دعونا نحدد الطاقة الحركية لجسم صلب يدور حول محور ثابت. دعونا نقسم هذا الجسم إلى نقاط مادية n. تتحرك كل نقطة بسرعة خطية υ i =ωr i ، ثم الطاقة الحركية للنقطة

أو

إجمالي الطاقة الحركية للدوران جسم صلبيساوي مجموع الطاقات الحركية لجميع نقاطه المادية:

(3.22)

(ي - عزم القصور الذاتي للجسم حول محور الدوران)

إذا كانت مسارات جميع النقاط تقع في مستويات متوازية (مثل أسطوانة تتدحرج على مستوى مائل، فإن كل نقطة تتحرك في مستواها الخاص، الشكل)، فهذا هو حركة مسطحة. وفقًا لمبدأ أويلر، يمكن دائمًا تحليل الحركة المستوية بعدد لا حصر له من الطرق إلى حركة انتقالية ودورانية. إذا سقطت الكرة أو انزلقت على مستوى مائل، فإنها تتحرك للأمام فقط؛ عندما تتدحرج الكرة، فإنها تدور أيضًا.

إذا قام جسم بحركات انتقالية ودورانية في نفس الوقت، فإن إجمالي طاقة حركته يساوي

(3.23)

من مقارنة صيغ الطاقة الحركية للحركات الانتقالية والدورانية، يمكن ملاحظة أن مقياس القصور الذاتي أثناء الحركة الدورانية هو لحظة القصور الذاتي للجسم.

§ 3.6 عمل القوى الخارجية أثناء دوران الجسم الصلب

عندما يدور جسم صلب فإن طاقته الكامنة لا تتغير، وبالتالي فإن الشغل الأولي للقوى الخارجية يساوي الزيادة في الطاقة الحركية للجسم:

دا = دي أو

بالنظر إلى أن Jβ = M، ωdr = dφ، لدينا α للجسم بزاوية محدودة φ تساوي

(3.25)

عندما يدور جسم صلب حول محور ثابت، فإن عمل القوى الخارجية يتحدد من خلال تأثير عزم هذه القوى حول محور معين. إذا كان عزم القوى حول المحور يساوي صفرًا، فإن هذه القوى لا تنتج شغلًا.

أمثلة على حل المشكلات

مثال 2.1. كتلة دولاب الموازنةم= 5 كجم ونصف القطرص= 0.2 م يدور حول المحور الأفقي بترددν 0 = 720 دقيقة -1 ويتوقف عند الكبحر= 20 ثانية. أوجد عزم الكبح وعدد الثورات قبل التوقف.

لتحديد عزم الكبح، نطبق المعادلة الأساسية لديناميات الحركة الدورانية

حيث I=mr 2 هي لحظة القصور الذاتي للقرص؛ Δω \u003d ω - ω 0، و ω \u003d 0 هي السرعة الزاوية النهائية، ω 0 \u003d 2πν 0 هي السرعة الأولية. M هي لحظة الكبح للقوى المؤثرة على القرص.

وبمعرفة جميع الكميات يمكن تحديد عزم الكبح

السيد 2 2πν 0 = ميت (1)

(2)

من حركيات الحركة الدورانية، يمكن تحديد زاوية الدوران أثناء دوران القرص حتى التوقف من خلال الصيغة

(3)

حيث β هو التسارع الزاوي.

وفقًا لحالة المشكلة: ω = ω 0 - βΔt، نظرًا لأن ω=0، ω 0 = βΔt

ثم يمكن كتابة التعبير (2) على النحو التالي:

مثال 2.2. تم تدوير حذافاتين على شكل أقراص لها نفس نصف القطر والكتلة حتى تصل إلى سرعة الدورانن= 480 دورة في الدقيقة ويتركون لأنفسهم. تحت تأثير قوى الاحتكاك للأعمدة على المحامل، توقف الأول بعد ذلكر\u003d 80 ثانية، والثاني فعلن= 240 دورة للتوقف. في أي دولاب الموازنة، كانت لحظة قوى الاحتكاك للأعمدة على المحامل أكبر وكم مرة.

سنجد عزم قوى الشوك M 1 للحدافة الأولى باستخدام المعادلة الأساسية لديناميات الحركة الدورانية

م 1 Δt \u003d Iω 2 - Iω 1

حيث Δt هو زمن عمل لحظة قوى الاحتكاك، I=mr 2 هي لحظة القصور الذاتي للحدافة، ω 1 = 2πν و ω 2 = 0 هي السرعات الزاوية الأولية والنهائية للحدافات

ثم

يتم التعبير عن لحظة قوى الاحتكاك M 2 للحدافة الثانية من خلال العلاقة بين الشغل A لقوى الاحتكاك والتغير في طاقتها الحركية ΔE k:

حيث Δφ = 2πN هي زاوية الدوران، N هو عدد دورات دولاب الموازنة.

ثم أين

عن ستكون النسبة

عزم الاحتكاك للحذافة الثانية أكبر بمقدار 1.33 مرة.

مثال 2.3. كتلة القرص الصلب المتجانس م، كتل الأحمال م 1 و م 2 (الشكل 15). لا يوجد انزلاق واحتكاك للخيط في محور الاسطوانة. أوجد تسارع الكتل ونسبة شد الخيوطفي عملية الحركة.

لا يوجد انزلاق للخيط، لذلك، عندما يقوم m 1 و m 2 بإجراء حركة انتقالية، ستدور الأسطوانة حول المحور الذي يمر عبر النقطة O. لنفترض على وجه التحديد أن m 2 > m 1.

ثم يتم خفض الحمل م 2 وتدور الاسطوانة في اتجاه عقارب الساعة. دعونا نكتب معادلات حركة الأجسام الموجودة في النظام

تتم كتابة المعادلتين الأوليين للأجسام ذات الكتل م 1 و م 2 التي تؤدي حركة انتقالية، والمعادلة الثالثة للأسطوانة الدوارة. في المعادلة الثالثة، على اليسار توجد اللحظة الإجمالية للقوى المؤثرة على الأسطوانة (يتم أخذ لحظة القوة T 1 بعلامة الطرح، لأن القوة T 1 تميل إلى قلب الأسطوانة عكس اتجاه عقارب الساعة). على اليمين، I هو عزم القصور الذاتي للأسطوانة حول المحور O، وهو يساوي

حيث R هو نصف قطر الاسطوانة؛ β هو التسارع الزاوي للأسطوانة.

نظرًا لعدم وجود زلة الخيط ،
. وبأخذ التعابير الخاصة بـ I و β في الاعتبار، نحصل على:

وبجمع معادلات النظام نصل إلى المعادلة

ومن هنا نجد التسارع أالبضائع

ويتبين من المعادلة الناتجة أن شد الخيط سيكون هو نفسه، أي. =1 إذا كانت كتلة الاسطوانة أقل بكثير من كتلة الأوزان.

مثال 2.4. كرة مجوفة كتلتها m = 0.5 كجم، ونصف قطرها الخارجي R = 0.08m ونصف قطرها الداخلي r = 0.06m. تدور الكرة حول محور يمر بمركزها. في لحظة معينة، تبدأ قوة في التأثير على الكرة، ونتيجة لذلك تتغير زاوية دوران الكرة وفقًا للقانون
. تحديد لحظة القوة المطبقة.

نحن نحل المشكلة باستخدام المعادلة الأساسية لديناميات الحركة الدورانية
. تكمن الصعوبة الرئيسية في تحديد عزم القصور الذاتي للكرة المجوفة، ويتم العثور على التسارع الزاوي β كما يلي:
. لحظة القصور الذاتي I للكرة المجوفة تساوي الفرق بين لحظات القصور الذاتي لكرة نصف قطرها R وكرة نصف قطرها r:

حيث ρ هي كثافة مادة الكرة. نجد الكثافة بمعرفة كتلة الكرة المجوفة

ومن هنا نحدد كثافة مادة الكرة

بالنسبة إلى لحظة القوة M نحصل على التعبير التالي:

مثال 2.5. قضيب رفيع كتلته 300 جرام وطوله 50 سم ويدور بسرعة زاوية قدرها 10 ث -1 في مستوى أفقي حول محور رأسي يمر بمنتصف القضيب. أوجد السرعة الزاوية إذا تحرك القضيب أثناء الدوران في نفس المستوى بحيث يمر محور الدوران بنهاية القضيب.

نستخدم قانون حفظ الزخم الزاوي

(1)

(J i - لحظة القصور الذاتي للقضيب بالنسبة لمحور الدوران).

بالنسبة لنظام معزول من الأجسام، يظل المجموع المتجه للزخم الزاوي ثابتًا. نظرًا لحقيقة أن توزيع كتلة القضيب بالنسبة لمحور الدوران يتغير، فإن عزم القصور الذاتي للقضيب يتغير أيضًا وفقًا لـ (1):

ي 0 ω 1 = ي 2 ω 2 . (2)

من المعروف أن عزم القصور الذاتي للقضيب حول المحور المار بمركز الكتلة والعمودي على القضيب يساوي

ي 0 \u003d مℓ 2 / 12. (3)

وفقا لنظرية شتاينر

ي = ي 0 +م أ 2

(J هي لحظة القصور الذاتي للقضيب حول محور دوران عشوائي؛ J 0 هي لحظة القصور الذاتي حول محور موازٍ يمر عبر مركز الكتلة؛ أ- المسافة من مركز الكتلة إلى محور الدوران المحدد).

لنجد عزم القصور الذاتي للمحور الذي يمر بنهايته والعمودي على القضيب:

ي 2 \u003d ي 0 + م أ 2 , J 2 = مℓ 2 /12 + م(ℓ/2) 2 = مℓ 2 /3. (4)

دعونا نستبدل الصيغتين (3) و (4) في (2):

مℓ 2 ω 1 /12 = مℓ 2 ω 2 /3

ω 2 \u003d ω 1 /4 ω 2 \u003d 10s-1/4 \u003d 2.5s -1

مثال 2.6 . رجل جماعيم= 60 كجم، يقف على حافة المنصة بكتلة M = 120 كجم، يدور بالقصور الذاتي حول محور رأسي ثابت بتردد ν 1 =12 دقيقة -1 ، يذهب إلى مركزها. بالنظر إلى المنصة كقرص مستدير متجانس، والشخص ككتلة نقطية، حدد بأي تردد ν 2 سيتم بعد ذلك تدوير المنصة.

منح:م=60 كجم، م=120 كجم، ν 1 =12 دقيقة -1 = 0.2 ثانية -1 .

يجد:ضد 1

حل:وبحسب حالة المشكلة، فإن المنصة مع الشخص تدور بالقصور الذاتي، أي. العزم الناتج لجميع القوى المطبقة على النظام الدوار هو صفر. لذلك، بالنسبة لنظام "رجل المنصة"، يتم تحقيق قانون الحفاظ على الزخم

أنا 1 ω 1 = أنا 2 ω 2

أين
- عزم القصور الذاتي للنظام عندما يقف شخص على حافة المنصة (أخذنا في الاعتبار أن عزم القصور الذاتي للنظام يساوي (R هو نصف القطر ص
منصة)، لحظة القصور الذاتي للشخص على حافة المنصة هي mR 2).

- عزم القصور الذاتي للنظام عندما يقف شخص في وسط المنصة (أخذنا في الاعتبار أن عزم القصور الذاتي للنظام عندما يقف شخص في وسط المنصة يساوي صفر). السرعة الزاوية ω 1 = 2π ν 1 و ω 1 = 2π ν 2 .

باستبدال التعبيرات المكتوبة في الصيغة (1) نحصل على

ومن هنا سرعة الدوران المطلوبة

إجابة: الخامس 2 =24 دقيقة -1 .

دعونا نفكر أولًا في جسم صلب يدور حول محور ثابت OZ بسرعة زاوية ω (الشكل 5.6). دعونا نقسم الجسم إلى كتل أولية. السرعة الخطية للكتلة الأولية هي حيث بعدها عن محور الدوران. الطاقة الحركية أنا- تلك الكتلة الأولية ستكون مساوية

.

وبالتالي فإن الطاقة الحركية للجسم كله تتكون من الطاقات الحركية لأجزائه

.

وباعتبار أن المجموع على الجانب الأيمن من هذه العلاقة يمثل عزم القصور الذاتي للجسم حول محور الدوران، فإننا نحصل أخيرًا على

. (5.30)

تتشابه صيغ الطاقة الحركية لجسم دوار (5.30) مع الصيغ المقابلة للطاقة الحركية للحركة الانتقالية للجسم. يتم الحصول عليها من الأخير عن طريق الاستبدال الرسمي .

في الحالة العامة، يمكن تمثيل حركة الجسم الصلب كمجموع الحركات - متعدية مع السرعة، سرعة متساويةمركز كتلة الجسم، ويدور بسرعة زاوية حول محور لحظي يمر بمركز الكتلة. في هذه الحالة، يأخذ التعبير عن الطاقة الحركية للجسم الشكل

.

دعونا الآن نوجد الشغل الذي تبذله القوى الخارجية أثناء دوران جسم صلب. العمل الأولي للقوى الخارجية في الوقت المناسب dtسيكون مساوياً للتغير في الطاقة الحركية للجسم

وبأخذ التفاضل من الطاقة الحركية للحركة الدورانية، نجد مقدار الزيادة فيها

.

وفقا للمعادلة الأساسية لديناميات الحركة الدورانية

مع الأخذ في الاعتبار هذه العلاقات، فإننا نختصر التعبير عن العمل الأولي إلى النموذج

حيث يكون إسقاط عزم القوى الخارجية الناتج على اتجاه محور الدوران OZ، هو زاوية دوران الجسم خلال الفترة الزمنية المعتبرة.

بالتكامل (5.31) نحصل على صيغة عمل القوى الخارجية المؤثرة على جسم دوار

إذا، فسيتم تبسيط الصيغة

وبالتالي، فإن عمل القوى الخارجية أثناء دوران جسم صلب حول محور ثابت يتحدد من خلال تأثير عزم هذه القوى على محور معين.

جيروسكوب

الجيروسكوب عبارة عن جسم متماثل يدور بسرعة، ويمكن لمحور دورانه أن يغير اتجاهه في الفضاء. بحيث يمكن لمحور الجيروسكوب أن يدور بحرية في الفضاء، يتم وضع الجيروسكوب في ما يسمى بتعليق المحور (الشكل 5.13). تدور دولاب الموازنة للجيروسكوب في القفص الحلقي الداخلي حول المحور C 1 C 2 مروراً بمركز ثقله. ويمكن للقفص الداخلي بدوره أن يدور في القفص الخارجي حول المحور B 1 B 2 المتعامد مع C 1 C 2 . أخيرًا، يمكن للسباق الخارجي أن يدور بحرية في محامل الدعامة حول المحور A 1 A 2 المتعامد مع المحورين C 1 C 2 و B 1 B 2 . تتقاطع المحاور الثلاثة عند نقطة ثابتة O تسمى مركز التعليق أو نقطة ارتكاز الجيروسكوب. يتمتع الجيروسكوب الموجود في المحور المحوري بثلاث درجات من الحرية، وبالتالي يمكنه إجراء أي دوران حول مركز المحور المحوري. إذا كان مركز تعليق الجيروسكوب يتطابق مع مركز ثقله، فإن عزم الجاذبية الناتج لجميع أجزاء الجيروسكوب بالنسبة إلى مركز التعليق يساوي الصفر. يسمى هذا الجيروسكوب متوازن.

ولنتناول الآن أهم خصائص الجيروسكوب التي وجدت له تطبيقًا واسعًا في مختلف المجالات.

1) الاستدامة.

مع أي دوران لحامل الجيروسكوب المتوازن، يحتفظ محور دورانه بنفس الاتجاه بالنسبة إلى نظام المختبرمرجع. ويرجع ذلك إلى حقيقة أن لحظة جميع القوى الخارجية، يساوي اللحظةقوى الاحتكاك صغيرة جدًا ولا تسبب عمليًا تغييرًا في الزخم الزاوي للجيروسكوب، أي.

وبما أن الزخم الزاوي موجه على طول محور دوران الجيروسكوب، فيجب أن يظل اتجاهه دون تغيير.

إذا أثرت قوة خارجية لفترة قصيرة، فإن التكامل الذي يحدد زيادة الزخم الزاوي سيكون صغيرًا

. (5.34)

وهذا يعني أنه في ظل التأثيرات قصيرة المدى حتى للقوى الكبيرة، فإن حركة الجيروسكوب المتوازن تتغير قليلاً. يقاوم الجيروسكوب كل المحاولات لتغيير حجم واتجاه زخمه الزاوي. ويرتبط بهذا الاستقرار الرائع الذي تكتسبه حركة الجيروسكوب بعد إدخالها في دوران سريع. تُستخدم خاصية الجيروسكوب هذه على نطاق واسع تحكم تلقائىحركة الطائرات والسفن والصواريخ وغيرها من المركبات.

إذا تصرفنا على الجيروسكوب منذ وقت طويلثابتًا في اتجاه عزم القوى الخارجية، ثم يتم تثبيت محور الجيروسكوب، في النهاية، في اتجاه عزم القوى الخارجية. يتم استخدام هذه الظاهرة في البوصلة الجيروسكوبية. هذا الجهاز عبارة عن جيروسكوب يمكن لمحوره أن يدور بحرية في مستوى أفقي. بسبب الدوران اليومي للأرض وعمل لحظة قوى الطرد المركزي، يدور محور الجيروسكوب بحيث تصبح الزاوية بين و عند الحد الأدنى (الشكل 5.14). وهذا يتوافق مع موضع محور الجيروسكوب في مستوى الزوال.

2). تأثير الجيروسكوب.

إذا تم تطبيق زوج من القوى على جيروسكوب دوار، ويميل إلى تدويره حول محور عمودي على محور الدوران، فسوف يدور حول المحور الثالث، المتعامد مع المحورين الأولين (الشكل 5.15). يُسمى هذا السلوك غير العادي للجيروسكوب بالتأثير الجيروسكوبي. يتم تفسير ذلك من خلال حقيقة أن عزم زوج من القوى يتم توجيهه على طول المحور O 1 O 1 وأن ​​التغيير في المتجه بقيمة مع مرور الوقت سيكون له نفس الاتجاه. ونتيجة لذلك، سوف يدور المتجه الجديد حول المحور O 2 O 2. وبالتالي، فإن سلوك الجيروسكوب الذي يبدو غير طبيعي يتوافق تمامًا مع قوانين ديناميكيات الحركة الدورانية

3). الدوران الجيروسكوبي.

حركة الجيروسكوب هي الحركة المخروطية لمحوره. يحدث ذلك عندما تدور لحظة القوى الخارجية، التي تظل ثابتة في الحجم، في نفس الوقت مع محور الجيروسكوب، وتشكل معه زاوية قائمة طوال الوقت. لإثبات الحركة المسبقة، يمكن استخدام عجلة دراجة ذات محور ممتد، يتم إدخالها في دوران سريع (الشكل 5.16).

إذا تم تعليق العجلة من الطرف الممتد للمحور، فسيبدأ محورها في التحرك حول المحور الرأسي تحت تأثير وزنه. يمكن أيضًا أن يكون الجزء العلوي الذي يدور بسرعة بمثابة دليل على الحركة المسبقة.

تعرف على أسباب حركة الجيروسكوب. خذ بعين الاعتبار جيروسكوبًا غير متوازن يمكن لمحوره أن يدور بحرية حول نقطة معينة O (الشكل 5.16). لحظة الجاذبية المطبقة على الجيروسكوب متساوية في الحجم

أين هي كتلة الجيروسكوب، هي المسافة من النقطة O إلى مركز كتلة الجيروسكوب، هي الزاوية التي يشكلها محور الجيروسكوب مع العمودي. يتم توجيه المتجه بشكل عمودي على المستوى الرأسي الذي يمر عبر محور الجيروسكوب.

في ظل تأثير هذه اللحظة، سيحصل الزخم الزاوي للجيروسكوب (بدايته عند النقطة O) على زيادة في الوقت المناسب، وسوف يدور المستوى الرأسي الذي يمر عبر محور الجيروسكوب بزاوية. يكون المتجه دائمًا متعامدًا على ، لذلك، بدون تغيير في الحجم، يتغير الاتجاه فقط. ومع ذلك، بعد فترة من الوقت الترتيب المتبادلالمتجهات وستكون هي نفسها كما كانت في اللحظة الأولى. ونتيجة لذلك، فإن محور الجيروسكوب سوف يدور بشكل مستمر حول الوضع الرأسي، ويصف المخروط. هذه الحركة تسمى المبادرة.

دعونا نحدد السرعة الزاوية للمبادرة. وفقا للشكل 5.16، فإن زاوية دوران المستوى الذي يمر عبر محور المخروط ومحور الجيروسكوب تساوي

أين هو الزخم الزاوي للجيروسكوب، وما هو زيادته مع مرور الوقت.

بالقسمة على، مع مراعاة العلاقات والتحولات المذكورة أعلاه، نحصل على السرعة الزاوية للمبادرة

. (5.35)

بالنسبة للجيروسكوبات المستخدمة في التكنولوجيا، تكون السرعة الزاوية للمبادرة أقل بملايين المرات من سرعة دوران الجيروسكوب.

وفي الختام نلاحظ أن ظاهرة المبادرة تلاحظ أيضا في الذرات بسبب الحركة المدارية للإلكترونات.

أمثلة على تطبيق قوانين الديناميكية

في حركة دوارة

1. النظر في بعض الأمثلة على قانون الحفاظ على الزخم الزاوي، والتي يمكن تنفيذها باستخدام مقعد جوكوفسكي. في أبسط الحالات، فإن مقعد Zhukovsky عبارة عن منصة على شكل قرص (كرسي) يمكن أن تدور بحرية حول محور رأسي على محامل كروية (الشكل 5.17). يجلس المتظاهر أو يقف على المقعد، وبعد ذلك يتم تحريكه بالحركة الدورانية. نظرًا لأن قوى الاحتكاك الناتجة عن استخدام المحامل صغيرة جدًا، فإن الزخم الزاوي للنظام المكون من المقعد والعارض، بالنسبة لمحور الدوران، لا يمكن أن يتغير بمرور الوقت إذا ترك النظام لنفسه . إذا كان المتظاهر يحمل دمبلًا ثقيلًا في يديه وينشر ذراعيه على الجانبين، فإنه سيزيد من عزم القصور الذاتي للنظام، وبالتالي يجب أن تنخفض السرعة الزاوية للدوران بحيث يظل الزخم الزاوي دون تغيير.

ووفقا لقانون حفظ الزخم الزاوي، قمنا بتكوين معادلة لهذه الحالة

أين عزم القصور الذاتي للشخص والمقعد، وأين عزم القصور الذاتي للدمبل في الوضعين الأول والثاني، وما هي السرعات الزاوية للنظام.

ستكون السرعة الزاوية لدوران النظام عند رفع الدمبل إلى الجانب مساوية

.

يمكن تحديد الشغل الذي يقوم به الشخص عند تحريك الدمبل من خلال التغير في الطاقة الحركية للنظام

2. دعونا نجري تجربة أخرى مع مقعد جوكوفسكي. يجلس المتظاهر أو يقف على مقعد ويُعطى عجلة تدور بسرعة بمحور موجه رأسياً (الشكل 5.18). يقوم المتظاهر بعد ذلك بتدوير العجلة بمقدار 180 0 . في هذه الحالة، يتم نقل التغيير في الزخم الزاوي للعجلة بالكامل إلى المقعد والمتظاهر. ونتيجة لذلك، فإن المقعد، جنبًا إلى جنب مع العارض، يدور بسرعة زاوية محددة على أساس قانون الحفاظ على الزخم الزاوي.

يتم تحديد الزخم الزاوي للنظام في الحالة الأولية فقط من خلال الزخم الزاوي للعجلة ويساوي

حيث عزم القصور الذاتي للعجلة هو السرعة الزاوية لدورانها.

بعد تدوير العجلة بزاوية 180 درجة، سيتم بالفعل تحديد لحظة زخم النظام من خلال مجموع لحظة زخم المقعد مع الشخص ولحظة زخم العجلة. ومع الأخذ في الاعتبار حقيقة أن ناقل الزخم للعجلة قد تغير اتجاهه إلى العكس، وأصبح إسقاطه على المحور الرأسي سلبيا، نحصل على

,

أين هي لحظة القصور الذاتي لنظام "منصة الرجل"، هي السرعة الزاوية لدوران المقعد مع الشخص.

وفقا لقانون الحفاظ على الزخم الزاوي

و .

ونتيجة لذلك، نجد سرعة دوران المقعد

3. كتلة قضيب رقيقة موالطول ليدور بسرعة زاوية ω=10 s -1 في مستوى أفقي حول محور رأسي يمر بمنتصف القضيب. مع استمراره في الدوران في المستوى نفسه، يتحرك القضيب بحيث يمر محور الدوران عبر نهاية القضيب. أوجد السرعة الزاوية في الحالة الثانية.

في هذه المشكلة، نظرًا لحقيقة أن توزيع كتلة القضيب بالنسبة لمحور الدوران يتغير، فإن عزم القصور الذاتي للقضيب يتغير أيضًا. وفقا لقانون الحفاظ على الزخم الزاوي لنظام معزول، لدينا

هنا - لحظة القصور الذاتي للقضيب حول المحور الذي يمر عبر منتصف القضيب؛ - عزم القصور الذاتي للقضيب حول المحور الذي يمر بنهايته ويتم إيجاده بواسطة نظرية شتاينر.

وبالتعويض بهذه العبارات في قانون حفظ الزخم الزاوي، نحصل على

,

.

4. طول القضيب ل= 1.5 م والوزن م 1= 10 كجم معلقة في الطرف العلوي. أصابت رصاصة منتصف القضيب بكتلة م2=10 g، ويطير أفقيًا بسرعة =500 m/s، ويعلق في القضيب. ما الزاوية التي ينحرف بها القضيب بعد الاصطدام؟

دعونا نتخيل في الشكل. 5.19. نظام الأجسام المتفاعلة "رصاصة قضيبية". لحظات القوى الخارجية (الجاذبية، رد الفعل المحوري) عند لحظة الارتطام تساوي صفر، لذلك يمكننا استخدام قانون حفظ الزخم الزاوي

الزخم الزاوي للنظام قبل الاصطدام يساوي الزخم الزاوي للرصاصة بالنسبة إلى نقطة التعليق

يتم تحديد الزخم الزاوي للنظام بعد التأثير غير المرن بواسطة الصيغة

,

أين هي لحظة القصور الذاتي للقضيب بالنسبة إلى نقطة التعليق، هي لحظة القصور الذاتي للرصاصة، هي السرعة الزاوية للقضيب مع الرصاصة مباشرة بعد الاصطدام.

وبحل المعادلة الناتجة بعد التعويض نجد

.

دعونا الآن نستخدم قانون حفظ الطاقة الميكانيكية. دعونا نساوي الطاقة الحركية للقضيب بعد إصابة الرصاصة به مع طاقته الكامنة عند أعلى نقطة في الصعود:

,

أين هو ارتفاع مركز كتلة النظام المعطى.

بعد إجراء التحولات اللازمة، نحصل على

ترتبط زاوية انحراف القضيب بالقيمة بالنسبة

.

وبعد إجراء الحسابات نحصل على =0,1p=18 0 .

5. تحديد تسارع الأجسام وشد الخيط على آلة أتوود بافتراض ذلك (الشكل 5.20). عزم القصور الذاتي للكتلة حول محور الدوران هو أنا، نصف قطر الكتلة ص. تجاهل كتلة الخيط.

نرتب جميع القوى المؤثرة على الأحمال والبلوك ونؤلف المعادلات الديناميكية لها

إذا لم يكن هناك انزلاق للخيط على طول الكتلة، فإن التسارع الخطي والزاوي يرتبطان بالعلاقة

وبحل هذه المعادلات نحصل على

ثم نجد T 1 و T 2 .

6. يتم ربط الخيط ببكرة صليب Oberbeck (الشكل 5.21) ، حيث يتم تحميل الكتلة م= 0.5 كجم. حدد المدة التي يستغرقها سقوط الحمولة من ارتفاع ح= 1 م إلى الموضع السفلي. نصف قطر البكرة ص\u003d 3 سم أربعة أوزان من الكتلة م= 250 جرام لكل منهما على مسافة ر= 30 سم من محورها. أهمل عزم القصور الذاتي للصليب نفسه والبكرة مقارنة بعزم القصور الذاتي للثقلين.

الطاقة الحركية للدوران

المحاضرة 3. ديناميات الجسم الصلب

خطة المحاضرة

3.1. لحظة القوة.

3.2. المعادلات الأساسية للحركة الدورانية. لحظة من الجمود.

3.3. الطاقة الحركية للدوران.

3.4. لحظة الاندفاع. قانون الحفاظ على الزخم الزاوي.

3.5. التشبيه بين الحركة الانتقالية والدورانية.

لحظة القوة

النظر في حركة جسم صلب حول محور ثابت. دع الجسم الصلب يكون له محور دوران ثابت ОО ( الشكل 3.1) ويتم تطبيق قوة تعسفية عليه.

أرز. 3.1

نقسم القوة إلى عنصرين من القوة، القوة تقع في مستوى الدوران، والقوة موازية لمحور الدوران. ثم نقوم بتحليل القوة إلى عنصرين: – العمل على طول ناقل نصف القطر – و- عمودي عليه.

لن تؤدي أي قوة مطبقة على الجسم إلى تدويره. القوى وخلق الضغط على المحامل، ولكن لا تدويرها.

قد تؤدي القوة أو لا تخرج عن توازن الجسم، اعتمادًا على مكان تطبيقها في ناقل نصف القطر. ولذلك تم تقديم مفهوم عزم القوة حول المحور. لحظة القوةبالنسبة لمحور الدوران يسمى المنتج المتجه لمتجه نصف القطر والقوة.

يتم توجيه المتجه على طول محور الدوران ويتم تحديده بواسطة قاعدة المنتج المتقاطع أو قاعدة المسمار الأيمن أو قاعدة المثقاب.

معامل لحظة القوة

حيث α هي الزاوية بين المتجهات و .

من الشكل 3.1. انه واضح .

ص0- أقصر مسافة من محور الدوران إلى خط عمل القوة وتسمى كتف القوة. ومن ثم يمكن كتابة لحظة القوة

م = و ص 0 . (3.3)

من الشكل. 3.1.

أين Fهو إسقاط المتجه على الاتجاه المتعامد مع نصف قطر المتجه. في هذه الحالة، لحظة القوة هي

. (3.4)

إذا كانت هناك عدة قوى تؤثر على الجسم، فإن لحظة القوة الناتجة تساوي المجموع المتجه لحظات القوى الفردية، ولكن بما أن جميع اللحظات موجهة على طول المحور، فيمكن استبدالها مجموع جبري. سيتم اعتبار العزم موجبًا إذا قام بتدوير الجسم في اتجاه عقارب الساعة وسالبًا إذا كان عكس اتجاه عقارب الساعة. إذا كانت جميع لحظات القوى تساوي صفر ()، فإن الجسم سيكون في حالة توازن.

يمكن إثبات مفهوم لحظة القوة باستخدام "ملف غريب الأطوار". يتم سحب بكرة الخيط من الطرف الحر للخيط ( أرز. 3.2).

أرز. 3.2

اعتمادًا على اتجاه شد الخيط، يتدحرج الملف في اتجاه أو آخر. إذا قمت بالسحب بزاوية α ، ثم عزم القوة حول المحور عن(عموديًا على الشكل) يقوم بتدوير الملف عكس اتجاه عقارب الساعة ثم يتدحرج للخلف. في حالة التوتر بزاوية β عزم الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة ويتدحرج الملف للأمام.

باستخدام حالة التوازن ()، يمكنك تصميم آليات بسيطة تكون "محولات" للقوة، أي. مع قوة أقل يمكن رفعها وتحريكها وزن مختلفالبضائع. تعتمد الرافعة المالية وعربات اليد والكتل على هذا المبدأ. نوع مختلفوالتي تستخدم على نطاق واسع في البناء. للالتزام بشرط التوازن في رافعات البناء لتعويض لحظة القوة الناتجة عن وزن الحمولة، يوجد دائمًا نظام من الأثقال الموازنة التي تخلق لحظة قوة للإشارة المعاكسة.

3.2. معادلة الدوران الأساسية
حركة. لحظة من الجمود

لنفترض أن جسمًا صلبًا تمامًا يدور حول محور ثابت س(الشكل 3.3). دعونا نقسم هذا الجسم عقليًا إلى عناصر ذات كتل Δ م 1, Δ م2, …, Δ م ن. أثناء الدوران، ستصف هذه العناصر دوائر ذات أنصاف أقطار ص1,ص2 , …,آر إن. القوى تعمل على كل عنصر F1,F2 , …,ف ن. دوران الجسم حول محور سيحدث تحت تأثير عزم القوى الكلي م.

م \u003d م 1 + م 2 + ... + م ن (3.4)

أين م 1 = ف 1 ص 1, م 2 = ف 2 ص 2, ..., م ن = ف ن ص ن

وفقا لقانون نيوتن الثاني، كل قوة F، يؤثر على عنصر الكتلة D م، يسبب تسريع العنصر المحدد أ، أي.

ف أنا =د م أنا ط (3.5)

استبدال القيم المقابلة في (3.4) نحصل عليه

أرز. 3.3

معرفة العلاقة بين التسارع الزاوي الخطي ε () وأن التسارع الزاوي هو نفسه لجميع العناصر، فستبدو الصيغة (3.6).

م = (3.7)

=أنا (3.8)

أناهي لحظة القصور الذاتي للجسم حول المحور الثابت.

ثم سوف نحصل

م = أنا ε (3.9)

أو في شكل ناقلات

(3.10)

هذه المعادلة هي المعادلة الأساسية لديناميات الحركة الدورانية. وهي تشبه في الشكل المعادلة الثانية من قانون نيوتن. من (3.10) تكون لحظة القصور الذاتي

وبالتالي، فإن عزم القصور الذاتي لجسم ما هو نسبة عزم القوة إلى التسارع الزاوي الناتج عنها. ومن (3.11) يتبين أن عزم القصور الذاتي هو مقياس لقصور الجسم بالنسبة للحركة الدورانية. تلعب لحظة القصور الذاتي نفس دور الكتلة في الحركة الانتقالية. وحدة si [ أنا] = كجم م2. يترتب على الصيغة (3.7) أن لحظة القصور الذاتي تميز توزيع كتل جزيئات الجسم بالنسبة لمحور الدوران.

لذا، فإن عزم القصور الذاتي لعنصر كتلته ∆m يتحرك على طول دائرة نصف قطرها r يساوي

أنا = ص2د م (3.12)

أنا= (3.13)

في حالة التوزيع الكتلي المستمر، يمكن استبدال المجموع بالتكامل

أنا= ∫ ص 2 دسم (3.14)

حيث يتم التكامل على كامل كتلة الجسم.

وهذا يدل على أن عزم القصور الذاتي للجسم يعتمد على الكتلة وتوزيعها بالنسبة لمحور الدوران. ويمكن إثبات ذلك تجريبيا الشكل 3.4).

أرز. 3.4

تبدأ أسطوانتين دائريتين، إحداهما مجوفة (معدنية على سبيل المثال)، والأخرى صلبة (خشبية) بنفس الطول ونصف القطر والكتلة، في التدحرج للأسفل في وقت واحد. سوف تتخلف الأسطوانة المجوفة ذات عزم القصور الذاتي الكبير عن الأسطوانة الصلبة.

يمكنك حساب لحظة القصور الذاتي إذا كنت تعرف الكتلة موتوزيعها بالنسبة لمحور الدوران. أبسط حالة هي الحلقة، عندما تكون جميع عناصر الكتلة متساوية من محور الدوران ( أرز. 3.5):

أنا= (3.15)

أرز. 3.5

دعونا نعطي تعبيرات عن لحظات القصور الذاتي للأجسام المتناظرة المختلفة ذات الكتلة م.

1. لحظة من الجمود خواتم, اسطوانة مجوفة ذات جدران رقيقةحول محور الدوران الموافق لمحور التماثل.

, (3.16)

صهو نصف قطر الحلقة أو الاسطوانة

2. بالنسبة للأسطوانة والقرص الصلبين، عزم القصور الذاتي حول محور التماثل

(3.17)

3. عزم القصور الذاتي للكرة حول المحور الذي يمر بالمركز

(3.18)

ص- نصف قطر الكرة

4. لحظة القصور الذاتي لقضيب رفيع طويل لنسبة إلى محور عمودي على القضيب ويمر بمنتصفه

(3.19)

ل- طول القضيب .

إذا كان محور الدوران لا يمر عبر مركز الكتلة، فسيتم تحديد لحظة القصور الذاتي للجسم حول هذا المحور بواسطة نظرية شتاينر.

(3.20)

وفقا لهذه النظرية، فإن عزم القصور الذاتي حول المحور التعسفي О'O' ( ) تساوي عزم القصور الذاتي حول محور موازي يمر بمركز كتلة الجسم ( ) بالإضافة إلى حاصل ضرب كتلة الجسم في مربع المسافة أبين المحاور ( أرز. 3.6).

أرز. 3.6

الطاقة الحركية للدوران

افترض أن جسمًا جامدًا تمامًا يدور حول محور ثابت OO بسرعة زاوية ω (أرز. 3.7). دعونا نقسم الجسم الصلب إلى نالجماهير الأولية ∆ م ط. يدور كل عنصر من عناصر الكتلة على دائرة نصف قطرها ص طبالسرعة الخطية (). الطاقة الحركية هي مجموع الطاقات الحركية للعناصر الفردية.

(3.21)

أرز. 3.7

أذكر من (3.13) ذلك هي لحظة القصور الذاتي حول محور OO.

وبالتالي الطاقة الحركية لجسم دوار

ه ك \u003d (3.22)

لقد تناولنا الطاقة الحركية للدوران حول محور ثابت. إذا كان الجسم متورطًا في حركتين: في حركات انتقالية ودورانية، فإن الطاقة الحركية للجسم هي مجموع الطاقة الحركية للحركة الانتقالية والطاقة الحركية للدوران.

على سبيل المثال، كرة من الكتلة مالمتداول. يتحرك مركز كتلة الكرة للأمام بسرعة ش (أرز. 3.8).

أرز. 3.8

الطاقة الحركية الكلية للكرة ستكون مساوية لـ

(3.23)

3.4. لحظة الاندفاع. قانون الحفظ
الزخم الزاوي

الكمية الفيزيائية تساوي حاصل ضرب لحظة القصور الذاتي أناإلى السرعة الزاوية ω ، ويسمى الزخم الزاوي (لحظة الزخم) لحول محور الدوران.

– الزخم الزاوي هو كمية متجهة وتتوافق في الاتجاه مع اتجاه السرعة الزاوية .

وبالتفاضل معادلة (3.24) بالنسبة للزمن نحصل على ذلك

أين، مهي اللحظة الإجمالية للقوى الخارجية. في النظام المعزول، لا توجد لحظة قوى خارجية ( م=0) و

لنفترض أن جسمًا جامدًا تمامًا يدور حول محور ثابت. دعونا نقسم هذا الجسم عقليًا إلى قطع صغيرة بلا حدود ذات أحجام وكتل صغيرة بلا حدود. م ت ر , ر 3 ,...على المسافات ر ضد ر 0 , ر 3،... من المحور. الطاقة الحركية لجسم يدورفنجد مجموع الطاقات الحركية لأجزائه الصغيرة:

- لحظة من الجمودجسم صلب بالنسبة للمحور المعطى 00،. من مقارنة صيغ الطاقة الحركية للحركات الانتقالية والدورانية، فمن الواضح أن لحظة القصور الذاتي في الحركة الدورانية تشبه الكتلة في الحركة الانتقالية.الصيغة (4.14) مناسبة لحساب لحظة القصور الذاتي للأنظمة التي تتكون من نقاط مادية فردية. لحساب عزم القصور الذاتي للأجسام الصلبة، باستخدام تعريف التكامل، يمكنك تحويله إلى النموذج

من السهل أن نرى أن عزم القصور الذاتي يعتمد على اختيار المحور ويتغير مع ترجمته الموازية ودورانه. دعونا نجد قيم عزوم القصور الذاتي لبعض الأجسام المتجانسة.

ومن الصيغة (4.14) يتضح ذلك لحظة من الجمود نقطة مادية يساوي

أين ت -كتلة النقطة ص-المسافة إلى محور الدوران.

من السهل حساب لحظة القصور الذاتي اسطوانة مجوفة ذات جدران رقيقة(أو حالة خاصة من الاسطوانة ذات الارتفاع الصغير - حلقة رقيقة)نصف القطر رحول محور التماثل. المسافة إلى محور دوران جميع النقاط لمثل هذا الجسم هي نفسها وتساوي نصف القطر ويمكن إخراجها من تحت علامة المجموع (4.14):

أرز. 4.5

اسطوانة صلبة(أو حالة خاصة من الاسطوانة ذات الارتفاع الصغير - القرص)نصف القطر رلحساب عزم القصور الذاتي حول محور التماثل يتطلب حساب التكامل (4.15). ويمكن أن نفهم مقدما أن الكتلة في هذه الحالة، في المتوسط، تتركز أقرب إلى المحور إلى حد ما مما كانت عليه في حالة الأسطوانة المجوفة، وستكون الصيغة مشابهة لـ (4.17)، لكن المعامل الأقل من واحد سيكون تظهر فيه. دعونا نجد هذا المعامل. لنفترض أن الأسطوانة الصلبة لها كثافة p وارتفاع A. فلنقسمها إلى أسطوانات مجوفة (أسطح أسطوانية رفيعة) بسمك دكتور(يُظهر الشكل 4.5 إسقاطًا متعامدًا على محور التماثل). حجم هذه الاسطوانة المجوفة نصف قطرها r يساوي المساحةسمك مرات السطح: دف = 2نرهدر،وزن: دم = 2nphrdr،وعزم القصور الذاتي وفقا للصيغة (4.17): دي جي=

= ص 2 مارك ألماني = 2lr/?g Wr. يتم الحصول على عزم القصور الذاتي للأسطوانة الصلبة من خلال دمج (جمع) لحظات القصور الذاتي للأسطوانات المجوفة:

بحثت بالمثل لحظة القصور الذاتي لقضيب رفيعطول لوالجماهير تي،إذا كان محور الدوران عموديا على القضيب ويمر بمنتصفه. دعونا نكسر هذا

مع الأخذ في الاعتبار حقيقة أن كتلة الأسطوانة الصلبة ترتبط بالكثافة بواسطة الصيغة ر = ن 2 حصان،لدينا أخيرا لحظة القصور الذاتي للأسطوانة الصلبة:

أرز. 4.6

قضيب وفقا للشكل. 4.6 قطعة سميكة دل.كتلة هذه القطعة هي مارك ألماني = مدل / لتر،وعزم القصور الذاتي وفقا للصيغة (4.6): دج = ل 2 دسم = ل 2 مدل / لتر.يتم الحصول على عزم القصور الذاتي الإجمالي لقضيب رفيع من خلال دمج (جمع) لحظات القصور الذاتي للقطع:

أخذ التكامل الأولي يعطي عزم القصور الذاتي لقضيب رفيع بطول لوالجماهير ت

أرز. 4.7

يتم أخذ التكامل بشكل أكثر تعقيدًا إلى حد ما عند البحث لحظة القصور الذاتي للكرة المتجانسةنصف القطر روالكتلة /77 بالنسبة لمحور التماثل. دع الكرة الصلبة لها كثافة p. دعونا نقسمها كما هو موضح في الشكل. 4.7 لسمك الاسطوانات الرفيعة المجوفة دكتور،الذي يتطابق محور تماثله مع محور دوران الكرة. حجم هذه الاسطوانة المجوفة من نصف القطر زيساوي مساحة السطح مضروبة في السمك:

أين هو ارتفاع الاسطوانة حوجدت باستخدام نظرية فيثاغورس:

ومن ثم يكون من السهل العثور على كتلة الأسطوانة المجوفة:

وكذلك عزم القصور الذاتي وفقا للصيغة (4.15):

يتم الحصول على عزم القصور الذاتي للكرة الصلبة من خلال دمج (جمع) لحظات القصور الذاتي للأسطوانات المجوفة:

مع الأخذ في الاعتبار حقيقة أن كتلة الكرة الصلبة ترتبط بكثافة الشكل - 4 .

لوي ت = -npR ألدينا أخيرًا عزم القصور الذاتي حول المحور

تناظر كرة متجانسة من نصف القطر رالجماهير ت:

التعبير عن الطاقة الحركية لجسم يدور مع مراعاة ذلك سرعة الخطالنقطة المادية التعسفية التي يتكون منها الجسم، بالنسبة لمحور الدوران تساوي الشكل

أين عزم القصور الذاتي للجسم حول محور الدوران المختار، وسرعته الزاوية حول هذا المحور، وعزم زخم الجسم حول محور الدوران.

إذا قام الجسم بحركة دورانية انتقالية، فإن حساب الطاقة الحركية يعتمد على اختيار القطب الذي توصف به حركة الجسم. النتيجة النهائية ستكون هي نفسها. لذلك، إذا كان جسم مستدير يتدحرج بسرعة v دون الانزلاق بنصف قطر R ومعامل القصور الذاتي k، يتم أخذ القطب عند CM، عند النقطة C، ثم لحظة القصور الذاتي، والسرعة الزاوية للدوران حوله المحور س ثم الطاقة الحركية للجسم

إذا أخذ القطب عند نقطة التلامس O بين الجسم والسطح الذي يمر من خلالها محور الدوران اللحظي للجسم فإن عزم قصوره الذاتي حول المحور O يصبح مساوياً لـ . إذن فإن الطاقة الحركية للجسم، مع الأخذ في الاعتبار أن السرعات الزاوية لدوران الجسم بالنسبة للمحاور المتوازية هي نفسها ويقوم الجسم بدوران خالص حول المحور O، ستكون مساوية لـ . والنتيجة هي نفسها.

إن نظرية الطاقة الحركية لجسم يؤدي حركة معقدة سيكون لها نفس شكل حركته الانتقالية: .

مثال 1جسم كتلته m مربوط بنهاية خيط ملفوف على كتلة أسطوانية نصف قطرها R وكتلتها M. يتم رفع الجسم إلى ارتفاع h ثم يتم تحريره (الشكل 65). بعد رعشة غير مرنة للخيط، يبدأ الجسم والكتلة على الفور في التحرك معًا. ما هي الحرارة التي سيتم إطلاقها أثناء الرعشة؟ ماذا سيكون تسارع حركة الجسم وشد الخيط بعد الرعشة؟ ما هي سرعة الجسم والمسافة التي يقطعها بعد رعشة الخيط بعد الزمن t؟

منح: م، ر، م، ح، ز، ر. يجد: س - ?، أ - ?، ت - ?، ت - ?، ق - ?

حل: سرعة الجسم قبل سحب الخيط. بعد اهتزاز الخيط، ستبدأ الكتلة والجسم بالدوران حول محور الكتلة O وسيتصرفان مثل الأجسام التي لها لحظات قصور ذاتي حول هذا المحور تساوي و . هُم اللحظة الإجماليةالقصور الذاتي حول محور الدوران .

رعشة الخيط هي عملية سريعة وأثناء الرعشة يحدث قانون الحفاظ على الزخم الزاوي لنظام كتلة الجسم، وذلك بسبب حقيقة أن الجسم والكتلة مباشرة بعد الرعشة يبدأان في التحرك معًا ، له الشكل: . من أين تأتي السرعة الزاوية الأولية لدوران الكتلة؟ والسرعة الخطية الأولية للجسم .

الطاقة الحركية للنظام بسبب الحفاظ على الزخم الزاوي مباشرة بعد رعشة الخيط تساوي . الحرارة المنطلقة أثناء الرعشة وفقا لقانون حفظ الطاقة

المعادلات الديناميكية لحركة أجسام النظام بعد رعشة الخيط لا تعتمد على سرعتها الأولية. بالنسبة للكتلة، يبدو الأمر كذلك أو للجسم. وبجمع هاتين المعادلتين نحصل على . من أين يأتي تسارع حركة الجسم؟ قوة التوتر الموضوع

المعادلات الحركية لحركة الجسم بعد الرعشة سيكون لها الشكل حيث جميع المعلمات معروفة.

إجابة: . .

مثال 2. جسمان مستديران معاملا القصور الذاتي (أسطوانة مجوفة) و(كرة) يقعان عند قاعدة مستوى مائل بزاوية ميل α سجل نفس السرعات الأولية الموجهة لأعلى على طول مستوى مائل. إلى أي ارتفاع وفي أي وقت سترتفع الأجسام إلى هذا الارتفاع؟ ما هي تسارعات صعود الجسم؟ كم مرة تختلف ارتفاعات وأوقات وتسارع صعود الأجسام؟ تتحرك الأجسام على مستوى مائل دون أن تنزلق.

منح: . يجد:

حل: يتأثر الجسم بـ: الجاذبية م زرد فعل الطائرة المائلة نوقوة احتكاك الالتصاق (شكل 67). عمل التفاعل العمودي وقوة احتكاك الالتصاق (لا يوجد انزلاق ولا تنطلق حرارة عند نقطة التصاق الجسم والمستوى.) يساوي صفر: ولذلك، لوصف حركة الأجسام، من الممكن تطبيق قانون حفظ الطاقة: . أين .

نجد أزمنة وتسارعات حركة الأجسام من المعادلات الحركية . أين , . نسبة الارتفاعات والأزمنة وتسارعات صعود الأجسام:

إجابة: , , , .

مثال 3. تطير رصاصة كتلتها بسرعة، وتضرب مركز كرة كتلتها M ونصف قطرها R، متصلة بنهاية قضيب كتلته m وطوله l، معلق عند النقطة O عند طرفه الثاني، وتطير خارجًا منه. بالسرعة (الشكل 68). أوجد السرعة الزاوية لدوران نظام كرة القضيب مباشرة بعد الاصطدام وزاوية انحراف القضيب بعد اصطدام الرصاصة.

منح: . يجد:

حل:لحظات القصور الذاتي للقضيب والكرة بالنسبة للنقطة O لتعليق القضيب وفقًا لنظرية شتاينر: و . إجمالي عزم القصور الذاتي لنظام الكرة القضيبية . إن تأثير الرصاصة عملية سريعة، ويحدث قانون الحفاظ على الزخم الزاوي لنظام الكرة والقضيب (تبدأ الأجسام في الدوران بعد الاصطدام): . من أين تأتي السرعة الزاوية لنظام كرة القضيب مباشرة بعد الاصطدام؟

موضع CM لنظام كرة القضيب بالنسبة إلى نقطة التعليق O: . قانون الحفاظ على الطاقة لـ CM للنظام بعد الاصطدام، مع الأخذ في الاعتبار قانون الحفاظ على الزخم الزاوي للنظام عند الاصطدام، له الشكل أين هو ارتفاع CM للنظام بعد الاصطدام . يتم تحديد زاوية انحراف القضيب بعد الاصطدام حسب الحالة .

إجابة: , , .

مثال 4. إلى جسم مستدير كتلته m ونصف قطره R، مع معامل القصور الذاتي k، ويدور بسرعة زاوية، يتم ضغط الكتلة بقوة N (الشكل 69). بعد أي وقت ستتوقف الأسطوانة، وما مقدار الحرارة التي ستنطلق عندما يحتك الحذاء بالأسطوانة خلال هذا الوقت؟ معامل الاحتكاك بين الوسادة والأسطوانة هو .

منح: يجد:

حل: إن عمل قوة الاحتكاك حتى توقف الجسم حسب نظرية الطاقة الحركية يساوي . الحرارة المنبعثة أثناء الدوران .

معادلة الحركة الدورانية للجسم لها الشكل . من أين يأتي التسارع الزاوي لدورانه البطيء؟ . زمن دوران الجسم قبل أن يتوقف.

إجابة: , .

مثال 5. جسم مستدير كتلته m ونصف قطره R مع معامل القصور الذاتي k يتم فكه بسرعة زاوية عكس اتجاه عقارب الساعة ويتم وضعه على سطح أفقي ينضم إلى جدار عمودي (الشكل 70). بعد أي وقت سيتوقف الجسم، وكم عدد الدورات التي سيقوم بها قبل أن يتوقف؟ ما مقدار الحرارة المنطلقة أثناء احتكاك الجسم بالسطح خلال هذا الوقت؟ معامل احتكاك الجسم بالسطح هو .

منح: . يجد:

حل: إن الحرارة المنطلقة أثناء دوران الجسم حتى يتوقف تعادل عمل قوى الاحتكاك، والتي يمكن إيجادها من نظرية الطاقة الحركية للجسم. لدينا .

رد فعل المستوى الأفقي. قوى الاحتكاك المؤثرة على الجسم من المستوى الأفقي و الأسطح العموديةمتساوون: و .من نظام هاتين المعادلتين نحصل على و .

وبأخذ هذه العلاقات في الاعتبار، فإن معادلة الحركة الدورانية للجسم لها الشكل

إجابة: , , , .

مثال 6. يتدحرج جسم مستدير بمعامل القصور الذاتي k إلى الأسفل دون الانزلاق من أعلى نصف الكرة الأرضية نصف قطره R، ويقف على سطح أفقي (الشكل 71). بأي ارتفاع وبأي سرعة سيبتعد عن نصف الكرة الأرضية وبأي سرعة سيسقط على سطح أفقي؟

منح: ك، ز، ر. يجد:

حل: القوى المؤثرة على الجسم . العمل و0، (لا يوجد انزلاق ولا يتم إطلاق الحرارة عند نقطة اقتران نصف الكرة الأرضية والكرة)، لذلك، لوصف حركة الجسم، من الممكن تطبيق قانون الحفاظ على الطاقة. قانون نيوتن الثاني لكتلة الجسم عند نقطة انفصاله عن نصف الكرة الأرضية، مع الأخذ في الاعتبار أنه عند هذه النقطة يكون له الشكل . قانون حفظ الطاقة لنقطة البداية ونقطة الانفصال في الجسم له الشكل . حيث أن ارتفاع وسرعة انفصال الجسم عن نصف الكرة الأرضية متساويان، .

بعد انفصال الجسم عن نصف الكرة الأرضية، تتغير طاقته الحركية الانتقالية فقط، ولذلك يكون لقانون حفظ الطاقة لنقاط الانفصال وسقوط الجسم على الأرض الشكل . حيث، مع الأخذ في الاعتبار، نحصل عليه . بالنسبة لجسم ينزلق على سطح نصف الكرة الأرضية بدون احتكاك، k=0 و ، ، .

إجابة: , , .