خصائص الخط المستقيم في الهندسة الإقليدية.

هناك عدد لا نهائي من الخطوط التي يمكن رسمها من خلال أي نقطة.

من خلال أي نقطتين غير متطابقتين ، يوجد خط مستقيم واحد فقط.

يتقاطع خطان غير متطابقين في المستوى عند نقطة واحدة ، أو يتقاطعان

متوازي (يتبع من السابق).

هناك ثلاثة خيارات في الفضاء ثلاثي الأبعاد. الموقف النسبيخطان مستقيمان:

• تتقاطع الخطوط

• الخطوط المستقيمة متوازية

• تتقاطع الخطوط المستقيمة.

مستقيم خط- منحنى جبري من الدرجة الأولى: في نظام الإحداثيات الديكارتية ، خط مستقيم

تُعطى على المستوى بمعادلة من الدرجة الأولى (معادلة خطية).

المعادلة العامة للخط المستقيم.

تعريف. يمكن إعطاء أي خط في المستوى بمعادلة من الدرجة الأولى

آه + وو + ج = 0 ،

وثابت أ ، بلا يساوي الصفر في نفس الوقت. هذه المعادلة من الدرجة الأولى تسمى عام

معادلة الخط المستقيم.بالاعتماد على قيم الثوابت أ ، بو معالحالات الخاصة التالية ممكنة:

. ج = 0 ، 0 ، ب 0- الخط يمر عبر الأصل

. أ = 0 ، ب 0 ، ج 0 (ب + ج = 0)- خط مستقيم موازي للمحور أوه

. ب = 0 ، أ ≠ 0 ، ج 0 (فأس + ج = 0)- خط مستقيم موازي للمحور OU

. ب = ج = 0 ، أ ≠ 0- يتطابق الخط مع المحور OU

. أ = ج = 0 ، ب 0- يتطابق الخط مع المحور أوه

يمكن تمثيل معادلة الخط المستقيم في أشكال مختلفةاعتمادا على أي معين

الشروط الأولية.

معادلة الخط المستقيم بنقطة والمتجه العادي.

تعريف. في نظام إحداثيات مستطيل ديكارتي ، متجه به مكونات (أ ، ب)

عمودي على الخط المعطى بالمعادلة

آه + وو + ج = 0.

مثال. أوجد معادلة الخط المستقيم المار بنقطة أ (1 ، 2)عمودي على المتجه (3, -1).

حل. لنؤلف في A \ u003d 3 و B \ u003d -1 معادلة الخط المستقيم: 3x - y + C \ u003d 0. لإيجاد المعامل C

نعوض بإحداثيات النقطة المعطاة A في التعبير الناتج ، ونحصل على: 3 - 2 + C = 0 ، لذلك

ج = -1. المجموع: المعادلة المرغوبة: 3 س - ص - 1 \ u003d 0.

معادلة خط مستقيم يمر بنقطتين.

دعنا نعطي نقطتين في الفضاء م 1 (س 1 ، ص 1 ، ض 1)و M2 (× 2 ، ص 2 ، ض 2) ،ثم معادلة الخط المستقيم,

يمر عبر هذه النقاط:

إذا كان أي من المقامات يساوي صفرًا ، فيجب أن يكون البسط المقابل مساويًا للصفر. على

المستوى ، معادلة الخط المستقيم المكتوبة أعلاه مبسطة:

لو × 1 × 2و س = س 1، لو س 1 = س 2 .

جزء = كمُسَمًّى عامل الانحدار مستقيم.

مثال. أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطتين أ (1 ، 2) ، ب (3 ، 4).

حل. بتطبيق الصيغة أعلاه ، نحصل على:

معادلة الخط المستقيم بنقطة وميل.

إذا كانت المعادلة العامة للخط المستقيم آه + وو + ج = 0أحضر إلى النموذج:

وتعيين ، ثم يتم استدعاء المعادلة الناتجة

معادلة الخط المستقيم بميله k.

معادلة الخط المستقيم على نقطة ومتجه الاتجاه.

بالتشابه مع النقطة مع الأخذ في الاعتبار معادلة الخط المستقيم من خلال المتجه العادي ، يمكنك إدخال المهمة

خط مستقيم يمر بنقطة ومتجه الاتجاه لخط مستقيم.

تعريف. كل متجه غير صفري (α 1، α 2)، مكوناتها تفي بالشرط

أ 1 + ب 2 = 0مُسَمًّى ناقل الاتجاه للخط المستقيم.

آه + وو + ج = 0.

مثال. أوجد معادلة الخط المستقيم مع متجه الاتجاه (1 ، -1) ويمر بالنقطة أ (1 ، 2).

حل. سنبحث عن معادلة الخط المستقيم المطلوب بالشكل: الفأس + ب + ج = 0.حسب التعريف ،

يجب أن تستوفي المعاملات الشروط:

1 * أ + (-1) * ب = 0 ، أي أ = ب.

ثم تأخذ معادلة الخط المستقيم الشكل: الفأس + آي + ج = 0 ،أو س + ص + ج / أ = 0.

في س = 1 ، ص = 2نحن نحصل ج / أ = -3، أي. المعادلة المرغوبة:

س + ص - 3 = 0

معادلة خط مستقيم في مقاطع.

إذا كانت المعادلة العامة للخط المستقيم Ah + Wu + C = 0 C ≠ 0 ، عند القسمة على -C ، نحصل على:

او اين

المعنى الهندسيالمعاملات في أن المعامل a هو تنسيق نقطة التقاطع

مباشرة مع المحور أوه،أ ب- إحداثيات نقطة تقاطع الخط مع المحور OU.

مثال. يتم إعطاء المعادلة العامة للخط المستقيم س - ص + 1 = 0.أوجد معادلة هذا الخط المستقيم في أجزاء.

C \ u003d 1،، a \ u003d -1، b \ u003d 1.

المعادلة العادية للخط المستقيم.

إذا كان كلا طرفي المعادلة آه + وو + ج = 0قسمة على الرقم ، من اتصل

عامل التطبيع، ثم نحصل عليه

xcosφ + ysinφ - ع = 0 -المعادلة العادية للخط المستقيم.

يجب اختيار علامة ± لعامل التطبيع بحيث μ * ج< 0.

ص- انخفاض طول العمود العمودي من الأصل إلى الخط ،

أ φ - الزاوية المتكونة من هذا العمودي مع الاتجاه الإيجابي للمحور أوه.

مثال. بالنظر إلى المعادلة العامة للخط المستقيم 12 س - 5 ص - 65 = 0. مطلوب للكتابة أنواع مختلفةالمعادلات

هذا الخط المستقيم.

معادلة هذا الخط المستقيم في مقاطع:

معادلة هذا الخط مع المنحدر: (اقسم على 5)

معادلة الخط المستقيم:

كوس φ = 12/13 ؛ الخطيئة φ = -5/13 ؛ ص = 5.

وتجدر الإشارة إلى أنه لا يمكن تمثيل كل خط مستقيم بمعادلة في مقاطع ، على سبيل المثال ، الخطوط المستقيمة ،

بالتوازي مع المحاور أو يمر عبر الأصل.

الزاوية بين الخطوط على المستوى.

تعريف. إذا أعطيت سطرين ص \ u003d ك 1 س + ب 1 ، ص \ u003d ك 2 س + ب 2، ثم الزاوية الحادة بين هذه الخطوط

سيتم تعريفه على أنه

خطان متوازيان إذا ل 1 = ك 2. خطان متعامدان

لو ك 1 \ u003d -1 / ك 2 .

نظرية.

مباشر آه + وو + ج = 0و أ 1 س + ب 1 ص + ج 1 \ u003d 0متوازية عندما تكون المعاملات متناسبة

أ 1 \ u003d λA ، B 1 \ u003d λB. إذا كان كذلك С 1 \ u003d λС، ثم تتطابق الخطوط. إحداثيات نقطة تقاطع خطين

تم العثور عليها كحل لنظام معادلات هذه الخطوط.

معادلة الخط المار بنقطة معينة تكون عمودية على خط معين.

تعريف. خط يمر بنقطة م 1 (× 1 ، ص 1)وعمودي على الخط ص = ك س + ب

ممثلة بالمعادلة:

المسافة من نقطة إلى خط.

نظرية. إذا أعطيت نقطة م (× 0 ، ص 0) ،ثم المسافة إلى الخط آه + وو + ج = 0معرف ك:

دليل. دع النقطة م 1 (× 1 ، ص 1)- اسقطت قاعدة العمود العمودي من النقطة ملاجل منحه

مباشر. ثم المسافة بين النقطتين مو م 1:

(1)

إحداثيات × 1و 1يمكن إيجادها كحل لنظام المعادلات:

المعادلة الثانية للنظام هي معادلة خط مستقيم يمر نقطة معينةم 0 عمودي

سطر معين. إذا قمنا بتحويل المعادلة الأولى للنظام إلى النموذج:

أ (س - س 0) + ب (ص - ص 0) + فأس 0 + ب 0 + ج = 0 ،

ثم نحصل على الحل:

بالتعويض عن هذه التعبيرات في المعادلة (1) ، نجد:

لقد تم إثبات النظرية.

معادلة خط يمر عبر نقطة معينة في اتجاه معين. معادلة خط مستقيم يمر بنقطتين معينتين. الزاوية بين خطين. حالة التوازي والعمودي لخطين. تحديد نقطة تقاطع خطين

1. معادلة خط يمر عبر نقطة معينة أ(x 1 , ذ 1) في اتجاه معين ، يحدده الميل ك,

ذ - ذ 1 = ك(x - x 1). (1)

تحدد هذه المعادلة قلم رصاص من الخطوط التي تمر عبر نقطة أ(x 1 , ذ 1) ، وهو ما يسمى بمركز الحزمة.

2. معادلة خط مستقيم يمر بنقطتين: أ(x 1 , ذ 1) و ب(x 2 , ذ 2) مكتوب على النحو التالي:

يتم تحديد ميل الخط المستقيم الذي يمر عبر نقطتين محددتين بواسطة الصيغة

3. الزاوية بين الخطوط المستقيمة أو بهي الزاوية التي يجب أن يدور بها أول خط مستقيم أحول نقطة تقاطع هذه الخطوط عكس اتجاه عقارب الساعة حتى يتزامن مع الخط الثاني ب. إذا تم إعطاء خطين بواسطة معادلات الميل

ذ = ك 1 x + ب 1 ,

المعادلات الأساسية للخط المستقيم في الفضاء هي معادلات تحدد خطًا مستقيمًا يمر عبر نقطة معينة بشكل متواصل إلى متجه اتجاه.

دعونا نعطي نقطة ومتجه الاتجاه. نقطة اعتباطية تقع على خط لفقط إذا كانت المتجهات وخطية متداخلة ، أي أنها تفي بالشرط:

.

المعادلات أعلاه هي المعادلات الأساسية للخط.

أعداد م , نو صهي إسقاطات متجه الاتجاه على محاور الإحداثيات. بما أن المتجه غير صفري ، فكل الأرقام م , نو صلا يمكن أن تكون صفرا في نفس الوقت. لكن واحد أو اثنين منهم قد يكون صفرا. في الهندسة التحليلية ، على سبيل المثال ، يُسمح بالتدوين التالي:

,

مما يعني أن إسقاطات المتجه على المحاور أويو أوزتساوي الصفر. لذلك ، يكون كل من المتجه والخط المستقيم المعطى بواسطة المعادلات الأساسية متعامدين على المحاور أويو أوز، أي الطائرات yOz .

مثال 1اكتب معادلات لخط مستقيم في الفراغ المتعامد مع المستوى ويمر عبر نقطة تقاطع هذا المستوى مع المحور أوز .

حل. أوجد نقطة تقاطع المستوى المحدد مع المحور أوز. منذ أي نقطة على المحور أوز، لها إحداثيات ، بافتراض معادلة المستوى المعطاة س = ص = 0 ، نحصل على 4 ض- 8 = 0 أو ض= 2. لذلك ، نقطة تقاطع المستوى المحدد مع المحور أوزله إحداثيات (0 ؛ 0 ؛ 2). نظرًا لأن الخط المطلوب عمودي على المستوى ، فهو موازي لمتجه العادي. لذلك ، يمكن أن يكون المتجه العادي بمثابة ناقل توجيه للخط المستقيم طائرة معينة.

نكتب الآن المعادلات المرغوبة للخط المستقيم الذي يمر بالنقطة أ= (0 ؛ 0 ؛ 2) في اتجاه المتجه:

معادلات خط مستقيم يمر بنقطتين معينتين

يمكن تعريف الخط المستقيم بنقطتين عليه و في هذه الحالة ، يمكن أن يكون متجه التوجيه للخط المستقيم هو المتجه. ثم تأخذ المعادلات الأساسية للخط الشكل

.

تحدد المعادلات أعلاه خطًا مستقيمًا يمر عبر نقطتين معينتين.

مثال 2اكتب معادلة خط مستقيم في الفراغ يمر بالنقطتين و.

حل. نكتب المعادلات المرغوبة للخط المستقيم بالشكل الموضح أعلاه في المرجع النظري:

.

منذ ذلك الحين ، يكون الخط المطلوب عموديًا على المحور أوي .

مستقيم كخط تقاطع طائرات

يمكن تعريف الخط المستقيم في الفضاء على أنه خط تقاطع مستويين غير متوازيين ، أي كمجموعة من النقاط التي ترضي نظامًا من معادلتين خطيتين

تسمى معادلات النظام أيضًا المعادلات العامة للخط المستقيم في الفضاء.

مثال 3قم بتكوين معادلات أساسية لخط مستقيم في الفراغ المعطى بواسطة المعادلات العامة

حل. لكتابة المعادلات الأساسية لخط مستقيم أو ، وهي نفسها ، معادلة خط مستقيم يمر بنقطتين معينتين ، تحتاج إلى إيجاد إحداثيات أي نقطتين على الخط المستقيم. يمكن أن تكون بمثابة نقاط تقاطع لخط مستقيم مع أي خطين تنسيق الطائرات، على سبيل المثال yOzو xOz .

نقطة تقاطع خط مع مستوى yOzلديه حدودي x= 0. لذلك ، مع افتراض في هذا النظام من المعادلات x= 0 ، نحصل على نظام به متغيرين:

قرارها ذ = 2 , ض= 6 مع x= 0 يحدد نقطة أ(0 ؛ 2 ؛ 6) من الخط المطلوب. بافتراض ذلك في نظام المعادلات المعطى ذ= 0 ، نحصل على النظام

قرارها x = -2 , ض= 0 مع ذ= 0 يحدد نقطة ب(-2 ؛ 0 ؛ 0) تقاطع خط مع مستوى xOz .

نكتب الآن معادلات الخط المستقيم الذي يمر بالنقاط أ(0 ؛ 2 ؛ 6) و ب (-2; 0; 0) :

,

أو بعد قسمة المقام على -2:

,

دعونا نعطي نقطتين م(X 1 ,في 1) و ن(X 2,ذ 2). لنجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر عبر هذه النقاط.

لأن هذا الخط يمر بالنقطة م، ثم وفقًا للصيغة (1.13) يكون لمعادلتها الشكل

في – ص 1 = ك(X-x 1),

أين كهو المنحدر غير المعروف.

يتم تحديد قيمة هذا المعامل من الحالة التي يمر بها الخط المستقيم المطلوب عبر النقطة ن، مما يعني أن إحداثياته ​​تحقق المعادلة (1.13)

ص 2 – ص 1 = ك(X 2 – X 1),

من هنا يمكنك إيجاد منحدر هذا الخط:

,

أو بعد التحويل

(1.14)

تحدد الصيغة (1.14) معادلة خط يمر بنقطتين م(X 1, ص 1) و ن(X 2, ص 2).

في حالة معينة عندما تكون النقاط م(أ, 0), ن(0, ب), أ ¹ 0, ب¹ 0 ، تقع على محاور الإحداثيات ، تأخذ المعادلة (1.14) شكلاً أبسط

المعادلة (1.15)مُسَمًّى معادلة خط مستقيم في مقاطع، هنا أو بتشير إلى مقاطع مقطوعة بخط مستقيم على المحاور (الشكل 1.6).

الشكل 1.6

المثال 1.10. اكتب معادلة الخط المستقيم المار بالنقاط م(1 ، 2) و ب(3, –1).

. وفقًا لـ (1.14) ، فإن معادلة الخط المستقيم المطلوب لها الشكل

2(ص – 2) = -3(X – 1).

نقل جميع المصطلحات إلى الجانب الأيسر ، نحصل أخيرًا على المعادلة المطلوبة

3X + 2ص – 7 = 0.

المثال 1.11. اكتب معادلة لخط يمر بنقطة م(2 ، 1) ونقطة تقاطع الخطوط X+ ص- 1 = 0, X - ذ+ 2 = 0.

. نوجد إحداثيات نقطة تقاطع المستقيمين بحل هاتين المعادلتين معًا

إذا أضفنا هذه المعادلات مصطلحًا تلو الآخر ، فسنحصل على 2 X+ 1 = 0 ، من أين. بالتعويض عن القيمة التي تم العثور عليها في أي معادلة ، نجد قيمة الإحداثي في:

لنكتب الآن معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين (2 ، 1) و:

أو .

ومن ثم أو -5 ( ص – 1) = X – 2.

أخيرًا ، نحصل على معادلة الخط المستقيم المطلوب في النموذج X + 5ص – 7 = 0.

المثال 1.12. أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقاط م(2.1) و ن(2,3).

باستخدام الصيغة (1.14) نحصل على المعادلة

لا معنى له لأن المقام الثاني هو صفر. يمكن أن يُلاحظ من حالة المشكلة أن حدود كلا النقطتين لها نفس القيمة. ومن ثم ، فإن الخط المطلوب موازٍ للمحور OYومعادلتها هي: x = 2.

تعليق . إذا تبين عند كتابة معادلة خط مستقيم وفقًا للصيغة (1.14) أن أحد المقامات يساوي صفرًا ، فيمكن الحصول على المعادلة المرغوبة عن طريق معادلة البسط المقابل بالصفر.

دعونا نفكر في طرق أخرى لرسم خط مستقيم على مستوى.

1. دع المتجه غير الصفري يكون عموديًا على خط معين إل، والنقطة م 0(X 0, ص 0) على هذا الخط (الشكل 1.7).

الشكل 1.7

دل م(X, ص) نقطة اعتباطية على الخط إل. ناقلات و متعامد. باستخدام شروط التعامد لهذه النواقل ، نحصل على أو أ(X – X 0) + ب(ص – ص 0) = 0.

لقد حصلنا على معادلة الخط المستقيم الذي يمر بنقطة م 0 عمودي على المتجه. هذا المتجه يسمى ناقلات الطبيعي إلى خط مستقيم إل. يمكن إعادة كتابة المعادلة الناتجة كـ

أوه + وو + مع= 0 ، أين مع = –(أX 0 + بواسطة 0), (1.16),

أين أو فيهي إحداثيات المتجه الطبيعي.

نحصل على المعادلة العامة للخط المستقيم في الصورة البارامترية.

2. يمكن تعريف الخط الموجود على المستوى على النحو التالي: دع المتجه غير الصفري يكون موازيًا لخط معين إلونقطة م 0(X 0, ص 0) تقع على هذا الخط. مرة أخرى ، خذ نقطة اعتباطية م(X، y) على خط مستقيم (الشكل 1.8).

الشكل 1.8

ناقلات و علاقة خطية متداخلة.

دعونا نكتب حالة العلاقة الخطية المتداخلة لهذه المتجهات: أين تيهو رقم تعسفي يسمى المعلمة. لنكتب هذه المساواة في الإحداثيات:

تسمى هذه المعادلات المعادلات البارامترية مستقيم. دعونا نستبعد المعلمة من هذه المعادلات تي:

يمكن كتابة هذه المعادلات في النموذج

. (1.18)

يتم استدعاء المعادلة الناتجة المعادلة المتعارف عليهامستقيم. دعوة المتجهات اتجاه متجه مستقيم .

تعليق . من السهل أن نرى ما إذا كان المتجه الطبيعي للخط إل، ثم يمكن أن يكون متجه الاتجاه هو المتجه ، منذ ذلك الحين ، أي.

المثال 1.13. اكتب معادلة خط مستقيم يمر بنقطة م 0 (1 ، 1) موازية للخط 3 X + 2في– 8 = 0.

حل . المتجه هو المتجه الطبيعي للخطوط المحددة والمطلوبة. لنستخدم معادلة الخط المستقيم المار بنقطة م 0 مع متجه عادي معين 3 ( X –1) + 2(في- 1) = 0 أو 3 X + 2 س- 5 \ u003d 0. حصلنا على معادلة الخط المستقيم المطلوب.

تعريف.يمكن إعطاء أي خط في المستوى بمعادلة من الدرجة الأولى

آه + وو + ج = 0 ،

والثوابت أ ، ب لا تساوي صفرًا في نفس الوقت. هذه المعادلة من الدرجة الأولى تسمى المعادلة العامة للخط المستقيم.اعتمادا على القيم ثابت أ ، بو C ، الحالات الخاصة التالية ممكنة:

C \ u003d 0 ، A ≠ 0 ، B ≠ 0 - يمر الخط عبر الأصل

A \ u003d 0 ، B ≠ 0 ، C ≠ 0 (By + C \ u003d 0) - الخط موازٍ لمحور Ox

B \ u003d 0 ، A ≠ 0 ، C ≠ 0 (Ax + C \ u003d 0) - الخط موازٍ لمحور Oy

B \ u003d C \ u003d 0 ، A ≠ 0 - يتطابق الخط المستقيم مع محور Oy

A \ u003d C \ u003d 0 ، B 0 - يتزامن الخط المستقيم مع محور Ox

يمكن تقديم معادلة الخط المستقيم بأشكال مختلفة اعتمادًا على أي شروط أولية معينة.

معادلة الخط المستقيم بنقطة والمتجه العادي

تعريف.في نظام الإحداثيات المستطيل الديكارتي ، يكون المتجه ذو المكونات (أ ، ب) عموديًا على الخط المعطى بواسطة المعادلة Ax + By + C = 0.

مثال. أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة أ (1 ، 2) عموديًا على (3 ، -1).

حل. عند A = 3 و B = -1 ، نكوّن معادلة الخط المستقيم: 3x - y + C = 0. لإيجاد المعامل C ، نعوض بإحداثيات النقطة المعطاة A في التعبير الناتج. نحصل على: 3 - 2 + C = 0 ، لذلك C = -1. المجموع: المعادلة المرغوبة: 3 س - ص - 1 \ u003d 0.

معادلة خط يمر بنقطتين

دع نقطتين M 1 (x 1 ، y 1 ، z 1) و M 2 (x 2 ، y 2 ، z 2) تُعطى في الفراغ ، ثم معادلة الخط المستقيم الذي يمر عبر هذه النقاط:

إذا كان أي من المقامات يساوي صفرًا ، يجب أن يكون البسط المقابل مساويًا للصفر. على المستوى ، يتم تبسيط معادلة الخط المستقيم المكتوبة أعلاه:

إذا كانت x 1 ≠ x 2 و x = x 1 إذا كانت x 1 = x 2.

الكسر = k يسمى عامل الانحدارمستقيم.

مثال. أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطتين أ (1 ، 2) ، ب (3 ، 4).

حل.بتطبيق الصيغة أعلاه ، نحصل على:

معادلة خط مستقيم من نقطة وميل

إذا كان مجموع Ax + Wu + C = 0 يؤدي إلى النموذج:

وتعيين ، ثم يتم استدعاء المعادلة الناتجة معادلة الخط المستقيم بميلك.

معادلة الخط المستقيم مع متجه النقطة والاتجاه

بالتشابه مع النقطة مع الأخذ في الاعتبار معادلة الخط المستقيم من خلال المتجه العادي ، يمكنك إدخال تعيين خط مستقيم من خلال نقطة ومتجه توجيه لخط مستقيم.

تعريف.كل متجه غير صفري (α 1 ، α 2) ، مكوناته التي تفي بالشرط A α 1 + B α 2 = 0 يسمى متجه التوجيه للخط

آه + وو + ج = 0.

مثال. أوجد معادلة الخط المستقيم مع متجه الاتجاه (1 ، -1) ويمر بالنقطة أ (1 ، 2).

حل.سنبحث عن معادلة الخط المستقيم المطلوب بالشكل: Ax + By + C = 0. وفقًا للتعريف ، يجب أن تستوفي المعاملات الشروط:

1 * أ + (-1) * ب = 0 ، أي أ = ب.

ثم تكون معادلة الخط المستقيم بالشكل: Ax + Ay + C = 0 ، أو x + y + C / A = 0. بالنسبة إلى x = 1 ، y = 2 نحصل على C / A = -3 ، أي المعادلة المرغوبة:

معادلة خط مستقيم في مقاطع

إذا كانت المعادلة العامة للخط المستقيم Ah + Wu + C = 0 C ≠ 0 ، عند القسمة على –C ، نحصل على: أو

المعنى الهندسي للمعاملات هو أن المعامل أهو إحداثيات نقطة تقاطع الخط مع المحور السيني ، و ب- إحداثيات نقطة تقاطع الخط المستقيم مع محور Oy.

مثال.بالنظر إلى المعادلة العامة للخط x - y + 1 = 0. أوجد معادلة هذا الخط في المقاطع.

C \ u003d 1،، a \ u003d -1، b \ u003d 1.

المعادلة العادية للخط المستقيم

إذا تم ضرب طرفي المعادلة Ax + Vy + C = 0 في العدد ، من اتصل عامل التطبيع، ثم نحصل عليه

xcosφ + ysinφ - ع = 0 -

المعادلة العادية للخط المستقيم. يجب اختيار علامة ± لعامل التطبيع بحيث تكون μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

مثال. بالنظر إلى المعادلة العامة للخط 12x - 5y - 65 = 0. مطلوب كتابة أنواع مختلفة من المعادلات لهذا الخط.

معادلة هذا الخط المستقيم في مقاطع:

معادلة هذا الخط بالميل: (اقسم على 5)

؛ كوس φ = 12/13 ؛ الخطيئة φ = -5/13 ؛ ص = 5.

وتجدر الإشارة إلى أنه لا يمكن تمثيل كل خط مستقيم بمعادلة في مقاطع ، على سبيل المثال ، خطوط مستقيمة موازية للمحاور أو تمر عبر الأصل.

مثال. يقطع الخط المستقيم مقاطع موجبة متساوية على محاور الإحداثيات. اكتب معادلة الخط المستقيم إذا كانت مساحة المثلث المكونة من هذين المقطعين 8 سم 2.

حل.معادلة الخط المستقيم لها الشكل: ، أب / 2 = 8 ؛ أب = 16 ؛ أ = 4 ، أ = -4. أ = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

مثال. اكتب معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة أ (-2 ، -3) والأصل.

حل. معادلة الخط المستقيم لها الشكل: ، حيث x 1 \ u003d y 1 \ u003d 0 ؛ × 2 \ u003d -2 ؛ ص 2 \ u003d -3.

الزاوية بين الخطوط على المستوى

تعريف.إذا تم إعطاء خطين y = k 1 x + b 1 ، y = k 2 x + b 2 ، فسيتم تعريف الزاوية الحادة بين هذين الخطين على أنها

.

خطان متوازيان إذا ك 1 = ك 2. يكون الخطان متعامدين إذا كان k 1 = -1 / k 2.

نظرية.الخطوط المستقيمة Ax + Vy + C \ u003d 0 و A 1 x + B 1 y + C 1 \ u003d 0 تكون متوازية عندما تكون المعاملات A 1 \ u003d λA ، B 1 \ u003d λB متناسبة. إذا كانت С 1 = λС أيضًا ، فإن الخطوط تتطابق. تم إيجاد إحداثيات نقطة تقاطع سطرين كحل لنظام معادلات هذين المستقيمين.

معادلة خط يمر عبر نقطة معينة عمودية على خط معين

تعريف.يتم تمثيل الخط المار بالنقطة M 1 (x 1، y 1) والعمودي على الخط y \ u003d kx + b بالمعادلة:

المسافة من نقطة إلى خط

نظرية.إذا تم إعطاء نقطة M (x 0 ، y 0) ، فإن المسافة إلى الخط Ax + Vy + C \ u003d 0 يتم تعريفها على أنها

.

دليل.اجعل النقطة M 1 (x 1، y 1) هي قاعدة العمود العمودي المسقط من النقطة M إلى الخط المعطى. ثم المسافة بين النقطتين M و M 1:

(1)

يمكن إيجاد إحداثيات x 1 و y 1 كحل لنظام المعادلات:

المعادلة الثانية للنظام هي معادلة الخط المستقيم الذي يمر عبر نقطة معينة M 0 متعامدة على خط مستقيم معين. إذا قمنا بتحويل المعادلة الأولى للنظام إلى النموذج:

أ (س - س 0) + ب (ص - ص 0) + فأس 0 + ب 0 + ج = 0 ،

ثم نحصل على الحل:

بالتعويض عن هذه التعبيرات في المعادلة (1) ، نجد:

لقد تم إثبات النظرية.

مثال. حدد الزاوية بين السطور: y = -3 x + 7 ؛ ص = 2 س + 1.

ك 1 \ u003d -3 ؛ ك 2 = 2 ؛ tgφ = ؛ φ = π / 4.

مثال. بيّن أن الخطين 3x - 5y + 7 = 0 و 10x + 6y - 3 = 0 عموديان.

حل. نجد: ك 1 \ u003d 3/5 ، ك 2 \ u003d -5/3 ، ك 1 * ك 2 \ u003d -1 ، لذلك ، الخطوط متعامدة.

مثال. يتم إعطاء رؤوس المثلث أ (0 ؛ 1) ، ب (6 ؛ 5) ، ج (12 ؛ -1). أوجد معادلة الارتفاع المرسوم من الرأس C.

حل. نجد معادلة الضلع AB: ؛ 4 س = 6 ص - 6 ؛

2x - 3y + 3 = 0 ؛

معادلة الارتفاع المطلوبة هي: Ax + By + C = 0 أو y = kx + b. ك =. ثم y =. لأن يمر الارتفاع بالنقطة C ، ثم تحقق إحداثياته ​​هذه المعادلة: من أين ب = 17. المجموع:.

الجواب: 3 س + 2 ص - 34 = 0.