منطقة المثلث - الصيغ وأمثلة لحل المشكلات

هي أقل صيغ لإيجاد مساحة مثلث عشوائيوهي مناسبة لإيجاد مساحة أي مثلث ، بغض النظر عن خصائصه أو زواياه أو أبعاده. يتم تقديم الصيغ في شكل صورة ، وهنا تفسيرات للتطبيق أو تبرير صحتها. أيضًا ، يوضح الشكل المنفصل مراسلات رموز الحروف في الصيغ والرموز الرسومية في الرسم.

ملحوظة . إذا كان المثلث خصائص خاصة(متساوي الساقين ، مستطيل ، متساوي الأضلاع) ، يمكنك استخدام الصيغ أدناه ، بالإضافة إلى الصيغ الخاصة التي تصلح فقط للمثلثات ذات الخصائص التالية:

• "صيغ لمساحة مثلث متساوي الأضلاع"

صيغ منطقة المثلث

تفسيرات الصيغ:
أ ، ب ، ج- أطوال أضلاع المثلث الذي نريد إيجاد مساحته
ص- نصف قطر الدائرة المدرجة في المثلث
ص- نصف قطر الدائرة المحصورة حول المثلث
ح- ارتفاع المثلث مخفض إلى الجانب
ص- نصف محيط المثلث ، 1/2 مجموع أضلاعه (محيط)
α - الزاوية المقابلة للضلع أ في المثلث
β - الزاوية المقابلة للضلع ب من المثلث
γ - الزاوية المقابلة للضلع ج من المثلث
ح أ, ح ب , ح ج- ارتفاع المثلث ، منخفضًا إلى الجانب أ ، ب ، ج

يرجى ملاحظة أن الترميز المعطى يتوافق مع الشكل أعلاه ، لذلك عند حل مشكلة هندسة حقيقية ، سيكون من الأسهل بالنسبة لك بصريًا استبدال القيم الصحيحة في الأماكن الصحيحة في الصيغة.

• مساحة المثلث هي نصف حاصل ضرب ارتفاع المثلث وطول الضلع الذي ينزل فيه هذا الارتفاع(فورمولا 1). يمكن فهم صحة هذه الصيغة منطقيًا. سيؤدي انخفاض الارتفاع إلى القاعدة إلى تقسيم مثلث عشوائي إلى قسمين مستطيلين. إذا أكملنا كل منها إلى مستطيل بأبعاد b و h ، فمن الواضح أن مساحة هذين المثلثين ستكون مساوية لنصف مساحة المستطيل بالضبط (Spr = bh)
• مساحة المثلث هي نصف حاصل ضرب ضلعيها وجيب الزاوية بينهما(الصيغة 2) (انظر مثالاً لحل مشكلة باستخدام هذه الصيغة أدناه). على الرغم من أنه يبدو مختلفًا عن السابق ، إلا أنه يمكن بسهولة تحويله إليه. إذا خفضنا الارتفاع من الزاوية B إلى الضلع b ، فسنجد أن حاصل ضرب الضلع a وجيب الزاوية γ ، وفقًا لخصائص الجيب في المثلث القائم الزاوية ، يساوي ارتفاع المثلث المرسوم بواسطة لنا ، والتي ستعطينا الصيغة السابقة
• يمكن العثور على مساحة المثلث التعسفي خلال عملنصف قطر دائرة منقوشة فيها بمجموع أطوال أضلاعها(الصيغة 3) ، بعبارة أخرى ، تحتاج إلى ضرب نصف محيط المثلث في نصف قطر الدائرة المنقوشة (يسهل تذكرها بهذه الطريقة)
• يمكن إيجاد مساحة المثلث العشوائي بقسمة حاصل ضرب كل جوانبه على 4 أنصاف أقطار من الدائرة المحصورة حوله (الصيغة 4)
• الصيغة 5 هي إيجاد مساحة المثلث بدلالة أطوال أضلاعه ونصف محيطه (نصف مجموع أضلاعه)
• صيغة هيرون(6) هو تمثيل لنفس الصيغة دون استخدام مفهوم semiperimeter ، فقط من خلال أطوال الأضلاع
• مساحة المثلث العشوائي تساوي حاصل ضرب مربع جانب المثلث وجيب الزوايا المجاورة لهذا الضلع مقسومة على الجيب المزدوج للزاوية المقابلة لهذا الضلع (الصيغة 7)
• يمكن إيجاد مساحة المثلث العشوائي على أنها نتاج مربعين لدائرة مقيدة حوله وجيوب كل زاوية من زواياه. (الفورمولا 8)
• إذا كان طول أحد الأضلاع وحجم الزاويتين المتجاورتين معروفين ، فيمكن إيجاد مساحة المثلث كمربع من هذا الضلع ، مقسومًا على المجموع المزدوج لمظلات ظل هذه الضلع الزوايا (الصيغة 9)
• إذا كان طول كل ارتفاع من ارتفاعات المثلث معروفًا فقط (الصيغة 10) ، فإن مساحة هذا المثلث تتناسب عكسًا مع أطوال هذه الارتفاعات ، كما هو الحال في صيغة هيرون
• تسمح لك الصيغة 11 بالحساب مساحة المثلث حسب إحداثيات رءوسه، والتي تُعطى كقيم (x ؛ y) لكل من الرؤوس. يرجى ملاحظة أن القيمة الناتجة يجب أن تؤخذ بطريقة نمطية ، لأن إحداثيات الرؤوس الفردية (أو حتى جميع) يمكن أن تكون في منطقة القيم السالبة

ملحوظة. فيما يلي أمثلة لحل المشكلات في الهندسة لإيجاد مساحة المثلث. إذا كنت بحاجة إلى حل مشكلة في الهندسة ، مثلها غير موجودة هنا - فاكتب عنها في المنتدى. في الحلول ، بدلاً من الرمز " الجذر التربيعي"يمكن استخدام الدالة sqrt () ، حيث يمثل الجذر التربيعي رمز الجذر التربيعي ، ويُشار إلى التعبير الجذري بين قوسين.في بعض الأحيان يمكن استخدام الرمز لتعبيرات جذرية بسيطة √

مهمة. أوجد المساحة بمعلومية ضلعين والزاوية بينهما

طول ضلعي المثلث 5 و 6 سم ، والزاوية بينهما 60 درجة. أوجد مساحة المثلث.

حل.

لحل هذه المسألة ، نستخدم الصيغة الثانية من الجزء النظري من الدرس.
يمكن إيجاد مساحة المثلث من خلال أطوال ضلعين وجيب الزاوية بينهما وستكون مساوية لـ
S = 1/2 أب sin γ

نظرًا لأن لدينا جميع البيانات اللازمة للحل (وفقًا للصيغة) ، يمكننا فقط استبدال القيم من بيان المشكلة في الصيغة:
S = 1/2 * 5 * 6 * خطيئة 60

في جدول قيم الدوال المثلثية ، نجد قيمة الجيب 60 درجة ونستبدلها في التعبير. سيساوي جذر ثلاثة في اثنين.
S = 15 3/2

إجابة: 7.5 3 (اعتمادًا على متطلبات المعلم ، من المحتمل ترك 15 3/2)

مهمة. أوجد مساحة مثلث متساوي الأضلاع

أوجد مساحة مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه 3 سم.

حل .

يمكن إيجاد مساحة المثلث باستخدام صيغة هيرون:

S = 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))

منذ a \ u003d b \ u003d c ، ستتخذ صيغة مساحة المثلث متساوي الأضلاع الشكل:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

إجابة: 9 √3 / 4.

مهمة. تغيير في المنطقة عند تغيير طول الجوانب

كم مرة ستزداد مساحة المثلث إذا تضاعفت أضلاعه أربع مرات؟

حل.

نظرًا لأن أبعاد أضلاع المثلث غير معروفة لنا ، لحل المشكلة سنفترض أن أطوال الأضلاع تساوي على التوالي أرقامًا عشوائية أ ، ب ، ج. بعد ذلك ، للإجابة على سؤال المشكلة ، نجد مساحة هذا المثلث ، ثم نجد مساحة مثلث أضلاعه أكبر بأربع مرات. ستعطينا النسبة بين مساحات هذين المثلثين إجابة المشكلة.

بعد ذلك ، نقدم شرحًا نصيًا لحل المشكلة في خطوات. ومع ذلك ، في النهاية ، يتم تقديم نفس الحل في شكل رسومي أكثر ملاءمة للإدراك. يمكن لأولئك الذين يرغبون أن يسقطوا الحل على الفور.

لحل هذه المشكلة ، نستخدم صيغة Heron (انظر أعلاه في الجزء النظري من الدرس). تبدو هكذا:

S = 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(انظر السطر الأول من الصورة أدناه)

يتم الحصول على أطوال أضلاع مثلث عشوائي بواسطة المتغيرات أ ، ب ، ج.
إذا زادت الجوانب بمقدار 4 مرات ، فإن مساحة المثلث الجديد ج ستكون:

ق 2 = 1/4 قدم مربع ((4 أ + 4 ب + 4 ج) (4 ب + 4 ج - 4 أ) (4 أ + 4 ج - 4 ب) (4 أ + 4 ب -4 ج))
(انظر السطر الثاني في الصورة أدناه)

كما ترى ، 4 - عامل مشترك، والتي يمكن وضعها بين قوسين من جميع التعبيرات الأربعة بواسطة قواعد عامةالرياضيات.
ثم

S 2 = 1/4 sqrt (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - في السطر الثالث من الصورة
S 2 = 1/4 sqrt (256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - السطر الرابع

من العدد 256 ، يتم استخلاص الجذر التربيعي تمامًا ، لذلك سنخرجه من تحت الجذر
S 2 = 16 * 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
S 2 = 4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(انظر السطر الخامس من الشكل أدناه)

للإجابة على السؤال المطروح في المسألة ، يكفي أن نقسم مساحة المثلث الناتج على مساحة المثلث الأصلي.
نحدد نسب المساحة بقسمة التعبيرات على بعضها البعض وتقليل الكسر الناتج.

لتحديد مساحة المثلث ، يمكنك استخدام صيغ مختلفة. من بين جميع الطرق ، أسهل الطرق وأكثرها استخدامًا هي ضرب الارتفاع في طول القاعدة ، ثم قسمة الناتج على اثنين. لكن هذه الطريقةأبعد ما يكون عن الوحيد. يمكنك أدناه قراءة كيفية العثور على مساحة المثلث باستخدام صيغ مختلفة.

بشكل منفصل ، سننظر في طرق لحساب مساحة أنواع معينة من المثلث - المستطيل ، متساوي الساقين ومتساوي الأضلاع. نرافق كل صيغة بشرح قصير يساعدك على فهم جوهرها.

طرق عالمية لإيجاد مساحة المثلث

تستخدم الصيغ أدناه تدوينًا خاصًا. سنقوم بفك رموز كل منهم:

• أ ، ب ، ج هي أطوال الجوانب الثلاثة للشكل الذي ندرسه ؛
• r هو نصف قطر الدائرة التي يمكن نقشها في مثلثنا ؛
• R هو نصف قطر الدائرة التي يمكن وصفها حولها ؛
• α - قيمة الزاوية التي شكلها الجانبان ب وج ؛
• β هي الزاوية بين أ و ج ؛
• γ - قيمة الزاوية التي شكلها الجانبان أ و ب ؛
• h هو ارتفاع المثلث ، مخفضًا من الزاوية α إلى الجانب a ؛
• p تساوي نصف مجموع الأضلاع a و b و c.

من الواضح منطقيًا لماذا يمكنك إيجاد مساحة المثلث بهذه الطريقة. يكتمل المثلث بسهولة ليصبح متوازي أضلاع ، حيث يعمل أحد أضلاع المثلث كقطر. يمكن إيجاد مساحة متوازي الأضلاع بضرب طول أحد أضلاعه في قيمة الارتفاع المرسومة إليه. يقسم القطر متوازي الأضلاع الشرطي هذا إلى مثلثين متطابقين. لذلك ، من الواضح تمامًا أن مساحة المثلث الأصلي يجب أن تساوي نصف مساحة متوازي الأضلاع المساعد هذا.

S = ½ a b sin γ

وفقًا لهذه الصيغة ، يتم حساب مساحة المثلث بضرب أطوال ضلعيه ، أي أ وب ، في جيب الزاوية التي يشكلانها. هذه الصيغة مستمدة منطقيًا من الصيغة السابقة. إذا خفضنا الارتفاع من الزاوية β إلى الضلع ب ، إذن ، وفقًا للخصائص مثلث قائم، عند ضرب طول الضلع a في جيب الزاوية ، نحصل على ارتفاع المثلث ، أي h.

يمكن العثور على مساحة الشكل قيد النظر بضرب نصف نصف قطر الدائرة التي يمكن كتابتها بها في محيطها. بعبارة أخرى ، نجد حاصل ضرب نصف القطر ونصف قطر الدائرة المذكورة.

S = أ ب ج / 4R

وفقًا لهذه الصيغة ، يمكن إيجاد القيمة التي نحتاجها بقسمة حاصل ضرب جانبي الشكل على 4 أنصاف أقطار من الدائرة التي تحيط به.

هذه الصيغ عالمية ، لأنها تجعل من الممكن تحديد مساحة أي مثلث (مقياس ، متساوي الساقين ، متساوي الأضلاع ، الزاوية اليمنى). يمكن القيام بذلك بمساعدة حسابات أكثر تعقيدًا ، والتي لن نتعمق فيها بالتفصيل.

مناطق مثلثات ذات خصائص محددة

كيف تجد مساحة المثلث القائم؟ من سمات هذا الشكل أن وجهيه هما ارتفاعاته في نفس الوقت. إذا كان a و b أرجل ، وأصبح c هو الوتر ، فسيتم العثور على المنطقة على النحو التالي:

كيف تجد مساحة مثلث متساوي الساقين؟ لها جانبان بطول أ وضلع واحد بطول ب. لذلك ، يمكن تحديد مساحتها عن طريق قسمة حاصل ضرب مربع الضلع a على جيب الزاوية γ على 2.

كيف تجد مساحة مثلث متساوي الأضلاع؟ في ذلك ، يكون طول جميع الجوانب أ ، وقيمة جميع الزوايا هي α. ارتفاعه يساوي نصف حاصل ضرب طول الضلع أ في الجذر التربيعي للرقم 3. لإيجاد مساحة المثلث المنتظم ، تحتاج إلى تربيع الضلع أ مضروبًا في الجذر التربيعي لـ 3 ومقسومًا على 4.

مفهوم المنطقة

يرتبط مفهوم مساحة أي شكل هندسي ، ولا سيما المثلث ، بشكل مثل المربع. بالنسبة لوحدة مساحة أي شكل هندسي ، سنأخذ مساحة مربع ، ضلعه يساوي واحدًا. من أجل الاكتمال ، نذكر خاصيتين أساسيتين لمفهوم المناطق الأشكال الهندسية.

خاصية 1:إذا كانت الأشكال الهندسية متساوية ، فإن مساحتها متساوية أيضًا.

الخاصية 2:يمكن تقسيم أي شخصية إلى عدة أرقام. علاوة على ذلك ، فإن مساحة الشكل الأصلي تساوي مجموع قيم مناطق جميع الأشكال التي يتكون منها.

تأمل في مثال.

مثال 1

من الواضح أن أحد جانبي المثلث هو قطري المستطيل ، حيث يكون أحد أضلاعه 5 دولارات (منذ الخلايا 5 دولارات) والآخر 6 دولارات (منذ 6 دولارات للخلايا). وبالتالي ، فإن مساحة هذا المثلث ستساوي نصف هذا المستطيل. مساحة المستطيل هي

ثم مساحة المثلث

الجواب: 15 دولار.

بعد ذلك ، ضع في اعتبارك عدة طرق لإيجاد مساحة المثلثات ، أي باستخدام الارتفاع والقاعدة ، باستخدام صيغة هيرون ومساحة المثلث متساوي الأضلاع.

كيفية إيجاد مساحة المثلث باستخدام الارتفاع والقاعدة

نظرية 1

يمكن إيجاد مساحة المثلث في صورة نصف حاصل ضرب طول الضلع في الارتفاع المرسوم على هذا الجانب.

رياضيا يبدو هكذا

$ S = \ frac (1) (2) αh $

حيث $ a $ هو طول الضلع ، و $ h $ هو الارتفاع المرسوم له.

دليل.

ضع في اعتبارك المثلث $ ABC $ حيث $ AC = α $. الارتفاع $ BH $ مرسوم إلى هذا الجانب ويساوي $ h $. لنقم ببنائه حتى المربع $ AXYC $ كما في الشكل 2.

مساحة المستطيل $ AXBH $ هي $ h \ cdot AH $ ، ومساحة المستطيل $ HBYC $ هي $ h \ cdot HC $. ثم

$ S_ABH = \ frac (1) (2) h \ cdot AH $، $ S_CBH = \ frac (1) (2) h \ cdot HC $

لذلك ، المساحة المرغوبة من المثلث ، وفقًا للخاصية 2 ، تساوي

$ S = S_ABH + S_CBH = \ frac (1) (2) h \ cdot AH + \ frac (1) (2) h \ cdot HC = \ frac (1) (2) h \ cdot (AH + HC) = \ frac (1) (2) αh $

لقد تم إثبات النظرية.

مثال 2

أوجد مساحة المثلث في الشكل أدناه ، إذا كانت مساحة الخلية تساوي واحدًا

أساس هذا المثلث هو 9 دولارات (بما أن 9 دولارات هي 9 دولارات للخلايا). الارتفاع أيضًا 9 دولارات. ثم ، من خلال النظرية 1 ، نحصل عليها

$ S = \ frac (1) (2) \ cdot 9 \ cdot 9 = 40.5 دولار

الجواب: 40.5 دولار.

صيغة هيرون

نظرية 2

إذا كان لدينا ثلاثة أضلاع للمثلث $ α $ و $ β $ و $ $ ، فيمكن إيجاد مساحته على النحو التالي

$ S = \ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) $

هنا $ ρ $ تعني نصف محيط هذا المثلث.

دليل.

ضع في اعتبارك الشكل التالي:

من خلال نظرية فيثاغورس ، نحصل على المثلث $ ABH $

من المثلث $ CBH $ ، حسب نظرية فيثاغورس ، لدينا

$ h ^ 2 = α ^ 2- (β-x) ^ 2 $

$ h ^ 2 = α ^ 2-β ^ 2 + 2βx-x ^ 2 $

من هاتين العلاقات نحصل على المساواة

$ γ ^ 2-x ^ 2 = α ^ 2-β ^ 2 + 2βx-x ^ 2 $

$ x = \ frac (γ ^ 2-α ^ 2 + β ^ 2) (2β) $

$ h ^ 2 = γ ^ 2 - (\ frac (γ ^ 2-α ^ 2 + β ^ 2) (2β)) ^ 2 $

$ h ^ 2 = \ frac ((α ^ 2- (γ-β) ^ 2) ((γ + β) ^ 2-α ^ 2)) (4β ^ 2) $

$ h ^ 2 = \ frac ((α-γ + β) (α + γ-β) (γ + β-α) (γ + β + α)) (4β ^ 2) $

بما أن $ ρ = \ frac (α + β + γ) (2) $ ، ثم $ α + β + γ = 2ρ $ ، وبالتالي

$ h ^ 2 = \ frac (2ρ (2ρ-2γ) (2ρ-2β) (2ρ-2α)) (4β ^ 2) $

$ h ^ 2 = \ frac (4ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) (β ^ 2) $

$ h = \ sqrt (\ frac (4ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) (β ^ 2)) $

$ h = \ frac (2) (β) \ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) $

من خلال النظرية 1 ، نحصل على

$ S = \ frac (1) (2) βh = \ frac (β) (2) \ cdot \ frac (2) (β) \ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ) ) = \ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) $

المثلث هو أبسط شكل هندسي يتكون من ثلاثة أضلاع وثلاثة رؤوس. نظرًا لبساطته ، فقد تم استخدام المثلث منذ العصور القديمة لإجراء قياسات مختلفة ، واليوم يمكن أن يكون الشكل مفيدًا في حل المشكلات العملية واليومية.

ميزات المثلث

تم استخدام الرقم في الحسابات منذ العصور القديمة ، على سبيل المثال ، يعمل المساحون وعلماء الفلك بخصائص المثلثات لحساب المساحات والمسافات. من خلال مساحة هذا الشكل ، من السهل التعبير عن مساحة أي n-gon ، وقد استخدم العلماء القدماء هذه الخاصية لاشتقاق الصيغ لمناطق المضلعات. أصبح العمل المستمر مع المثلثات ، خاصةً مع المثلث القائم الزاوية ، أساسًا لقسم كامل من الرياضيات - علم المثلثات.

هندسة المثلث

تمت دراسة خصائص الشكل الهندسي منذ العصور القديمة: تم العثور على أقدم المعلومات حول المثلث في أوراق البردي المصرية التي يبلغ عمرها 4000 عام. ثم تم دراسة الرقم في اليونان القديمةوأعظم المساهمات في هندسة المثلث قدمها إقليدس وفيثاغورس وهيرون. لم تتوقف دراسة المثلث أبدًا ، وفي القرن الثامن عشر قدم ليونارد أويلر مفهوم مركز تقويم الشكل ودائرة أويلر. في مطلع القرنين التاسع عشر والعشرين ، عندما بدا أن كل شيء على الإطلاق كان معروفًا عن المثلث ، صاغ فرانك مورلي نظرية ثلاثية الأبعاد للزاوية ، واقترح فاكلاف سيربينسكي مثلثًا فركتليًا.

هناك عدة أنواع من المثلثات المسطحة مألوفة لنا من بينها دورة مدرسيةالهندسة:

• زاوية حادة - كل زوايا الشكل حادة ؛
• منفرجة - الشكل له زاوية منفرجة واحدة (أكبر من 90 درجة) ؛
• مستطيل - يحتوي الشكل على زاوية قائمة واحدة تساوي 90 درجة ؛
• متساوي الساقين - مثلث له جانبان متساويان ؛
• متساوي الأضلاع - مثلث متساوي الأضلاع.
• في الحياه الحقيقيهتوجد كل أنواع المثلثات ، وفي بعض الحالات قد نحتاج إلى حساب مساحة الشكل الهندسي.

مساحة المثلث

المساحة هي تقدير لمقدار المستوى الذي يحده الشكل. يمكن إيجاد مساحة المثلث بست طرق ، باستخدام الأضلاع ، الارتفاع ، الزوايا ، نصف قطر الدائرة المنقوشة أو المحصورة ، بالإضافة إلى استخدام صيغة هيرون أو حساب التكامل المزدوج على طول الخطوط المحيطة بالمستوى. أكثر صيغة بسيطةلحساب مساحة المثلث يبدو كالتالي:

حيث أ هو ضلع المثلث ، ع هو ارتفاعه.

ومع ذلك ، من الناحية العملية ، ليس من الملائم دائمًا العثور على ارتفاع الشكل الهندسي. تسمح لك خوارزمية الآلة الحاسبة الخاصة بنا بحساب المنطقة ، مع العلم:

• ثلاث جهات؛
• جانبان والزاوية بينهما.
• جانب واحد وزاويتان.

لتحديد المساحة من حيث الجوانب الثلاثة ، نستخدم صيغة هيرون:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)) ،

أين ص هو نصف محيط المثلث.

يتم حساب المساحة على الجانبين والزاوية وفقًا للصيغة الكلاسيكية:

S = أ × ب × خطيئة (ألفا) ،

حيث ألفا هي الزاوية بين الجانبين أ وب.

لتحديد المنطقة من خلال جانب واحد وزاويتين ، نستخدم العلاقة التي:

أ / الخطيئة (ألفا) = ب / الخطيئة (بيتا) = ج / الخطيئة (جاما)

باستخدام نسبة بسيطة ، نحدد طول الضلع الثاني ، وبعد ذلك نحسب المساحة باستخدام الصيغة S = a × b × sin (alfa). هذه الخوارزمية مؤتمتة بالكامل وتحتاج فقط إلى إدخال المتغيرات المحددة والحصول على النتيجة. لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة.

أمثلة من الحياة الواقعية

رصف البلاط

لنفترض أنك تريد تمهيد الأرضية ببلاط مثلثي ، وتحديد الكمية المواد المطلوبة، يجب أن تعرف مساحة البلاط الواحد ومساحة الأرضية. لنفترض أنك بحاجة إلى معالجة 6 أمتار مربعة من السطح باستخدام بلاطة أبعادها = 20 سم ، ب = 21 سم ، ج = 29 سم. من الواضح أن الآلة الحاسبة تستخدم صيغة هيرون لحساب مساحة المثلث أعط النتيجة:

وبالتالي ، فإن مساحة عنصر البلاط الواحد ستكون 0.021 متر مربع، وسوف تحتاج إلى 6 / 0.021 = 285 مثلثات لتجميل الأرضية. تشكل الأعداد 20 و 21 و 29 ثلاثية فيثاغورس - وهي أعداد مرضية. وهذا صحيح ، حسبت الآلة الحاسبة أيضًا جميع زوايا المثلث ، وزاوية جاما تساوي 90 درجة بالضبط.

مهمة مدرسية

في مشكلة المدرسة ، تحتاج إلى إيجاد مساحة المثلث ، مع العلم أن الضلع أ \ u003d 5 سم ، وزاويتا ألفا وبيتا للجرح 30 و 50 درجة على التوالي. لحل هذه المسألة يدويًا ، سنجد أولاً قيمة الضلع b باستخدام نسبة العرض إلى الارتفاع وجيب الزوايا المتقابلة ، ثم نحدد المساحة باستخدام الصيغة البسيطة S = a × b × sin (alfa). دعنا نوفر الوقت ، أدخل البيانات في نموذج الآلة الحاسبة ونحصل على إجابة فورية

عند استخدام الآلة الحاسبة ، من المهم تحديد الزوايا والجوانب بشكل صحيح ، وإلا ستكون النتيجة غير صحيحة.

خاتمة

المثلث هو رقم فريد يحدث في الحياة الواقعية وفي الحسابات المجردة. استخدم الآلة الحاسبة الخاصة بنا على الإنترنت لإيجاد مساحة المثلثات من أي نوع.

المثلث هو أحد الأشكال الهندسية الأكثر شيوعًا ، والتي نعرفها بالفعل مدرسة إبتدائية. يواجه كل طالب في دروس الهندسة مسألة كيفية العثور على مساحة المثلث. إذن ، ما هي ميزات العثور على مساحة يمكن تمييز الشكل المعطى؟ في هذه المقالة ، سننظر في الصيغ الأساسية اللازمة لإكمال هذه المهمة ، وكذلك تحليل أنواع المثلثات.

أنواع المثلثات

يمكنك تحديد مساحة المثلث طرق مختلفة، لأنه في الهندسة يوجد أكثر من نوع واحد يحتوي على ثلاث زوايا. تشمل هذه الأنواع:

• منفرج الزاوية.
• متساوي الأضلاع (صحيح).
• مثلث قائم.
• متساوي الساقين.

دعنا نلقي نظرة فاحصة على كل من الأنواع الموجودةمثلثات.

يعتبر هذا الشكل الهندسي الأكثر شيوعًا في حل المشكلات الهندسية. عندما يصبح من الضروري رسم مثلث عشوائي ، فإن هذا الخيار ينقذ.

في المثلث الحاد ، كما يوحي الاسم ، تكون جميع الزوايا حادة ويصل مجموعها إلى 180 درجة.

مثل هذا المثلث شائع جدًا أيضًا ، ولكنه أقل شيوعًا إلى حد ما من المثلث ذي الزاوية الحادة. على سبيل المثال ، عند حل المثلثات (أي أنك تعرف العديد من جوانبها وزواياها وتحتاج إلى إيجاد العناصر المتبقية) ، تحتاج أحيانًا إلى تحديد ما إذا كانت الزاوية منفرجة أم لا. جيب التمام رقم سالب.

تتجاوز قيمة إحدى الزوايا 90 درجة ، لذلك يمكن أن تأخذ الزاويتان المتبقيتان قيمًا صغيرة (على سبيل المثال ، 15 درجة أو حتى 3 درجات).

للعثور على مساحة مثلث من هذا النوع ، تحتاج إلى معرفة بعض الفروق الدقيقة التي سنتحدث عنها بعد ذلك.

مثلثات منتظمة ومتساوية الساقين

المضلع المنتظم هو شكل يحتوي على عدد n من الزوايا ، حيث تكون جميع الأضلاع والزوايا متساوية. هذا هو المثلث القائم. بما أن مجموع زوايا المثلث يساوي 180 درجة ، فإن كل زاوية من الزوايا الثلاث تساوي 60 درجة.

يسمى المثلث القائم ، بسبب خاصيته ، أيضًا بالشكل متساوي الأضلاع.

وتجدر الإشارة أيضًا إلى أنه يمكن إدراج دائرة واحدة فقط في مثلث عادي ويمكن حصر دائرة واحدة فقط حولها ، وتقع مراكزها عند نقطة واحدة.

بالإضافة إلى النوع متساوي الأضلاع ، يمكن للمرء أيضًا التمييز بين مثلث متساوي الساقين ، والذي يختلف قليلاً عنه. في مثل هذا المثلث ، ضلعان وزاويتان متساويتان ، والضلع الثالث (إلى أيهما زوايا متساوية) هي القاعدة.

يوضح الشكل مثلث متساوي الساقين DEF ، الزاويتان D و F متساويتان ، و DF هو القاعدة.

مثلث قائم

سمي المثلث القائم على هذا النحو لأن إحدى زواياه هي الزاوية القائمة ، أي تساوي 90 درجة. مجموع الزاويتين الأخريين يصل إلى 90 درجة.

أكبر ضلع في مثل هذا المثلث ، والذي يقع مقابل زاوية 90 درجة ، هو الوتر ، بينما الضلعان الآخران هما الضلعان. بالنسبة لهذا النوع من المثلثات ، فإن نظرية فيثاغورس قابلة للتطبيق:

مجموع مربعات أطوال الساقين يساوي مربع طول الوتر.

يوضح الشكل مثلث قائم الزاوية BAC به وتر المثلث AC والأرجل AB و BC.

لإيجاد مساحة المثلث بزاوية قائمة ، تحتاج إلى معرفة القيم العددية لأرجله.

دعنا ننتقل إلى الصيغ لإيجاد مساحة الشكل المعطى.

الصيغ الأساسية لإيجاد المنطقة

في الهندسة ، يمكن التمييز بين صيغتين مناسبتين لإيجاد مساحة معظم أنواع المثلثات ، وهي الزوايا الحادة ، والمنفرجة الزاوية ، والمنتظمة ، والمثلثات. مثلثات متساوية الساقين. دعونا نحلل كل واحد منهم.

بالجانب والارتفاع

هذه الصيغةهو عالمي لإيجاد مساحة الشكل الذي نفكر فيه. للقيام بذلك ، يكفي معرفة طول الضلع وطول الارتفاع المرسوم عليه. الصيغة نفسها (نصف حاصل ضرب القاعدة والارتفاع) هي كما يلي:

حيث A هو جانب المثلث المحدد و H هو ارتفاع المثلث.

على سبيل المثال ، لإيجاد مساحة مثلث حاد الزاوية ACB ، عليك ضرب جانبه AB في ارتفاع CD وقسمة القيمة الناتجة على اثنين.

ومع ذلك ، ليس من السهل دائمًا العثور على مساحة المثلث بهذه الطريقة. على سبيل المثال ، لاستخدام هذه الصيغة لمثلث منفرج الزاوية ، عليك الاستمرار في أحد أضلاعه ثم رسم ارتفاع له فقط.

في الممارسة العملية ، يتم استخدام هذه الصيغة في كثير من الأحيان أكثر من غيرها.

جانبان وزاوية

هذه الصيغة ، مثل الصيغة السابقة ، مناسبة لمعظم المثلثات ومعناها هي نتيجة لصيغة إيجاد المساحة بجانب المثلث وارتفاعه. أي أن الصيغة قيد الدراسة يمكن اشتقاقها بسهولة من الصيغة السابقة. تبدو صياغته كما يلي:

S = ½ * sinO * A * B ،

حيث A و B هما جانبي المثلث و O هي الزاوية بين الضلع A و B.

تذكر أنه يمكن عرض جيب الزاوية في جدول خاص سمي على اسم عالم الرياضيات السوفيتي البارز في إم براديس.

والآن دعنا ننتقل إلى الصيغ الأخرى المناسبة فقط لأنواع استثنائية من المثلثات.

مساحة المثلث القائم

بالإضافة إلى الصيغة العامة ، والتي تتضمن الحاجة إلى رسم ارتفاع في مثلث ، يمكن العثور على مساحة المثلث الذي يحتوي على زاوية قائمة من ساقيه.

إذن ، مساحة المثلث التي تحتوي على زاوية قائمة هي نصف حاصل ضرب رجليه ، أو:

حيث أ و ب هي أرجل مثلث قائم الزاوية.

مثلث قائم

هذا النوعتختلف الأشكال الهندسية في أنه يمكن العثور على مساحتها بالقيمة المحددة لواحد فقط من جوانبها (نظرًا لأن جميع جوانب المثلث العادي متساوية). لذلك ، بعد أن قمت بمهمة "إيجاد مساحة المثلث عندما تكون الأضلاع متساوية" ، تحتاج إلى استخدام الصيغة التالية:

S = A 2 * √3 / 4 ،

حيث A هو جانب مثلث متساوي الأضلاع.

صيغة هيرون

الخيار الأخير لإيجاد مساحة المثلث هو صيغة هيرون. لاستخدامها ، تحتاج إلى معرفة أطوال الأضلاع الثلاثة للشكل. تبدو صيغة هيرون كما يلي:

S = √p (p - a) (p - b) (p - c) ،

حيث أ ، ب ، ج هي أضلاع المثلث المعطى.

في بعض الأحيان يتم إعطاء المهمة: "مساحة المثلث العادي هي إيجاد طول ضلعه". في هذه الحالة ، تحتاج إلى استخدام الصيغة المعروفة لدينا لإيجاد مساحة المثلث المنتظم واشتقاق قيمة الضلع (أو مربعه) منها:

أ 2 \ u003d 4S / √3.

مشاكل الامتحان

هناك العديد من الصيغ في مهام GIA في الرياضيات. بالإضافة إلى ذلك ، غالبًا ما يكون من الضروري العثور على مساحة المثلث على ورق متقلب.

في هذه الحالة ، من الأنسب رسم الارتفاع إلى أحد جانبي الشكل وتحديد طوله بالخلايا واستخدام الصيغة العامة لإيجاد المنطقة:

لذلك ، بعد دراسة الصيغ الواردة في المقالة ، لن تواجهك مشاكل في العثور على منطقة مثلث من أي نوع.