Реални числа, определение, примери. Числа. Реални числа са реални, но не и рационални примери

Естествените числа се дефинират като положителни цели числа. Естествените числа се използват за броене на обекти и за много други цели. Това са числата:

Това е естествена поредица от числа.
Нулата естествено число ли е? Не, нулата не е естествено число.
Колко естествени числасъществува? Има безкраен брой естествени числа.
Кое е най-малкото естествено число? Едно е най-малкото естествено число.
Кое е най-голямото естествено число? Невъзможно е да се уточни, защото има безкраен брой естествени числа.

Сборът от естествените числа е естествено число. И така, добавяйки естествените числа a и b:

Произведението на естествените числа е естествено число. И така, произведението на естествените числа a и b:

c винаги е естествено число.

Разлика на естествените числа Не винаги има естествено число. Ако умаляваното е по-голямо от изважданото, тогава разликата на естествените числа е естествено число, в противен случай не е.

Частното на естествените числа не винаги е естествено число. Ако за естествени числа a и b

където c е естествено число, това означава, че a се дели на b. В този пример a е дивидент, b е делител, c е частно.

Делителят на естествено число е естествено число, което се дели на първото число.

Всяко естествено число се дели на единица и на себе си.

Простите естествени числа се делят само на единица и себе си. Тук имаме предвид разделени изцяло. Пример, числа 2; 3; 5; 7 се дели само на единица и себе си. Това са прости естествени числа.

Едно не се счита за просто число.

Числата, които са по-големи от едно и които не са прости, се наричат ​​съставни числа. Примери за съставни числа:

Едно не се счита за съставно число.

Множеството от естествени числа е едно, прости числаи съставни числа.

Означава се множеството от естествени числа латиницаН.

Свойства на събиране и умножение на естествени числа:

комутативно свойство на събирането

асоциативно свойство на добавяне

(a + b) + c = a + (b + c);

комутативно свойство на умножението

асоциативно свойство на умножението

(ab) c = a (bc);

разпределително свойство на умножението

a (b + c) = ab + ac;

Цели числа

Целите числа са естествените числа, нулата и противоположните на естествените числа.

Обратното на естествените числа са отрицателните цели числа, например:

1; -2; -3; -4;…

Множеството от цели числа се обозначава с латинската буква Z.

Рационални числа

Рационалните числа са цели числа и дроби.

Всяко рационално число може да бъде представено като периодична дроб. Примери:

1,(0); 3,(6); 0,(0);…

От примерите става ясно, че всяко цяло число е периодична дроб с период нула.

Всяко рационално число може да бъде представено като дроб m/n, където m цяло число, nестествено число. Нека представим числото 3,(6) от предишния пример под формата на такава дроб:

Друг пример: рационалното число 9 може да бъде представено като проста дроб като 18/2 или като 36/4.

Друг пример: рационалното число -9 може да бъде представено като проста дроб като -18/2 или като -72/8.

Тази статия съдържа основна информация за реални числа. Първо даваме дефиницията на реални числа и даваме примери. Следното показва позицията на реални числа върху координатната линия. И в заключение, разглеждаме как реалните числа са дадени под формата на числови изрази.

Навигация в страницата.

Определение и примери за реални числа

Реални числа като израз

От определението за реални числа става ясно, че реалните числа са:

• всяко естествено число;
• всяко цяло число;
• всяка обикновена дроб (както положителна, така и отрицателна);
• всяко смесено число;
• всяка десетична дроб (положителна, отрицателна, крайна, безкрайна периодична, безкрайна непериодична).

Но много често реални числа могат да се видят във формата и т.н. Освен това сборът, разликата, произведението и частното на реални числа също са реални числа (вижте операции с реални числа). Например, това са реални числа.

И ако отидем по-нататък, тогава от реални числа с помощта на аритметични знаци, коренни знаци, степени, логаритмични, тригонометрични функции и т.н. Можете да правите всякакви числени изрази, чиито стойности също ще бъдат реални числа. Например значенията на изразите И има реални числа.

В заключение на тази статия отбелязваме, че следващият етап в разширяването на понятието число е преходът от реални числа към комплексни числа.

Библиография.

• Виленкин Н.Я. и други. 6 клас: учебник за общообразователните институции.
• Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 8. клас. образователни институции.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (наръчник за постъпващите в технически училища).

Авторско право от cleverstudents

Всички права запазени.
Защитен от закона за авторското право. Никаква част от сайта, включително вътрешни материалиИ външен дизайн, не могат да бъдат възпроизвеждани под никаква форма или използвани без предварителното писмено разрешение на притежателя на авторските права.

Концепцията за реално число: реално число- (реално число), всяко неотрицателно или отрицателно число или нула. Реалните числа се използват за изразяване на измерванията на всеки физическо количество.

истински, или реално числовъзникна от необходимостта да се измерват геометричните и физическите величини на света. В допълнение, за извършване на операции за извличане на корен, изчисляване на логаритъм, решение алгебрични уравненияи т.н.

Цели числаформирани с развитието на броенето и рационални с необходимостта да се управляват части от цялото, тогава реални числа (реални) се използват за измервания непрекъснати количества. По този начин разширяването на запаса от числа, които се разглеждат, доведе до набор от реални числа, който освен рационални числа се състои от други елементи, т.нар. ирационални числа.

Набор от реални числа(означено Р) са набори от рационални и ирационални числа, събрани заедно.

Реални числа, разделени нарационаленИ ирационален.

Множеството от реални числа се обозначава и често се нарича истинскиили числова линия. Реалните числа се състоят от прости обекти: цялоИ рационални числа.

Число, което може да бъде записано като отношение, къдетоме цяло число и н- естествено число, ерационално число.

Всяко рационално число може лесно да бъде представено като крайна фракцияили безкрайна периодична десетична дроб.

Пример,

Безкраен десетичен знак, е десетична дроб, която има безкраен брой цифри след десетичната запетая.

Числата, които не могат да бъдат представени във формата, са ir рационални числа .

Пример:

Всяко ирационално число може лесно да бъде представено като безкрайна непериодична десетична дроб.

Пример,

Рационалните и ирационалните числа създават набор от реални числа.Всички реални числа съответстват на една точка от координатната права, която се нарича числова линия.

За числови набори се използва следната нотация:

• н- набор от естествени числа;
• З- набор от цели числа;
• Q- набор от рационални числа;
• Р- набор от реални числа.

Теория на безкрайните десетични дроби.

Реално число се определя като безкраен десетичен знак, т.е.:

±a 0 ,a 1 a 2 …a n …

където ± е един от символите + или −, числов знак,

0 е положително цяло число,

a 1 ,a 2 ,…a n ,… е поредица от десетични знаци, т.е. елементи на числово множество {0,1,…9}.

Безкрайна десетична дроб може да се обясни като число, което се намира между рационални точки на числовата ос като:

±a 0 ,a 1 a 2 …a nИ ±(a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n)за всички n=0,1,2,...

Сравнението на реални числа като безкрайни десетични дроби се извършва по места. Например, да предположим, че са ни дадени 2 положителни числа:

α =+a 0 ,a 1 a 2 …a n …

β =+b 0 ,b 1 b 2 …b n …

Ако а 0 0,Че α<β ; Ако a 0 > b 0Че α>β . Кога a 0 = b 0Да преминем към сравнението на следващата категория. и т.н. Кога α≠β , което означава, че след краен брой стъпки ще се срещне първата цифра н, така че a n ≠b n. Ако a n n, Че α<β ; Ако a n >b nЧе α>β .

Но е досадно да се обръща внимание на факта, че броят a 0 ,a 1 a 2 …a n (9)=a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n .Следователно, ако записът на едно от сравняваните числа, започвайки от определена цифра, е периодична десетична дроб с 9 в периода, то той трябва да бъде заменен с еквивалентен запис с нула в периода.

Аритметични операции с безкрайни числа десетични знацито е непрекъснато продължение на съответните операции с рационални числа. Например, сумата от реални числа α И β е реално число α+β , който отговаря на следните условия:

∀ a′,a′′,b′,b′′∈ Q(a′⩽ α ⩽ а′′)∧ (b′⩽ β ⩽ б′′)⇒ (a′+b′⩽ α + β ⩽ а′′+б′′)

Операцията се определя по подобен начин умножениебезкрайни десетични знаци.