ما يسمى المصفوفات مربع مستطيل. §1. المصفوفات. أنواع المصفوفات

في هذا الموضوع ، سننظر في مفهوم المصفوفة ، وكذلك أنواع المصفوفات. نظرًا لوجود الكثير من المصطلحات في هذا الموضوع ، سأضيف ملخصلتسهيل التنقل في المواد.

تعريف المصفوفة وعنصرها. الرموز.

مصفوفةهو جدول به $ m $ rows و $ n $ عمود. يمكن أن تكون عناصر المصفوفة كائنات ذات طبيعة متنوعة تمامًا: أرقام أو متغيرات أو ، على سبيل المثال ، مصفوفات أخرى. على سبيل المثال ، المصفوفة $ \ left (\ begin (array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \ end (array) \ right) $ بها 3 صفوف وعمودين ؛ عناصرها أعداد صحيحة. المصفوفة $ \ left (\ begin (array) (cccc) a & a ^ 9 + 2 & 9 & \ sin x \\ -9 & 3t ^ 2-4 & u-t & 8 \ end (array) \ right) $ يحتوي على صفين و 4 أعمدة.

طرق مختلفة لكتابة المصفوفات: إظهار \ إخفاء

يمكن كتابة المصفوفة ليس فقط بين قوسين دائريين ، ولكن أيضًا في أقواس مستقيمة مربعة أو مزدوجة. وهذا يعني أن الإدخالات أدناه تعني نفس المصفوفة:

$$ \ يسار (\ start (array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \ end (array) \ right)؛ \؛ \؛ \ يسار [\ start (array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \ end (array) \ right] ؛ \؛ \؛ \ يسار \ Vert \ start (مجموعة) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \ 8 & 0 \ end (array) \ right \ Vert $$

المنتج $ m \ مرات n $ يسمى حجم المصفوفة. على سبيل المثال ، إذا كانت المصفوفة تحتوي على 5 صفوف و 3 أعمدة ، فحينئذٍ يتحدث المرء عن مصفوفة 5 دولارات \ مرات 3 دولارات. المصفوفة $ \ left (\ begin (array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \ end (array) \ right) $ لها حجم $ 3 \ times 2 $.

عادةً ما يُرمز إلى المصفوفات بأحرف كبيرة من الأبجدية اللاتينية: $ A $ ، $ B $ ، $ C $ ، وهكذا. على سبيل المثال ، $ B = \ left (\ begin (array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \ end (array) \ right) $. ينتقل ترقيم الأسطر من أعلى إلى أسفل ؛ أعمدة - من اليسار إلى اليمين. على سبيل المثال ، يحتوي الصف الأول من المصفوفة $ B $ على العنصرين 5 و 3 ، ويحتوي العمود الثاني على العناصر 3 ، -87 ، 0.

عادة ما يتم الإشارة إلى عناصر المصفوفات بأحرف صغيرة. على سبيل المثال ، عناصر المصفوفة $ A $ يُرمز لها ب $ a_ (ij) $. يحتوي الفهرس المزدوج $ ij $ على معلومات حول موضع العنصر في المصفوفة. الرقم $ i $ هو رقم الصف ، والرقم $ j $ هو رقم العمود الذي يوجد عند تقاطع العنصر $ a_ (ij) $. على سبيل المثال ، عند تقاطع الصف الثاني والعمود الخامس من المصفوفة $ A = \ left (\ begin (array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \ end (array) \ right) $ element $ أ_ (25) = 59 دولارًا:

وبالمثل ، عند تقاطع الصف الأول والعمود الأول ، لدينا العنصر $ a_ (11) = 51 $ ؛ عند تقاطع الصف الثالث والعمود الثاني - العنصر $ a_ (32) = - 15 $ وهكذا. لاحظ أن $ a_ (32) $ يُقرأ على أنه "a three two" لكن ليس "a two و 30".

للتسمية المختصرة للمصفوفة $ A $ ، حجمها يساوي $ m \ مرات n $ ، يتم استخدام الترميز $ A_ (m \ times n) $. يمكنك كتابة المزيد من التفاصيل:

$$ A_ (م \ مرات ن) = (أ_ (ij)) $$

حيث يشير الرمز $ (a_ (ij)) $ إلى عناصر المصفوفة $ A $. في شكل موسع بالكامل ، يمكن كتابة المصفوفة $ A_ (m \ times n) = (a_ (ij)) $ على النحو التالي:

$$ A_ (m \ times n) = \ left (\ start (array) (cccc) a_ (11) & a_ (12) & \ ldots & a_ (1n) \\ a_ (21) & a_ (22) & \ ldots & a_ (2n) \\ \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots \\ a_ (m1) & a_ (m2) & \ ldots & a_ (mn) \ end (array) \ right) $$

لنقدم مصطلحًا آخر - مصفوفات متساوية.

يتم استدعاء مصفوفتين من نفس الحجم $ A_ (m \ times n) = (a_ (ij)) $ و $ B_ (m \ times n) = (b_ (ij)) $ متساويإذا كانت العناصر المقابلة لها متساوية ، أي $ a_ (ij) = b_ (ij) $ للجميع $ i = \ overline (1، m) $ و $ j = \ overline (1، n) $.

شرح الإدخال $ i = \ overline (1، m) $: إظهار \ إخفاء

الإدخال "$ i = \ overline (1، m) $" يعني أن المعامل $ i $ يتغير من 1 إلى m. على سبيل المثال ، يشير الإدخال $ i = \ overline (1،5) $ إلى أن المعلمة $ i $ تأخذ القيم 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5.

لذلك ، من أجل مساواة المصفوفات ، يلزم شرطين: تطابق الأحجام وتساوي العناصر المقابلة. على سبيل المثال ، المصفوفة $ A = \ left (\ begin (array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \ end (array) \ right) $ لا تساوي المصفوفة $ B = \ left (\ begin (array) (cc) 8 & -9 \\ 0 & -87 \ end (array) \ right) $ لأن المصفوفة $ A $ هي $ 3 \ times 2 $ والمصفوفة $ B $ هي 2 دولار \ مرة 2 دولار. أيضًا المصفوفة $ A $ لا تساوي المصفوفة $ C = \ left (\ begin (array) (cc) 5 & 3 \\ 98 & -87 \\ 8 & 0 \ end (array) \ right) $ لأن $ a_ (21) \ neq c_ (21) $ (أي $ 0 \ neq 98 $). ولكن بالنسبة للمصفوفة $ F = \ left (\ begin (array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \ end (array) \ right) $ ، يمكننا كتابة $ A بأمان = F $ لأن كلا من الحجم والعناصر المقابلة للمصفوفتين $ A $ و $ F $ يتطابقان.

مثال 1

حدد حجم المصفوفة $ A = \ left (\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \ 4 & 0 & -10 \ \ نهاية (مصفوفة) \ يمين) $. حدد العناصر $ a_ (12) $، $ a_ (33) $، $ a_ (43) $ التي تساويها.

تحتوي هذه المصفوفة على 5 صفوف و 3 أعمدة ، لذا فإن حجمها 5 دولارات \ مرة 3 دولارات. يمكن أيضًا استخدام الترميز $ A_ (5 \ times 3) $ لهذه المصفوفة.

يقع العنصر $ a_ (12) $ عند تقاطع الصف الأول والعمود الثاني ، لذا $ a_ (12) = - 2 $. يقع العنصر $ a_ (33) $ عند تقاطع الصف الثالث والعمود الثالث ، لذا $ a_ (33) = 23 $. يقع العنصر $ a_ (43) $ عند تقاطع الصف الرابع والعمود الثالث ، لذا فإن $ a_ (43) = - 5 $.

إجابة: $ a_ (12) = - 2 $، $ a_ (33) = 23 $، $ a_ (43) = - 5 $.

أنواع المصفوفات حسب حجمها. الأقطار الرئيسية والجانبية. تتبع المصفوفة.

دعنا نعطي مصفوفة $ A_ (m \ times n) $. إذا كان $ m = 1 $ (المصفوفة تتكون من صف واحد) ، إذن لـ مصفوفة معينةمُسَمًّى صف المصفوفة. إذا كان $ n = 1 $ (تتكون المصفوفة من عمود واحد) ، فسيتم استدعاء هذه المصفوفة مصفوفة العمود. على سبيل المثال ، $ \ left (\ begin (array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \ end (array) \ right) $ مصفوفة صف ، و $ \ left (\ begin (array) ) (ج) -1 \\ 5 \\ 6 \ end (مجموعة) \ يمين) $ - مصفوفة العمود.

إذا كان الشرط $ m \ neq n $ صحيحًا للمصفوفة $ A_ (m \ times n) $ (أي أن عدد الصفوف لا يساوي عدد الأعمدة) ، فيقال غالبًا أن $ A $ هي مصفوفة مستطيلة. على سبيل المثال ، المصفوفة $ \ left (\ begin (array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \ end (array) \ right) $ لها حجم $ 2 \ times 4 $ ، هؤلاء. يحتوي على صفين و 4 أعمدة. نظرًا لأن عدد الصفوف لا يساوي عدد الأعمدة ، فإن هذه المصفوفة مستطيلة.

إذا كان الشرط $ m = n $ صحيحًا للمصفوفة $ A_ (m \ times n) $ (على سبيل المثال ، عدد الصفوف يساوي عدد الأعمدة) ، عندئذٍ يُقال إن $ A $ مصفوفة مربعة من طلب $ n $. على سبيل المثال ، $ \ left (\ begin (array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \ end (array) \ right) $ هي مصفوفة مربعة من الدرجة الثانية ؛ $ \ left (\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \ end (array) \ right) $ هي مصفوفة مربعة من الدرجة الثالثة. في نظرة عامةالمصفوفة المربعة $ A_ (n \ times n) $ يمكن كتابتها على النحو التالي:

$$ A_ (n \ times n) = \ left (\ start (array) (cccc) a_ (11) & a_ (12) & \ ldots & a_ (1n) \\ a_ (21) & a_ (22) & \ ldots & a_ (2n) \\ \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots \\ a_ (n1) & a_ (n2) & \ ldots & a_ (nn) \ end (array) \ right) $$

العناصر $ a_ (11) $، $ a_ (22) $، $ \ ldots $، $ a_ (nn) $ يقال إنها في قطري رئيسيالمصفوفات $ A_ (n \ times n) $. تسمى هذه العناصر العناصر القطرية الرئيسية(أو مجرد عناصر قطرية). العناصر $ a_ (1n) $، $ a_ (2 \؛ n-1) $، $ \ ldots $، $ a_ (n1) $ تعمل الجانب (الثانوي) قطري؛ يطلق عليهم عناصر قطرية ثانوية. على سبيل المثال ، بالنسبة للمصفوفة $ C = \ left (\ begin (array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 5 & 9 & 8 & 0 \\ 1 & 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6 \ end ( صفيف) حق) $ لدينا:

العناصر $ c_ (11) = 2 $ ، $ c_ (22) = 9 $ ، $ c_ (33) = 4 $ ، $ c_ (44) = 6 $ هي العناصر القطرية الرئيسية ؛ العناصر $ c_ (14) = 1 $ ، $ c_ (23) = 8 $ ، $ c_ (32) = 0 $ ، $ c_ (41) = - 4 $ عناصر قطرية ثانوية.

يتم استدعاء مجموع العناصر القطرية الرئيسية متبوعة بمصفوفةويشار إليها بـ $ \ Tr A $ (أو $ \ Sp A $):

$$ \ Tr A = a_ (11) + a_ (22) + \ ldots + a_ (nn) $$

على سبيل المثال ، بالنسبة للمصفوفة $ C = \ left (\ begin (array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 5 & 9 & 8 & 0 \\ 1 & 0 & 4 & -7 \\ - 4 & -9 & 5 & 6 \ end (array) \ right) $ لدينا:

$$ \ Tr C = 2 + 9 + 4 + 6 = 21. $$

يستخدم مفهوم العناصر القطرية أيضًا في المصفوفات غير المربعة. على سبيل المثال ، للمصفوفة $ B = \ left (\ begin (array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \ end (array) \ right) $ ستكون العناصر القطرية الرئيسية $ b_ (11) = 2 $ ، $ b_ (22) = - 9 $ ، $ b_ (33) = 4 $.

أنواع المصفوفات حسب قيم عناصرها.

إذا كانت جميع عناصر المصفوفة $ A_ (m \ times n) $ تساوي الصفر ، فإن هذه المصفوفة تسمى باطلوعادة ما يشار إليه بالحرف $ O $. على سبيل المثال ، $ \ left (\ begin (array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \ end (array) \ right) $ ، $ \ left (\ begin (array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end (مجموعة) \ يمين) $ هي مصفوفات صفرية.

دع المصفوفة $ A_ (m \ times n) $ تبدو هكذا:

ثم تسمى هذه المصفوفة شبه منحرف. قد لا تحتوي على صفوف صفرية ، ولكن إذا كانت موجودة ، فهي موجودة في أسفل المصفوفة. في شكل أكثر عمومية ، يمكن كتابة المصفوفة شبه المنحرفة على النحو التالي:

مرة أخرى ، السلاسل الفارغة الزائدة اختيارية. أولئك. رسميًا ، يمكننا تحديد الشروط التالية لمصفوفة شبه منحرف:

1. جميع العناصر الموجودة أسفل القطر الرئيسي تساوي صفرًا.
2. كل العناصر من $ a_ (11) $ إلى $ a_ (rr) $ الكذب على القطر الرئيسي لا تساوي الصفر: $ a_ (11) \ neq 0، \؛ a_ (22) \ neq 0، \ ldots، a_ (rr) \ neq 0 $.
3. إما أن تكون جميع عناصر الصفوف $ m-r $ الأخيرة مساوية للصفر ، أو $ m = r $ (أي لا توجد صفوف صفرية على الإطلاق).

أمثلة على المصفوفات شبه المنحرفة:

دعنا ننتقل إلى التعريف التالي. المصفوفة $ A_ (م \ مرات n) $ تسمى صعدتإذا استوفت الشروط التالية:

على سبيل المثال ، ستكون مصفوفات الخطوة:

للمقارنة ، المصفوفة $ \ left (\ start (array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 8 & 7 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end (array) \ right) $ غير متدرج لأن الصف الثالث له نفس الجزء الصفري مثل الصف الثاني. وهذا يعني أن مبدأ "الخط الأدنى - الجزء الصفري أكبر" يتم انتهاكه. سأضيف أن المصفوفة شبه المنحرفة هي حالة خاصة من المصفوفة المتدرجة.

دعنا ننتقل إلى التعريف التالي. إذا كانت جميع عناصر المصفوفة المربعة الموجودة أسفل القطر الرئيسي تساوي صفرًا ، فسيتم استدعاء هذه المصفوفة مصفوفة مثلثة عليا. على سبيل المثال ، $ \ left (\ begin (array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ end (array) \ right) $ - مصفوفة مثلثة عليا. لاحظ أن تعريف المصفوفة المثلثية العليا لا يقول أي شيء عن قيم العناصر الموجودة فوق القطر الرئيسي أو على القطر الرئيسي. قد تكون أو لا تكون صفراً ، لا يهم. على سبيل المثال ، $ \ left (\ begin (array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end (array) \ right) $ هي أيضاً مصفوفة مثلثة عليا.

إذا كانت جميع عناصر المصفوفة المربعة الموجودة فوق القطر الرئيسي تساوي صفرًا ، فسيتم استدعاء هذه المصفوفة مصفوفة مثلثة سفلية. على سبيل المثال ، $ \ left (\ begin (array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 & 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end (array) \ right) $ - مصفوفة مثلثة سفلية. لاحظ أن تعريف المصفوفة المثلثية السفلية لا يقول أي شيء عن قيم العناصر الموجودة أدناه أو على القطر الرئيسي. قد تكون أو لا تكون فارغة ، لا يهم. على سبيل المثال ، $ \ left (\ begin (array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \ end (array) \ right) $ و $ \ left (\ start (array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end (array) \ right) $ هي أيضًا مصفوفات مثلثة أقل.

تسمى المصفوفة المربعة قطريإذا كانت جميع عناصر هذه المصفوفة غير الموجودة على القطر الرئيسي تساوي صفرًا. مثال: $ \ left (\ begin (array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ نهاية (صفيف) \ يمين) $. يمكن أن تكون العناصر الموجودة على القطر الرئيسي أي شيء (تساوي صفرًا أو لا) - وهذا ليس ضروريًا.

تسمى المصفوفة القطرية أعزبإذا كانت جميع عناصر هذه المصفوفة الموجودة على القطر الرئيسي تساوي 1. على سبيل المثال ، $ \ left (\ begin (array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end (مجموعة) \ يمين) $ - مصفوفة هوية الرتبة الرابعة ؛ $ \ left (\ begin (array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end (array) \ right) $ هي مصفوفة هوية الرتبة الثانية.

المصفوفة هي جدول أرقام مستطيل يتكون من م سلاسل من نفس الطول أو ن أعمدة من نفس الطول.

aij- عنصر المصفوفة الموجود في أنا -الخط و ي العمود.

للإيجاز ، يمكن الإشارة إلى المصفوفة بحرف كبير واحد ، على سبيل المثال ، أأو في.

بشكل عام ، مصفوفة الحجم م× ناكتب مثل هذا

أمثلة:

إذا كان عدد الصفوف في المصفوفة يساوي عدد الأعمدة ، فسيتم استدعاء المصفوفة مربع، ويتم استدعاء عدد صفوفه أو أعمدته مرتبالمصفوفات. في الأمثلة أعلاه ، المصفوفة الثانية مربعة - ترتيبها 3 ، والمصفوفة الرابعة - ترتيبها هو 1.

يتم استدعاء المصفوفة التي لا يساوي عدد الصفوف فيها عدد الأعمدة مستطيلي. في الأمثلة ، هذه هي المصفوفة الأولى والثالثة.

قطري رئيسيالمصفوفة المربعة هي القطر الذي ينتقل من الركن الأيسر العلوي إلى الركن الأيمن السفلي.

تسمى مصفوفة مربعة تكون فيها جميع العناصر الموجودة أسفل القطر الرئيسي مساوية للصفر الثلاثيمصفوفة.

.

تسمى مصفوفة مربعة تساوي فيها جميع العناصر ، باستثناء تلك الموجودة على القطر الرئيسي ، الصفر قطريمصفوفة. على سبيل المثال ، أو.

تسمى المصفوفة القطرية التي فيها جميع المدخلات القطرية تساوي واحدًا أعزبالمصفوفة ويشار إليها بالحرف E. على سبيل المثال ، مصفوفة هوية الرتبة الثالثة لها الشكل.

العودة إلى المحتوى

(36) 85 ما هي العمليات الخطية على المصفوفات؟ أمثلة.

في جميع الحالات عند إدخال كائنات رياضية جديدة ، من الضروري الاتفاق على قواعد العمل عليها ، وكذلك تحديد الأشياء التي تعتبر متساوية مع بعضها البعض.

طبيعة الأشياء ليست ذات صلة. يمكن أن تكون أرقامًا حقيقية أو معقدة ، أو ناقلات ، أو مصفوفات ، أو سلاسل ، أو أي شيء آخر.

تشمل العمليات القياسية العمليات الخطية ، وهي: الضرب برقم والجمع ؛ في هذه الحالة بالذات - ضرب المصفوفات بعدد وإضافة المصفوفات.

عند ضرب مصفوفة برقم ، يتم ضرب كل عنصر مصفوفة بهذا الرقم ، وإضافة المصفوفة تعني إضافة زوجية للعناصر الموجودة في مواضع مكافئة.

تعبير اصطلاحي "تركيبة خطية<" (векторов, матриц, строк, столбцов и так далее) всегда означает одно и тоже: алгебраическая сумма этих векторов (или матриц, строк, столбцов и так далее), предварительно умноженных на числовые коэффициенты.

المصفوفات أ = || أ اي جاي|| و ب = || أ اي جاي|| تعتبر متساوية إذا كانت لها نفس الأبعاد وكانت عناصر المصفوفة المقابلة لها متساوية زوجيًا:

إضافة مصفوفةيتم تعريف عملية الإضافة فقط للمصفوفات من نفس الحجم. نتيجة إضافة المصفوفة أ = || أ اي جاي|| و ب = || ب اي جاي|| هي المصفوفة ج = || ج اي جاي|| ، التي تساوي عناصرها مجموع عناصر المصفوفة المقابلة.

مهمة الخدمة. حاسبة المصفوفةمصمم لحل تعبيرات المصفوفة مثل 3A-CB 2 أو A -1 + B T.

تعليمات. للحصول على حل عبر الإنترنت ، يجب تحديد تعبير مصفوفة. في المرحلة الثانية ، سيكون من الضروري توضيح أبعاد المصفوفات.

إجراءات المصفوفة

العمليات الصالحة: الضرب (*) ، الجمع (+) ، الطرح (-) ، معكوس المصفوفة A ^ (- 1) ، الأس (A ^ 2 ، B ^ 3) ، تبديل المصفوفة (A ^ T).

العمليات الصالحة: الضرب (*) ، الجمع (+) ، الطرح (-) ، معكوس المصفوفة A ^ (- 1) ، الأس (A ^ 2 ، B ^ 3) ، تبديل المصفوفة (A ^ T).
لإجراء قائمة بالعمليات ، استخدم الفاصلة المنقوطة (؛). على سبيل المثال ، لإجراء ثلاث عمليات:
أ) 3 أ + 4 ب
ب) AB-BA
ج) (أ-ب] -1
يجب أن تكتب على النحو التالي: 3 * A + 4 * B ؛ A * B-B * A ؛ (A-B) ^ (- 1)

المصفوفة عبارة عن جدول رقمي مستطيل يحتوي على صفوف m و n من الأعمدة ، لذلك يمكن تمثيل المصفوفة بشكل تخطيطي كمستطيل.
مصفوفة صفرية (مصفوفة فارغة)تسمى مصفوفة ، جميع عناصرها تساوي الصفر وتدل على 0.
مصفوفة الهويةيسمى مصفوفة مربعة من النموذج

مصفوفتان A و B متساويتانإذا كانت من نفس الحجم والعناصر المقابلة لها متساوية.
مصفوفة فريدةتسمى المصفوفة التي محددها يساوي الصفر (Δ = 0).

دعنا نحدد العمليات الأساسية على المصفوفات.

إضافة مصفوفة

تعريف . مجموع مصفوفتين من نفس الحجم عبارة عن مصفوفة من نفس الأبعاد ، يتم العثور على عناصرها بواسطة الصيغة . يشار إليها C = A + B.

مثال 6. .
يمتد تشغيل إضافة المصفوفة إلى حالة أي عدد من المصطلحات. من الواضح أن أ + 0 = أ.
نؤكد مرة أخرى أنه لا يمكن إضافة سوى مصفوفات من نفس الحجم ؛ بالنسبة للمصفوفات ذات الأحجام المختلفة ، لم يتم تعريف عملية الإضافة.

طرح المصفوفة

تعريف . الفرق B-A في المصفوفتين B و A من نفس الحجم هو مصفوفة C بحيث يكون A + C = B.

ضرب المصفوفة

تعريف . ناتج مصفوفة برقم α هو المصفوفة التي تم الحصول عليها من A بضرب جميع عناصرها في α ،.
تعريف . دعنا نعطي مصفوفتين و ، وعدد الأعمدة A يساوي عدد الصفوف B. منتج A على B هو مصفوفة توجد عناصرها بواسطة الصيغة .
يشار إليها C = A B.
من الناحية التخطيطية ، يمكن وصف عملية ضرب المصفوفة على النحو التالي:

وقاعدة حساب عنصر في المنتج:

نؤكد مرة أخرى أن المنتج أ ب يكون منطقيًا إذا وفقط إذا كان عدد أعمدة العامل الأول مساويًا لعدد صفوف العامل الثاني ، وفي هذه الحالة ينتج المنتج مصفوفة عدد صفوفها يساوي عدد صفوف العامل الأول ، وعدد الأعمدة يساوي عدد أعمدة الثاني. يمكنك التحقق من نتيجة الضرب من خلال آلة حاسبة خاصة عبر الإنترنت.

مثال 7. بيانات المصفوفة و . أوجد المصفوفات C = A · B و D = B · A.
حل. بادئ ذي بدء ، لاحظ أن المنتج A B موجود لأن عدد الأعمدة في A يساوي عدد الصفوف في B.

لاحظ أنه في الحالة العامة A · B · B · A ، أي منتج المصفوفات مضاد للتبديل.
لنجد B · A (الضرب ممكن).

المثال 8. معطى مصفوفة . أوجد 3A 2 - 2A.
حل.

.
; .
.
نلاحظ الحقيقة الغريبة التالية.
كما تعلم ، حاصل ضرب عددين غير صفريين لا يساوي صفرًا. بالنسبة للمصفوفات ، قد لا يحدث مثل هذا الظرف ، أي أن ناتج المصفوفات غير الصفرية قد يتحول إلى مصفوفة صفرية.

يجب أن يكون هناك مصفوفة مربعة بالترتيب التاسع

يسمى المصفوفة A -1 مصفوفة معكوسةفيما يتعلق بالمصفوفة A ، إذا كانت A * A -1 = E ، حيث E هي مصفوفة الوحدة من الترتيب n.

مصفوفة الهوية- مثل هذه المصفوفة المربعة ، حيث تكون جميع العناصر الموجودة على طول القطر الرئيسي ، والتي تمر من الزاوية اليسرى العليا إلى الزاوية اليمنى السفلية ، واحدة ، والباقي عبارة عن أصفار ، على سبيل المثال:

مصفوفة معكوسةقد تكون موجودة فقط للمصفوفات المربعةأولئك. لتلك المصفوفات التي لها نفس عدد الصفوف والأعمدة.

نظرية حالة وجود المصفوفة المعكوسة

لكي تحتوي المصفوفة على مصفوفة معكوسة ، من الضروري والكافي أن تكون غير متولدة.

المصفوفة A = (A1، A2، ... A n) تسمى غير منحطإذا كانت نواقل العمود مستقلة خطيًا. يُطلق على عدد متجهات العمود المستقلة خطيًا لمصفوفة رتبة المصفوفة. لذلك ، يمكننا القول أنه من أجل وجود مصفوفة معكوسة ، من الضروري والكافي أن تكون مرتبة المصفوفة مساوية لأبعادها ، أي ص = ن.

خوارزمية لإيجاد معكوس المصفوفة

1. اكتب المصفوفة A في الجدول لحل أنظمة المعادلات بطريقة Gauss وعلى اليمين (بدلاً من الأجزاء اليمنى من المعادلات) عيّن المصفوفة E لها.
2. باستخدام تحويلات الأردن ، أحضر المصفوفة A إلى مصفوفة تتكون من أعمدة مفردة ؛ في هذه الحالة ، من الضروري تحويل المصفوفة E.
3. إذا لزم الأمر ، أعد ترتيب الصفوف (المعادلات) في الجدول الأخير بحيث يتم الحصول على مصفوفة الوحدة E تحت المصفوفة A في الجدول الأصلي.
4. اكتب معكوس المصفوفة A -1 ، الموجودة في الجدول الأخير أسفل المصفوفة E في الجدول الأصلي.

مثال 1

بالنسبة للمصفوفة A ، أوجد معكوس المصفوفة A -1

الحل: نكتب المصفوفة A وعلى اليمين نقوم بتعيين مصفوفة الهوية E. باستخدام تحويلات الأردن ، نقوم بتصغير المصفوفة A إلى مصفوفة الوحدة E. وتظهر الحسابات في الجدول 31.1.

دعنا نتحقق من صحة العمليات الحسابية بضرب المصفوفة الأصلية A والمصفوفة المعكوسة A -1.

نتيجة لضرب المصفوفة ، يتم الحصول على مصفوفة الوحدة. لذلك ، الحسابات صحيحة.

إجابة:

حل معادلات المصفوفة

يمكن أن تبدو معادلات المصفوفة كما يلي:

AX = ب ، XA = ب ، AXB = ج ،

حيث يتم إعطاء مصفوفات A ، B ، C ، X هي المصفوفة المرغوبة.

تحل معادلات المصفوفة بضرب المعادلة بمصفوفات معكوسة.

على سبيل المثال ، لإيجاد مصفوفة من معادلة ، عليك ضرب هذه المعادلة في اليسار.

لذلك ، لإيجاد حل للمعادلة ، عليك إيجاد معكوس المصفوفة وضربها في المصفوفة الموجودة في الجانب الأيمن من المعادلة.

يتم حل المعادلات الأخرى بالمثل.

مثال 2

حل المعادلة AX = B إذا

حل: بما أن معكوس المصفوفة يساوي (انظر المثال 1)

طريقة المصفوفة في التحليل الاقتصادي

جنبا إلى جنب مع الآخرين ، يجدون التطبيق أيضًا طرق المصفوفة. تعتمد هذه الطرق على الجبر الخطي وجبر المصفوفة المتجهات. تستخدم هذه الأساليب لأغراض تحليل الظواهر الاقتصادية المعقدة والمتعددة الأبعاد. في أغلب الأحيان ، يتم استخدام هذه الأساليب عندما يكون من الضروري مقارنة أداء المنظمات وأقسامها الهيكلية.

في عملية تطبيق طرق تحليل المصفوفة ، يمكن تمييز عدة مراحل.

في المرحلة الأولىيتم تنفيذ تشكيل نظام المؤشرات الاقتصادية وعلى أساسه يتم تجميع مصفوفة من البيانات الأولية ، وهي عبارة عن جدول تظهر فيه أرقام النظام في خطوطها الفردية (أنا = 1،2 ، .... ، ن)، وعلى طول الرسوم البيانية العمودية - أرقام المؤشرات (ي = 1،2 ، .... ، م).

في المرحلة الثانيةلكل عمود رأسي ، يتم الكشف عن أكبر القيم المتاحة للمؤشرات ، والتي يتم أخذها كوحدة.

بعد ذلك ، يتم تقسيم جميع المبالغ الواردة في هذا العمود على أكبر قيمة ويتم تكوين مصفوفة من المعاملات الموحدة.

في المرحلة الثالثةيتم تربيع جميع مكونات المصفوفة. إذا كانت لها أهمية مختلفة ، فسيتم تعيين معامل ترجيح معين لكل مؤشر من مؤشرات المصفوفة ك. يتم تحديد قيمة هذا الأخير من قبل خبير.

في النهاية المرحلة الرابعةوجدت قيم التصنيفات Rjمجمعة بالترتيب للزيادة أو النقصان.

يجب استخدام أساليب المصفوفة أعلاه ، على سبيل المثال ، في تحليل مقارن لمختلف المشاريع الاستثمارية ، وكذلك في تقييم مؤشرات الأداء الاقتصادي الأخرى للمنظمات.

مصفوفة البعد يسمى جدول أرقام يحتوي على صفوف وأعمدة. تسمى الأرقام عناصر هذه المصفوفة ، حيث يكون رقم الصف ، هو رقم العمود عند تقاطع هذا العنصر. تبدو المصفوفة التي تحتوي على صفوف وأعمدة بالشكل التالي: .

أنواع المصفوفات:

1) في - مربع ، ويتصلون ترتيب المصفوفة ;

2) مصفوفة مربعة تكون فيها جميع العناصر خارج القطر مساوية للصفر

– قطري ;

3) مصفوفة قطرية تتساوى فيها جميع العناصر القطرية

وحدة - أعزب ويشار إليه ب ؛

4) في - مستطيلي ;

5) في - صف المصفوفة (صف متجه) ؛

6) في - عمود مصفوفة (عمود متجه) ؛

7) للجميع مصفوفة صفرية.

لاحظ أن الخاصية الرقمية الرئيسية للمصفوفة المربعة هي المحدد لها. المحدد المقابل لمصفوفة الرتبة رقم له أيضًا الترتيب رقم.

محدد مصفوفة من الدرجة الأولى يسمى رقم.

محدد مصفوفة من الدرجة الثانية يسمى رقم . (1.1)

محدد مصفوفة من الدرجة الثالثة يسمى رقم . (1.2)

دعونا نعطي التعاريف اللازمة لمزيد من العرض.

الصغرى م اي جاي عنصر أ اي جاي المصفوفات ن-الترتيب أ يسمى محدد المصفوفة ( ن -1) -أمر تم الحصول عليه من المصفوفة أ بالحذف أنا-الخط و يالعمود.

المكمل الجبري أ اي جاي عنصر أ اي جاي المصفوفات ن- من الرتبة A يسمى الصغرى لهذا العنصر ، مأخوذ بالعلامة.

دعونا نصوغ الخصائص الرئيسية للمحددات المتأصلة في محددات جميع الطلبات ونبسط حسابها.

1. عند نقل مصفوفة ، لا يتغير محددها.

2. عندما يتم تبادل صفين (عمودين) من المصفوفة ، يتم تسجيل التغييرات المحددة لها.

3. المحدد الذي يحتوي على صفين متناسبين (متساويين) (عمودين) يساوي صفرًا.

4. يمكن إخراج العامل المشترك لعناصر أي صف (عمود) من المحدد من علامة المحدد.

5. إذا كانت عناصر أي صف (عمود) للمحدد هي مجموع فترتين ، فيمكن تحليل المحدد إلى مجموع محددين متطابقين.

6. لن يتغير المحدد إذا تمت إضافة عناصر أي من صفه (عمود) إلى العناصر المقابلة للصف الآخر (العمود) ، مضروبًا مسبقًا بأي رقم.

7. محدد المصفوفة يساوي مجموع حاصل ضرب عناصر أي من صفوفها (أعمدتها) والمكملات الجبرية لهذه العناصر.

دعونا نشرح هذه الخاصية باستخدام مثال محدد الترتيب الثالث. في هذه الحالة الخاصية 7 تعني ذلك - توسيع المحدد بواسطة عناصر الصف الأول. لاحظ أنه يتم اختيار الصف (العمود) حيث لا توجد عناصر صفرية للتوسيع ، حيث تختفي المصطلحات المقابلة لها في التوسع.

الخاصية 7 هي نظرية لابلاس حول تحلل المحدد.

8. مجموع حاصل ضرب عناصر أي صف (عمود) للمحدد والمكملات الجبرية للعناصر المقابلة للصف الآخر (العمود) يساوي صفرًا.

غالبًا ما يشار إلى الخاصية الأخيرة باسم التحلل الزائف للمُحدد.

أسئلة للفحص الذاتي.

1. ما يسمى بالمصفوفة؟

2. ما يسمى مصفوفة المربع؟ ما هو المقصود بأمرها؟

3. أي مصفوفة تسمى قطري ، متطابقة؟

4. ما هي مصفوفة تسمى مصفوفة الصف ومصفوفة العمود؟

5. ما هي الخاصية العددية الرئيسية لمصفوفة مربعة؟

6. ما هو الرقم الذي يسمى محدد من الرتبة الأولى والثانية والثالثة؟

7. ما يسمى المكمل الصغرى والجبر لعنصر المصفوفة؟

8. ما هي الخصائص الرئيسية للمحددات؟

9. ما الخاصية التي يمكن استخدامها لحساب محدد أي أمر؟

إجراءات المصفوفة(مخطط 2)

يتم تحديد عدد من العمليات على مجموعة المصفوفات ، وأهمها ما يلي:

1) التحويل - استبدال صفوف المصفوفة بالأعمدة ، والأعمدة بالصفوف ؛

2) يتم تنفيذ ضرب المصفوفة برقم عنصرًا عنصرًا ، أي ، أين , ;

3) إضافة مصفوفة ، معرّفة فقط لمصفوفات من نفس البعد ؛

4) ضرب مصفوفتين ، معرف فقط لمصفوفات متسقة.

مجموع (فرق) مصفوفتين تسمى هذه المصفوفة الناتجة ، كل عنصر منها يساوي مجموع (فرق) العناصر المقابلة لشروط المصفوفة.

يتم استدعاء المصفوفتين متفق إذا كان عدد أعمدة العمود الأول يساوي عدد صفوف الآخر. حاصل ضرب مصفوفتين متسقتين وتسمى هذه المصفوفة الناتجة ، ماذا ، (1.4)

أين ، . ويترتب على ذلك أن عنصر الصف -th والعمود -th من المصفوفة يساوي مجموع حاصل الضرب الزوجي لعناصر الصف -th من المصفوفة وعناصر العمود -th من المصفوفة مصفوفة .

منتج المصفوفات ليس تبادليًا ، أي أ . ب . أ. استثناء هو ، على سبيل المثال ، حاصل ضرب المصفوفات المربعة بواسطة الهوية أ . ه = ه . أ.

المثال 1.1.اضرب المصفوفتين A و B إذا:

.

حل.نظرًا لأن المصفوفات متسقة (عدد أعمدة المصفوفة يساوي عدد صفوف المصفوفة) ، فإننا نستخدم الصيغة (1.4):

أسئلة للفحص الذاتي.

1. ما هي الإجراءات التي يتم تنفيذها على المصفوفات؟

2. ما يسمى مجموع (فرق) اثنين من المصفوفات؟

3. ما يسمى حاصل ضرب مصفوفتين؟

طريقة كرامر لحل النظم التربيعية للمعادلات الجبرية الخطية(المخطط 3)

دعونا نعطي عددا من التعريفات الضرورية.

نظام المعادلات الخطية يسمى غير متجانسة ، إذا كان أحد الشروط المجانية على الأقل غير صفري ، و متجانس إذا كانت جميع شروطه المجانية تساوي صفرًا.

حل جملة المعادلات تسمى مجموعة مرتبة من الأرقام ، والتي ، عند استبدالها بالمتغيرات في نظام ما ، تحول كل معادلة من معادلاتها إلى متطابقة.

نظام المعادلات يسمى مشترك إذا كان يحتوي على حل واحد على الأقل ، و غير متوافق إذا لم يكن لديها حلول.

يسمى نظام المعادلات المشترك تأكيد إذا كان لديه حل فريد ، و غير مؤكد إذا كان لديه أكثر من حل.

ضع في اعتبارك نظامًا تربيعيًا غير متجانس للمعادلات الجبرية الخطية ، والذي له الشكل العام التالي:

. (1.5) المصفوفة الرئيسية للنظام تسمى المعادلات الجبرية الخطية مصفوفة تتكون من معاملات في المجهول: .

يسمى محدد المصفوفة الرئيسية للنظام المحدد الرئيسي ويشار إليه.

يتم الحصول على المحدد الإضافي من المحدد الرئيسي عن طريق استبدال العمود i بعمود المصطلحات المجانية.

نظرية 1.1 (نظرية كرامر).إذا كان المحدد الرئيسي للنظام التربيعي للمعادلات الجبرية الخطية غير صفري ، فإن النظام لديه حل فريد محسوب بالصيغ:

إذا كان المحدد الرئيسي ، فإن النظام إما لديه مجموعة لا نهائية من الحلول (لجميع المحددات المساعدة الصفرية) ، أو ليس له حل على الإطلاق (إذا كان أحد المحددات المساعدة على الأقل يختلف عن الصفر)

في ضوء التعريفات المذكورة أعلاه ، يمكن صياغة نظرية كرامر بشكل مختلف: إذا كان المحدد الرئيسي لنظام المعادلات الجبرية الخطية غير صفري ، فسيتم تعريف النظام بشكل مشترك ، علاوة على ذلك ، ; إذا كان المحدد الرئيسي هو صفر ، فإن النظام إما أن يكون ثابتًا إلى أجل غير مسمى (للجميع) أو غير متسق (إذا كان أحدهما على الأقل مختلفًا عن الصفر).

بعد ذلك ، يجب فحص الحل الناتج.

مثال 1.2.حل النظام بطريقة كرامر

حل.منذ المحدد الرئيسي للنظام

يختلف عن الصفر ، فإن النظام لديه حل فريد. احسب المحددات المساعدة

نستخدم صيغ كرامر (1.6): , ,

أسئلة للفحص الذاتي.

1. ما يسمى حل نظام المعادلات؟

2. ما يسمى نظام المعادلات المتوافق ، غير المتوافق؟

3. أي نظام من المعادلات يسمى محدد وغير محدد؟

4. ما هي مصفوفة نظام المعادلات تسمى المصفوفة الرئيسية؟

5. كيف تحسب المحددات المساعدة لنظام المعادلات الجبرية الخطية؟

6. ما هو جوهر طريقة كرامر لحل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية؟

7. ما الذي يمكن أن يكون نظامًا من المعادلات الجبرية الخطية إذا كان المحدد الرئيسي له يساوي صفرًا؟

حل الأنظمة التربيعية للمعادلات الجبرية الخطية بطريقة المصفوفة العكسية(مخطط 4)

تسمى المصفوفة التي تحتوي على محدد غير صفري غير منحط ؛ وجود محدد يساوي صفر - تتدهور .

تسمى المصفوفة معكوس بالنسبة لمصفوفة مربعة معينة ، إذا تم ضرب المصفوفة في معكوسها على كل من اليمين واليسار ، يتم الحصول على مصفوفة الوحدة ، أي. (1.7)

لاحظ أنه في هذه الحالة يكون ناتج المصفوفات وتبادليًا.

نظرية 1.2.الشرط الضروري والكافي لوجود مصفوفة معكوسة لمصفوفة مربعة معينة هو الفرق من الصفر في محدد المصفوفة المعطاة

إذا تبين أن المصفوفة الرئيسية للنظام قد تدهورت أثناء التحقق ، فلا يوجد معكوس لها ، ولا يمكن تطبيق الطريقة قيد الدراسة.

إذا كانت المصفوفة الرئيسية غير لغوية ، أي أن المحدد هو 0 ، فبإمكانك إيجاد المصفوفة المعكوسة باستخدام الخوارزمية التالية.

1. احسب المكملات الجبرية لجميع عناصر المصفوفة.

2. اكتب الإضافات الجبرية التي تم العثور عليها إلى المصفوفة المنقولة.

3. جمِّع معكوس المصفوفة وفقًا للصيغة: (1.8)

4. تحقق من صحة المصفوفة التي تم العثور عليها A-1 وفقًا للصيغة (1.7). لاحظ أنه يمكن تضمين هذا الفحص في الفحص النهائي لحل النظام نفسه.

يمكن تمثيل النظام (1.5) من المعادلات الجبرية الخطية كمعادلة مصفوفة: أين المصفوفة الرئيسية للنظام ، هي عمود المجهول ، وعمود المصطلحات الحرة. نضرب هذه المعادلة على اليسار في معكوس المصفوفة ، نحصل على:

نظرًا لتعريف المصفوفة العكسية ، تأخذ المعادلة الشكل أو . (1.9)

وهكذا ، لحل نظام تربيعي من المعادلات الجبرية الخطية ، تحتاج إلى ضرب عمود المصطلحات الحرة على اليسار في معكوس المصفوفة للمصفوفة الرئيسية للنظام. بعد ذلك ، يجب عليك التحقق من الحل الذي تم الحصول عليه.

مثال 1.3.حل النظام باستخدام طريقة المصفوفة العكسية

حل.احسب المحدد الرئيسي للنظام

. لذلك ، فإن المصفوفة غير أحادية ومصفوفة معكوسة موجودة.

أوجد المكملات الجبرية لجميع عناصر المصفوفة الرئيسية:

نكتب الإضافات الجبرية المنقولة إلى المصفوفة

. نستخدم الصيغتين (1.8) و (1.9) لإيجاد حل للنظام

أسئلة للفحص الذاتي.

1. ما هي المصفوفة التي تسمى منحط ، غير متولد؟

2. ما هي المصفوفة التي تسمى معكوس لواحد معين؟ ما هو شرط وجودها؟

3. ما هي الخوارزمية لإيجاد معكوس المصفوفة لمصفوفة معينة؟

4. ما معادلة المصفوفة التي يكافئها نظام المعادلات الجبرية الخطية؟

5. كيفية حل نظام المعادلات الجبرية الخطية باستخدام معكوس المصفوفة للمصفوفة الرئيسية للنظام؟

دراسة النظم غير المتجانسة للمعادلات الجبرية الخطية(مخطط 5)

تبدأ دراسة أي نظام من المعادلات الجبرية الخطية بتحويل المصفوفة الممتدة بطريقة غاوسي. دع أبعاد المصفوفة الرئيسية للنظام تكون.

مصفوفة دعا الموسعة مصفوفة النظام , إذا كان ، جنبًا إلى جنب مع معاملات المجهول ، يحتوي على عمود من المصطلحات المجانية. لذلك ، البعد.

تعتمد طريقة Gauss على التحولات الأولية ، التي تشمل:

- تبديل صفوف المصفوفة ؛

- ضرب صفوف المصفوفة بعدد مختلف عن عجلة القيادة ؛

- إضافة عناصر حكيمة لصفوف المصفوفة ؛

- حذف خط الصفر ؛

- تبديل المصفوفة (في هذه الحالة ، يتم إجراء التحويلات بواسطة الأعمدة).

تجلب التحولات الأولية النظام الأصلي إلى نظام مكافئ له. الأنظمة تسمى ما يعادلها إذا كان لديهم نفس مجموعة الحلول.

رتبة المصفوفة هو أعلى ترتيب للقصر غير الصفري. لا تغير التحولات الأولية رتبة المصفوفة.

تجيب النظرية التالية على سؤال ما إذا كان لنظام غير متجانس من المعادلات الخطية حلول.

نظرية 1.3 (Kronecker-Capelli theorem).يكون النظام غير المتجانس من المعادلات الجبرية الخطية متسقًا إذا وفقط إذا كانت رتبة المصفوفة الممتدة للنظام مساوية لرتبة المصفوفة الرئيسية ، أي

دعونا نشير إلى عدد الصفوف المتبقية في المصفوفة بعد طريقة Gaussian (على التوالي ، يبقى النظام معادلات). هؤلاء خطوط تسمى المصفوفات أساسي .

إذا كان لدى النظام حلاً فريدًا (يتم تعريفه بشكل مشترك) ، يتم تقليل مصفوفته إلى شكل مثلث من خلال التحولات الأولية. يمكن حل مثل هذا النظام بطريقة كرامر ، باستخدام معكوس المصفوفة ، أو طريقة غاوس العالمية.

إذا كان (عدد المتغيرات في النظام أكثر من المعادلات) ، يتم تقليل المصفوفة إلى شكل متدرج من خلال التحويلات الأولية. مثل هذا النظام له العديد من الحلول وهو غير محدد بشكل مشترك. في هذه الحالة ، لإيجاد حلول للنظام ، من الضروري إجراء عدد من العمليات.

1. اترك الأجزاء اليسرى من معادلات نظام المجهول ( متغيرات الأساس ) ، انقل المجهول المتبقي إلى الجانب الأيمن ( المتغيرات الحرة ). بعد تقسيم المتغيرات إلى أساسي ومجاني ، يأخذ النظام الشكل:

. (1.10)

2. من المعاملات في المتغيرات الأساسية ، اجعل ثانويًا ( ثانوي أساسي ) ، والتي يجب أن تكون مختلفة عن الصفر.

3. إذا كانت الصغرى الأساسية للنظام (1.10) تساوي صفرًا ، فسيتم استبدال أحد المتغيرات الأساسية بمتغير مجاني ؛ تحقق من الأساس الذي تم الحصول عليه قاصر لغير الصفر.

4. بتطبيق الصيغ (1.6) من طريقة كرامر ، مع الأخذ في الاعتبار الجوانب اليمنى من المعادلات كأعضاء حرة ، أوجد التعبير عن المتغيرات الأساسية من حيث المتغيرات الحرة في شكل عام. المجموعة المرتبة الناتجة من متغيرات النظام هي حل مشترك .

5. إعطاء قيم عشوائية للمتغيرات الحرة في (1.10) ، وحساب القيم المقابلة للمتغيرات الأساسية. يتم استدعاء مجموعة القيم المرتبة الناتجة لجميع المتغيرات قرار خاص الأنظمة المقابلة لقيم معينة من المتغيرات الحرة. يحتوي النظام على عدد لا حصر له من الحلول الخاصة.

6. احصل على الحل الأساسي النظام هو حل خاص يتم الحصول عليه بقيم صفرية للمتغيرات الحرة.

لاحظ أن عدد المجموعات الأساسية لمتغيرات النظام (1.10) يساوي عدد مجموعات العناصر حسب العناصر. نظرًا لأن كل مجموعة أساسية من المتغيرات لها حل أساسي خاص بها ، فإن النظام لديه أيضًا حلول أساسية.

دائمًا ما يكون نظام المعادلات المتجانس متوافقًا ، لأنه يحتوي على حل واحد على الأقل (تافه). من أجل أن يكون لنظام متجانس من المعادلات الخطية ذات المتغيرات حلول غير صفرية ، من الضروري والكافي أن يكون محدده الرئيسي مساويًا للصفر. هذا يعني أن مرتبة المصفوفة الرئيسية أقل من عدد المجهولين. في هذه الحالة ، يتم إجراء دراسة نظام متجانس من المعادلات للحلول العامة والخاصة بشكل مشابه لدراسة النظام غير المتجانس. تتمتع حلول نظام المعادلات المتجانس بخاصية مهمة: إذا عُرف حلان مختلفان لنظام متجانس من المعادلات الخطية ، فإن توليفتهما الخطية هي أيضًا حل لهذا النظام. من السهل التحقق من صحة النظرية التالية.

نظرية 1.4.الحل العام لنظام المعادلات غير المتجانس هو مجموع الحل العام للنظام المتجانس المقابل وبعض الحلول الخاصة لنظام المعادلات غير المتجانس

مثال 1.4.

استكشف النظام المحدد وابحث عن حل واحد معين:

حل.دعونا نكتب المصفوفة الممتدة للنظام ونطبق التحولات الأولية عليه:

. منذ ذلك الحين ، ومن خلال نظرية 1.3 (كرونيكر كابيلي) ، فإن النظام المعطى للمعادلات الجبرية الخطية ثابت. عدد المتغيرات ، أي يعني أن النظام غير محدد. عدد المجموعات الأساسية لمتغيرات النظام يساوي

. لذلك ، يمكن أن تكون 6 مجموعات من المتغيرات أساسية:. دعونا نفكر في واحد منهم. ثم يمكن إعادة كتابة النظام الذي تم الحصول عليه نتيجة طريقة Gauss في النموذج

. المحدد الرئيسي . باستخدام طريقة كرامر ، نبحث عن الحل العام للنظام. المحددات المساعدة

عن طريق الصيغ (1.6) لدينا

. هذا التعبير عن المتغيرات الأساسية من حيث المتغيرات الحرة هو الحل العام للنظام:

لقيم محددة للمتغيرات الحرة ، من الحل العام نحصل على حل معين للنظام. على سبيل المثال ، حل معين يتوافق مع قيم المتغيرات الحرة . لأننا نحصل على الحل الأساسي للنظام

أسئلة للفحص الذاتي.

1. ما هو نظام المعادلات الذي يسمى متجانسة وغير متجانسة؟

2. ما يسمى المصفوفة الموسعة؟

3. ضع قائمة بالتحولات الأولية الأساسية للمصفوفات. ما هي طريقة حل أنظمة المعادلات الخطية التي تعتمد على هذه التحولات؟

4. ما يسمى رتبة المصفوفة؟ بأي طريقة يمكن حسابها؟

5. ماذا تقول نظرية كرونيكر كابيلي؟

6. ما هو الشكل الذي يمكن اختزال نظام المعادلات الجبرية الخطية إليه كنتيجة لحلها بطريقة غاوس؟ ماذا يعني هذا؟

7. ما هي صفوف المصفوفة تسمى أساسية؟

8. ما هي متغيرات النظام التي تسمى أساسية ، أيها مجانية؟

9. ما حل نظام غير متجانس يسمى الخاص؟

10. ما الحل يسمى الأساسي؟ كم عدد الحلول الأساسية التي يمتلكها نظام غير متجانس من المعادلات الخطية؟

11. ما حل نظام غير متجانس من المعادلات الجبرية الخطية يسمى عام؟ صِغ نظرية حول الحل العام لنظام غير متجانس من المعادلات.

12. ما هي الخصائص الرئيسية لحلول نظام متجانس من المعادلات الجبرية الخطية؟