مجموع التقدم الحسابي ن. التقدم الجبري

إذا كان كل عدد طبيعي ن تطابق عدد حقيقي ن ، ثم يقولون ذلك نظرا تسلسل رقمي :

أ 1 , أ 2 , أ 3 , . . . , ن , . . . .

لذا، فإن التسلسل العددي هو دالة للوسيطة الطبيعية.

رقم أ 1 مُسَمًّى العضو الأول في التسلسل ، رقم أ 2 — العضو الثاني في التسلسل ، رقم أ 3 — ثالث وما إلى ذلك وهلم جرا. رقم ن مُسَمًّى العضو التاسعتسلسلات ، والعدد الطبيعي ن — رقمه .

من عضوين مجاورين ن و ن +1 تسلسل الأعضاء ن +1 مُسَمًّى تالي (تجاه ن )، أ ن — سابق (تجاه ن +1 ).

لتحديد تسلسل، يجب عليك تحديد طريقة تسمح لك بالعثور على عضو تسلسل بأي رقم.

في كثير من الأحيان يتم إعطاء التسلسل مع صيغ المصطلح n ، وهي صيغة تسمح لك بتحديد عضو التسلسل من خلال رقمه.

على سبيل المثال،

يمكن إعطاء تسلسل الأرقام الفردية الموجبة بواسطة الصيغة

ن= 2ن- 1,

وتسلسل التناوب 1 و -1 - معادلة

بن = (-1)ن +1 . ◄

يمكن تحديد التسلسل صيغة متكررة, أي صيغة تعبر عن أي عضو في المتوالية، ابتداءً من البعض، مروراً بالعضو السابق (واحد أو أكثر).

على سبيل المثال،

لو أ 1 = 1 ، أ ن +1 = ن + 5

أ 1 = 1,

أ 2 = أ 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

أ 3 = أ 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

أ 4 = أ 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

أ 5 = أ 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

لو أ 1= 1, 2 = 1, ن +2 = ن + ن +1 , ثم يتم تعيين الأعضاء السبعة الأولى في التسلسل الرقمي على النحو التالي:

أ 1 = 1,

2 = 1,

أ 3 = أ 1 + 2 = 1 + 1 = 2,

أ 4 = 2 + أ 3 = 1 + 2 = 3,

5 = أ 3 + أ 4 = 2 + 3 = 5,

أ 6 = أ 4 + أ 5 = 3 + 5 = 8,

أ 7 = أ 5 + أ 6 = 5 + 8 = 13. ◄

يمكن أن تكون تسلسلات أخير و بلا نهاية .

يسمى التسلسل ذروة إذا كان لديه عدد محدود من الأعضاء. يسمى التسلسل بلا نهاية إذا كان لديه عدد لا نهائي من الأعضاء.

على سبيل المثال،

تسلسل من رقمين الأعداد الطبيعية:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

أخير.

تسلسل الأعداد الأولية:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

بلا نهاية. ◄

يسمى التسلسل في ازدياد إذا كان كل عضو من أعضائه ابتداء من الثاني أكبر من الذي قبله.

يسمى التسلسل يتضاءل إذا كان كل عضو من أعضائه ابتداء من الثاني أقل من سابقه.

على سبيل المثال،

2, 4, 6, 8, . . . , 2ن, . . . هو تسلسل تصاعدي.

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /ن, . . . هو تسلسل تنازلي. ◄

يسمى التسلسل الذي لا تتناقص عناصره مع زيادة العدد، أو على العكس من ذلك، لا تزيد تسلسل رتيب .

التسلسلات الرتيبة، على وجه الخصوص، هي تسلسلات متزايدة وتسلسلات متناقصة.

المتوالية العددية

المتوالية العددية يتم استدعاء تسلسل يكون كل عضو فيه بدءًا من الثاني مساويًا للعضو السابق الذي يضاف إليه نفس الرقم.

أ 1 , أ 2 , أ 3 , . . . , ن, . . .

هو تقدم حسابي إذا كان لأي عدد طبيعي ن تم استيفاء الشرط:

ن +1 = ن + د,

أين د - بعض العدد.

وبالتالي، فإن الفرق بين الأعضاء التاليين والسابقين من معين المتوالية العدديةثابت دائمًا:

2 - أ 1 = أ 3 - أ 2 = . . . = ن +1 - ن = د.

رقم د مُسَمًّى الفرق بين التقدم الحسابي.

لتعيين تقدم حسابي، يكفي تحديد الحد الأول والفرق.

على سبيل المثال،

لو أ 1 = 3, د = 4 ، ثم نجد الحدود الخمسة الأولى من المتتابعة على النحو التالي:

أ 1 =3,

2 = أ 1 + د = 3 + 4 = 7,

أ 3 = 2 + د= 7 + 4 = 11,

أ 4 = أ 3 + د= 11 + 4 = 15,

أ 5 = أ 4 + د= 15 + 4 = 19. ◄

للحصول على متوالية حسابية مع الفصل الأول أ 1 والفرق د ها ن

ن = أ 1 + (ن- 1)د.

على سبيل المثال،

أوجد الحد الثلاثين للمتتابعة الحسابية

1, 4, 7, 10, . . .

أ 1 =1, د = 3,

30 = أ 1 + (30 - 1)د= 1 + 29· 3 = 88. ◄

ن-1 = أ 1 + (ن- 2)د،

ن= أ 1 + (ن- 1)د،

ن +1 = أ 1 + اختصار الثاني,

ثم من الواضح

ن=	ن-1 + ن+1
	2

كل عضو في المتوالية الحسابية ابتداء من الثاني يساوي الوسط الحسابي للأعضاء السابقين واللاحقين.

تعتبر الأرقام a وb وc أعضاء متتالية في بعض المتوالية الحسابية إذا وفقط إذا كان أحدها مساويًا للوسط الحسابي للاثنين الآخرين.

على سبيل المثال،

ن = 2ن- 7 ، هو التقدم الحسابي.

دعونا نستخدم البيان أعلاه. لدينا:

ن = 2ن- 7,

ن-1 = 2(ن- 1) - 7 = 2ن- 9,

ن+1 = 2(ن+ 1) - 7 = 2ن- 5.

لذلك،

ن+1 + ن-1	=	2ن- 5 + 2ن- 9	= 2ن- 7 = ن,
2		2

◄

لاحظ أن ن -يمكن العثور على العضو الـ للتقدم الحسابي ليس فقط من خلال أ 1 ، ولكن أيضًا أي سابقة ك

ن = ك + (ن- ك)د.

على سبيل المثال،

ل أ 5 يمكن أن تكون مكتوبة

5 = أ 1 + 4د,

5 = 2 + 3د,

5 = أ 3 + 2د,

5 = أ 4 + د. ◄

ن = ن ك + دينار كويتي,

ن = ن+ك - دينار كويتي,

ثم من الواضح

ن=	أ ن-ك +أ ن + ك
	2

أي عضو في المتوالية الحسابية، ابتداء من الثاني، يساوي نصف مجموع أعضاء هذه المتوالية الحسابية المتباعدة عنه بشكل متساو.

بالإضافة إلى ذلك، بالنسبة لأي تقدم حسابي، تكون المساواة صحيحة:

أ م + أ ن = أ ك + أ ل,

م + ن = ك + ل.

على سبيل المثال،

في التقدم الحسابي

1) أ 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (أ 9 + أ 11 )/2;

2) 28 = 10 = أ 3 + 7د= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28؛

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (أ 7 + أ 13)/2;

4) أ 2 + أ 12 = أ 5 + أ 9, لأن

أ 2 + أ 12= 4 + 34 = 38,

أ 5 + أ 9 = 13 + 25 = 38. ◄

س ن= أ 1 + أ 2 + أ 3 + . . .+ ن,

أولاً ن أعضاء المتوالية الحسابية يساوي حاصل ضرب نصف مجموع الحدود المتطرفة بعدد الحدود:

ويترتب على ذلك، على وجه الخصوص، أنه إذا كان من الضروري جمع الشروط

ك, ك +1 , . . . , ن,

ثم تحتفظ الصيغة السابقة ببنيتها:

على سبيل المثال،

في التقدم الحسابي 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

س 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = س 10 - س 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

إذا تم إعطاء تقدم حسابي، ثم الكميات أ 1 , ن, د, نوس ن مرتبطة بصيغتين:

لذلك، إذا تم إعطاء قيم ثلاث من هذه الكميات، فسيتم تحديد القيم المقابلة للكميتين الأخريين من هذه الصيغ مجتمعة في نظام من معادلتين مع مجهولين.

التقدم الحسابي هو تسلسل رتيب. حيث:

• لو د > 0 ، فهو في ازدياد؛
• لو د < 0 ، فهو يتناقص؛
• لو د = 0 ، فإن التسلسل سيكون ثابتا.

المتوالية الهندسية

المتوالية الهندسية يتم استدعاء تسلسل ، كل حد منه ، بدءًا من الثاني ، يساوي الحد السابق مضروبًا في نفس الرقم.

ب 1 , ب 2 , ب 3 , . . . , ب ن, . . .

هو تقدم هندسي إذا كان لأي عدد طبيعي ن تم استيفاء الشرط:

ب ن +1 = ب ن · س,

أين س ≠ 0 - بعض العدد.

وبالتالي فإن نسبة الحد التالي من هذه المتوالية الهندسية إلى الحد السابق لها هي عدد ثابت:

ب 2 / ب 1 = ب 3 / ب 2 = . . . = ب ن +1 / ب ن = س.

رقم س مُسَمًّى مقام التقدم الهندسي.

لتعيين تقدم هندسي، يكفي تحديد الحد الأول والمقام.

على سبيل المثال،

لو ب 1 = 1, س = -3 ، ثم نجد الحدود الخمسة الأولى من المتتابعة على النحو التالي:

ب 1 = 1,

ب 2 = ب 1 · س = 1 · (-3) = -3,

ب 3 = ب 2 · س= -3 · (-3) = 9,

ب 4 = ب 3 · س= 9 · (-3) = -27,

ب 5 = ب 4 · س= -27 · (-3) = 81. ◄

ب 1 والقاسم س ها ن -يمكن العثور على المصطلح بالصيغة:

ب ن = ب 1 · س ن -1 .

على سبيل المثال،

أوجد الحد السابع للمتتالية الهندسية 1, 2, 4, . . .

ب 1 = 1, س = 2,

ب 7 = ب 1 · س 6 = 1 2 6 = 64. ◄

مليار-1 = ب 1 · س ن -2 ,

ب ن = ب 1 · س ن -1 ,

ب ن +1 = ب 1 · س ن,

ثم من الواضح

ب ن 2 = ب ن -1 · ب ن +1 ,

فكل عضو في المتوالية الهندسية ابتداء من الثاني يساوي الوسط الهندسي (النسبي) للأعضاء السابقة واللاحقة.

وبما أن العكس صحيح أيضاً، فإن التأكيد التالي:

تعتبر الأرقام a وb وc عناصر متتالية لبعض المتوالية الهندسية إذا وفقط إذا كان مربع أحدها يساوي حاصل ضرب الرقمين الآخرين، أي أن أحد الرقمين هو الوسط الهندسي للرقمين الآخرين.

على سبيل المثال،

دعونا نثبت أن التسلسل المعطاة بالصيغة ب ن= -3 2 ن ، هو تقدم هندسي. دعونا نستخدم البيان أعلاه. لدينا:

ب ن= -3 2 ن,

ب ن -1 = -3 2 ن -1 ,

ب ن +1 = -3 2 ن +1 .

لذلك،

ب ن 2 = (-3 2 ن) 2 = (-3 2 ن -1 ) (-3 2 ن +1 ) = ب ن -1 · ب ن +1 ,

مما يثبت القول المطلوب. ◄

لاحظ أن ن يمكن العثور على الحد الرابع للتقدم الهندسي ليس فقط من خلال ب 1 ، ولكن أيضًا أي مصطلح سابق ب ك ، والتي يكفي استخدام الصيغة

ب ن = ب ك · س ن - ك.

على سبيل المثال،

ل ب 5 يمكن أن تكون مكتوبة

ب 5 = ب 1 · س 4 ,

ب 5 = ب 2 · س 3,

ب 5 = ب 3 · س2,

ب 5 = ب 4 · س. ◄

ب ن = ب ك · س ن - ك,

ب ن = ب ن - ك · س ك,

ثم من الواضح

ب ن 2 = ب ن - ك· ب ن + ك

فمربع أي عضو في المتوالية الهندسية ابتداء من الثاني يساوي حاصل ضرب أعضاء هذه المتوالية المتساوية البعد عنه.

بالإضافة إلى ذلك، بالنسبة لأي تقدم هندسي، تكون المساواة صحيحة:

بي ام· ب ن= ب ك· ب ل,

م+ ن= ك+ ل.

على سبيل المثال،

أضعافا مضاعفة

1) ب 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ب 5 · ب 7 ;

2) 1024 = ب 11 = ب 6 · س 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) ب 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ب 4 · ب 8 ;

4) ب 2 · ب 7 = ب 4 · ب 5 , لأن

ب 2 · ب 7 = 2 · 64 = 128,

ب 4 · ب 5 = 8 · 16 = 128. ◄

س ن= ب 1 + ب 2 + ب 3 + . . . + ب ن

أولاً ن شروط التقدم الهندسي مع المقام س ≠ 0 تحسب بواسطة الصيغة:

وعندما س = 1 - حسب الصيغة

س ن= ملحوظة: 1

لاحظ أنه إذا كنا بحاجة إلى جمع الشروط

ب ك, ب ك +1 , . . . , ب ن,

ثم يتم استخدام الصيغة:

س ن- كورونا -1 = ب ك + ب ك +1 + . . . + ب ن = ب ك ·	1 - س ن - ك +1	.
	1 - س

على سبيل المثال،

أضعافا مضاعفة 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

س 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = س 10 - س 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

إذا تم إعطاء تقدم هندسي، ثم الكميات ب 1 , ب ن, س, نو س ن مرتبطة بصيغتين:

لذلك، إذا تم إعطاء قيم أي ثلاث من هذه الكميات، فسيتم تحديد القيم المقابلة للكميتين الأخريين من هذه الصيغ مجتمعة في نظام من معادلتين مع مجهولين.

للحصول على متوالية هندسية مع الفصل الأول ب 1 والقاسم س يحدث ما يلي خصائص الرتابة :

• ويزداد التقدم إذا تم استيفاء أحد الشروط التالية:

ب 1 > 0 و س> 1;

ب 1 < 0 و 0 < س< 1;

• يتناقص التقدم إذا تم استيفاء أحد الشروط التالية:

ب 1 > 0 و 0 < س< 1;

ب 1 < 0 و س> 1.

لو س< 0 ، فإن التقدم الهندسي يكون متناوبًا بالإشارة: حدوده ذات الأرقام الفردية لها نفس إشارة الحد الأول، والحدود ذات الأرقام الزوجية لها الإشارة المعاكسة. من الواضح أن التقدم الهندسي المتناوب ليس رتيبًا.

المنتج الأول ن يمكن حساب شروط التقدم الهندسي بواسطة الصيغة:

ص ن= ب 1 · ب 2 · ب 3 · . . . · ب ن = (ب 1 · ب ن) ن / 2 .

على سبيل المثال،

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

تناقص التقدم الهندسي بشكل لا نهائي

تناقص التقدم الهندسي بشكل لا نهائي يسمى متوالية هندسية لا نهائية معامل مقامها أقل من 1 ، إنه

|س| < 1 .

لاحظ أن المتوالية الهندسية المتناقصة بشكل لا نهائي قد لا تكون متوالية متناقصة. هذا يناسب القضية

1 < س< 0 .

مع هذا المقام، يكون التسلسل متناوبًا بالإشارة. على سبيل المثال،

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

مجموع متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي اسم الرقم الذي مجموع الأول ن شروط التقدم مع زيادة غير محدودة في العدد ن . هذا الرقم دائمًا محدود ويتم التعبير عنه بالصيغة

س= ب 1 + ب 2 + ب 3 + . . . =	ب 1	.
	1 - س

على سبيل المثال،

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

العلاقة بين المتوالية الحسابية والهندسية

ترتبط التقدمات الحسابية والهندسية ارتباطًا وثيقًا. دعونا نفكر في مثالين فقط.

أ 1 , أ 2 , أ 3 , . . . د ، الذي - التي

ب أ 1 , ب أ 2 , ب أ 3 , . . . ب د .

على سبيل المثال،

1, 3, 5, . . . - التقدم الحسابي مع الفرق 2 و

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . هو تقدم هندسي مع القاسم 7 2 . ◄

ب 1 , ب 2 , ب 3 , . . . هو تقدم هندسي مع القاسم س ، الذي - التي

سجل أ ب 1, سجل أ ب 2, سجل أ ب 3, . . . - التقدم الحسابي مع الفرق سجل أس .

على سبيل المثال،

2, 12, 72, . . . هو تقدم هندسي مع القاسم 6 و

إل جي 2, إل جي 12, إل جي 72, . . . - التقدم الحسابي مع الفرق إل جي 6 . ◄

يشير مفهوم التسلسل العددي إلى أن كل رقم طبيعي يتوافق مع قيمة حقيقية معينة. يمكن أن تكون هذه السلسلة من الأرقام تعسفية ولها خصائص معينة - تقدم. وفي الحالة الأخيرة، يمكن حساب كل عنصر (عضو) لاحق في التسلسل باستخدام العنصر السابق.

التقدم الحسابي هو سلسلة من القيم العددية التي يختلف فيها الأعضاء المجاورون عن بعضهم البعض بنفس الرقم (جميع عناصر السلسلة، بدءًا من الثاني، لها خاصية مماثلة). هذا الرقم - الفرق بين العضو السابق والعضو اللاحق - ثابت ويسمى فرق التقدم.

فرق التقدم: التعريف

النظر في تسلسل يتكون من قيم j A = a(1)، a(2)، a(3)، a(4) … a(j)، j ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية N. تقدم حسابي، وفقًا لتعريفه، هو تسلسل فيه a(3) - a(2) = a(4) - a(3) = a(5) - a(4) = ... = a(j) - أ(ي-1) = د. قيمة d هي الفرق المطلوب لهذا التقدم.

د = أ(ي) - أ(ي-1).

تخصيص:

• تقدم متزايد، وفي هذه الحالة d > 0. مثال: 4، 8، 12، 16، 20، …
• انخفاض التقدم، ثم د< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

اختلاف التقدم وعناصره التعسفية

إذا كان هناك عضوان عشوائيان من التقدم (i-th، k-th) معروفين، فيمكن تحديد الفرق في هذا التسلسل بناءً على العلاقة:

أ(i) = أ(ك) + (i - ك)*د، لذا d = (a(i) - a(k))/(i-k).

فرق التقدم وفصله الأول

سيساعد هذا التعبير في تحديد القيمة غير المعروفة فقط في الحالات التي يكون فيها رقم عنصر التسلسل معروفًا.

فرق التقدم ومجموعه

مجموع التقدم هو مجموع شروطه. لحساب القيمة الإجمالية لعناصر j الأولى، استخدم الصيغة المقابلة:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j، ولكن منذ ذلك الحين أ(ي) = أ(1) + د(ي – 1)، ثم S(ي) = ((أ(1) + أ(1) + د(ي – 1))/2)*j=(( 2أ(1) + د(- 1))/2)*ي.

الرابع ياكوفليف | مواد في الرياضيات | MathUs.ru

المتوالية العددية

التقدم الحسابي هو نوع خاص من التسلسل. لذلك، قبل تحديد التقدم الحسابي (ثم الهندسي)، نحتاج إلى مناقشة المفهوم المهم للتسلسل الرقمي بإيجاز.

التبعية

تخيل جهازًا يتم عرض بعض الأرقام على شاشته واحدًا تلو الآخر. لنفترض 2؛ 7؛ 13؛ 1؛ 6؛ 0; 3؛ : : : هذه المجموعة من الأرقام هي مجرد مثال للتسلسل.

تعريف. التسلسل الرقمي عبارة عن مجموعة من الأرقام التي يمكن فيها تعيين رقم فريد لكل رقم (أي يتم وضعه في مراسلات مع رقم طبيعي واحد)1. الرقم ذو الرقم n يسمى العضو n في التسلسل.

لذا، في المثال أعلاه، الرقم الأول يحمل الرقم 2، وهو العضو الأول في التسلسل، والذي يمكن الإشارة إليه بـ a1 ؛ الرقم خمسة لديه الرقم 6 وهو العضو الخامس في التسلسل، والذي يمكن الإشارة إليه بـ a5 . على الاطلاق، الفصل الدراسي التاسعتتم الإشارة إلى التسلسلات بواسطة (أو bn، cn، وما إلى ذلك).

الموقف المريح للغاية هو عندما يمكن تحديد العضو n في التسلسل بواسطة صيغة ما. على سبيل المثال، الصيغة an = 2n 3 تحدد التسلسل: 1; 1؛ 3؛ 5؛ 7؛ : : : الصيغة an = (1)n تحدد التسلسل: 1; 1؛ 1؛ 1؛ : : :

ليست كل مجموعة من الأرقام عبارة عن تسلسل. إذن، القطعة ليست تسلسلًا؛ أنه يحتوي على أرقام كثيرة جدًا بحيث لا يمكن إعادة ترقيمها. مجموعة R للجميع أرقام حقيقيةهو أيضا ليس تسلسلا. تم إثبات هذه الحقائق في سياق التحليل الرياضي.

التقدم الحسابي: التعاريف الأساسية

الآن نحن على استعداد لتحديد التقدم الحسابي.

تعريف. التقدم الحسابي هو تسلسل يكون فيه كل حد (بدءًا من الثاني) يساوي مجموع الحد السابق وبعض الأرقام الثابتة (يسمى فرق التقدم الحسابي).

على سبيل المثال، التسلسل 2؛ 5؛ 8؛ أحد عشر؛ : : : عبارة عن متوالية حسابية مع الحد الأول 2 والفرق 3. التسلسل 7؛ 2؛ 3؛ 8؛ : : : عبارة عن متوالية حسابية مع الحد الأول 7 والفرق 5. التسلسل 3؛ 3؛ 3؛ : : : هي متوالية حسابية بفارق صفر.

تعريف مكافئ: يسمى التسلسل an بالتقدم الحسابي إذا كان الفرق an+1 قيمة ثابتة (لا تعتمد على n).

يقال إن المتوالية الحسابية تتزايد إذا كان فرقها موجبا، وتتناقص إذا كان فرقها سالبا.

1 وهنا تعريف أكثر إيجازا: التسلسل هو دالة محددة في مجموعة الأعداد الطبيعية. على سبيل المثال، تسلسل الأعداد الحقيقية هو الدالة f: N! ر.

بشكل افتراضي، تعتبر التسلسلات لا نهائية، أي أنها تحتوي على عدد لا نهائي من الأرقام. لكن لا أحد يهتم أيضًا بالنظر في التسلسلات المحدودة؛ في الواقع، يمكن تسمية أي مجموعة محدودة من الأرقام بتسلسل محدود. على سبيل المثال، التسلسل النهائي 1؛ 2؛ 3؛ 4؛ 5 يتكون من خمسة أرقام.

صيغة العضو n من التقدم الحسابي

من السهل أن نفهم أن التقدم الحسابي يتحدد بالكامل برقمين: الحد الأول والفرق. لذلك يطرح السؤال: كيف يمكن، بمعرفة الحد الأول والفرق، العثور على حد تعسفي للتقدم الحسابي؟

ليس من الصعب الحصول على الصيغة المطلوبة للحد التاسع من التقدم الحسابي. دع

المتوالية الحسابية مع الفرق د. لدينا:
و+1 = أن + د (ن = 1؛ 2؛: ::):
ونكتب على وجه الخصوص:
a2 = a1 + د؛
a3 = a2 + د = (a1 + د) + د = a1 + 2d؛
a4 = a3 + د = (a1 + 2d) + د = a1 + 3d؛
والآن أصبح من الواضح أن صيغة a هي:
و = أ1 + (ن 1)د:

المهمة 1. في التقدم الحسابي 2؛ 5؛ 8؛ أحد عشر؛ : : : ابحث عن صيغة الحد النوني واحسب الحد المائة.

حل. ووفقا للصيغة (1) لدينا:

أن = 2 + 3(ن 1) = 3ن 1:

أ100 = 3100 1 = 299:

خاصية وعلامة التقدم الحسابي

خاصية التقدم الحسابي. في التقدم الحسابي لأي

بمعنى آخر، كل عضو في المتوالية الحسابية (ابتداءً من الثاني) هو الوسط الحسابي للأعضاء المجاورة.

	دليل. لدينا:
	ن 1+ ن+1		(و د) + (و + د)

وهو ما كان مطلوبا.

وبشكل أعم، فإن التقدم الحسابي يرضي المساواة

أ ن = أ ن ك+ أ ن+ك

لأي n > 2 وأي طبيعي k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

لقد اتضح أن الصيغة (2) ليست شرطًا ضروريًا فحسب، بل أيضًا شرطًا كافيًا لكي تكون المتتابعة تقدمًا حسابيًا.

علامة على التقدم الحسابي. إذا كانت المساواة (2) تنطبق على جميع n > 2، فإن التسلسل an هو تقدم حسابي.

دليل. دعنا نعيد كتابة الصيغة (2) على النحو التالي:

أ نا ن 1= أ ن+1أ ن:

هذا يوضح أن الفرق an+1 an لا يعتمد على n، وهذا يعني فقط أن التسلسل an عبارة عن تقدم حسابي.

يمكن صياغة خاصية وعلامة التقدم الحسابي في عبارة واحدة؛ سنفعل هذا من أجل الراحة ثلاثة أرقام(وهذا هو الوضع الذي يحدث غالبًا في المهام).

توصيف التقدم الحسابي. ثلاثة أرقام أ، ب، ج تشكل تقدمًا حسابيًا إذا وفقط إذا كان 2ب = أ + ج.

المشكلة 2. (جامعة موسكو الحكومية، كلية الاقتصاد، 2007) ثلاثة أرقام 8x و3x2 و4 بالترتيب المحدد تشكل تقدمًا حسابيًا متناقصًا. ابحث عن x واكتب الفرق في هذا التقدم.

حل. وبخاصية المتوالية الحسابية نحصل على:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; س = 5:

إذا كانت x = 1، فسيتم الحصول على تقدم تنازلي قدره 8، 2، 4 بفارق 6. إذا كانت x = 5، فسيتم الحصول على تقدم متزايد قدره 40، 22، 4؛ هذه الحالة لا تعمل.

الجواب: س = 1، والفرق هو 6.

مجموع الحدود n الأولى للتقدم الحسابي

تقول الأسطورة أنه بمجرد أن طلب المعلم من الأطفال العثور على مجموع الأرقام من 1 إلى 100 وجلسوا لقراءة الصحيفة بهدوء. ومع ذلك، في غضون دقائق قليلة، قال أحد الصبية أنه قد حل المشكلة. لقد كان كارل فريدريش غاوس البالغ من العمر 9 سنوات، والذي أصبح لاحقًا أحد أعظم علماء الرياضيات في التاريخ.

كانت فكرة غاوس الصغير هي هذه. يترك

ق = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

لنكتب هذا المبلغ بترتيب عكسي:

س = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1؛

وأضف هاتين الصيغتين:

2س = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

كل حد بين القوسين يساوي 101، وهناك 100 حد في المجمل، وبالتالي

2س = 101100 = 10100؛

نستخدم هذه الفكرة لاشتقاق صيغة المجموع

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

يتم الحصول على تعديل مفيد للصيغة (3) عن طريق استبدال صيغة الحد n = a1 + (n 1)d فيها:

		2أ1 + (ن 1)د

المهمة 3. ابحث عن مجموع الأعداد الموجبة المكونة من ثلاثة أرقام والقابلة للقسمة على 13.

حل. الأعداد المكونة من ثلاثة أرقام والتي هي من مضاعفات العدد 13 تشكل تقدمًا حسابيًا مع الحد الأول 104 والفرق 13؛ الحد التاسع لهذا التقدم هو:

أن = 104 + 13(ن 1) = 91 + 13ن:

دعنا نكتشف عدد الأعضاء الذين يحتوي عليهم تقدمنا. للقيام بذلك، نحل عدم المساواة:

6999؛ 91 + 13 ن 6999؛

ن 690813 = 691113; ن669:

إذن هناك 69 عضوًا في تقدمنا. وفقا للصيغة (4) نجد المبلغ المطلوب:

س = 2104 + 68 13 69 = 37674: 2

ملاحظات هامة!
1. إذا رأيت تعويذة بدلاً من الصيغ، فامسح ذاكرة التخزين المؤقت. كيفية القيام بذلك في متصفحك مكتوب هنا:
2. قبل أن تبدأ بقراءة المقال، انتبه لمتصفحنا للأكثر مورد مفيدل

التسلسل الرقمي

لذلك دعونا نجلس ونبدأ في كتابة بعض الأرقام. على سبيل المثال:
يمكنك كتابة أي أرقام، ويمكن أن يكون هناك أي عدد تريده (في حالتنا). بغض النظر عن عدد الأرقام التي نكتبها، يمكننا دائمًا أن نقول أي منها هو الأول، وأيها هو الثاني، وهكذا حتى الأخير، أي أنه يمكننا ترقيمها. وهذا مثال على التسلسل الرقمي:

التسلسل الرقمي
على سبيل المثال، بالنسبة لتسلسلنا:

الرقم المخصص خاص برقم تسلسلي واحد فقط. بمعنى آخر، لا توجد ثلاثة أرقام ثانية في المتتابعة. الرقم الثاني (مثل الرقم -th) هو نفسه دائمًا.
الرقم الذي يحمل الرقم يسمى العضو -th في التسلسل.

عادة ما نسمي التسلسل بأكمله بعض الحروف (على سبيل المثال،)، وكل عضو في هذا التسلسل - نفس الحرف مع فهرس يساوي رقم هذا العضو: .

في حالتنا هذه:

لنفترض أن لدينا تسلسلًا رقميًا يكون فيه الفرق بين الأرقام المتجاورة هو نفسه ومتساويًا.
على سبيل المثال:

إلخ.
يسمى هذا التسلسل العددي بالتقدم الحسابي.
تم تقديم مصطلح "التقدم" من قبل المؤلف الروماني بوثيوس في وقت مبكر من القرن السادس وكان يُفهم بالمعنى الأوسع على أنه تسلسل رقمي لا نهاية له. تم نقل اسم "الحساب" من نظرية النسب المستمرة التي كان يعمل بها اليونانيون القدماء.

وهي تسلسل عددي، كل عضو فيه يساوي الذي قبله، مضافاً إليه نفس الرقم. يُسمى هذا الرقم بفارق التقدم الحسابي ويُشار إليه.

حاول تحديد التسلسلات الرقمية التي تعتبر تقدمًا حسابيًا وأيها ليست كذلك:

أ)
ب)
ج)
د)

فهمتها؟ قارن إجاباتنا:
يكونالتقدم الحسابي - ب، ج.
ليسالتقدم الحسابي - أ، د.

دعنا نعود إلى التقدم المحدد () ونحاول العثور على قيمة العضو العاشر الخاص به. موجود اثنينطريقة للعثور عليه.

1. الطريقة

يمكننا أن نضيف إلى القيمة السابقة لرقم التقدم حتى نصل إلى الحد الرابع من التقدم. من الجيد أنه ليس لدينا الكثير لتلخيصه - ثلاث قيم فقط:

لذا فإن العضو -th في التقدم الحسابي الموصوف يساوي.

2. الطريقة

ماذا لو أردنا إيجاد قيمة الحد العاشر للتقدم؟ كان من الممكن أن يستغرق الجمع أكثر من ساعة، وليس حقيقة أننا لم نكن لنرتكب أخطاء عند جمع الأرقام.
بالطبع، توصل علماء الرياضيات إلى طريقة لا تحتاج فيها إلى إضافة فرق التقدم الحسابي إلى القيمة السابقة. ألق نظرة فاحصة على الصورة المرسومة... بالتأكيد قد لاحظت بالفعل نمطًا معينًا، وهو:

على سبيل المثال، دعونا نرى ما الذي يشكل قيمة العضو -th في هذا التقدم الحسابي:


بعبارة أخرى:

حاول أن تجد بهذه الطريقة بشكل مستقل قيمة عضو في هذا التقدم الحسابي.

محسوب؟ قارن إدخالاتك بالإجابة:

انتبه أنك حصلت على نفس الرقم تمامًا كما في الطريقة السابقة، عندما أضفنا أعضاء المتوالية الحسابية تباعًا إلى القيمة السابقة.
دعونا نحاول "تجريد الشخصية" هذه الصيغة- أحضرها إلى الشكل العامواحصل على:

معادلة التقدم الحسابي.

التقدم الحسابي إما أن يكون متزايدًا أو متناقصًا.

في ازدياد- التقدم الذي تكون فيه كل قيمة لاحقة للمصطلحات أكبر من القيمة السابقة.
على سبيل المثال:

تنازلي- التتابعات التي تكون فيها كل قيمة لاحقة للمصطلحات أقل من القيمة السابقة.
على سبيل المثال:

يتم استخدام الصيغة المشتقة في حساب الحدود في كل من الحدود المتزايدة والمتناقصة للتقدم الحسابي.
دعونا التحقق من ذلك في الممارسة العملية.
لقد حصلنا على تقدم حسابي يتكون من الأرقام التالية:

منذ ذلك الحين:

وهكذا، كنا مقتنعين بأن الصيغة تعمل على تقليل وزيادة التقدم الحسابي.
حاول العثور على الأعضاء -th و-th في هذا التقدم الحسابي بنفسك.

دعونا نقارن النتائج:

خاصية التقدم الحسابي

دعونا نعقد المهمة - نستمد خاصية التقدم الحسابي.
لنفترض أن لدينا الشرط التالي:
- التقدم الحسابي، العثور على القيمة.
تقول إن الأمر سهل، وابدأ بالعد وفقًا للصيغة التي تعرفها بالفعل:

دع، إذن:

صح تماما. اتضح أننا نجده أولاً ثم نضيفه إلى الرقم الأول ونحصل على ما نبحث عنه. إذا تم تمثيل التقدم بقيم صغيرة، فلا يوجد شيء معقد في الأمر، ولكن ماذا لو تم إعطاؤنا أرقامًا في الشرط؟ موافق، هناك احتمال ارتكاب أخطاء في الحسابات.
فكر الآن، هل من الممكن حل هذه المشكلة في خطوة واحدة باستخدام أي صيغة؟ بالطبع نعم، وسنحاول طرحها الآن.

دعنا نشير إلى الحد المطلوب للتقدم الحسابي، حيث أننا نعرف صيغة إيجاده - وهذه هي نفس الصيغة التي اشتقناها في البداية:
، ثم:

• العضو السابق في التقدم هو:
• المصطلح التالي للتقدم هو:

دعونا نجمع الأعضاء السابقين والقادمين في التقدم:

اتضح أن مجموع أعضاء التقدم السابقين واللاحقين هو ضعف قيمة عضو التقدم الموجود بينهم. بمعنى آخر، من أجل العثور على قيمة عضو التقدم ذي القيم السابقة والمتعاقبة المعروفة، من الضروري جمعها والقسمة عليها.

هذا صحيح، لقد حصلنا على نفس الرقم. دعونا إصلاح المواد. احسب قيمة التقدم بنفسك، فهو ليس بالأمر الصعب على الإطلاق.

أحسنت! أنت تعرف كل شيء تقريبًا عن التقدم! يبقى أن نكتشف صيغة واحدة فقط، والتي، وفقا للأسطورة، واحدة من أعظم علماء الرياضيات في كل العصور، "ملك علماء الرياضيات" - كارل غاوس، استنتج بسهولة لنفسه ...

عندما كان كارل غاوس يبلغ من العمر 9 سنوات، كان المعلم مشغولاً بفحص عمل الطلاب من الفصول الأخرى، وطرح المهمة التالية في الدرس: "احسب مجموع جميع الأعداد الطبيعية من ما يصل إلى (وفقًا لمصادر أخرى حتى) شاملاً. " ما كانت مفاجأة المعلم عندما أعطى أحد طلابه (كان كارل غاوس) بعد دقيقة الإجابة الصحيحة للمهمة، في حين أن معظم زملاء الدراسة المتهورين بعد حسابات طويلة حصلوا على نتيجة خاطئة ...

لاحظ الشاب كارل غاوس نمطًا يمكنك ملاحظته بسهولة.
لنفترض أن لدينا تقدمًا حسابيًا يتكون من أعضاء -ti: نحتاج إلى إيجاد مجموع الأعضاء المعينين في التقدم الحسابي. بالطبع، يمكننا جمع كل القيم يدويًا، لكن ماذا لو أردنا إيجاد مجموع حدودها في المهمة، كما كان غاوس يبحث عنها؟

دعونا تصور التقدم المعطى لنا. انظر عن كثب إلى الأرقام المميزة وحاول إجراء عمليات رياضية مختلفة بها.


حاول؟ ماذا لاحظت؟ يمين! مجموعهما متساويان

أجب الآن، كم عدد هذه الأزواج سيكون في التقدم الممنوح لنا؟ بالطبع، بالضبط نصف جميع الأرقام، وهذا هو.
بناءً على حقيقة أن مجموع حدين من المتوالية الحسابية متساويان، والأزواج المتساوية المتشابهة، نحصل على أن المجموع الإجمالي يساوي:
.
وبالتالي، فإن صيغة مجموع الحدود الأولى لأي تقدم حسابي ستكون:

في بعض المسائل لا نعرف الحد الرابع ولكننا نعرف فرق التقدم. حاول التعويض في صيغة المجموع بصيغة العضو ال.
على ماذا حصلت؟

أحسنت! لنعد الآن إلى المشكلة التي أُعطيت لكارل غاوس: احسب بنفسك مجموع الأرقام التي تبدأ من -th، ومجموع الأرقام التي تبدأ من -th.

كم لم تحصل عليه؟
تبين غاوس أن مجموع الحدود متساوي، ومجموع الحدود. هل هكذا قررت؟

في الواقع، تم إثبات صيغة مجموع أعضاء التقدم الحسابي من قبل العالم اليوناني القديم ديوفانتوس في القرن الثالث، وطوال هذا الوقت، استخدم الأشخاص الأذكياء خصائص التقدم الحسابي بقوة وقوة.
على سبيل المثال، تخيل مصر القديمةوأكبر موقع بناء في ذلك الوقت - بناء الهرم ... ويوضح الشكل جانبًا واحدًا منه.

أين التقدم هنا كما تقول؟ انظر بعناية وابحث عن نمط في عدد الكتل الرملية في كل صف من جدار الهرم.


لماذا لا يكون التقدم الحسابي؟ قم بحساب عدد الكتل اللازمة لبناء جدار واحد إذا تم وضع الطوب في القاعدة. أتمنى ألا تقوم بالعد عن طريق تحريك إصبعك عبر الشاشة، هل تتذكر الصيغة الأخيرة وكل ما قلناه عن التقدم الحسابي؟

في هذه الحالة، يبدو التقدم كما يلي:
فرق التقدم الحسابي.
عدد أعضاء التقدم الحسابي.
لنستبدل بياناتنا في الصيغ الأخيرة (نحن نحسب عدد الكتل بطريقتين).

طريقة 1.

الطريقة 2.

والآن يمكنك أيضًا الحساب على الشاشة: قارن القيم التي تم الحصول عليها بعدد الكتل الموجودة في هرمنا. هل وافقت؟ أحسنت، لقد أتقنت مجموع الحدود العشرية للمتتابعة الحسابية.
بالطبع، لا يمكنك بناء هرم من الكتل الموجودة في القاعدة، ولكن من؟ حاول حساب عدد الطوب الرملي اللازم لبناء جدار بهذه الحالة.
هل تستطيع فعلها؟
الإجابة الصحيحة هي الكتل:

تمرين

مهام:

1. ماشا تستعد لفصل الصيف. كل يوم تقوم بزيادة عدد القرفصاء. كم مرة ستجلس ماشا في أسبوع القرفصاء إذا مارست القرفصاء في التمرين الأول.
2. ما هو مجموع جميع الأعداد الفردية الموجودة في.
3. عند تخزين جذوع الأشجار، يقوم الحطابون بتكديسها بطريقة تجعل كل منها الطبقة العليايحتوي على سجل واحد أقل من السابق. كم عدد جذوع الأشجار الموجودة في البناء الواحد، إذا كانت قاعدة البناء عبارة عن جذوع الأشجار.

الإجابات:

1. دعونا نحدد معلمات التقدم الحسابي. في هذه الحالة
   (الأسابيع = الأيام).

   إجابة:في غضون أسبوعين، يجب أن يجلس ماشا مرة واحدة في اليوم.

2. أول رقم فردي، الرقم الأخير.
   فرق التقدم الحسابي.
   عدد الأرقام الفردية في النصف، ومع ذلك، تحقق من هذه الحقيقة باستخدام صيغة العثور على العضو -th في التقدم الحسابي:

   الأرقام تحتوي على أرقام فردية.
   نستبدل البيانات المتاحة في الصيغة:

   إجابة:مجموع جميع الأعداد الفردية الموجودة فيه يساوي.

3. أذكر المشكلة المتعلقة بالأهرامات. في حالتنا، a، نظرًا لأن كل طبقة عليا يتم تقليلها بسجل واحد، فلا يوجد سوى مجموعة من الطبقات.
   استبدل البيانات في الصيغة:

   إجابة:هناك سجلات في البناء.

تلخيص لما سبق

1. - تسلسل رقمي يكون فيه الفرق بين الأرقام المتجاورة متساويًا ومتساويًا. إنه يتزايد ويتناقص.
2. إيجاد الصيغةتتم كتابة العضو الرابع في المتتابعة الحسابية بالصيغة - حيث يوجد عدد الأرقام في المتتابعة الحسابية.
3. خاصية أعضاء التقدم الحسابي- - أين - عدد الأرقام في التقدم.
4. مجموع أعضاء التقدم الحسابييمكن العثور عليها بطريقتين:
   
   ، أين هو عدد القيم.

المتوالية العددية. مستوى متوسط

التسلسل الرقمي

دعونا نجلس ونبدأ في كتابة بعض الأرقام. على سبيل المثال:

يمكنك كتابة أي أرقام، ويمكن أن يكون هناك أي عدد تريده. ولكن يمكنك دائمًا معرفة أي منها هو الأول، وأي منها هو الثاني، وما إلى ذلك، أي أنه يمكننا ترقيمها. وهذا مثال على تسلسل رقمي.

التسلسل الرقميهي مجموعة من الأرقام، يمكن تخصيص رقم فريد لكل منها.

بمعنى آخر، يمكن ربط كل رقم بعدد طبيعي معين، وواحد فقط. ولن نخصص هذا الرقم لأي رقم آخر من هذه المجموعة.

الرقم الذي يحمل الرقم يسمى العضو -th في التسلسل.

عادة ما نسمي التسلسل بأكمله بعض الحروف (على سبيل المثال،)، وكل عضو في هذا التسلسل - نفس الحرف مع فهرس يساوي رقم هذا العضو: .

من الملائم جدًا أن يتم إعطاء العضو -th في التسلسل بواسطة صيغة ما. على سبيل المثال، الصيغة

يحدد التسلسل:

والصيغة هي التسلسل التالي:

على سبيل المثال، المتوالية الحسابية هي متتابعة (الحد الأول هنا يساوي والفرق). أو (، الفرق).

صيغة الحد النوني

نحن نطلق على صيغة متكررة، من أجل معرفة الحد -th، تحتاج إلى معرفة الحد السابق أو عدة حدود سابقة:

للعثور، على سبيل المثال، على الحد العاشر من التقدم باستخدام مثل هذه الصيغة، علينا أن نحسب التسعة السابقة. على سبيل المثال، دعونا. ثم:

حسنًا، الآن أصبح من الواضح ما هي الصيغة؟

في كل سطر نضيف إلى، مضروبا في عدد ما. لماذا؟ بسيط جدًا: هذا هو رقم العضو الحالي مطروحًا منه:

أكثر راحة الآن، أليس كذلك؟ نحن نفحص:

تقرر لنفسك:

في المتوالية الحسابية، أوجد صيغة الحد النوني وأوجد الحد المائة.

حل:

العضو الأول متساوي. وما هو الفرق؟ وهذا ما:

(بعد كل شيء، يسمى الفرق لأنه يساوي اختلاف أعضاء التقدم المتعاقبين).

وبالتالي فإن الصيغة هي:

ثم الحد المائة هو:

ما هو مجموع جميع الأعداد الطبيعية من إلى؟

وفقًا للأسطورة، قام عالم الرياضيات العظيم كارل غاوس، وهو صبي يبلغ من العمر 9 سنوات، بحساب هذا المبلغ في بضع دقائق. ولاحظ أن مجموع الرقم الأول والأخير متساوي، ومجموع الثاني وما قبل الأخير هو نفسه، ومجموع الثالث والثالث من النهاية هو نفسه، وهكذا. كم عدد هذه الأزواج هناك؟ هذا صحيح، بالضبط نصف عدد جميع الأرقام، أي. لذا،

الصيغة العامة لمجموع الحدود الأولى لأي تقدم حسابي ستكون:

مثال:
أوجد مجموع الكل أرقام مكونة من رقمين، مضاعفات.

حل:

أول رقم من هذا القبيل هو هذا. يتم الحصول على كل التالي عن طريق إضافة رقم إلى الرقم السابق. وهكذا فإن الأعداد التي تهمنا تشكل متوالية حسابية مع الحد الأول والفرق.

صيغة الحد العاشر لهذا التقدم هي:

كم عدد المصطلحات الموجودة في التقدم إذا كان يجب أن تتكون جميعها من رقمين؟

سهل جدا: .

سيكون الفصل الأخير من التقدم متساويًا. ثم المبلغ:

إجابة: .

الآن قرر بنفسك:

1. كل يوم يركض الرياضي مسافة متر واحد أكثر من اليوم السابق. كم كيلومترًا سيركض في الأسابيع إذا ركض كيلومترًا م في اليوم الأول؟
2. يركب راكب الدراجة أميالاً أكثر كل يوم من اليوم السابق. في اليوم الأول سافر كيلومترا. كم يوما يجب عليه القيادة لقطع كيلومتر واحد؟ كم عدد الكيلومترات التي سيقطعها في اليوم الأخير من الرحلة؟
3. يتم تخفيض سعر الثلاجة في المتجر بنفس المبلغ كل عام. حدد مقدار انخفاض سعر الثلاجة كل عام إذا تم طرحها للبيع مقابل روبل، وبعد ست سنوات تم بيعها مقابل روبل.

الإجابات:

1. الشيء الأكثر أهمية هنا هو التعرف على التقدم الحسابي وتحديد معالمه. في هذه الحالة (الأسابيع = الأيام). تحتاج إلى تحديد مجموع الشروط الأولى لهذا التقدم:
   .
   إجابة:
2. هنا يتم تقديمه:، من الضروري العثور عليه.
   من الواضح أنك تحتاج إلى استخدام نفس صيغة المجموع كما في المشكلة السابقة:
   .
   استبدال القيم:

   من الواضح أن الجذر غير مناسب، لذا فإن الجواب.
   لنحسب المسافة المقطوعة خلال اليوم الأخير باستخدام صيغة العضو -th:
   (كم).
   إجابة:

3. منح: . يجد: .
   لا يصبح الأمر أسهل:
   (فرك).
   إجابة:

المتوالية العددية. باختصار حول الرئيسية

هذا تسلسل رقمي يكون فيه الفرق بين الأرقام المتجاورة متساويًا ومتساويًا.

التقدم الحسابي يتزايد () ويتناقص ().

على سبيل المثال:

صيغة العثور على العضو n للتقدم الحسابي

هو مكتوب كصيغة، حيث هو عدد الأرقام في التقدم.

خاصية أعضاء التقدم الحسابي

يسهل العثور على عضو في التقدم إذا كان الأعضاء المجاورون له معروفين - أين هو عدد الأرقام في التقدم.

مجموع أعضاء التقدم الحسابي

هناك طريقتان للعثور على المبلغ:

أين هو عدد القيم.

أين هو عدد القيم.

حسنا، انتهى الموضوع. إذا كنت تقرأ هذه السطور، فأنت رائع جدًا.

لأن 5% فقط من الناس قادرون على إتقان شيء ما بأنفسهم. وإذا كنت قد قرأت حتى النهاية، فأنت ضمن الـ 5%!

الآن الشيء الأكثر أهمية.

لقد توصلت إلى النظرية حول هذا الموضوع. وأكرر، إنه... إنه رائع! أنت بالفعل أفضل من الغالبية العظمى من زملائك.

المشكلة هي أن هذا قد لا يكون كافيا ...

لماذا؟

للنجاح اجتياز الامتحان، للقبول في المعهد في حدود الميزانية، والأهم من ذلك، مدى الحياة.

لن أقنعك بشيء، سأقول شيئًا واحدًا فقط..

الناس الذين تلقوا على تعليم جيد، يكسبون أكثر بكثير من أولئك الذين لم يحصلوا عليها. هذه إحصائيات.

ولكن هذا ليس الشيء الرئيسي.

الشيء الرئيسي هو أنهم أكثر سعادة (هناك مثل هذه الدراسات). ربما لأن المزيد من الفرص تفتح أمامهم وتصبح الحياة أكثر إشراقا؟ لا أعرف...

لكن فكر بنفسك..

ما الذي يتطلبه الأمر للتأكد من أنك أفضل من الآخرين في الامتحان وأن تكون في النهاية أكثر سعادة؟

املأ يدك بحل المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع.

في الامتحان لن يطلب منك النظرية.

سوف تحتاج حل المشاكل في الوقت المحدد.

وإذا لم تقم بحلها (كثيرًا!)، فسوف ترتكب بالتأكيد خطأً غبيًا في مكان ما أو ببساطة لن تتمكن من حلها في الوقت المناسب.

يبدو الأمر كما هو الحال في الرياضة - تحتاج إلى التكرار عدة مرات حتى تفوز بالتأكيد.

ابحث عن مجموعة في أي مكان تريده بالضرورة مع الحلول تحليل تفصيلي وتقرر، تقرر، تقرر!

يمكنك استخدام مهامنا (ليست ضرورية) ونحن نوصي بها بالتأكيد.

من أجل المساعدة في مهامنا، تحتاج إلى المساعدة في إطالة عمر كتاب YouClever المدرسي الذي تقرأه حاليًا.

كيف؟ هناك خياران:

1. فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في هذه المقالة -
2. فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في جميع المقالات الـ 99 في البرنامج التعليمي - شراء كتاب مدرسي - 499 روبل

نعم، لدينا 99 مقالة من هذا القبيل في الكتاب المدرسي ويمكن فتح الوصول إلى جميع المهام وجميع النصوص المخفية فيها على الفور.

يتم توفير الوصول إلى جميع المهام المخفية طوال عمر الموقع.

ختاماً...

إذا لم تعجبك مهامنا، ابحث عن مهام أخرى. فقط لا تتوقف عند النظرية.

إن "الفهم" و"أعرف كيفية الحل" هما مهارتان مختلفتان تمامًا. أنت بحاجة إلى كليهما.

البحث عن المشاكل وحلها!

عند دراسة الجبر في مدرسة التعليم العام(الصف التاسع) واحد من مواضيع مهمةهي دراسة المتتابعات العددية التي تشمل المتواليات الهندسية والحسابية. في هذه المقالة، سنتناول المتتابعة الحسابية والأمثلة مع الحلول.

ما هو التقدم الحسابي؟

لفهم ذلك، من الضروري إعطاء تعريف للتقدم قيد النظر، وكذلك إعطاء الصيغ الأساسية التي سيتم استخدامها بشكل أكبر في حل المشكلات.

من المعروف أنه في بعض المتتابعات الجبرية، يكون الحد الأول يساوي 6، والحد السابع يساوي 18. ومن الضروري إيجاد الفرق واستعادة هذا التسلسل إلى الحد السابع.

دعونا نستخدم الصيغة لتحديد الحد المجهول: a n = (n - 1) * d + a 1 . نستبدل فيها البيانات المعروفة من الشرط، أي الأرقام أ 1 و أ 7، لدينا: 18 \u003d 6 + 6 * د. من هذا التعبير، يمكنك بسهولة حساب الفرق: d = (18 - 6) / 6 = 2. وهكذا تم الإجابة على الجزء الأول من المشكلة.

لاستعادة التسلسل إلى العضو السابع، يجب عليك استخدام تعريف التقدم الجبري، أي أ 2 = أ 1 + د، أ 3 = أ 2 + د، وهكذا. ونتيجة لذلك، فإننا نستعيد التسلسل بأكمله: أ 1 = 6، أ 2 = 6 + 2 = 8، أ 3 = 8 + 2 = 10، أ 4 = 10 + 2 = 12، أ 5 = 12 + 2 = 14 ، أ 6 = 14 + 2 = 16 و 7 = 18.

المثال رقم 3: تحقيق التقدم

دعونا نجعل الأمر أكثر صعوبة حالة أقوىمهام. أنت الآن بحاجة للإجابة على سؤال حول كيفية العثور على التقدم الحسابي. يستطيع أن يقود المثال التالي: يتم إعطاء رقمين، على سبيل المثال، - 4 و 5. ومن الضروري إجراء تقدم جبري بحيث يتم وضع ثلاثة حدود أخرى بينهما.

قبل البدء في حل هذه المشكلة، من الضروري أن نفهم المكان الذي ستحتله الأرقام المحددة في التقدم المستقبلي. نظرًا لأنه سيكون هناك ثلاثة مصطلحات أخرى بينهما، ثم 1 \u003d -4 و5 \u003d 5. وبعد تحديد ذلك، ننتقل إلى مهمة مشابهة للمهمة السابقة. مرة أخرى، بالنسبة للحد n، نستخدم الصيغة، نحصل على: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. من: د \u003d (أ 5 - أ 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. هنا لم نتلق قيمة صحيحة للفرق، ولكنها كذلك رقم منطقي، وبالتالي تظل صيغ التقدم الجبري كما هي.

الآن دعونا نضيف الفرق الذي تم العثور عليه إلى 1 ونستعيد الأعضاء المفقودين في التقدم. نحصل على: أ 1 = - 4، أ 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75، أ 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5، أ 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75، أ 5 \u003d 2.75 + 2.25 \u003d 5، والذي تزامن مع حالة المشكلة.

مثال رقم 4: العضو الأول في التقدم

نستمر في إعطاء أمثلة على التقدم الحسابي مع الحل. في جميع المسائل السابقة كان الرقم الأول من المتتابعة الجبرية معروفا. الآن فكر في مسألة من نوع مختلف: دعنا نعطي رقمين، حيث 15 = 50 و 43 = 37. من الضروري معرفة الرقم الذي يبدأ منه هذا التسلسل.

الصيغ التي تم استخدامها حتى الآن تفترض معرفة 1 و د. لا شيء معروف عن هذه الأرقام في حالة المشكلة. ومع ذلك، دعونا نكتب التعابير الخاصة بكل حد لدينا معلومات عنه: a 15 = a 1 + 14 * d وa 43 = a 1 + 42 * d. لقد حصلنا على معادلتين يوجد فيهما كميتين مجهولتين (أ 1 ود). وهذا يعني أن المشكلة تقتصر على حل نظام من المعادلات الخطية.

يكون النظام المحدد أسهل في الحل إذا قمت بالتعبير عن 1 في كل معادلة، ثم قارنت التعبيرات الناتجة. المعادلة الأولى: أ 1 = أ 15 - 14 * د = 50 - 14 * د؛ المعادلة الثانية: أ 1 \u003d أ 43 - 42 * د \u003d 37 - 42 * د. بمساواة هذه التعبيرات، نحصل على: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d، ومن هنا الفرق d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (يتم إعطاء 3 منازل عشرية فقط).

مع العلم d، يمكنك استخدام أي من التعبيرين أعلاه للحصول على 1 . على سبيل المثال، أولاً: أ 1 \u003d 50 - 14 * د \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496.

إذا كانت هناك شكوك حول النتيجة، يمكنك التحقق منها، على سبيل المثال، تحديد العضو رقم 43 للتقدم، المحدد في الشرط. نحصل على: أ 43 \u003d أ 1 + 42 * د \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008. يرجع خطأ بسيط إلى حقيقة أنه تم استخدام التقريب إلى الألف في الحسابات.

المثال رقم 5: المجموع

الآن دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة مع الحلول لمجموع التقدم الحسابي.

دعونا نعطي تقدمًا رقميًا بالشكل التالي: 1، 2، 3، 4، ...،. كيف تحسب مجموع 100 من هذه الأرقام؟

بفضل التطوير تكنولوجيا الكمبيوتريمكنك حل هذه المشكلة، أي إضافة جميع الأرقام بالتسلسل، والتي آلة حاسبةسيتم القيام به بمجرد أن يضغط الشخص على مفتاح Enter. ومع ذلك، يمكن حل المشكلة عقليًا إذا انتبهت إلى أن سلسلة الأرقام المعروضة هي تقدم جبري، وفرقها هو 1. وبتطبيق صيغة المجموع، نحصل على: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

ومن الغريب أن نلاحظ أن هذه المشكلة تسمى "غاوسية" لأنها في أوائل الثامن عشرالقرن، استطاع الألماني الشهير، الذي كان لا يزال في العاشرة من عمره فقط، أن يحلها في ذهنه في ثوانٍ معدودة. لم يكن الصبي يعرف صيغة مجموع المتتابعة الجبرية، لكنه لاحظ أنه إذا قمت بإضافة أزواج من الأرقام الموجودة على أطراف المتتابعة، فإنك تحصل دائمًا على نفس النتيجة، وهي 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ...، وبما أن هذه المجاميع ستكون بالضبط 50 (100 / 2)، للحصول على الإجابة الصحيحة، يكفي ضرب 50 في 101.

المثال رقم 6: مجموع الحدود من n إلى m

مثال نموذجي آخر لمجموع التقدم الحسابي هو ما يلي: بالنظر إلى سلسلة من الأرقام: 3، 7، 11، 15، ...، عليك أن تجد مجموع حدودها من 8 إلى 14.

يتم حل المشكلة بطريقتين. الأول يتضمن إيجاد الحدود المجهولة من 8 إلى 14، ومن ثم جمعها بالتسلسل. وبما أن هناك عدد قليل من المصطلحات، فإن هذه الطريقة ليست شاقة بما فيه الكفاية. ومع ذلك، يقترح حل هذه المشكلة بالطريقة الثانية، وهي أكثر عالمية.

تتمثل الفكرة في الحصول على صيغة لمجموع التقدم الجبري بين الحدين m وn، حيث n > m أعداد صحيحة. دعونا نكتب تعبيرين للمجموع في كلتا الحالتين:

1. S م \u003d م * (أ م + أ 1) / 2.
2. S n \u003d n * (أ ن + أ 1) / 2.

بما أن n > m، فمن الواضح أن مجموع 2 يتضمن المجموع الأول. الاستنتاج الأخير يعني أننا إذا أخذنا الفرق بين هذه المجاميع، وأضفنا إليها الحد a m (في حالة أخذ الفرق يطرح من المجموع S n)، فإننا نحصل على الإجابة اللازمة للمسألة. لدينا: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + أ ن * ن / 2 + أ م * (1 - م / 2). من الضروري استبدال الصيغ لـ n وm في هذا التعبير. ثم نحصل على: S mn = أ 1 * (ن - م) / 2 + ن * (أ 1 + (ن - 1) * د) / 2 + (أ 1 + (م - 1) * د) * (1) - م / 2) = أ 1 * (ن - م + 1) + د * ن * (ن - 1) / 2 + د * (3 * م - م 2 - 2) / 2.

الصيغة الناتجة مرهقة إلى حد ما، ومع ذلك، فإن المبلغ S mn يعتمد فقط على n وm وa 1 وd. في حالتنا، أ 1 = 3، د = 4، ن = 14، م = 8. وباستبدال هذه الأرقام نحصل على: S mn = 301.

كما يتبين من الحلول المذكورة أعلاه، تعتمد جميع المشاكل على معرفة تعبير الحد النوني وصيغة مجموع مجموعة الحدود الأولى. قبل البدء في حل أي من هذه المشكلات، يوصى بقراءة الشرط بعناية، وفهم ما تريد العثور عليه بوضوح، وبعد ذلك فقط متابعة الحل.

نصيحة أخرى هي السعي إلى البساطة، أي إذا كنت تستطيع الإجابة على السؤال دون استخدام حسابات رياضية معقدة، فأنت بحاجة إلى القيام بذلك، لأنه في هذه الحالة يكون احتمال ارتكاب خطأ أقل. على سبيل المثال، في مثال التقدم الحسابي مع الحل رقم 6، من الممكن التوقف عند الصيغة S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m، والانقسام المهمة الشائعةإلى مسائل فرعية منفصلة (في هذه الحالة، ابحث أولاً عن المصطلحين a n وa m).

إذا كانت هناك شكوك حول النتيجة التي تم الحصول عليها، فمن المستحسن التحقق منها، كما حدث في بعض الأمثلة المذكورة. كيفية العثور على التقدم الحسابي، اكتشف. بمجرد معرفة ذلك، فإنه ليس من الصعب.