يمكن تجميع تمثيل رسومي للحقول ليس فقط بخطوط التوتر ، ولكن أيضًا بمساعدة فرق محتمل. إذا قمنا بدمج النقاط ذات الإمكانات المتساوية في مجال كهربائي ، فإننا نحصل على أسطح ذات إمكانات متساوية ، أو كما يطلق عليها أيضًا أسطح متساوية الجهد. عند التقاطع مع مستوى الرسم ، تعطي الأسطح متساوية الجهد خطوطًا متساوية الجهد. من خلال رسم خطوط متساوية الجهد تتوافق مع قيم محتملة مختلفة ، نحصل على صورة واضحة تعكس كيف تتغير إمكانات مجال معين. لا يتطلب التحرك على طول سطح الشحنة متساوية الجهد عملًا ، نظرًا لأن جميع نقاط المجال على طول هذا السطح لها إمكانات متساوية وتكون القوة التي تعمل على الشحنة دائمًا متعامدة مع الحركة.

لذلك ، فإن خطوط التوتر تكون دائمًا متعامدة مع الأسطح ذات الإمكانات المتساوية.

سيتم تقديم الصورة الأكثر توضيحًا للمجال إذا تم تصوير خطوط متساوية الجهد مع تغييرات محتملة متساوية ، على سبيل المثال ، 10 فولت ، 20 فولت ، 30 فولت ، إلخ. في هذه الحالة ، سيكون معدل التغيير المحتمل متناسبًا عكسيا مع المسافة بين الخطوط متساوية الجهد المجاورة. أي أن كثافة الخطوط متساوية الجهد تتناسب مع شدة المجال (كلما زادت شدة المجال ، كلما اقترب رسم الخطوط). معرفة الخطوط متساوية الجهد ، من الممكن بناء خطوط شدة المجال قيد النظر والعكس صحيح.

لذلك ، فإن صور الحقول بمساعدة خطوط متساوية الجهد وخطوط التوتر متكافئة.

ترقيم الخطوط متساوية الجهد في الرسم

في كثير من الأحيان ، يتم ترقيم الخطوط متساوية الجهد في الرسم. للإشارة إلى الاختلاف المحتمل في الرسم ، يُشار إلى خط تعسفي بالرقم 0 ، والأرقام 1،2،3 ، وما إلى ذلك ، توضع بالقرب من جميع الخطوط الأخرى. تشير هذه الأرقام إلى الفرق المحتمل بالفولت بين خط متساوي الجهد المحدد والخط الذي تم اختياره على أنه صفر. في الوقت نفسه ، نلاحظ أن اختيار خط الصفر ليس مهمًا ، لأن الاختلاف المحتمل لسطحين فقط له معنى مادي ، ولا يعتمد على اختيار الصفر.

مجال شحنة نقطية بشحنة موجبة

خذ على سبيل المثال مجال الشحنة النقطية ، والتي لها شحنة موجبة. خطوط مجال الشحنة النقطية هي خطوط مستقيمة شعاعية ، وبالتالي ، فإن الأسطح متساوية الجهد هي نظام من المجالات متحدة المركز. تكون خطوط المجال متعامدة على أسطح الكرات عند كل نقطة من الحقل. الخطوط متساوية الجهد هي دوائر متحدة المركز. لشحنة موجبة ، يمثل الشكل 1 خطوط متساوية الجهد. لشحنة سالبة ، يمثل الشكل 2 خطوط متساوية الجهد.

وهو ما يتضح من الصيغة التي تحدد إمكانات مجال الشحنة النقطية عندما يتم تطبيع الإمكانات إلى ما لا نهاية ($ \ varphi \ left (\ infty \ right) = 0 $):

\ [\ varphi = \ frac (1) (4 \ pi \ varepsilon (\ varepsilon) _0) \ frac (q) (r) \ left (1 \ right). \]

نظام من المستويات المتوازية التي تكون على مسافات متساوية من بعضها البعض هي أسطح متساوية الجهد من متجانسة. الحقل الكهربائي.

مثال 1

المهمة: المجال المحتمل الذي تم إنشاؤه بواسطة نظام الرسوم له الشكل:

\ [\ varphi = a \ left (x ^ 2 + y ^ 2 \ right) + bz ^ 2، \]

حيث $ a، b $ ثوابت أكبر من الصفر. ما هو شكل الأسطح متساوية الجهد؟

الأسطح متساوية الجهد ، كما نعلم ، هي أسطح تتساوى فيها الإمكانات في أي نقطة. بمعرفة ما سبق سوف ندرس المعادلة المقترحة في ظروف المشكلة. قسّم الجانبين الأيمن والأيسر للمعادلة $ = a \ left (x ^ 2 + y ^ 2 \ right) + bz ^ 2 ، $ على $ \ varphi $ ، نحصل على:

\ [(\ frac (a) (\ varphi) x) ^ 2 + (\ frac (a) (\ varphi) y) ^ 2 + \ frac (b) (\ varphi) z ^ 2 = 1 \ left ( 1.1 \ حق). \]

نكتب المعادلة (1.1) بالصيغة المتعارف عليها:

\ [\ frac (x ^ 2) ((\ left (\ sqrt (\ frac (\ varphi) (a)) \ right)) ^ 2) + \ frac (y ^ 2) ((\ left (\ sqrt ( \ frac (\ varphi) (a)) \ right)) ^ 2) + \ frac (z ^ 2) ((\ left (\ sqrt (\ frac (\ varphi) (b)) \ ​​right)) ^ 2) = 1 \ (1.2) \]

توضح المعادلة $ (1.2) \ $ أن الشكل المعطى عبارة عن شكل بيضاوي للثورة. مهاوي المحور

\ [\ sqrt (\ frac (\ varphi) (a)) ، \ \ sqrt (\ frac (\ varphi) (a)) ، \ \ sqrt (\ frac (\ varphi) (b)). \]

الإجابة: السطح متساوي الجهد لحقل معين عبارة عن شكل بيضاوي للثورة بنصف محاور ($ \ sqrt (\ frac (\ varphi) (a)) ، \ \ sqrt (\ frac (\ varphi) (a)) ، \ \ sqrt (\ frac (\ varphi) (b)) $).

مثال 2

المهمة: الإمكانات الميدانية لها الشكل:

\ [\ varphi = a \ left (x ^ 2 + y ^ 2 \ right) -bz ^ 2، \]

حيث $ a، b $ - $ const $ أكبر من الصفر. ما هي السطوح متساوية الجهد؟

ضع في اعتبارك الحالة عندما يكون $ \ varphi> 0 $. دعنا نأتي بالمعادلة الواردة في ظروف المشكلة إلى الصيغة المتعارف عليها ، لذلك نقسم كلا الجزأين من المعادلة على $ \ varphi ، ونحصل على $:

\ [\ frac (a) (\ varphi) x ^ 2 + (\ frac (a) (\ varphi) y) ^ 2- \ frac (b) (\ varphi) z ^ 2 = 1 \ left (2.1 \ حقا).\]

\ [\ frac (x ^ 2) (\ frac (\ varphi) (a)) + \ frac (y ^ 2) (\ frac (\ varphi) (a)) - \ frac (z ^ 2) (\ frac (\ varphi) (ب)) = 1 \ يسار (2.2 \ يمين). \]

في (2.2) لدينا معادلة قانونيةمفردة مفردة الشكل. أنصافها هي ($ \ sqrt (\ frac (\ varphi) (a)) \ left (real \ semiaxis \ right) ، \ sqrt (\ frac (\ varphi) (a)) \ left (حقيقي \ semiaxis \ right) )، \ \ sqrt (\ frac (\ varphi) (b)) (وهمي \ semiaxis) $).

ضع في اعتبارك الحالة التي يكون فيها $ \ varphi

دعنا نمثل $ \ varphi = - \ left | \ varphi \ right | $ لنجلب المعادلة الواردة في شروط المشكلة إلى الصيغة المتعارف عليها ، لهذا نقسم كلا الجزأين من المعادلة على ناقص المقياس $ \ varphi ، $ نحن نحصل:

\ [- \ frac (a) (\ left | \ varphi \ right |) x ^ 2 - (\ frac (a) (\ left | \ varphi \ right |) y) ^ 2 + \ frac (b) (\ يسار | \ varphi \ right |) z ^ 2 = 1 \ \ left (2.3 \ right). \]

دعونا نعيد كتابة المعادلة (1.1) بالشكل:

\ [- \ frac (x ^ 2) (\ frac (\ left | \ varphi \ right |) (a)) - \ frac (y ^ 2) (\ frac (\ left | \ varphi \ right |) (أ )) + \ frac (z ^ 2) (\ frac (\ left | \ varphi \ right |) (b)) = 1 \ left (2.4 \ right). \]

لقد حصلنا على المعادلة الأساسية للقطب الزائد ذو الطبقتين ، نصف محوره:

($ \ sqrt (\ frac (\ left | \ varphi \ right |) (a)) \ left (وهمي \ semiaxis \ right) ، \ sqrt (\ frac (\ left | \ varphi \ right |) (a) ) \ يسار (تخيلي \ semiaxis \ يمين) \ \ sqrt (\ frac (\ left | \ varphi \ right |) (b)) (\ real \ semiaxis) $).

ضع في اعتبارك الحالة عندما يكون $ \ varphi = 0. $ فإن معادلة الحقل لها الشكل:

دعونا نعيد كتابة المعادلة (2.5) بالشكل:

\ [\ frac (x ^ 2) ((\ left (\ frac (1) (\ sqrt (a)) \ right)) ^ 2) + \ frac (y ^ 2) ((\ left (\ frac (1 ) (\ sqrt (a)) \ right)) ^ 2) - \ frac (z ^ 2) ((\ left (\ frac (1) (\ sqrt (b)) \ ​​right)) ^ 2) = 0 \ يسار (2.6 \ يمين). \]

لقد حصلنا على المعادلة المتعارف عليها للمخروط الدائري الأيمن استنادًا إلى القطع الناقص مع أنصاف المحاور $ (\ frac (\ sqrt (b)) (\ sqrt (a)) $؛ $ \ frac (\ sqrt (b)) (\ الجذر التربيعي (أ)) $).

الإجابة: كأسطح متساوية الجهد لمعادلة محتملة معينة ، حصلنا على: بالنسبة إلى $ \ varphi> 0 $ ، شكل زائد مفرغ من ورقة واحدة ، لـ $ \ varphi

لمزيد من الوضوح ، غالبًا ما يتم تصوير المجال الكهربائي باستخدام خطوط القوة والأسطح متساوية الجهد.

خطوط القوة – هذه خطوط متصلة ، المماس الذي عند كل نقطة تمر عبرها تتطابق مع متجه شدة المجال الكهربائي (الشكل 1.5). كثافة خطوط المجال (عدد خطوط المجال التي تمر عبر منطقة وحدة) تتناسب مع شدة المجال الكهربائي.

الأسطح متساوية الجهد (متساوية الجهد) – الأسطح ذات الإمكانات المتساوية. هذه أسطح (خطوط) عند التحرك لا تتغير فيها الإمكانات. خلاف ذلك ، فإن فرق الجهد بين أي نقطتين من تساوي الجهد يساوي صفرًا. خطوط القوة متعامدة مع تساوي الجهد وموجهة في اتجاه تناقص الجهد. هذا يتبع من المعادلة (1.10).

لنأخذ على سبيل المثال مجالًا كهربائيًا متولدًا عن بعد من نقطة تهمة. وفقًا لـ (1.11 ، ب) ، يتطابق متجه الكثافة مع اتجاه المتجه إذا كانت الشحنة موجبة ومتقابلة إذا كانت الشحنة سالبة. لذلك ، تتباعد خطوط القوة قطريًا عن الشحنة (الشكل 1.6 ، أ ، ب). كثافة خطوط المجال ، مثل الكثافة ، تتناسب عكسياً مع مربع المسافة (
) لشحن. مساواة المجال الكهربائي لشحنة نقطية هي كرات متمركزة في موقع الشحنة.

على التين. يوضح الشكل 1.7 المجال الكهربائي لنظام مكون من اثنين متساويين في القيمة المطلقة ، لكن في الاتجاه المعاكس ، رسوم النقطة. نترك هذا المثال للقراء لتحليله بأنفسهم. نلاحظ فقط أن خطوط القوة تبدأ دائمًا بشحنات موجبة وتنتهي عند الشحنات السالبة. في حالة وجود مجال كهربائي لشحنة نقطة واحدة (الشكل 1.6 ، أ ، ب) ، يُفترض أن خطوط القوة تنقطع عند الشحنات البعيدة جدًا للإشارة المعاكسة. من المعتقد أن الكون ككل محايد. لذلك ، إذا كانت هناك تهمة لإحدى اللافتات ، فعندئذٍ سيكون هناك بالتأكيد شحنة من العلامة الأخرى تساويها في القيمة المطلقة.

1.6 نظرية غاوس للمجال الكهربائي في الفراغ

تتمثل المهمة الرئيسية للكهرباء الساكنة في مشكلة إيجاد قوة وإمكانات المجال الكهربائي في كل نقطة في الفضاء. في القسم 1.4 ، حللنا مشكلة مجال الشحنة النقطية واعتبرنا أيضًا مجال نظام الرسوم النقطية. في هذه الفقرة نحن سوف نتكلمحول نظرية تجعل من الممكن حساب المجال الكهربائي للأجسام المشحونة الأكثر تعقيدًا. على سبيل المثال ، خيط طويل مشحون (خط مستقيم) ، مستوى مشحون ، كرة مشحونة ، وغيرها. بعد حساب شدة المجال الكهربائي في كل نقطة في الفضاء ، باستخدام المعادلتين (1.12) و (1.13) ، يمكن للمرء حساب الجهد عند كل نقطة أو فرق الجهد بين أي نقطتين ، أي حل المشكلة الأساسية للكهرباء الساكنة.

للحصول على وصف رياضي ، نقدم مفهوم تدفق متجه الكثافة أو تدفق المجال الكهربائي. ناقل الجريان (F) المجال الكهربائي عبر سطح مربع مستو
الكمية تسمى:

, (1.16)

أين هي شدة المجال الكهربائي ، والتي يُفترض أنها ثابتة داخل الموقع
;
هي الزاوية بين اتجاه المتجه ووحدة ناقل عادي إلى الموقع
(الشكل 1.8). يمكن كتابة الصيغة (1.16) باستخدام مفهوم المنتج القياسي للمتجهات:

. (1.15 ، أ)

في حالة السطح غير مسطح ، لحساب التدفق يجب تقسيمه إلى أجزاء صغيرة
، والتي يمكن اعتبارها مسطحة تقريبًا ، ثم اكتب التعبير (1.16) أو (1.16 ، أ) لكل قطعة من السطح وأضفها. في الحد عند السطح س أناصغير جدا (
) ، يسمى هذا المبلغ تكامل السطح والمشار إليه
. وبالتالي ، فإن تدفق متجه شدة المجال الكهربائي عبر سطح عشوائي يتم تعريفه من خلال التعبير:

. (1.17)

كمثال ، ضع في اعتبارك كرة نصف قطرها ، تتمحور حول شحنة نقطية موجبة ، وتحديد تدفق المجال الكهربائي عبر سطح هذا المجال. خطوط القوة (انظر ، على سبيل المثال ، الشكل 1.6 ، أ) الخارجة من الشحنة عمودية على سطح الكرة ، وفي كل نقطة من الكرة ، تكون وحدة شدة المجال هي نفسها

.

منطقة المجال
,

ومن بعد


.

قيمة
ويمثل تدفق المجال الكهربائي عبر سطح الكرة. وهكذا نحصل
. يمكن ملاحظة أن التدفق عبر سطح مجال المجال الكهربائي لا يعتمد على نصف قطر الكرة ، ولكنه يعتمد فقط على الشحنة نفسها . لذلك ، إذا قمت برسم سلسلة من المجالات متحدة المركز ، فسيكون تدفق المجال الكهربائي عبر كل هذه المجالات هو نفسه. من الواضح أن عدد خطوط القوة التي تعبر هذه المجالات سيكون هو نفسه أيضًا. اتفقنا على أخذ عدد خطوط القوة الخارجة من الشحنة المساوية لتدفق المجال الكهربائي:
.

إذا تم استبدال الكرة بأي سطح مغلق آخر ، فلن يتغير تدفق المجال الكهربائي وعدد خطوط القوة التي تعبره. بالإضافة إلى ذلك ، فإن تدفق المجال الكهربائي عبر سطح مغلق ، وبالتالي عدد خطوط القوة التي تخترق هذا السطح ، يساوي
ليس فقط لمجال الشحنة النقطية ، ولكن أيضًا للحقل الذي تم إنشاؤه بواسطة أي مجموعة من الشحنات النقطية ، على وجه الخصوص ، بواسطة جسم مشحون. ثم القيمة يجب اعتباره مجموع جبري لمجموعة الشحنات الكاملة الموجودة داخل سطح مغلق. هذا هو جوهر نظرية غاوس ، والتي تمت صياغتها على النحو التالي.

تدفق متجه شدة المجال الكهربائي عبر سطح مغلق بشكل تعسفي ، يوجد بداخله نظام الشحنات ، يساوي
، أين
هو المجموع الجبري لهذه الرسوم.

رياضيا ، يمكن كتابة النظرية كـ

. (1.18)

لاحظ أنه إذا كان على بعض السطح سالمتجه ثابت ومتوازي للمتجه ، ثم التدفق من خلال هذا السطح. بتحويل التكامل الأول ، استفدنا أولاً من حقيقة أن المتجهات و مواز ، مما يعني
. ثم أخرج القيمة لعلامة التكامل بسبب حقيقة أنه ثابت في أي نقطة من الكرة . بتطبيق نظرية غاوس لحل مشاكل محددة ، يحاولون اختيار سطح تكون الشروط الموصوفة أعلاه مستوفاة له كسطح مغلق تعسفيًا.

نعطي عدة أمثلة لتطبيق نظرية غاوس.

مثال 1.2.احسب شدة المجال الكهربائي لخيوط لانهائية مشحونة بشكل موحد. أوجد فرق الجهد بين نقطتين في مثل هذا المجال.

المحلول.افترض للتأكيد أن الخيط مشحون بشكل إيجابي. نظرًا لتماثل المشكلة ، يمكن القول إن خطوط القوة ستكون خطوطًا مستقيمة متباعدة قطريًا عن محور الخيط (الشكل 1.9) ، والتي تقل كثافتها كلما ابتعدت عن الخيط وفقًا للبعض قانون. وفقًا لنفس القانون ، سينخفض ​​أيضًا حجم المجال الكهربائي . تكون الأسطح متساوية الجهد عبارة عن أسطح أسطوانية ذات محور يتزامن مع الخيط.

دع الشحنة لكل وحدة طول الخيط تكون . تسمى هذه القيمة كثافة الشحنة الخطية ويتم قياسها بوحدات SI [C / m]. لحساب شدة المجال ، نطبق نظرية غاوس. لهذا ، كسطح مغلق بشكل تعسفي اختر اسطوانة نصف قطرها وطول ، الذي يتزامن محوره مع الخيط (الشكل 1.9). دعونا نحسب تدفق المجال الكهربائي من خلال مساحة سطح الاسطوانة. إجمالي التدفق هو مجموع التدفق عبر السطح الجانبي للأسطوانة والتدفق عبر القواعد

لكن،
، منذ أي نقطة على قواعد الاسطوانة
. هذا يعني انه
في هذه النقاط. يتدفق من خلال السطح الجانبي
. وفقًا لنظرية غاوس ، هذا التدفق الكلي يساوي
. وهكذا حصلنا

.

يتم التعبير عن مجموع الشحنات داخل الأسطوانة من حيث كثافة الشحنة الخطية :
. بشرط
، نحن نحصل

,

, (1.19)

أولئك. تتناقص شدة وكثافة خطوط المجال الكهربائي لخيوط لانهائية مشحونة بشكل عكسي مع المسافة (
).

أوجد فرق الجهد بين النقاط الواقعة على مسافات و من الخيط (ينتمي إلى أسطح أسطوانية متساوية الجهد مع نصف قطر و ). للقيام بذلك ، نستخدم العلاقة بين شدة المجال الكهربائي والإمكانات في الشكل (1.9 ، ج):
. مع الأخذ في الاعتبار التعبير (1.19) ، نحصل على معادلة تفاضلية بمتغيرات قابلة للفصل:

.

مثال 1.3.احسب شدة المجال الكهربائي لمستوى مشحون بشكل منتظم. أوجد فرق الجهد بين نقطتين في مثل هذا المجال.

المحلول. الحقل الكهربائييظهر مستوى مشحون بشكل موحد في الشكل. 1.10. بسبب التناظر ، يجب أن تكون خطوط القوة متعامدة مع المستوى. لذلك ، يمكننا أن نستنتج على الفور أن كثافة الخط ، وبالتالي ، شدة المجال الكهربائي لن تتغير مع المسافة من المستوى. الأسطح متساوية الجهد هي طائرات موازية لطائرة مشحونة معينة. دع الشحنة لكل وحدة مساحة من الطائرة تكون . هذه القيمة تسمى كثافة الشحنة السطحية ويتم قياسها في SI بوحدات [C / m 2].

دعونا نطبق نظرية غاوس. لهذا ، كسطح مغلق بشكل تعسفي اختر اسطوانة بطول ، التي يكون محورها عموديًا على المستوى ، وتكون القواعد على مسافة متساوية منه (الشكل 1.10). إجمالي تدفق المجال الكهربائي
. التدفق عبر السطح الجانبي هو صفر. التدفق عبر كل من القواعد هو
، لهذا
. وفقًا لنظرية غاوس ، نحصل على:

.

مجموع الشحنات داخل الاسطوانة ، نجد من خلال كثافة شحنة السطح :
. ثم من حيث:

. (1.20)

يمكن أن نرى من الصيغة التي تم الحصول عليها أن شدة المجال لطائرة مشحونة بشكل موحد لا تعتمد على المسافة إلى المستوى المشحون ، أي في أي نقطة في الفضاء (في نصف مستوى واحد) هي نفسها من حيث القيمة المطلقة والاتجاه. يسمى هذا المجال متجانس.خطوط القوة في المجال المنتظم متوازية ، ولا تتغير كثافتها.

دعونا نجد فرق الجهد بين نقطتين في مجال متجانس (ينتمي إلى مستويات متساوية الجهد و الكذب في نصف مستوى بالنسبة للمستوى المشحون (الشكل 1.10)). دعونا نوجه المحور عموديًا لأعلى ، فإن إسقاط متجه الشد على هذا المحور يساوي معامل متجه الشد
. نستخدم المعادلة (1.9):

.

قيمة ثابتة (المجال متجانس) يمكن أخذه من تحت علامة التكامل:
. التكامل ، نحصل على:. لذا ، فإن إمكانات المجال المتجانس تعتمد خطيًا على الإحداثي.

فرق الجهد بين نقطتين في المجال الكهربائي هو الجهد بين هاتين النقطتين ( ). دعونا نشير إلى المسافة بين الطائرات متساوية الجهد
. ثم يمكننا كتابة ذلك في مجال كهربائي موحد:

. (1.21)

نؤكد مرة أخرى أنه عند استخدام الصيغة (1.21) ، يجب أن نتذكر تلك الكمية - ليست المسافة بين النقطتين 1 و 2 ، ولكن المسافة بين المستويات متساوية الجهد التي تنتمي إليها هذه النقاط.

مثال 1.4.احسب شدة المجال الكهربائي لطائرتين متوازيتين مشحنتين بشكل موحد بكثافة شحنة السطح
و
.

المحلول.دعونا نستخدم نتيجة المثال 1.3 ومبدأ التراكب. وفقًا لهذا المبدأ ، فإن المجال الكهربائي الناتج في أي نقطة في الفضاء
، أين و - شدة المجال الكهربائي للطائرتين الأولى والثانية. في الفراغ بين الطائرات المتجهة و موجهة في اتجاه واحد ، وبالتالي فإن معامل شدة المجال الناتج. في الفضاء الخارجي للناقل و موجهة في اتجاهات مختلفة ، وبالتالي (الشكل 1.11). وبالتالي ، فإن المجال الكهربائي موجود فقط في الفراغ بين الطائرات. إنه متجانس ، لأنه مجموع حقلين متجانسين.

مثال 1.5.أوجد قوة وإمكانات المجال الكهربائي للكرة ذات الشحنة المنتظمة. الشحنة الكلية للكرة هي ، ونصف قطر الكرة هو .

المحلول.بسبب تناظر توزيع الشحنة ، يجب توجيه خطوط القوة على طول نصف قطر الكرة.

ضع في اعتبارك منطقة داخل كرة. كسطح تعسفي اختر كرة نصف قطرها
، التي يتزامن مركزها مع مركز الكرة المشحونة. ثم تدفق المجال الكهربائي عبر الكرة س:
. مجموع الشحنات داخل الكرة نصف القطر يساوي صفرًا ، نظرًا لأن جميع الشحنات موجودة على سطح كرة نصف قطرها
. ثم من خلال نظرية غاوس:
. بسبب ال
، ومن بعد
. وبالتالي ، لا يوجد مجال داخل كرة مشحونة بشكل موحد.

ضع في اعتبارك منطقة خارج الكرة الأرضية. كسطح تعسفي اختر كرة نصف قطرها
، التي يتزامن مركزها مع مركز الكرة المشحونة. تدفق مجال كهربائي عبر كرة :
. مجموع الشحنات داخل الكرة يساوي إجمالي الشحنة كرة مشحونة نصف القطر . ثم من خلال نظرية غاوس:
. بشرط
، نحن نحصل:

.

دعونا نحسب جهد المجال الكهربائي. من الأنسب أن تبدأ من المنطقة الخارجية
، بما أننا نعلم أنه على مسافة لا نهائية من مركز الكرة ، يُفترض أن الإمكانات تساوي صفرًا. باستخدام المعادلة (1.11 ، أ) نحصل على معادلة تفاضلية بمتغيرات قابلة للفصل:

.

مستمر
، بسبب ال
في
. وهكذا ، في الفضاء الخارجي (
):
.

نقاط على سطح كرة مشحونة (
) سيكون لها الإمكانات
.

ضع في اعتبارك المنطقة
. في هذه المنطقة
لذلك ، من المعادلة (1.11 ، أ) نحصل على:


. بسبب استمرارية الوظيفة
مستمر يجب أن تكون مساوية لقيمة الإمكانات على سطح الكرة المشحونة:
. إذن ، فإن الإمكانات في جميع النقاط داخل الكرة هي:
.

يمكن تمييز المجال الكهروستاتيكي بمزيج من خطوط القوة والجهد المتساوي.

خط القوة - هذا خط مرسوم عقليًا في الحقل ، يبدأ من جسم موجب الشحنة وينتهي بجسم سالب الشحنة ، مرسوم بطريقة تجعل الظل له في أي نقطة في الحقل يعطي اتجاه التوتر عند تلك النقطة.

خطوط القوة تغلق عند الشحنات الموجبة والسالبة ولا يمكن أن تنغلق على نفسها.

تحت سطح متساوي الجهد فهم مجموعة النقاط الميدانية التي لها نفس الإمكانات ().

إذا تم قطع المجال الكهروستاتيكي بواسطة مستوى قاطع ، فستكون آثار تقاطع المستوى مع الأسطح متساوية الجهد مرئية في القسم. تسمى هذه الآثار خطوط متساوية الجهد.

يتم إغلاق خطوط متساوية الجهد على نفسها.

خطوط القوة والخطوط متساوية الجهد تتقاطع بزوايا قائمة.

ص
ضع في اعتبارك السطح متساوي الجهد:

(بما أن النقاط تقع على سطح متساوي الجهد).

- منتج عددي

تخترق خطوط شدة المجال الكهروستاتيكي السطح متساوي الجهد بزاوية 90 0 ، ثم الزاوية بين المتجهات
تساوي 90 درجة ، وحاصل الضرب النقطي لها يساوي 0.

معادلة خط متساوي الجهد

ضع في اعتبارك خط القوة:

ح
يتم توجيه قوة المجال الكهروستاتيكي بشكل عرضي إلى خط المجال (انظر تعريف خط المجال) ، كما يتم توجيه عنصر المسار ، إذن الزاوية بين هذين المتجهين هي صفر.

أو

معادلة خط المجال

قدرة التدرج

قدرة التدرج هو معدل الزيادة المحتملة في أقصر اتجاه بين نقطتين.

هناك بعض الاختلاف المحتمل بين نقطتين. إذا تم تقسيم هذا الاختلاف على أقصر مسافة بين النقاط المأخوذة ، فإن القيمة الناتجة ستحدد معدل التغير المحتمل في اتجاه أقصر مسافة بين النقطتين.

يُظهر التدرج المحتمل اتجاه أكبر زيادة في الإمكانات ، وهو مساوٍ عدديًا لمعامل الشدة وموجه سلبًا بالنسبة إليه.

نقطتان أساسيتان في تعريف التدرج اللوني:

يجب أن يكون الاتجاه الذي يتم فيه اتخاذ نقطتين قريبتين بحيث يكون معدل التغيير هو الحد الأقصى.

الاتجاه هو أن الدالة العددية تتزايد في هذا الاتجاه.

لنظام الإحداثيات الديكارتية:

معدل التغير المحتمل في اتجاه المحور X ، Y ، Z:

;
;

متجهان متساويان فقط عندما تتساوى توقعاتهما مع بعضهما البعض. إسقاط متجه التوتر على المحور Xيساوي إسقاط معدل التغيير المحتمل على طول المحور Xمأخوذة بالعلامة المعاكسة. وبالمثل بالنسبة للمحاور صو ض.

;
;
.

في نظام الإحداثيات الأسطواني ، سيكون التعبير عن التدرج المحتمل بالشكل التالي.

الأسطح متساوية الجهد وخطوط المجال الكهروستاتيكي.

أود أن أكون قادرًا على تصور المجال الكهروستاتيكي. يمكن تمثيل مجال الجهد القياسي هندسيًا كمجموعة الأسطح متساوية الجهد (في الحالة المسطحة - الخطوط) ، أو الأسطح المستوية ، كما يسميها علماء الرياضيات:

لكل سطح من هذا القبيل ، الشرط التالي ينطبق (بالتعريف!):

(*)

نحن نمثل هذا الشرط في الترميز المكافئ:

هنا ينتمي إلى السطح المدروس ، يكون المتجه عموديًا على عنصر السطح (الناتج القياسي للمتجهات غير الصفرية يساوي صفرًا بالضبط في ظل هذه الحالة). لدينا الفرصة لتحديد وحدة المتجه الطبيعي لعنصر السطح المدروس:

بالعودة إلى الفيزياء ، نستنتج ذلك متجه شدة المجال الكهروستاتيكي عمودي على السطح متساوي الجهد لهذا المجال!

المحتوى الرياضي لمفهوم "تدرج المجال القياسي":

اتجاه المتجه هو الاتجاه الذي تزيد فيه الوظيفة بسرعة أكبر ؛

هذه هي زيادة الدالة لكل وحدة طول على طول اتجاه أقصى زيادة.

كيف نبني سطح متساوي الجهد؟

دع السطح متساوي الجهد الذي تعطيه المعادلة (*) يمر عبر نقطة في الفضاء مع إحداثيات ( س ، ص ، ض). دعونا نضع عمليات إزاحة صغيرة بشكل تعسفي لإحداثيين ، على سبيل المثال x => x + dxو y => y + dy.من المعادلة (*) نحدد الإزاحة المطلوبة دز، بحيث تظل نقطة النهاية على سطح متساوي الجهد. بهذه الطريقة ، يمكنك "الوصول" إلى النقطة المطلوبة على السطح.

خط القوة في مجال ناقلات.

تعريف. يتطابق ظل خط القوة في الاتجاه مع المتجه الذي يحدد حقل المتجه المدروس.

المتجه والمتجه في نفس الاتجاه (أي موازٍ لبعضهما البعض) إذا

في تدوين التنسيق لدينا:

من السهل أن نرى أن العلاقات صحيحة:

يمكنك الوصول إلى نفس النتيجة إذا قمت بتدوين حالة التوازي لمتجهين باستخدام حاصل الضرب الاتجاهي:

إذن ، لدينا حقل متجه. ضع في اعتبارك المتجه الأولي كعنصر من عناصر الخط الميداني للحقل المتجه.

وفقًا لتعريف خط الحقل ، يجب استيفاء العلاقات التالية:

(**)

هذه هي الطريقة التي ينظرون بها المعادلات التفاضليةخط الكهرباء. من الممكن الحصول على حل تحليلي لنظام المعادلات هذا في حالات نادرة جدًا (مجال شحنة نقطية ، مجال ثابت ، إلخ). لكن ليس من الصعب رسم مجموعة خطوط القوة بيانياً.

دع خط القوة يمر عبر النقطة ذات الإحداثيات ( س ، ص ، ض). إن قيم إسقاطات متجه الإجهاد على اتجاهات الإحداثيات في هذه النقطة معروفة لنا. نختار خلطًا صغيرًا بشكل تعسفي ، على سبيل المثال ، x => x + dx. وفقًا للمعادلات (**) ، نحدد عمليات الإزاحة المطلوبة دىو دز. لذلك انتقلنا إلى النقطة المجاورة لخط الحقل ويمكن متابعة عملية البناء.

ملحوظة! (نوتا بيني!). لا يحدد خط القوة متجه التوتر تمامًا. إذا تم تعيين اتجاه إيجابي على خط المجال ، فيمكن توجيه متجه التوتر إما إلى الموجب أو إلى الجانب السلبي(ولكن على طول الخط!). لا يحدد خط الحقل معامل المتجه (أي قيمته) للحقل المتجه المدروس.

خصائص الكائنات الهندسية المدخلة: