نوع الوظيفة: 7

حالة

الخط y=3x+2 مماس للرسم البياني للدالة y=-12x^2+bx-10. أوجد b ، بشرط أن يكون الحد الأقصى لنقطة التماس أقل من الصفر.

عرض الحل

حل

اجعل x_0 هو الحد الفاصل للنقطة على الرسم البياني للدالة y=-12x^2+bx-10 التي يمر من خلالها ظل هذا الرسم البياني.

قيمة المشتق عند النقطة x_0 تساوي ميل المماس، أي y"(x_0)=-24x_0+b=3. ومن ناحية أخرى، تنتمي نقطة الظل إلى كل من الرسم البياني للدالة والرسم البياني الظل، أي -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. نحصل على نظام من المعادلات \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(الحالات)

لحل هذا النظام، نحصل على x_0^2=1، وهو ما يعني إما x_0=-1 أو x_0=1. وفقًا لحالة الإحداثي السيني، تكون نقاط التماس أقل من الصفر، وبالتالي x_0=-1، ثم b=3+24x_0=-21.

إجابة

نوع الوظيفة: 7
الموضوع: المعنى الهندسي للمشتق. الظل إلى وظيفة الرسم البياني

حالة

الخط y=-3x+4 يوازي مماس الرسم البياني للدالة y=-x^2+5x-7. العثور على نهاية نقطة الاتصال.

عرض الحل

حل

ميل الخط إلى الرسم البياني للدالة y=-x^2+5x-7 عند نقطة عشوائية x_0 هو y"(x_0). لكن y"=-2x+5، لذا y"(x_0)=- 2x_0+5.معامل الخط الزاوي y=-3x+4 المحدد في الشرط هو -3.الخطوط المتوازية لها نفس المنحدرات.لذلك، نجد مثل هذه القيمة x_0 التي =-2x_0 +5=-3.

نحصل على: x_0 = 4.

إجابة

المصدر: "الرياضيات. التحضير للامتحان-2017. مستوى الملف الشخصي. إد. F. F. ليسينكو، S. Yu.Kulabukhova.

نوع الوظيفة: 7
الموضوع: المعنى الهندسي للمشتق. الظل إلى وظيفة الرسم البياني

حالة

عرض الحل

حل

من الشكل، نحدد أن المماس يمر بالنقطتين A(-6; 2) و B(-1; 1). نشير بـ C(-6; 1) إلى نقطة تقاطع الخطين x=-6 و y=1، وبـ \alpha الزاوية ABC (يمكن أن نرى في الشكل أنها حادة). ثم يشكل الخط AB زاوية منفرجة \pi -\alpha مع الاتجاه الموجب لمحور الثور.

كما تعلم، tg(\pi -\alpha) ستكون قيمة مشتقة الدالة f(x) عند النقطة x_0. لاحظ أن tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15.ومن هنا ومن خلال صيغ التخفيض نحصل على: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0.2.

إجابة

المصدر: "الرياضيات. التحضير للامتحان-2017. مستوى الملف الشخصي. إد. F. F. ليسينكو، S. Yu.Kulabukhova.

نوع الوظيفة: 7
الموضوع: المعنى الهندسي للمشتق. الظل إلى وظيفة الرسم البياني

حالة

الخط y=-2x-4 مماس للرسم البياني للدالة y=16x^2+bx+12. أوجد b ، إذا كان الإحداثي الإحداثي لنقطة التماس أكبر من الصفر.

عرض الحل

حل

اجعل x_0 هو الحد الفاصل للنقطة على الرسم البياني للدالة y=16x^2+bx+12 التي من خلالها

هو مماس لهذا الرسم البياني.

قيمة المشتق عند النقطة x_0 تساوي ميل المماس، أي y "(x_0)=32x_0+b=-2. ومن ناحية أخرى، تنتمي نقطة الظل إلى كل من الرسم البياني للدالة والظل، أي 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 نحصل على نظام من المعادلات \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(الحالات)

لحل النظام، نحصل على x_0^2=1، وهو ما يعني إما x_0=-1 أو x_0=1. وفقًا لحالة الإحداثي السيني، تكون نقاط اللمس أكبر من الصفر، وبالتالي x_0=1، ثم b=-2-32x_0=-34.

إجابة

المصدر: "الرياضيات. التحضير للامتحان-2017. مستوى الملف الشخصي. إد. F. F. ليسينكو، S. Yu.Kulabukhova.

نوع الوظيفة: 7
الموضوع: المعنى الهندسي للمشتق. الظل إلى وظيفة الرسم البياني

حالة

يوضح الشكل رسمًا بيانيًا للدالة y=f(x) المحددة في الفاصل الزمني (-2؛ 8). حدد عدد النقاط التي يكون فيها مماس الرسم البياني للدالة موازيًا للخط المستقيم y=6.

عرض الحل

حل

الخط y=6 موازي لمحور الثور. لذلك، نجد مثل هذه النقاط التي يكون فيها مماس الرسم البياني للدالة موازيا لمحور الثور. على هذا الرسم البياني، هذه النقاط هي النقاط القصوى (الحد الأقصى أو الحد الأدنى من النقاط). كما ترون، هناك 4 نقاط متطرفة.

إجابة

المصدر: "الرياضيات. التحضير للامتحان-2017. مستوى الملف الشخصي. إد. F. F. ليسينكو، S. Yu.Kulabukhova.

نوع الوظيفة: 7
الموضوع: المعنى الهندسي للمشتق. الظل إلى وظيفة الرسم البياني

حالة

الخط y=4x-6 يوازي مماس الرسم البياني للدالة y=x^2-4x+9. العثور على نهاية نقطة الاتصال.

عرض الحل

حل

ميل المماس للرسم البياني للدالة y \u003d x ^ 2-4x + 9 عند نقطة تعسفية x_0 هو y "(x_0). لكن y" \u003d 2x-4، مما يعني y "(x_0) \ u003d 2x_0-4. ميل المماس y \u003d 4x-7 المحدد في الشرط يساوي 4. الخطوط المتوازية لها نفس المنحدرات. لذلك نجد مثل هذه القيمة x_0 التي 2x_0-4 \u003d 4. نحصل عليها : x_0 \u003d 4.

إجابة

المصدر: "الرياضيات. التحضير للامتحان-2017. مستوى الملف الشخصي. إد. F. F. ليسينكو، S. Yu.Kulabukhova.

نوع الوظيفة: 7
الموضوع: المعنى الهندسي للمشتق. الظل إلى وظيفة الرسم البياني

حالة

يوضح الشكل الرسم البياني للدالة y=f(x) والمماس لها عند النقطة مع الإحداثي السيني x_0. أوجد قيمة مشتقة الدالة f(x) عند النقطة x_0.

عرض الحل

حل

من الشكل، نحدد أن المماس يمر بالنقطتين A(1; 1) و B(5;4). تشير بـ C(5; 1) إلى نقطة تقاطع الخطين x=5 و y=1، وبـ \alpha الزاوية BAC (يمكن ملاحظة أنها حادة في الشكل). ثم يشكل الخط AB زاوية \alpha مع الاتجاه الموجب لمحور الثور.

خذ بعين الاعتبار الشكل التالي:

يُظهر بعض الوظائف y = f(x) القابلة للاشتقاق عند النقطة a. تم وضع علامة على النقطة M بالإحداثيات (أ؛ و(أ)). من خلال نقطة تعسفية P(a + ∆x; f(a + ∆x)) من الرسم البياني، يتم رسم قاطع MP.

إذا تم الآن إزاحة النقطة P على طول الرسم البياني إلى النقطة M، فإن الخط المستقيم MP سوف يدور حول النقطة M. في هذه الحالة، سوف يميل ∆x إلى الصفر. من هنا يمكننا صياغة تعريف المماس للرسم البياني للدالة.

الظل إلى وظيفة الرسم البياني

ظل الرسم البياني للدالة هو الموضع المحدد للقاطع عندما تميل زيادة الوسيطة إلى الصفر. يجب أن يكون مفهوما أن وجود مشتق الدالة f عند النقطة x0 يعني أنه عند هذه النقطة من الرسم البياني يوجد الظلله.

في هذه الحالة، سيكون ميل المماس مساويًا لمشتقة هذه الدالة عند هذه النقطة f’(x0). هذا هو المعنى الهندسي للمشتق. ظل الرسم البياني للدالة f القابلة للاشتقاق عند النقطة x0 هو خط مستقيم يمر عبر النقطة (x0;f(x0)) وله ميل f'(x0).

معادلة الظل

دعونا نحاول الحصول على معادلة المماس للرسم البياني لبعض الوظائف f عند النقطة A(x0; f(x0)). معادلة الخط المستقيم مع ميله k لها الشكل التالي:

بما أن الميل يساوي المشتقة و '(x0)، فستأخذ المعادلة الشكل التالي: y = و '(x0)*س + ب.

الآن دعونا نحسب قيمة ب. للقيام بذلك، نستخدم حقيقة أن الدالة تمر عبر النقطة A.

f(x0) = f'(x0)*x0 + b، من هنا نعبر عن b ونحصل على b = f(x0) - f'(x0)*x0.

نعوض بالقيمة الناتجة في معادلة الظل:

y = f'(x0)*x + b = f'(x0)*x + f(x0) - f'(x0)*x0 = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

ص = و(x0) + و'(x0)*(x - x0).

يعتبر المثال التالي: أوجد معادلة المماس للرسم البياني للدالة f (x) \u003d x 3 - 2 * x 2 + 1 عند النقطة x \u003d 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. و'(س) = 3*س 2 - 4*س.

4. f'(x0) = f'(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. نعوض بالقيم التي تم الحصول عليها في صيغة الظل، نحصل على: y = 1 + 4*(x - 2). وبفتح القوسين وإحضار الحدود المتشابهة نحصل على: y = 4*x - 7.

الإجابة: ص = 4*س - 7.

مخطط عام لتجميع معادلة الظلإلى الرسم البياني للدالة y = f(x):

1. تحديد x0.

2. احسب f(x0).

3. احسب f'(x)

يقوم برنامج الرياضيات هذا بالعثور على معادلة المماس للرسم البياني للدالة \(f(x) \) عند نقطة يحددها المستخدم \(a \).

لا يعرض البرنامج معادلة الظل فحسب، بل يعرض أيضًا عملية حل المشكلة.

يمكن أن تكون هذه الآلة الحاسبة عبر الإنترنت مفيدة لطلاب المدارس الثانوية مدارس التعليم العاماستعدادا ل مراقبة العملوالامتحانات، عند اختبار المعرفة قبل الامتحان، يجب على الآباء التحكم في حل العديد من المسائل في الرياضيات والجبر. أو ربما يكون استئجار مدرس أو شراء كتب مدرسية جديدة مكلفًا للغاية بالنسبة لك؟ أم أنك تريد فقط إنجاز الأمر في أسرع وقت ممكن؟ العمل في المنزلالرياضيات أو الجبر؟ وفي هذه الحالة، يمكنك أيضًا استخدام برامجنا مع الحل التفصيلي.

بهذه الطريقة، يمكنك إجراء التدريب الخاص بك و/أو التدريب الخاص بك الأخوة الأصغر سناأو الأخوات، بينما يرتفع مستوى التعليم في مجال المهام التي يتم حلها.

إذا كنت بحاجة إلى العثور على مشتق دالة، فلدينا مهمة البحث عن مشتق لهذا الغرض.

إذا لم تكن على دراية بقواعد تقديم الوظائف، فنوصيك بالتعرف عليها.

أدخل تعبير الدالة \(f(x)\) والرقم \(a\)

و(خ)=
أ=

أوجد معادلة الظل

وقد تبين أن بعض البرامج النصية اللازمة لحل هذه المهمة لم يتم تحميلها، وربما لا يعمل البرنامج.
ربما قمت بتمكين AdBlock.
وفي هذه الحالة، قم بتعطيله وتحديث الصفحة.

لقد قمت بتعطيل JavaScript في متصفحك.
يجب تمكين JavaScript حتى يظهر الحل.
فيما يلي إرشادات حول كيفية تمكين JavaScript في متصفحك.

لأن هناك الكثير من الأشخاص الذين يريدون حل المشكلة، طلبك في قائمة الانتظار.
وبعد ثواني قليلة سيظهر الحل أدناه.
انتظر من فضلك ثانية...

اذا أنت لاحظت خطأ في الحلثم يمكنك الكتابة عنها في نموذج الملاحظات.
لا تنسى تشير إلى المهمةعليك أن تقرر ما أدخل في الحقول.

ألعابنا وألغازنا ومحاكياتنا:

قليلا من النظرية.

منحدر الخط المستقيم

تذكر أن الرسم البياني للدالة الخطية \(y=kx+b\) هو خط مستقيم. يتم استدعاء الرقم \(k=tg \alpha \). منحدر الخط المستقيموالزاوية \(\alpha \) هي الزاوية بين هذا الخط ومحور الثور

إذا \(k>0\)، إذن \(0 إذا \(kمعادلة المماس للرسم البياني للدالة

إذا كانت النقطة M (a؛ f (a)) تنتمي إلى الرسم البياني للدالة y \u003d f (x) وإذا كان من الممكن عند هذه النقطة رسم مماس للرسم البياني للدالة غير المتعامدة مع المحور السيني، ومن المعنى الهندسي للمشتق يتبع أن ميل المماس يساوي f "(أ). بعد ذلك، سنقوم بتطوير خوارزمية لتجميع معادلة المماس للرسم البياني لأي دالة.

دع الدالة y \u003d f (x) والنقطة M (a؛ f (a)) على الرسم البياني لهذه الوظيفة تعطى؛ فليعلم أن f "(a) موجود. فلنقم بتكوين معادلة المماس للرسم البياني لدالة معينة عند نقطة معينة. هذه المعادلة، مثل معادلة أي خط مستقيم غير موازٍ للمحور y ، له النموذج y \u003d kx + b، وبالتالي فإن المهمة هي العثور على قيم المعاملات k و b.

مع الميل k، كل شيء واضح: من المعروف أن k \u003d f "(a). لحساب قيمة b، نستخدم حقيقة أن الخط المستقيم المطلوب يمر عبر النقطة M (a؛ f (a)) وهذا يعني أننا إذا عوضنا بإحداثيات النقطة M في معادلة الخط المستقيم، فسنحصل على المساواة الصحيحة: \ (f (a) \u003d ka + b \)، أي \ (b \u003d f (a ) - كا \).

يبقى استبدال القيم الموجودة للمعاملات k و b في معادلة الخط المستقيم:

$$ y=kx+b $$ $$ y=kx+ f(a) - كا $$ $$ y=f(a)+ k(x-a) $$ $$ y=f(a)+ f"(a) )(x-أ) $$

نحن تلقينا معادلة المماس للرسم البياني للدالة\(y = f(x) \) عند النقطة \(x=a \).

خوارزمية لإيجاد معادلة المماس للرسم البياني للدالة \(y=f(x)\)
1. قم بتعيين الإحداثي لنقطة الاتصال بالحرف \ (أ \)
2. احسب \(f(a) \)
3. ابحث عن \(f"(x) \) واحسب \(f"(a) \)
4. عوّض بالأرقام الموجودة \ (a, f (a), f "(a) \) في الصيغة \ (y \u003d f (a) + f "(a) (x-a) \)

الكتب (الكتب المدرسية) ملخصات امتحان الدولة الموحدة واختبارات OGE على الإنترنت الألعاب والألغاز الرسوم البيانية للوظائف القاموس الإملائي للغة الروسية قاموس اللغة العامية للشباب كتالوج المدارس الروسية كتالوج المدارس الثانوية في روسيا كتالوج الجامعات الروسية قائمة المهام البحث عن GCD و LCM تبسيط كثيرة الحدود (ضرب كثيرات الحدود)

Y \u003d f (x) وإذا كان من الممكن في هذه المرحلة رسم ظل على الرسم البياني للدالة غير المتعامد مع المحور x، فإن ميل الظل هو f "(a). لقد استخدمنا هذا بالفعل عدة مرات على سبيل المثال، في الفقرة 33، ثبت أن الرسم البياني للدالة y \u003d sin x (الجيبي) عند الأصل يشكل زاوية قدرها 45 درجة مع محور الإحداثي السيني (بتعبير أدق، الظل للرسم البياني عند الأصل يصنع زاوية قدرها 45 درجة مع الاتجاه الموجب للمحور x)، وفي المثال 5 من الفقرة 33 تم العثور على نقاط في جدول زمني محدد المهام، حيث يكون المماس موازيًا لمحور x. في المثال 2، § 33، تم وضع معادلة المماس للرسم البياني للدالة y \u003d x 2 عند النقطة x \u003d 1 (بتعبير أدق، عند النقطة (1؛ 1)، ولكن في كثير من الأحيان فقط تتم الإشارة إلى قيمة الإحداثي السيني، على افتراض أنه إذا كانت قيمة الإحداثي السيني معروفة، فيمكن العثور على قيمة الإحداثي من المعادلة y = f(x)). في هذا القسم، سنقوم بتطوير خوارزمية لتجميع معادلة المماس للرسم البياني لأي دالة.

دع الدالة y \u003d f (x) والنقطة M (a؛ f (a)) معطاة، ومن المعروف أيضًا أن f "(a) موجود. دعونا نؤلف معادلة المماس للرسم البياني لـ الدالة المعطاة عند نقطة معينة، هذه المعادلة مثل معادلة أي خط مستقيم، غير موازي لمحور y، لها الصيغة y = kx + m، لذا تكمن المشكلة في إيجاد قيم المعاملات k و م.

لا توجد مشاكل مع الميل k: نحن نعلم أن k \u003d f "(a). لحساب قيمة m، نستخدم حقيقة أن الخط المطلوب يمر عبر النقطة M (a؛ f (a)). هذا يعني أننا إذا استبدلنا إحداثيات النقاط M في معادلة الخط المستقيم، فسنحصل على المساواة الصحيحة: f (a) \u003d ka + m، حيث نجد أن m \u003d f (a) - ka.
يبقى استبدال القيم الموجودة لمعاملات الحوت بها المعادلةمستقيم:

لقد حصلنا على معادلة المماس للرسم البياني للدالة y \u003d f (x) عند النقطة x \u003d a.
إذا، قل،
بالتعويض في المعادلة (1) بالقيم الموجودة a \u003d 1، f (a) \u003d 1 f "(a) \u003d 2، نحصل على: y \u003d 1 + 2 (x-f)، أي y \u003d 2x -1.
قارن هذه النتيجة بتلك التي تم الحصول عليها في المثال 2 من الفقرة 33. وبطبيعة الحال، حدث نفس الشيء.
دعونا نؤلف معادلة المماس للرسم البياني للدالة y \u003d tg x عند الأصل. لدينا: ومن هنا cos x f "(0) = 1. باستبدال القيم الموجودة a \u003d 0، f (a) \u003d 0، f "(a) \u003d 1 في المعادلة (1)، نحصل على: y \u003d x .
ولهذا السبب قمنا برسم المماس في الفقرة 15 (انظر الشكل 62) من خلال أصل الإحداثيات بزاوية 45 درجة إلى محور الإحداثيات.
حل هذه الأمور يكفي أمثلة بسيطةلقد استخدمنا بالفعل خوارزمية معينة مضمنة في الصيغة (1). دعونا نجعل هذه الخوارزمية واضحة.

خوارزمية لتكوين معادلة الدالة المماس للرسم البياني y \u003d f (x)

1) قم بتعيين حدود نقطة الاتصال بالحرف أ.
2) احسب 1 (أ).
3) ابحث عن f "(x) واحسب f" (a).
4) عوض بالأرقام الموجودة a، f(a)، (a) في الصيغة (1).

مثال 1اكتب معادلة مماس منحنى الدالة عند النقطة x = 1.
دعونا نستخدم الخوارزمية، مع الأخذ في الاعتبار ذلك هذا المثال

على الشكل. 126 يظهر القطع الزائد، تم بناء خط مستقيم y \u003d 2x.
يؤكد الرسم الحسابات المعطاة: في الواقع، السطر y \u003d 2-x يمس القطع الزائد عند النقطة (1؛ 1).

إجابة:ص \u003d 2-س.
مثال 2ارسم مماسًا للرسم البياني للدالة بحيث يكون موازيًا للخط المستقيم y \u003d 4x - 5.
دعونا نحسن صياغة المشكلة. عادةً ما يعني شرط "رسم المماس" "إنشاء معادلة للمماس". وهذا أمر منطقي، لأنه إذا كان الشخص قادرا على رسم معادلة المماس، فمن غير المرجح أن يجد صعوبة في البناء عليها خطة تنسيقمستقيماً حسب معادلتها.
دعونا نستخدم الخوارزمية لتجميع معادلة الظل، مع الأخذ في الاعتبار أنه في هذا المثال، ولكن، على عكس المثال السابق، هناك غموض هنا: لم تتم الإشارة بوضوح إلى حدود نقطة الظل.
دعونا نبدأ الحديث مثل هذا. يجب أن يكون الظل المطلوب موازيًا للخط المستقيم y \u003d 4x-5. يكون المستقيمان متوازيين إذا وفقط إذا كان ميلاهما متساويين. هذا يعني أن ميل المماس يجب أن يكون مساويًا لميل الخط المستقيم المعطى: وهكذا يمكننا إيجاد قيمة a من المعادلة f "(a) \u003d 4.
لدينا:
من المعادلة إذن، هناك مماسان يحققان شروط المشكلة: أحدهما عند النقطة مع الإحداثي الإحداثي 2، والآخر عند النقطة مع الإحداثي الإحداثي -2.
الآن يمكنك التصرف وفقًا للخوارزمية.

مثال 3من النقطة (0؛ 1) ارسم مماسًا للرسم البياني للدالة
دعونا نستخدم الخوارزمية لتجميع معادلة المماس، مع الأخذ في الاعتبار أنه في هذا المثال لاحظ أنه هنا، كما في المثال 2، لم يتم الإشارة بوضوح إلى الإحداثي الإحداثي لنقطة المماس. ومع ذلك، فإننا نتصرف وفقًا للخوارزمية.

بشرط أن يمر الظل بالنقطة (0 ؛ 1). بالتعويض في المعادلة (2) بالقيم x = 0، y = 1، نحصل على:
كما ترون، في هذا المثال، فقط في الخطوة الرابعة من الخوارزمية تمكنا من العثور على نهاية نقطة اللمس. بتعويض القيمة أ \u003d 4 في المعادلة (2) نحصل على:

على الشكل. يُظهر 127 رسمًا توضيحيًا هندسيًا للمثال المدروس: رسم بياني للوظيفة

في الفقرة 32، لاحظنا أنه بالنسبة للدالة y = f(x)، التي لها مشتق عند نقطة ثابتة x، فإن المساواة التقريبية هي:

لتسهيل المزيد من التفكير، نغير الترميز: بدلاً من x سنكتب a، بدلاً من ذلك سنكتب x، وبالتالي سنكتب x-a بدلاً من ذلك. ثم المساواة التقريبية المكتوبة أعلاه سوف تأخذ الشكل:

الآن نلقي نظرة على الشكل. 128. يتم رسم المماس على الرسم البياني للدالة y \u003d f (x) عند النقطة M (a؛ f (a)). تم تحديد النقطة x على المحور x بالقرب من a. من الواضح أن f(x) هو إحداثي الرسم البياني للدالة عند النقطة المحددة x. وما هو f (a) + f "(a) (x-a)؟ هذا هو إحداثي المماس المقابل لنفس النقطة x - انظر الصيغة (1). ما معنى المساواة التقريبية (3)؟ ذلك ل حساب القيمة التقريبية للدالة، يتم أخذ قيمة إحداثي الظل.

مثال 4أوجد القيمة التقريبية للتعبير العددي 1.02 7 .
نحن نتحدث عن إيجاد قيمة الدالة y \u003d x 7 عند النقطة x \u003d 1.02. نستخدم الصيغة (3)، مع مراعاة ذلك في هذا المثال
ونتيجة لذلك نحصل على:

إذا استخدمنا الآلة الحاسبة نحصل على: 1.02 7 = 1.148685667...
كما ترون، دقة التقريب مقبولة تماما.
إجابة: 1,02 7 =1,14.

اي جي. جبر موردكوفيتش الصف العاشر

التخطيط المواضيعي للتقويم في الرياضيات، فيديوفي الرياضيات على الانترنت، تحميل الرياضيات في المدرسة

محتوى الدرس ملخص الدرس إطار الدعمعرض الدرس الأساليب التسريعية التقنيات التفاعلية يمارس المهام والتمارين ورش عمل الفحص الذاتي والدورات التدريبية والحالات والمهام الواجبات المنزلية أسئلة المناقشة الأسئلة البلاغية من الطلاب الرسوم التوضيحية الصوت ومقاطع الفيديو والوسائط المتعددةصور فوتوغرافية، صور رسومات، جداول، مخططات، فكاهة، نوادر، نكت، كاريكاتير الأمثال، أقوال، كلمات متقاطعة، اقتباسات الإضافات الملخصاترقائق المقالات لأوراق الغش الفضولية، والكتب المدرسية، والمسرد الأساسي والإضافي للمصطلحات الأخرى تحسين الكتب المدرسية والدروستصحيح الأخطاء في الكتاب المدرسيتحديث جزء من عناصر الكتاب المدرسي للابتكار في الدرس واستبدال المعرفة القديمة بأخرى جديدة فقط للمعلمين دروس مثاليةخطة التقويم لهذا العام القواعد الارشاديةبرامج المناقشة دروس متكاملة

معادلة المماس للرسم البياني للوظيفة

ب. رومانوف، ت. رومانوفا،
ماجنيتوجورسك,
منطقة تشيليابينسك

معادلة المماس للرسم البياني للوظيفة

تم نشر المقال بدعم من مجمع فنادق ITAKA+. البقاء في مدينة بناة السفن سيفيرودفينسك، لن تواجه مشكلة العثور على سكن مؤقت. ، على الموقع الإلكتروني للمجمع الفندقي "ITAKA +" http://itakaplus.ru، يمكنك بسهولة وسرعة استئجار شقة في المدينة لأي فترة مع الدفع اليومي.

في المرحلة الحالية من تطوير التعليم، تتمثل إحدى مهامه الرئيسية في تكوين شخصية تفكير إبداعي. لا يمكن تطوير القدرة على الإبداع لدى الطلاب إلا إذا شاركوا بشكل منهجي في أساسيات الأنشطة البحثية. الأساس الذي يستخدمه الطلاب لقواهم الإبداعية وقدراتهم ومواهبهم هو المعرفة والمهارات الكاملة. وفي هذا الصدد، فإن مشكلة تشكيل نظام من المعرفة والمهارات الأساسية لكل موضوع من دورة الرياضيات المدرسية ليست ذات أهمية كبيرة. في الوقت نفسه، لا ينبغي أن تكون المهارات الكاملة هي الهدف التعليمي للمهام الفردية، ولكن نظامها المدروس بعناية. بالمعنى الأوسع، يُفهم النظام على أنه مجموعة من العناصر المتفاعلة المترابطة التي تتمتع بالتكامل والبنية المستقرة.

فكر في منهجية لتعليم الطلاب كيفية رسم معادلة مماس للرسم البياني للدالة. في جوهرها، يتم تقليل جميع المهام المتعلقة بإيجاد معادلة الظل إلى الحاجة إلى الاختيار من مجموعة (حزمة، عائلة) من الخطوط التي تلبي متطلبات معينة - فهي مماسة للرسم البياني لوظيفة معينة. وفي هذه الحالة يمكن تحديد مجموعة الخطوط التي يتم الاختيار منها بطريقتين:

أ) نقطة تقع على المستوى xOy (قلم الرصاص المركزي للخطوط)؛
ب) المعامل الزاوي (مجموعة الخطوط المتوازية).

وفي هذا الصدد، عند دراسة موضوع "المماس للرسم البياني للدالة" لعزل عناصر النظام، حددنا نوعين من المهام:

1) المهام على الظل، نقطةالذي يمر من خلاله؛
2) المهام على الظل المعطى بواسطة ميله.

تم تعلم كيفية حل المشكلات على المماس باستخدام الخوارزمية التي اقترحها A.G. موردكوفيتش. له فرق جوهريمن المعروف بالفعل يكمن في حقيقة أن حدود نقطة الظل يُشار إليها بالحرف a (بدلاً من x0) ، وبالتالي تأخذ معادلة الظل الشكل

ص \u003d و (أ) + و "(أ) (س - أ)

(قارن مع y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)). هذه التقنية المنهجية، في رأينا، تسمح للطلاب بإدراك مكان كتابة إحداثيات النقطة الحالية بسرعة وسهولة في معادلة الظل العام وأين نقاط الاتصال.

خوارزمية لتجميع معادلة المماس للرسم البياني للدالة y = f(x)

1. حدد بالحرف a حد نقطة الاتصال.
2. ابحث عن f(أ).
3. ابحث عن f "(x) وf"(a).
4. استبدل الأرقام الموجودة a، f (a)، f "(a) في المعادلة العامةالظل y \u003d f (a) \u003d f "(a) (x - a).

يمكن تجميع هذه الخوارزمية على أساس الاختيار المستقل للطلاب للعمليات وتسلسل تنفيذها.

لقد أظهرت الممارسة أن الحل المتسق لكل مهمة من المهام الرئيسية باستخدام الخوارزمية يسمح لك بتكوين القدرة على كتابة معادلة المماس للرسم البياني للدالة على مراحل، وتكون خطوات الخوارزمية بمثابة نقاط قوية للإجراءات . يتوافق هذا النهج مع نظرية التكوين التدريجي للإجراءات العقلية التي طورها P.Ya. جالبيرين ون.ف. تاليزينا.

في النوع الأول من المهام، تم تحديد مهمتين رئيسيتين:

• يمر المماس عبر نقطة تقع على المنحنى (المسألة 1)؛
• يمر المماس عبر نقطة لا تقع على المنحنى (المسألة 2).

المهمة 1. مساواة الظل بالرسم البياني للوظيفة عند النقطة م(3;-2).

حل. النقطة M(3; - 2) هي نقطة الاتصال، منذ ذلك الحين

1. أ = 3 - حافة نقطة اللمس.
2. و(3) = – 2.
3. و "(س) \u003d × 2 - 4، و "(3) \u003d 5.
y \u003d - 2 + 5 (x - 3)، y \u003d 5x - 17 هي معادلة الظل.

المهمة 2. اكتب معادلات جميع مماسات الرسم البياني للدالة y = - x 2 - 4x + 2، مروراً بالنقطة M(- 3; 6).

حل. النقطة M(- 3; 6) ليست نقطة مماس، لأن f(- 3) 6 (الشكل 2).

2. و(أ) = – أ 2 – 4أ + 2.
3. و "(س) \u003d - 2س - 4، و "(أ) \u003d - 2أ - 4.
4. ص \u003d - أ 2 - 4أ + 2 - 2 (أ + 2) (س - أ) - معادلة الظل.

يمر المماس بالنقطة M(- 3; 6)، وبالتالي فإن إحداثياته ​​تحقق معادلة الظل.

6 = – أ 2 – 4أ + 2 – 2(أ + 2)(- 3 – أ)،
أ 2 + 6 أ + 8 = 0^ أ 1 = - 4، أ 2 = - 2.

إذا كانت a = – 4، فإن معادلة الظل هي y = 4x + 18.

إذا كانت a \u003d - 2، فإن معادلة الظل لها الشكل y \u003d 6.

وفي النوع الثاني ستكون المهام الرئيسية كما يلي:

• المماس يوازي خطًا مستقيمًا ما (المسألة 3)؛
• يمر المماس بزاوية معينة للخط المحدد (المشكلة 4).

المهمة 3. اكتب معادلات جميع مماسات الرسم البياني للدالة y \u003d x 3 - 3x 2 + 3، بالتوازي مع الخط y \u003d 9x + 1.

حل.

1. أ - حافة نقطة اللمس.
2. و(أ) = أ 3 - 3أ 2 + 3.
3. f "(x) \u003d 3x 2 - 6x، f "(أ) \u003d 3a 2 - 6a.

ولكن من ناحية أخرى، f "(أ) \u003d 9 (حالة التوازي). لذلك، نحن بحاجة إلى حل المعادلة 3أ 2 - 6أ \u003d 9. جذورها أ \u003d - 1، أ \u003d 3 (الشكل .3).

4. 1) أ = – 1؛
2) و(- 1) = – 1;
3) و "(- 1) = 9؛
4) ص = - 1 + 9(س + 1)؛

y = 9x + 8 هي معادلة الظل؛

1) أ = 3؛
2) و(3) = 3؛
3) و "(3) = 9؛
4) ص = 3 + 9(س - 3)؛

ص = 9س – 24 هي معادلة الظل.

المهمة 4. اكتب معادلة المماس للرسم البياني للدالة y = 0.5x 2 - 3x + 1، مروراً بزاوية 45 درجة إلى الخط المستقيم y = 0 (الشكل 4).

حل. من الشرط f "(أ) \u003d tg 45 ° نجد أ: أ - 3 \u003d 1^ أ = 4.

1. أ = 4 - حدود نقطة اللمس.
2. و(4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. و "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4. ص \u003d - 3 + 1 (س - 4).

ص \u003d س - 7 - معادلة الظل.

من السهل إظهار أن حل أي مشكلة أخرى يقتصر على حل مشكلة رئيسية واحدة أو أكثر. خذ بعين الاعتبار المشكلتين التاليتين كمثال.

1. اكتب معادلات مماسات القطع المكافئ y = 2x 2 - 5x - 2، إذا تقاطعت الظلال بزاوية قائمة ولمس أحدهم القطع المكافئ عند النقطة مع الإحداثي المحوري 3 (الشكل 5).

حل. بما أنه تم إعطاء حدود نقطة الاتصال، يتم تقليل الجزء الأول من الحل إلى المشكلة الرئيسية 1.

1. أ \u003d 3 - حدود نقطة التلامس لأحد جوانب الزاوية القائمة.
2. و(3) = 1.
3. و "(س) \u003d 4س - 5، و "(3) \u003d 7.
4. ص \u003d 1 + 7 (س - 3)، ص \u003d 7س - 20 - معادلة المماس الأول.

دع أ هي زاوية ميل المماس الأول. بما أن المماسين متعامدان، إذن هي زاوية ميل المماس الثاني. من المعادلة y = 7x – 20 للظل الأول لدينا tgأ = 7. أوجد

وهذا يعني أن ميل المماس الثاني هو .

يتم تقليل الحل الإضافي إلى المهمة الرئيسية 3.

دع B(c; f(c)) تكون نقطة الظل للخط الثاني

1. - حافة نقطة الاتصال الثانية.
2.
3.
4.
هي معادلة المماس الثاني.

ملحوظة. يمكن العثور على المعامل الزاوي للظل بشكل أسهل إذا عرف الطلاب نسبة معاملات الخطوط المتعامدة k 1 k 2 = - 1.

2. اكتب معادلات جميع المماسات المشتركة للتمثيلات البيانية للدالة

حل. تتلخص المهمة في العثور على حدود نقاط الاتصال للظلال المشتركة، أي حل المشكلة الرئيسية 1 بشكل عام، وتجميع نظام المعادلات ثم حله (الشكل 6).

1. اجعل a هو الحد الفاصل لنقطة اللمس الموجودة على الرسم البياني للدالة y = x 2 + x + 1.
2. و(أ) = أ 2 + أ + 1.
3. و "(أ) = 2أ + 1.
4. ص \u003d أ 2 + أ + 1 + (2أ + 1) (س - أ) \u003d (2أ + 1) س + 1 - أ 2.

1. دع c يكون حدود نقطة الظل الموجودة على الرسم البياني للدالة
2.
3. و "(ج) = ج.
4.

وبما أن الظلال مشتركة، إذن

إذن y = x + 1 و y = - 3x - 3 مماسات مشتركة.

الهدف الرئيسي من المهام التي يتم النظر فيها هو إعداد الطلاب للتعرف على نوع المهمة الرئيسية عند حل المهام الأكثر تعقيدًا التي تتطلب مهارات بحثية معينة (القدرة على التحليل والمقارنة والتعميم وطرح الفرضية وما إلى ذلك). تتضمن هذه المهام أي مهمة يتم فيها تضمين المهمة الرئيسية كمكون. دعونا نفكر كمثال في المشكلة (عكس المشكلة 1) الخاصة بإيجاد دالة من عائلة مماساتها.

3. ما هو b و c الخطان y \u003d x و y \u003d - 2x المماس للرسم البياني للدالة y \u003d x 2 + bx + c؟

حل.

اجعل t هو الإحداثي المحوري لنقطة التلامس للخط y = x مع القطع المكافئ y = x 2 + bx + c؛ p هو الإحداثي المحوري لنقطة تماس الخط y = - 2x مع القطع المكافئ y = x 2 + bx + c. ثم معادلة الظل y = x ستأخذ الشكل y = (2t + b)x + c - t 2 ومعادلة الظل y = - 2x ستأخذ الشكل y = (2p + b)x + c - p 2 .

تكوين وحل نظام المعادلات

إجابة:

مهام الحل المستقل

1. اكتب معادلات المماس المرسومة على الرسم البياني للدالة y = 2x 2 - 4x + 3 عند نقاط تقاطع الرسم البياني مع الخط y = x + 3.

الجواب: ص \u003d - 4س + 3، ص \u003d 6س - 9.5.

2. ما هي قيم a التي يمر بها المماس على الرسم البياني للدالة y \u003d x 2 - الفأس عند نقطة الرسم البياني مع الإحداثي x 0 \u003d 1 عبر النقطة M (2 ؛ 3) ؟

الجواب: أ = 0.5.

3. ما هي قيم p التي يلمس فيها الخط y = px - 5 المنحنى y = 3x 2 - 4x - 2؟

الجواب: ص 1 \u003d - 10، ص 2 \u003d 2.

4. أوجد جميع النقاط المشتركة في الرسم البياني للدالة y = 3x - x 3 والمماس المرسوم على هذا الرسم البياني من خلال النقطة P(0; 16).

الجواب: أ(2؛ - 2)، ب(- 4؛ 52).

5. أوجد أقصر مسافة بين القطع المكافئ y = x 2 + 6x + 10 والخط

إجابة:

6. على المنحنى y \u003d x 2 - x + 1، أوجد النقطة التي يكون عندها مماس الرسم البياني موازيًا للخط y - 3x + 1 \u003d 0.

الجواب: م(2؛ 3).

7. اكتب معادلة المماس للرسم البياني للدالة y = x 2 + 2x - | 4x | الذي يمسها من نقطتين. جعل الرسم.

الإجابة: ص = 2س - 4.

8. أثبت أن الخط y = 2x – 1 لا يتقاطع مع المنحنى y = x 4 + 3x 2 + 2x. أوجد المسافة بين أقرب نقاطهم.

إجابة:

9. على القطع المكافئ y \u003d x 2، يتم أخذ نقطتين مع حروف متقاطعة x 1 \u003d 1، x 2 \u003d 3. يتم رسم القاطع من خلال هذه النقاط. عند أي نقطة من القطع المكافئ سيكون مماسه موازيًا للقاطع المرسوم؟ اكتب معادلات القاطع والظل.

الجواب: ص \u003d 4س - 3 - معادلة قاطعة؛ ص = 4س – 4 هي معادلة الظل.

10. أوجد الزاوية ف بين مماسات الرسم البياني للدالة y \u003d x 3 - 4x 2 + 3x + 1، مرسومة عند النقاط ذات الإحداثيات 0 و 1.

الجواب: ف = 45 درجة.

11. في أي النقاط يشكل مماس الرسم البياني للدالة زاوية مقدارها 135 درجة مع محور الثور؟

الإجابة: أ(0؛ - 1)، ب(4؛ 3).

12. عند النقطة أ(1؛ 8) إلى المنحنى يتم رسم الظل. أوجد طول قطعة المماس المحصورة بين محوري الإحداثيات.

إجابة:

13. اكتب معادلة جميع الظلال المشتركة للرسوم البيانية للدوال y \u003d x 2 - x + 1 و y \u003d 2x 2 - x + 0.5.

الإجابة: ص = - 3س و ص = س.

14. أوجد المسافة بين مماسات الرسم البياني للدالة بالتوازي مع المحور x.

إجابة:

15. حدد الزوايا التي يتقاطع فيها القطع المكافئ y \u003d x 2 + 2x - 8 مع المحور x.

الجواب: س 1 \u003d القطب الشمالي 6، ف 2 \u003d القطب الشمالي (- 6).

16. على الرسم البياني للوظيفة ابحث عن جميع النقاط التي يتقاطع ظل كل منها في هذا الرسم البياني مع نصف المحاور الموجبة للإحداثيات، مما يؤدي إلى قطع الأجزاء المتساوية منها.

الجواب: أ(-3؛ 11).

17. يتقاطع الخط y = 2x + 7 والقطع المكافئ y = x 2 – 1 عند النقطتين M وN. أوجد نقطة التقاطع K للخطين المماسين للقطع المكافئ عند النقطتين M وN.

الجواب: ك(1؛ - 9).

18. ما هي قيم b التي يكون فيها الخط y \u003d 9x + b مماسًا للرسم البياني للدالة y \u003d x 3 - 3x + 15؟

الجواب: - 1؛ 31.

19. ما هي قيم k التي يحتوي فيها الخط y = kx – 10 على نقطة مشتركة واحدة فقط مع الرسم البياني للدالة y = 2x 2 + 3x – 2؟ بالنسبة للقيم التي تم العثور عليها لـ k، حدد إحداثيات النقطة.

الجواب: ك 1 = - 5، أ(- 2؛ 0)؛ ك 2 = 11، ب(2، 12).

20. ما هي قيم b التي يمر بها المماس على الرسم البياني للدالة y = bx 3 – 2x 2 – 4 عند النقطة مع الإحداثي المحوري x 0 = 2 عبر النقطة M(1; 8)؟

الجواب: ب = - 3.

21. القطع المكافئ الذي رأسه على المحور السيني مماس للمستقيم الذي يمر بالنقطتين A(1; 2) و B(2; 4) عند النقطة B. أوجد معادلة القطع المكافئ.

إجابة:

22. عند أي قيمة للمعامل k يلمس القطع المكافئ y \u003d x 2 + kx + 1 محور الثور؟

الجواب: ك = ف2.

23. أوجد الزوايا الواقعة بين الخط y = x + 2 والمنحنى y = 2x 2 + 4x - 3.

29. أوجد المسافة بين مماسات الرسم البياني لمولدات الوظائف مع الاتجاه الموجب لمحور الثور بزاوية 45 درجة.

إجابة:

30. أوجد موضع رءوس جميع القطع المكافئة بالشكل y = x 2 + ax + b مع لمس الخط y = 4x - 1.

الجواب: الخط المستقيم ص = 4س + 3.

الأدب

1. زفافيتش إل.آي.، شليابوتشنيك إل.يا.، تشينكينا إم.في. الجبر وبدايات التحليل: 3600 مشكلة لأطفال المدارس والمتقدمين للجامعات. - م.، حبارى، 1999.
2. موردكوفيتش أ. الندوة الرابعة للمعلمين الشباب. الموضوع هو "تطبيقات المشتقات". - م "الرياضيات" العدد 21/94.
3. تكوين المعرفة والمهارات على أساس نظرية الاستيعاب التدريجي للإجراءات العقلية. / إد. P.Ya. جالبيرين، إن.إف. تاليزينا. - م. جامعة موسكو الحكومية 1968.