Обикновени дроби, правилни и неправилни, смесени и съставни. §26. Правилни и неправилни дроби. Сравнение на дроби

Правилна дроб

Четвъртини

1. Подреденост. аИ bима правило, което позволява еднозначно да се идентифицира една и само една от три връзки между тях: „< », « >" или " = ". Това правило се нарича правило за подрежданеи се формулира по следния начин: две неотрицателни числа и са свързани със същата връзка като две цели числа и ; две неположителни числа аИ bса свързани със същата връзка като две неотрицателни числа и ; ако изведнъж анеотрицателен, но b- тогава отрицателно а > b.

   

   src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

2. Събиране на дробиОперация добавяне. аИ bЗа всякакви рационални числа има т.нар правило за сумиране c правило за сумиране. Освен това, самият номер нареченсума аИ bчисла и се означава с , а процесът за намиране на такова число се наричасумиране .
3. . Правилото за сумиране има следната форма:Операция добавяне. аИ bЗа всякакви рационални числа Операция умножение.правило за умножение правило за сумиране c правило за сумиране. Освен това, самият номер , което им приписва някакво рационално числосума аИ bработа и се означава с , а процесът на намиране на такова число също се наричаумножение .
4. . Правилото за умножение изглежда така:Транзитивност на отношението на поръчка. а , bИ правило за сумиранеЗа всяка тройка рационални числа аАко bИ bАко правило за сумиранепо-малко аАко правило за сумиране, Това а, и ако bИ b, и ако правило за сумиранепо-малко а, и ако правило за сумиранеравни
5. .Редът, в който се добавят три рационални числа, не влияе на резултата.
6. Наличие на нула.Има рационално число 0, което запазва всяко друго рационално число при добавяне.
7. Наличието на противоположни числа.Всяко рационално число има противоположно рационално число, което, когато се добави към, дава 0.
8. Комутативност на умножението.Смяната на местата на рационалните фактори не променя продукта.
9. Асоциативност на умножението.Редът, в който се умножават три рационални числа, не влияе на резултата.
10. Наличност на единица.Има рационално число 1, което запазва всяко друго рационално число, когато се умножи.
11. Наличие на реципрочни числа.Всяко рационално число има обратно рационално число, което, умножено по, дава 1.
12. Разпределимост на умножението спрямо събирането.Операцията за умножение се координира с операцията за събиране чрез закона за разпределение:
13. Връзка на отношението на реда с операцията събиране.Едно и също рационално число може да се добави към лявата и дясната страна на рационално неравенство.
14. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">Аксиома на Архимед. аКаквото и да е рационалното число а, можете да вземете толкова много единици, че техният сбор надвишава

.

src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Допълнителни имоти

Всички останали свойства, присъщи на рационалните числа, не се отличават като основни, тъй като, най-общо казано, те вече не се основават директно на свойствата на целите числа, но могат да бъдат доказани въз основа на дадени основни свойства или директно чрез дефиницията на някакъв математически обект . Има много такива допълнителни имоти. Тук има смисъл да изброим само няколко от тях.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Изброимост на множество

Номериране на рационални числа За да оцените броя на рационалните числа, трябва да намерите кардиналността на техния набор. Лесно се доказва, че множеството от рационални числа е изброимо. За да направите това, достатъчно е да дадете алгоритъм, който изброява рационални числа, т.е. установява биекция между наборите от рационални и естествени числа.Най-простият от тези алгоритми изглежда така. Създава се безкрайна маса обикновени дроби, на всяка аз-ти ред във всяка обикновени дробий аз- номер на колона.

Получената таблица се преминава с помощта на „змия“ съгласно следния формален алгоритъм.

Тези правила се търсят отгоре надолу и следващата позиция се избира въз основа на първото съвпадение.

В процеса на такова обхождане всяко ново рационално число се свързва с друго естествено число. Тоест дробта 1/1 се приписва на числото 1, дробта 2/1 на числото 2 и т.н. Трябва да се отбележи, че се номерират само несъкратимите дроби. Формален признак за несъкратимост е, че най-големият общ делител на числителя и знаменателя на дроб е равен на едно.

Следвайки този алгоритъм, можем да изброим всички положителни рационални числа. Това означава, че множеството от положителни рационални числа е изброимо. Лесно е да се установи биекция между наборите от положителни и отрицателни рационални числа, като просто присвоите на всяко рационално число неговата противоположност. това. множеството от отрицателни рационални числа също е изброимо. Тяхното обединение също е изброимо по свойството на изброими множества. Множеството от рационални числа също е изброимо като обединение на изброимо множество с крайно.

Твърдението за изброимостта на множеството от рационални числа може да предизвика известно объркване, тъй като на пръв поглед изглежда, че то е много по-обширно от множеството от естествени числа. Всъщност това не е така и има достатъчно естествени числа, за да изброим всички рационални.

Липса на рационални числа

Хипотенузата на такъв триъгълник не може да бъде изразена с нищо рационално число

Рационални числа от формата 1 / пна свобода пмогат да се измерват произволно малки количества. Този факт създава подвеждащото впечатление, че рационалните числа могат да се използват за измерване на всякакви геометрични разстояния. Лесно е да се покаже, че това не е вярно.

От Питагоровата теорема знаем, че хипотенузата на правоъгълен триъгълник се изразява като корен квадратен от сбора на квадратите на неговите катети. това. дължина на хипотенузата на равнобедрен правоъгълен триъгълникс единичен крак е равно на, т.е. число, чийто квадрат е 2.

Ако приемем, че едно число може да бъде представено с някакво рационално число, тогава има такова цяло число ми такова естествено число п, че , и дробта е несъкратима, т.е. числа мИ п- взаимно прости.

Ако, тогава , т.е. м 2 = 2п 2. Следователно броят м 2 е четно, но произведението от две нечетни числа е нечетно, което означава, че самото число мсъщо дори. Така че има естествено число к, така че числото ммогат да бъдат представени във формата м = 2к. Числов квадрат мв този смисъл м 2 = 4к 2, но от друга страна м 2 = 2п 2 означава 4 к 2 = 2п 2, или п 2 = 2к 2. Както беше показано по-рано за броя м, това означава, че числото п- дори като м. Но тогава те не са относително прости, тъй като и двете са разполовени. Полученото противоречие доказва, че то не е рационално число.

Тази статия е за обикновени дроби. Тук ще въведем понятието дроб от цяло, което ще ни доведе до определението за обикновена дроб. След това ще се спрем на приетата нотация за обикновени дроби и ще дадем примери за дроби, да кажем за числителя и знаменателя на дроб. След това ще дадем определения за правилни и неправилни, положителни и отрицателни дроби, а също така ще разгледаме позицията на дробните числа върху координатния лъч. В заключение изброяваме основните операции с дроби.

Навигация в страницата.

Дялове на цялото

Първо представяме концепция за дял.

Да приемем, че имаме някакъв обект, съставен от няколко абсолютно еднакви (т.е. равни) части. За по-голяма яснота можете да си представите например ябълка, нарязана на няколко равни части, или портокал, състоящ се от няколко равни резена. Всяка от тези равни части, които съставят целия обект, се нарича части от цялотоили просто акции.

Имайте предвид, че акциите са различни. Нека обясним това. Нека вземем две ябълки. Разрежете първата ябълка на две равни части, а втората на 6 равни части. Ясно е, че делът на първата ябълка ще бъде различен от дела на втората ябълка.

В зависимост от броя на дяловете, които съставляват целия обект, тези дялове имат свои собствени имена. Нека го подредим имена на удари. Ако един обект се състои от две части, всяка от тях се нарича една втора част от целия обект; ако един обект се състои от три части, тогава всяка от тях се нарича една трета част и т.н.

Един втори дял има специално име - половината. Една трета се нарича третии една четвърт част - една четвърт.

За краткост бяха въведени следните: бийт символи. Една втора акция се обозначава като или 1/2, една трета акция се обозначава като или 1/3; една четвърт дял - като или 1/4 и т.н. Имайте предвид, че нотацията с хоризонтална лента се използва по-често. За да затвърдим материала, нека дадем още един пример: записът означава сто шестдесет и седма част от цялото.

Концепцията за дял естествено се простира от обектите до количествата. Например една от мерките за дължина е метърът. За измерване на дължини, по-къси от метър, могат да се използват части от метър. Така че можете да използвате, например, половин метър или една десета или хилядна от метъра. Дяловете на други количества се прилагат по подобен начин.

Обикновени дроби, определение и примери за дроби

За да опишем броя на споделянията, които използваме обикновени дроби. Нека дадем пример, който ще ни позволи да се доближим до определението на обикновените дроби.

Нека портокалът се състои от 12 части. Всеки дял в този случай представлява една дванадесета от цял ​​портокал, т.е. Означаваме два удара като , три удара като и така нататък, 12 удара означаваме като . Всеки от дадените записи се нарича обикновена дроб.

Сега нека дадем общ определение на обикновени дроби.

Изразената дефиниция на обикновените дроби ни позволява да дадем примери за обикновени дроби: 5/10, , 21/1, 9/4, . А ето и записите не отговарят на дадената дефиниция за обикновени дроби, тоест не са обикновени дроби.

Числител и знаменател

За удобство се разграничават обикновени дроби числител и знаменател.

Определение.

Числителобикновена дроб (m/n) е естествено число m.

Определение.

Знаменателобикновена дроб (m/n) е естествено число n.

И така, числителят се намира над дробната линия (вляво от наклонената черта), а знаменателят е разположен под дробната линия (вдясно от наклонената черта). Например, нека вземем обикновената дроб 17/29, числителят на тази дроб е числото 17, а знаменателят е числото 29.

Остава да обсъдим значението, което се съдържа в числителя и знаменателя на обикновена дроб. Знаменателят на дроб показва от колко части се състои един обект, а числителят от своя страна показва броя на тези дялове. Например, знаменателят 5 на дробта 12/5 означава, че един обект се състои от пет дяла, а числителят 12 означава, че са взети 12 такива дяла.

Естествено число като дроб със знаменател 1

Знаменателят на обикновена дроб може да бъде равен на единица. В този случай можем да считаме, че обектът е неделим, с други думи, той представлява нещо цяло. Числителят на такава дроб показва колко цели обекта са взети. Така обикновена дроб от вида m/1 има значението на естествено число m. Така обосновахме валидността на равенството m/1=m.

Нека пренапишем последното равенство, както следва: m=m/1. Това равенство ни позволява да представим всяко естествено число m като обикновена дроб. Например числото 4 е дроб 4/1, а числото 103 498 е равно на дроб 103 498/1.

така че всяко естествено число m може да бъде представено като обикновена дроб със знаменател 1 като m/1 и всяка обикновена дроб от формата m/1 може да бъде заменена с естествено число m.

Дробна лента като знак за деление

Представянето на оригиналния обект под формата на n дяла не е нищо повече от разделяне на n равни части. След като даден артикул бъде разделен на n дяла, можем да го разделим поравно между n души - всеки ще получи по един дял.

Ако първоначално имаме m идентични обекта, всеки от които е разделен на n дяла, тогава можем да разделим по равно тези m обекта между n души, давайки на всеки човек по един дял от всеки от m обекта. В този случай всеки човек ще има m дяла от 1/n, а m дяла от 1/n дава обикновената дроб m/n. По този начин обикновената дроб m/n може да се използва за обозначаване на разделянето на m елемента между n души.

Така че имаме изрична връзка между обикновените дроби и делението (вижте общо разбиране за деление на естествени числа). Тази връзка се изразява по следния начин: дробната черта може да се разбира като знак за деление, тоест m/n=m:n.

С помощта на обикновена дроб можете да запишете резултата от деленето на две естествени числа, за които не може да се извърши цяло деление. Например резултатът от разделянето на 5 ябълки на 8 души може да се запише като 5/8, тоест всеки ще получи пет осми от ябълка: 5:8 = 5/8.

Равни и неравни дроби, сравнение на дроби

Доста естествено действие е сравняване на дроби, защото е ясно, че 1/12 портокал е различна от 5/12, а 1/6 ябълка е същата като друга 1/6 от тази ябълка.

В резултат на сравняването на две обикновени дроби се получава един от резултатите: дробите са равни или неравни. В първия случай имаме равни обикновени дроби, а във втория – неравни обикновени дроби. Нека дадем дефиниция на равни и неравни обикновени дроби.

Определение.

равен, ако равенството a·d=b·c е вярно.

Определение.

Две обикновени дроби a/b и c/d не е равен, ако не е изпълнено равенството a·d=b·c.

Ето няколко примера за равни дроби. Например обикновената дроб 1/2 е равна на дробта 2/4, тъй като 1 4 = 2 2 (вижте, ако е необходимо правила и примери за умножение на естествени числа). За по-голяма яснота можете да си представите две еднакви ябълки, първата е нарязана наполовина, а втората е нарязана на 4 части. Очевидно е, че две четвърти от една ябълка се равняват на 1/2 дял. Други примери за равни обикновени дроби са дробите 4/7 и 36/63 и двойката дроби 81/50 и 1620/1000.

Но обикновените дроби 4/13 и 5/14 не са равни, тъй като 4·14=56, а 13·5=65, тоест 4·14≠13·5. Други примери за неравни обикновени дроби са дробите 17/7 и 6/4.

Ако при сравняване на две обикновени дроби се окаже, че не са равни, тогава може да се наложи да разберете коя от тези обикновени дроби по-малкоразлични и кои - повече. За да разберете, се използва правилото за сравняване на обикновени дроби, чиято същност се свежда до привеждане на сравняваните дроби до общ знаменатели последващо сравнение на числителите. Подробна информацияпо тази тема е събрана в статията сравняване на дроби: правила, примери, решения.

Дробни числа

Всяка дроб е нотация дробно число. Тоест дробта е просто „обвивка“ на дробно число, неговата външен вид, а целият семантичен товар се съдържа в дробното число. Въпреки това, за краткост и удобство, понятията фракция и дробно число се комбинират и просто се наричат ​​дроб. Тук е уместно да се перифразира известна поговорка: казваме дроб - имаме предвид дробно число, казваме дробно число - имаме предвид дроб.

Дроби на координатен лъч

Всички дробни числа, съответстващи на обикновени дроби, имат свое собствено уникално място, т.е. има взаимно еднозначно съответствие между дробите и точките на координатния лъч.

За да стигнете до точката на координатния лъч, съответстваща на частта m/n, трябва да отделите m отсечки от началото на координатите в положителна посока, чиято дължина е 1/n част от единична отсечка. Такива сегменти могат да бъдат получени чрез разделяне на единичен сегмент на n равни части, което винаги може да се направи с помощта на пергел и линийка.

Например, нека покажем точка М на координатния лъч, съответстващ на дробта 14/10. Дължината на отсечка с краища в точка O и най-близката до нея точка, отбелязана с малка чертичка, е 1/10 от единичната отсечка. Точката с координата 14/10 се отдалечава от началото на разстояние 14 такива сегмента.

Равните дроби съответстват на едно и също дробно число, тоест равните дроби са координатите на една и съща точка на координатния лъч. Например координатите 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 съответстват на една точка от координатния лъч, тъй като всички записани дроби са равни (той се намира на разстояние половин единичен сегмент, изложен от началото в положителна посока).

На хоризонтален и насочен надясно координатен лъч точката, чиято координата е по-голямата част, се намира вдясно от точката, чиято координата е по-малката част. По същия начин точка с по-малка координата лежи отляво на точка с по-голяма координата.

Правилни и неправилни дроби, определения, примери

Сред обикновените дроби има правилни и неправилни дроби. Това разделение се основава на сравнение на числителя и знаменателя.

Нека дефинираме правилните и неправилните обикновени дроби.

Определение.

Правилна дробе обикновена дроб, чийто числител е по-малък от знаменателя, т.е. ако m

Определение.

Неправилна дробе обикновена дроб, в която числителят е по-голям или равен на знаменателя, т.е. ако m≥n, тогава обикновената дроб е неправилна.

Ето няколко примера за правилни дроби: 1/4, 32,765/909,003. Наистина във всяка от написаните обикновени дроби числителят е по-малък от знаменателя (ако е необходимо, вижте статията сравнение на естествени числа), така че те са правилни по дефиниция.

Ето примери за неправилни дроби: 9/9, 23/4, . Действително числителят на първата от написаните обикновени дроби е равен на знаменателя, а в останалите дроби числителят е по-голям от знаменателя.

Има и дефиниции на правилни и неправилни дроби, базирани на сравнение на дроби с единица.

Определение.

правилно, ако е по-малко от едно.

Определение.

Обикновена дроб се нарича грешно, ако е равно на едно или по-голямо от 1.

Така че обикновената дроб 7/11 е правилна, тъй като 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 и 27/27=1.

Нека помислим как обикновените дроби с числител, по-голям или равен на знаменателя, заслужават такова име - „неправилно“.

Например, нека вземем неправилната дроб 9/9. Тази дроб означава, че се вземат девет части от обект, който се състои от девет части. Тоест от наличните девет части можем да съставим цял обект. Тоест неправилната дроб 9/9 по същество дава целия обект, тоест 9/9 = 1. По принцип неправилните дроби с числител, равен на знаменателя, означават един цял обект и такава дроб може да бъде заменена с естественото число 1.

Сега разгледайте неправилните дроби 7/3 и 12/4. Съвсем очевидно е, че от тези седем трети части можем да съставим два цели обекта (един цял обект се състои от 3 части, тогава за да съставим два цели обекта ще ни трябват 3 + 3 = 6 части) и пак ще остане една трета част . Тоест, неправилната дроб 7/3 по същество означава 2 обекта и също 1/3 от такъв обект. И от дванадесет четвърти части можем да направим три цели предмета (три обекта с по четири части). Тоест дробта 12/4 по същество означава 3 цели обекта.

Разгледаните примери ни водят до следния извод: неправилните дроби могат да бъдат заменени или с естествени числа, когато числителят се раздели поравно на знаменателя (например 9/9=1 и 12/4=3), или със сумата на естествено число и правилна дроб, когато числителят не се дели равномерно на знаменателя (например 7/3=2+1/3). Може би точно това е причината неправилните дроби да бъдат наречени „неправилни“.

От особен интерес е представянето на неправилна дроб като сбор от естествено число и правилна дроб (7/3=2+1/3). Този процес се нарича отделяне на цялата част от неправилна дроб, и заслужава отделно и по-внимателно разглеждане.

Също така си струва да се отбележи, че има много близо връзка между неправилни дроби и смесени числа.

Положителни и отрицателни дроби

Всяка обикновена дроб съответства на положително дробно число (виж статията положителни и отрицателни числа). Тоест обикновените дроби са положителни дроби. Например обикновените дроби 1/5, 56/18, 35/144 са положителни дроби. Когато трябва да подчертаете положителността на дроб, пред него се поставя знак плюс, например +3/4, +72/34.

Ако поставите знак минус пред обикновена дроб, тогава този запис ще съответства на отрицателно дробно число. В този случай можем да говорим за отрицателни дроби. Ето няколко примера за отрицателни дроби: −6/10, −65/13, −1/18.

Положителните и отрицателните дроби m/n и −m/n са противоположни числа. Например дробите 5/7 и −5/7 са противоположни дроби.

Положителните дроби, като положителните числа като цяло, означават добавяне, доход, възходяща промяна на всяка стойност и т.н. Отрицателните дроби съответстват на разход, дълг или намаление на каквото и да е количество. Например, отрицателната част −3/4 може да се тълкува като дълг, чиято стойност е равна на 3/4.

В хоризонтална и дясна посока отрицателните дроби са разположени вляво от началото. Точките на координатната права, чиито координати са положителната част m/n и отрицателната част −m/n, се намират на същото разстояние от началото, но от противоположните страни на точка O.

Тук си струва да споменем дроби от формата 0/n. Тези дроби са равни на числото нула, тоест 0/n=0.

Положителните дроби, отрицателните дроби и 0/n дроби се комбинират в рационални числа.

Действия с дроби

Едно действие с обикновени дроби - сравнение на дроби- вече обсъдихме по-горе. Дефинирани са още четири аритметични функции операции с дроби– събиране, изваждане, умножение и деление на дроби. Нека разгледаме всеки от тях.

Общата същност на операциите с дроби е подобна на същността на съответните операции с естествени числа. Нека направим една аналогия.

Умножение на дробиможе да се разглежда като действие за намиране на дроб от дроб. За да изясним, нека дадем пример. Нека имаме 1/6 от една ябълка и трябва да вземем 2/3 от нея. Частта, от която се нуждаем, е резултат от умножаването на дробите 1/6 и 2/3. Резултатът от умножението на две обикновени дроби е обикновена дроб (която в специален случай е равна на естествено число). Освен това ви препоръчваме да проучите информацията в статията. умножение на дроби - правила, примери и решения.

Референции.

• Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика: учебник за 5. клас. образователни институции.
• Виленкин Н.Я. и други. 6 клас: учебник за общообразователните институции.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (наръчник за постъпващите в технически училища).

Обикновените дроби се делят на \textit (правилни) и \textit (неправилни) дроби. Това разделение се основава на сравнение на числителя и знаменателя.

Правилни дроби

Правилна дробИзвиква се обикновена дроб $\frac(m)(n)$, в която числителят е по-малък от знаменателя, т.е. $ млн

Пример 1

Например дробите $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ са правилни , така че как във всеки от тях числителят е по-малък от знаменателя, което отговаря на определението за правилна дроб.

Има определение за правилна дроб, което се основава на сравняването на дробта с единица.

правилно, ако е по-малко от едно:

Пример 2

Например обикновената дроб $\frac(6)(13)$ е правилна, защото условието $\frac(6)(13) е изпълнено

Неправилни дроби

Неправилна дробИзвиква се обикновена дроб $\frac(m)(n)$, в която числителят е по-голям или равен на знаменателя, т.е. $m\ge n$.

Пример 3

Например дробите $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ са неправилни , така че как във всеки от тях числителят е по-голям или равен на знаменателя, което отговаря на определението за неправилна дроб.

Нека дадем дефиниция на неправилна дроб, която се основава на сравнението й с единица.

Обикновената дроб $\frac(m)(n)$ е грешно, ако е равно на или по-голямо от едно:

\[\frac(m)(n)\ge 1\]

Пример 4

Например обикновената дроб $\frac(21)(4)$ е неправилна, защото условието $\frac(21)(4) >1$ е изпълнено;

обикновената дроб $\frac(8)(8)$ е неправилна, защото условието $\frac(8)(8)=1$ е изпълнено.

Нека разгледаме по-отблизо понятието неправилна дроб.

Нека вземем за пример неправилната дроб $\frac(7)(7)$. Значението на тази фракция е да се вземат седем дяла от обект, който се разделя на седем равни части. Така от седемте налични дяла може да се състави целият обект. Тези. неправилната дроб $\frac(7)(7)$ описва целия обект и $\frac(7)(7)=1$. И така, неправилните дроби, в които числителят е равен на знаменателя, описват един цял обект и такава дроб може да бъде заменена с естественото число $1$.

$\frac(5)(2)$ - съвсем очевидно е, че от тези пет втори части можете да направите $2$ цели обекти (един цял обект ще бъде съставен от $2$ части, а за да съставите два цели обекта, трябва $2+2=4$ споделяния) и остава едно второ споделяне. Тоест, неправилната дроб $\frac(5)(2)$ описва $2$ от обект и $\frac(1)(2)$ дела на този обект.

$\frac(21)(7)$ -- от двадесет и една седми части можете да направите $3$ цели обекта ($3$ обекта с $7$ дялове във всеки). Тези. дробта $\frac(21)(7)$ описва $3$ цели обекти.

От разгледаните примери можем да направим следното заключение: неправилна дроб може да бъде заменена с естествено число, ако числителят се дели напълно на знаменателя (например $\frac(7)(7)=1$ и $\ frac(21)(7)=3$) или сумата от естествено число и правилна дроб, ако числителят не се дели напълно на знаменателя (например $\ \frac(5)(2)=2 +\frac(1)(2)$). Ето защо такива дроби се наричат грешно.

Определение 1

Процесът на представяне на неправилна дроб като сума от естествено число и правилна дроб (например $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) се нарича отделяне на цялата част от неправилна дроб.

При работа с неправилни дроби има тясна връзка между тях и смесените числа.

Неправилната дроб често се записва като смесено число - число, което се състои от цяла част и дробна част.

За да напишете неправилна дроб като смесено число, трябва да разделите числителя на знаменателя с остатък. Частното ще бъде цялата част от смесеното число, остатъкът ще бъде числителят на дробната част, а делителят ще бъде знаменателят на дробната част.

Пример 5

Запишете неправилната дроб $\frac(37)(12)$ като смесено число.

Решение.

Разделете числителя на знаменателя с остатък:

\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (остатък\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]

отговор.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$.

За да напишете смесено число като неправилна дроб, трябва да умножите знаменателя по цялата част на числото, да добавите числителя на дробната част към получения продукт и да запишете получената сума в числителя на дробта. Знаменателят на неправилната дроб ще бъде равен на знаменателя на дробната част на смесеното число.

Пример 6

Запишете смесеното число $5\frac(3)(7)$ като неправилна дроб.

Решение.

отговор.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.

Събиране на смесени числа и правилни дроби

Събиране на смесени числа$a\frac(b)(c)$ и правилна дроб$\frac(d)(e)$ се извършва чрез добавяне към дадена дроб на дробната част от дадено смесено число:

Пример 7

Добавете правилната дроб $\frac(4)(15)$ и смесеното число $3\frac(2)(5)$.

Решение.

Нека използваме формулата за събиране на смесено число и правилна дроб:

\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\left(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\right)=3+\ ляво(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\дясно)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( 15)\]

Чрез разделяне на числото \textit(5) можем да определим, че дробта $\frac(10)(15)$ е редуцируема. Нека извършим редукцията и намерим резултата от добавянето:

И така, резултатът от събирането на правилната дроб $\frac(4)(15)$ и смесеното число $3\frac(2)(5)$ е $3\frac(2)(3)$.

отговор:$3\frac(2)(3)$

Събиране на смесени числа и неправилни дроби

Събиране на неправилни дроби и смесени числасе свежда до добавяне на две смесени числа, за което е достатъчно да се изолира цялата част от неправилната дроб.

Пример 8

Изчислете сумата от смесеното число $6\frac(2)(15)$ и неправилната дроб $\frac(13)(5)$.

Решение.

Първо, нека извлечем цялата част от неправилната дроб $\frac(13)(5)$:

отговор:$8\frac(11)(15)$.

Правилна дроб

Четвъртини

1. Подреденост. аИ bима правило, което позволява еднозначно да се идентифицира една и само една от три връзки между тях: „< », « >" или " = ". Това правило се нарича правило за подрежданеи се формулира по следния начин: две неотрицателни числа и са свързани със същата връзка като две цели числа и ; две неположителни числа аИ bса свързани със същата връзка като две неотрицателни числа и ; ако изведнъж анеотрицателен, но b- тогава отрицателно а > b.

   

   src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

2. Събиране на дробиОперация добавяне. аИ bЗа всякакви рационални числа има т.нар правило за сумиране c правило за сумиране. Освен това, самият номер нареченсума аИ bчисла и се означава с , а процесът за намиране на такова число се наричасумиране .
3. . Правилото за сумиране има следната форма:Операция добавяне. аИ bЗа всякакви рационални числа Операция умножение.правило за умножение правило за сумиране c правило за сумиране. Освен това, самият номер , което им приписва някакво рационално числосума аИ bработа и се означава с , а процесът на намиране на такова число също се наричаумножение .
4. . Правилото за умножение изглежда така:Транзитивност на отношението на поръчка. а , bИ правило за сумиранеЗа всяка тройка рационални числа аАко bИ bАко правило за сумиранепо-малко аАко правило за сумиране, Това а, и ако bИ b, и ако правило за сумиранепо-малко а, и ако правило за сумиранеравни
5. .Редът, в който се добавят три рационални числа, не влияе на резултата.
6. Наличие на нула.Има рационално число 0, което запазва всяко друго рационално число при добавяне.
7. Наличието на противоположни числа.Всяко рационално число има противоположно рационално число, което, когато се добави към, дава 0.
8. Комутативност на умножението.Смяната на местата на рационалните фактори не променя продукта.
9. Асоциативност на умножението.Редът, в който се умножават три рационални числа, не влияе на резултата.
10. Наличност на единица.Има рационално число 1, което запазва всяко друго рационално число, когато се умножи.
11. Наличие на реципрочни числа.Всяко рационално число има обратно рационално число, което, умножено по, дава 1.
12. Разпределимост на умножението спрямо събирането.Операцията за умножение се координира с операцията за събиране чрез закона за разпределение:
13. Връзка на отношението на реда с операцията събиране.Едно и също рационално число може да се добави към лявата и дясната страна на рационално неравенство.
14. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">Аксиома на Архимед. аКаквото и да е рационалното число а, можете да вземете толкова много единици, че техният сбор надвишава

.

src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Допълнителни имоти

Всички останали свойства, присъщи на рационалните числа, не се отличават като основни, тъй като, най-общо казано, те вече не се основават директно на свойствата на целите числа, но могат да бъдат доказани въз основа на дадени основни свойства или директно чрез дефиницията на някакъв математически обект . Има много такива допълнителни имоти. Тук има смисъл да изброим само няколко от тях.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Изброимост на множество

Най-простият от тези алгоритми изглежда така. На всяка се съставя безкрайна таблица от обикновени дроби обикновени дроби, на всяка аз-ти ред във всяка обикновени дробий аз- номер на колона.

Получената таблица се преминава с помощта на „змия“ съгласно следния формален алгоритъм.

Тези правила се търсят отгоре надолу и следващата позиция се избира въз основа на първото съвпадение.

В процеса на такова обхождане всяко ново рационално число се свързва с друго естествено число. Тоест дробта 1/1 се приписва на числото 1, дробта 2/1 на числото 2 и т.н. Трябва да се отбележи, че се номерират само несъкратимите дроби. Формален признак за несъкратимост е, че най-големият общ делител на числителя и знаменателя на дроб е равен на едно.

Следвайки този алгоритъм, можем да изброим всички положителни рационални числа. Това означава, че множеството от положителни рационални числа е изброимо. Лесно е да се установи биекция между наборите от положителни и отрицателни рационални числа, като просто присвоите на всяко рационално число неговата противоположност. това. множеството от отрицателни рационални числа също е изброимо. Тяхното обединение също е изброимо по свойството на изброими множества. Множеството от рационални числа също е изброимо като обединение на изброимо множество с крайно.

Твърдението за изброимостта на множеството от рационални числа може да предизвика известно объркване, тъй като на пръв поглед изглежда, че то е много по-обширно от множеството от естествени числа. Всъщност това не е така и има достатъчно естествени числа, за да изброим всички рационални.

Липса на рационални числа

Хипотенузата на такъв триъгълник не може да бъде изразена с рационално число

Рационални числа от формата 1 / пна свобода пмогат да се измерват произволно малки количества. Този факт създава подвеждащото впечатление, че рационалните числа могат да се използват за измерване на всякакви геометрични разстояния. Лесно е да се покаже, че това не е вярно.

От Питагоровата теорема знаем, че хипотенузата на правоъгълен триъгълник се изразява като корен квадратен от сбора на квадратите на неговите катети. това. дължината на хипотенузата на равнобедрен правоъгълен триъгълник с единичен катет е равна на , т.е. числото, чийто квадрат е 2.

Ако приемем, че едно число може да бъде представено с някакво рационално число, тогава има такова цяло число ми такова естествено число п, че , и дробта е несъкратима, т.е. числа мИ п- взаимно прости.

Ако, тогава , т.е. м 2 = 2п 2. Следователно броят м 2 е четно, но произведението от две нечетни числа е нечетно, което означава, че самото число мсъщо дори. Така че има естествено число к, така че числото ммогат да бъдат представени във формата м = 2к. Числов квадрат мв този смисъл м 2 = 4к 2, но от друга страна м 2 = 2п 2 означава 4 к 2 = 2п 2, или п 2 = 2к 2. Както беше показано по-рано за броя м, това означава, че числото п- дори като м. Но тогава те не са относително прости, тъй като и двете са разполовени. Полученото противоречие доказва, че то не е рационално число.