Безкрайна геометрична прогресия. Аритметични и геометрични прогресии

Нека сега разгледаме въпроса за сумирането на безкрайна геометрична прогресия. Нека наречем частичната сума на дадена безкрайна прогресия сумата от нейните първи членове. Нека означим частичната сума със символа

За всяка безкрайна прогресия

може да се състави (също безкрайна) поредица от неговите частични суми

Нека редица с неограничено нарастване има граница

В този случай числото S, т.е. границата на частичните суми на една прогресия, се нарича сума на безкрайна прогресия. Ще докажем, че една безкрайна намаляваща геометрична прогресия винаги има сума и ще изведем формула за тази сума (можем също да покажем, че ако една безкрайна прогресия няма сума, тя не съществува).

Нека запишем израза за частичната сума като сумата от членовете на прогресията съгласно формула (91.1) и разгледаме границата на частичната сума при

От теорема 89 е известно, че за намаляваща прогресия; следователно, прилагайки теоремата за границата на разликата, намираме

(тук също се използва правилото: постоянният фактор се взема отвъд граничния знак). Съществуването е доказано, като в същото време се получава формулата за сумата на безкрайно намаляваща геометрична прогресия:

Равенството (92.1) също може да бъде записано във формата

Тук може да изглежда парадоксално, че на сумата от безкраен брой членове се приписва много определена крайна стойност.

Може да се даде ясна илюстрация, за да се обясни тази ситуация. Да разгледаме квадрат със страна равна на едно (фиг. 72). Разделете този квадрат с хоризонтална линия на две равни части и горна частНанесете го върху долната, така че да се образува правоъгълник със страни 2 и . След това отново ще разделим дясната половина на този правоъгълник наполовина с хоризонтална линия и ще прикрепим горната част към долната (както е показано на фиг. 72). Продължавайки този процес, ние непрекъснато трансформираме оригиналния квадрат с площ, равна на 1, във фигури с еднакъв размер (приемайки формата на стълбище с изтънени стъпала).

С безкрайното продължение на този процес, цялата площ на квадрата се разлага на безкраен брой членове - площите на правоъгълниците с основи, равни на 1, и площите на правоъгълниците точно образуват безкрайна намаляваща прогресия, нейната сума

т.е., както може да се очаква, равна на площта на квадрата.

Пример. Намерете сумите на следните безкрайни прогресии:

Решение, а) Забелязваме, че тази прогресия Следователно, използвайки формула (92.2), намираме

b) Тук това означава, че използвайки същата формула (92.2), имаме

в) Откриваме, че следователно тази прогресия няма сбор.

В параграф 5 показахме приложението на формулата за сумата от членовете на безкрайно намаляваща прогресия към инверсията на периодична десетичен знакв обикновена дроб.

Упражнения

1. Сборът на безкрайно намаляваща геометрична прогресия е 3/5, а сборът на първите четири члена е 13/27. Намерете първия член и знаменателя на прогресията.

2. Намерете четири числа, които образуват променлива геометрична прогресия, в която вторият член е по-малък от първия с 35, а третият е по-голям от четвъртия с 560.

3. Покажете, че ако последователността

образува безкрайно намаляваща геометрична прогресия, след това последователността

за всеки, той образува безкрайно намаляваща геометрична прогресия. Ще бъде ли вярно това твърдение кога

Изведете формула за произведението на членовете на геометрична прогресия.

Нека разгледаме определена серия.

7 28 112 448 1792...

Абсолютно ясно е, че стойността на всеки от неговите елементи е точно четири пъти по-голяма от предишната. означава, тази серияе прогресия.

Геометричната прогресия е безкрайна последователност от числа. основна характеристикакоето е, че следващото число се получава от предишното чрез умножаване по някои определен брой. Това се изразява със следната формула.

a z +1 =a z ·q, където z е номерът на избрания елемент.

Съответно z ∈ N.

Периодът, в който се изучава геометрична прогресия в училище, е 9 клас. Примерите ще ви помогнат да разберете концепцията:

0.25 0.125 0.0625...

Въз основа на тази формула знаменателят на прогресията може да се намери, както следва:

Нито q, нито b z могат да бъдат нула. Освен това всеки от елементите на прогресията не трябва да е равен на нула.

Съответно, за да разберете следващото число в поредица, трябва да умножите последното по q.

За да зададете тази прогресия, трябва да посочите нейния първи елемент и знаменател. След това е възможно да се намери всеки от следващите членове и тяхната сума.

Разновидности

В зависимост от q и a 1 тази прогресия се разделя на няколко вида:

• Ако и 1, и q повече от един, тогава такава последователност е геометрична прогресия, нарастваща с всеки следващ елемент. Пример за това е представен по-долу.

Пример: a 1 =3, q=2 - и двата параметъра са по-големи от единица.

Тогава числовата последователност може да бъде написана така:

3 6 12 24 48 ...

• Ако |q| е по-малко от едно, тоест умножението по него е еквивалентно на деление, тогава прогресия с подобни условия е намаляваща геометрична прогресия. Пример за това е представен по-долу.

Пример: a 1 =6, q=1/3 - a 1 е по-голямо от едно, q е по-малко.

Тогава числовата последователност може да бъде записана по следния начин:

6 2 2/3 ... - всеки елемент повече елемент, след него, 3 пъти.

• Променлив знак. Ако q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Пример: a 1 = -3, q = -2 - и двата параметъра са по-малки от нула.

Тогава числовата последователност може да бъде написана така:

3, 6, -12, 24,...

Формули

Има много формули за удобно използване на геометричните прогресии:

• Z-членна формула. Позволява ви да изчислите елемент под определено число, без да изчислявате предишни числа.

Пример:р = 3, а 1 = 4. Изисква се да се преброи четвъртият елемент от прогресията.

Решение:а 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Сумата от първите елементи, чието количество е равно на z. Позволява ви да изчислите сумата от всички елементи на последователност доa zвключително.

Тъй като (1-р) е в знаменателя, тогава (1 - q)≠ 0, следователно q не е равно на 1.

Забележка: ако q=1, тогава прогресията ще бъде поредица от безкрайно повтарящи се числа.

Сума от геометрична прогресия, примери:а 1 = 2, р= -2. Изчислете S5.

Решение:С 5 = 22 - изчисление по формулата.

• Сума, ако |р| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Пример:а 1 = 2 , р= 0,5. Намерете сумата.

Решение:S z = 2 · = 4

S z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Някои свойства:

• Характерно свойство. Ако е налице следното условие работи за всякаквиz, тогава дадената редица от числа е геометрична прогресия:

a z 2 = a z -1 · аz+1

• Също така, квадратът на което и да е число в геометрична прогресия се намира чрез добавяне на квадратите на всеки две други числа в дадена серия, ако те са на еднакво разстояние от този елемент.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , Къдеt- разстоянието между тези числа.

• Елементиразличават се по qведнъж.
• Логаритмите на елементите на една прогресия също образуват прогресия, но аритметична, тоест всеки от тях е по-голям от предходния с определено число.

Примери за някои класически задачи

За да разберете по-добре какво е геометрична прогресия, примерите с решения за клас 9 могат да помогнат.

• Условия:а 1 = 3, а 3 = 48. Намеретер.

Решение: всеки следващ елемент е по-голям от предишния вр веднъж.Необходимо е да се изразят някои елементи по отношение на други, като се използва знаменател.

следователноа 3 = р 2 · а 1

При заместванер= 4

• Условия:а 2 = 6, а 3 = 12. Изчислете S 6.

Решение:За да направите това, просто намерете q, първия елемент и го заменете във формулата.

а 3 = р· а 2 , следователно,р= 2

a 2 = q · 1,Ето защо a 1 = 3

S 6 = 189

• · а 1 = 10, р= -2. Намерете четвъртия елемент от прогресията.

Решение: за да направите това, достатъчно е да изразите четвъртия елемент през първия и през знаменателя.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Пример за приложение:

• Банков клиент направи депозит в размер на 10 000 рубли, при условията на който всяка година клиентът ще има 6% от тях, добавени към главницата. Колко пари ще има в сметката след 4 години?

Решение: Първоначалната сума е 10 хиляди рубли. Това означава, че една година след инвестицията в сметката ще има сума равна на 10 000 + 10 000 · 0,06 = 10000 1,06

Съответно сумата в сметката след още една година ще бъде изразена, както следва:

(10000 · 1,06) · 0,06 + 10000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000

Тоест всяка година сумата се увеличава с 1,06 пъти. Това означава, че за да се намери сумата на средствата в сметката след 4 години, е достатъчно да се намери четвъртият елемент от прогресията, който се дава от първия елемент, равен на 10 хиляди, и знаменателят, равен на 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Примери за задачи за изчисляване на суми:

Геометричната прогресия се използва в различни задачи. Пример за намиране на сумата може да бъде даден по следния начин:

а 1 = 4, р= 2, изчислиS 5.

Решение: всички данни, необходими за изчислението, са известни, просто трябва да ги замените във формулата.

С 5 = 124

• а 2 = 6, а 3 = 18. Изчислете сбора на първите шест елемента.

Решение:

В геом. прогресия, всеки следващ елемент е q пъти по-голям от предходния, тоест, за да изчислите сумата, трябва да знаете елементаа 1 и знаменателр.

а 2 · р = а 3

р = 3

По същия начин трябва да намеритеа 1 , знаейкиа 2 Ир.

а 1 · р = а 2

a 1 =2

С 6 = 728.

Ако за всяко естествено число п съответства на реално число a n , тогава казват, че се дава числова последователност :

а 1 , а 2 , а 3 , . . . , a n , . . . .

И така, числовата последователност е функция на естествения аргумент.

Номер а 1 наречен първия член на последователността , номер а 2 — вторият член на последователността , номер а 3 — трети и така нататък. Номер a n наречен n-ти член на редицата , и естествено число п — номера му .

От два съседни члена a n И a n +1 член на последователността a n +1 наречен последващи (спрямо a n ), А a n — предишен (спрямо a n +1 ).

За да дефинирате последователност, трябва да посочите метод, който ви позволява да намерите член на последователността с произволен номер.

Често последователността се определя с помощта на n-ти член формули , тоест формула, която ви позволява да определите член на последователност по неговия номер.

например,

последователност от положителни нечетни числа може да бъде дадена чрез формулата

a n= 2п- 1,

и последователността на редуване 1 И -1 - формула

bп = (-1)п +1 . ◄

Последователността може да се определи повтаряща се формула, това е формула, която изразява който и да е член на последователността, започвайки с някои, през предишните (един или повече) членове.

например,

Ако а 1 = 1 , А a n +1 = a n + 5

а 1 = 1,

а 2 = а 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

а 3 = а 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

а 4 = а 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

а 5 = а 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Ако а 1= 1, а 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , тогава първите седем члена на числовата последователност се установяват, както следва:

а 1 = 1,

а 2 = 1,

а 3 = а 1 + а 2 = 1 + 1 = 2,

а 4 = а 2 + а 3 = 1 + 2 = 3,

а 5 = а 3 + а 4 = 2 + 3 = 5,

а 6 = а 4 + а 5 = 3 + 5 = 8,

а 7 = а 5 + а 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Последователностите могат да бъдат окончателен И безкраен .

Последователността се нарича крайна , ако има краен брой членове. Последователността се нарича безкраен , ако има безкрайно много членове.

например,

поредица от двуцифрени естествени числа:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

окончателен.

Последователност от прости числа:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

безкраен. ◄

Последователността се нарича нарастваща , ако всеки от неговите членове, започвайки от втория, е по-голям от предходния.

Последователността се нарича намаляващи , ако всеки от неговите членове, започвайки от втория, е по-малък от предходния.

например,

2, 4, 6, 8, . . . , 2п, . . . — нарастваща последователност;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /п, . . . — намаляваща последователност. ◄

Нарича се последователност, чиито елементи не намаляват с увеличаване на броя или, обратно, не се увеличават монотонна последователност .

Монотонните последователности, по-специално, са нарастващи последователности и намаляващи последователности.

Аритметична прогресия

Аритметична прогресия е последователност, в която всеки член, започвайки от втория, е равен на предходния, към който се добавя същото число.

а 1 , а 2 , а 3 , . . . , a n, . . .

е аритметична прогресия, ако за всяко естествено число п условието е изпълнено:

a n +1 = a n + d,

Къде d - определено число.

По този начин разликата между последващите и предишните условия на даден аритметична прогресиявинаги постоянен:

а 2 - а 1 = а 3 - а 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Номер d наречен разлика в аритметичната прогресия.

За да се дефинира аритметична прогресия, достатъчно е да се посочи нейният първи член и разлика.

например,

Ако а 1 = 3, d = 4 , тогава намираме първите пет члена на последователността, както следва:

а 1 =3,

а 2 = а 1 + d = 3 + 4 = 7,

а 3 = а 2 + d= 7 + 4 = 11,

а 4 = а 3 + d= 11 + 4 = 15,

а 5 = а 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

За аритметична прогресия с първия член а 1 и разликата d нея п

a n = а 1 + (п- 1)d.

например,

намерете тридесетия член на аритметичната прогресия

1, 4, 7, 10, . . .

а 1 =1, d = 3,

а 30 = а 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = а 1 + (п- 2)г,

a n= а 1 + (п- 1)г,

a n +1 = а 1 + nd,

тогава очевидно

a n=	a n-1 + a n+1
	2

Всеки член на аритметична прогресия, започвайки от втория, е равен на средноаритметичното на предходния и следващите членове.

числата a, b и c са последователни членове на някаква аритметична прогресия тогава и само ако едно от тях е равно на средното аритметично на другите две.

например,

a n = 2п- 7 , е аритметична прогресия.

Нека използваме горното твърдение. Ние имаме:

a n = 2п- 7,

a n-1 = 2(п- 1) - 7 = 2п- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2п- 5.

следователно

a n+1 + a n-1	=	2п- 5 + 2п- 9	= 2п- 7 = a n,
2		2

◄

Забележете това п Членът на аритметичната прогресия може да бъде намерен не само чрез а 1 , но и всички предишни a k

a n = a k + (п- к)d.

например,

За а 5 може да се запише

а 5 = а 1 + 4d,

а 5 = а 2 + 3d,

а 5 = а 3 + 2d,

а 5 = а 4 + d. ◄

a n = един н-к + kd,

a n = a n+k - kd,

тогава очевидно

a n=	а н-к + а n+k
	2

всеки член на аритметична прогресия, започвайки от втория, е равен на половината от сбора на еднакво разположените членове на тази аритметична прогресия.

В допълнение, за всяка аритметична прогресия е валидно следното равенство:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

например,

в аритметична прогресия

1) а 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (а 9 + а 11 )/2;

2) 28 = а 10 = а 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) а 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, защото

а 2 + а 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

първи п членове на аритметична прогресия е равно на произведението на половината от сумата на екстремните членове и броя на членовете:

От тук по-специално следва, че ако трябва да сумирате условията

a k, a k +1 , . . . , a n,

тогава предишната формула запазва своята структура:

например,

в аритметична прогресия 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

С 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = С 10 - С 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ако е дадена аритметична прогресия, тогава количествата а 1 , a n, d, пИС п свързани с две формули:

Следователно, ако са дадени стойностите на три от тези величини, тогава съответните стойности на другите две величини се определят от тези формули, комбинирани в система от две уравнения с две неизвестни.

Аритметичната прогресия е монотонна последователност. В този случай:

• Ако d > 0 , след това се увеличава;
• Ако d < 0 , тогава намалява;
• Ако d = 0 , тогава последователността ще бъде неподвижна.

Геометрична прогресия

Геометрична прогресия е последователност, в която всеки член, започвайки от втория, е равен на предходния, умножен по същото число.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

е геометрична прогресия, ако за всяко естествено число п условието е изпълнено:

b n +1 = b n · р,

Къде р ≠ 0 - определено число.

Така съотношението на следващия член на дадена геометрична прогресия към предходния е постоянно число:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = р.

Номер р наречен знаменател на геометричната прогресия.

За да се определи геометрична прогресия, достатъчно е да се посочи нейният първи член и знаменател.

например,

Ако b 1 = 1, р = -3 , тогава намираме първите пет члена на последователността, както следва:

b 1 = 1,

б 2 = b 1 · р = 1 · (-3) = -3,

б 3 = б 2 · р= -3 · (-3) = 9,

b 4 = б 3 · р= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · р= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 и знаменател р нея п Терминът може да се намери с помощта на формулата:

b n = b 1 · qn -1 .

например,

намерете седмия член на геометричната прогресия 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, р = 2,

b 7 = b 1 · р 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

тогава очевидно

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

всеки член на геометричната прогресия, започвайки от втория, е равен на средното геометрично (пропорционално) на предходния и следващите членове.

Тъй като обратното също е вярно, следва следното твърдение:

числата a, b и c са последователни членове на някаква геометрична прогресия тогава и само ако квадратът на едно от тях е равен на произведението на другите две, т.е. едно от числата е средно геометрично на другите две.

например,

Нека докажем, че последователността, дадена от формулата b n= -3 2 п , е геометрична прогресия. Нека използваме горното твърдение. Ние имаме:

b n= -3 2 п,

b n -1 = -3 2 п -1 ,

b n +1 = -3 2 п +1 .

следователно

b n 2 = (-3 2 п) 2 = (-3 2 п -1 ) · (-3 · 2 п +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

което доказва желаното твърдение. ◄

Забележете това п Членът на геометричната прогресия може да се намери не само чрез b 1 , но и всеки предишен член b k , за което е достатъчно да използвате формулата

b n = b k · qn - к.

например,

За b 5 може да се запише

б 5 = b 1 · р 4 ,

б 5 = б 2 · р 3,

б 5 = б 3 · р 2,

б 5 = b 4 · р. ◄

b n = b k · qn - к,

b n = b n - к · q k,

тогава очевидно

b n 2 = b n - к· b n + к

квадратът на всеки член на геометрична прогресия, започвайки от втория, е равен на произведението на членовете на тази прогресия, равноотдалечени от нея.

Освен това за всяка геометрична прогресия е вярно равенството:

b m· b n= b k· b l,

м+ п= к+ л.

например,

в геометрична прогресия

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · р 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , защото

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

първи п членове на геометрична прогресия със знаменател р ≠ 0 изчислено по формулата:

И кога р = 1 - по формулата

S n= nb 1

Имайте предвид, че ако трябва да сумирате условията

b k, b k +1 , . . . , b n,

тогава се използва формулата:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - qn - к +1	.
	1 - р

например,

в геометрична прогресия 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

С 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = С 10 - С 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ако е дадена геометрична прогресия, тогава количествата b 1 , b n, р, пИ S n свързани с две формули:

Следователно, ако са дадени стойностите на всеки три от тези количества, тогава съответните стойности на другите две количества се определят от тези формули, комбинирани в система от две уравнения с две неизвестни.

За геометрична прогресия с първия член b 1 и знаменател р се случва следното свойства на монотонност :

• прогресията се увеличава, ако е изпълнено едно от следните условия:

b 1 > 0 И р> 1;

b 1 < 0 И 0 < р< 1;

• Прогресията намалява, ако е изпълнено едно от следните условия:

b 1 > 0 И 0 < р< 1;

b 1 < 0 И р> 1.

Ако р< 0 , тогава геометричната прогресия се редува: нейните членове с нечетни числа имат същия знак като първия й член, а членовете с четни числа имат противоположен знак. Ясно е, че променливата геометрична прогресия не е монотонна.

Продукт на първия п членовете на геометрична прогресия могат да се изчислят по формулата:

P n= b 1 · б 2 · б 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) п / 2 .

например,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Безкрайно намаляваща геометрична прогресия

Безкрайно намаляваща геометрична прогресия наречена безкрайна геометрична прогресия, чийто модул на знаменателя е по-малък 1 , т.е

|р| < 1 .

Имайте предвид, че една безкрайно намаляваща геометрична прогресия може да не е намаляваща последователност. Подходящ е за случая

1 < р< 0 .

При такъв знаменател последователността е променлива. например,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия назовете числото, към което сумата от първите се приближава неограничено п членове на прогресия с неограничено увеличение на броя п . Това число винаги е крайно и се изразява с формулата

С= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - р

например,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Връзка между аритметична и геометрична прогресия

Аритметичната и геометричната прогресия са тясно свързани. Нека разгледаме само два примера.

а 1 , а 2 , а 3 , . . . d , Това

б а 1 , б а 2 , б а 3 , . . . b d .

например,

1, 3, 5, . . . - аритметична прогресия с разлика 2 И

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - геометрична прогресия със знаменател 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - геометрична прогресия със знаменател р , Това

дневник a b 1, дневник a b 2, дневник a b 3, . . . - аритметична прогресия с разлика дневник ар .

например,

2, 12, 72, . . . - геометрична прогресия със знаменател 6 И

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - аритметична прогресия с разлика lg 6 . ◄

Аритметични и геометрични прогресии

Теоретична информация

Теоретична информация

	Аритметична прогресия	Геометрична прогресия
Определение	Аритметична прогресия a nе последователност, в която всеки член, започвайки от втория, е равен на предишния член, добавен към същото число d (d- разлика в прогресията)	Геометрична прогресия b nе поредица от ненулеви числа, всеки член от който, започвайки от втория, е равен на предишния член, умножен по същото число р (р- знаменател на прогресията)
Формула за повторение	За всеки естествен п a n + 1 = a n + d	За всеки естествен п b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Формула n-ти член	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Характерно свойство
Сума от първите n члена

Примерни задачи с коментари

Задача 1

В аритметична прогресия ( a n) а 1 = -6, а 2

Според формулата на n-тия член:

а 22 = а 1+ d (22 - 1) = а 1+ 21 д

Според условието:

а 1= -6, тогава а 22= -6 + 21 d .

Необходимо е да се намери разликата в прогресиите:

d = а 2 – а 1 = -8 – (-6) = -2

а 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Отговор: а 22 = -48.

Задача 2

Намерете петия член на геометричната прогресия: -3; 6;....

1-ви метод (използвайки формулата с n-член)

Според формулата за n-ия член на геометрична прогресия:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

защото b 1 = -3,

2-ри метод (използване на повтаряща се формула)

Тъй като знаменателят на прогресията е -2 (q = -2), тогава:

б 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

б 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Отговор: б 5 = -48.

Задача 3

В аритметична прогресия ( a n ) a 74 = 34; 76= 156. Намерете седемдесет и петия член на тази прогресия.

За аритметична прогресия характеристичното свойство има формата .

От това следва:

.

Нека заместим данните във формулата:

Отговор: 95.

Задача 4

В аритметична прогресия ( a n ) a n= 3n - 4. Намерете сбора на първите седемнадесет члена.

За да се намери сумата от първите n членове на аритметична прогресия, се използват две формули:

.

Кой от тях е по-удобен за използване в този случай?

По условие формулата за n-тия член на първоначалната прогресия е известна ( a n) a n= 3n - 4. Можете да намерите веднага и а 1, И а 16без намиране d. Затова ще използваме първата формула.

Отговор: 368.

Задача 5

В аритметична прогресия ( a n) а 1 = -6; а 2= -8. Намерете двадесет и втория член на прогресията.

Според формулата на n-тия член:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = а 1+ 21г.

По условие, ако а 1= -6, тогава а 22= -6 + 21d. Необходимо е да се намери разликата в прогресиите:

d = а 2 – а 1 = -8 – (-6) = -2

а 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Отговор: а 22 = -48.

Задача 6

Записани са няколко последователни члена на геометричната прогресия:

Намерете члена на прогресията, обозначена с x.

При решаването ще използваме формулата за n-тия член b n = b 1 ∙ q n - 1за геометрични прогресии. Първият член на прогресията. За да намерите знаменателя на прогресията q, трябва да вземете който и да е от дадените членове на прогресията и да разделите на предишния. В нашия пример можем да вземем и разделим на. Получаваме, че q = 3. Вместо n, заместваме 3 във формулата, тъй като е необходимо да се намери третият член на дадена геометрична прогресия.

Замествайки намерените стойности във формулата, получаваме:

.

Отговор : .

Задача 7

От аритметичните прогресии, дадени от формулата на n-тия член, изберете тази, за която условието е изпълнено а 27 > 9:

Тъй като даденото условие трябва да бъде изпълнено за 27-ия член на прогресията, ние заместваме 27 вместо n във всяка от четирите прогресии. В 4-та прогресия получаваме:

.

Отговор: 4.

Задача 8

В аритметична прогресия а 1= 3, d = -1,5. Посочете най-висока стойност n, за които неравенството е в сила a n > -6.

Урок и презентация на тема: "Числови редици. Геометрична прогресия"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, пожелания! Всички материали са проверени с антивирусна програма.

Учебни помагала и тренажори в онлайн магазина Интеграл за 9 клас
Степени и корени Функции и графики

Момчета, днес ще се запознаем с друг вид прогресия.
Темата на днешния урок е геометричната прогресия.

Геометрична прогресия

Определение. Числова последователност, в която всеки член, започвайки от втория, е равен на произведението на предходния и някакво фиксирано число, се нарича геометрична прогресия.
Нека дефинираме нашата последователност рекурсивно: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
където b и q са определени дадени числа. Числото q се нарича знаменател на прогресията.

Пример. 1,2,4,8,16... Геометрична прогресия, в която първият член е равен на единица и $q=2$.

Пример. 8,8,8,8... Геометрична прогресия, в която първият член е равен на осем,
и $q=1$.

Пример. 3,-3,3,-3,3... Геометрична прогресия, в която първият член е равен на три,
и $q=-1$.

Геометричната прогресия има свойствата на монотонността.
Ако $b_(1)>0$, $q>1$,
тогава последователността се увеличава.
Ако $b_(1)>0$, $0 Последователността обикновено се обозначава във формата: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Точно както в аритметичната прогресия, ако в геометричната прогресия броят на елементите е краен, тогава прогресията се нарича крайна геометрична прогресия.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Обърнете внимание, че ако една последователност е геометрична прогресия, тогава последователността от квадрати от членове също е геометрична прогресия. Във втората последователност първият член е равен на $b_(1)^2$, а знаменателят е равен на $q^2$.

Формула за n-тия член на геометрична прогресия

Геометричната прогресия може да бъде определена и в аналитична форма. Нека да видим как да направите това:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Лесно забелязваме модела: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Нашата формула се нарича "формула на n-ия член на геометрична прогресия."

Да се ​​върнем към нашите примери.

Пример. 1,2,4,8,16... Геометрична прогресия, в която първият член е равен на единица,
и $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Пример. 16,8,4,2,1,1/2… Геометрична прогресия, в която първият член е равен на шестнадесет и $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Пример. 8,8,8,8... Геометрична прогресия, в която първият член е равен на осем и $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Пример. 3,-3,3,-3,3... Геометрична прогресия, в която първият член е равен на три и $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Пример. Дадена е геометрична прогресия $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
а) Известно е, че $b_(1)=6, q=3$. Намерете $b_(5)$.
b) Известно е, че $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Намерете n.
в) Известно е, че $q=-2, b_(6)=96$. Намерете $b_(1)$.
г) Известно е, че $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Намерете q.

Решение.
а) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
б) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, тъй като $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
в) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Пример. Разликата между седмия и петия член на геометричната прогресия е 192, сумата от петия и шестия член на прогресията е 192. Намерете десетия член на тази прогресия.

Решение.
Знаем, че: $b_(7)-b_(5)=192$ и $b_(5)+b_(6)=192$.
Знаем също: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
След това:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Получихме система от уравнения:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
Приравнявайки нашите уравнения, получаваме:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Имаме две решения q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Заместете последователно във второто уравнение:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ няма решения.
Получихме това: $b_(1)=4, q=2$.
Нека намерим десетия член: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Сума от крайна геометрична прогресия

Нека имаме крайна геометрична прогресия. Нека, точно както при аритметична прогресия, изчислим сбора на нейните членове.

Нека е дадена крайна геометрична прогресия: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Нека въведем обозначението за сумата от неговите членове: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
В случай, че $q=1$. Всички членове на геометричната прогресия са равни на първия член, тогава е очевидно, че $S_(n)=n*b_(1)$.
Нека сега разгледаме случая $q≠1$.
Нека умножим горната сума по q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Забележка:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Получихме формулата за сумата на крайна геометрична прогресия.

Пример.
Намерете сумата от първите седем члена на геометрична прогресия, чийто първи член е 4, а знаменателят е 3.

Решение.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Пример.
Намерете петия член на геометричната прогресия, който е известен: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

Решение.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=$1364.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Характерно свойство на геометричната прогресия

Момчета, дадена е геометрична прогресия. Нека да разгледаме неговите три последователни члена: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
Ние знаем, че:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
След това:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Ако прогресията е крайна, тогава това равенство е валидно за всички членове с изключение на първия и последния.
Ако не е известно предварително каква форма има последователността, но е известно, че: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Тогава можем спокойно да кажем, че това е геометрична прогресия.

Числовата редица е геометрична прогресия само когато квадратът на всеки член е равен на произведението на двата съседни члена на прогресията. Не забравяйте, че за крайна прогресия това условие не е изпълнено за първия и последния член.

Нека да разгледаме тази идентичност: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ се нарича средно геометрично на числата a и b.

Модулът на всеки член от геометрична прогресия е равен на средното геометрично на двата съседни члена.

Пример.
Намерете x, така че $x+2; 2x+2; 3x+3$ бяха три последователни члена на геометрична прогресия.

Решение.
Нека използваме характерното свойство:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ и $x_(2)=-1$.
Нека последователно заместим нашите решения в оригиналния израз:
При $x=2$ получаваме редицата: 4;6;9 – геометрична прогресия с $q=1,5$.
За $x=-1$ получаваме последователността: 1;0;0.
Отговор: $x=2.$

Проблеми за самостоятелно решаване

1. Намерете осмия първи член на геометричната прогресия 16;-8;4;-2….
2. Намерете десетия член на геометричната прогресия 11,22,44….
3. Известно е, че $b_(1)=5, q=3$. Намерете $b_(7)$.
4. Известно е, че $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Намерете n.
5. Намерете сумата на първите 11 членове на геометричната прогресия 3;12;48….
6. Намерете x, така че $3x+4; 2x+4; x+5$ са три последователни члена на геометрична прогресия.