Как да изградим парабола? Какво е парабола? Как се решават квадратни уравнения? Функция y = x2 и нейната графика - Хипермаркет на знанието Определяне на абсцисата на върха на парабола

Формата y = kx + m с две променливи x, y. Вярно е, че променливите x, y, които се появяват в това уравнение (в този математически модел) се считат за неравни: x е независима променлива (аргумент), на която можем да присвоим всякакви стойности, независимо от всичко; y е зависима променлива, тъй като нейната стойност зависи от това коя стойност на x е избрана. Но тогава възниква естествен въпрос: срещат ли се? математически моделиот същия план, но тези, в които y се изразява чрез x не по формулата y = kx + m, а по някакъв друг начин? Отговорът е ясен: разбира се, че го правят. Ако, например, x е страната на квадрат и y е неговата
площ, след това y - x 2. Ако x е страната на куб, а y е неговият обем, тогава y - x 3. Ако x е едната страна на правоъгълник, чиято площ е 100 cm 2, а y е другата му страна, тогава. Следователно, естествено е, че в математиката те не се ограничават до изучаването на модела y-kx + m, те трябва да изучават модела y = x 2, и модела y = x 3, и модела, и много други модели, които; имат същата структура: от лявата страна на равенството има променлива y, а отдясно има някакъв израз с променливата x. За такива модели се запазва терминът „функция“, като се пропуска прилагателното „линеен“.

В този раздел ще разгледаме функцията y = x 2 и ще я конструираме график.

Нека дадем на независимата променлива x няколко специфични стойности и да изчислим съответните стойности на зависимата променлива y (използвайки формулата y = x 2):

ако x = 0, тогава y = O 2 = 0;
ако x = 1, тогава y = I 2 = 1;
ако x = 2, тогава y = 2 2 = 4;
ако x = 3, тогава y = 3 2 = 9;
ако x = - 1, тогава y = (- I 2) - 1;
ако x = - 2, тогава y = (- 2) 2 = 4;
ако x = - 3, тогава y = (- 3) 2 = 9;
Накратко съставихме следната таблица:

X	0	1	2	3	-1	-2	-3
U	0	1	4	9	1	4	9

Да построим намерените точки (0; 0), (1; 1), (2; 4), 93; 9), (-1; 1), (- 2; 4), (- 3; 9), на координатна равнина xOy (фиг. 54, а).

Тези точки са разположени на определена линия, нека я начертаем (фиг. 54, b). Тази права се нарича парабола.

Разбира се, в идеалния случай бихме дали на аргумента x всичко възможни стойности, изчислете съответните стойности на променливата y и начертайте получените точки (x; y). Тогава графикът би бил абсолютно точен, безупречен. Това обаче е нереалистично, защото има безкрайно много такива точки. Следователно математиците правят това: те вземат краен набор от точки, надграждат ги координатна равнинаи вижте каква линия е очертана от тези точки. Ако контурите на тази линия се появяват доста ясно (какъвто беше нашият случай, да речем, в пример 1 от § 28), тогава тази линия е начертана. Възможни ли са грешки? Не и без него. Ето защо трябва да изучаваме математиката все по-задълбочено, за да имаме средства да избягваме грешки.

Нека се опитаме, като разгледаме фигура 54, да опишем геометричните свойства на парабола.

Първо, отбелязваме, че параболата изглежда доста красива, защото има симетрия. Всъщност, ако начертаете права линия над оста x, успоредна на оста x, тогава тази права линия ще пресича параболата в две точки, разположени на еднакви разстояния от оста y, но от противоположните й страни ( Фиг. 55). Между другото, същото може да се каже и за точките, отбелязани на фигура 54, a:

(1; 1) и (- 1; 1); (2; 4) и (-2; 4); C; 9) и (-3; 9).

Те казват, че оста y е оста на симетрия на параболата y=x2 или че параболата е симетрична спрямо оста y.

Второ, забелязваме, че оста на симетрия сякаш разрязва параболата на две части, които обикновено се наричат ​​клонове на параболата.

на трето място, отбелязваме, че параболата има специална точка, в която се срещат двата клона и която лежи на оста на симетрия на параболата - точка (0; 0). Като се има предвид неговата особеност, му е дадено специално име - връх на параболата.

Четвъртокогато един клон на парабола се свърже във върха с друг клон, това се случва плавно, без прекъсване; параболата изглежда е „притисната“ към оста x. Обикновено те казват: парабола докосва оста x.

Сега нека се опитаме, разглеждайки Фигура 54, да опишем някои свойства на функцията y = x 2.

Първо, отбелязваме, че y - 0 при x = 0, y > 0 при x > 0 и при x< 0.

второ,отбелязваме, че y име. = 0, но naib не съществува.

на трето място, забелязваме, че функцията y = x 2 намалява на лъча (-°°, 0] - с тези стойности на x, движейки се по параболата отляво надясно, ние „слизаме по хълма“ (вижте фиг. 55) Функцията y = x 2 нараства върху лъча;
б) на отсечката [- 3, - 1,5];
в) на отсечката [- 3, 2].

решение,

а) Да построим парабола y = x 2 и да изберем тази част от нея, която съответства на стойностите на променливата x от сегмента (фиг. 56). За избраната част от графиката намираме името. = 1 (при x = 1), y макс. = 9 (при x = 3).

б) Да построим парабола y = x 2 и да изберем тази част от нея, която съответства на стойностите на променливата x от сегмента [-3, -1.5] (фиг. 57). За избраната част от графиката намираме y име. = 2,25 (при x = - 1,5), y макс. = 9 (при x = - 3).

в) Да построим парабола y = x 2 и да изберем тази част от нея, която съответства на стойностите на променливата x от сегмента [-3, 2] (фиг. 58). За избраната част от графиката намираме y max = 0 (при x = 0), y max. = 9 (при x = - 3).

съвет. За да избегнете начертаването на функцията y - x 2 точка по точка всеки път, изрежете шаблон на парабола от плътна хартия. С негова помощ много бързо ще нарисувате парабола.

Коментирайте. Като ви каним да подготвите шаблон за парабола, изглежда изравняваме правата на функцията y = x 2 и линейна функция y = kx + m. В края на краищата графиката на линейна функция е права линия и за изобразяване на права линия се използва обикновена линийка - това е шаблонът за графиката на функцията y = kx + m. Така че нека имате шаблон за графиката на функцията y = x 2.

Пример 2.Намерете пресечните точки на параболата y = x 2 и правата y - x + 2.

Решение. Нека построим в една координатна система параболата y = x 2 и правата y = x + 2 (фиг. 59). Те се пресичат в точки A и B, като от чертежа не е трудно да се намерят координатите на тези точки A и B: за точка A имаме: x = - 1, y = 1, а за точка B имаме: x - 2, y = 4.

Отговор: параболата y = x 2 и правата y = x + 2 се пресичат в две точки: A (-1; 1) и B (2; 4).

Важна забележка.Досега бяхме доста смели в изводите, използвайки чертежа. Въпреки това математиците не вярват твърде много на чертежите. След като е открил на фигура 59 две точки на пресичане на парабола и права линия и е определил координатите на тези точки с помощта на чертежа, математикът обикновено се проверява: дали точката (-1; 1) действително лежи на двете права линия и параболата; наистина ли точката (2; 4) лежи както на права, така и на парабола?

За да направите това, трябва да замените координатите на точките A и B в уравнението на правата линия и в уравнението на параболата и след това се уверете, че и в двата случая се получава правилното равенство. В пример 2 и в двата случая равенствата ще бъдат верни. Тази проверка се извършва особено често, когато има съмнение относно точността на чертежа.

В заключение отбелязваме едно интересно свойство на параболата, открито и доказано съвместно от физици и математици.

Ако разгледаме параболата y = x 2 като екран, като отразяваща повърхност и поставим източник на светлина в точката, тогава лъчите, отразени от параболата на екрана, образуват паралелен лъч светлина (фиг. 60) . Точката се нарича фокус на параболата. Тази идея се използва в автомобилите: отразяващата повърхност на фара е параболична, а електрическата крушка е поставена във фокусната точка - тогава светлината от фара се разпространява достатъчно далеч.

Календарно-тематично планиране по математика, видеопо математика онлайн, Математика в училище изтегляне

А. В. Погорелов, Геометрия за 7-11 клас, Учебник за учебни заведения

Съдържание на урока бележки към уроците опорна рамкаурок презентация методи за ускоряване интерактивни технологии Практикувайте задачи и упражнения самопроверка работилници, обучения, казуси, куестове домашна работа въпроси за дискусия риторични въпроси от ученици Илюстрации аудио, видео клипове и мултимедияснимки, картинки, графики, таблици, диаграми, хумор, анекдоти, вицове, комикси, притчи, поговорки, кръстословици, цитати Добавки резюметастатии трикове за любознателните ясли учебници основен и допълнителен речник на термините други Подобряване на учебниците и уроцитекоригиране на грешки в учебникаактуализиране на фрагмент в учебник, елементи на иновация в урока, замяна на остарели знания с нови Само за учители перфектни уроцикалендарен план за годината методически препоръкидискусионни програми Интегрирани уроци

Как да изградим парабола? Има няколко начина за начертаване на графика квадратична функция. Всеки от тях има своите плюсове и минуси. Нека разгледаме два начина.

Нека започнем с начертаване на квадратна функция от формата y=x²+bx+c и y= -x²+bx+c.

Пример.

Начертайте графика на функцията y=x²+2x-3.

Решение:

y=x²+2x-3 е квадратна функция. Графиката е парабола с разклонения нагоре. Координати на върха на парабола

От върха (-1;-4) изграждаме графика на параболата y=x² (като от началото на координатите. Вместо (0;0) - връх (-1;-4). От (-1; -4) отиваме надясно с 1 единица, след това наляво с 1 и след това: 2 - надясно, 4 - нагоре, 3 - нагоре, 3 -; наляво, 9 - нагоре Ако тези 7 точки не са достатъчни, тогава 4 надясно, 16 нагоре и т.н.).

Графиката на квадратната функция y= -x²+bx+c е парабола, чиито клонове са насочени надолу. За да построим графика, търсим координатите на върха и от тях построяваме парабола y= -x².

Пример.

Начертайте графика на функцията y= -x²+2x+8.

Решение:

y= -x²+2x+8 е квадратна функция. Графиката е парабола с клонове надолу. Координати на върха на парабола

Отгоре изграждаме парабола y= -x² (1 - надясно, 1 - надолу; 1 - наляво, 1 - надолу; 2 - надясно, 4 - надолу; 2 - наляво, 4 - надолу и т.н.):

Този метод ви позволява бързо да изградите парабола и не е труден, ако знаете как да начертаете графики на функциите y=x² и y= -x². Недостатък: ако координатите на върха са дробни числа, не е много удобно да се изгради графика. Ако трябва да знаете точните стойности на пресечните точки на графиката с оста Ox, ще трябва допълнително да решите уравнението x²+bx+c=0 (или -x²+bx+c=0), дори ако тези точки могат да се определят директно от чертежа.

Друг начин за конструиране на парабола е чрез точки, т.е. можете да намерите няколко точки на графиката и да начертаете парабола през тях (като се има предвид, че правата x=xₒ е нейната ос на симетрия). Обикновено за това те вземат върха на параболата, точките на пресичане на графиката с координатните оси и 1-2 допълнителни точки.

Начертайте графика на функцията y=x²+5x+4.

Решение:

y=x²+5x+4 е квадратна функция. Графиката е парабола с разклонения нагоре. Координати на върха на парабола

това означава, че върхът на параболата е точката (-2,5; -2,25).

Ние търсим. В точката на пресичане с оста Ox y=0: x²+5x+4=0. Корените на квадратното уравнение x1=-1, x2=-4, т.е. получихме две точки на графиката (-1; 0) и (-4; 0).

В точката на пресичане на графиката с оста Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4. Разбрахме точката (0; 4).

За да изясните графиката, можете да намерите допълнителна точка. Да вземем x=1, тогава y=1²+5∙1+4=10, тоест друга точка на графиката е (1; 10). Отбелязваме тези точки на координатната равнина. Като вземем предвид симетрията на параболата спрямо правата, минаваща през нейния връх, маркираме още две точки: (-5; 6) и (-6; 10) и начертаваме парабола през тях:

Начертайте графика на функцията y= -x²-3x.

Решение:

y= -x²-3x е квадратна функция. Графиката е парабола с клонове надолу. Координати на върха на парабола

Върхът (-1,5; 2,25) е първата точка на параболата.

В точките на пресичане на графиката с оста x y=0, тоест решаваме уравнението -x²-3x=0. Корените му са x=0 и x=-3, тоест (0;0) и (-3;0) - още две точки на графиката. Точката (o; 0) е и пресечната точка на параболата с ординатната ос.

При x=1 y=-1²-3∙1=-4, тоест (1; -4) е допълнителна точка за чертане.

Конструирането на парабола от точки е по-трудоемък метод в сравнение с първия. Ако параболата не пресича оста Ox, ще са необходими повече допълнителни точки.

Преди да продължим да конструираме графики на квадратични функции от формата y=ax²+bx+c, нека разгледаме изграждането на графики на функции с помощта на геометрични трансформации. Също така е най-удобно да се построят графики на функции от вида y=x²+c, като се използва една от тези трансформации - паралелна транслация.

Категория: |

Урок: Как да построим парабола или квадратична функция?

ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТ

Параболата е графика на функция, описана с формулата ax 2 +bx+c=0.
За да изградите парабола, трябва да следвате прост алгоритъм:

1) Формула на парабола y=ax 2 +bx+c,
Ако а>0тогава клоновете на параболата са насочени нагоре,
в противен случай клоновете на параболата са насочени надолу.
Безплатен член cтази точка пресича параболата с оста OY;

2), се намира с помощта на формулата x=(-b)/2a, заместваме намереното x в уравнението на параболата и намираме г;

3)Функционални нулиили, с други думи, точките на пресичане на параболата с оста OX, те също се наричат ​​корени на уравнението. За да намерим корените, приравняваме уравнението на 0 брадва 2 +bx+c=0;

Видове уравнения:

а) Пълното квадратно уравнение има формата брадва 2 +bx+c=0и се решава от дискриминанта;
б) Непълно квадратно уравнение от вида брадва 2 +bx=0.За да го решите, трябва да извадите x извън скоби, след което да приравните всеки фактор на 0:
брадва 2 +bx=0,
x(ax+b)=0,
x=0 и ax+b=0;
в) Непълно квадратно уравнение от вида брадва 2 +c=0.За да го решите, трябва да преместите неизвестните от едната страна, а известните от другата. x =±√(c/a);

4) Намерете няколко допълнителни точки за конструиране на функцията.

ПРАКТИЧЕСКА ЧАСТ

И така, сега, използвайки пример, ще анализираме всичко стъпка по стъпка:
Пример #1:
y=x 2 +4x+3
c=3 означава, че параболата пресича OY в точката x=0 y=3. Клоновете на параболата сочат нагоре, тъй като a=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4- 8+3=-1 връх е в точка (-2;-1)
Нека намерим корените на уравнението x 2 +4x+3=0
С помощта на дискриминанта намираме корените
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x 1 =(-4+2)/2=-1
x 2 =(-4-2)/2=-3

Нека вземем няколко произволни точки, които се намират близо до върха x = -2

х -4 -3 -1 0
y 3 0 0 3

Заместете вместо x в уравнението y=x 2 +4x+3 стойности
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
От стойностите на функцията се вижда, че параболата е симетрична по отношение на правата x = -2

Пример #2:
y=-x 2 +4x
c=0 означава, че параболата пресича OY в точката x=0 y=0. Клоните на параболата гледат надолу, тъй като a=-1 -1 Нека намерим корените на уравнението -x 2 +4x=0
Непълно квадратно уравнение от вида ax 2 +bx=0. За да го решите, трябва да извадите x от скобите, след което да приравните всеки фактор на 0.
x(-x+4)=0, x=0 и x=4.

Да вземем няколко произволни точки, които се намират близо до върха x=2
x 0 1 3 4
y 0 3 3 0
Заместете вместо x в уравнението y=-x 2 +4x стойности
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
От стойностите на функцията може да се види, че параболата е симетрична спрямо правата x = 2

Пример №3
y=x 2 -4
c=4 означава, че параболата пресича OY в точката x=0 y=4. Клоновете на параболата сочат нагоре, тъй като a=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 върхът е в точка (0;- 4)
Нека намерим корените на уравнението x 2 -4=0
Непълно квадратно уравнение от вида ax 2 +c=0. За да го решите, трябва да преместите неизвестните от едната страна, а известните от другата. x =±√(c/a)
х 2 =4
х 1 =2
х 2 =-2

Да вземем няколко произволни точки, които се намират близо до върха x=0
x -2 -1 1 2
y 0 -3 -3 0
Заместете вместо x в уравнението y= x 2 -4 стойности
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
От стойностите на функцията може да се види, че параболата е симетрична спрямо правата x = 0

Абонирайте се към канала в YOUTUBEда сте в крак с всички нови продукти и да се подготвите с нас за изпити.

За да намерите координатите на върха на парабола, дадена от уравнението y = 2 - x^2, припомнете си формулата за намиране на координатите.

За намиране на абсцисната координата на върха на парабола - графиката на квадратична функция y = ax^2 + bx + c, където a, b, c са числа и a≠0, се намира с помощта на формулата

За да намерите ординатата, достатъчно е да замените функции x0 във формулата вместо всяко x.

И така, нека намерим абсцисата на върха на параболата:

x0 = - 0/2 * (-1) = 0/2 = 0.

Нека заместим x0 = 0 в уравнението и да намерим ординатата на върха на параболата:

y0 = 2 - 0^2 = 2.

Отговор: (0; 2) - координати на върха на параболата.

По условие параболата е дадена от уравнението y = 2 - x^2, което може да бъде представено като y = -a x^2 + bx + c, което означава y = - x^2 + 0x + 2.

Коефициенти на квадратичен полином при:

• членът на най-високата степен x^2 е равен на a = -1;
• за x - b = 0;
• свободният член е c = 2.

Определяне на абсцисата на върха на парабола

Формула за определяне на координатата x (абсцисата) на параболата x = -b / 2a.

Замествайки съответните коефициенти a = -1 и b = 0 получаваме

x = -0 / (2 * (-1));

Изчисляване на ординатата на върха на парабола

Като заместите стойността на абсцисата x в уравнението на параболата, можете да изчислите стойността на съответната ордината:

y (0) = - 0^2 + 0 * 0 + 2;

Така се получава точка с координати (0; 2), която е върха на дадената парабола y = 2 - x^2. През тази точка минава оста на симетрия на параболата. Точка (0; 2) е най-високата точка на фигурата, тъй като a< 0 и ветви параболы опущены вниз. В область, где все значения функции у меньше 2 при различных значениях, принимаемых аргументом х.

Отговор: координатите на върха на параболата са x = 0 и y = 2.