Ще започнем разглеждането на тази тема, като изучаваме концепцията за дроб като цяло, което ще ни даде по-пълно разбиране на значението на обикновена дроб. Нека дадем основните термини и тяхното определение, да изучим темата в геометрична интерпретация, т.е. върху координатната линия, а също така дефинирайте списък от основни операции с дроби.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Дялове на цялото

Нека си представим предмет, състоящ се от няколко напълно равни части. Например, може да бъде портокал, състоящ се от няколко еднакви резена.

Определение 1

Част от цяло или дял- това е всяка от равните части, съставляващи целия обект.

Очевидно е, че акциите могат да бъдат различни. За да обясните ясно това твърдение, представете си две ябълки, едната от които е нарязана на две равни части, а втората на четири. Ясно е, че размерите на получените акции са различни ябълкище варира.

Споделянията имат свои собствени имена, които зависят от броя на споделянията, съставляващи целия обект. Ако даден обект има два дяла, тогава всеки от тях ще бъде дефиниран като един втори дял от този обект; когато един обект се състои от три части, тогава всяка от тях е една трета и т.н.

Определение 2

Наполовина- един втори дял от обект.

трето– една трета дял от обект.

Квартал- една четвърт от обекта.

За да се съкрати нотацията, бяха въведени следните нотации за дроби: половина - 1 2 или 1/2; трети - 1 3 или 1/3; една четвърт дял - 1 4 или 1/4 и така нататък. По-често се използват записи с хоризонтални ленти.

Концепцията за дял естествено се разширява от обекти до количества. Така че, за измерване на малки обекти, части от метър (една трета или една стотна) могат да се използват като една от единиците за дължина. Пропорциите на други количества могат да се прилагат по подобен начин.

Обикновени дроби, определение и примери

Обикновени дробисе използват за описание на броя на акциите. Нека разгледаме един прост пример, който ще ни доближи до дефиницията на обикновена дроб.

Нека си представим портокал, състоящ се от 12 сегмента. Тогава всяка акция ще бъде една дванадесета или 1/12. Два удара – 2/12; три такта – 3/12 и т.н. Всичките 12 удара или цяло число ще изглеждат така: 12 / 12. Всяка от обозначенията, използвани в примера, е пример за обикновена дроб.

Определение 3

Обикновена дробе запис на формуляра m n или m/n, където m и n са произволни естествени числа.

Според това определение, примери за обикновени дроби могат да бъдат записите: 4 / 9, 11 34, 917 54. И тези записи: 11 5, 1, 9 4, 3 не са обикновени дроби.

Числител и знаменател

Определение 4

Числителобикновена дроб m n или m/n е естествено числом.

Знаменателобикновена дроб mn или m/n е естественото число n.

Тези. Числителят е числото, разположено над линията на обикновена дроб (или вляво от наклонената черта), а знаменателят е числото, разположено под линията (вдясно от наклонената черта).

Какво е значението на числителя и знаменателя? Знаменателят на обикновената дроб показва от колко дяла се състои един обект, а числителят ни дава информация какъв е броят на въпросните дялове. Например обикновената дроб 7 54 ни показва, че даден обект се състои от 54 дяла, а за разглеждане взехме 7 такива дяла.

Естествено число като дроб със знаменател 1

Знаменателят на обикновена дроб може да бъде равен на единица. В този случай може да се каже, че въпросният предмет (количество) е неделим и представлява нещо цяло. Числителят в такава дроб ще покаже колко такива артикули са взети, т.е. обикновена дроб от вида m 1 има значението на естествено число m. Това твърдение служи като обосновка на равенството m 1 = m.

Нека запишем последното равенство по следния начин: m = m 1 . Ще ни даде възможност да използваме всяко естествено число като обикновена дроб. Например числото 74 е обикновена дроб от формата 74 1.

Определение 5

Всяко естествено число m може да се запише като обикновена дроб, където знаменателят е единица: m 1.

От своя страна всяка обикновена дроб от формата m 1 може да бъде представена с естествено число m.

Дробна лента като знак за деление

Използваното по-горе представяне на този предметкато n части не е нищо повече от разделяне на n равни части. Когато даден артикул е разделен на n части, имаме възможност да го разделим поравно между n души - всеки получава своята част.

В случай, че първоначално имаме m идентични обекта (всеки разделен на n части), тогава тези m обекта могат да бъдат разделени поравно между n души, давайки на всеки от тях по един дял от всеки от m обекта. В този случай всеки човек ще има m дяла от 1 n, а m дяла от 1 n ще дадат обикновена дроб m n. Следователно дробта m n може да се използва за представяне на разделянето на m елемента между n души.

Полученото твърдение установява връзка между обикновените дроби и делението. И тази връзка може да се изрази по следния начин : Дробната черта може да се има предвид като знак за деление, т.е. m/n = m:n.

С помощта на обикновена дроб можем да запишем резултата от деленето на две естествени числа. Например, записваме делението на 7 ябълки на 10 души като 7 10: всеки човек ще получи седем десети.

Равни и неравни обикновени дроби

Логично действие е да се сравняват обикновени дроби, защото е очевидно, че например 1 8 от една ябълка е различно от 7 8.

Резултатът от сравняването на обикновените дроби може да бъде: равен или неравен.

Определение 6

Равни обикновени дроби– обикновени дроби a b и c d, за които е в сила равенството: a · d = b · c.

Неравни обикновени дроби- обикновени дроби a b и c d, за които не е вярно равенството: a · d = b · c.

Пример за равни дроби: 1 3 и 4 12 – тъй като е в сила равенството 1 · 12 = 3 · 4.

В случай, че се окаже, че дробите не са равни, обикновено също трябва да се установи коя от дадените дроби е по-малка и коя по-голяма. За да се отговори на тези въпроси, обикновените дроби се сравняват, намалявайки ги до общ знаменатели след това сравняване на числителите.

Дробни числа

Всяка фракция е запис на дробно число, което по същество е просто „черупка“, визуализация на семантичното натоварване. Но все пак за удобство комбинираме понятията дроб и дробно число, просто казано - дроб.

Всички дробни числа, както всяко друго число, имат свое собствено уникално местоположение на координатния лъч: има едно към едно съответствие между дроби и точки на координатния лъч.

За да се намери точка на координатния лъч, която обозначава частта m n, е необходимо да се начертаят m сегмента от началото на координатите в положителна посока, дължината на всеки от които ще бъде 1 n част от единичен сегмент. Сегменти могат да бъдат получени чрез разделяне на единичен сегмент на n равни части.

Като пример, нека обозначим точката M на координатния лъч, която съответства на фракцията 14 10. Дължината на отсечката, чиито краища са точка О и най-близката точка, отбелязана с малка чертичка, е равна на 110 части от единична отсечка. Точката, съответстваща на фракцията 14 10, се намира на разстояние 14 такива сегмента от началото.

Ако дробите са равни, т.е. отговарят на едно и също дробно число, то тези дроби служат като координати на една и съща точка от координатния лъч. Например координати под формата на равни дроби 1 3 , 2 6 , 3 9 , 5 15 , 11 33 съответстват на една и съща точка от координатния лъч, разположен на разстояние една трета от единичен сегмент, разположен от началото в положителна посока.

Тук работи същият принцип като при цели числа: на хоризонтален координатен лъч, насочен надясно, точката, на която съответства по-голямата дроб, ще бъде разположена вдясно от точката, на която съответства по-малката дроб. И обратно: точката, чиято координата е по-малка част, ще бъде разположена вляво от точката, на която съответства по-голямата координата.

Правилни и неправилни дроби, определения, примери

Основата за разделянето на дроби на правилни и неправилни е сравнението на числителя и знаменателя в една и съща дроб.

Определение 7

Правилна дробе обикновена дроб, в която числителят е по-малък от знаменателя. Тоест, ако неравенството m< n , то обыкновенная дробь m n является правильной.

Неправилна дробе обикновена дроб, чийто числител е по-голям или равен на знаменателя. Тоест, ако неравенството undefined е изпълнено, тогава обикновената дроб m n е неправилна.

Ето няколко примера: - правилни дроби:

Пример 1

5 / 9 , 3 67 , 138 514 ;

Неправилни дроби:

Пример 2

13 / 13 , 57 3 , 901 112 , 16 7 .

Също така е възможно да се дефинират правилни и неправилни дроби въз основа на сравняване на дробта с единица.

Определение 8

Правилна дроб– обикновена дроб, която е по-малка от единица.

Неправилна дроб– обикновена дроб, равна или по-голяма от единица.

Например дробта 8 12 е правилна, защото 8 12< 1 . Дроби 53 2 и 14 14 являются неправильными, т.к. 53 2 >1 и 14 14 = 1.

Нека да разгледаме малко по-дълбоко защо дробите, в които числителят е по-голям или равен на знаменателя, се наричат ​​„неправилни“.

Нека помислим неправилна дроб 8 8: казва ни, че са взети 8 части от обект, състоящ се от 8 части. Така от наличните осем споделяния можем да създадем цял обект, т.е. дадената дроб 8 8 по същество представлява целия обект: 8 8 = 1. Дробите, в които числителят и знаменателят са равни, напълно заместват естественото число 1.

Нека разгледаме и дроби, в които числителят надвишава знаменателя: 11 5 и 36 3. Ясно е, че дробта 11 5 показва, че от нея можем да направим два цели обекта и пак да ни остане една пета. Тези. дробта 11 5 е 2 обекта и още 1 5 от него. На свой ред 36 3 е дроб, който по същество означава 12 цели обекта.

Тези примери позволяват да се заключи, че неправилните дроби могат да бъдат заменени с естествени числа (ако числителят се дели на знаменателя без остатък: 8 8 = 1; 36 3 = 12) или със сбора от естествено число и правилно дроб (ако числителят не се дели на знаменателя без остатък: 11 5 = 2 + 1 5). Вероятно затова такива дроби се наричат ​​„неправилни“.

Това е и мястото, където се натъкваме на едно от най-важните умения за число.

Определение 9

Разделяне на цялата част от неправилна дроб- Това е запис на неправилна дроб като сбор от естествено число и правилна дроб.

Също така имайте предвид, че има тясна връзка между неправилните дроби и смесените числа.

Положителни и отрицателни дроби

По-горе казахме, че всяка обикновена дроб съответства на положително дробно число. Тези. Обикновените дроби са положителни дроби. Например дробите 5 17, 6 98, 64 79 са положителни, а когато е необходимо да се подчертае особено „положителността“ на дроб, тя се записва със знака плюс: + 5 17, + 6 98, + 64 79.

Ако поставим знак минус на обикновена дроб, тогава полученият запис ще бъде запис на отрицателно дробно число и в този случай говорим за отрицателни дроби. Например, - 8 17, - 78 14 и т.н.

Положителните и отрицателните дроби m n и - m n са противоположни числа. Например, дробите 7 8 и - 7 8 са противоположни.

Положителните дроби, като всички положителни числа като цяло, означават добавяне, промяна нагоре. От своя страна отрицателните фракции съответстват на потреблението, промяна в посоката на намаляване.

Ако погледнем координатната линия, ще видим, че отрицателните дроби са разположени вляво от началната точка. Точките, на които съответстват противоположните фракции (m n и - m n), се намират на същото разстояние от началото на координатите O, но от противоположните му страни.

Тук също ще говорим отделно за дроби, записани във формата 0 n. Такава дроб е равна на нула, т.е. 0 n = 0 .

Обобщавайки всичко по-горе, стигаме до най-важната концепция за рационални числа.

Определение 10

Рационални числае набор от положителни дроби, отрицателни дроби и дроби от вида 0 n.

Действия с дроби

Нека изброим основните операции с дроби. Като цяло тяхната същност е същата като на съответните операции с естествени числа

1. Сравняване на дроби - обсъдихме това действие по-горе.
2. Събиране на дроби - резултатът от събирането на обикновени дроби е обикновена дроб (в частен случай, намалена до естествено число).
3. Изваждането на дроби е обратното на събирането, когато една известна дроб и дадена сума от дроби се използват за определяне на неизвестна дроб.
4. Умножаване на дроби - това действие може да се опише като намиране на дроб от дроб. Резултатът от умножението на две обикновени дроби е обикновена дроб (в частен случай равна на естествено число).
5. Деленето на дроби е действие, обратно на умножението, когато определяме дробта, с която трябва да умножим даденото, за да получим известна творбадве фракции.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

дроби

внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които „много...“)

Дробите не са голяма неудобство в гимназията. За момента. Докато не попаднете на степени с рационални показатели и логаритми. И там... Натискате и натискате калкулатора и той показва пълен дисплей на някои числа. Трябва да мислиш с главата си като в трети клас.

Нека най-накрая да разберем дробите! Е, колко можеш да се объркаш в тях!? Освен това всичко е просто и логично. Така, какви са видовете дроби?

Видове дроби. Трансформации.

Има три вида дроби.

1. Обикновени дроби , Например:

Понякога вместо хоризонтална линия те поставят наклонена черта: 1/2, 3/4, 19/5, добре и т.н. Тук често ще използваме този правопис. Извиква се горното число числител, нисък - знаменател.Ако постоянно бъркате тези имена (случва се...), кажете си фразата: " Зззззпомня! Ззззззнаменател - виж zzzzzвиж, всичко ще бъде zzzz запомнено.)

Тирето, хоризонтално или наклонено, означава разделениегорното число (числител) към дъното (знаменател). Това е всичко! Вместо тире е напълно възможно да поставите знак за разделяне - две точки.

Когато е възможно пълно разделяне, това трябва да се направи. Така че вместо фракцията „32/8“ е много по-приятно да напишете числото „4“. Тези. 32 просто се дели на 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Дори не говоря за дробта "4/1". Което също е само "4". И ако не е напълно делимо, оставяме го като дроб. Понякога трябва да извършите обратната операция. Преобразувайте цяло число във дроб. Но повече за това по-късно.

2. Десетични знаци , Например:

Именно в тази форма ще трябва да запишете отговорите на задачи „Б“.

3. Смесени числа , Например:

Смесените числа практически не се използват в гимназията. За да работите с тях, те трябва да бъдат превърнати в обикновени дроби. Но определено трябва да можете да направите това! Иначе ще попаднете на такъв номер в проблем и ще замръзнете... От нищото. Но ние ще запомним тази процедура! Малко по-надолу.

Най-универсален обикновени дроби. Да започнем с тях. Между другото, ако една дроб съдържа всякакви логаритми, синуси и други букви, това не променя нищо. В смисъл, че всичко действията с дробни изрази не се различават от действията с обикновените дроби!

Основното свойство на дробта.

Така че, да тръгваме! Като начало ще ви изненадам. Цялото разнообразие от трансформации на дроби се осигурява от едно единствено свойство! Така се казва основно свойство на дроб. Помня: Ако числителят и знаменателят на една дроб се умножат (делят) по едно и също число, дробта не се променя.Тези:

Ясно е, че можете да продължите да пишете до посиняване. Не позволявайте на синусите и логаритмите да ви объркват, ние ще се занимаваме с тях по-нататък. Основното нещо е да разберете, че всички тези различни изрази са същата фракция . 2/3.

Имаме ли нужда от всички тези трансформации? И как! Сега ще видите сами. Като начало, нека използваме основното свойство на дроб за намаляване на дроби. Изглежда елементарно нещо. Разделете числителя и знаменателя на едно и също число и това е! Невъзможно е да направите грешка! Но... човекът е творческо същество. Можете да сгрешите навсякъде! Особено ако трябва да съкратиш не дроб като 5/10, а дробен израз с всякакви букви.

Как правилно и бързо да намалите дроби, без да правите допълнителна работа, можете да прочетете в специалния раздел 555.

Един нормален ученик не си прави труда да раздели числителя и знаменателя на едно и също число (или израз)! Той просто зачерква всичко еднакво горе и долу! Това е мястото, където дебне типична грешка, гаф, ако щете.

Например, трябва да опростите израза:

Тук няма какво да мислите, задраскайте буквата „а“ отгоре и „2“ отдолу! Получаваме:

Всичко е точно. Но наистина се разделихте всичко числител и всичко знаменателят е "а". Ако сте свикнали просто да зачерквате, тогава в бързината можете да зачеркнете „а“ в израза

и го вземете отново

Което би било категорично невярно. Защото тук всичкочислителят на "а" е вече не споделя! Тази фракция не може да бъде намалена. Между другото, подобно намаление е, хм... сериозно предизвикателство за учителя. Това не се прощава! Помниш ли? Когато намалявате, трябва да разделите всичко числител и всичко знаменател!

Намаляването на дробите прави живота много по-лесен. Някъде ще получите дроб, например 375/1000. Как мога да продължа да работя с нея сега? Без калкулатор? Умножете, кажете, съберете, повдигнете на квадрат!? И ако не ви мързи, внимателно го намалете с пет, с още пет и дори... докато се съкращава, накратко. Да вземем 3/8! Много по-хубаво, нали?

Основното свойство на дробта ви позволява да преобразувате обикновени дроби в десетични и обратно без калкулатор! Това е важно за Единния държавен изпит, нали?

Как да конвертирате дроби от един вид в друг.

С десетичните дроби всичко е просто. Както се чува, така се пише! Да кажем 0,25. Това е нула цяло двадесет и пет стотни. Затова пишем: 25/100. Намаляваме (разделяме числителя и знаменателя на 25), получаваме обичайната фракция: 1/4. Всичко. Случва се и нищо не се намалява. Като 0,3. Това са три десети, т.е. 3/10.

Ами ако целите числа не са нула? Всичко е наред. Записваме цялата дроб без никакви запетаив числителя, а в знаменателя - чутото. Например: 3.17. Това е три цяло и седемнадесет стотни. Записваме 317 в числителя и 100 в знаменателя. Нищо не е намалено, това означава всичко. Това е отговорът. Елементарно Уотсън! От всичко казано полезно заключение: всяка десетична дроб може да се преобразува в обикновена дроб .

Но някои хора не могат да направят обратното преобразуване от обикновена в десетична без калкулатор. И е необходимо! Как ще запишете отговора на Единния държавен изпит!? Прочетете внимателно и овладейте този процес.

Каква е характеристиката на десетичната дроб? Нейният знаменател е Винагиструва 10, или 100, или 1000, или 10 000 и така нататък. Ако вашата обикновена дроб има знаменател като този, няма проблем. Например 4/10 = 0,4. Или 7/100 = 0,07. Или 12/10 = 1,2. Ами ако отговорът на задачата в раздел „Б” се окаже 1/2? Какво ще напишем в отговор? Десетичните знаци са задължителни...

Да си припомним основно свойство на дроб ! Математиката благоприятно ви позволява да умножите числителя и знаменателя по едно и също число. Всичко, между другото! Освен нула, разбира се. Така че нека използваме този имот в наша полза! По какво може да се умножи знаменателят, т.е. 2, така че да стане 10, или 100, или 1000 (по-малкото е по-добре, разбира се...)? На 5, очевидно. Чувствайте се свободни да умножите знаменателя (това е наснеобходимо) с 5. Но тогава числителят също трябва да се умножи по 5. Това вече е математикаискания! Получаваме 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. Това е всичко.

Срещат се обаче всякакви знаменатели. Ще срещнете например дробта 3/16. Опитайте да разберете по какво да умножите 16, за да получите 100 или 1000... Не работи ли? След това можете просто да разделите 3 на 16. При липса на калкулатор ще трябва да разделите с ъгъл, върху лист хартия, както в младши класовепреподавани. Получаваме 0,1875.

А има и много лоши знаменатели. Например, няма начин да превърнете дробта 1/3 в добър десетичен знак. И на калкулатора, и на лист хартия получаваме 0,3333333... Това означава, че 1/3 е точна десетична дроб не превежда. Същото като 1/7, 5/6 и т.н. Много са, непреводими. Това ни води до друго полезно заключение. Не всяка дроб може да се преобразува в десетична !

Между другото, това полезна информацияза самотест. В раздел "Б" трябва да запишете десетична дроб в отговора си. И имате, например, 4/3. Тази дроб не се преобразува в десетична. Това означава, че сте направили грешка някъде по пътя! Върнете се и проверете решението.

И така, разбрахме обикновени и десетични дроби. Всичко, което остава, е да се справят със смесени числа. За да работите с тях, те трябва да бъдат превърнати в обикновени дроби. Как да го направим? Можеш да хванеш шестокласник и да го попиташ. Но шестокласник не винаги ще бъде под ръка ... Ще трябва да го направите сами. Не е трудно. Трябва да умножите знаменателя на дробната част по цялата част и да добавите числителя на дробната част. Това ще бъде числителят на обикновената дроб. Какво ще кажете за знаменателя? Знаменателят ще остане същият. Звучи сложно, но в действителност всичко е просто. Нека разгледаме един пример.

Да предположим, че сте били ужасени да видите числото в проблема:

Спокойно, без паника, мислим. Цялата част е 1. Единица. Дробната част е 3/7. Следователно знаменателят на дробната част е 7. Този знаменател ще бъде знаменателят на обикновената дроб. Преброяваме числителя. Умножаваме 7 по 1 (цялата част) и добавяме 3 (числителя на дробната част). Получаваме 10. Това ще бъде числителят на обикновената дроб. Това е всичко. Изглежда още по-просто в математическа нотация:

Чисто ли е? Тогава си осигурете успех! Преобразувайте в обикновени дроби. Трябва да получите 10/7, 7/2, 23/10 и 21/4.

Обратната операция - преобразуване на неправилна дроб в смесено число - рядко се изисква в гимназията. Е, ако е така... И ако не сте в гимназията, можете да разгледате специалния раздел 555. Между другото, там ще научите и за неправилните дроби.

Е, това е на практика всичко. Спомнихте си видовете дроби и разбрахте как прехвърлянето им от един тип в друг. Въпросът остава: За какво направи го? Къде и кога да приложим това дълбоко знание?

Аз отговарям. Всеки пример сам подсказва необходимите действия. Ако в примера обикновените дроби, десетичните дроби и дори смесените числа са смесени заедно, ние преобразуваме всичко в обикновени дроби. Винаги може да се направи. Е, ако пише нещо като 0,8 + 0,3, тогава го броим по този начин, без превод. Защо имаме нужда от допълнителна работа? Ние избираме решението, което е удобно нас !

Ако задачата е само десетични дроби, но хм... някакви лоши, отидете на обикновени и опитайте! Виж, всичко ще се нареди. Например, ще трябва да поставите на квадрат числото 0,125. Не е толкова лесно, ако не сте свикнали да използвате калкулатор! Освен че трябва да умножите числата в колона, трябва да помислите и къде да поставите запетаята! Определено няма да работи в главата ви! Ами ако преминем към обикновена дроб?

0,125 = 125/1000. Намаляваме с 5 (това е като за начало). Получаваме 25/200. Още веднъж с 5. Получаваме 5/40. О, все още намалява! Обратно към 5! Получаваме 1/8. Можем лесно да го повдигнем на квадрат (в съзнанието си!) и да получим 1/64. Всичко!

Нека обобщим този урок.

1. Има три вида дроби. Общи, десетични и смесени числа.

2. Десетични знаци и смесени числа Винагиможе да се преобразува в обикновени дроби. Обратно прехвърляне не винагина разположение.

3. Изборът на типа дроби за работа със задача зависи от самата задача. Ако в една задача има различни видове дроби, най-надеждното нещо е да отидете на обикновени дроби.

Сега можете да практикувате. Първо преобразувайте тези десетични дроби в обикновени дроби:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Трябва да получите отговори като този (в бъркотия!):

Нека приключим с това. В този урок опреснихме паметта си върху ключови моменти за дробите. Случва се обаче да няма нищо специално за опресняване...) Ако някой напълно е забравил или все още не го е усвоил... Тогава можете да отидете на специален раздел 555. Всички основни неща са разгледани подробно там. Много изведнъж разбере всичкозапочват. И те решават дроби в движение).

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и производни.

Част от единица или няколко части от нея се нарича проста или обикновена дроб. Броят на равните части, на които е разделена една единица, се нарича знаменател, а броят на взетите части се нарича числител. Дробта се записва като:

В този случай a е числителят, b е знаменателят.

Ако числителят е по-малък от знаменателя, тогава дробта е по-малка от 1 и се нарича правилна дроб. Ако числителят е по-голям от знаменателя, тогава дробта е по-голяма от 1, тогава дробта се нарича неправилна дроб.

Ако числителят и знаменателят на една дроб са равни, тогава дробта е равна.

1. Ако числителят може да бъде разделен на знаменателя, тогава тази дроб е равна на частното от делението:

Ако делението се извършва с остатък, тогава тази неправилна дроб може да бъде представена със смесено число, например:

Тогава 9 е непълно частно (цялата част от смесено число),
1 - остатък (числител на дробната част),
5 е знаменателят.

За да преобразувате смесено число в дроб, трябва да умножите цялата част на смесеното число по знаменателя и да добавите числителя на дробната част.

Полученият резултат ще бъде числителят на обикновената дроб, но знаменателят ще остане същият.

Действия с дроби

Разширяване на дроб.Стойността на една дроб не се променя, ако умножите нейния числител и знаменател по едно и също число, различно от нула.
Например:

Намаляване на дроб.Стойността на дроб не се променя, ако разделите числителя и знаменателя на едно и също число, различно от нула.
Например:

Сравняване на дроби.От две дроби с еднакви числители по-голяма е тази, чийто знаменател е по-малък:

От две фракции с същите знаменателитози, чийто числител е по-голям:

За да сравните дроби, чиито числители и знаменатели са различни, е необходимо да ги разширите, тоест да ги приведете към общ знаменател. Помислете например за следните дроби:

Събиране и изваждане на дроби.Ако знаменателите на дробите са еднакви, то за да съберете дробите, трябва да съберете числителите им, а за да извадите дробите, трябва да извадите числителите им. Получената сума или разлика ще бъде числителят на резултата, но знаменателят ще остане същият. Ако знаменателите на дробите са различни, първо трябва да намалите дробите до общ знаменател. При събиране на смесени числа целите и дробните им части се събират отделно. Когато изваждате смесени числа, първо трябва да ги преобразувате във формата на неправилни дроби, след това да извадите едното от другото и след това отново да преобразувате резултата, ако е необходимо, във формата на смесено число.

Умножение на дроби. За да умножите дроби, трябва да умножите отделно техните числители и знаменатели и да разделите първия продукт на втория.

Деление на дроби. За да разделите число на дроб, трябва да умножите това число по реципрочната дроб.

десетична- това е резултатът от разделянето на едно на десет, сто, хиляда и т.н. части. Първо се изписва цялата част на числото, след което се поставя десетична запетая отдясно. Първата цифра след десетичната запетая означава броя на десетите, втората - броя на стотните, третата - броя на хилядните и т.н. Числата, разположени след десетичната запетая, се наричат ​​десетични.

Например:

Свойства на десетичните числа

Имоти:

• Десетичната дроб не се променя, ако добавите нули отдясно: 4,5 = 4,5000.
• Десетичната запетая не се променя, ако премахнете нулите в края на десетичната запетая: 0,0560000 = 0,056.
• Десетичната запетая се увеличава с 10, 100, 1000 и т.н. пъти, ако преместите десетичната запетая едно, две, три и т.н. позиции вдясно: 4,5 45 (фракцията се е увеличила 10 пъти).
• Десетичните дроби се намаляват с 10, 100, 1000 и т.н. пъти, ако преместите десетичната запетая едно, две, три и т.н. позиции вляво: 4,5 0,45 (фракцията е намаляла 10 пъти).

Периодична десетична дроб съдържа безкрайно повтаряща се група от цифри, наречена период: 0,321321321321…=0,(321)

Операции с десетични знаци

Добавянето и изваждането на десетични знаци работи по същия начин като добавянето и изваждането на цели числа, просто трябва да напишете съответните десетични знаци един под друг.
Например:

Умножаването на десетични дроби се извършва на няколко етапа:

• Умножаваме десетичните знаци като цели числа, като игнорираме десетичната запетая.
• Прилага се правилото: броят на десетичните знаци в произведението е равен на сбора от десетичните знаци във всички множители.

Например:

Сумата от числата на десетичните знаци в множителите е равна на: 2+1=3. Сега трябва да преброите 3 цифри от края на полученото число и да поставите десетична запетая: 0,675.

Деление на десетични знаци. Разделяне на десетична дроб на цяло число: ако дивидентът по-малко от делителя, тогава трябва да напишете нула в цялата част на частното и да поставите десетична точка след нея. След това, без да отчитате десетичната запетая на дивидента, добавете следващата цифра от дробната част към цялата му част и отново сравнете получената цяла част от дивидента с делителя. Ако новото число отново е по-малко от делителя, операцията трябва да се повтори. Този процес се повтаря, докато полученият дивидент стане по-голям от делителя. След това се извършва деление като за цели числа. Ако дивидентът е по-голям или равен на делителя, първо разделете цялата му част, запишете резултата от делението в частното и поставете десетична запетая. След това делението продължава както при целите числа.

Разделяне на една десетична дроб на друга: първо, десетичните точки в дивидента и делителя се прехвърлят към броя на десетичните знаци в делителя, тоест правим делителя цяло число и се извършват описаните по-горе действия.

За да преобразувате десетична дроб в обикновена, е необходимо да вземете числото след десетичната запетая като числител и k-та степен на десет като знаменател (k е броят на десетичните знаци). Ненулевата цяло число се съхранява в обикновена дроб; нулевата цяло число е пропусната.
Например:

За да преобразувате дроб в десетична, трябва да разделите числителя на знаменателя в съответствие с правилата за деление.

Процентът е стотна от единицата, например: 5% означава 0,05. Коефициентът е частното от едно число, разделено на друго. Пропорцията е равенството на две съотношения.

Например:

Основното свойство на пропорцията: произведението на крайните членове на пропорцията е равно на произведението на нейните средни членове, т.е. 5x30 = 6x25. Две взаимно зависими величини се наричат ​​пропорционални, ако отношението на техните величини остава непроменено (коефициент на пропорционалност).

Така са идентифицирани следните аритметични операции.
Например:

Наборът от рационални числа включва положителни и отрицателни числа (цели числа и дроби) и нула. По-точното определение на рационалните числа, прието в математиката, е следното: едно число се нарича рационално, ако може да бъде представено като обикновена несъкратима дроб от вида:, където a и b са цели числа.

За отрицателно число абсолютна стойност(модул) е положително число, получено чрез промяна на знака му от “-” на “+”; за положително число и нула - самото число. За обозначаване на модула на число се използват две прави линии, в които се записва това число, например: |–5|=5.

Свойства с абсолютна стойност

Нека е даден модулът на число , за които са верни следните свойства:

Мономът е произведение на два или повече фактора, всеки от които е или число, буква или степен на буква: 3 x a x b. Коефициентът най-често се нарича просто числен множител. Мономите се наричат ​​подобни, ако са еднакви или се различават само по коефициенти. Степента на монома е сумата от показателите на всички негови букви. Ако сред сумата от мономи има подобни, тогава сумата може да бъде намалена до повече прост изглед: 3 x a x b + 6 x a = 3 x a x (b + 2). Тази операция се нарича извеждане на подобни термини или поставянето им извън скоби.

Полиномът е алгебрична сумамономи. Степента на полином е най-голямата от степените на мономите, включени в дадения полином.

Съществуват следните формули за съкратено умножение:

Методи за факторизация:

Алгебричната дроб е израз на формата , където A и B могат да бъдат число, моном или полином.

Ако два израза (цифров и буквен) са свързани със знака „=“, тогава се казва, че образуват равенство. Всяко истинско равенство, което е валидно за всички допустими числени стойности на включените в него букви, се нарича идентичност.

Уравнението е буквално равенство, което е валидно за определени стойности на буквите, включени в него. Тези букви се наричат ​​неизвестни (променливи), а стойностите им, при които даденото уравнение се превръща в тъждество, се наричат ​​корени на уравнението.

Решаването на уравнение означава намиране на всичките му корени. Две или повече уравнения се наричат ​​еквивалентни, ако имат еднакви корени.

• нулата беше коренът на уравнението;
• уравнението имаше само краен брой корени.

Основни видове алгебрични уравнения:

За линейното уравнение ax + b = 0:

• ако a x 0, има един корен x = -b/a;
• ако a = 0, b ≠ 0, няма корени;
• ако a = 0, b = 0, коренът е всяко реално число.

Уравнение xn = a, n N:

• ако n е нечетно число, за всяко a то има реален корен, равен на a/n;
• ако n е четно число, тогава за 0, то има два корена.

Основни тождественни трансформации: замяна на един израз с друг, идентично равен на него; прехвърляне на членове на уравнението от едната страна в другата с противоположни знаци; умножаване или деление на двете страни на уравнение с един и същ израз (число), различен от нула.

Линейно уравнение с едно неизвестно е уравнение от вида: ax+b=0, където a и b са известни числа, а x е неизвестна величина.

Системи от две линейни уравненияс две неизвестни имат формата:

Където a, b, c, d, e, f са дадени числа; x, y са неизвестни.

Числата a, b, c, d са коефициенти за неизвестни; e, f са свободни термини. Решението на тази система от уравнения може да бъде намерено чрез два основни метода: методът на заместване: от едно уравнение ние изразяваме едно от неизвестните чрез коефициенти и друго неизвестно и след това го заместваме във второто уравнение; решавайки последното уравнение, първо намираме едно неизвестно, след което заместваме намерената стойност в първото уравнение и намираме второто неизвестно; метод за добавяне или изваждане на едно уравнение от друго.

Операции с корени:

Аритметичен корен n-та степенот неотрицателно число а се нарича неотрицателно число, n-та степенкоето е равно на a. Алгебрична n-ти коренстепен на дадено число е множеството от всички корени на това число.

Ирационалните числа, за разлика от рационалните, не могат да бъдат представени като обикновена несъкратима дроб от формата m/n, където m и n са цели числа. Това са числа от нов тип, които могат да бъдат изчислени с всякаква точност, но не могат да бъдат заменени рационално число. Те могат да се появят в резултат на геометрични измервания, например: съотношението на дължината на диагонала на квадрат към дължината на неговата страна е равно.

Квадратното уравнение е алгебрично уравнение от втора степен ax2+bx+c=0, където a, b, c са дадени числови или буквени коефициенти, x е неизвестно. Ако разделим всички членове на това уравнение на a, резултатът е x2+px+q=0 - редуцираното уравнение p=b/a, q=c/a. Корените му се намират по формулата:

Ако b2-4ac>0, тогава има два различни корена, b2- 4ac=0, тогава има два равни корена; b2-4ac Уравнения, съдържащи модули

Основни типове уравнения, съдържащи модули:
1) |f(x)| = |g(x)|;
2) |f(x)| = g(x);
3) f1(x)|g1(x)| + f2(x)|g2(x)| + … + fn(x)|gn(x)| =0, n N, където f(x), g(x), fk(x), gk(x) са дадени функции.

Числителят и това, което е разделено на, е знаменателят.

За да напишете дроб, първо напишете числителя, след това начертайте хоризонтална линия под числото и напишете знаменателя под чертата. Хоризонталната линия, която разделя числителя и знаменателя, се нарича дробна линия. Понякога се изобразява като наклонен "/" или "∕". В този случай числителят се записва отляво на реда, а знаменателят отдясно. Така например частта "две трети" ще бъде написана като 2/3. За по-голяма яснота числителят обикновено се записва в горната част на реда, а знаменателят в долната част, т.е. вместо 2/3 можете да намерите: ⅔.

За да изчислите произведението на дроби, първо умножете числителя на едно дробикъм числителя е различно. Запишете резултата в числителя на новия дроби. След това умножете знаменателите. Въведете общата стойност в новия дроби. Например 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

За да разделите една дроб на друга, първо умножете числителя на първата по знаменателя на втората. Направете същото с втората дроб (делител). Или, преди да извършите всички действия, първо „обърнете“ делителя, ако ви е по-удобно: знаменателят трябва да се появи на мястото на числителя. След това умножете знаменателя на дивидента по новия знаменател на делителя и умножете числителите. Например 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).

източници:

• Основни задачи с дроби

Дробните числа могат да бъдат изразени в в различни формиточна стойност на количеството. Можете да направите същото с дроби математически операции, както при цели числа: изваждане, събиране, умножение и деление. Да се ​​научиш да решаваш дроби, трябва да запомним някои от техните характеристики. Те зависят от вида дроби, наличието на цяла част, общ знаменател. Някои аритметични операции изискват дробната част от резултата да бъде намалена след изпълнение.

Ще имаш нужда

• - калкулатор

Инструкции

Погледнете внимателно числата. Ако сред дробите има десетични и неправилни, понякога е по-удобно първо да извършите операции с десетични знаци и след това да ги преобразувате в неправилна форма. Можеш ли да преведеш дробив тази форма първоначално, записвайки стойността след десетичната запетая в числителя и поставяйки 10 в знаменателя. Ако е необходимо, намалете дроба, като разделите числата отгоре и отдолу на един делител. Дроби, в които цялата част е изолирана, трябва да бъдат преобразувани в грешна форма, като се умножат по знаменателя и се добави числителят към резултата. Дадена стойностще стане новият числител дроби. Да изберете цяла част от първоначално неправилна дроби, трябва да разделите числителя на знаменателя. Напишете целия резултат от дроби. И остатъкът от делението ще стане новият числител, знаменател дробине се променя. За дроби с цяла част е възможно да се извършват действия поотделно, първо за целите, а след това за дробните части. Например сумата от 1 2/3 и 2 ¾ може да се изчисли:
- Преобразуване на дроби в грешна форма:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Сумиране на поотделно цели и дробни части от термини:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Препишете ги с помощта на разделителя „:“ и продължете с нормалното деление.

За да получите крайния резултат, намалете получената дроб, като разделите числителя и знаменателя на едно цяло число, възможно най-голямото в този случай. В този случай трябва да има цели числа над и под линията.

Забележка

Не извършвайте аритметика с дроби, чиито знаменатели са различни. Изберете такова число, че когато умножите числителя и знаменателя на всяка дроб по него, резултатът да е, че знаменателите на двете дроби са равни.

Полезен съвет

При писане на дробни числа дивидентът се изписва над чертата. Това количество се обозначава като числител на дробта. Делителят или знаменателят на дробта е написан под чертата. Например един и половина килограма ориз като дроб ще бъде записан по следния начин: 1 ½ кг ориз. Ако знаменателят на дроб е 10, дробта се нарича десетична. В този случай числителят (дивидентът) се записва вдясно от цялата част, отделена със запетая: 1,5 кг ориз. За по-лесно изчисление такава дроб винаги може да бъде написана в грешна форма: 1 2/10 кг картофи. За да опростите, можете да намалите стойностите на числителя и знаменателя, като ги разделите на едно цяло число. IN в този примерможе да се раздели на 2. Резултатът ще бъде 1 1/5 кг картофи. Уверете се, че числата, с които ще извършвате аритметика, са представени в една и съща форма.

Действия с дроби. В тази статия ще разгледаме примери, всичко подробно с обяснения. Ще разгледаме обикновените дроби. Ще разгледаме десетичните числа по-късно. Препоръчвам да гледате цялото нещо и да го изучавате последователно.

1. Сбор от дроби, разлика от дроби.

Правило: при събиране на дроби с равни знаменатели се получава дроб, чийто знаменател остава същият, а числителят му ще бъде равен на сбора от числителите на дробите.

Правило: когато изчисляваме разликата между дроби с еднакви знаменатели, получаваме дроб - знаменателят остава същият, а числителят на втората се изважда от числителя на първата дроб.

Формално записване на сумата и разликата на дроби с равни знаменатели:

Примери (1):

Ясно е, че когато са дадени обикновени дроби, тогава всичко е просто, но какво ще стане, ако те са смесени? Нищо сложно...

Опция 1– можете да ги конвертирате в обикновени и след това да ги изчислите.

Вариант 2– можете да „работите“ отделно с целите и дробните части.

Примери (2):

Повече ▼:

И ако е дадена разлика от две смесени фракциии числителят на първата дроб ще бъде по-малък от числителя на втората? Можете също да действате по два начина.

Примери (3):

*Преобразуван в обикновени дроби, изчислена разликата, преобразува получената неправилна дроб в смесена дроб.

*Разбихме го на цели и дробни части, получихме три, след това представихме 3 като сбор от 2 и 1, като единица беше представена като 11/11, след това намерихме разликата между 11/11 и 7/11 и изчислихме резултата . Значението на горните трансформации е да вземем (изберем) единица и да я представим под формата на дроб със знаменателя, от който се нуждаем, след което можем да извадим друга от тази дроб.

Друг пример:

Извод: има универсален подход - за да се изчисли сумата (разликата) на смесени дроби с равни знаменатели, те винаги могат да бъдат превърнати в неправилни, след което да се извърши необходимото действие. След това, ако резултатът е неправилна дроб, ние я преобразуваме в смесена дроб.

По-горе разгледахме примери с дроби, които имат равни знаменатели. Ами ако знаменателите са различни? В този случай дробите се свеждат до един и същ знаменател и се извършва определеното действие. За промяна (преобразуване) на дроб се използва основното свойство на дробта.

Нека да разгледаме прости примери:

В тези примери веднага виждаме как една от дробите може да се трансформира, за да се получат равни знаменатели.

Ако посочим начини за намаляване на дроби до един и същи знаменател, тогава ще наречем този МЕТОД ПЪРВИ.

Тоест, веднага когато „оценявате“ дроб, трябва да разберете дали този подход ще работи - проверяваме дали по-големият знаменател се дели на по-малкия. И ако се дели, тогава извършваме трансформация - умножаваме числителя и знаменателя така, че знаменателите на двете дроби да станат равни.

Сега вижте тези примери:

При тях този подход е неприложим. Има и начини за свеждане на дроби до общ знаменател;

Метод ВТОРИ.

Умножаваме числителя и знаменателя на първата дроб по знаменателя на втората, а числителя и знаменателя на втората дроб по знаменателя на първата:

*Всъщност ние свеждаме дробите до вида, когато знаменателите станат равни. След това използваме правилото за събиране на дроби с еднакви знаменатели.

Пример:

*Този метод може да се нарече универсален и винаги работи. Единственият недостатък е, че след изчисленията може да се окажете с фракция, която ще трябва да бъде намалена допълнително.

Да разгледаме един пример:

Вижда се, че числителят и знаменателят се делят на 5:

Метод ТРЕТИ.

Трябва да намерите най-малкото общо кратно (LCM) на знаменателите. Това ще бъде общият знаменател. Що за номер е това? Това е най-малкото естествено число, което се дели на всяко от числата.

Вижте, ето две числа: 3 и 4, има много числа, които се делят на тях - това са 12, 24, 36, ... Най-малкото от тях е 12. Или 6 и 15, те се делят на 30, 60, 90 .... Най-малкото е 30. Въпросът е - как да определим това най-малко общо кратно?

Има ясен алгоритъм, но често това може да се направи веднага без изчисления. Например, според горните примери (3 и 4, 6 и 15) не е необходим алгоритъм, ние взехме големи числа (4 и 15), удвоихме ги и видяхме, че те се делят на второто число, но двойки числа могат да бъдат други, например 51 и 119.

Алгоритъм. За да определите най-малкото общо кратно на няколко числа, трябва:

- разложете всяко число на ПРОСТИ множители

— запишете разлагането на ПО-ГОЛЕМИТЕ от тях

- умножете го по ЛИПСВАЩИТЕ множители на други числа

Нека да разгледаме примери:

50 и 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

в разлагане Повече ▼една петица липсва

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 и 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

в разширяването на по-голямо число две и три липсват

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Най-малко общо кратно на две прости числаравно на техния продукт

Въпрос! Защо намирането на най-малкото общо кратно е полезно, след като можете да използвате втория метод и просто да намалите получената дроб? Да, възможно е, но не винаги е удобно. Погледнете знаменателя на числата 48 и 72, ако просто ги умножите 48∙72 = 3456. Съгласете се, че е по-приятно да работите с по-малки числа.

Нека да разгледаме примери:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

разширяването на по-голямо число липсва тройка

=> NOC(51,119) = 3∙7∙17

Сега нека използваме първия метод:

*Вижте разликата в изчисленията, в първия случай има минимум от тях, но във втория трябва да работите отделно върху лист хартия и дори фракцията, която сте получили, трябва да бъде намалена. Намирането на LOC значително опростява работата.

Още примери:

* Във втория пример е ясно, че най-малкото число, което се дели на 40 и 60 е 120.

РЕЗУЛТАТ! ОБЩ АЛГОРИТЪМ ЗА ИЗЧИСЛЕНИЕ!

— свеждаме дробите до обикновени, ако има цяла част.

- привеждаме дробите към общ знаменател (първо гледаме дали един знаменател се дели на друг; ако се дели, тогава умножаваме числителя и знаменателя на тази друга дроб; ако не се дели, действаме с други методи посочени по-горе).

- След като получихме дроби с равни знаменатели, извършваме операции (събиране, изваждане).

- ако е необходимо, намаляваме резултата.

- ако е необходимо, изберете цялата част.

2. Произведение от дроби.

Правилото е просто. При умножаване на дроби техните числители и знаменатели се умножават:

Примери: