Как се намира d в ​​аритметичната прогресия? Формула за n-тия член на аритметична прогресия

Сума от аритметична прогресия.

Сборът на аритметичната прогресия е просто нещо. И като смисъл, и като формула. Но по тази тема има всякакви задачи. От основно до доста солидно.

Първо, нека разберем значението и формулата на сумата. И тогава ще решим. За ваше собствено удоволствие.) Значението на сумата е просто като мучене. За да намерите сумата на аритметична прогресия, просто трябва внимателно да съберете всички нейни членове. Ако тези термини са малко, можете да добавите без никакви формули. Но ако има много, или много... добавянето е досадно.) В този случай формулата идва на помощ.

Формулата за сумата е проста:

Нека да разберем какъв вид букви са включени във формулата. Това ще изясни много нещата.

S n - сумата от аритметична прогресия. Резултат от добавянето всичкичленове, с първиот последно.това е важно Събират се точно Всичкичленове подред, без прескачане или прескачане. И по-точно, започвайки от първи.При проблеми като намирането на сбора от третия и осмия член или сбора от петия до двадесетия член, директното прилагане на формулата ще ви разочарова.)

а 1 - първичлен на прогресията. Тук всичко е ясно, просто е първиномер на ред.

a n- последночлен на прогресията. Последният номер от поредицата. Не много познато име, но когато се приложи към сумата, е много подходящо. Тогава ще се убедите сами.

п - номер на последния член. Важно е да се разбере, че във формулата това число съвпада с броя на добавените термини.

Нека дефинираме понятието последночлен a n. Труден въпрос: кой член ще бъде последниятако е дадено безкраен аритметична прогресия?)

За да отговорите уверено, трябва да разберете елементарния смисъл на аритметичната прогресия и... прочетете внимателно задачата!)

В задачата за намиране на сумата от аритметична прогресия последният член винаги се появява (пряко или косвено), които трябва да бъдат ограничени.Иначе крайна, конкретна сума просто не съществува.За решението няма значение дали е дадена прогресията: крайна или безкрайна. Няма значение как е дадено: поредица от числа или формула за n-тия член.

Най-важното е да разберете, че формулата работи от първия член на прогресията до члена с числото п.Всъщност пълното име на формулата изглежда така: сумата от първите n члена на аритметична прогресия.Броят на тези най-първи членове, т.е. п, се определя единствено от задачата. В една задача цялата тази ценна информация често е криптирана, да... Но няма значение, в примерите по-долу разкриваме тези тайни.)

Примери за задачи върху сумата от аритметична прогресия.

на първо място, полезна информация:

Основната трудност при задачите, включващи сумата от аритметична прогресия, се състои в правилното определяне на елементите на формулата.

Авторите на задачите криптират тези елементи с безгранично въображение.) Основното тук е да не се страхувате. Разбирайки същността на елементите, достатъчно е просто да ги дешифрирате. Нека разгледаме няколко примера в детайли. Нека започнем със задача, базирана на реален GIA.

1. Аритметичната прогресия се дава от условието: a n = 2n-3,5. Намерете сумата на първите 10 члена.

добра работа Лесно.) За да определим количеството с помощта на формулата, какво трябва да знаем? Първи член а 1, последен срок a n, да номерът на последния член п.

Къде мога да получа номера на последния член? п? Да, точно там, при условие! Казва: намерете сумата първите 10 членове.Е, с кой номер ще е? последно,десети член?) Няма да повярвате, номерът му е десети!) Следователно, вместо a nЩе заместим във формулата а 10, а вместо това п- десет. Повтарям, номерът на последния член съвпада с броя на членовете.

Остава да се определи а 1И а 10. Това се изчислява лесно с помощта на формулата за n-тия член, която е дадена в формулировката на задачата. Не знаете как да направите това? Посетете предишния урок, без това няма как.

а 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

а 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

Открихме значението на всички елементи от формулата за сумата от аритметична прогресия. Всичко, което остава, е да ги замените и да преброите:

Това е. Отговор: 75.

Друга задача, базирана на GIA. Малко по-сложно:

2. Дадена е аритметична прогресия (a n), чиято разлика е 3,7; а 1 =2,3. Намерете сумата на първите 15 члена.

Веднага записваме формулата за сумата:

Тази формула ни позволява да намерим стойността на всеки термин по неговия номер. Търсим проста замяна:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Остава да замените всички елементи във формулата за сумата на аритметичната прогресия и да изчислите отговора:

Отговор: 423.

Между другото, ако във формулата за сумата вместо a nПросто заместваме формулата за n-тия член и получаваме:

Нека да представим подобни и да получим нова формула за сумата от членовете на аритметичната прогресия:

Както можете да видите, тук не е задължително n-ти член a n. При някои проблеми тази формула помага много, да... Можете да я запомните тази формула. Или можете просто да го покажете в точното време, като тук. В крайна сметка винаги трябва да помните формулата за сумата и формулата за n-тия член.)

Сега задачата под формата на кратко криптиране):

3. Намерете сумата от всички положителни двуцифрени числа, кратни на три.

Уау! Нито първият член, нито последният, нито прогресията изобщо... Как да живееш!?

Ще трябва да помислите с главата си и да извадите всички елементи от сумата на аритметичната прогресия от условието. Знаем какво представляват двуцифрените числа. Те се състоят от две числа.) Какво двуцифрено число ще бъде първи? 10, вероятно.) А последнодвуцифрено число? 99, разбира се! Трицифрените ще го последват...

Кратни на три... Хм... Това са числа, които се делят на три, тук! Десет не се дели на три, 11 не се дели... 12... се дели! И така, нещо се очертава. Вече можете да запишете серия според условията на проблема:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Тази поредица ще бъде ли аритметична прогресия? Със сигурност! Всеки термин се различава от предишния със строго три. Ако добавите 2 или 4 към термин, да речем, резултатът, т.е. новото число вече не се дели на 3. Можете веднага да определите разликата в аритметичната прогресия: d = 3.Ще бъде полезно!)

Така че можем спокойно да запишем някои параметри на прогресията:

Какъв ще е номерът? ппоследен член? Който мисли, че 99, греши фатално... Числата винаги вървят подред, но нашите членове надскачат три. Те не съвпадат.

Тук има две решения. Един от начините е за супер трудолюбивите. Можете да запишете прогресията, цялата поредица от числа и да преброите броя на членовете с пръст.) Вторият начин е за замислените. Трябва да запомните формулата за n-тия член. Ако приложим формулата към нашия проблем, ще открием, че 99 е тридесетият член на прогресията. Тези. n = 30.

Нека да разгледаме формулата за сумата от аритметична прогресия:

Гледаме и се радваме.) Извадихме от формулировката на проблема всичко необходимо за изчисляване на сумата:

а 1= 12.

а 30= 99.

S n = S 30.

Остава само елементарна аритметика. Заместваме числата във формулата и изчисляваме:

Отговор: 1665

Друг вид популярен пъзел:

4. Дадена е аритметична прогресия:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Намерете сбора на членовете от двадесети до тридесет и четири.

Гледаме формулата за сумата и... се разстройваме.) Формулата, напомням, изчислява сумата от първиячлен. И в задачата трябва да изчислите сумата от двадесети...Формулата няма да работи.

Можете, разбира се, да напишете цялата прогресия в серия и да добавите членове от 20 до 34. Но... някак си е глупаво и отнема много време, нали?)

Има и по-елегантно решение. Нека разделим нашата серия на две части. Първата част ще бъде от първия мандат до деветнадесетия.Втора част - от двадесет до тридесет и четири.Ясно е, че ако изчислим сумата от членовете на първата част S 1-19, нека го съберем със сумата от членовете на втората част S 20-34, получаваме сумата от прогресията от първия член до тридесет и четвъртия S 1-34. като това:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

От това можем да видим, че намираме сумата S 20-34може да се направи чрез просто изваждане

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Вземат се предвид и двете суми от дясната страна от първиячлен, т.е. стандартната формула за сумиране е напълно приложима за тях. Да започваме?

Извличаме параметрите на прогресията от изявлението на проблема:

d = 1,5.

а 1= -21,5.

За да изчислим сумите на първите 19 и първите 34 члена, ще ни трябват 19-ти и 34-ти член. Изчисляваме ги с помощта на формулата за n-тия член, както в задача 2:

а 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

а 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Нищо не остана. От сбора на 34 члена извадете сбора на 19 члена:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Отговор: 262,5

Една важна забележка! Има един много полезен трик за решаването на този проблем. Вместо директно изчисление от какво се нуждаете (S 20-34),преброихме нещо, което изглежда не е необходимо - S 1-19.И тогава те определиха S 20-34, изхвърляне на ненужното от пълния резултат. Този вид „финт с ушите“ често ви спестява от зли проблеми.)

В този урок разгледахме задачи, за които е достатъчно да разберем значението на сумата от аритметична прогресия. Е, трябва да знаете няколко формули.)

Практически съвети:

Когато решавате всяка задача, включваща сумата от аритметична прогресия, препоръчвам незабавно да напишете двете основни формули от тази тема.

Формула за n-тия член:

Тези формули веднага ще ви подскажат какво да търсите и в каква посока да мислите, за да решите проблема. Помага.

А сега задачите за самостоятелно решаване.

5. Намерете сбора на всички двуцифрени числа, които не се делят на три.

Страхотно?) Подсказката е скрита в бележката към проблем 4. Е, проблем 3 ще помогне.

6. Аритметичната прогресия е дадена от условието: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Намерете сумата на първите 24 члена.

Необичайно?) Това е повтаряща се формула. Можете да прочетете за това в предишния урок. Не пренебрегвайте връзката, такива проблеми често се срещат в Държавната академия на науките.

7. Вася спести пари за празника. До 4550 рубли! И реших да подаря на любимия си човек (себе си) няколко дни щастие). Живейте красиво, без да си отказвате нищо. Похарчете 500 рубли на първия ден и всеки следващ ден похарчете с 50 рубли повече от предишния! Докато свършат парите. Колко дни на щастие имаше Вася?

Трудно ли е?) Допълнителната формула от задача 2 ще помогне.

Отговори (в безпорядък): 7, 3240, 6.

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и производни.

При изучаване на алгебра в средно училище(9 клас) един от важни темие изучаването на числови последователности, които включват прогресии - геометрични и аритметични. В тази статия ще разгледаме аритметична прогресия и примери с решения.

Какво е аритметична прогресия?

За да се разбере това, е необходимо да се дефинира въпросната прогресия, както и да се предоставят основните формули, които ще се използват по-късно при решаването на задачи.

Известно е, че в някаква алгебрична прогресия първият член е равен на 6, а 7-ият член е равен на 18. Необходимо е да се намери разликата и да се възстанови тази последователност до 7-ия член.

Нека използваме формулата, за да определим неизвестния член: a n = (n - 1) * d + a 1 . Нека заместим в него известните данни от условието, тоест числата a 1 и a 7, имаме: 18 = 6 + 6 * d. От този израз можете лесно да изчислите разликата: d = (18 - 6) /6 = 2. Така отговорихме на първата част от задачата.

За да възстановите последователността до 7-ия член, трябва да използвате определението алгебрична прогресия, тоест a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d и така нататък. В резултат на това възстановяваме цялата последователност: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Пример №3: съставяне на прогресия

Нека го усложним допълнително по-силно състояниезадачи. Сега трябва да отговорим на въпроса как да намерим аритметична прогресия. Можете да цитирате следващ пример: дадени са две числа, например 4 и 5. Необходимо е да се създаде алгебрична прогресия, така че между тях да се поберат още три члена.

Преди да започнете да решавате този проблем, трябва да разберете какво място ще заемат дадените числа в бъдещата прогресия. Тъй като между тях ще има още три члена, тогава a 1 = -4 и a 5 = 5. След като установихме това, преминаваме към задачата, която е подобна на предишната. Отново, за n-тия член използваме формулата, получаваме: a 5 = a 1 + 4 * d. От: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Това, което имаме тук, не е цяло число на разликата, но е така рационално число, така че формулите за алгебричната прогресия остават същите.

Сега нека добавим намерената разлика към 1 и да възстановим липсващите членове на прогресията. Получаваме: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, което съвпадна с условията на проблема.

Пример № 4: първи член на прогресията

Нека продължим да даваме примери за аритметична прогресия с решения. Във всички предишни задачи първото число от алгебричната прогресия беше известно. Сега нека разгледаме задача от различен тип: нека са дадени две числа, където 15 = 50 и 43 = 37. Необходимо е да се намери с кое число започва тази редица.

Използваните досега формули предполагат познаване на 1 и d. В изложението на проблема не се знае нищо за тези числа. Въпреки това ще запишем изрази за всеки термин, за който има налична информация: a 15 = a 1 + 14 * d и a 43 = a 1 + 42 * d. Получихме две уравнения, в които има 2 неизвестни величини (a 1 и d). Това означава, че задачата се свежда до решаване на система от линейни уравнения.

Най-лесният начин за решаване на тази система е да изразите 1 във всяко уравнение и след това да сравните получените изрази. Първо уравнение: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; второ уравнение: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Приравнявайки тези изрази, получаваме: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, откъдето разликата d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (посочени са само 3 знака след десетичната запетая).

Като знаете d, можете да използвате който и да е от двата израза по-горе за 1. Например, първо: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Ако имате съмнения относно получения резултат, можете да го проверите, например да определите 43-тия член на прогресията, който е посочен в условието. Получаваме: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Малката грешка се дължи на факта, че при изчисленията е използвано закръгляване до хилядни.

Пример № 5: сума

Сега нека да разгледаме няколко примера с решения за сумата на аритметична прогресия.

Нека е дадена числова прогресия от следния вид: 1, 2, 3, 4, ...,. Как да изчислим сбора на 100 от тези числа?

Благодарение на развитието компютърни технологииможете да решите тази задача, тоест да съберете всички числа последователно, което компютърще направи веднага щом лицето натисне клавиша Enter. Задачата обаче може да бъде решена мислено, ако обърнете внимание, че представената редица от числа е алгебрична прогресия и нейната разлика е равна на 1. Прилагайки формулата за сумата, получаваме: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Интересно е да се отбележи, че този проблем се нарича "Гаус", защото в началото на XVIIIвек, известният германец, още само на 10 години, успя да го реши наум за няколко секунди. Момчето не знаеше формулата за сбора на алгебрична прогресия, но забеляза, че ако събереш числата в краищата на редицата по двойки, винаги получаваш един и същ резултат, тоест 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., и тъй като тези суми ще бъдат точно 50 (100 / 2), тогава за да получите правилния отговор е достатъчно да умножите 50 по 101.

Пример № 6: сбор на членовете от n до m

Друг типичен пример за сумата на аритметична прогресия е следният: дадена е поредица от числа: 3, 7, 11, 15, ..., трябва да намерите на какво ще бъде равна сумата от нейните членове от 8 до 14 .

Проблемът се решава по два начина. Първият от тях включва намиране на неизвестни членове от 8 до 14 и след това тяхното последователно сумиране. Тъй като има малко термини, този метод не е много трудоемък. Въпреки това се предлага този проблем да се реши с помощта на втори метод, който е по-универсален.

Идеята е да се получи формула за сумата на алгебричната прогресия между членовете m и n, където n > m са цели числа. И в двата случая записваме два израза за сумата:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Тъй като n > m, очевидно е, че втората сума включва първата. Последният извод означава, че ако вземем разликата между тези суми и добавим члена a m към нея (в случай на вземане на разликата, тя се изважда от сумата S n), ще получим необходимия отговор на задачата. Имаме: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Необходимо е да се заменят формули за n и m в този израз. Тогава получаваме: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

Получената формула е донякъде тромава, но сумата S mn зависи само от n, m, a 1 и d. В нашия случай a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Замествайки тези числа, получаваме: S mn = 301.

Както може да се види от горните решения, всички задачи се основават на познаване на израза за n-тия член и формулата за сумата на множеството от първите членове. Преди да започнете да решавате някой от тези проблеми, се препоръчва внимателно да прочетете условието, ясно да разберете какво трябва да намерите и едва след това да продължите с решението.

Друг съвет е да се стремите към простота, тоест ако можете да отговорите на въпрос, без да използвате сложни математически изчисления, тогава трябва да направите точно това, тъй като в този случай вероятността да направите грешка е по-малка. Например, в примера за аритметична прогресия с решение № 6, може да се спре на формулата S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, и прекъсвам обща задачав отделни подзадачи (в този случай първо намерете термините a n и a m).

Ако имате съмнения относно получения резултат, препоръчително е да го проверите, както беше направено в някои от дадените примери. Открихме как да намерим аритметична прогресия. Ако го разберете, не е толкова трудно.

Важни бележки!
1. Ако видите gobbledygook вместо формули, изчистете кеша. Как да направите това във вашия браузър е написано тук:
2. Преди да започнете да четете статията, обърнете внимание на нашия навигатор най-много полезен ресурсЗа

Числова последователност

И така, нека седнем и да започнем да записваме някои числа. Например:
Можете да пишете произволни числа и може да има колкото искате (в нашия случай ги има). Колкото и числа да пишем, винаги можем да кажем кое е първо, кое второ и така до последното, тоест можем да ги номерираме. Това е пример за числова последователност:

Числова последователност
Например за нашата последователност:

Присвоеният номер е специфичен само за един номер в поредицата. С други думи, в редицата няма три втори числа. Второто число (като числото th) винаги е едно и също.
Числото с число се нарича th член на редицата.

Обикновено наричаме цялата последователност с някаква буква (например,), и всеки член на тази последователност е една и съща буква с индекс, равен на номера на този член: .

В нашия случай:

Да кажем, че имаме редица от числа, в която разликата между съседни числа е еднаква и равна.
Например:

и т.н.
Тази числова последователност се нарича аритметична прогресия.
Терминът "прогресия" е въведен от римския автор Боеций още през 6 век и се разбира в по-широк смисъл като безкрайна числова последователност. Името "аритметика" е прехвърлено от теорията за непрекъснатите пропорции, която е изучавана от древните гърци.

Това е редица от числа, всеки член на която е равен на предишния, добавен към същото число. Това число се нарича разлика на аритметична прогресия и се обозначава.

Опитайте се да определите кои числови последователности са аритметична прогресия и кои не са:

а)
б)
в)
г)

Разбра ли? Нека сравним нашите отговори:
Еаритметична прогресия - b, c.
не еаритметична прогресия - a, d.

Нека се върнем към дадената прогресия () и се опитаме да намерим стойността на нейния th член. Съществува двеначин да го намерите.

1. Метод

Можем да добавяме числото на прогресията към предишната стойност, докато достигнем тия член на прогресията. Добре е, че няма много за обобщаване - само три стойности:

И така, членът от описаната аритметична прогресия е равен на.

2. Метод

Какво ще стане, ако трябва да намерим стойността на тия член на прогресията? Сумирането би ни отнело повече от час и не е факт, че няма да сгрешим при събирането на числа.
Разбира се, математиците са измислили начин, при който не е необходимо да се добавя разликата на аритметична прогресия към предишната стойност. Разгледайте по-отблизо нарисуваната картинка... Със сигурност вече сте забелязали определен модел, а именно:

Например, нека да видим от какво се състои стойността на тия член на тази аритметична прогресия:


С други думи:

Опитайте сами да намерите стойността на член на дадена аритметична прогресия по този начин.

Изчислихте ли? Сравнете вашите бележки с отговора:

Моля, обърнете внимание, че сте получили точно същото число като в предишния метод, когато последователно добавихме членовете на аритметичната прогресия към предишната стойност.
Нека се опитаме да "обезличим" тази формула- нека я доведем общ изгледи получаваме:

Уравнение на аритметична прогресия.

Аритметичните прогресии могат да бъдат нарастващи или намаляващи.

Увеличава се- прогресии, при които всяка следваща стойност на членовете е по-голяма от предходната.
Например:

Спускане- прогресии, при които всяка следваща стойност на членовете е по-малка от предходната.
Например:

Изведената формула се използва при изчисляването на членове както при нарастващи, така и при намаляващи членове на аритметична прогресия.
Нека проверим това на практика.
Дадена ни е аритметична прогресия, състояща се от следните числа: Нека проверим какво ще бъде числото от тази аритметична прогресия, ако използваме нашата формула, за да я изчислим:

От тогава:

Така сме убедени, че формулата работи както в намаляваща, така и в нарастваща аритметична прогресия.
Опитайте се сами да намерите члена th и th на тази аритметична прогресия.

Нека сравним резултатите:

Свойство на аритметична прогресия

Нека усложним задачата - ще изведем свойството на аритметичната прогресия.
Да кажем, че ни е дадено следното условие:
- аритметична прогресия, намерете стойността.
Лесно, казвате вие ​​и започвате да броите по формулата, която вече знаете:

Нека, а, тогава:

Абсолютно вярно. Оказва се, че първо намираме, след това го добавяме към първото число и получаваме това, което търсим. Ако прогресията е представена с малки стойности, тогава няма нищо сложно в това, но какво ще стане, ако в условието ни бъдат дадени числа? Съгласете се, има възможност да направите грешка в изчисленията.
Сега помислете дали е възможно да се реши този проблем в една стъпка, като се използва която и да е формула? Разбира се, да, и това е, което ще се опитаме да изведем сега.

Нека обозначим необходимия член на аритметичната прогресия като, формулата за намирането му е известна - това е същата формула, която изведехме в началото:
, тогава:

• предишният член на прогресията е:
• следващият член на прогресията е:

Нека обобщим предишните и следващите условия на прогресията:

Оказва се, че сборът от предишния и последващия член на прогресията е двойната стойност на члена на прогресията, разположен между тях. С други думи, за да намерите стойността на член на прогресия с известни предишни и последователни стойности, трябва да ги съберете и разделите на.

Точно така, имаме едно и също число. Да осигурим материала. Изчислете сами стойността на прогресията, не е никак трудно.

браво! Знаете почти всичко за прогресията! Остава да открием само една формула, която според легендата е била лесно изведена от един от най-великите математици на всички времена, „краля на математиците“ - Карл Гаус...

Когато Карл Гаус беше на 9 години, учител, зает да проверява работата на учениците в други класове, зададе следната задача в клас: „Изчислете сумата от всички естествени числаот до (според други източници до) включително.“ Представете си изненадата на учителя, когато един от неговите ученици (това беше Карл Гаус) минута по-късно даде правилния отговор на задачата, докато повечето от съучениците на смелчагата след дълги изчисления получиха грешен резултат ...

Младият Карл Гаус забеляза определен модел, който лесно можете да забележите и вие.
Да кажем, че имаме аритметична прогресия, състояща се от -ти членове: Трябва да намерим сбора на тези членове на аритметичната прогресия. Разбира се, можем ръчно да сумираме всички стойности, но какво ще стане, ако задачата изисква намиране на сумата от нейните членове, както търсеше Гаус?

Нека изобразим напредъка, който ни е даден. Разгледайте внимателно маркираните числа и се опитайте да извършите различни математически операции с тях.


Опитвали ли сте го? Какво забелязахте? вярно! Сумите им са равни

А сега ми кажете колко такива двойки има общо в дадената ни прогресия? Разбира се, точно половината от всички числа, т.е.
Въз основа на факта, че сумата от два члена на аритметична прогресия е равна и подобни двойки са равни, получаваме, че общата сума е равна на:
.
По този начин формулата за сумата от първите членове на всяка аритметична прогресия ще бъде:

В някои задачи не знаем тия член, но знаем разликата в прогресията. Опитайте се да замените формулата на тия член във формулата за сумата.
Какво получи?

браво! Сега нека се върнем към задачата, зададена на Карл Гаус: изчислете сами на какво е равен сборът от числата, започващи от th, и сборът от числата, започващи от th.

Колко получихте?
Гаус установи, че сумата от членовете е равна, и сумата от членовете. Това ли реши?

Всъщност формулата за сумата от членовете на аритметичната прогресия е доказана от древногръцкия учен Диофант още през 3-ти век и през цялото това време остроумните хора са използвали напълно свойствата на аритметичната прогресия.
Например, представете си Древен Египети най-големият строителен проект от онова време - изграждането на пирамида... На фигурата е показана едната й страна.

Къде е прогресията тук, ще кажете? Погледнете внимателно и намерете модел в броя на пясъчните блокове във всеки ред на стената на пирамидата.


Защо не аритметична прогресия? Изчислете колко блока са необходими за изграждането на една стена, ако в основата са поставени блокови тухли. Надявам се, че няма да броите, докато движите пръста си по монитора, помните ли последната формула и всичко, което казахме за аритметичната прогресия?

В този случай прогресията изглежда така: .
Разлика в аритметична прогресия.
Броят на членовете на аритметичната прогресия.
Нека заместим нашите данни в последните формули (изчислете броя на блоковете по 2 начина).

Метод 1.

Метод 2.

И сега можете да изчислите на монитора: сравнете получените стойности с броя на блоковете, които са в нашата пирамида. Разбра ли? Браво, усвоихте сбора от n-тите членове на аритметичната прогресия.
Разбира се, не можете да изградите пирамида от блокове в основата, но от? Опитайте се да изчислите колко пясъчни тухли са необходими за изграждане на стена с това условие.
успяхте ли
Правилният отговор е блокове:

обучение

Задачи:

1. Маша влиза във форма за лятото. Всеки ден тя увеличава броя на кляканията с. Колко пъти Маша ще прави клякания за една седмица, ако направи клякания на първата тренировка?
2. Какъв е сборът на всички нечетни числа, съдържащи се в.
3. Когато съхраняват трупи, дървосекачите ги подреждат по такъв начин, че всеки горен слойсъдържа един дневник по-малко от предишния. Колко трупи има в една зидария, ако основата на зидарията е трупи?

Отговори:

1. Нека дефинираме параметрите на аритметичната прогресия. В този случай
   (седмици = дни).

   отговор:След две седмици Маша трябва да прави клякания веднъж на ден.

2. Първо нечетно число, последно число.
   Разлика в аритметична прогресия.
   Броят на нечетните числа в е половината, но нека проверим този факт, като използваме формулата за намиране на члена от аритметичната прогресия:

   Числата съдържат нечетни числа.
   Нека заместим наличните данни във формулата:

   отговор:Сумата от всички нечетни числа, съдържащи се в е равна.

3. Нека си припомним задачата за пирамидите. За нашия случай a , тъй като всеки горен слой е намален с един дневник, тогава общо има куп слоеве, т.е.
   Нека заместим данните във формулата:

   отговор:В зидарията има трупи.

Нека обобщим

1. - числова редица, в която разликата между съседни числа е еднаква и равна. Тя може да бъде нарастваща или намаляваща.
2. Намиране на формулаЧленът на една аритметична прогресия се записва с формулата - , където е броят на числата в прогресията.
3. Свойство на членове на аритметична прогресия- - където е броят на числата в прогресия.
4. Сумата от членовете на аритметична прогресияможе да се намери по два начина:
   
   , където е броят на стойностите.

АРИТМЕТИЧНА ПРОГРЕСИЯ. СРЕДНО НИВО

Числова последователност

Нека да седнем и да започнем да пишем някои числа. Например:

Можете да пишете произволни числа и може да има колкото искате. Но винаги можем да кажем кой е първи, кой втори и т.н., тоест можем да ги номерираме. Това е пример за числова последователност.

Числова последователносте набор от числа, на всяко от които може да бъде присвоен уникален номер.

С други думи, всяко число може да бъде свързано с определено естествено число, при това уникално. И ние няма да присвоим този номер на друг номер от този набор.

Числото с номер се нарича th член на редицата.

Обикновено наричаме цялата последователност с някаква буква (например,), и всеки член на тази последователност е една и съща буква с индекс, равен на номера на този член: .

Много е удобно, ако th член на редицата може да се определи с някаква формула. Например формулата

задава последователността:

А формулата е следната последователност:

Например аритметичната прогресия е последователност (първият член тук е равен, а разликата е). Или (, разлика).

формула за n-ти член

Рекурентна наричаме формула, в която, за да разберете тия член, трябва да знаете предишния или няколко предишни:

За да намерим, например, члена на прогресията, използвайки тази формула, ще трябва да изчислим предходните девет. Например, нека. След това:

Е, сега ясно ли е каква е формулата?

Във всеки ред добавяме към, умножено по някакво число. кое? Много просто: това е номерът на текущия член минус:

Много по-удобно сега, нали? Ние проверяваме:

Решете сами:

В аритметична прогресия намерете формулата за n-тия член и намерете стотния член.

Решение:

Първият член е равен. каква е разликата Ето какво:

(Ето защо се нарича разлика, защото е равна на разликата на последователните членове на прогресията).

И така, формулата:

Тогава стотният член е равен на:

Какъв е сборът на всички естествени числа от до?

Според легендата великият математик Карл Гаус като 9-годишно момче изчислил тази сума за няколко минути. Той забеляза, че сборът на първото и последното число е равен, сборът на второто и предпоследното е еднакъв, сборът на третото и 3-то от края е еднакъв и т.н. Колко са общо тези двойки? Точно така, точно половината от броя на всички числа, т.е. така че

Общата формула за сумата от първите членове на всяка аритметична прогресия ще бъде:

Пример:
Намерете сбора на всички двуцифрени кратни.

Решение:

Първото такова число е това. Всяко следващо число се получава чрез добавяне към предходното число. Така числата, които ни интересуват, образуват аритметична прогресия с първия член и разликата.

Формула на тия член за тази прогресия:

Колко членове има в прогресията, ако всички те трябва да са двуцифрени?

Много лесно:.

Последният член на прогресията ще бъде равен. След това сумата:

Отговор: .

Сега решете сами:

1. Всеки ден спортистът бяга повече метри от предишния ден. Колко общо километра ще пробяга за една седмица, ако в първия ден е пробягал km m?
2. Велосипедист изминава повече километри всеки ден, отколкото предишния ден. Първият ден измина км. Колко дни трябва да пътува, за да измине един километър? Колко километра ще измине през последния ден от пътуването си?
3. Цената на един хладилник в магазина пада с една и съща сума всяка година. Определете колко е намалявала цената на хладилника всяка година, ако, обявен за продажба за рубли, шест години по-късно е продаден за рубли.

Отговори:

1. Най-важното тук е да разпознаете аритметичната прогресия и да определите нейните параметри. В този случай (седмици = дни). Трябва да определите сумата от първите членове на тази прогресия:
   .
   отговор:
2. Тук е дадено: , трябва да се намери.
   Очевидно е, че трябва да използвате същата формула за сумиране, както в предишния проблем:
   .
   Заменете стойностите:

   Коренът очевидно не пасва, така че отговорът е.
   Нека изчислим пътя, изминат през последния ден, като използваме формулата на тия член:
   (км).
   отговор:

3. Дадено: . Намерете: .
   Не може да бъде по-просто:
   (търкайте).
   отговор:

АРИТМЕТИЧНА ПРОГРЕСИЯ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Това е редица от числа, в която разликата между съседни числа е еднаква и равна.

Аритметичната прогресия може да бъде нарастваща () и намаляваща ().

Например:

Формула за намиране на n-тия член на аритметична прогресия

се записва по формулата, където е броят на числата в прогресия.

Свойство на членове на аритметична прогресия

Тя ви позволява лесно да намерите член на прогресия, ако съседните му членове са известни - къде е броят на числата в прогресията.

Сума от членовете на аритметична прогресия

Има два начина да намерите сумата:

Къде е броят на стойностите.

Къде е броят на стойностите.

Е, темата приключи. Щом четеш тези редове, значи си много готин.

Защото само 5% от хората са в състояние да овладеят нещо сами. И ако прочетете до края, значи сте в тези 5%!

Сега най-важното.

Разбрахте теорията по тази тема. И, повтарям, това... това е просто супер! Вие вече сте по-добри от огромното мнозинство от вашите връстници.

Проблемът е, че това може да не е достатъчно...

за какво?

За успешно полагане на Единния държавен изпит, за прием в колеж на бюджет и НАЙ-ВАЖНОТО - до живот.

Няма да те убеждавам в нищо, само едно ще кажа...

Хората, които са получили добро образование, печелят много повече от тези, които не са го получили. Това е статистика.

Но това не е основното.

Основното е, че са ПО-ЩАСТЛИВИ (има такива изследвания). Може би защото пред тях се отварят много повече възможности и животът става по-ярък? не знам...

Но помислете сами...

Какво е необходимо, за да сте сигурни, че сте по-добри от другите на Единния държавен изпит и в крайна сметка сте... по-щастливи?

СПЕЧЕЛЕТЕ СИ РЪКАТА КАТО РЕШАВАТЕ ЗАДАЧИ ПО ТАЗИ ТЕМА.

Няма да ви искат теория по време на изпита.

Ще ви трябва решавайте проблеми срещу времето.

И ако не сте ги решили (МНОГО!), определено ще направите глупава грешка някъде или просто няма да имате време.

Това е като в спорта - трябва да го повториш много пъти, за да спечелиш със сигурност.

Намерете колекцията, където пожелаете, задължително с решения, подробен анализ и решавайте, решавайте, решавайте!

Можете да използвате нашите задачи (по желание) и ние, разбира се, ги препоръчваме.

За да се справите по-добре с нашите задачи, трябва да помогнете да удължите живота на учебника YouClever, който четете в момента.

как? Има два варианта:

1. Отключете всички скрити задачи в тази статия -
2. Отключете достъп до всички скрити задачи във всичките 99 статии на учебника - Купете учебник - 499 рубли

Да, имаме 99 такива статии в нашия учебник и веднага се отваря достъп до всички задачи и всички скрити текстове в тях.

Осигурен е достъп до всички скрити задачи за ЦЕЛИЯ живот на сайта.

И в заключение...

Ако не харесвате нашите задачи, намерете други. Просто не спирайте до теорията.

„Разбрах“ и „Мога да реша“ са напълно различни умения. Трябват ви и двете.

Намерете проблеми и ги решете!

Или аритметиката е вид подредена числова последователност, чиито свойства се изучават училищен курсалгебра. Тази статия разглежда подробно въпроса как да се намери сумата на аритметична прогресия.

Що за прогресия е това?

Преди да преминете към въпроса (как да намерите сумата от аритметична прогресия), си струва да разберете за какво говорим.

Всяка последователност реални числа, което се получава чрез добавяне (изваждане) на някаква стойност от всяко предходно число, се нарича алгебрична (аритметична) прогресия. Това определение, когато се преведе на математически език, приема формата:

Тук i е поредният номер на елемента от ред a i. По този начин, знаейки само едно начално число, можете лесно да възстановите цялата серия. Параметърът d във формулата се нарича прогресивна разлика.

Може лесно да се покаже, че за разглежданата редица от числа е валидно следното равенство:

a n = a 1 + d * (n - 1).

Тоест, за да намерите стойността на n-тия елемент по ред, трябва да добавите разликата d към първия елемент a 1 n-1 пъти.

Каква е сумата на аритметична прогресия: формула

Преди да дадете формулата за посочената сума, струва си да разгледате прост специален случай. Дадена е прогресия на естествените числа от 1 до 10, трябва да намерите тяхната сума. Тъй като има малко членове в прогресията (10), е възможно да се реши задачата директно, т.е. да се сумират всички елементи по ред.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Едно нещо, което си струва да се обмисли интересно нещо: тъй като всеки член се различава от следващия с една и съща стойност d = 1, тогава сумирането по двойки на първия с десетия, втория с деветия и т.н. ще даде същия резултат. наистина:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Както можете да видите, има само 5 от тези суми, тоест точно два пъти по-малко от броя на елементите на серията. След това, като умножите броя на сумите (5) по резултата от всяка сума (11), ще стигнете до резултата, получен в първия пример.

Ако обобщим тези аргументи, можем да напишем следния израз:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Този израз показва, че изобщо не е необходимо да се сумират всички елементи подред, достатъчно е да се знае стойността на първия a 1 и последния a n, както и общ брой n условия.

Смята се, че Гаус за първи път се е сетил за това равенство, когато е търсил решение на задача, дадена от неговия учител: сумирайте първите 100 цели числа.

Сума от елементи от m до n: формула

Формулата, дадена в предишния параграф, отговаря на въпроса как да се намери сумата от аритметична прогресия (първите елементи), но често при задачи е необходимо да се сумира поредица от числа в средата на прогресията. Как да стане това?

Най-лесният начин да отговорите на този въпрос е като разгледате следния пример: нека е необходимо да се намери сумата от членовете от m-то до n-то. За да решите задачата, трябва да представите дадения сегмент от m до n на прогресията под формата на нова числова серия. В това m-то представянетерминът a m ще бъде първият, а a n ще бъде номериран с n-(m-1). В този случай, прилагайки стандартната формула за сумата, ще се получи следният израз:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Пример за използване на формули

Знаейки как да намерите сумата на аритметичната прогресия, струва си да разгледате прост пример за използване на горните формули.

По-долу е дадена числова последователност, трябва да намерите сумата от нейните членове, започвайки от 5-то и завършвайки с 12-то:

Дадените числа показват, че разликата d е равна на 3. Използвайки израза за n-тия елемент, можете да намерите стойностите на 5-ия и 12-ия член на прогресията. Оказва се:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Познавайки стойностите на числата в краищата на разглежданата алгебрична прогресия, както и знаейки кои числа в серията заемат, можете да използвате формулата за сумата, получена в предишния параграф. Ще се окаже:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Струва си да се отбележи, че тази стойност може да се получи по различен начин: първо намерете сумата на първите 12 елемента, като използвате стандартната формула, след това изчислете сумата на първите 4 елемента, като използвате същата формула, след което извадете втората от първата сума.

Някои хора се отнасят с повишено внимание към думата „прогресия“ като към много сложен термин от клоновете на висшата математика. Междувременно най-простата аритметична прогресия е работата на таксиметъра (където все още съществуват). И разбирането на същността (а в математиката няма нищо по-важно от „получаването на същността“) на една аритметична последователност не е толкова трудно, след като анализирате няколко елементарни понятия.

Математическа числова последователност

Цифровата последователност обикновено се нарича поредица от числа, всяко от които има свой номер.

a 1 е първият член на последователността;

и 2 е вторият член на последователността;

и 7 е седмият член на редицата;

и n е n-тият член на последователността;

Въпреки това не всеки произволен набор от числа и числа ни интересува. Ще съсредоточим вниманието си върху числова последователност, в която стойността на n-тия член е свързана с неговия пореден номер чрез връзка, която може да бъде ясно формулирана математически. С други думи: числената стойност на n-то число е някаква функция на n.

a е стойността на член на числова редица;

n е неговият сериен номер;

f(n) е функция, където поредният номер в числовата последователност n е аргумент.

Определение

Аритметична прогресия обикновено се нарича числова последователност, в която всеки следващ член е по-голям (по-малък) от предходния със същото число. Формулата за n-тия член на аритметична последователност е следната:

a n - стойността на текущия член на аритметичната прогресия;

a n+1 - формула на следващото число;

d - разлика (определено число).

Лесно е да се определи, че ако разликата е положителна (d>0), тогава всеки следващ член на разглежданата серия ще бъде по-голям от предишния и такава аритметична прогресия ще нараства.

На графиката по-долу е лесно да се види защо числовата последователност се нарича „нарастваща“.

В случаите, когато разликата е отрицателна (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Посочена стойност на член

Понякога е необходимо да се определи стойността на произволен член a n от аритметична прогресия. Това може да стане чрез последователно изчисляване на стойностите на всички членове на аритметичната прогресия, като се започне от първия до желания. Този път обаче не винаги е приемлив, ако например е необходимо да се намери стойността на петхилядната или осеммилионната дума. Традиционните изчисления ще отнемат много време. Въпреки това, специфична аритметична прогресия може да бъде изследвана с помощта на определени формули. Има и формула за n-тия член: стойността на всеки член на аритметична прогресия може да се определи като сбор от първия член на прогресията с разликата на прогресията, умножена по номера на желания член, намалена с един.

Формулата е универсална за увеличаване и намаляване на прогресията.

Пример за изчисляване на стойността на даден термин

Нека решим следната задача за намиране на стойността на n-тия член на аритметична прогресия.

Условие: има аритметична прогресия с параметри:

Първият член на редицата е 3;

Разликата в числовата серия е 1,2.

Задача: трябва да намерите стойността на 214 члена

Решение: за да определим стойността на даден член, използваме формулата:

a(n) = a1 + d(n-1)

Замествайки данните от формулировката на проблема в израза, имаме:

a(214) = a1 + d(n-1)

а(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Отговор: 214-ият член на редицата е равен на 258,6.

Предимствата на този метод на изчисление са очевидни - цялото решение отнема не повече от 2 реда.

Сума от даден брой членове

Много често в дадена аритметична серия е необходимо да се определи сумата от стойностите на някои от нейните сегменти. За да направите това, също няма нужда да изчислявате стойностите на всеки член и след това да ги събирате. Този метод е приложим, ако броят на членовете, чиято сума трябва да се намери, е малък. В други случаи е по-удобно да използвате следната формула.

Сумата от членовете на аритметичната прогресия от 1 до n е равна на сумата от първия и n-тия член, умножена по номера на члена n и разделена на две. Ако във формулата стойността на n-тия термин се замени с израза от предходния параграф на статията, получаваме:

Пример за изчисление

Например, нека решим задача със следните условия:

Първият член на редицата е нула;

Разликата е 0,5.

Задачата изисква определяне на сумата от членовете на редицата от 56 до 101.

Решение. Нека използваме формулата за определяне на степента на прогресия:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Първо, ние определяме сумата от стойностите на 101 членове на прогресията, като заместваме дадените условия на нашия проблем във формулата:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2525

Очевидно, за да се намери сумата от членовете на прогресията от 56-то до 101-во, е необходимо да се извади S 55 от S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Така сумата от аритметичната прогресия за този пример е:

s 101 - s 55 = 2525 - 742,5 = 1782,5

Пример за практическо приложение на аритметичната прогресия

В края на статията нека се върнем към примера за аритметична последователност, дадена в първия параграф - таксиметър (таксиметров автомобил). Нека разгледаме този пример.

Качването на такси (което включва 3 км пътуване) струва 50 рубли. Всеки следващ километър се заплаща в размер на 22 рубли/км. Разстоянието за пътуване е 30 км. Изчислете цената на пътуването.

1. Да изхвърлим първите 3 км, чиято цена е включена в цената на кацането.

30 - 3 = 27 км.

2. По-нататъшното изчисление не е нищо повече от анализиране на аритметична числова серия.

Номер на член - броят на изминатите километри (минус първите три).

Стойността на члена е сумата.

Първият член в тази задача ще бъде равен на a 1 = 50 рубли.

Разлика в прогресията d = 22 r.

числото, което ни интересува, е стойността на (27+1)-ия член от аритметичната прогресия - показанието на измервателния уред в края на 27-ия километър е 27,999... = 28 км.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Изчисленията на календарните данни за произволно дълъг период се основават на формули, описващи определени числови последователности. В астрономията дължината на орбитата е геометрично зависима от разстоянието на небесното тяло до звездата. В допълнение, различни числови серии се използват успешно в статистиката и други приложни области на математиката.

Друг вид числова последователност е геометричната

Геометричната прогресия се характеризира с по-големи темпове на промяна в сравнение с аритметичната прогресия. Неслучайно в политиката, социологията и медицината, за да покажат високата скорост на разпространение на определено явление, например заболяване по време на епидемия, често казват, че процесът се развива в геометрична прогресия.

N-тият член на редицата от геометрични числа се различава от предишния по това, че се умножава по някакво постоянно число - знаменателят, например, първият член е 1, знаменателят съответно е равен на 2, тогава:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - стойността на текущия член на геометричната прогресия;

b n+1 - формула на следващия член на геометричната прогресия;

q е знаменателят на геометричната прогресия (постоянно число).

Ако графиката на аритметичната прогресия е права линия, тогава геометричната прогресия рисува малко по-различна картина:

Както в случая с аритметиката, геометричната прогресия има формула за стойността на произволен член. Всеки n-ти член от геометрична прогресия е равен на произведението от първия член и знаменателя на прогресията на степен n, намален с единица:

Пример. Имаме геометрична прогресия, като първият член е равен на 3 и знаменателят на прогресията е равен на 1,5. Нека намерим 5-ия член на прогресията

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Сумата от даден брой членове също се изчислява по специална формула. Сумата от първите n члена на геометрична прогресия е равна на разликата между произведението на n-тия член на прогресията и неговия знаменател и първия член на прогресията, разделено на знаменателя, намален с единица:

Ако b n се замени с формулата, обсъдена по-горе, стойността на сумата от първите n членове на разглежданата числова серия ще приеме формата:

Пример. Геометричната прогресия започва с първия член, равен на 1. Знаменателят е настроен на 3. Нека намерим сбора на първите осем члена.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280