بالنظر إلى ما هي المصفوفة. المصفوفات. أنواع المصفوفات. عمليات المصفوفة وخصائصها

يتم الإشارة إلى المصفوفة بأحرف لاتينية كبيرة ( أ, في, مع،...).

التعريف 1. طاولة مستطيلة الشكل ،

تتكون من مخطوط و نالأعمدة تسمى مصفوفة.

عنصر المصفوفة ، أنا - رقم الصف ، ي - رقم العمود.

أنواع المصفوفات:

العناصر الموجودة على القطر الرئيسي:

trA = a 11 + a 22 + a 33 +… + a nn.

§2. محددات الرتبة الثانية والثالثة والتاسعة

دع اثنين المصفوفات المربعة:

التعريف 1. محدد الرتبة الثانية من المصفوفة أ 1 هو الرقم المشار إليه بـ ويساوي ، أين

مثال. احسب محدد الترتيب الثاني:

التعريف 2. محدد الرتبة الثالثة لمصفوفة مربعة أ 2 يسمى رقم النموذج:

هذه طريقة لحساب المحدد.

مثال. احسب

التعريف 3. إذا كان المحدد يتكون من n من الصفوف والأعمدة n ، فإنه يسمى محدد الترتيب n.

خصائص المحددات:

لا يتغير المحدد أثناء التحويل (على سبيل المثال ، إذا تم تبديل الصفوف والأعمدة فيه مع الحفاظ على الترتيب).

إذا تم تبديل أي صفين أو عمودين في المحدد ، فحينئذٍ يغير المحدد العلامة فقط.

يمكن إخراج العامل المشترك لأي صف (عمود) من علامة المحدد.

إذا كانت جميع عناصر أي صف (عمود) للمحدد تساوي صفرًا ، فإن المحدد يساوي صفرًا.

المحدد هو صفر إذا كانت عناصر أي صفين متساوية أو متناسبة.

لا يتغير المحدد إذا تمت إضافة العناصر المقابلة لصف آخر (عمود) مضروبًا في نفس الرقم إلى عناصر أي صف (عمود).

مثال.

التعريف 4.المحدد الذي تم الحصول عليه من معين عن طريق حذف عمود وصف يسمى صغيرالعنصر المقابل. عنصر M ij a ij.

التعريف 5. الجمع الجبريالعنصر a ij يسمى التعبير

§3. إجراءات المصفوفة

العمليات الخطية

1) عند إضافة المصفوفات ، تضاف عناصرها التي تحمل الاسم نفسه.

عند طرح المصفوفات ، يتم طرح عناصرها التي تحمل الاسم نفسه.

عند ضرب مصفوفة في رقم ، يتم ضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة بهذا الرقم:

3.2 ضرب المصفوفة.

عملالمصفوفات أإلى المصفوفة فيهي مصفوفة جديدة عناصرها مساوية لمجموع حاصل ضرب عناصر الصف الأول من المصفوفة أإلى العناصر المقابلة للعمود j من المصفوفة في. منتج ماتريكس أإلى المصفوفة فييمكن العثور عليها فقط إذا كان عدد أعمدة المصفوفة أيساوي عدد صفوف المصفوفة في.خلاف ذلك ، فإن العمل مستحيل.

تعليق:

(لا تخضع لخاصية التبديل)

§ 4. معكوس المصفوفة

توجد المصفوفة العكسية فقط لمصفوفة مربعة ، ويجب أن تكون المصفوفة غير أحادية.

تعريف 1. مصفوفة أمُسَمًّى غير منحطإذا كان محدد هذه المصفوفة لا يساوي صفرًا

التعريف 2. أ-1 دعا مصفوفة معكوسةلمصفوفة مربعة غير مفردة أ، إذا تم ضرب هذه المصفوفة في المصفوفة المعطاة على اليمين ، ثم على اليسار ، يتم الحصول على مصفوفة الوحدة.

خوارزمية لحساب معكوس المصفوفة

طريقة واحدة (باستخدام الإضافات الجبرية)

مثال 1:

لاحظ أن عناصر المصفوفة لا يمكن أن تكون أرقامًا فقط. تخيل أنك تصف الكتب الموجودة على رف كتبك. دع الرف الخاص بك يكون بالترتيب وجميع الكتب تقف في أماكن محددة بدقة. الجدول الذي سيحتوي على وصف مكتبتك (وفقًا للأرفف وتسلسل الكتب على الرف) سيكون أيضًا مصفوفة. لكن مثل هذه المصفوفة لن تكون رقمية. مثال آخر. بدلاً من الأرقام ، هناك وظائف مختلفة ، متحدة فيما بينها ببعض التبعية. الجدول الناتج سيطلق عليه أيضًا مصفوفة. بمعنى آخر ، المصفوفة هي أي طاولة مستطيلة مكونة من متجانسعناصر. هنا وأدناه سنتحدث عن مصفوفات مكونة من أرقام.

بدلاً من الأقواس ، تتم كتابة المصفوفات باستخدام الأقواس المربعة أو الخطوط الرأسية المزدوجة المستقيمة.

(2.1*)

التعريف 2. إذا كان في التعبير(1) م = ن ، ثم يتحدثون عنه مصفوفة مربعة, و إذا , شيئا عن مستطيلي.

اعتمادًا على قيم m و n ، توجد بعض الأنواع الخاصة من المصفوفات:

أهم ما يميزه مربعالمصفوفة لها محددأو محدد، والتي تتكون من عناصر مصفوفة ويشار إليها

من الواضح أن D E = 1 ؛ .

التعريف 3. لو , ثم المصفوفةأ مُسَمًّى غير منحط أو غير خاص.

التعريف 4. لو detA = 0 ، ثم المصفوفةأ مُسَمًّى تتدهور أو خاص.

التعريف 5. مصفوفتانأ وب مُسَمًّى متساوي واكتبأ = ب إذا كانت لها نفس الأبعاد والعناصر المقابلة لها متساوية ، أي.

على سبيل المثال ، المصفوفات ومتساوية ، لأن إنهما متساويان في الحجم وكل عنصر في مصفوفة واحدة يساوي العنصر المقابل في المصفوفة الأخرى. لكن لا يمكن اعتبار المصفوفات متساوية ، على الرغم من أن محددات كلتا المصفوفتين متساوية ، وأبعاد المصفوفات هي نفسها ، ولكن ليست كل العناصر في نفس الأماكن متساوية. المصفوفات ومختلفة ، لأن لديهم حجم مختلف. المصفوفة الأولى 2x3 والثانية 3x2. على الرغم من أن عدد العناصر هو نفسه - 6 والعناصر نفسها هي نفسها 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، لكنها في أماكن مختلفة في كل مصفوفة. لكن المصفوفات ومتساوية حسب التعريف 5.

التعريف 6. إذا أصلحنا عددًا معينًا من أعمدة المصفوفةأ ونفس عدد صفوفه ، فإن العناصر الموجودة عند تقاطع الأعمدة والصفوف المحددة تشكل مصفوفة مربعةن- الترتيب عشر ، المحدد الذي مُسَمًّى صغيرك- مصفوفة الترتيبأ.

مثال. اكتب ثلاثة أصغر من الدرجة الثانية من المصفوفة

تعتبر المصفوفات في الرياضيات من أهم الأشياء ذات الأهمية التطبيقية. غالبًا ما تبدأ رحلة إلى نظرية المصفوفات بالكلمات: "المصفوفة هي جدول مستطيل ...". سنبدأ هذه الرحلة من زاوية مختلفة قليلاً.

دفاتر الهاتف من أي حجم وبأي عدد من بيانات المشترك ليست سوى مصفوفات. تبدو هذه المصفوفات كما يلي:

من الواضح أننا جميعًا نستخدم مثل هذه المصفوفات كل يوم تقريبًا. تأتي هذه المصفوفات مع عدد مختلف من الصفوف (مميزة كدليل صادر عن شركة الهاتف ، والتي قد تحتوي على آلاف ومئات الآلاف وحتى ملايين السطور ، ودفتر ملاحظات جديد بدأته للتو ، والذي يوجد فيه أقل من عشرة أسطر) وأعمدة (دليل المسؤولين في بعض المؤسسات ، والتي قد تحتوي على أعمدة مثل الموقع ورقم المكتب ونفس دفتر الملاحظات الخاص بك ، حيث قد لا توجد بيانات سوى اسم ورقم هاتف فقط).

يمكن إضافة جميع أنواع المصفوفات ومضاعفتها ، ويمكن إجراء عمليات أخرى عليها ، ولكن لا داعي لإضافة أدلة الهاتف ومضاعفتها ، ولا فائدة من ذلك ، وإلى جانب ذلك ، يمكنك تحريك عقلك.

ولكن يمكن بل وينبغي إضافة العديد من المصفوفات ومضاعفتها ويمكن حل العديد من المهام العاجلة بهذه الطريقة. فيما يلي أمثلة على هذه المصفوفات.

المصفوفات التي تكون الأعمدة فيها ناتج وحدات لنوع معين من المنتجات ، والصفوف هي السنوات التي يتم فيها تسجيل ناتج هذا المنتج:

يمكنك إضافة مصفوفات من هذا النوع ، والتي تأخذ في الاعتبار إنتاج منتجات مماثلة من قبل مختلف المؤسسات ، من أجل الحصول على بيانات موجزة عن الصناعة.

أو المصفوفات ، التي تتكون ، على سبيل المثال ، من عمود واحد ، حيث تمثل الصفوف متوسط ​​تكلفة نوع معين من المنتجات:

يمكن مضاعفة المصفوفات من النوعين الأخيرين ، ونتيجة لذلك ، سيتم الحصول على مصفوفة صف تحتوي على تكلفة جميع أنواع المنتجات حسب السنوات.

المصفوفات والتعاريف الأساسية

طاولة مستطيلة تتكون من أرقام مرتبة في مخطوط و نالأعمدة تسمى مليون مصفوفة (أو ببساطة مصفوفة ) وكتب مثل هذا:

(1)

في المصفوفة (1) تسمى الأرقام به عناصر (كما هو الحال في المحدد ، يشير الفهرس الأول إلى رقم الصف ، والثاني - العمود ، الذي يوجد عند تقاطعه عنصر ؛ أنا = 1, 2, ..., م; ي = 1, 2, ن).

تسمى المصفوفة مستطيلي ، لو .

لو م = ن، ثم يسمى المصفوفة مربع ، والرقم n هو مرتب .

محدد المصفوفة المربعة أ يسمى المحدد الذي تكون عناصره عناصر المصفوفة أ. يُشار إليه بالرمز | أ|.

تسمى المصفوفة المربعة غير خاص (أو غير منحط , غير مفرد ) إذا كان محدده لا يساوي صفرًا ، و خاص (أو تتدهور , صيغة المفرد ) إذا كان المحدد هو صفر.

تسمى المصفوفات متساوي إذا كان لديهم نفس عدد الصفوف والأعمدة وجميع العناصر المتطابقة متشابهة.

تسمى المصفوفة باطل إذا كانت جميع عناصرها تساوي الصفر. سيتم الإشارة إلى المصفوفة الصفرية بالرمز 0 أو .

على سبيل المثال،

مصفوفة الصف (أو أحرف صغيرة ) يسمى 1 ن-مصفوفة و مصفوفة العمود (أو عمودي ) – م 1-مصفوفة.

مصفوفة أ"، التي تم الحصول عليها من المصفوفة أتبادل الصفوف والأعمدة يسمى منقول فيما يتعلق بالمصفوفة أ. وبالتالي ، بالنسبة للمصفوفة (1) ، تكون المصفوفة المنقولة هي

الانتقال إلى عملية المصفوفة أ"، منقول فيما يتعلق بالمصفوفة أ، يسمى تبديل المصفوفة أ. ل مليون-المصفوفة المنقولة هي نانومتر-مصفوفة.

المصفوفة المنقولة بالنسبة للمصفوفة هي أ، إنه

(أ")" = أ .

مثال 1ابحث عن ماتريكس أ"، منقول فيما يتعلق بالمصفوفة

ومعرفة ما إذا كانت محددات المصفوفات الأصلية والمصفوفة المنقولة متساوية.

قطري رئيسي المصفوفة المربعة هي خط وهمي يربط بين عناصرها ، وكلا المؤشرين متماثلان. تسمى هذه العناصر قطري .

تسمى مصفوفة مربعة تكون فيها جميع العناصر خارج القطر الرئيسي مساوية للصفر قطري . ليست كل العناصر القطرية لمصفوفة قطرية بالضرورة غير صفرية. قد يكون بعضها مساويًا للصفر.

تسمى المصفوفة المربعة التي تكون فيها العناصر الموجودة على القطر الرئيسي مساوية لنفس العدد غير الصفري ، وكل العناصر الأخرى تساوي صفرًا ، المصفوفة العددية .

مصفوفة الهوية تسمى مصفوفة قطرية تكون فيها جميع العناصر القطرية مساوية لواحد. على سبيل المثال ، مصفوفة الوحدة من الرتبة الثالثة هي المصفوفة

مثال 2بيانات المصفوفة:

حل. دعونا نحسب محددات هذه المصفوفات. باستخدام قاعدة المثلثات ، نجد

محدد المصفوفة باحسب بالصيغة

نحصل على ذلك بسهولة

لذلك ، المصفوفات أوهي غير مفردة (غير منحلة ، غير مفردة) ، والمصفوفة ب- خاص (منحط ، مفرد).

من الواضح أن محدد مصفوفة الهوية لأي ترتيب يساوي واحدًا.

قم بحل مشكلة المصفوفة بنفسك ، ثم انظر إلى الحل

مثال 3بيانات المصفوفة

,

,

تحديد أي منهم غير مفرد (غير منحط ، غير مفرد).

تطبيق المصفوفات في النمذجة الرياضية والاقتصادية

في شكل مصفوفات ، تتم كتابة البيانات المنظمة حول كائن معين ببساطة وسهولة. يتم إنشاء نماذج المصفوفة ليس فقط لتخزين هذه البيانات المنظمة ، ولكن أيضًا لحلها المهام المختلفةمع هذه الوسائل المعطاة للجبر الخطي.

وبالتالي ، فإن نموذج المصفوفة المعروف للاقتصاد هو نموذج المدخلات والمخرجات الذي قدمه الاقتصادي الأمريكي من أصل روسي فاسيلي ليونتيف. يعتمد هذا النموذج على افتراض أن قطاع التصنيع بأكمله في الاقتصاد مقسم إلى نالصناعات النظيفة. تنتج كل صناعة نوعًا واحدًا فقط من المنتجات وتنتج الصناعات المختلفة منتجات مختلفة. بسبب هذا التقسيم للعمل بين الصناعات ، توجد علاقات بين الصناعات ، ومعنى ذلك أن يتم نقل جزء من إنتاج كل صناعة إلى صناعات أخرى كمورد إنتاج.

حجم الإنتاج أنا- الصناعة (تقاس بوحدة قياس محددة) التي تم إنتاجها خلال الفترة المشمولة بالتقرير ، ويُشار إليها وتسمى الناتج الإجمالي أناالصناعة ال. يتم وضع المشكلات بشكل ملائم ن-صف مكون من المصفوفة.

عدد وحدات المنتج أناالصناعة التي ستنفق ي- الصناعة لإنتاج وحدة من إنتاجها ، ويشار إليها وتسمى معامل التكاليف المباشرة.

المصفوفات. أنواع المصفوفات. العمليات على المصفوفات وخصائصها.

محدد المصفوفة من الرتبة n. N ، Z ، Q ، R ، C ،

المصفوفة ذات الترتيب m * n عبارة عن جدول مستطيل من الأرقام يحتوي على صفوف m وأعمدة n.

مصفوفة المساواة:

يتم استدعاء مصفوفتين متساويتين إذا كان عدد الصفوف والأعمدة في أحدهما يساوي ، على التوالي ، عدد الصفوف والأعمدة الأخرى ، على التوالي. عناصر هذه المصفوفات متساوية.

ملاحظة: العناصر التي لها نفس الفهارس متطابقة.

أنواع المصفوفات:

المصفوفة المربعة: يُقال أن المصفوفة تكون مربعة إذا كان عدد الصفوف يساوي عدد الأعمدة.

مستطيل: يُقال أن المصفوفة مستطيلة إذا كان عدد الصفوف لا يساوي عدد الأعمدة.

مصفوفة الصف: مصفوفة من الرتبة 1 * n (م = 1) لها الشكل a11 ، a12 ، a13 وتسمى مصفوفة الصف.

عمود المصفوفة: ………….

قطري: قطري المصفوفة المربعة ، من الزاوية اليسرى العلوية إلى الزاوية اليمنى السفلية ، أي المكونة من العناصر a11 ، a22 ...... - يسمى القطر الرئيسي. (التعريف: المصفوفة المربعة ، جميع عناصرها تساوي الصفر ، باستثناء العناصر الموجودة على القطر الرئيسي ، تسمى مصفوفة قطرية.

الهوية: تسمى المصفوفة القطرية الهوية إذا كانت جميع العناصر موجودة على القطر الرئيسي وتساوي 1.

مثلث علوي: A = || aij || تسمى مصفوفة مثلثة عليا إذا كانت aij = 0. المقدمة i> j.

المثلث السفلي: aij = 0. أنا

صفر: هذه مصفوفة لها Els 0.

العمليات على المصفوفات.

1. التحويل.

2. ضرب مصفوفة بعدد.

3. إضافة مصفوفة.

4. مصفوفة الضرب.

الإجراء الأساسي sv-va على المصفوفات.

1- أ + ب = ب + أ (تبادلية)

2- أ + (ب + ج) = (أ + ب) + ج (ارتباط)

3.a (A + B) = aA + aB (التوزيعية)

4. (أ + ب) أ = أأ + با (توزيعي)

5. (ab) A = a (bA) = b (aA) (asoots.)

6. AB ≠ BA (بدون اتصال)

7.A (BC) = (AB) C (ترابطية) - يتم تنفيذه إذا كان def. يتم تنفيذ منتجات المصفوفة.

8.A (B + C) = AB + AC (توزيعي)

(B + C) A = BA + CA (توزيعي)

9 أ (أ ب) = (أ أ) ب = (أ ب) أ

محدد المصفوفة المربعة - التعريف وخصائصها. تحلل المحدد في الصفوف والأعمدة. طرق حساب المحددات.

إذا كانت المصفوفة A لها الترتيب m> 1 ، فإن محدد هذه المصفوفة هو رقم.

المكمل الجبري Aij للعنصر aij للمصفوفة A هو Mij الصغير مضروبًا في الرقم

THEOREM1: محدد المصفوفة A يساوي مجموع حاصل ضرب كل عناصر الصف التعسفي (العمود) ومكملاتها الجبرية.

الخصائص الأساسية للمحددات.

1. لن يتغير محدد المصفوفة عند تغيير موضعها.

2. عند التبديل بين صفين (عمودين) ، يوقع المحدد التغييرات ، لكن قيمته المطلقة لا تتغير.

3. محدد مصفوفة تتكون من صفين متطابقين (عمودين) هو 0.

4. عند ضرب صف (عمود) مصفوفة في رقم ، يتم ضرب محددها في هذا الرقم.

5. إذا كان أحد صفوف (أعمدة) المصفوفة يتكون من 0 ، فإن محدد هذه المصفوفة هو 0.

6. إذا تم تقديم جميع عناصر الصف الأول (العمود) من المصفوفة كمجموع من فترتين ، فيمكن عندئذٍ تمثيل محددها كمجموع محددات مصفوفتين.

7. لن يتغير المحدد إذا تمت إضافة عناصر عمود واحد (صف) على التوالي إلى عناصر عمود آخر (صف) عن طريق الضرب المسبق. لنفس الرقم.

8. مجموع العناصر التعسفية لأي عمود (صف) من المحدد للمكمل الجبري المقابل لعناصر عمود آخر (صف) هو 0.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image004_81.gif "width =" 46 "height =" 27 ">

طرق حساب المحدد:

1. بحكم التعريف أو النظرية 1.

2. التخفيض إلى شكل مثلثي.

تعريف وخصائص معكوس المصفوفة. حساب معكوس المصفوفة. معادلات المصفوفة.

التعريف: تسمى المصفوفة المربعة من الرتبة n معكوس المصفوفة A من نفس الترتيب ويتم الإشارة إليها

من أجل وجود المصفوفة أ مصفوفة معكوسةمن الضروري والكافي أن يكون محدد المصفوفة A مختلفًا عن 0.

خصائص المصفوفة العكسية:

1. التفرد: بالنسبة لمصفوفة معينة A ، يكون معكوسها فريدًا.

2. محدد المصفوفة

3. عملية أخذ التحويل وأخذ المصفوفة المعكوسة.

معادلات المصفوفة:

لنفترض أن A و B مصفوفتان مربعتان من نفس الترتيب.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image008_56.gif "width =" 163 "height =" 11 src = ">

مفهوم الاعتماد الخطيواستقلالية أعمدة المصفوفة. خصائص التبعية الخطية و الاستقلال الخطيأنظمة العمود.

الأعمدة А1 ، А2 ... تسمى الأعمدة التابعة خطيًا إذا كان هناك تركيبة خطية غير تافهة منهم تساوي العمود 0.

الأعمدة А1 ، А2 ... تسمى مستقلة خطيًا إذا كان هناك تركيبة خطية غير تافهة منهم تساوي العمود 0.

يُطلق على المجموعة الخطية اسم تافه إذا كانت جميع المعاملات С (l) تساوي 0 وغير تافهة على خلاف ذلك.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image010_52.gif "width =" 88 "height =" 24 ">

2. لكي تكون الأعمدة تابعة خطيًا ، من الضروري والكافي أن يكون بعض الأعمدة مزيجًا خطيًا من الأعمدة الأخرى.

لنفترض أن أحد الأعمدة https://pandia.ru/text/78/365/images/image014_42.gif "width =" 13 "height =" 23 src = "> عبارة عن مجموعة خطية من الأعمدة الأخرى.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image016_38.gif "width =" 79 "height =" 24 "> تعتمد خطيًا ، ثم تكون جميع الأعمدة تابعة خطيًا.

4. إذا كان نظام الأعمدة مستقلاً خطيًا ، فإن أيًا من أنظمته الفرعية يكون أيضًا مستقلاً خطيًا.

(كل ما يقال عن الأعمدة ينطبق أيضًا على الصفوف).

مصفوفة القصر. القاصرون الأساس. رتبة المصفوفة. طريقة تهديب القصر لحساب رتبة المصفوفة.

الترتيب الصغرى للمصفوفة A هو المحدد الذي توجد عناصره عند تقاطع الصفوف k والصفوف k للمصفوفة A.

إذا كانت جميع العناصر الثانوية من الرتبة k في المصفوفة A = 0 ، فإن أي رتبة ثانوية من الرتبة k + 1 تساوي أيضًا 0.

ثانوي أساسي.

رتبة المصفوفة (أ) هي ترتيب أساسها الثانوي.

طريقة حدود القاصرين: - نختار عنصرًا غير صفري من المصفوفة A (إذا كان هذا العنصر غير موجود ، فإن رتبة A \ u003d 0)

نحاذي القاصر السابق من الترتيب الأول مع القاصر من الدرجة الثانية. (إذا لم يكن هذا القاصر مساويًا لـ 0 ، فإن الرتبة> = 2) إذا كانت رتبة هذا القاصر = 0 ، فنحن نحد القاصر المختار من الدرجة الأولى مع قاصر آخر من الدرجة الثانية. (إذا كان جميع القاصرين من الرتبة الثانية = 0 ، فإن رتبة المصفوفة = 1).

رتبة المصفوفة. طرق إيجاد مرتبة المصفوفة.

رتبة المصفوفة (أ) هي ترتيب أساسها الثانوي.

طرق الحساب:

1) طريقة الحدود الصغرى: -اختر عنصرًا غير صفري من المصفوفة أ (إذا لم يكن هناك عنصر من هذا القبيل ، فترتيبها = 0) - ضع حدًا ثانويًا من الرتبة الأولى السابقة بالترتيب الثاني الثانوي .. gif "العرض =" 40 "الارتفاع =" 22 "> r + 1 السيد + 1 = 0.

2) إحضار مصفوفة إلى شكل متدرج: تعتمد هذه الطريقة على التحويلات الأولية. في ظل التحولات الأولية ، لا تتغير رتبة المصفوفة.

التحولات التالية تسمى التحولات الأولية:

تبديل صفين (عمودين).

ضرب جميع عناصر بعض الأعمدة (الصف) بعدد ليس = 0.

الإضافة إلى جميع عناصر عمود (صف) معين من عناصر عمود آخر (صف) ، مضروبة مسبقًا بنفس الرقم.

نظرية الأساس الصغرى. الشرط الضروري والكافي للمحدد ليكون مساوياً للصفر.

الأساس الصغرى للمصفوفة A هو الصغرى لأكبر رتبة k تختلف عن 0.

نظرية الأساس الصغرى:

الصفوف الأساسية (الأعمدة) مستقلة خطيًا. أي صف (عمود) من المصفوفة A هو تركيبة خطية من الصفوف الأساسية (الأعمدة).

ملاحظات: تسمى الصفوف والأعمدة عند التقاطع التي يوجد بها ثانوي أساسي بالصفوف والأعمدة الأساسية ، على التوالي.

a11 a12… a1r a1j

a21 a22… .a2r a2j

a31 a32…. a3r a3j

ar1 ar2… .arr arj

ak1 ak2… ..آكر akj

الشروط اللازمة والكافية للمحدد ليكون مساويا للصفر:

من أجل محدد الترتيب n = 0 ، من الضروري والكافي أن تكون صفوفه (أعمدته) تابعة خطيًا.

الأنظمة المعادلات الخطيةوتصنيفها وأشكال تسجيلها. حكم كرامر.

ضع في اعتبارك نظامًا من 3 معادلات خطية مع ثلاثة مجاهيل:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image020_29.gif "alt =" (! LANG: l14image048" width="64" height="38 id=">!}

يسمى محدد النظام.

نؤلف ثلاثة محددات أخرى على النحو التالي: نستبدل على التوالي 1 و 2 و 3 أعمدة في المحدد D بعمود من الأعضاء الأحرار

https://pandia.ru/text/78/365/images/image022_23.gif "alt =" (! LANG: l14image052" width="93" height="22 id=">!}

دليل. لذلك ، ضع في اعتبارك نظامًا من 3 معادلات بها ثلاثة مجاهيل. نضرب المعادلة الأولى للنظام بالمكمل الجبري A11 للعنصر a11 ، والمعادلة الثانية بـ A21 والمعادلة الثالثة بـ A31:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image024_24.gif "alt =" (! LANG: l14image056" width="247" height="31 id=">!}

ضع في اعتبارك كل من القوسين والجانب الأيمن من هذه المعادلة. من خلال نظرية توسيع المحدد من حيث عناصر العمود الأول

https://pandia.ru/text/78/365/images/image026_23.gif "alt =" (! LANG: l14image060" width="324" height="42 id=">!}

وبالمثل ، يمكن إثبات أن و.

أخيرًا ، من السهل رؤية ذلك

وهكذا نحصل على المساواة:.

لذلك، .

يتم اشتقاق المساواة وبالمثل ، ومن هنا يتبع تأكيد النظرية.

نظم المعادلات الخطية. شرط التوافق للمعادلات الخطية. نظرية كرونيكر كابيلي.

إن حل نظام المعادلات الجبرية هو مجموعة من الأعداد n C1 ، C2 ، C3 …… Cn ، والتي عند استبدالها في النظام الأصليبدلا من x1، x2، x3… ..xn يحول كل معادلات النظام إلى هويات.

يُطلق على نظام المعادلات الجبرية الخطية اسم ثابت إذا كان يحتوي على حل واحد على الأقل.

يسمى نظام المفصل محدد إذا كان كذلك القرار الوحيد، وإلى أجل غير مسمى إذا كان يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول.

شروط توافق أنظمة المعادلات الجبرية الخطية.

a11 a12 …… a1n x1 b1

a21 a22 …… a2n x2 b2

……………….. .. = ..

am1 am2… ..amn xn bn

النظرية: لكي يكون نظام المعادلات الخطية m ذات المجهول n متسقًا ، من الضروري والكافي أن تكون رتبة المصفوفة الممتدة مساوية لرتبة المصفوفة A.

ملاحظة: هذه النظرية تعطي فقط معايير لوجود حل ، لكنها لا تشير إلى طريقة لإيجاد حل.

10 سؤال.

نظم المعادلات الخطية. الطريقة الثانوية الأساسية هي طريقة عامة لإيجاد جميع الحلول لأنظمة المعادلات الخطية.

أ = a21 a22… .. a2n

طريقة الأساس البسيطة:

دع النظام يكون متوافقًا و RgA = RgA ’= r. دع القاصر الأساسي يرسم في الزاوية اليسرى العليا من المصفوفة أ.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image035_20.gif "width =" 22 "height =" 23 src = "> ... ... gif" width = "23" height = "23 src ="> ... gif "width =" 22 "height =" 23 src = "> ... ... gif" width = "46" height = "23- ... a ...

d2 b2-a (2r + 1) x (r + 1) -..- a (2n) x (n)

… = …………..

الدكتور br-a (rr + 1) x (r + 1) -..- a (rn) x (n)

https://pandia.ru/text/78/365/images/image050_12.gif "width =" 33 "height =" 22 src = ">

ملاحظات: إذا كانت رتبة المصفوفة الرئيسية والمعتبرة تساوي r = n ، ففي هذه الحالة dj = bj ويكون للنظام حل فريد.

أنظمة متجانسة من المعادلات الخطية.

يسمى نظام المعادلات الجبرية الخطية بالتجانس إذا كانت جميع شروطه الحرة تساوي الصفر.

AX = 0 نظام متجانس.

AX = B نظام غير متجانس.

الأنظمة المتجانسة متسقة دائمًا.

X1 = x2 = .. = xn = 0

نظرية 1.

تحتوي الأنظمة المتجانسة على حلول غير متجانسة عندما تكون مرتبة مصفوفة النظام أقل من عدد المجهول.

نظرية 2.

نظام متجانس ن المعادلات الخطيةذات n-unknowns لها حل غير صفري عندما يكون محدد المصفوفة A يساوي صفرًا. (ديتا = 0)

خصائص حلول الأنظمة المتجانسة.

أي مجموعة خطية من الحلول نظام متجانسهو بحد ذاته حل لهذا النظام.

α1C1 + α2C2 ؛ α1 و α2 هي بعض الأرقام.

A (α1C1 + α2C2) = A (α1C1) + A (α2C2) = α1 (A C1) + α2 (AC2) = 0 ، أي ك (أ C1) = 0 ؛ (AC2) = 0

بالنسبة للنظام غير المتجانس ، لا تصمد هذه الخاصية.

نظام القرار الأساسي.

نظرية 3.

إذا كانت رتبة نظام مصفوفة لمعادلة مع n-unknowns هي r ، فإن هذا النظام يحتوي على حلول مستقلة خطيًا n.

دع القاعدة الثانوية تكون في الزاوية اليسرى العليا. إذا كان r< n, то неизвестные х r+1;хr+2;..хn называются свободными переменными, а систему уравнений АХ=В запишем, как Аr Хr =Вr

C1 = (C11 C21 .. Cr1، 1.0..0)

C2 = (C21 C22 .. C2r، 0، 1..0)<= Линейно-независимы.

……………………..

Cn-r = (Cn-r1 Cn-r2 .. Cn-rr، 0، 0..1)

يسمى نظام الحلول المستقلة خطيًا n-r لنظام متجانس من المعادلات الخطية ذات المجهول n من الرتبة r بالنظام الأساسي للحلول.

نظرية 4.

أي حل لنظام المعادلات الخطية هو مزيج خطي من حل للنظام الأساسي.

С = α1C1 + α2C2 + .. + αn-r Cn-r

إذا كان r

12 سؤال.

الحل العام لنظام غير متجانس.

سكون (عام غير منتظم) \ u003d COO + SCH (خاص)

AX = B (نظام غير متجانس) ؛ AX = 0

(ASoo) + ASch = ASch = B ، لأن (ASoo) = 0

النوم \ u003d α1C1 + α2C2 + .. + αn-r Cn-r + Mid

طريقة جاوس.

هذه طريقة للتخلص المتتالي من المجهول (المتغيرات) - وهي تتكون من حقيقة أنه بمساعدة التحولات الأولية ، يتم تقليل نظام المعادلات الأصلي إلى نظام مكافئ من شكل تدريجي ، يتم من خلاله العثور على جميع المتغيرات الأخرى بالتتابع ، بدءًا من المتغيرات الأخيرة.

دع a ≠ 0 (إذا لم يكن الأمر كذلك ، فسيتم تحقيق ذلك عن طريق إعادة ترتيب المعادلات).

1) نستبعد المتغير x1 من المعادلة الثانية والثالثة ... n-th ، بضرب المعادلة الأولى بأرقام مناسبة وإضافة النتائج التي تم الحصول عليها إلى المعادلة الثانية والثالثة ... n-th ، ثم نحصل على:

نحصل على نظام مكافئ للنظام الأصلي.

2) استبعد المتغير x2

3) نستبعد المتغير x3 ، إلخ.

استمرار عملية الحذف المتسلسل للمتغيرات x4 ؛ x5 ... xr-1 نحصل على الخطوة (r-1) -th.

الرقم صفر في آخر n-r في المعادلات يعني أن جانبهم الأيسر يبدو كما يلي: 0x1 + 0x2 + .. + 0xn

إذا كان أحد الأرقام على الأقل вr + 1 ، вr + 2 ... لا يساوي الصفر ، فإن المساواة المقابلة غير متسقة والنظام (1) غير متسق. وبالتالي ، بالنسبة لأي نظام متسق ، فإن vr + 1… vm يساوي صفرًا.

المعادلات n-r الأخيرة في النظام (1 ؛ r-1) هي هويات ويمكن تجاهلها.

حالتان ممكنتان:

أ) عدد معادلات النظام (1 ؛ r-1) يساوي عدد المجهول ، أي r \ u003d n (في هذه الحالة ، يكون للنظام شكل مثلث).

ب) ص

يُطلق على الانتقال من النظام (1) إلى النظام المكافئ (1 ؛ r-1) الانتقال المباشر لطريقة غاوس.

حول إيجاد متغير من النظام (1 ؛ r-1) - بالمسار العكسي لطريقة غاوس.

يتم تنفيذ تحويلات Gaussian بسهولة من خلال تنفيذها ليس باستخدام المعادلات ، ولكن باستخدام مصفوفة ممتدة لمعاملاتها.

13 سؤال.

المصفوفات المتشابهة.

سننظر فقط في المصفوفات المربعة للأمر n /

يقال أن المصفوفة A تشبه المصفوفة B (A ~ B) إذا كانت هناك مصفوفة غير مفردة S مثل A = S-1BS.

خصائص المصفوفات المتشابهة.

1) المصفوفة أ تشبه نفسها. (أ ~ أ)

إذا كانت S = E ثم EAE = E-1AE = A

2) إذا كان A ~ B ، ثم B ~ A

إذا كان A = S-1BS => SAS-1 = (SS-1) B (SS-1) = B

3) إذا كان A ~ B وفي نفس الوقت B ~ C ، ثم A ~ C

بالنظر إلى أن A = S1-1BS1 ، و B = S2-1CS2 => A = (S1-1 S2-1) C (S2 S1) = (S2 S1) -1C (S2 S1) = S3-1CS3 ، حيث S3 = S2S1

4) محددات المصفوفات المتشابهة متساوية.

بالنظر إلى أن A ~ B ، من الضروري إثبات أن detA = detB.

A = S-1 BS ، detA = det (S-1 BS) = detS-1 * detB * detS = 1 / detS * detB * detS (تقليل) = detB.

5) رتب المصفوفات المتشابهة هي نفسها.

المتجهات الذاتية و القيم الذاتيةالمصفوفات.

يُطلق على الرقم λ قيمة eigenvalue للمصفوفة A إذا كان هناك متجه غير صفري X (عمود مصفوفة) مثل AX = λ X ، ويسمى المتجه X المتجه الذاتي للمصفوفة A ، وتسمى مجموعة جميع القيم الذاتية طيف المصفوفة A.

خصائص المتجهات الذاتية.

1) عند ضرب المتجه الذاتي برقم ، نحصل على المتجه الذاتي بنفس القيمة الذاتية.

AX \ u003d λ X ؛ Х ≠ 0

α X => A (α X) \ u003d α (AX) \ u003d α (λ X) \ u003d \ u003d λ (α X)

2) المتجهات الذاتية مع قيم ذاتية مختلفة زوجية مستقلة خطيًا λ1، λ2، .. k.

دع النظام يتكون من المتجه الأول ، دعنا نتخذ خطوة استقرائية:

C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn Xn = 0 (1) - اضرب ب A.

C1 AX1 + C2 AX2 + .. + Cn AXn \ u003d 0

С1 λ1 Х1 + С2 λ2 Х2 + .. + Сn n n = 0

اضرب ب λn + 1 واطرح

C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn Xn + Cn + 1 Xn + 1 = 0

С1 λ1 Х1 + С2 λ2 Х2 + .. + Сn n n + Сn + 1 n + 1 n + 1 = 0

C1 (λ1 –n + 1) X1 + C2 (λ2 –n + 1) X2 + .. + Cn (λn –n + 1) Xn + Cn + 1 (n + 1 –n + 1) Xn + 1 = 0

C1 (λ1 –n + 1) X1 + C2 (λ2 –n + 1) X2 + .. + Cn (n –n + 1) Xn = 0

من الضروري أن C1 \ u003d C2 \ u003d ... \ u003d Cn \ u003d 0

Cn + 1 Xn + 1 λn + 1 = 0

معادلة مميزة.

يُطلق على A-λE المصفوفة المميزة للمصفوفة A.

لكي يكون المتجه X غير الصفري متجهًا ذاتيًا للمصفوفة A ، يتوافق مع القيمة الذاتية λ ، من الضروري أن يكون حلاً لنظام متجانس من المعادلات الجبرية الخطية (A - E) X = 0

النظام لديه حل غير تافه عندما يكون det (A - XE) = 0 - هذه معادلة مميزة.

إفادة!

تتطابق المعادلات المميزة للمصفوفات المتشابهة.

det (S-1AS - λЕ) = det (S-1AS - λ S-1ЕS) = det (S-1 (A - λЕ) S) = det S-1 det (A - λЕ) detS = det (A - λЕ)

كثير الحدود المميز.

det (A - λЕ) - وظيفة بالنسبة للمعامل λ

det (A - λЕ) = (-1) n Xn + (- 1) n-1 (a11 + a22 + .. + ann) λn-1 + .. + detA

يُطلق على كثير الحدود هذا اسم كثير الحدود المميز للمصفوفة أ.

عاقبة:

1) إذا كانت المصفوفات هي A ~ B ، فإن مجموع عناصرها القطرية هو نفسه.

a11 + a22 + .. + ann = в11 + в22 + .. + вnn

2) تتطابق مجموعة القيم الذاتية للمصفوفات المتشابهة.

إذا كانت المعادلات المميزة للمصفوفات هي نفسها ، فلن تكون بالضرورة متشابهة.

للمصفوفة أ

للمصفوفة ب

https://pandia.ru/text/78/365/images/image062_10.gif "width =" 92 "height =" 38 ">

Det (Ag-λE) = (λ11 - λ) (λ22 - λ) ... (nn - λ) = 0

لكي تكون المصفوفة A ذات الترتيب n قابلة للقياس قطريًا ، من الضروري وجود متجهات ذاتية مستقلة خطيًا للمصفوفة A.

عاقبة.

إذا كانت جميع قيم eigenvalues ​​للمصفوفة A مختلفة ، فهي قابلة للتحديد قطريًا.

خوارزمية لإيجاد المتجهات الذاتية والقيم الذاتية.

1) يؤلف المعادلة المميزة

2) أوجد جذور المعادلات

3) يؤلف نظام معادلات لتحديد المتجه الذاتي.

λi (A-λi E) X = 0

4) تجد النظام الأساسيقرارات

x1 ، x2..xn-r ، حيث r هي رتبة المصفوفة المميزة.

ص = Rg (A - i E)

5) eigenvector ، القيم الذاتية λi مكتوبة على النحو التالي:

X \ u003d C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn-r Xn-r ، حيث C12 + C22 + ... C2n ≠ 0

6) نتحقق مما إذا كان من الممكن اختزال المصفوفة إلى شكل قطري.

7) ابحث عن Ag

Ag = S-1AS S =

15 سؤال.

أساس الخط والطائرة والفضاء.

DIV_ADBLOCK410 ">

وحدة المتجه هي طوله ، أي المسافة بين A و B (││ ، ││). معامل المتجه يساوي صفرًا ، عندما يكون هذا المتجه صفرًا (│ō│ = 0)

4-ناقل أورث.

قيمة المتجه المعطى هي متجه له نفس اتجاه المتجه المحدد وله وحدة تساوي واحد.

النواقل المتساوية لها أوجه القصور المتساوية.

5. الزاوية بين متجهين.

هذا هو الجزء الأصغر من المنطقة ، يحده شعاعين ينبثقان من نفس النقطة ويوجهان في نفس اتجاه المتجهات المعطاة.

إضافة نواقل. ضرب متجه برقم.

1) إضافة متجهين

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif "الارتفاع =" 11 "> + │≤│ │ + │ │

2) ضرب متجه بواسطة عددي.

حاصل ضرب المتجه والقياس القياسي هو متجه جديد يحتوي على:

أ) = منتجات معامل المتجه المضاعف قيمه مطلقهالعددية.

ب) الاتجاه هو نفسه المتجه المضاعف إذا كان العدد القياسي موجبًا ، ومعاكسًا إذا كان العدد القياسي سالبًا.

λ أ (ناقل) => │ λ │ = │ λ │ = │ λ ││ │

خواص العمليات الخطية على المتجهات.

1. قانون الجماعة.

2. قانون الجمعيات.

3. الجمع بصفر.

أ (متجه) + ō = أ (متجه)

4. الجمع مع العكس.

5. (αβ) = α (β) = β (α)

6 ؛ 7. قانون التوزيع.

التعبير عن المتجه بدلالة معامله ومتجه الوحدة.

أقصى عدد ناقلات مستقلة خطيايسمى الأساس.

الأساس على الخط هو أي متجه غير صفري.

الأساس على المستوى هو أي متجهين غير مستدامين.

الأساس في الفضاء هو نظام لأي ثلاثة نواقل غير متحد المستوى.

يُطلق على معامل تمدد المتجه في بعض القواعد اسم مكونات أو إحداثيات المتجه في الأساس المحدد.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image075_10.gif "height =" 11 src = ">. gif" height = "11 src ="> إجراء عمليات الجمع والضرب بواسطة عدد ، ثم نتيجة لأي عدد من هذه الإجراءات نحصل عليها:

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif "height =" 11 src = "> + ... gif" height = "11 src =">. gif "height =" 11 src = "> تسمى خطيًا تابعًا في حالة وجود تركيبة خطية غير بديهية تساوي ō.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif "height =" 11 src = "> + ... gif" height = "11 src =">. gif "height =" 11 src = "> تسمى مستقلة خطيًا في حالة عدم وجود تركيبة خطية غير أساسية.

خصائص المتجهات المعتمدة والمستقلة خطيًا:

1) يعتمد نظام المتجهات التي تحتوي على المتجه الصفري خطيًا.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif "height =" 11 src = "> + ... gif" height = "11 src =">. gif "height =" 11 src = "> تعتمد خطيًا ، من الضروري أن يكون بعض المتجه مزيجًا خطيًا من ناقلات أخرى.

3) إذا كانت بعض المتجهات من النظام a1 (المتجه) ، a2 (المتجه) ... ak (المتجه) تعتمد خطيًا ، فإن جميع النواقل تعتمد خطيًا.

4) إذا كانت جميع المتجهات https://pandia.ru/text/78/365/images/image076_9.gif "height =" 11 src = ">. gif" width = "75" height = "11">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image082_10.gif "height =" 11 src = ">. gif" height = "11 src =">)

العمليات الخطية في الإحداثيات.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image069_9.gif "height =" 12 src = ">. gif" height = "11 src =">. gif "height =" 11 src = ">. gif" height = "11 src ="> + (λа3) DIV_ADBLOCK413 ">

الناتج القياسي لمتجهين هو رقم يساوي حاصل ضرب المتجهات وجيب تمام الزاوية بينهما.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image090_8.gif "width =" 48 "height =" 13 ">

3. (أ ؛ ب) = 0 إذا وفقط إذا كانت المتجهات متعامدة أو كان أي من المتجهات يساوي 0.

4. التوزيع (αa + βb؛ c) = α (a؛ c) + β (b؛ c)

5. التعبير عن الناتج العددي لـ a و b بدلالة إحداثياتهما

https://pandia.ru/text/78/365/images/image093_8.gif "width =" 40 "height =" 11 src = ">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image095_8.gif "width =" 254 "height =" 13 src = ">

عندما يكون الشرط () ، h ، l = 1،2،3

https://pandia.ru/text/78/365/images/image098_7.gif "width =" 176 "height =" 21 src = ">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif "height =" 11 "> ويسمى المتجه الثالث الذي يحقق المعادلات التالية:

3. - الحق

خصائص المنتج المتجه:

4. نتاج متجه لناقلات الإحداثيات

أساس متعامد.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image109_7.gif "width =" 41 "height =" 11 src = ">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image111_8.gif "width =" 41 "height =" 11 src = ">

غالبًا ما يتم استخدام 3 رموز للإشارة إلى أنواع الأساس المتعامد

https://pandia.ru/text/78/365/images/image063_10.gif "width =" 77 "height =" 11 src = ">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image114_5.gif "width =" 549 "height =" 32 src = ">

إذا كان أساسًا متعامدًا ، إذن

DIV_ADBLOCK414 ">

خط مستقيم على مستوى. الترتيب المتبادل 2 خطوط مستقيمة. المسافة من نقطة إلى خط مستقيم. الزاوية بين خطين. حالة التوازي والعمودي لخطين مستقيمين.

1. حالة خاصة لموقع خطين مستقيمين على مستو.

1) - معادلة المحور الموازي المستقيم OX

2) - معادلة الخط المستقيم الموازي لمحور نظام التشغيل

2. الترتيب المتبادل لخطين مستقيمين.

نظرية 1 دع معادلات الخطوط تعطى فيما يتعلق بنظام إحداثيات أفيني

أ) فالشرط الضروري والكافي عند تقاطعهما هو:

ب) ثم الشرط الضروري والكافي لكون الخطوط متوازية هو الشرط:

ب) ثم الشرط الضروري والكافي للاندماج بين الخطوط في واحد هو الشرط:

3. المسافة من نقطة إلى خط.

نظرية. المسافة من نقطة إلى خط بالنسبة إلى نظام الإحداثيات الديكارتية:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image127_7.gif "width =" 34 "height =" 11 src = ">

4. الزاوية بين خطين مستقيمين. حالة عمودية.

دعنا نعطي خطين مستقيمين فيما يتعلق بنظام الإحداثيات الديكارتية بواسطة المعادلات العامة.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image133_4.gif "width =" 103 "height =" 11 src = ">

إذا كانت الخطوط متعامدة.

24 سؤال.

الطائرة في الفضاء. شرط التوافق للناقل والطائرة. المسافة من نقطة إلى مستوى. حالة التوازي والعمودي لطائرتين.

1. شرط التوافق للناقل والطائرة.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif "width =" 40 "height =" 11 src = ">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image140.jpg "alt =" (! LANG: Untitled4.jpg" width="111" height="39">!}

https://pandia.ru/text/78/365/images/image142_6.gif "width =" 86 "height =" 11 src = ">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image144_6.gif "width =" 148 "height =" 11 src = ">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image145.jpg "alt =" (! LANG: Untitled5.jpg" width="88" height="57">!}

https://pandia.ru/text/78/365/images/image147_6.gif "width =" 31 "height =" 11 src = ">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image148_4.gif "width =" 328 "height =" 24 src = ">

3. زاوية بين طائرتين. حالة عمودية.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image150_6.gif "width =" 132 "height =" 11 src = ">

إذا ، فإن الطائرات متعامدة.

25 سؤال.

خط مستقيم في الفضاء. أنواع مختلفةمعادلات الخط المستقيم في الفضاء.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image156_6.gif "width =" 111 "height =" 19 ">

2. معادلة المتجه لخط مستقيم في الفضاء.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif "width =" 40 "height =" 11 src = ">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image162_5.gif "width =" 44 "height =" 29 src = ">

4. المعادلة الأساسية مباشرة.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image164_4.gif "width =" 34 "height =" 18 src = ">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image166_EW "alt =" (! LANG: Untitled3.jpg" width="56" height="51"> !}

28 سؤال.

الشكل البيضاوي. خاتمة المعادلة المتعارف عليهاالشكل البيضاوي. استمارة. ملكيات

القطع الناقص هو موضع النقاط التي يكون فيها مجموع المسافات من مسافتين ثابتتين ، تسمى البؤر ، رقمًا معينًا 2 أ أكبر من المسافة 2 ج بين البؤر.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image195_4.gif "alt =" (! LANG: image002" width="17" height="23 id=">.gif" alt="الصورة 043" width="81 height=44" height="44"> 0=!}

في الشكل 2 r1 = a + ex r2 = a-ex

ظل الظل إلى القطع الناقص

DIV_ADBLOCK417 ">

المعادلة المتعارف عليها للقطع الزائد

شكل وسانت.

y = ± b / a اضرب بجذر (x2-a2)

محور التناظر للقطع الزائد هو محاوره

الجزء 2 أ - المحور الحقيقي للقطع الزائد

الانحراف e = 2c / 2a = c / a

إذا كان b = a نحصل على القطع الزائد متساوي الساقين

الخط المقارب هو خط مستقيم إذا كانت المسافة من النقطة إلى الخط المستقيم تميل إلى الصفر مع إزالة غير محدودة للنقطة M1 على طول المنحنى.

Lim d = 0 لـ x-> ∞

د = ba2 / (x1 + (x21-a2) 1/2 / ج)

ظل القطع الزائد

xx0 / a2 - yy0 / b2 = 1

القطع المكافئ - موضع النقاط على مسافة متساوية من نقطة تسمى البؤرة وخط معين يسمى الدليل

معادلة القطع المكافئ الكنسي

ملكيات

يمر محور تناظر القطع المكافئ عبر بؤرته ويكون عموديًا على الدليل

إذا قمت بتدوير القطع المكافئ ، تحصل على مكافئ بيضاوي

جميع القطع المكافئة متشابهة

السؤال 30. التحقيق في معادلة الشكل العام لمنحنى من الدرجة الثانية.

منحنى نوع def. بالمصطلحات الأولية A1 ، B1 ، C1

A1x12 + 2Bx1y1 + C1y12 + 2D1x1 + 2E1y1 + F1 = 0

1. AC = 0 -> منحنى من النوع المكافئ

أ = ج = 0 => 2Dx ​​+ 2Ey + F = 0

A ≠ 0 C = 0 => Ax2 + 2Dx + 2Ey + F = 0

إذا كانت E = 0 => Ax2 + 2Dx + F = 0

ثم x1 = x2 - يندمج في واحد

x1 ≠ x2 - الخطوط متوازية Oy

x1 ≠ x2 والجذور التخيلية ليس لها صورة هندسية

ج ≠ 0 أ = 0 => C1y12 + 2D1x1 + 2E1y1 + F1 = 0

الخلاصة: منحنى القطع المكافئ هو إما قطع مكافئ ، أو خطان متوازيان ، أو خيالي ، أو يندمج في واحد.

2.AC> 0 -> منحنى النوع الإهليلجي

استكمالًا للمعادلة الأصلية بالمربع الكامل ، نقوم بتحويلها إلى المعادلة الأساسية ، ثم نحصل على الحالات

(x-x0) 2 / a2 + (y-y0) 2 / b2 = 1 - القطع الناقص

(x-x0) 2 / a2 + (y-y0) 2 / b2 = -1 - القطع الناقص التخيلي

(x-x0) 2 / a2- (y-y0) 2 / b2 = 0 - النقطة ذات الإحداثيات x0 y0

الخلاصة: منحنى el. الكتابة هي إما قطع ناقص أو تخيلي أو نقطة

3. AC<0 - кривая гиперболического типа

(x-x0) 2 / a2- (y-y0) 2 / b2 = 1 القطع الزائد ، المحور الحقيقي الموازي

(x-x0) 2 / a2- (y-y0) 2 / b2 = -1 القطع الزائد ، المحور الحقيقي الموازي لـ Oy

(x-x0) 2 / a2- (y-y0) 2 / b2 = 0 ur-e لخطين

الخلاصة: منحنى النوع الزائدي هو إما القطع الزائد أو الخطين المستقيمين

في هذا الموضوع ، سننظر في مفهوم المصفوفة ، وكذلك أنواع المصفوفات. نظرًا لوجود الكثير من المصطلحات في هذا الموضوع ، سأضيف ملخصًا لتسهيل التنقل في المواد.

تعريف المصفوفة وعنصرها. الرموز.

مصفوفةهو جدول به $ m $ rows و $ n $ عمود. يمكن أن تكون عناصر المصفوفة كائنات ذات طبيعة متنوعة تمامًا: أرقام أو متغيرات أو ، على سبيل المثال ، مصفوفات أخرى. على سبيل المثال ، المصفوفة $ \ left (\ begin (array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \ end (array) \ right) $ بها 3 صفوف وعمودين ؛ عناصرها أعداد صحيحة. المصفوفة $ \ left (\ begin (array) (cccc) a & a ^ 9 + 2 & 9 & \ sin x \\ -9 & 3t ^ 2-4 & u-t & 8 \ end (array) \ right) $ تحتوي على صفين و 4 أعمدة.

طرق مختلفة لكتابة المصفوفات: إظهار \ إخفاء

يمكن كتابة المصفوفة ليس فقط بين قوسين دائريين ، ولكن أيضًا في أقواس مستقيمة مربعة أو مزدوجة. وهذا يعني أن الإدخالات أدناه تعني نفس المصفوفة:

$$ \ يسار (\ start (array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \ end (array) \ right)؛ \؛ \؛ \ يسار [\ start (array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \ end (array) \ right] ؛ \ ؛ \ ؛ \ يسار \ Vert \ start (مجموعة) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \ 8 & 0 \ end (array) \ right \ Vert $$

المنتج $ m \ مرات n $ يسمى حجم المصفوفة. على سبيل المثال ، إذا كانت المصفوفة تحتوي على 5 صفوف و 3 أعمدة ، فحينئذٍ يتحدث المرء عن مصفوفة 5 دولارات \ مرات 3 دولارات. المصفوفة $ \ left (\ begin (array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \ end (array) \ right) $ لها حجم $ 3 \ times 2 $.

عادةً ما يُرمز إلى المصفوفات بأحرف كبيرة من الأبجدية اللاتينية: $ A $ ، $ B $ ، $ C $ ، وهكذا. على سبيل المثال ، $ B = \ left (\ begin (array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \ end (array) \ right) $. ينتقل ترقيم الأسطر من أعلى إلى أسفل ؛ أعمدة - من اليسار إلى اليمين. على سبيل المثال ، يحتوي الصف الأول من المصفوفة $ B $ على العنصرين 5 و 3 ، ويحتوي العمود الثاني على العناصر 3 ، -87 ، 0.

عادة ما يتم الإشارة إلى عناصر المصفوفات بأحرف صغيرة. على سبيل المثال ، عناصر المصفوفة $ A $ يُرمز لها ب $ a_ (ij) $. يحتوي الفهرس المزدوج $ ij $ على معلومات حول موضع العنصر في المصفوفة. الرقم $ i $ هو رقم الصف ، والرقم $ j $ هو رقم العمود الذي يوجد عند تقاطع العنصر $ a_ (ij) $. على سبيل المثال ، عند تقاطع الصف الثاني والعمود الخامس من المصفوفة $ A = \ left (\ begin (array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \\ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \ end ($) = يقع ($))

وبالمثل ، عند تقاطع الصف الأول والعمود الأول ، لدينا العنصر $ a_ (11) = 51 $ ؛ عند تقاطع الصف الثالث والعمود الثاني - العنصر $ a_ (32) = - 15 $ وهكذا. لاحظ أن $ a_ (32) $ يُقرأ على أنه "a three two" لكن ليس "a two و 30".

للتسمية المختصرة للمصفوفة $ A $ ، حجمها يساوي $ m \ مرات n $ ، يتم استخدام الترميز $ A_ (m \ times n) $. يمكنك كتابة المزيد من التفاصيل:

$$ A_ (م \ مرات ن) = (أ_ (ij)) $$

حيث يشير الرمز $ (a_ (ij)) $ إلى عناصر المصفوفة $ A $. في شكل موسع بالكامل ، يمكن كتابة المصفوفة $ A_ (m \ times n) = (a_ (ij)) $ على النحو التالي:

$$ ا ) $$

لنقدم مصطلحًا آخر - مصفوفات متساوية.

يتم استدعاء مصفوفتين من نفس الحجم $ A_ (m \ times n) = (a_ (ij)) $ و $ B_ (m \ times n) = (b_ (ij)) $ متساويإذا كانت العناصر المقابلة لها متساوية ، أي $ a_ (ij) = b_ (ij) $ للجميع $ i = \ overline (1، m) $ و $ j = \ overline (1، n) $.

شرح الإدخال $ i = \ overline (1، m) $: إظهار \ إخفاء

الإدخال "$ i = \ overline (1، m) $" يعني أن المعامل $ i $ يتغير من 1 إلى m. على سبيل المثال ، يشير الإدخال $ i = \ overline (1،5) $ إلى أن المعلمة $ i $ تأخذ القيم 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5.

لذلك ، من أجل مساواة المصفوفات ، يلزم شرطين: تطابق الأحجام وتساوي العناصر المقابلة. على سبيل المثال ، المصفوفة $ A = \ left (\ begin (array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \ end (array) \ right) $ لا تساوي المصفوفة $ B = \ left (\ begin (array) (cc) 8 & -9 \\ 0 & -87 \ end (array) \ right) $ لأن المصفوفة $ A $ هي $ 3 \ مرات $ 2 $ و $ 2. أيضًا المصفوفة $ A $ لا تساوي المصفوفة $ C = \ left (\ begin (array) (cc) 5 & 3 \\ 98 & -87 \\ 8 & 0 \ end (array) \ right) $ لأن $ a_ (21) \ neq c_ (21) $ (أي $ 0 \ neq 98 $). لكن بالنسبة للمصفوفة $ F = \ left (\ begin (array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \ end (array) \ right) $ ، يمكننا كتابة $ A = F $ بأمان لأن كلا من الأحجام والعناصر المقابلة للمصفوفتين $ A $ و $ F $ متماثلان.

مثال 1

حدد حجم المصفوفة $ A = \ left (\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \\ 4 & 0 & -10 \\ \ end (array) \ right) $. حدد العناصر $ a_ (12) $، $ a_ (33) $، $ a_ (43) $ التي تساويها.

تحتوي هذه المصفوفة على 5 صفوف و 3 أعمدة ، لذا فإن حجمها 5 دولارات \ مرة 3 دولارات. يمكن أيضًا استخدام الترميز $ A_ (5 \ times 3) $ لهذه المصفوفة.

يقع العنصر $ a_ (12) $ عند تقاطع الصف الأول والعمود الثاني ، لذا $ a_ (12) = - 2 $. يقع العنصر $ a_ (33) $ عند تقاطع الصف الثالث والعمود الثالث ، لذا $ a_ (33) = 23 $. يقع العنصر $ a_ (43) $ عند تقاطع الصف الرابع والعمود الثالث ، لذا فإن $ a_ (43) = - 5 $.

إجابة: $ a_ (12) = - 2 $، $ a_ (33) = 23 $، $ a_ (43) = - 5 $.

أنواع المصفوفات حسب حجمها. الأقطار الرئيسية والجانبية. تتبع المصفوفة.

دعنا نعطي مصفوفة $ A_ (m \ times n) $. إذا كان $ m = 1 $ (تتكون المصفوفة من صف واحد) ، فسيتم استدعاء المصفوفة المعطاة صف المصفوفة. إذا كان $ n = 1 $ (تتكون المصفوفة من عمود واحد) ، فسيتم استدعاء هذه المصفوفة مصفوفة العمود. على سبيل المثال ، $ \ left (\ begin (array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \ end (array) \ right) $ عبارة عن مصفوفة صف ، و $ \ left (\ begin (array) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \ end (array) \ right) $ مصفوفة عمود.

إذا كان الشرط $ m \ neq n $ صحيحًا للمصفوفة $ A_ (m \ times n) $ (أي أن عدد الصفوف لا يساوي عدد الأعمدة) ، فيقال غالبًا أن $ A $ مصفوفة مستطيلة. على سبيل المثال ، المصفوفة $ \ left (\ begin (array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \ end (array) \ right) $ لها حجم $ 2 \ times 4 $ ، أي يحتوي على صفين و 4 أعمدة. نظرًا لأن عدد الصفوف لا يساوي عدد الأعمدة ، فإن هذه المصفوفة مستطيلة.

إذا كان الشرط $ m = n $ صحيحًا للمصفوفة $ A_ (m \ times n) $ (على سبيل المثال ، عدد الصفوف يساوي عدد الأعمدة) ، عندئذٍ يُقال إن $ A $ مصفوفة مربعة للطلب $ n $. على سبيل المثال ، $ \ left (\ begin (array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \ end (array) \ right) $ هي مصفوفة مربعة من الدرجة الثانية ؛ $ \ left (\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \ end (array) \ right) $ هي مصفوفة مربعة من الدرجة الثالثة. بشكل عام ، يمكن كتابة المصفوفة المربعة $ A_ (n \ times n) $ على النحو التالي:

$$ A_ (n \ times n) = \ left (\ start (array) (cccc) a_ (11) & a_ (12) & \ ldots & a_ (1n) \\ a_ (21) & a_ (22) & \ ldots & a_ (2n) \\ \ ldots & \ ldots & \ ldots & ldots & a_ots \ (n1) حق) $$

العناصر $ a_ (11) $، $ a_ (22) $، $ \ ldots $، $ a_ (nn) $ يقال إنها في قطري رئيسيالمصفوفات $ A_ (n \ times n) $. تسمى هذه العناصر العناصر القطرية الرئيسية(أو مجرد عناصر قطرية). العناصر $ a_ (1n) $، $ a_ (2 \؛ n-1) $، $ \ ldots $، $ a_ (n1) $ تعمل الجانب (الثانوي) قطري؛ يطلق عليهم عناصر قطرية ثانوية. على سبيل المثال ، بالنسبة للمصفوفة $ C = \ left (\ begin (array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 5 & 9 & 8 & 0 \\ 1 & 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6 \ end (array) \ right) $ لدينا:

العناصر $ c_ (11) = 2 $ ، $ c_ (22) = 9 $ ، $ c_ (33) = 4 $ ، $ c_ (44) = 6 $ هي العناصر القطرية الرئيسية ؛ العناصر $ c_ (14) = 1 $ ، $ c_ (23) = 8 $ ، $ c_ (32) = 0 $ ، $ c_ (41) = - 4 $ عناصر قطرية ثانوية.

يتم استدعاء مجموع العناصر القطرية الرئيسية متبوعة بمصفوفةويشار إليها بـ $ \ Tr A $ (أو $ \ Sp A $):

$$ \ Tr A = a_ (11) + a_ (22) + \ ldots + a_ (nn) $$

على سبيل المثال ، بالنسبة للمصفوفة $ C = \ left (\ begin (array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 5 & 9 & 8 & 0 \\ 1 & 0 & 4 & -7 \\ - 4 & -9 & 5 & 6 \ end (array) \ right) $ لدينا:

$$ \ Tr C = 2 + 9 + 4 + 6 = 21. $$

يستخدم مفهوم العناصر القطرية أيضًا في المصفوفات غير المربعة. على سبيل المثال ، بالنسبة للمصفوفة $ B = \ left (\ begin (array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & -7 & -6 \ end (array) \ right) $ ، ستكون العناصر القطرية الرئيسية $ b_ (11) = 2 $، $ b_ (22) = - 9 $، $ 4

أنواع المصفوفات حسب قيم عناصرها.

إذا كانت جميع عناصر المصفوفة $ A_ (m \ times n) $ تساوي الصفر ، فإن هذه المصفوفة تسمى باطلوعادة ما يشار إليه بالحرف $ O $. على سبيل المثال ، $ \ left (\ begin (array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \ end (array) \ right) $ ، $ \ left (\ begin (array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end (array) \ right) $ هي مصفوفات صفرية.

دع المصفوفة $ A_ (m \ times n) $ تبدو هكذا:

ثم تسمى هذه المصفوفة شبه منحرف. قد لا تحتوي على صفوف صفرية ، ولكن إذا كانت موجودة ، فهي موجودة في أسفل المصفوفة. في شكل أكثر عمومية ، يمكن كتابة المصفوفة شبه المنحرفة على النحو التالي:

مرة أخرى ، السلاسل الفارغة الزائدة اختيارية. أولئك. رسميًا ، يمكننا تحديد الشروط التالية لمصفوفة شبه منحرف:

1. جميع العناصر الموجودة أسفل القطر الرئيسي تساوي صفرًا.
2. كل العناصر من $ a_ (11) $ إلى $ a_ (rr) $ الكذب على القطر الرئيسي لا تساوي الصفر: $ a_ (11) \ neq 0، \؛ a_ (22) \ neq 0، \ ldots، a_ (rr) \ neq 0 $.
3. إما أن تكون جميع عناصر الصفوف $ m-r $ الأخيرة مساوية للصفر ، أو $ m = r $ (أي لا توجد صفوف صفرية على الإطلاق).

أمثلة على المصفوفات شبه المنحرفة:

دعنا ننتقل إلى التعريف التالي. المصفوفة $ A_ (م \ مرات n) $ تسمى صعدتإذا استوفت الشروط التالية:

على سبيل المثال ، ستكون مصفوفات الخطوة:

بالمقارنة ، المصفوفة $ \ left (\ begin (array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 8 & 7 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end (array) \ right) $ ليست مصفوفة خطوة لأن الصف الثالث له نفس الجزء الصفري مثل الصف الثاني. وهذا يعني أن مبدأ "الخط الأدنى - الجزء الصفري أكبر" يتم انتهاكه. سأضيف أن المصفوفة شبه المنحرفة هي حالة خاصة من المصفوفة المتدرجة.

دعنا ننتقل إلى التعريف التالي. إذا كانت جميع عناصر المصفوفة المربعة الموجودة أسفل القطر الرئيسي تساوي صفرًا ، فسيتم استدعاء هذه المصفوفة مصفوفة مثلثة عليا. على سبيل المثال ، $ \ left (\ begin (array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ end (array) \ right) $ هي مصفوفة مثلثة عليا. لاحظ أن تعريف المصفوفة المثلثية العليا لا يقول أي شيء عن قيم العناصر الموجودة فوق القطر الرئيسي أو على القطر الرئيسي. قد تكون أو لا تكون صفراً ، لا يهم. على سبيل المثال ، $ \ left (\ begin (array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end (array) \ right) $ هي أيضاً مصفوفة مثلثة عليا.

إذا كانت جميع عناصر المصفوفة المربعة الموجودة فوق القطر الرئيسي تساوي صفرًا ، فسيتم استدعاء هذه المصفوفة مصفوفة مثلثة سفلية. على سبيل المثال ، $ \ left (\ begin (array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end (array) \ right) $ هي مصفوفة مثلثة منخفضة. لاحظ أن تعريف المصفوفة المثلثية السفلية لا يقول أي شيء عن قيم العناصر الموجودة أدناه أو على القطر الرئيسي. قد تكون أو لا تكون فارغة ، لا يهم. على سبيل المثال ، $ \ Left (\ Begin (Array) (CCC) -5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 9 \ End (Array) \ Right) $ و $ \ Left (\ Begin (Array) 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 0 \\ 0 & 0 & 0 \ End (Array) \ Right) $ - أيضًا المصفوفات المثلثية السفلية.

تسمى المصفوفة المربعة قطريإذا كانت جميع عناصر هذه المصفوفة غير الموجودة على القطر الرئيسي تساوي صفرًا. مثال: $ \ left (\ begin (array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ end (array) \ right) $. يمكن أن تكون العناصر الموجودة على القطر الرئيسي أي شيء (تساوي صفرًا أو لا) - وهذا ليس ضروريًا.

تسمى المصفوفة القطرية أعزب، إذا كانت جميع عناصر هذه المصفوفة الموجودة على القطر الرئيسي تساوي 1. على سبيل المثال ، $ \ left (\ begin (array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end (array) \ right) $ - مصفوفة الهوية من الرتبة الرابعة ؛ $ \ left (\ begin (array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end (array) \ right) $ هي مصفوفة هوية الرتبة الثانية.