كيفية حل المعادلات الكسرية ذات المقامات نفسها. حل المعادلات ذات المتغير في مقام الكسر

يتم استخدام القاسم المشترك الأصغر لتبسيط هذه المعادلة.تُستخدم هذه الطريقة عندما لا تتمكن من كتابة المعادلة المعطاة بتعبير نسبي واحد على كل جانب من المعادلة (واستخدم طريقة الضرب التبادلي). تُستخدم هذه الطريقة عندما تحصل على معادلة منطقية تحتوي على 3 كسور أو أكثر (في حالة وجود كسرين، يكون الضرب التبادلي أفضل).

استخدام المعادلات منتشر على نطاق واسع في حياتنا. يتم استخدامها في العديد من العمليات الحسابية وبناء الهياكل وحتى الألعاب الرياضية. لقد استخدم الإنسان المعادلات منذ العصور القديمة ومنذ ذلك الحين زاد استخدامها. في الصف الخامس، يدرس الطلاب في الرياضيات الكثير من المواضيع الجديدة، واحدة منها ستكون المعادلات الكسرية. بالنسبة للكثيرين هذا يكفي. موضوع صعب، حيث يجب على الآباء مساعدة أطفالهم على الفهم، وإذا نسي الآباء الرياضيات، فيمكنهم استخدامها دائمًا برامج على الانترنتحل المعادلات. لذلك، باستخدام مثال، يمكنك فهم الخوارزمية بسرعة لحل المعادلات بالكسور ومساعدة طفلك.

أدناه، من أجل الوضوح، سوف نقوم بحل كسر بسيط معادلة خط مستقيمالنموذج التالي:

\[\frac(x-2)(3) - \frac(3x)(2)=5\]

لتحل هذا النوعمن المعادلة، من الضروري تحديد NOZ وضرب الجزأين الأيسر والأيمن من المعادلة به:

\[\frac(x-2)(3) - \frac(3x)(2)=5\]

سيعطينا هذا معادلة خطية بسيطة لأن المقام المشترك وكذلك مقام كل حد كسري يلغيان:

فلننقل المصطلحات من المجهول إلى الجهه اليسرى:

دعونا نقسم الأجزاء اليسرى واليمنى على -7:

ومن النتيجة التي تم الحصول عليها يمكن تمييز جزء صحيح، والذي سيكون النتيجة النهائية لحل هذه المعادلة الكسرية:

أين يمكنني حل المعادلة بالكسور عبر الإنترنت؟

يمكنك حل المعادلة على موقعنا https://site. سيسمح لك الحل المجاني عبر الإنترنت بحل معادلة عبر الإنترنت بأي تعقيد في ثوانٍ. كل ما عليك فعله هو فقط إدخال بياناتك في الحلال. يمكنك أيضًا مشاهدة تعليمات الفيديو ومعرفة كيفية حل المعادلة على موقعنا. وإذا كانت لديك أي أسئلة، يمكنك طرحها في مجموعة فكونتاكتي الخاصة بنا http://vk.com/pocketteacher. انضم إلى مجموعتنا، نحن سعداء دائمًا بمساعدتك.

يمكن حل المعادلات التي تحتوي على متغير في المقام بطريقتين:

اختزال الكسور إلى قاسم مشترك

باستخدام الخاصية الأساسية للنسبة

بغض النظر عن الطريقة المختارة، بعد العثور على جذور المعادلة، من الضروري الاختيار من بين القيم التي تم العثور عليها القيم المقبولة، أي تلك التي لا يحول المقام إلى $0$.

1 الطريق. جلب الكسور إلى قاسم مشترك.

مثال 1

$\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)$

حل:

1. انقل الكسر من الجانب الأيمن للمعادلة إلى اليسار

\[\frac(2x+3)(2x-1)-\frac(x-5)(x+3)=0\]

وللقيام بذلك بشكل صحيح، نتذكر أنه عند نقل العناصر إلى جزء آخر من المعادلة، تتغير الإشارة الموجودة أمام التعبيرات إلى العكس. لذا، إذا كانت على الجانب الأيمن علامة "+" قبل الكسر، فستكون على الجانب الأيسر علامة "-" أمامه، ثم على الجانب الأيسر نحصل على فرق الكسور.

2. الآن نلاحظ أن الكسور لها مقامات مختلفة، مما يعني أنه من أجل تعويض الفرق، من الضروري جلب الكسور إلى مقام مشترك. القاسم المشتركسيكون حاصل ضرب كثيرات الحدود في مقامات الكسور الأصلية: $(2x-1)(x+3)$

للحصول على تعبير مطابق، يجب ضرب بسط ومقام الكسر الأول في كثير الحدود $(x+3)$، والثاني في كثير الحدود $(2x-1)$.

\[\frac((2x+3)(x+3))((2x-1)(x+3))-\frac((x-5)(2x-1))((x+3)( 2x-1))=0\]

لنقم بإجراء التحويل في بسط الكسر الأول - سنضرب كثيرات الحدود. تذكر أنه لهذا من الضروري ضرب الحد الأول من كثيرة الحدود الأولى، وضرب كل حد من كثيرة الحدود الثانية، ثم ضرب الحد الثاني من كثيرة الحدود الأولى في كل حد من كثيرة الحدود الثانية وإضافة النتائج

\[\left(2x+3\right)\left(x+3\right)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9\]

نقدم مصطلحات مماثلة في التعبير الناتج

\[\left(2x+3\right)\left(x+3\right)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9=\] \[(=2x)^2+9x+9\]

قم بإجراء تحويل مماثل في بسط الكسر الثاني - سنضرب كثيرات الحدود

$\left(x-5\right)\left(2x-1\right)=x\cdot 2x-x\cdot 1-5\cdot 2x+5\cdot 1=(2x)^2-x-10x+ 5 =(2x)^2-11x+5$

عندها ستأخذ المعادلة الشكل:

\[\frac((2x)^2+9x+9)((2x-1)(x+3))-\frac((2x)^2-11x+5)((x+3)(2x- 1))=0\]

الآن الكسور التي لها نفس المقام، حتى تتمكن من طرحها. تذكر أنه عند طرح الكسور التي لها نفس المقام من بسط الكسر الأول، من الضروري طرح بسط الكسر الثاني، مع ترك المقام كما هو

\[\frac((2x)^2+9x+9-((2x)^2-11x+5))((2x-1)(x+3))=0\]

دعونا نحول التعبير في البسط. من أجل فتح الأقواس التي تسبقها علامة "-"، يجب عكس جميع الإشارات الموجودة أمام المصطلحات الموجودة بين القوسين

\[(2x)^2+9x+9-\left((2x)^2-11x+5\right)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5\]

نقدم مثل الشروط

$(2x)^2+9x+9-\يسار((2x)^2-11x+5\يمين)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5=20x+4 $

ثم سوف يأخذ الكسر النموذج

\[\frac((\rm 20x+4))((2x-1)(x+3))=0\]

3. الكسر يساوي $0$ إذا كان بسطه 0. لذلك، فإننا نساوي بسط الكسر بـ $0$.

\[(\rm 20x+4=0)\]

دعونا نحل المعادلة الخطية:

4. دعونا نختبر الجذور. هذا يعني أنه من الضروري التحقق مما إذا كانت مقامات الكسور الأصلية تتحول إلى $0$ عند العثور على الجذور.

لقد وضعنا الشرط بأن المقامات لا تساوي $0$

x$\ne 0.5$ x$\ne -3$

وهذا يعني أن جميع قيم المتغيرات مسموحة، باستثناء $-3$ و $0.5$.

الجذر الذي وجدناه هو قيمة صالحة، لذلك يمكن اعتباره جذر المعادلة بأمان. إذا لم يكن الجذر الذي تم العثور عليه قيمة صالحة، فسيكون هذا الجذر غريبًا، وبالطبع، لن يتم تضمينه في الإجابة.

إجابة:$-0,2.$

يمكننا الآن كتابة خوارزمية لحل معادلة تحتوي على متغير في المقام

خوارزمية لحل معادلة تحتوي على متغير في المقام

انقل جميع العناصر من الجانب الأيمن للمعادلة إلى الجانب الأيسر. للحصول على معادلة متطابقة، من الضروري تغيير جميع الإشارات الموجودة أمام التعبيرات الموجودة على الجانب الأيمن إلى العكس

إذا حصلنا على الجانب الأيسر من التعبير مع قواسم مختلفة، ثم نأتي بهم إلى العام باستخدام الخاصية الرئيسية للكسر. قم بإجراء التحويلات باستخدام تحويلات متطابقة واحصل على الكسر النهائي يساوي $0$.

قم بمساواة البسط بـ $0$ وابحث عن جذور المعادلة الناتجة.

دعونا عينة الجذور، أي. ابحث عن قيم متغيرة صالحة لا تحول المقام إلى $0$.

2 طريقة. باستخدام الخاصية الأساسية للنسبة

الخاصية الأساسية للنسبة هي أن حاصل ضرب الحدود القصوى للنسبة يساوي حاصل ضرب الحدود الوسطى.

مثال 2

نحن نستخدم خاصية معينةلحل هذه المهمة

\[\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)\]

1. دعونا نوجد ونساوي حاصل ضرب الأعضاء المتطرفة والمتوسطة في النسبة.

$\left(2x+3\right)\cdot(\ x+3)=\left(x-5\right)\cdot(2x-1)$

\[(2x)^2+3x+6x+9=(2x)^2-10x-x+5\]

وبحل المعادلة الناتجة، نجد جذور الأصل

2. دعونا نجد القيم المسموح بها للمتغير.

من الحل السابق (الطريقة الأولى) وجدنا بالفعل أن أي قيم مسموح بها باستثناء $-3$ و$0.5$.

وبعد أن تأكدنا من أن الجذر الذي تم العثور عليه هو قيمة صالحة، اكتشفنا أن $-0.2$ سيكون هو الجذر.