Логаритми: примери и решения. Натурален логаритъм, функция ln x

Продължаваме да изучаваме логаритми. В тази статия ще говорим за изчисляване на логаритми, този процес се нарича логаритъм. Първо ще разберем изчисляването на логаритми по дефиниция. След това нека да разгледаме как се намират стойностите на логаритмите с помощта на техните свойства. След това ще се съсредоточим върху изчисляването на логаритми чрез първоначално посочените стойности на други логаритми. И накрая, нека научим как да използваме логаритмични таблици. Цялата теория е снабдена с примери с подробни решения.

Навигация в страницата.

Изчисляване на логаритми по дефиниция

В най-простите случаи е възможно да се изпълни доста бързо и лесно намиране на логаритъм по дефиниция. Нека да разгледаме по-отблизо как се случва този процес.

Същността му е да представи числото b във формата a c, от което по дефиницията на логаритъм числото c е стойността на логаритъма. Тоест, по дефиниция, следната верига от равенства съответства на намирането на логаритъм: log a b=log a a c =c.

И така, изчисляването на логаритъм по дефиниция се свежда до намиране на число c, така че a c = b, а самото число c е желаната стойност на логаритъма.

Като вземете предвид информацията в предишните параграфи, когато числото под знака на логаритъма е дадено от определена степен на основата на логаритъма, можете веднага да посочите на какво е равен логаритъма - той е равен на степента. Нека покажем решения на примери.

Пример.

Намерете log 2 2 −3 и също така изчислете естествения логаритъм на числото e 5,3.

Решение.

Дефиницията на логаритъма ни позволява веднага да кажем, че log 2 2 −3 =−3. Наистина, числото под знака на логаритъма е равно на основа 2 на степен −3.

По същия начин намираме втория логаритъм: lne 5,3 =5,3.

отговор:

log 2 2 −3 =−3 и lne 5,3 =5,3.

Ако числото b под знака за логаритъм не е посочено като степен на основата на логаритъма, тогава трябва внимателно да погледнете дали е възможно да излезете с представяне на числото b във формата a c . Често това представяне е съвсем очевидно, особено когато числото под знака на логаритъма е равно на основата на степен 1, или 2, или 3, ...

Пример.

Изчислете логаритмите log 5 25 и .

Решение.

Лесно се вижда, че 25=5 2, това ви позволява да изчислите първия логаритъм: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Нека да преминем към изчисляване на втория логаритъм. Числото може да бъде представено като степен на 7: (вижте ако е необходимо). следователно .

Нека пренапишем третия логаритъм в следната форма. Сега можете да видите това , от което правим извода, че . Следователно, по дефиницията на логаритъм .

Накратко решението може да се напише по следния начин: .

отговор:

log 5 25=2 , И .

Когато има достатъчно голямо естествено число под знака на логаритъма, няма да навреди да го разложите на прости множители. Често помага да се представи такова число като някаква степен на основата на логаритъма и следователно да се изчисли този логаритъм по дефиниция.

Пример.

Намерете стойността на логаритъма.

Решение.

Някои свойства на логаритмите ви позволяват незабавно да посочите стойността на логаритмите. Тези свойства включват свойството на логаритъм от единица и свойството на логаритъм на число, равно на основата: log 1 1=log a a 0 =0 и log a a=log a a 1 =1. Тоест, когато под знака за логаритъм стои число 1 или число а, равно на основата на логаритъма, то в тези случаи логаритмите са равни съответно на 0 и 1.

Пример.

На какво са равни логаритми и log10?

Решение.

Тъй като , тогава от дефиницията на логаритъма следва .

Във втория пример числото 10 под знака за логаритъм съвпада с основата си, така че десетичният логаритъм от десет е равен на единица, тоест lg10=lg10 1 =1.

отговор:

И lg10=1 .

Имайте предвид, че изчисляването на логаритми по дефиниция (което обсъдихме в предишния параграф) предполага използването на равенството log a a p =p, което е едно от свойствата на логаритмите.

На практика, когато число под знака на логаритъма и основата на логаритъма лесно се представят като степен на определено число, е много удобно да се използва формулата , което съответства на едно от свойствата на логаритмите. Нека да разгледаме пример за намиране на логаритъм, който илюстрира използването на тази формула.

Пример.

Изчислете логаритъма.

Решение.

отговор:

.

Свойствата на логаритмите, които не са споменати по-горе, също се използват в изчисленията, но ще говорим за това в следващите параграфи.

Намиране на логаритми чрез други известни логаритми

Информацията в този параграф продължава темата за използването на свойствата на логаритмите при изчисляването им. Но тук основната разлика е, че свойствата на логаритмите се използват за изразяване на оригиналния логаритъм чрез друг логаритъм, чиято стойност е известна. Нека дадем пример за пояснение. Да кажем, че знаем, че log 2 3≈1,584963, тогава можем да намерим, например, log 2 6, като направим малка трансформация, използвайки свойствата на логаритъма: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

В горния пример за нас беше достатъчно да използваме свойството логаритъм на произведение. Много по-често обаче е необходимо да се използва по-широк арсенал от свойства на логаритми, за да се изчисли оригиналният логаритъм чрез дадените.

Пример.

Изчислете логаритъма от 27 при основа 60, ако знаете, че log 60 2=a и log 60 5=b.

Решение.

Така че трябва да намерим log 60 27 . Лесно се вижда, че 27 = 3 3 и първоначалният логаритъм, поради свойството на логаритъм на степента, може да бъде пренаписан като 3·log 60 3.

Сега нека видим как да изразим log 60 3 по отношение на известни логаритми. Свойството на логаритъм на число, равно на основата, ни позволява да запишем логаритъм на равенство 60 60=1. От друга страна, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . по този начин 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. следователно log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Накрая изчисляваме първоначалния логаритъм: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

отговор:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Отделно си струва да споменем значението на формулата за преход към нова основа на логаритъма на формата . Тя ви позволява да преминете от логаритми с произволна основа към логаритми с конкретна основа, чиито стойности са известни или е възможно да ги намерите. Обикновено от оригиналния логаритъм, използвайки формулата за преход, те преминават към логаритми в една от базите 2, e или 10, тъй като за тези бази има таблици с логаритми, които позволяват техните стойности да бъдат изчислени с определена степен на точност. В следващия параграф ще покажем как се прави това.

Логаритмични таблици и тяхното използване

За приблизително изчисляване на логаритъм могат да се използват стойности логаритмични таблици. Най-често използваната логаритмична таблица с основа 2 е таблицата естествени логаритмии таблица с десетични логаритми. Когато работите в десетичната бройна система, е удобно да използвате таблица с логаритми, базирана на база десет. С негова помощ ще се научим да намираме стойностите на логаритмите.

Представената таблица ви позволява да намерите стойностите на десетичните логаритми на числата от 1000 до 9999 (с три знака след десетичната запетая) с точност до една десет хилядна. Ще анализираме принципа за намиране на стойността на логаритъм с помощта на таблица с десетични логаритми конкретен пример– така е по-ясно. Нека намерим log1.256.

В лявата колона на таблицата с десетични логаритми намираме първите две цифри на числото 1,256, тоест намираме 1,2 (това число е оградено в синьо за яснота). Третата цифра на числото 1.256 (цифра 5) се намира в първия или последния ред вляво от двойната линия (това число е оградено в червено). Четвъртата цифра от оригиналното число 1.256 (цифра 6) се намира в първия или последния ред вдясно от двойната линия (това число е оградено със зелена линия). Сега намираме числата в клетките на таблицата с логаритми в пресечната точка на маркирания ред и маркираните колони (тези числа са маркирани оранжево). Сумата от маркираните числа дава желаната стойност на десетичния логаритъм с точност до четвъртия знак след десетичната запетая, т.е. log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

Възможно ли е, като използвате таблицата по-горе, да намерите стойностите на десетични логаритми на числа, които имат повече от три цифри след десетичната запетая, както и тези, които надхвърлят диапазона от 1 до 9,999? Да, можеш. Нека покажем как става това с пример.

Нека изчислим lg102,76332. Първо трябва да запишете номер в стандартен формуляр : 102,76332=1,0276332·10 2. След това мантисата трябва да бъде закръглена до третия знак след десетичната запетая, имаме 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, докато първоначалният десетичен логаритъм е приблизително равен на логаритъма на полученото число, т.е. вземаме log102,76332≈lg1,028·10 2. Сега прилагаме свойствата на логаритъма: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Накрая намираме стойността на логаритъма lg1.028 от таблицата с десетични логаритми lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. В резултат на това целият процес на изчисляване на логаритъма изглежда така: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

В заключение си струва да се отбележи, че с помощта на таблица с десетични логаритми можете да изчислите приблизителната стойност на всеки логаритъм. За да направите това, достатъчно е да използвате формулата за преход, за да отидете до десетични логаритми, да намерите техните стойности в таблицата и да извършите останалите изчисления.

Например, нека изчислим log 2 3 . Според формулата за преход към нова основа на логаритъма имаме . От таблицата с десетични логаритми намираме log3≈0,4771 и log2≈0,3010. по този начин .

Референции.

• Колмогоров A.N., Абрамов A.M., Дудницин Ю.П. и др.. Алгебра и началото на анализа: Учебник за 10 - 11 клас на общообразователните институции.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (наръчник за постъпващите в техникуми).

При преобразуване на изрази с логаритми изброените равенства се използват както отдясно наляво, така и отляво надясно.

Струва си да се отбележи, че не е необходимо да запаметявате последствията от свойствата: когато извършвате трансформации, можете да се справите с основните свойства на логаритмите и други факти (например факта, че за b≥0), от които следват съответните последствия. " Страничен ефект„Този ​​подход се проявява само в това, че решението ще бъде малко по-дълго. Например, за да се направи без последствието, което се изразява с формулата и започвайки само от основните свойства на логаритмите, ще трябва да извършите верига от трансформации от следния вид: .

Същото може да се каже и за последното свойство от горния списък, на което отговаря формулата , тъй като следва и от основните свойства на логаритмите. Основното нещо, което трябва да разберете, е, че винаги е възможно степента на положително число с логаритъм в степента да размени основата на степента и числото под знака на логаритъма. За да бъдем честни, отбелязваме, че примерите, предполагащи изпълнението на трансформации от този вид, са рядкост на практика. По-долу в текста ще дадем няколко примера.

Преобразуване на числови изрази с логаритми

Спомнихме си свойствата на логаритмите, сега е време да научим как да ги прилагаме на практика за трансформиране на изрази. Естествено е да започнете с преобразуване на числови изрази, а не на изрази с променливи, тъй като те са по-удобни и по-лесни за научаване на основите. Това е, което ще направим и ще започнем с много прости примери, за да научите как да изберете желаното свойство на логаритъма, но ние постепенно ще усложняваме примерите, до момента, в който за получаване на крайния резултат ще е необходимо да приложите няколко свойства подред.

Избор на желаното свойство на логаритмите

Има много свойства на логаритмите и е ясно, че трябва да можете да изберете подходящия от тях, който в дадена конкретен случайще доведе до желания резултат. Обикновено това не е трудно да се направи чрез сравняване на вида на преобразувания логаритъм или израз с типовете лява и дясна част на формули, изразяващи свойствата на логаритмите. Ако лявата или дясната страна на една от формулите съвпада с даден логаритъм или израз, тогава най-вероятно това свойство трябва да се използва по време на трансформацията. Следните примеритова е ясно демонстрирано.

Нека започнем с примери за преобразуване на изрази с помощта на дефиницията на логаритъм, която съответства на формулата a log a b =b, a>0, a≠1, b>0.

Пример.

Изчислете, ако е възможно: a) 5 log 5 4, b) 10 log(1+2·π), c) , d) 2 log 2 (−7) , e) .

Решение.

В примера под буква а) ясно се вижда структурата a log a b, където a=5, b=4. Тези числа отговарят на условията a>0, a≠1, b>0, така че можете спокойно да използвате равенството a log a b =b. Имаме 5 log 5 4=4 .

b) Тук a=10, b=1+2·π, условията a>0, a≠1, b>0 са изпълнени. В този случай се изпълнява равенството 10 log(1+2·π) =1+2·π.

в) И в този пример имаме работа със степен от формата a log a b, където и b=ln15. И така .

Въпреки че принадлежи към същия тип a log a b (тук a=2, b=−7), изразът под буквата g) не може да бъде преобразуван с помощта на формулата a log a b =b. Причината е, че е безсмислено, тъй като съдържа отрицателно число под знака на логаритъма. Освен това числото b=−7 не отговаря на условието b>0, което прави невъзможно прибягването до формулата a log a b =b, тъй като тя изисква изпълнението на условията a>0, a≠1, b> 0. Така че не можем да говорим за изчисляване на стойността на 2 log 2 (−7) . В този случай писането на 2 log 2 (−7) =−7 би било грешка.

По същия начин в примера под буква д) е невъзможно да се даде решение на формата , тъй като оригиналният израз няма смисъл.

отговор:

a) 5 log 5 4 =4, b) 10 log(1+2·π) =1+2·π, c) , г), д) изразите нямат смисъл.

Трансформацията често е полезна, при която положително число е представено като степен на някакво положително и неединствено число с логаритъм в степента. Базира се на същата дефиниция на логаритъма a log a b =b, a>0, a≠1, b>0, но формулата се прилага отдясно наляво, тоест във формата b=a log a b . Например 3=e ln3 или 5=5 log 5 5 .

Нека да преминем към използването на свойствата на логаритмите за трансформиране на изрази.

Пример.

Намерете стойността на израза: a) log −2 1, b) log 1 1, c) log 0 1, d) log 7 1, e) ln1, f) log1, g) log 3,75 1, h) log 5 π 7 1 .

Решение.

В примерите под букви а), б) и в) са дадени изразите log −2 1, log 1 1, log 0 1, които нямат смисъл, тъй като основата на логаритъма не трябва да съдържа отрицателно число, нула или едно, защото сме дефинирали логаритъм само за основа, която е положителна и различна от единица. Следователно в примери а) - в) не може да става дума за намиране на смисъла на израза.

Във всички останали задачи, очевидно, основите на логаритмите съдържат съответно положителни и неединични числа 7, e, 10, 3,75 и 5·π 7, а под знаците на логаритмите навсякъде има единици. И знаем свойството на логаритъма от единица: log a 1=0 за всяко a>0, a≠1. По този начин стойностите на изразите b) – e) са равни на нула.

отговор:

a), b), c) изразите нямат смисъл, d) log 7 1=0, e) ln1=0, f) log1=0, g) log 3,75 1=0, h) log 5 e 7 1= 0 .

Пример.

Изчислете: а) , б) lne , в) lg10 , г) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2), д) log −3 (−3) , f) log 1 1 .

Решение.

Ясно е, че трябва да използваме свойството на логаритъма на основата, което съответства на формулата log a a=1 за a>0, a≠1. Наистина в задачите под всички букви числото под знака на логаритъма съвпада с основата му. Затова бих искал веднага да кажа, че стойността на всеки от дадените изрази е 1. Не бива обаче да бързате със заключенията: в задачите под букви а) - г) стойностите на изразите наистина са равни на единица, а в задачи д) и е) оригиналните изрази нямат смисъл, така че не може да се каже, че стойностите на тези изрази са равни на 1.

отговор:

а) , б) lne=1 , в) lg10=1 , г) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2)=1, д), е) изразите нямат смисъл.

Пример.

Намерете стойността: а) log 3 3 11, б) , в), г) log −10 (−10) 6 .

Решение.

Очевидно под знаците на логаритмите има някои степени на основата. Въз основа на това разбираме, че тук ще ни трябва свойството на степента на основата: log a a p =p, където a>0, a≠1 и p е всяко реално число. Като вземем това предвид, имаме следните резултати: а) log 3 3 11 =11, б) , V) . Може ли да се напише подобно равенство за примера под буква d) от вида log −10 (−10) 6 =6? Не, не можете, защото изразът log −10 (−10) 6 няма смисъл.

отговор:

а) log 3 3 11 =11, б) , V) , г) изразът няма смисъл.

Пример.

Представете израза като сбор или разлика от логаритми, като използвате една и съща основа: а) , b) , c) log((−5)·(−12)) .

Решение.

а) Под знака на логаритъма стои произведение и знаем свойството на логаритъма на произведението log a (x·y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0 , y>0. В нашия случай числото в основата на логаритъма и числата в произведението са положителни, т.е. те отговарят на условията на избраното свойство, следователно можем безопасно да го приложим: .

б) Тук използваме свойството на частния логаритъм, където a>0, a≠1, x>0, y>0. В нашия случай основата на логаритъма е положително число e, числителят и знаменателят π са положителни, което означава, че отговарят на условията на свойството, така че имаме право да използваме избраната формула: .

c) Първо, отбележете, че изразът log((−5)·(−12)) има смисъл. Но в същото време за него нямаме право да приложим формулата за логаритъм на произведението log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0, y >0, тъй като числата са −5 и −12 – отрицателни и не отговарят на условията x>0, y>0. Тоест не можете да извършите такава трансформация: log((−5)·(−12))=log(−5)+log(−12). И така, какво трябва да направим? В такива случаи оригиналният израз се нуждае от предварителна трансформация, за да се избегнат отрицателни числа. Ще говорим подробно за подобни случаи на трансформиране на изрази с отрицателни числа под знака на логаритъм в една от статиите, но засега ще дадем решение на този пример, което е ясно предварително и без обяснение: log((−5)·(−12))=log(5·12)=log5+lg12.

отговор:

а) , б) , в) log((−5)·(−12))=log5+lg12.

Пример.

Опростете израза: а) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5, б) .

Решение.

Тук ще ни помогнат всички същите свойства на логаритъма на произведението и логаритъма на частното, които използвахме в предишните примери, само че сега ще ги приложим отдясно наляво. Тоест, трансформираме сумата от логаритми в логаритъм от произведението и разликата от логаритми в логаритъм от частното. Имаме
а) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 (0,25 16 0,5)=log 3 2.
б) .

отговор:

а) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 2, б) .

Пример.

Отървете се от степента под знака на логаритъма: а) log 0,7 5 11, б) , в) log 3 (−5) 6 .

Решение.

Лесно се вижда, че имаме работа с изрази от формата log a b p . Съответното свойство на логаритъма има формата log a b p =p·log a b, където a>0, a≠1, b>0, p - всяко реално число. Тоест, ако условията a>0, a≠1, b>0 са изпълнени, от логаритъма на степенния log a b p можем да преминем към произведението p·log a b. Нека извършим тази трансформация с дадените изрази.

а) В този случай a=0,7, b=5 и p=11. Значи log 0,7 5 11 =11·log 0,7 5.

б) Тук са изпълнени условията a>0, a≠1, b>0. Ето защо

в) Изразът log 3 (−5) 6 има същата структура log a b p , a=3 , b=−5 , p=6 . Но за b условието b>0 не е изпълнено, което прави невъзможно използването на формулата log a b p =p·log a b . И какво, не можете да се справите със задачата? Възможно е, но е необходима предварителна трансформация на израза, която ще разгледаме подробно по-долу в параграфа под заглавието. Решението ще бъде така: log 3 (−5) 6 =log 3 5 6 =6 log 3 5.

отговор:

а) log 0,7 5 11 =11 log 0,7 5 ,
б)
в) log 3 (−5) 6 =6·log 3 5.

Доста често, когато се извършват трансформации, формулата за логаритъм на степен трябва да се приложи отдясно наляво във формата p·log a b=log a b p (същите условия трябва да бъдат изпълнени за a, b и p). Например, 3·ln5=ln5 3 и log2·log 2 3=log 2 3 lg2.

Пример.

а) Изчислете стойността на log 2 5, ако е известно, че log2≈0,3010 и log5≈0,6990. б) Изразете дробта като логаритъм при основа 3.

Решение.

а) Формулата за преход към нова логаритъмна база ни позволява да представим този логаритъм като съотношение на десетични логаритми, чиито стойности са ни известни: . Остава само да извършим изчисленията, които имаме .

б) Тук е достатъчно да използвате формулата за преместване към нова база и да я приложите отдясно наляво, тоест във формата . получаваме .

отговор:

а) log 2 5≈2,3223, б) .

На този етап разгледахме доста подробно преобразуването на най-простите изрази, използвайки основните свойства на логаритмите и дефиницията на логаритъм. В тези примери трябваше да приложим едно свойство и нищо повече. Сега с чиста съвест можете да преминете към примери, чиято трансформация изисква използването на няколко свойства на логаритми и други допълнителни трансформации. Ще се занимаем с тях в следващия параграф. Но преди това нека разгледаме накратко примери за прилагане на следствия от основните свойства на логаритмите.

Пример.

а) Отървете се от корена под знака на логаритъма. б) Преобразувайте дробта в логаритъм с основа 5. в) Освободете се от степени под знака на логаритъма и в неговата основа. г) Изчислете стойността на израза . д) Заменете израза със степен с основа 3.

Решение.

а) Ако си припомним следствието от свойството логаритъм на степента , тогава можете веднага да дадете отговора: .

б) Тук използваме формулата от дясно на ляво имаме .

в) В този случай формулата води до резултата . получаваме .

г) И тук е достатъчно да приложим следствието, на което отговаря формулата . И така .

д) Свойство на логаритъма ни позволява да постигнем желания резултат: .

отговор:

а) . б) . V) . G) . г) .

Последователно прилагане на множество свойства

Реалните задачи за преобразуване на изрази, използващи свойствата на логаритмите, обикновено са по-сложни от тези, които разгледахме в предишния параграф. При тях, като правило, резултатът не се получава на една стъпка, а решението вече се състои в последователно прилагане на едно свойство след друго, заедно с допълнителни идентични трансформации, като отваряне на скоби, привеждане на подобни членове, намаляване на дроби и т.н. . Така че нека се доближим до такива примери. В това няма нищо сложно, основното е да действате внимателно и последователно, като спазвате реда на действията.

Пример.

Изчислете стойността на израз (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5.

Решение.

Разликата между логаритмите в скоби, според свойството на частния логаритъм, може да бъде заменена с логаритъм log 3 (15:5) и след това да се изчисли неговата стойност log 3 (15:5)=log 3 3=1. И стойността на израза 7 log 7 5 по дефиниция на логаритъм е равна на 5. Замествайки тези резултати в оригиналния израз, получаваме (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =1 5=5.

Ето решение без обяснение:
(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =log 3 (15:5) 5=
=log 3 3·5=1·5=5 .

отговор:

(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =5.

Пример.

Каква е стойността на числовия израз log 3 log 2 2 3 −1?

Решение.

Първо трансформираме логаритъма под знака за логаритъм, използвайки формулата за логаритъм на степен: log 2 2 3 =3. Така, log 3 log 2 2 3 =log 3 3 и след това log 3 3=1. Така че log 3 log 2 2 3 −1=1−1=0 .

отговор:

log 3 log 2 2 3 −1=0 .

Пример.

Опростете израза.

Решение.

Формулата за преминаване към нова основа на логаритъм позволява съотношението на логаритмите към една основа да бъде представено като log 3 5. В този случай оригиналният израз ще приеме формата . По дефиниция на логаритъма 3 log 3 5 =5, т.е , а стойността на получения израз, по силата на същата дефиниция на логаритъма, е равна на две.

Ето кратка версия на решението, което обикновено се дава: .

отговор:

.

За плавен преход към информацията в следващия параграф, нека да разгледаме изразите 5 2+log 5 3 и log0.01. Тяхната структура не отговаря на нито едно от свойствата на логаритмите. И така, какво се случва, те не могат да бъдат преобразувани с помощта на свойствата на логаритмите? Възможно е, ако извършите предварителни трансформации, които подготвят тези изрази за прилагане на свойствата на логаритмите. И така 5 2+log 5 3 =5 2 5 log 5 3 =25 3=75, и log0.01=log10 −2 =−2. След това ще разгледаме подробно как се извършва подготовката на такава експресия.

Подготовка на изрази за използване на свойствата на логаритмите

Логаритмите в израза, който се преобразува, много често се различават в структурата на нотацията от лявата и дясната част на формулите, които съответстват на свойствата на логаритмите. Но не по-рядко преобразуването на тези изрази включва използването на свойствата на логаритмите: тяхното използване изисква само предварителна подготовка. И тази подготовка се състои в извършване на определени идентични трансформации, които привеждат логаритмите във форма, удобна за прилагане на свойствата.

Честно казано, отбелязваме, че почти всяка трансформация на изрази може да действа като предварителни трансформации, от баналното редуциране на подобни термини до приложението тригонометрични формули. Това е разбираемо, тъй като преобразуваните изрази могат да съдържат всякакви математически обекти: скоби, модули, дроби, корени, степени и т.н. Следователно трябва да сте подготвени да извършите всяка необходима трансформация, за да можете допълнително да се възползвате от свойствата на логаритмите.

Нека кажем веднага, че на този етап не си поставяме задачата да класифицираме и анализираме всички възможни предварителни трансформации, които биха ни позволили впоследствие да приложим свойствата на логаритмите или дефиницията на логаритъм. Тук ще се спрем само на четири от тях, които са най-характерни и най-често срещани в практиката.

И сега за всеки от тях по-подробно, след което, в рамките на нашата тема, всичко, което остава, е да разберем трансформацията на изрази с променливи под знаците на логаритмите.

Идентификация на степените под знака на логаритъма и в основата му

Нека започнем веднага с пример. Нека имаме логаритъм. Очевидно в тази форма неговата структура не е благоприятна за използване на свойствата на логаритмите. Възможно ли е по някакъв начин да се трансформира този израз, за ​​да се опрости и дори по-добре да се изчисли стойността му? За да отговорим на този въпрос, нека разгледаме по-подробно числата 81 и 1/9 в контекста на нашия пример. Тук е лесно да се забележи, че тези числа могат да бъдат представени като степен на 3, наистина, 81 = 3 4 и 1/9 = 3 −2. В този случай оригиналният логаритъм се представя във формата и става възможно прилагането на формулата . така че .

Анализът на анализирания пример поражда следната мисъл: ако е възможно, можете да опитате да изолирате степента под знака на логаритъма и в неговата основа, за да приложите свойството на логаритъма на степента или неговите последствия. Остава само да разберем как да разграничим тези степени. Нека да дадем някои препоръки по този въпрос.

Понякога е съвсем очевидно, че числото под знака на логаритъма и/или в основата му представлява някаква цяло число, както в примера, обсъден по-горе. Почти непрекъснато се налага да боравим със степени на две, които са добре познати: 4=2 2, 8=2 3, 16=2 4, 32=2 5, 64=2 6, 128=2 7, 256=2 8 , 512= 2 9, 1024=2 10. Същото може да се каже и за степените на три: 9 = 3 2, 27 = 3 3, 81 = 3 4, 243 = 3 5, ... Като цяло няма да навреди, ако имате пред очите си таблица на степените на естествените числав рамките на дузина. Също така не е трудно да се работи с цели степени на десет, сто, хиляда и т.н.

Пример.

Изчислете стойността или опростете израза: a) log 6 216, b) , c) log 0,000001 0,001.

Решение.

а) Очевидно 216=6 3, така че log 6 216=log 6 6 3 =3.

б) Таблицата на степените на естествените числа ви позволява да представите числата 343 и 1/243 съответно като степени 7 3 и 3 −4. Следователно е възможно следното преобразуване на даден логаритъм:

в) Тъй като 0,000001=10 −6 и 0,001=10 −3, тогава log 0,000001 0,001=log 10 −6 10 −3 =(−3)/(−6)=1/2.

отговор:

а) log 6 216=3, б) , c) log 0,000001 0,001=1/2.

В по-сложни случаи, за да изолирате степените на числата, трябва да прибягвате до.

Пример.

Преобразувайте израза в повече прост изглед log 3 648 log 2 3 .

Решение.

Нека да разгледаме какво представлява факторизирането на 648:

Тоест 648=2 3 ·3 4. по този начин log 3 648 log 2 3=log 3 (2 3 3 4) log 2 3.

Сега трансформираме логаритъма на произведението в сумата от логаритми, след което прилагаме свойствата на логаритъма на степента:
log 3 (2 3 3 4)log 2 3=(log 3 2 3 +log 3 3 4)log 2 3=
=(3·log 3 2+4)·log 2 3 .

По силата на следствие от свойството на логаритъм на степента, което съответства на формулата , произведението log32·log23 е произведение на , и, както е известно, е равно на едно. Като вземем това предвид, получаваме 3 log 3 2 log 2 3+4 log 2 3=3 1+4 log 2 3=3+4 log 2 3.

отговор:

log 3 648 log 2 3=3+4 log 2 3.

Много често изрази под знака на логаритъма и в основата му представляват произведения или съотношения на корени и/или степени на някои числа, например, , . Такива изрази могат да бъдат изразени като правомощия. За да направите това, се прави преход от корени към правомощия и се използват и . Тези трансформации позволяват да се изолират степените под знака на логаритъма и в неговата основа и след това да се приложат свойствата на логаритмите.

Пример.

Изчислете: а) , б) .

Решение.

а) Изразът в основата на логаритъма е произведение на степени с еднакви основи по съответното свойство на степените, които имаме; 5 2 ·5 −0,5 ·5 −1 =5 2−0,5−1 =5 0,5.

Сега нека трансформираме дроба под знака на логаритъма: ще преминем от корена към степента, след което ще използваме свойството на съотношението на мощностите с еднакви основи: .

Остава да замените получените резултати в оригиналния израз, използвайте формулата и завършете трансформацията:

б) Тъй като 729 = 3 6 и 1/9 = 3 −2, оригиналният израз може да бъде пренаписан като .

След това прилагаме свойството корен на степен, преминаваме от корен към степен и използваме свойството съотношение на степени, за да преобразуваме основата на логаритъма в степен: .

Като вземем предвид последния резултат, имаме .

отговор:

а) , б) .

Ясно е, че в общия случай, за да се получат степени под знака на логаритъма и в неговата основа, може да са необходими различни трансформации на различни изрази. Нека дадем няколко примера.

Пример.

Какво е значението на израза: а) , б) .

Решение.

Освен това отбелязваме, че даденият израз има формата log A B p , където A=2, B=x+1 и p=4. Преобразувахме числови изрази от този тип според свойството на логаритъма на степента log a b p =p·log a b , следователно с даден израз искам да направя същото и да премина от log 2 (x+1) 4 към 4·log 2 (x+1) . Сега нека изчислим стойността на оригиналния израз и израза, получен след трансформацията, например, когато x=−2. Имаме log 2 (−2+1) 4 =log 2 1=0 и 4 log 2 (−2+1)=4 log 2 (−1)- безсмислен израз. Това повдига логичния въпрос: „Какво направихме погрешно?“

И причината е следната: извършихме трансформацията log 2 (x+1) 4 =4·log 2 (x+1) , въз основа на формулата log a b p =p·log a b , но тази формулаимаме право да кандидатстваме само ако са изпълнени условията: a>0, a≠1, b>0, p - всяко реално число. Тоест трансформацията, която направихме, се осъществява, ако x+1>0, което е същото като x>−1 (за A и p условията са изпълнени). В нашия случай обаче ODZ на променлива x за оригиналния израз се състои не само от интервала x>−1, но и от интервала x<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

Необходимостта да се вземе предвид DL

Нека продължим да анализираме трансформацията на израза, който сме избрали log 2 (x+1) 4 , а сега нека видим какво се случва с ODZ при преминаване към израза 4 · log 2 (x+1) . В предишния параграф открихме ODZ на оригиналния израз - това е множеството (−∞, −1)∪(−1, +∞) . Сега нека намерим диапазона от приемливи стойности на променливата x за израза 4·log 2 (x+1) . Определя се от условието x+1>0, което съответства на множеството (−1, +∞). Очевидно е, че при преминаване от log 2 (x+1) 4 към 4·log 2 (x+1), обхватът на допустимите стойности се стеснява. И се съгласихме да избягваме трансформации, които водят до стесняване на DL, тъй като това може да доведе до различни негативни последици.

Тук си струва да се отбележи за себе си, че е полезно да се контролира OA на всяка стъпка от трансформацията и да се предотврати неговото стесняване. И ако изведнъж на някакъв етап от трансформацията е имало стесняване на DL, тогава си струва да разгледаме много внимателно дали тази трансформация е допустима и дали сме имали право да я извършим.

За да бъдем честни, нека кажем, че на практика обикновено трябва да работим с изрази, в които ODZ на променливите е такъв, че когато извършваме трансформации, можем да използваме свойствата на логаритмите без ограничения във формата, която вече ни е известна, както от от ляво на дясно и от дясно на ляво. Бързо свиквате с това и започвате да извършвате трансформации механично, без да мислите дали е възможно да ги извършите. И в такива моменти, за късмет, се изплъзват по-сложни примери, в които небрежното прилагане на свойствата на логаритмите води до грешки. Така че трябва винаги да сте нащрек и да се уверите, че няма стесняване на ODZ.

Няма да навреди отделно да се подчертаят основните трансформации, базирани на свойствата на логаритмите, които трябва да се извършват много внимателно, което може да доведе до стесняване на OD и в резултат на това до грешки:

Някои трансформации на изрази, базирани на свойствата на логаритмите, могат да доведат и до обратното - разширяване на ODZ. Например преходът от 4·log 2 (x+1) към log 2 (x+1) 4 разширява ODZ от набора (−1, +∞) до (−∞, −1)∪(−1, +∞). Такива трансформации стават, ако останем в рамките на първоначалния израз. Така току-що споменатата трансформация 4·log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 се извършва в ODZ на променливата x за оригиналния израз 4·log 2 (x+1), т.е. x+1> 0, което е същото като (−1, +∞).

Сега, след като обсъдихме нюансите, на които трябва да обърнете внимание, когато трансформирате изрази с променливи, използвайки свойствата на логаритмите, остава да разберем как правилно да извършваме тези трансформации.

X+2>0. Работи ли в нашия случай? За да отговорим на този въпрос, нека да разгледаме ODZ на променливата x. Определя се от системата от неравенства , което е еквивалентно на условието x+2>0 (ако е необходимо, вижте статията решаване на системи от неравенства). Така можем безопасно да приложим свойството на логаритъм на степента.

Имаме
3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =
=3·7·log(x+2)−log(x+2)−5·4·log(x+2)=
=21·log(x+2)−log(x+2)−20·log(x+2)=
=(21−1−20)·log(x+2)=0 .

Можете да действате по различен начин, за щастие ODZ ви позволява да направите това, например така:

отговор:

3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =0.

Но какво да правим, когато условията, съпътстващи свойствата на логаритмите, не са изпълнени на ODZ? Ще разберем това с примери.

Нека трябва да опростим израза log(x+2) 4 − log(x+2) 2 . Преобразуването на този израз, за ​​разлика от израза от предишния пример, не позволява свободно използване на свойството логаритъм на степента. защо ODZ на променлива x в този случай е обединението на два интервала x>−2 и x<−2 . При x>−2 можем лесно да приложим свойството на логаритъм на степен и да действаме както в примера по-горе: log(x+2) 4 −log(x+2) 2 =4 · log(x+2)−2 · log(x+2)=2 · log(x+2). Но ODZ съдържа още един интервал x+2<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к log(−|x+2|) 4 −log(−|x+2|) 2и по-нататък поради свойствата на степента k lg|x+2| 4 −lg|x+2| 2. Полученият израз може да се трансформира, като се използва свойството логаритъм на степен, тъй като |x+2|>0 за всяка стойност на променливата. Имаме log|x+2| 4 −lg|x+2| 2 =4·lg|x+2|−2·lg|x+2|=2·lg|x+2|. Сега можете да се освободите от модула, тъй като той си е свършил работата. Тъй като извършваме трансформацията при x+2<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

Нека да разгледаме още един пример, така че работата с модули да стане позната. Нека разберем от израза отидете до сумата и разликата от логаритми на линейни биноми x−1, x−2 и x−3. Първо намираме ODZ:

В интервала (3, +∞) стойностите на изразите x−1, x−2 и x−3 са положителни, така че лесно можем да приложим свойствата на логаритъма на сумата и разликата:

И на интервала (1, 2) стойностите на израза x−1 са положителни, а стойностите на изразите x−2 и x−3 са отрицателни. Следователно на разглеждания интервал представяме x−2 и x−3, използвайки модула като −|x−2|

и −|x−3|

Имаме

съответно. В същото време

Като цяло подобно разсъждение позволява, въз основа на формулите за логаритъм на продукта, съотношението и степента, да се получат три практически полезни резултата, които са доста удобни за използване:

• Логаритъмът от произведението на два произволни израза X и Y от формата log a (X·Y) може да бъде заменен със сумата от логаритмите log a |X|+log a |Y| , a>0 , a≠1 .
• Логаритъмът на определена форма log a (X:Y) може да бъде заменен с разликата на логаритмите log a |X|−log a |Y| , a>0, a≠1, X и Y са произволни изрази.
• От логаритъм на някакъв израз B до четна степен p във формата log a B p можем да отидем до израза p·log a |B| , където a>0, a≠1, p е четно число и B е произволен израз.

Подобни резултати са дадени например в инструкциите за решаване на експоненциални и логаритмични уравнения в колекцията от задачи по математика за постъпващите в университети под редакцията на М. И. Сканави.

Пример.

Опростете израза .

Решение.

Би било добре да се прилагат свойствата на логаритъма на степента, сбора и разликата. Но можем ли да направим това тук? За да отговорим на този въпрос трябва да познаваме ДЗ.

Нека го дефинираме:

Съвсем очевидно е, че изразите x+4, x−2 и (x+4) 13 в диапазона на допустимите стойности на променливата x могат да приемат както положителни, така и отрицателни стойности. Следователно ще трябва да действаме чрез модули.

Свойствата на модула ви позволяват да го пренапишете като , така че

Освен това нищо не ви пречи да използвате свойството на логаритъм от степен и след това да приведете подобни условия:

Друга последователност от трансформации води до същия резултат:

и тъй като на ODZ изразът x−2 може да приема както положителни, така и отрицателни стойности, тогава при поставяне на четен показател 14

Да започнем с свойства на логаритъма от едно. Неговата формулировка е следната: логаритъмът от единица е равен на нула, т.е. log a 1=0за всяко a>0, a≠1. Доказателството не е трудно: тъй като a 0 =1 за всяко a, удовлетворяващо горните условия a>0 и a≠1, тогава равенството log a 1=0, което трябва да се докаже, следва непосредствено от дефиницията на логаритъма.

Нека дадем примери за приложението на разглежданото свойство: log 3 1=0, log1=0 и .

Да преминем към следващото свойство: логаритъма на число, равно на основата, е равен на единица, тоест log a a=1за a>0, a≠1. Наистина, тъй като a 1 =a за всяко a, тогава по дефиниция на логаритъма log a a=1.

Примери за използване на това свойство на логаритмите са равенствата log 5 5=1, log 5.6 5.6 и lne=1.

Например log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 и .

Логаритъм от произведението на две положителни числа x и y е равно на произведението от логаритмите на тези числа: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Нека докажем свойството на логаритъма на произведение. Поради свойствата на степента a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, и тъй като чрез главното логаритмично тъждество a log a x =x и a log a y =y, тогава a log a x ·a log a y =x·y. По този начин, a log a x+log a y =x·y, от което по дефиницията на логаритъм следва доказаното равенство.

Нека покажем примери за използване на свойството на логаритъма на произведение: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 и .

Свойството на логаритъм на произведение може да се обобщи до произведението на крайно число n от положителни числа x 1 , x 2 , …, x n като log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +...+log a x n . Това равенство може да се докаже без проблеми.

Например натуралният логаритъм на произведението може да бъде заменен със сумата от три натурални логаритъма на числата 4, e и.

Логаритъм от частното на две положителни числа x и y е равно на разликата между логаритмите на тези числа. Свойството логаритъм на частно съответства на формула от вида , където a>0, a≠1, x и y са някои положителни числа. Валидността на тази формула е доказана, както и на формулата за логаритъм на произведение: тъй като , тогава по дефиниция на логаритъм.

Ето пример за използване на това свойство на логаритъма: .

Да преминем към свойство на логаритъма на степента. Логаритъмът на степента е равен на произведението на степента и логаритъма на модула на основата на тази степен. Нека запишем това свойство на логаритъма на степен като формула: log a b p =p·log a |b|, където a>0, a≠1, b и p са такива числа, че степента b p има смисъл и b p >0.

Първо доказваме това свойство за положително b. Основното логаритмично тъждество ни позволява да представим числото b като log a b , тогава b p =(a log a b) p и полученият израз, поради свойството степен, е равен на a p·log a b . Така стигаме до равенството b p =a p·log a b, от което по дефиницията на логаритъм заключаваме, че log a b p =p·log a b.

Остава да докажем това свойство за отрицателно b. Тук отбелязваме, че изразът log a b p за отрицателно b има смисъл само за четни показатели p (тъй като стойността на степента b p трябва да е по-голяма от нула, в противен случай логаритъма няма да има смисъл), и в този случай b p =|b| стр. Тогава b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, от където log a b p =p·log a |b| .

например, и ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Следва от предишното свойство свойство на логаритъма от корена: логаритъма на n-тия корен е равен на произведението на дробта 1/n по логаритъма на радикалния израз, т.е. , където a>0, a≠1, n – естествено число, по-голямо от едно, b>0 .

Доказателството се основава на равенството (виж), което е валидно за всяко положително b, и свойството на логаритъма на степента: .

Ето пример за използване на това свойство: .

Сега да докажем формула за преминаване към нова основа на логаритъмвид . За целта е достатъчно да се докаже валидността на равенството log c b=log a b·log c a. Основната логаритмична идентичност ни позволява да представим числото b като log a b, тогава log c b=log c a log a b. Остава да използваме свойството на логаритъма на степента: log c a log a b =log a b log c a. Това доказва равенството log c b=log a b·log c a, което означава, че формулата за преминаване към нова основа на логаритъм също е доказана.

Нека да покажем няколко примера за използване на това свойство на логаритмите: и .

Формулата за преминаване към нова база ви позволява да преминете към работа с логаритми, които имат „удобна“ база. Например, може да се използва за преминаване към естествени или десетични логаритми, така че да можете да изчислите стойността на логаритъм от таблица с логаритми. Формулата за преминаване към нова логаритъмна основа също позволява в някои случаи да се намери стойността на даден логаритъм, когато са известни стойностите на някои логаритми с други бази.

Често се използва частен случай на формулата за преход към нова основа на логаритъм за c=b на формата . Това показва, че log a b и log b a – . например, .

Формулата също се използва често , което е удобно за намиране на логаритмични стойности. За да потвърдим думите си, ще покажем как може да се използва за изчисляване на стойността на логаритъм от формата . Имаме . За доказване на формулата достатъчно е да използвате формулата за преход към нова основа на логаритъма a: .

Остава да се докажат свойствата на сравнение на логаритми.

Нека докажем, че за всякакви положителни числа b 1 и b 2, b 1 log a b 2 , а при a>1 – неравенството log a b 1

Накрая остава да докажем последното от изброените свойства на логаритмите. Нека се ограничим до доказателството на първата му част, тоест ще докажем, че ако a 1 >1, a 2 >1 и a 1 1 е вярно log a 1 b>log a 2 b . Останалите твърдения на това свойство на логаритмите се доказват по подобен принцип.

Нека използваме обратния метод. Да предположим, че за a 1 >1, a 2 >1 и a 1 1 е вярно log a 1 b≤log a 2 b . Въз основа на свойствата на логаритмите, тези неравенства могат да бъдат пренаписани като И съответно и от тях следва, че log b a 1 ≤log b a 2 и съответно log b a 1 ≥log b a 2. Тогава, според свойствата на степените с еднакви основи, трябва да са валидни равенствата b log b a 1 ≥b log b a 2 и b log b a 1 ≥b log b a 2, тоест a 1 ≥a 2 . Така че стигнахме до противоречие с условието a 1

Референции.

• Колмогоров A.N., Абрамов A.M., Дудницин Ю.П. и др.. Алгебра и началото на анализа: Учебник за 10 - 11 клас на общообразователните институции.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (наръчник за постъпващите в техникуми).

Следва от определението му. И така, логаритъма на числото bвъз основа на Асе дефинира като степенна степен, до която трябва да се повдигне число аза да получите номера b(логаритъм съществува само за положителни числа).

От тази формулировка следва, че изчислението x=log a b, е еквивалентно на решаването на уравнението a x =b.например, log 2 8 = 3защото 8 = 2 3 . Формулировката на логаритъма дава възможност да се обоснове, че ако b=a c, след това логаритъма на числото bвъз основа на аравни с. Също така е ясно, че темата за логаритмите е тясно свързана с темата за степените на числото.

С логаритми, както с всички числа, можете да направите операции събиране, изважданеи трансформирайте по всякакъв възможен начин. Но поради факта, че логаритмите не са съвсем обикновени числа, тук се прилагат техните собствени специални правила, които се наричат основни свойства.

Събиране и изваждане на логаритми.

Нека вземем два логаритма с еднакви основи: лог a xИ log a y. Тогава е възможно да се извършват операции събиране и изваждане:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

дневник a(х 1 . х 2 . х 3 ... x k) = лог a x 1 + лог a x 2 + лог a x 3 + ... + log a x k.

от теорема за коефициент на логаритъмМоже да се получи още едно свойство на логаритъма. Общоизвестно е, че лог а 1= 0, следователно

дневник а 1 /b=дневник а 1 - дневник а б= -дневник а б.

Това означава, че има равенство:

log a 1 / b = - log a b.

Логаритми на две реципрочни числапо същата причина ще се различават един от друг само по знак. Така че:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Задачи, чието решение е преобразуване на логаритмични изрази, доста често срещан на Единния държавен изпит.

За да се справите успешно с тях с минимално време, освен основните логаритмични тъждества, трябва да знаете и правилно да използвате още някои формули.

Това е: a log a b = b, където a, b > 0, a ≠ 1 (Следва директно от дефиницията на логаритъма).

log a b = log c b / log c a или log a b = 1/log b a
където a, b, c > 0; a, c ≠ 1.

log a m b n = (m/n) log |a| |b|
където a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.

a log c b = b log c a
където a, b, c > 0 и a, b, c ≠ 1

За да покажем валидността на четвъртото равенство, нека вземем логаритъма на лявата и дясната страна при основа а. Получаваме log a (a log с b) = log a (b log с a) или log with b = log with a · log a b; log c b = log c a · (log c b / log c a); дневник с b = дневник с b.

Доказахме равенството на логаритмите, което означава, че изразите под логаритмите също са равни. Формула 4 е доказана.

Пример 1.

Изчислете 81 log 27 5 log 5 4 .

Решение.

81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. Следователно,

log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.

Тогава 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.

Можете сами да изпълните следната задача.

Изчислете (8 log 2 3 + 3 1/ log 2 3) - log 0,2 5.

Като намек, 0,2 = 1/5 = 5 -1; log 0,2 5 = -1.

Отговор: 5.

Пример 2.

Изчислете (√11) дневник √3 9- дневник 121 81 .

Решение.

Нека променим изразите: 9 = 3 2, √3 = 3 1/2, log √3 9 = 4,

121 = 11 2, 81 = 3 4, log 121 81 = 2 log 11 3 (използвана е формула 3).

Тогава (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 log 11 3) = 121/3.

Пример 3.

Изчислете log 2 24 / log 96 2 - log 2 192 / log 12 2.

Решение.

Заменяме логаритмите, съдържащи се в примера, с логаритми с основа 2.

log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);

log 2 192 = log 2 (2 6 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);

log 2 24 = log 2 (2 3 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);

log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).

Тогава log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + log 2 3)) =

= (3 + log 2 3) · (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3)(2 + log 2 3).

След като отворим скобите и приведем подобни членове, получаваме числото 3. (Когато опростяваме израза, можем да означим log 2 3 с n и да опростим израза

(3 + n) · (5 + n) – (6 + n)(2 + n)).

Отговор: 3.

Можете сами да изпълните следната задача:

Изчислете (log 3 4 + log 4 3 + 2) log 3 16 log 2 144 3.

Тук е необходимо да се направи преход към логаритми с основа 3 и разлагане на големи числа на прости множители.

Отговор: 1/2

Пример 4.

Дадени са три числа A = 1/(log 3 0,5), B = 1/(log 0,5 3), C = log 0,5 12 – log 0,5 3. Подредете ги във възходящ ред.

Решение.

Нека трансформираме числата A = 1/(log 3 0,5) = log 0,5 3; C = log 0,5 12 – log 0,5 3 = log 0,5 12/3 = log 0,5 4 = -2.

Нека ги сравним

log 0,5 3 > log 0,5 4 = -2 и log 0,5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.

Или -2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.

отговор. Следователно редът на поставяне на числата е: C; А; IN.

Пример 5.

Колко цели числа има в интервала (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48).

Решение.

Нека определим между кои степени на числото 3 се намира числото 1/16. Получаваме 1/27< 1 / 16 < 1 / 9 .

Тъй като функцията y = log 3 x нараства, тогава log 3 (1/27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.

log 6 48 = log 6 (36 4 / 3) = log 6 36 + log 6 (4 / 3) = 2 + log 6 (4 / 3). Нека сравним дневник 6 (4/3) и 1/5. И за това сравняваме числата 4/3 и 6 1/5. Нека повдигнем и двете числа на 5-та степен. Получаваме (4 / 3) 5 = 1024 / 243 = 4 52 / 243< 6. Следовательно,

дневник 6 (4 / 3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.

Следователно интервалът (log 3 1 / 16; log 6 48) включва интервала [-2; 4] и върху него са поставени целите числа -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.

Отговор: 7 цели числа.

Пример 6.

Изчислете 3 lglg 2/ lg 3 - lg20.

Решение.

3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lо g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.

Тогава 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 – lg 20 = lg 0,1 = -1.

Отговор: -1.

Пример 7.

Известно е, че log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 – 2) = A. Намерете log 2 (√3 –1) + log 2 (√6 + 2).

Решение.

Числа (√3 + 1) и (√3 – 1); (√6 – 2) и (√6 + 2) са спрегнати.

Нека извършим следната трансформация на изрази

√3 – 1 = (√3 – 1) · (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);

√6 + 2 = (√6 + 2) · (√6 – 2)) / (√6 – 2) = 2/(√6 – 2).

Тогава log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =

Log 2 2 – log 2 (√3 + 1) + log 2 2 – log 2 (√6 – 2) = 1 – log 2 (√3 + 1) + 1 – log 2 (√6 – 2) =

2 – log 2 (√3 + 1) – log 2 (√6 – 2) = 2 – A.

Отговор: 2 – А.

Пример 8.

Опростете и намерете приблизителната стойност на израза (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.

Решение.

Нека намалим всички логаритми до обща основа 10.

(log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9 = (lg 2 / lg 3) (lg 3 / lg 4) (lg 4 / lg 5) (lg 5 / lg 6) · … · (lg 8 / lg 9) · lg 9 = lg 2 ≈ 0,3010 (Приблизителната стойност на lg 2 може да се намери с помощта на таблица, логарифмична линейка или калкулатор).

Отговор: 0,3010.

Пример 9.

Изчислете log a 2 b 3 √(a 11 b -3), ако log √ a b 3 = 1. (В този пример a 2 b 3 е основата на логаритъма).

Решение.

Ако log √ a b 3 = 1, тогава 3/(0,5 log a b = 1. И log a b = 1/6.

Тогава log a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log a a 11 + log a b -3) / (2(log a a 2 + log a b 3)) = (11 – 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) Като се има предвид, че този log a b = 1/ 6 получаваме (11 – 3 1 / 6) / (2(2 + 3 1 / 6)) = 10,5/5 = 2,1.

Отговор: 2.1.

Можете сами да изпълните следната задача:

Изчислете log √3 6 √2.1, ако log 0.7 27 = a.

Отговор: (3 + a) / (3a).

Пример 10.

Изчислете 6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log125.

Решение.

6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 · 3 2/ log 2 13 + 2 log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = ( 3 2 /(2 log 13 3) 2) · (2 ​​​​log 13 3) 2 + 6.

(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (формула 4))

Получаваме 9 + 6 = 15.

Отговор: 15.

Все още имате въпроси? Не сте сигурни как да намерите стойността на логаритмичен израз?
За да получите помощ от учител -.
Първият урок е безплатен!

blog.site, при пълно или частично копиране на материал е необходима връзка към първоизточника.