر التقارب لهذه السلسلة:

لذلك ، تتقارب المتسلسلة في الفترة
. عند نقاط الحد عند
و
قد تتقارب أو لا تتقارب بناءً على الأس
.

تتقارب السلسلة المدروسة في الفترة
للعمل
، أي مجموع السلسلة
في
.

مثال7 . دعونا نوسع الوظيفة في سلسلة Maclaurin
.

حل.

لتوسيع هذه الدالة إلى سلسلة ، نستخدم المتسلسلة ذات الحدين لـ
. نحن نحصل:

بناءً على خاصية سلسلة الطاقة (يمكن دمج سلسلة الطاقة في منطقة تقاربها) ، نجد تكامل الجزأين الأيمن والأيسر من هذه السلسلة:

أوجد منطقة التقاء هذه السلسلة:
,

أي أن منطقة التقارب لهذه السلسلة هي الفاصل الزمني
. دعونا نحدد تقارب السلسلة في نهايات الفترة. في

. هذه السلسلة عبارة عن سلسلة متناسقة ، أي أنها تتباعد. في
نحصل على سلسلة رقمية بمصطلح مشترك
.

تتقارب سلسلة Leibniz. وبالتالي ، فإن منطقة التقاء هذه السلسلة هي الفاصل الزمني
.

16.2. تطبيق سلسلة القوى في حسابات تقريبية

تلعب سلسلة الطاقة دورًا مهمًا للغاية في الحسابات التقريبية. بمساعدتهم ، تم تجميع جداول الدوال المثلثية ، وجداول اللوغاريتمات ، وجداول قيم الوظائف الأخرى المستخدمة في مختلف مجالات المعرفة ، على سبيل المثال ، في نظرية الاحتمالات والإحصاءات الرياضية. بالإضافة إلى ذلك ، فإن توسيع الوظائف في سلسلة الطاقة مفيد لدراستهم النظرية. تكمن المشكلة الرئيسية عند استخدام سلسلة الطاقة في العمليات الحسابية التقريبية في مسألة تقدير الخطأ عند استبدال مجموع سلسلة بمجموع أولها نأعضاء.

خذ بعين الاعتبار حالتين:

يتم توسيع الوظيفة إلى سلسلة متناوبة ؛

يتم توسيع الدالة إلى سلسلة ذات علامة ثابتة.

الحساب باستخدام المتسلسلة بالتناوب

دع الوظيفة
توسعت إلى سلسلة طاقة متناوبة. ثم ، عند حساب هذه الوظيفة لقيمة محددة نحصل على سلسلة رقمية يمكننا تطبيق اختبار Leibniz عليها. وفقًا لهذا المعيار ، إذا تم استبدال مجموع سلسلة بمجموع أولها نأعضاء ، فإن الخطأ المطلق لا يتجاوز المصطلح الأول لبقية هذه السلسلة ، أي:
.

مثال8 . احسب
بدقة 0.0001.

حل.

سنستخدم سلسلة Maclaurin لـ
، استبدال قيمة الزاوية بالراديان:

إذا قارنا العضوين الأول والثاني من السلسلة بدقة معينة ، فعندئذٍ:.

فترة التوسع الثالثة:

أقل من دقة الحساب المحددة. لذلك ، لحساب
يكفي ترك فترتين من السلسلة ، أي

.

هكذا
.

مثال9 . احسب
بدقة 0.001.

حل.

سوف نستخدم صيغة المتسلسلة ذات الحدين. لهذا نكتب
مثل:
.

في هذا التعبير
,

دعنا نقارن كل مصطلح من مصطلحات المتسلسلة بالدقة المعطاة. انه واضح
. لذلك ، لحساب
يكفي ترك ثلاثة أعضاء من المسلسل.

أو
.

الحساب باستخدام سلسلة إشارة موجبة

مثال10 . احسب العدد بدقة 0.001.

حل.

على التوالي لدالة
بديل
. نحن نحصل:

دعونا نقدر الخطأ الذي ينشأ عندما يتم استبدال مجموع السلسلة بمجموع الأول أعضاء. دعنا نكتب عدم المساواة الواضحة:

أي 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

حسب حالة المشكلة ، عليك أن تجد نبحيث أن عدم المساواة التالية تحمل:
أو
.

من السهل التحقق من ذلك متى ن= 6:
.

لذلك،
.

مثال11 . احسب
بدقة 0.0001.

حل.

لاحظ أنه لحساب اللوغاريتمات ، يمكن تطبيق المتسلسلة للوظيفة
، ولكن هذه السلسلة تتقارب ببطء شديد ويجب أن تؤخذ 9999 مصطلحًا لتحقيق الدقة المحددة! لذلك ، لحساب اللوغاريتمات ، كقاعدة عامة ، يتم استخدام سلسلة للدالة
، الذي يتقارب في الفترة
.

إحصاء - عد
مع هذا الصف. يترك
، ثم .

لذلك،
,

من أجل حساب
بدقة معينة ، خذ مجموع المصطلحات الأربعة الأولى:
.

باقي الصف
ينبذ. دعنا نقدر الخطأ. من الواضح أن

أو
.

وبالتالي ، في السلسلة التي تم استخدامها للحساب ، كان يكفي أن تأخذ المصطلحات الأربعة الأولى فقط بدلاً من 9999 في السلسلة للوظيفة
.

أسئلة للتشخيص الذاتي

1. ما هي سلسلة تايلور؟

2. ما نوع السلسلة التي يمتلكها Maclaurin؟

3. صياغة نظرية حول توسيع دالة في سلسلة تايلور.

4. اكتب التوسع في سلسلة Maclaurin للوظائف الرئيسية.

5. حدد مجالات التقارب في السلسلة المدروسة.

6. كيف يمكن تقدير الخطأ في الحسابات التقريبية باستخدام متسلسلة القدرة؟

يجب أن يدرك طلاب الرياضيات العليا أن مجموع بعض سلاسل القوى التي تنتمي إلى فترة تقارب السلسلة المعطاة لنا هو عدد لا حصر له من مرات الدالة المتباينة. السؤال الذي يطرح نفسه: هل من الممكن التأكيد على أن دالة تعسفية معينة f (x) هي مجموع بعض سلاسل القوى؟ أي تحت أي ظروف يمكن تمثيل الدالة f (x) بسلسلة قوى؟ تكمن أهمية هذا السؤال في حقيقة أنه من الممكن استبدال الدالة f (x) تقريبًا بمجموع البنود القليلة الأولى من سلسلة الأس ، أي بواسطة كثير الحدود. مثل هذا الاستبدال للدالة بتعبير بسيط إلى حد ما - متعدد الحدود - مناسب أيضًا عند حل بعض المشكلات ، وهي: عند حل التكاملات ، عند الحساب ، إلخ.

ثبت أنه بالنسبة لبعض الوظائف f (x) ، حيث يمكن حساب المشتقات حتى (n + 1) الترتيب ، بما في ذلك الأخير ، في الحي (α - R ؛ x 0 + R) لبعض النقطة س = صيغة α:

سميت هذه الصيغة على اسم العالم الشهير بروك تايلور. السلسلة التي تم الحصول عليها من السلسلة السابقة تسمى سلسلة Maclaurin:

القاعدة التي تجعل من الممكن التوسع في سلسلة Maclaurin:

1. حدد مشتقات الأوامر الأولى والثانية والثالثة ...
2. احسب ما هي المشتقات عند x = 0.
3. اكتب سلسلة Maclaurin لهذه الدالة ، ثم حدد الفاصل الزمني لتقاربها.
4. حدد الفاصل الزمني (-R ؛ R) ، حيث باقي صيغة Maclaurin

R n (x) -> 0 لـ n -> ما لا نهاية. في حالة وجود واحد ، يجب أن تتطابق الوظيفة f (x) مع مجموع سلسلة Maclaurin.

فكر الآن في سلسلة Maclaurin للوظائف الفردية.

1. إذن ، سيكون الأول f (x) = e x. بالطبع ، وفقًا لميزاتها ، تحتوي هذه الوظيفة على مشتقات من أوامر مختلفة تمامًا ، و f (k) (x) \ u003d e x ، حيث k يساوي كل شيء ، فلنستبدل x \ u003d 0. نحصل على f (k) (0) \ u003d e 0 \ u003d 1، k \ u003d 1.2 ... بناءً على ما سبق ، ستبدو السلسلة e x كما يلي:

2. سلسلة Maclaurin للدالة f (x) = sin x. وضح على الفور أن الوظيفة لجميع المجهول سيكون لها مشتقات ، إلى جانب f "(x) \ u003d cos x \ u003d sin (x + n / 2) ، f" "(x) \ u003d -sin x \ u003d sin (x + 2 * n / 2) ... f (k) (x) = sin (x + k * n / 2) ، حيث k يساوي أي عدد طبيعي. أي بعد إجراء حسابات بسيطة ، يمكننا التوصل إلى استنتاج مفاده أن سلسلة f (x) \ u003d sin x ستكون بالشكل التالي:

3. لنحاول الآن النظر في الدالة f (x) = cos x. له مشتقات من الترتيب التعسفي لجميع المجهول ، و | f (k) (x) | = | cos (x + k * n / 2) |<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

لذلك ، قمنا بإدراج أهم الوظائف التي يمكن توسيعها في سلسلة Maclaurin ، ولكن يتم استكمالها بسلسلة Taylor لبعض الوظائف. الآن سنقوم بإدراجهم. من الجدير بالذكر أيضًا أن سلسلة Taylor و Maclaurin هي جزء مهم من ممارسة حل السلاسل في الرياضيات العليا. لذا ، سلسلة تايلور.

1. سيكون الأول صفًا لـ f-ii f (x) = ln (1 + x). كما في الأمثلة السابقة ، بالنظر إلى f (x) = ln (1 + x) ، يمكننا إضافة سلسلة باستخدام الشكل العام لسلسلة Maclaurin. ومع ذلك ، بالنسبة لهذه الوظيفة ، يمكن الحصول على سلسلة Maclaurin بشكل أكثر بساطة. بعد دمج سلسلة هندسية معينة ، نحصل على سلسلة لـ f (x) = ln (1 + x) لمثل هذه العينة:

2. والثانية ، والتي ستكون نهائية في مقالتنا ، ستكون سلسلة لـ f (x) \ u003d arctg x. بالنسبة إلى x التي تنتمي إلى الفترة [-1 ؛ 1] ، يكون التوسيع صالحًا:

هذا كل شئ. في هذه المقالة ، تم النظر في أكثر سلاسل تايلور وماكلورين استخدامًا في الرياضيات العليا ، ولا سيما في الجامعات الاقتصادية والتقنية.

إذا كانت الوظيفة f (x) تحتوي على مشتقات من جميع الطلبات في فترة زمنية تحتوي على النقطة a ، فيمكن تطبيق صيغة Taylor عليها:
,
أين rn- ما يسمى بالمصطلح المتبقي أو ما تبقى من السلسلة ، يمكن تقديره باستخدام صيغة لاغرانج:
، حيث يقع العدد x بين x و a.

و (س) =

عند النقطة x 0 = عدد عناصر الصف 3 4 5 6 7

استخدم توسيع الدوال الأولية e x و cos (x) و sin (x) و ln (1 + x) و (1 + x) m

قواعد إدخال الوظيفة:

إذا لبعض القيمة X rn→ 0 في ن→ ∞ ، ثم في الحد ، تتحول صيغة تايلور لهذه القيمة إلى متقارب سلسلة تايلور:
,
وبالتالي ، يمكن توسيع الوظيفة f (x) إلى سلسلة Taylor عند النقطة المحددة x إذا:
1) لها مشتقات لجميع الطلبات ؛
2) تتقارب السلسلة المبنية في هذه المرحلة.

ل = 0 نحصل على سلسلة تسمى بالقرب من Maclaurin:
,
توسيع أبسط الوظائف (الابتدائية) في سلسلة Maclaurin:
وظائف أسية
، R = ∞
الدوال المثلثية
، R = ∞
، R = ∞
، (-/ 2< x < π/2), R=π/2
لا تتوسع الدالة actgx في قوى x ، لأن ctg0 = ∞
الدوال الزائدية


الدوال اللوغاريتمية
, -1
سلسلة ذات الحدين
.

مثال 1. قم بتوسيع الدالة إلى سلسلة أس و (س) = 2x.
حل. دعونا نجد قيم الدالة ومشتقاتها عند X=0
و (خ) = 2x, F( 0) = 2 0 =1;
و "(خ) = 2x ln2 ، F"( 0) = 2 0 ln2 = ln2 ؛
و "(خ) = 2x ln 2 2 F""( 0) = 2 0 سجل 2 2 = سجل 2 2 ؛
…
و (ن) (خ) = 2x ln ن 2, و (ن) ( 0) = 2 0 ln ن 2 = ن ن 2.
استبدال القيم التي تم الحصول عليها من المشتقات في صيغة سلسلة تايلور ، نحصل على:

نصف قطر التقارب لهذه السلسلة يساوي اللانهاية ، لذا فإن هذا التمدد صالح لـ -∞<x<+∞.

المثال رقم 2. اكتب سلسلة تايلور في القوى ( X+4) للوظيفة و (س) =ه x.
حل. إيجاد مشتقات الدالة e xوقيمهم في هذه النقطة X=-4.
و (خ)= هـ x, F(-4) = هـ -4 ;
و "(خ)= هـ x, F"(-4) = هـ -4 ;
و "(خ)= هـ x, F""(-4) = هـ -4 ;
…
و (ن) (خ)= هـ x, و (ن) ( -4) = هـ -4 .
لذلك ، فإن سلسلة تايلور المرغوبة للوظيفة لها الشكل:

هذا التوسيع صالح أيضًا لـ -∞<x<+∞.

المثال رقم 3. توسيع وظيفة و (خ)= ln xفي سلسلة بالدرجات ( X- 1),
(أي في سلسلة تايلور بالقرب من النقطة X=1).
حل. نجد مشتقات هذه الدالة.
و (س) = lnx ، ، ، ،

و (1) = ln1 = 0 ، و "(1) = 1 ، و" "(1) = - 1 ، و" "(1) = 1 * 2 ، ... ، و (ن) = (- 1) ن -1 (ن -1)!
باستبدال هذه القيم في الصيغة ، نحصل على سلسلة Taylor المطلوبة:

بمساعدة اختبار دالمبرت ، يمكن للمرء التحقق من أن السلسلة تتقارب عند ½x-1½<1 . Действительно,

تتقارب السلسلة إذا X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X= 2 نحصل على سلسلة متناوبة تفي بشروط اختبار Leibniz. بالنسبة إلى x = 0 ، لم يتم تعريف الوظيفة. وبالتالي ، فإن منطقة التقاء سلسلة تايلور هي الفترة الفاصلة نصف المفتوحة (0 ؛ 2].

المثال رقم 4. قم بتوسيع الوظيفة في سلسلة الطاقة.
حل. في التحلل (1) نستبدل x بـ -x 2 ، نحصل على:
, -∞

مثال رقم 5. قم بتوسيع الوظيفة في سلسلة Maclaurin .
حل. لدينا
باستخدام الصيغة (4) ، يمكننا كتابة:

بالتعويض عن x في الصيغة -x ، نحصل على:

من هنا نجد: ln (1 + x) -ln (1-x) = -
نحصل على توسيع الأقواس ، وإعادة ترتيب شروط السلسلة وتقليل المصطلحات المماثلة
. تتقارب هذه السلسلة في الفترة (-1 ؛ 1) حيث يتم الحصول عليها من سلسلتين ، كل منهما تتقارب في هذه الفترة.

تعليق .
يمكن أيضًا استخدام الصيغ (1) - (5) لتوسيع الوظائف المقابلة في سلسلة Taylor ، أي لتوسيع الوظائف في عدد صحيح موجب ( ها). للقيام بذلك ، من الضروري إجراء مثل هذه التحويلات المتطابقة على وظيفة معينة من أجل الحصول على إحدى الوظائف (1) - (5) ، والتي بدلاً من Xتكاليف ك ( ها) م ، حيث ك عدد ثابت ، م هو عدد صحيح موجب. غالبًا ما يكون من المناسب تغيير المتغير ر=هاوتوسيع الوظيفة الناتجة بالنسبة إلى t في سلسلة Maclaurin.

تعتمد هذه الطريقة على نظرية تفرد تمدد دالة في سلسلة أس. يكمن جوهر هذه النظرية في أنه بالقرب من نفس النقطة ، لا يمكن الحصول على سلسلتين مختلفتين من القوة التي من شأنها أن تتقارب مع نفس الوظيفة ، بغض النظر عن كيفية تنفيذ تمددها.

مثال رقم 5 أ. قم بتوسيع الوظيفة في سلسلة Maclaurin ، حدد منطقة التقارب.
حل. أولًا نجد 1-x-6x 2 = (1-3x) (1 + 2x).
إلى الابتدائية:

يمكن النظر إلى الكسر 3 / (1-3x) على أنه مجموع التقدم الهندسي المتناقص بلا حدود بمقام 3x إذا | 3x |< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

مع منطقة التقارب | x |< 1/3.

رقم المثال 6. قم بتوسيع الوظيفة في سلسلة Taylor بالقرب من النقطة x = 3.
حل. يمكن حل هذه المشكلة ، كما في السابق ، باستخدام تعريف سلسلة Taylor ، والتي من الضروري إيجاد مشتقات الوظائف وقيمها في X= 3. ومع ذلك ، سيكون من الأسهل استخدام التحلل الموجود (5):
=
تتقارب السلسلة الناتجة عند أو -3

رقم المثال 7. اكتب سلسلة تايلور في القوى (x -1) للوظيفة ln (x + 2).
حل.


تتقارب السلسلة عند أو -2< x < 5.

مثال رقم 8. قم بتوسيع الدالة f (x) = sin (πx / 4) في سلسلة تايلور حول النقطة x = 2.
حل. لنجعل الاستبدال t = x-2:

باستخدام التوسيع (3) ، حيث نعوض π / 4 t عن x ، نحصل على:

تتقارب السلسلة الناتجة مع الوظيفة المحددة عند-< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞هكذا،
, (-∞

حسابات تقريبية باستخدام سلسلة الطاقة

تستخدم سلسلة الطاقة على نطاق واسع في الحسابات التقريبية. بمساعدتهم ، بدقة معينة ، يمكنك حساب قيم الجذور والوظائف المثلثية ولوغاريتمات الأرقام والتكاملات المحددة. تستخدم المتسلسلات أيضًا في تكامل المعادلات التفاضلية.
ضع في اعتبارك توسيع الوظيفة في سلسلة الطاقة:

لحساب القيمة التقريبية لدالة عند نقطة معينة X، تنتمي إلى منطقة التقاء السلسلة المشار إليها ، الأولى نأعضاء ( نهو رقم محدد) ، ويتم تجاهل الشروط المتبقية:

لتقدير خطأ القيمة التقريبية التي تم الحصول عليها ، من الضروري تقدير النفايات المتبقية r n (x). لهذا ، يتم استخدام الطرق التالية:

• إذا كانت السلسلة الناتجة هي تبديل الأحرف ، فسيتم استخدام الخاصية التالية: بالنسبة لسلسلة بديلة تفي بشروط Leibniz ، لا تتجاوز القيمة المطلقة لبقية السلسلة المصطلح الأول المهمل.
• إذا كانت السلسلة المعينة ذات علامة ثابتة ، فإن السلسلة المكونة من المصطلحات المهملة تتم مقارنتها بتقدم هندسي متناقص بشكل لا نهائي.
• في الحالة العامة ، لتقدير ما تبقى من سلسلة تايلور ، يمكنك استخدام صيغة لاغرانج: أ x ).

مثال 1. احسب ln (3) حتى 0.01.
حل. دعنا نستخدم التحليل ، حيث x = 1/2 (انظر المثال 5 في الموضوع السابق):

دعنا نتحقق مما إذا كان بإمكاننا تجاهل الباقي بعد المصطلحات الثلاثة الأولى من المفكوك ، لذلك نقوم بتقييمه باستخدام مجموع التقدم الهندسي المتناقص بلا حدود:

لذا يمكننا التخلص من الباقي والحصول عليه

المثال رقم 2. احسب لأقرب 0.0001.
حل. دعنا نستخدم المتسلسلة ذات الحدين. بما أن 5 3 هي أقرب عدد صحيح من المكعب إلى 130 ، فمن المستحسن تمثيل العدد 130 على أنه 130 = 5 3 +5.



نظرًا لأن الفصل الرابع من سلسلة تبديل الإشارة التي تم الحصول عليها والتي تفي باختبار Leibniz هو بالفعل أقل من الدقة المطلوبة:
، لذلك يمكن تجاهلها والمصطلحات التي تليها.
لا يمكن حساب العديد من التكاملات المحددة أو غير الصحيحة من الناحية العملية باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز ، لأن تطبيقها يرتبط بإيجاد المشتق العكسي ، وغالبًا ما لا يكون له تعبير في الدوال الأولية. ويحدث أيضًا أن العثور على المشتقات العكسية أمر ممكن ، ولكنه شاق بلا داعٍ. ومع ذلك ، إذا تم توسيع التكامل إلى سلسلة طاقة ، وكانت حدود التكامل تنتمي إلى فترة التقارب لهذه السلسلة ، فمن الممكن إجراء حساب تقريبي للتكامل بدقة محددة مسبقًا.

المثال رقم 3. احسب التكامل ∫ 0 1 4 sin (x) x حتى 10 -5.
حل. لا يمكن التعبير عن التكامل غير المحدد المقابل في الوظائف الأولية ، أي هو "تكامل مستحيل". لا يمكن تطبيق صيغة Newton-Leibniz هنا. دعونا نحسب التكامل تقريبا.
قسمة الحد على حد المصطلح سلسلة الخطيئة xعلى x، نحن نحصل:

دمج هذه السلسلة مصطلحًا بمصطلح (هذا ممكن ، نظرًا لأن حدود التكامل تنتمي إلى فترة تقارب هذه السلسلة) ، نحصل على:

نظرًا لأن السلسلة الناتجة تفي بشروط Leibniz ويكفي أن تأخذ مجموع المصطلحين الأولين من أجل الحصول على القيمة المطلوبة بدقة معينة.
وهكذا نجد
.

المثال رقم 4. احسب التكامل ∫ 0 1 4 e x 2 حتى 0.001.
حل.
. دعنا نتحقق مما إذا كان بإمكاننا تجاهل الباقي بعد الحد الثاني من السلسلة الناتجة.
0.0001<0.001. Следовательно, .

كيف تدخل الصيغ الرياضية في الموقع؟

إذا احتجت في أي وقت إلى إضافة صيغة رياضية واحدة أو اثنتين إلى صفحة ويب ، فإن أسهل طريقة للقيام بذلك هي كما هو موضح في المقالة: يتم إدراج الصيغ الرياضية بسهولة في الموقع في شكل صور يقوم Wolfram Alpha بإنشائها تلقائيًا. بالإضافة إلى البساطة ، ستساعد هذه الطريقة العالمية في تحسين رؤية الموقع في محركات البحث. لقد كانت تعمل لفترة طويلة (وأعتقد أنها ستعمل إلى الأبد) ، لكنها عفا عليها الزمن من الناحية الأخلاقية.

إذا كنت تستخدم المعادلات الرياضية باستمرار على موقعك ، فأوصيك باستخدام MathJax ، وهي مكتبة JavaScript خاصة تعرض تدوين الرياضيات في متصفحات الويب باستخدام ترميز MathML أو LaTeX أو ASCIIMathML.

هناك طريقتان لبدء استخدام MathJax: (1) باستخدام رمز بسيط ، يمكنك بسرعة توصيل برنامج نصي MathJax بموقعك ، والذي سيتم تحميله تلقائيًا من خادم بعيد في الوقت المناسب (قائمة الخوادم) ؛ (2) قم بتحميل البرنامج النصي MathJax من خادم بعيد إلى الخادم الخاص بك وقم بتوصيله بجميع صفحات موقعك. الطريقة الثانية أكثر تعقيدًا وتستغرق وقتًا طويلاً وستسمح لك بتسريع تحميل صفحات موقعك ، وإذا أصبح خادم MathJax الرئيسي غير متاح مؤقتًا لسبب ما ، فلن يؤثر ذلك على موقعك بأي شكل من الأشكال. بالرغم من هذه المميزات اخترت الطريقة الأولى فهي أبسط وأسرع ولا تتطلب مهارات فنية. اتبع المثال الخاص بي ، وفي غضون 5 دقائق ستتمكن من استخدام جميع ميزات MathJax على موقعك.

يمكنك توصيل البرنامج النصي لمكتبة MathJax من خادم بعيد باستخدام خياري رمز مأخوذين من موقع MathJax الرئيسي أو من صفحة التوثيق:

يجب نسخ أحد خيارات التعليمات البرمجية هذه ولصقه في رمز صفحة الويب الخاصة بك ، ويفضل أن يكون ذلك بين العلامات وأو بعد العلامة مباشرة . وفقًا للخيار الأول ، يتم تحميل MathJax بشكل أسرع ويقلل من إبطاء الصفحة. لكن الخيار الثاني يتتبع ويحمل تلقائيًا أحدث إصدارات MathJax. إذا أدخلت الرمز الأول ، فسيلزم تحديثه بشكل دوري. إذا قمت بلصق الكود الثاني ، فسيتم تحميل الصفحات بشكل أبطأ ، لكنك لن تحتاج إلى مراقبة تحديثات MathJax باستمرار.

أسهل طريقة لتوصيل MathJax هي في Blogger أو WordPress: في لوحة التحكم بالموقع ، أضف عنصر واجهة مستخدم مصمم لإدراج كود JavaScript لجهة خارجية ، وانسخ الإصدار الأول أو الثاني من كود التحميل أعلاه فيه ، ثم ضع الأداة بالقرب من بداية القالب (بالمناسبة ، هذا ليس ضروريًا على الإطلاق ، حيث يتم تحميل البرنامج النصي MathJax بشكل غير متزامن). هذا كل شئ. تعرف الآن على صيغة الترميز MathML و LaTeX و ASCIIMathML وستكون جاهزًا لتضمين الصيغ الرياضية في صفحات الويب الخاصة بك.

يتم بناء أي كسورية وفقًا لقاعدة معينة ، والتي يتم تطبيقها باستمرار لعدد غير محدود من المرات. كل وقت يسمى التكرار.

الخوارزمية التكرارية لبناء إسفنجة منجر بسيطة للغاية: يتم تقسيم المكعب الأصلي مع الجانب 1 بواسطة طائرات موازية لوجوهها إلى 27 مكعبًا متساويًا. تتم إزالة مكعب مركزي واحد و 6 مكعبات مجاورة له على طول الوجوه منه. اتضح مجموعة تتكون من 20 مكعبات أصغر متبقية. بالقيام بالشيء نفسه مع كل من هذه المكعبات ، نحصل على مجموعة تتكون من 400 مكعب أصغر. استمرارًا لهذه العملية إلى أجل غير مسمى ، نحصل على إسفنجة منجر.