أوجد المصفوفة 1 مع معكوس المصفوفة. تعريف المصفوفة العكسية للوجود والتفرد

دعونا نعطي مصفوفة مربعة. مطلوب العثور على المصفوفة العكسية.

الطريقة الأولى. في النظرية 4.1 حول وجود وتفرد المصفوفة العكسية، تمت الإشارة إلى إحدى طرق العثور عليها.

1. احسب محدد المصفوفة المعطاة. إذا، فإن المصفوفة العكسية غير موجودة (المصفوفة متدهورة).

2. تكوين مصفوفة من المكملات الجبرية لعناصر المصفوفة.

3. من خلال تبديل المصفوفة، احصل على المصفوفة المرتبطة بها .

4. أوجد المصفوفة العكسية (4.1) عن طريق قسمة جميع عناصر المصفوفة المرتبطة بها على المحدد

الطريقة الثانية. للعثور على المصفوفة العكسية، يمكن استخدام التحويلات الأولية.

1. قم بتكوين مصفوفة كتلة عن طريق تعيين مصفوفة هوية المصفوفة المحددة بنفس الترتيب.

2. بمساعدة التحولات الأولية التي يتم إجراؤها على صفوف المصفوفة، قم بإحضار الكتلة اليسرى إلى أبسط شكل. في هذه الحالة يتم اختزال المصفوفة الكتلية إلى الشكل، حيث يتم الحصول على مصفوفة مربعة نتيجة التحولات من مصفوفة الهوية.

3. إذا كانت الكتلة مساوية للمصفوفة العكسية، أي إذا، فإن المصفوفة ليس لها معكوس.

في الواقع، بمساعدة التحولات الأولية لصفوف المصفوفة، يمكن تقليل الكتلة اليسرى إلى شكل مبسط (انظر الشكل 1.5). وفي هذه الحالة تتحول المصفوفة الكتلية إلى الشكل حيث تكون مصفوفة أولية تحقق المساواة. إذا كانت المصفوفة غير مفردة، فوفقًا للبند 2 من الملاحظات 3.3، يتطابق شكلها المبسط مع مصفوفة الهوية. ثم يترتب على المساواة ذلك. إذا كانت المصفوفة منحلة، فإن شكلها المبسط يختلف عن مصفوفة الهوية، وليس للمصفوفة معكوس.

11. معادلات المصفوفة وحلها. شكل مصفوفة لكتابة SLAE. طريقة المصفوفة (طريقة المصفوفة العكسية) لحل SLAE وشروط تطبيقها.

معادلات المصفوفة هي معادلات بالشكل: A*X=C; X*أ=ج; أ*س*ب=ج حيث المصفوفة أ، ب، جمعروفة، المصفوفة X غير معروفة، إذا لم تتحلل المصفوفات A و B، فسيتم كتابة حلول المصفوفات الأصلية بالشكل المقابل: X=A -1 *C; X=C*A -1; X \u003d أ -1 * ج * ب -1 شكل مصفوفة لأنظمة كتابة المعادلات الجبرية الخطية.يمكن ربط عدة مصفوفات بكل SLAE؛ علاوة على ذلك، يمكن كتابة SLAE نفسها كمعادلة مصفوفية. بالنسبة لـ SLAE (1)، ضع في اعتبارك المصفوفات التالية:

تسمى المصفوفة A مصفوفة النظام. عناصر هذه المصفوفة هي معاملات SLAE المحددة.

المصفوفة A˜ تسمى نظام المصفوفة الموسعة. ويتم الحصول عليه عن طريق إضافة عمود يحتوي على الأعضاء الأحرار b1,b2,...,bm إلى مصفوفة النظام. عادةً ما يتم فصل هذا العمود بخط عمودي من أجل الوضوح.

تسمى مصفوفة العمود B مصفوفة المصطلحات الحرة، ومصفوفة العمود X هي مصفوفة المجهول.

باستخدام الترميز المقدم أعلاه، يمكن كتابة SLAE (1) في شكل معادلة مصفوفية: A⋅X=B.

ملحوظة

يمكن كتابة المصفوفات المرتبطة بالنظام بطرق مختلفة: كل شيء يعتمد على ترتيب المتغيرات والمعادلات الخاصة بـ SLAE المدروسة. ولكن على أية حال، فإن ترتيب المجهولات في كل معادلة لـ SLAE معين يجب أن يكون هو نفسه.

تعتبر طريقة المصفوفة مناسبة لحل SLAEs التي يتزامن فيها عدد المعادلات مع عدد المتغيرات المجهولة ويكون محدد المصفوفة الرئيسية للنظام غير صفر. إذا كان النظام يحتوي على أكثر من ثلاث معادلات، فإن العثور على المصفوفة العكسية يتطلب جهدًا حسابيًا كبيرًا، لذلك، في هذه الحالة، ينصح باستخدامها للحل طريقة غاوس.

12. SLAEs المتجانسة، شروط وجود حلولها غير الصفرية. خصائص الحلول الجزئية لـ SLAEs المتجانسة.

تسمى المعادلة الخطية متجانسة إذا كان حدها الحر يساوي صفرًا، وغير متجانسة إذا كان حدها الحر يساوي صفرًا. يسمى النظام الذي يتكون من معادلات متجانسة متجانسة وله الشكل العام:

13 .مفهوم الاستقلال الخطي والاعتماد على حلول معينة SLAE متجانسة. نظام القرار الأساسي (FSR) ونتائجه. تمثيل الحل العام لـ SLAE المتجانس من حيث FSR.

نظام الوظيفة ذ 1 (س ), ذ 2 (س ), …, ذ ن (س ) يسمى تعتمد خطيافي الفاصل ( أ , ب ) إذا كانت هناك مجموعة من المعاملات الثابتة التي لا تساوي الصفر في وقت واحد، بحيث تكون المجموعة الخطية لهذه الوظائف مساوية للصفر على ( أ , ب ): ل . إذا كانت المساواة ممكنة فقط بالنسبة لنظام الوظائف ذ 1 (س ), ذ 2 (س ), …, ذ ن (س ) يسمى مستقل خطيافي الفاصل ( أ , ب ). وبعبارة أخرى، الوظائف ذ 1 (س ), ذ 2 (س ), …, ذ ن (س ) تعتمد خطيافي الفاصل ( أ , ب ) إذا كان هناك صفر على ( أ , ب ) مجموعتهم الخطية غير تافهة. المهام ذ 1 (س ),ذ 2 (س ), …, ذ ن (س ) مستقل خطيافي الفاصل ( أ , ب ) إذا كانت مجموعتها الخطية التافهة تساوي الصفر على ( أ , ب ).

نظام القرار الأساسي (FSR) SLAE المتجانس هو أساس نظام الأعمدة هذا.

عدد العناصر في FSR يساوي عدد العناصر المجهولة في النظام مطروحًا منه رتبة مصفوفة النظام. اي حل النظام الأصليهناك مزيج خطي قرارات FSR.

نظرية

الحل العام لـ SLAE غير المتجانس يساوي مجموع الحل الخاص لـ SLAE غير المتجانس والحل العام لـ SLAE المتجانس المقابل.

1 . إذا كانت الأعمدة عبارة عن حلول لنظام متجانس من المعادلات، فإن أي مجموعة خطية منها هي أيضًا حل لنظام متجانس.

والواقع أنه يترتب على المساواة أن

أولئك. مجموعة خطية من الحلول هي الحل لنظام متجانس.

2. إذا كانت رتبة مصفوفة النظام المتجانس هي، فإن النظام لديه حلول مستقلة خطيا.

وبالفعل يمكننا من خلال الصيغ (5.13) للحل العام للنظام المتجانس إيجاد حلول خاصة بإسناد ما يلي للمتغيرات الحرة مجموعات القيمة الافتراضية (في كل مرة نفترض أن أحد المتغيرات الحرة يساوي واحدًا، والباقي يساوي صفرًا):

والتي تكون مستقلة خطيا. وبالفعل، إذا تم تكوين مصفوفة من هذه الأعمدة، فإن صفوفها الأخيرة تشكل مصفوفة الهوية. ولذلك فإن القاصر الموجود في الصفوف الأخيرة لا يساوي صفراً (إنه يساوي واحداً)، أي. أساسي. وبالتالي فإن رتبة المصفوفة ستكون متساوية. ومن ثم، فإن جميع أعمدة هذه المصفوفة مستقلة خطيًا (انظر النظرية 3.4).

تسمى أي مجموعة من الحلول المستقلة خطيا لنظام متجانس النظام الأساسي (مجموعة) من الحلول .

14 قاصر من المرتبة الرابعة، قاصر أساسي، رتبة مصفوفة. حساب رتبة المصفوفة.

الرتبة k الثانوية للمصفوفة A هي المحدد لبعض مصفوفاتها الفرعية المربعة من الرتبة k.

في مصفوفة m x n A، يُطلق على المصفوفة الثانوية من الرتبة r اسم أساسي إذا كانت غير صفرية، وجميع المصفوفات الثانوية من الرتبة الأكبر، إذا كانت موجودة، تساوي الصفر.

تسمى أعمدة وصفوف المصفوفة A، عند تقاطعها قاعدة ثانوية، بالأعمدة والصفوف الأساسية للمصفوفة A.

النظرية 1. (على رتبة المصفوفة). بالنسبة لأي مصفوفة، الرتبة الثانوية تساوي رتبة الصف وتساوي رتبة العمود.

النظرية 2. (في القاصر الأساسي). يتحلل كل عمود من أعمدة المصفوفة إلى مجموعة خطية من أعمدتها الأساسية.

رتبة المصفوفة (أو رتبة ثانوية) يسمى ترتيب الأساس الثانوي أو، بمعنى آخر، الترتيب الأكبر الذي يوجد به ترتيب ثانوي غير صفري. تعتبر رتبة المصفوفة الصفرية، حسب التعريف، 0.

نلاحظ خاصيتين واضحتين للرتبة الثانوية.

1) لا تتغير رتبة المصفوفة عند النقل، حيث أنه عند نقل المصفوفة، يتم نقل جميع مصفوفاتها الفرعية ولا تتغير العناصر الثانوية.

2) إذا كانت A' عبارة عن مصفوفة فرعية للمصفوفة A، فإن رتبة A' لا تتجاوز رتبة A، نظرًا لأن القاصر غير الصفري الموجود في A' يتم تضمينه أيضًا في A.

15. مفهوم المتجهات الحسابية ذات الأبعاد. المساواة المتجهات. الإجراءات على المتجهات (الجمع، الطرح، الضرب برقم، الضرب بمصفوفة). مزيج خطي من المتجهات.

جمع أمر نتسمى الأعداد الحقيقية أو المركبة ناقلات الأبعاد ن. يتم استدعاء الأرقام إحداثيات المتجهات.

متجهان (غير صفر). أو بتكون متساوية إذا كانت متساوية الاتجاه ولها نفس المعامل. جميع المتجهات الصفرية تعتبر متساوية. وفي جميع الحالات الأخرى، فإن المتجهات ليست متساوية.

إضافة ناقلات. هناك طريقتان لإضافة ناقلات.1. قاعدة متوازي الأضلاع. لجمع المتجهات و، نضع أصول كل منهما في نفس النقطة. نكمل متوازي الأضلاع ونرسم قطري متوازي الأضلاع من نفس النقطة. سيكون هذا مجموع المتجهات.

2. الطريقة الثانية لإضافة المتجهات هي قاعدة المثلث. لنأخذ نفس المتجهات و . نضيف بداية الثانية إلى نهاية المتجه الأول. الآن دعونا نربط بداية الأول ونهاية الثانية. هذا هو مجموع المتجهات و . وبنفس القاعدة، يمكنك إضافة عدة ناقلات. نعلقها واحدة تلو الأخرى، ثم نربط بداية الأول بنهاية الأخير.

طرح المتجهات. يتم توجيه المتجه عكس المتجه. أطوال المتجهات متساوية. الآن أصبح من الواضح ما هو طرح المتجهات. الفرق بين المتجهات هو مجموع المتجه والمتجه.

ضرب المتجه برقم

يؤدي ضرب المتجه برقم k إلى الحصول على متجه يبلغ طوله k مرات مختلفة عن الطول. يكون اتجاهيًا مع المتجه إذا كانت k أكبر من الصفر، ويكون موجهًا بشكل معاكس إذا كانت k أقل من الصفر.

المنتج القياسي للمتجهات هو حاصل ضرب أطوال المتجهات وجيب تمام الزاوية بينهما.إذا كان المتجهان متعامدين، فإن حاصل ضربهما القياسي يساوي صفرًا. وهذه هي الطريقة التي يتم بها التعبير عن المنتج القياسي بدلالة إحداثيات المتجهات و .

مزيج خطي من المتجهات

مزيج خطي من المتجهات ناقلات المكالمة

أين - معاملات الجمع الخطية. لو ويسمى الجمع تافهًا إذا كان غير تافه.

16 .المنتج العددي للمتجهات الحسابية. طول المتجه والزاوية بين المتجهات. مفهوم تعامد المتجهات.

المنتج العددي للمتجهين a و b هو العدد

يتم استخدام المنتج القياسي لحساب: 1) إيجاد الزاوية بينهما؛ 2) إيجاد إسقاط المتجهات؛ 3) حساب طول المتجه؛ 4) شروط المتجهات المتعامدة.

طول القطعة AB هو المسافة بين النقطتين A وB. الزاوية بين المتجهين A و B تسمى الزاوية α = (a، c)، 0≥ α ≥П. ومن خلاله من الضروري تدوير متجه واحد بحيث يتزامن اتجاهه مع متجه آخر. بشرط أن تتزامن بداياتهما.

Orth a هو المتجه a الذي له وحدة طول واتجاه a.

17. نظام المتجهات ومجموعته الخطية. مفهوم الاعتماد الخطيواستقلال نظام المتجهات. نظرية الشروط الضرورية والكافية للاعتماد الخطي لنظام المتجهات.

يسمى نظام المتجهات a1,a2,...,an معتمدًا خطيًا إذا كان هناك أرقام π1,π2,...,ạn بحيث يكون واحد منها على الأقل غير صفر و π1a1+π2a2+...+Φnan=0 . خلاف ذلك، يسمى النظام مستقل خطيا.

يُسمى المتجهان a1 وa2 على خط واحد إذا كان اتجاههما متماثلًا أو متضادًا.

تسمى المتجهات الثلاثة a1 وa2 وa3 متحدة المستوى إذا كانت موازية لمستوى ما.

المعايير الهندسية للاعتماد الخطي:

أ) يعتمد النظام (a1,a2) خطيًا إذا كان المتجهان a1 وa2 على خط واحد فقط.

ب) يعتمد النظام (a1,a2,a3) خطيًا فقط إذا كانت المتجهات a1 وa2 وa3 متحدة المستوى.

نظرية. (شرط ضروري وكاف للاعتماد الخطي أنظمةثلاثة أبعاد.)

نظام المتجهات المتجه فضاءيكون خطيالا يعتمد إلا إذا تم التعبير عن أحد متجهات النظام خطيًا بدلالة المتجهات الأخرى المتجههذا النظام.

النتيجة.1. يكون نظام المتجهات في الفضاء المتجه مستقلاً خطيًا إذا وفقط إذا لم يتم التعبير عن أي من متجهات النظام خطيًا من حيث المتجهات الأخرى لهذا النظام.2. يعتمد نظام المتجهات الذي يحتوي على ناقل صفري أو متجهين متساويين خطيًا.

النظر في مشكلة تحديد العملية العكسية لضرب المصفوفة.

لتكن A مصفوفة مربعة من الرتبة n. المصفوفة A^(-1) ، والتي تحقق مع المصفوفة A المعطاة المساواة التالية:

A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E،

مُسَمًّى يعكس. تسمى المصفوفة A تفريغ، إذا كان هناك عكس لذلك، وإلا - لا رجعة فيه.

ويترتب على التعريف أنه إذا كانت المصفوفة العكسية A^(-1) موجودة، فهي كذلك إضافة مربعةنفس الترتيب مثل A . ومع ذلك، ليس كل مصفوفة مربعة لها معكوس. إذا كان محدد المصفوفة A يساوي صفر (\det(A)=0) ، فلا يوجد معكوس لها. في الواقع، بتطبيق نظرية محدد ضرب المصفوفات لمصفوفة الهوية E=A^(-1)A، نحصل على تناقض

\det(E)=\det(A^(-1)\cdot A)=\det(A^(-1))\det(A)=\det(A^(-1))\cdot0=0

حيث أن محدد مصفوفة الوحدة يساوي 1. وتبين أن الفرق من الصفر لمحدد المصفوفة المربعة هو الشرط الوحيد لوجود مصفوفة معكوسة. تذكر أن المصفوفة المربعة التي يساوي محددها الصفر تسمى منحلة (مفردة)، وإلا فهي غير مفردة (غير مفردة).

النظرية 4.1 حول وجود وتفرد المصفوفة العكسية. مصفوفة مربعة A=\begin(pmatrix)a_(11)&\cdots&a_(1n)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_(n1)&\cdots&a_(nn) \end(pmatrix)، الذي محدده غير صفر، لديه مصفوفة معكوسة، وعلاوة على ذلك، واحد فقط:

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot\! \begin(pmatrix)A_(11)&A_(21)&\cdots&A_(1n)\\ A_(12)&A_(22)&\cdots&A_(n2)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_(1n) )&A_(2n)&\cdots&A_(nn) \end(pmatrix)= \frac(1)(\det(A))\cdot A^(+),

حيث A^(+) هي المصفوفة المنقولة للمصفوفة المكونة من المكملات الجبرية لعناصر المصفوفة A .

تسمى المصفوفة A^(+). المصفوفة المرفقةفيما يتعلق بالمصفوفة A .

في الواقع، المصفوفة \frac(1)(\det(A))\,A^(+)موجود تحت الشرط \det(A)\ne0 . يجب أن نبين أنه معكوس لـ A، أي. يستوفي شرطين:

\begin(aligned)\mathsf(1))&~A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)=E;\\ \mathsf (2))&~ \!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)\!\cdot A=E.\end(محاذاة)

دعونا نثبت المساواة الأولى. وفقا للبند 4 من الملاحظات 2.3، يتبع من خصائص المحدد أن AA^(+)=\det(A)\cdot E. لهذا

A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)= \frac(1)(\det(A))\cdot AA^(+) = \frac(1)(\det(A))\cdot \det(A)\cdot E=E،

الذي كان من المقرر أن يظهر. وثبت المساواة الثانية بالمثل. ولذلك، في ظل الشرط \det(A)\ne0، فإن المصفوفة A لها معكوس

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+).

نثبت تفرد المصفوفة العكسية بالتناقض. دعونا بجانب المصفوفة A^(-1) توجد مصفوفة معكوسة أخرى B\,(B\ne A^(-1)) مثل AB=E . بضرب طرفي هذه المساواة على اليسار بالمصفوفة A^(-1) نحصل عليها \الدعامة السفلية(A^(-1)AB)_(E)=A^(-1)E. وبالتالي B=A^(-1) ، وهو ما يتعارض مع الافتراض B\ne A^(-1) . ولذلك، فإن المصفوفة العكسية فريدة من نوعها.

ملاحظات 4.1

1. يستنتج من التعريف أن المصفوفتين A وA^(-1) قابلتان للتغيير.

2. المصفوفة المعكوسة للقطري غير المنحل هي أيضًا قطرية:

\Bigl[\operatorname(diag)(a_(11),a_(22),\ldots,a_(nn))\Bigr]^(-1)= \operatorname(diag)\!\left(\frac(1) )(a_(11))),\,\frac(1)(a_(22)),\,\ldots,\,\frac(1)(a_(nn))\right)\!.

3. المصفوفة المعكوسة لمصفوفة مثلثية سفلية (علوية) غير متدهورة هي مثلثة سفلية (علوية).

4. المصفوفات الأولية لها معكوسات، وهي أولية أيضًا (انظر البند 1 من الملاحظات 1.11).

خصائص المصفوفة العكسية

تتميز عملية قلب المصفوفة بالخصائص التالية:

\begin(aligned)\bold(1.)&~~ (A^(-1))^(-1)=A\,;\\ \bold(2.)&~~ (AB)^(-1 )=B^(-1)A^(-1)\,;\\ \bold(3.)&~~ (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T\ ,;\\ \bold(4.)&~~ \det(A^(-1))=\frac(1)(\det(A))\,;\\ \bold(5.)&~~ E^(-1)=E\,. \end(محاذاة)

إذا كانت العمليات المشار إليها في المساواة 1-4 منطقية.

دعونا نثبت الخاصية 2: إذا كان المنتج AB غير منحط المصفوفات المربعةمن نفس الترتيب لديه مصفوفة معكوسة، ثم (AB)^(-1)=B^(-1)أ^(-1).

في الواقع، محدد حاصل ضرب المصفوفتين AB لا يساوي الصفر، إذًا

\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B)، أين \det(A)\ne0,~\det(B)\ne0

ولذلك، فإن المصفوفة العكسية (AB)^(-1) موجودة وفريدة من نوعها. دعونا نوضح بالتعريف أن المصفوفة B^(-1)A^(-1) معكوسة بالنسبة للمصفوفة AB . حقًا.

تُسمى المصفوفة $A^(-1)$ بعكس المصفوفة المربعة $A$ إذا كانت $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$، حيث $E $ هي مصفوفة الهوية، ترتيبها يساوي ترتيب المصفوفة $A$.

المصفوفة غير المفردة هي مصفوفة لا يساوي محددها الصفر. وبناء على ذلك، فإن المصفوفة المنحلة هي تلك التي يكون محددها يساوي الصفر.

المصفوفة العكسية $A^(-1)$ موجودة فقط إذا كانت المصفوفة $A$ غير مفردة. إذا كانت المصفوفة العكسية $A^(-1)$ موجودة، فهي فريدة من نوعها.

هناك عدة طرق للعثور على معكوس المصفوفة، وسننظر في اثنتين منها. ستناقش هذه الصفحة طريقة المصفوفة المجاورة، والتي تعتبر معيارًا في معظم دورات الرياضيات العليا. أما الطريقة الثانية لإيجاد المصفوفة العكسية (طريقة التحويلات الأولية) والتي تتضمن استخدام طريقة غاوس أو طريقة غاوس-جوردان فقد تناولناها في الجزء الثاني.

طريقة المصفوفة المجاورة (الاتحاد).

دع المصفوفة $A_(n\times n)$ تعطى. من أجل العثور على المصفوفة العكسية $A^(-1)$، يلزم ثلاث خطوات:

1. ابحث عن محدد المصفوفة $A$ وتأكد من أن $\Delta A\neq 0$، أي. أن المصفوفة A غير متحللة.
2. قم بتكوين المكملات الجبرية $A_(ij)$ لكل عنصر من عناصر المصفوفة $A$ واكتب المصفوفة $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ من الموجود المكملات الجبرية.
3. اكتب المصفوفة العكسية مع مراعاة الصيغة $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*)^T$.

غالبًا ما يشار إلى المصفوفة $(A^(*))^T$ على أنها المصفوفة المجاورة (المتبادلة والمتحالفة) لـ $A$.

إذا تم اتخاذ القرار يدويًا، فإن الطريقة الأولى تكون جيدة فقط لمصفوفات الطلبات الصغيرة نسبيًا: الثانية ()، الثالثة ()، الرابعة (). للعثور على المصفوفة العكسية لمصفوفة ذات ترتيب أعلى، يتم استخدام طرق أخرى. على سبيل المثال، طريقة غاوس، والتي تمت مناقشتها في الجزء الثاني.

مثال 1

ابحث عن المصفوفة المعكوسة للمصفوفة $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

بما أن جميع عناصر العمود الرابع تساوي الصفر، فإن $\Delta A=0$ (أي أن المصفوفة $A$ تتدهور). بما أن $\Delta A=0$، فلا يوجد مصفوفة معكوسة لـ $A$.

مثال رقم 2

أوجد المصفوفة المعكوسة للمصفوفة $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$.

نحن نستخدم طريقة المصفوفة المجاورة. أولاً، دعونا نوجد محدد المصفوفة المعطاة $A$:

$$ \دلتا أ=\يسار| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

بما أن $\Delta A \neq 0$، فإن المصفوفة العكسية موجودة، لذلك نواصل الحل. إيجاد المكملات الجبرية

\begin(محاذاة) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(محاذاة)

أنشئ مصفوفة من المكملات الجبرية: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

تبديل المصفوفة الناتجة: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (الناتج غالبًا ما تسمى المصفوفة بالمصفوفة المجاورة أو الموحدة للمصفوفة $A$). باستخدام الصيغة $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$، لدينا:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$

لذلك تم العثور على المصفوفة العكسية: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array) \صحيح) $. للتحقق من صحة النتيجة، يكفي التحقق من صحة إحدى المعادلتين: $A^(-1)\cdot A=E$ أو $A\cdot A^(-1)=E$. دعونا نتحقق من المساواة $A^(-1)\cdot A=E$. لكي نتمكن من العمل بشكل أقل مع الكسور، سنستبدل المصفوفة $A^(-1)$ ليس بالشكل $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$ ولكن كـ $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \ النهاية (مصفوفة )\يمين)$:

إجابة: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.

مثال رقم 3

أوجد معكوس المصفوفة $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$.

لنبدأ بحساب محدد المصفوفة $A$. إذن محدد المصفوفة $A$ هو:

$$ \دلتا أ=\يسار| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36+56-12=26. $$

بما أن $\Delta A\neq 0$، فإن المصفوفة العكسية موجودة، لذلك نواصل الحل. نجد المكملات الجبرية لكل عنصر من عناصر المصفوفة المعطاة:

نقوم بتكوين مصفوفة من الإضافات الجبرية ونقلها:

$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) $$

باستخدام الصيغة $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$، نحصل على:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 و -3/26 و 37/26 \end(صفيف) \يمين) $$

إذن $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 و -3/26 و 37/26 \end(array) \right)$. للتحقق من صحة النتيجة، يكفي التحقق من صحة إحدى المعادلتين: $A^(-1)\cdot A=E$ أو $A\cdot A^(-1)=E$. دعونا نتحقق من المساواة $A\cdot A^(-1)=E$. لكي نتمكن من العمل بشكل أقل مع الكسور، سنستبدل المصفوفة $A^(-1)$ ليس بالشكل $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$، ولكن كـ $\frac(1)(26)\ cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:

تم اجتياز الاختبار بنجاح، وتم العثور على المصفوفة العكسية $A^(-1)$ بشكل صحيح.

إجابة: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 و -3/26 و 37/26 \end(array) \right)$.

المثال رقم 4

ابحث عن معكوس المصفوفة $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.

بالنسبة لمصفوفة من الدرجة الرابعة، فإن العثور على المصفوفة العكسية باستخدام الإضافات الجبرية أمر صعب إلى حد ما. ومع ذلك، توجد مثل هذه الأمثلة في أعمال التحكم.

للعثور على المصفوفة العكسية، عليك أولاً حساب محدد المصفوفة $A$. أفضل طريقة للقيام بذلك في هذه الحالة هي توسيع المحدد في صف (عمود). نختار أي صف أو عمود ونجد المكمل الجبري لكل عنصر في الصف أو العمود المحدد.

عادة، يتم استخدام العمليات العكسية لتبسيط التعبيرات الجبرية المعقدة. على سبيل المثال، إذا كانت المسألة تحتوي على عملية القسمة على كسر، فيمكنك استبدالها بعملية الضرب بالمقلوب، وهي العملية العكسية. علاوة على ذلك، لا يمكن تقسيم المصفوفات، لذا عليك الضرب في المصفوفة العكسية. يعد حساب معكوس مصفوفة 3x3 أمرًا مملاً للغاية، لكن يجب أن تكون قادرًا على القيام بذلك يدويًا. يمكنك أيضًا العثور على المقلوب باستخدام آلة حاسبة رسومية جيدة.

خطوات

باستخدام المصفوفة المرفقة

تبديل المصفوفة الأصلية.التحويل هو استبدال الصفوف بالأعمدة بالنسبة إلى القطر الرئيسي للمصفوفة، أي أنك تحتاج إلى تبديل العناصر (i، j) و (j، i). في هذه الحالة، لا تتغير عناصر القطر الرئيسي (يبدأ في الزاوية اليسرى العليا وينتهي في الزاوية اليمنى السفلى).

• لاستبدال صفوف بأعمدة، اكتب عناصر الصف الأول في العمود الأول، وعناصر الصف الثاني في العمود الثاني، وعناصر الصف الثالث في العمود الثالث. يظهر ترتيب تغيير موضع العناصر في الشكل، حيث يتم وضع دائرة حول العناصر المقابلة بدوائر ملونة.

أوجد تعريف كل مصفوفة 2x2.يرتبط كل عنصر في أي مصفوفة، بما في ذلك العنصر المنقول، بمصفوفة 2x2 مقابلة. للعثور على مصفوفة 2x2 تتوافق مع عنصر معين، قم بشطب الصف والعمود الذي يوجد فيه هذا العنصر، أي أنك تحتاج إلى شطب خمسة عناصر من المصفوفة الأصلية 3x3. ستبقى العناصر الأربعة التي تمثل عناصر مصفوفة 2x2 المقابلة غير مشطبة.

• على سبيل المثال، للعثور على مصفوفة 2x2 للعنصر الموجود عند تقاطع الصف الثاني والعمود الأول، قم بشطب العناصر الخمسة الموجودة في الصف الثاني والعمود الأول. العناصر الأربعة المتبقية هي عناصر مصفوفة 2x2 المقابلة.
• أوجد محدد كل مصفوفة 2×2. للقيام بذلك، اطرح منتج عناصر القطر الثانوي من منتج عناصر القطر الرئيسي (انظر الشكل).
• يمكن العثور على معلومات تفصيلية حول مصفوفات 2x2 المقابلة لعناصر معينة من مصفوفة 3x3 على الإنترنت.

إنشاء مصفوفة من العوامل المساعدة.سجل النتائج التي تم الحصول عليها سابقًا في شكل مصفوفة جديدة من العوامل المساعدة. للقيام بذلك، اكتب المحدد الموجود لكل مصفوفة 2x2 حيث يوجد العنصر المقابل للمصفوفة 3x3. على سبيل المثال، إذا كنت تفكر في مصفوفة 2x2 للعنصر (1،1)، فاكتب محددها في الموضع (1،1). ثم قم بتغيير علامات العناصر المقابلة حسب نمط معين كما هو موضح في الشكل.

• مخطط تغيير الإشارة: لا تتغير إشارة العنصر الأول من السطر الأول؛ معكوسة إشارة العنصر الثاني من السطر الأول؛ ولا تتغير إشارة العنصر الثالث من السطر الأول، وهكذا سطرًا سطرًا. يرجى ملاحظة أن العلامتين "+" و"-" الموضحتين في الرسم التخطيطي (انظر الشكل)، لا تشيران إلى أن العنصر المقابل سيكون موجبًا أو سالبًا. وفي هذه الحالة تشير علامة "+" إلى أن علامة العنصر لم تتغير، وعلامة "-" تشير إلى أن علامة العنصر قد تغيرت.
• يمكن العثور على معلومات تفصيلية حول مصفوفات العوامل المساعدة على الإنترنت.
• هذه هي الطريقة التي تجد بها المصفوفة المرتبطة بالمصفوفة الأصلية. ويطلق عليها أحيانًا المصفوفة المترافقة المعقدة. يُشار إلى هذه المصفوفة بالصفة (M).

اقسم كل عنصر من عناصر المصفوفة المجاورة على المحدد.تم حساب محدد المصفوفة M في البداية للتأكد من وجود المصفوفة العكسية. الآن قم بتقسيم كل عنصر من عناصر المصفوفة المجاورة على هذا المحدد. سجل نتيجة كل عملية قسمة حيث يوجد العنصر المقابل. لذلك سوف تجد المصفوفة، معكوس الأصل.

• محدد المصفوفة الموضحة في الشكل هو 1. وبالتالي فإن المصفوفة المرتبطة هنا هي المصفوفة العكسية (لأن قسمة أي رقم على 1 لا يغيره).
• في بعض المصادر، يتم استبدال عملية القسمة بعملية الضرب بـ 1/det(M). وفي هذه الحالة لا تتغير النتيجة النهائية.

اكتب المصفوفة العكسية.اكتب العناصر الموجودة على النصف الأيمن من المصفوفة الكبيرة في صورة مصفوفة منفصلة، ​​وهي معكوس المصفوفة.

أدخل المصفوفة الأصلية في ذاكرة الآلة الحاسبة.للقيام بذلك، انقر فوق زر المصفوفة، إذا كان متاحًا. بالنسبة لآلة حاسبة Texas Instruments، قد تحتاج إلى الضغط على الزرين الثاني والمصفوفة.

حدد قائمة التحرير.قم بذلك باستخدام أزرار الأسهم أو زر الوظيفة المقابل الموجود أعلى لوحة مفاتيح الآلة الحاسبة (يعتمد موقع الزر على طراز الآلة الحاسبة).

أدخل تسمية المصفوفة.يمكن لمعظم الآلات الحاسبة الرسومية العمل مع 3 إلى 10 مصفوفات، والتي يمكن الإشارة إليها الحروف أ-ي. كقاعدة عامة، ما عليك سوى اختيار [A] للإشارة إلى المصفوفة الأصلية. ثم اضغط على زر الإدخال.

أدخل حجم المصفوفة.تتحدث هذه المقالة عن المصفوفات 3x3. لكن الآلات الحاسبة الرسومية يمكنها العمل مع المصفوفات أحجام كبيرة. أدخل عدد الصفوف، ثم اضغط على زر Enter، ثم أدخل عدد الأعمدة واضغط على زر Enter مرة أخرى.

أدخل كل عنصر من عناصر المصفوفة.سيتم عرض المصفوفة على شاشة الآلة الحاسبة. إذا تم بالفعل إدخال مصفوفة في الآلة الحاسبة من قبل، فسوف تظهر على الشاشة. سيسلط المؤشر الضوء على العنصر الأول في المصفوفة. أدخل قيمة العنصر الأول واضغط على Enter. سينتقل المؤشر تلقائيًا إلى العنصر التالي في المصفوفة.

نواصل الحديث عن الإجراءات مع المصفوفات. وهي، خلال دراسة هذه المحاضرة، سوف تتعلم كيفية العثور على المصفوفة العكسية. يتعلم. حتى لو كانت الرياضيات ضيقة.

ما هي المصفوفة العكسية؟ هنا يمكننا رسم تشبيه مع أرقام عكسية: خذ على سبيل المثال الرقم المتفائل 5 ومقلوبه . حاصل ضرب هذه الأعداد يساوي واحدًا: . إنه نفس الشيء مع المصفوفات! حاصل ضرب المصفوفة ومعكوسها هو - مصفوفة الهوية، وهو المصفوفة التناظرية للوحدة العددية. لكن أولًا، سنحل مسألة عملية مهمة، وهي أننا سنتعلم كيفية إيجاد هذه المصفوفة المعكوسة.

ما الذي تحتاج إلى معرفته وتكون قادرًا على العثور على المصفوفة العكسية؟ يجب أن تكون قادرًا على اتخاذ القرار المحددات. يجب أن تفهم ما هو مصفوفةوتكون قادرة على القيام ببعض الإجراءات معهم.

هناك طريقتان رئيسيتان للعثور على المصفوفة العكسية:
باستخدام الإضافات الجبريةو باستخدام التحولات الأولية.

اليوم سوف ندرس الطريقة الأولى والأسهل.

لنبدأ بالأكثر فظاعة وغير المفهومة. يعتبر مربعمصفوفة . يمكن العثور على المصفوفة العكسية باستخدام الصيغة التالية:

أين محدد المصفوفة، هو المصفوفة المنقولة للمكملات الجبرية للعناصر المقابلة للمصفوفة.

مفهوم المصفوفة العكسية موجود فقط للمصفوفات المربعة، المصفوفات "اثنان في اثنين"، "ثلاثة في ثلاثة"، وما إلى ذلك.

الرموز: كما لاحظت بالفعل، يُشار إلى معكوس المصفوفة بخط مرتفع

لنبدأ بأبسط حالة - مصفوفة رتبة اثنين في اثنين. في أغلب الأحيان، بالطبع، مطلوب "ثلاثة في ثلاثة"، ولكن، مع ذلك، أوصي بشدة بدراسة مهمة أبسط للتعلم المبدأ العامحلول.

مثال:

أوجد معكوس المصفوفة

نحن نقرر. يتم تقسيم تسلسل الإجراءات بسهولة إلى نقاط.

1) أولا نجد محدد المصفوفة.

إذا لم يكن فهم هذا الإجراء جيدًا، فاقرأ المادة كيفية حساب المحدد؟

مهم!إذا كان محدد المصفوفة هو صفر- مصفوفة معكوسة غير موجود.

في المثال قيد النظر، كما اتضح، مما يعني أن كل شيء في محله.

2) العثور على مصفوفة القصر.

لحل مشكلتنا، ليس من الضروري معرفة ما هو القاصر، ولكن من المستحسن قراءة المقال كيفية حساب المحدد.

مصفوفة القاصرين لها نفس أبعاد المصفوفة، في هذه الحالة.
الحالة صغيرة، ويبقى العثور على أربعة أرقام ووضعها بدلا من العلامات النجمية.

العودة إلى المصفوفة لدينا
دعونا نلقي نظرة على العنصر العلوي الأيسر أولاً:

كيفية العثور عليه صغير?
ويتم ذلك على النحو التالي: قم بشطب الصف والعمود الذي يوجد فيه هذا العنصر عقليًا:

العدد المتبقي هو طفيفة من العنصر المحدد، والتي نكتبها في مصفوفة القصر لدينا:

خذ بعين الاعتبار عنصر المصفوفة التالي:

قم بشطب الصف والعمود الذي يوجد فيه هذا العنصر عقليًا:

ما تبقى هو الأصغر من هذا العنصر، والذي نكتبه في المصفوفة لدينا:

وكذلك نعتبر عناصر الصف الثاني ونجد صغراتها:


مستعد.

انه سهل. في مصفوفة القصر، تحتاج علامات التغييرلرقمين:

هذه هي الأرقام التي قمت بوضع دائرة حولها!

هي مصفوفة المكملات الجبرية للعناصر المقابلة للمصفوفة .

وشيء فقط…

4) أوجد المصفوفة المنقولة للإضافات الجبرية.

هي المصفوفة المنقولة للمكملات الجبرية للعناصر المقابلة للمصفوفة.

5) الإجابة.

تذكر صيغتنا
تم العثور على كل شيء!

وبالتالي فإن المصفوفة العكسية هي:

من الأفضل ترك الإجابة كما هي. لا حاجةاقسم كل عنصر من عناصر المصفوفة على 2، حيث سيتم الحصول على أرقام كسرية. تمت مناقشة هذا الفارق الدقيق بمزيد من التفصيل في نفس المقالة. الإجراءات مع المصفوفات.

كيفية التحقق من الحل؟

ويجب إجراء ضرب المصفوفة أيضًا

فحص:

سبق ذكرها مصفوفة الهويةعبارة عن مصفوفة بها وحدات قطري الرئيسيوالأصفار في أماكن أخرى.

وهكذا تم العثور على المصفوفة العكسية بشكل صحيح.

إذا قمت بإجراء ما، فستكون النتيجة أيضًا مصفوفة هوية. هذه إحدى الحالات القليلة التي يكون فيها ضرب المصفوفات قابلاً للتبديل، ويمكن العثور على مزيد من المعلومات في المقالة خصائص العمليات على المصفوفات. تعبيرات المصفوفة. لاحظ أيضًا أنه أثناء الفحص، يتم تقديم الثابت (الكسر) ومعالجته في النهاية - بعد ضرب المصفوفة. هذا هو اتخاذ القياسية.

دعنا ننتقل إلى حالة أكثر شيوعًا عمليًا - المصفوفة ثلاثة في ثلاثة:

مثال:

أوجد معكوس المصفوفة

الخوارزمية هي نفسها تمامًا كما في حالة اثنين في اثنين.

نجد المصفوفة العكسية بالصيغة: حيث توجد المصفوفة المنقولة للمكملات الجبرية للعناصر المقابلة للمصفوفة.

1) أوجد محدد المصفوفة.

وهنا يتم الكشف عن المحدد على السطر الأول.

ولا تنسَ أيضًا ذلك، مما يعني أن كل شيء على ما يرام - المصفوفة العكسية موجودة.

2) العثور على مصفوفة القصر.

مصفوفة القاصرين لها البعد "ثلاثة في ثلاثة" وعلينا العثور على تسعة أرقام.

سألقي نظرة على اثنين من القاصرين بالتفصيل:

خذ بعين الاعتبار عنصر المصفوفة التالي:

قم بشطب الصف والعمود الذي يوجد فيه هذا العنصر عقليًا:

أما الأعداد الأربعة المتبقية فتكتب في المحدد "اثنان في اثنين"

هذا اثنين من اثنين المحدد و هو قاصر من العنصر المحدد. يجب أن يتم حسابها:


هذا كل شيء، تم العثور على القاصر، نكتبه في مصفوفة القاصرين لدينا:

كما كنت قد خمنت، هناك تسعة محددات اثنين في اثنين يجب حسابها. العملية، بالطبع، كئيبة، لكن القضية ليست الأصعب، يمكن أن تكون أسوأ.

حسنًا، للتوحيد - العثور على قاصر آخر في الصور:

حاول حساب بقية القاصرين بنفسك.

النتيجة النهائية:
هي مصفوفة القاصرين من العناصر المقابلة للمصفوفة .

إن حقيقة أن جميع القاصرين كانت سلبية هي مجرد صدفة.

3) أوجد مصفوفة الإضافات الجبرية.

في مصفوفة القاصرين، فمن الضروري علامات التغييربدقة للعناصر التالية:

في هذه الحالة:

لا يتم النظر في العثور على المصفوفة العكسية لمصفوفة "أربعة في أربعة"، حيث أن المعلم السادي فقط هو الذي يمكنه إعطاء مثل هذه المهمة (لكي يقوم الطالب بحساب محدد "أربعة في أربعة" و 16 محددًا "ثلاثة في ثلاثة") . في ممارستي، لم يكن هناك سوى حالة واحدة من هذا القبيل، والعميل مراقبة العملدفعت ثمن عذابي غالياً =).

في عدد من الكتب المدرسية والأدلة، يمكنك العثور على طريقة مختلفة قليلاً للعثور على المصفوفة العكسية، لكنني أوصي باستخدام خوارزمية الحل المذكورة أعلاه. لماذا؟ لأن احتمال الخلط في الحسابات والإشارات أقل بكثير.