Как се решават уравнения с естествени логаритми. Логаритмични уравнения

Днес ще научим как да решим най-простия логаритмични уравнения, където не са необходими предварителни трансформации и избор на корен. Но ако се научите да решавате такива уравнения, тогава ще бъде много по-лесно.

Най-простото логаритмично уравнение е уравнение под формата log a f (x) = b, където a, b са числа (a > 0, a ≠ 1), f (x) е определена функция.

Отличителна черта на всички логаритмични уравнения е наличието на променливата x под знака на логаритъма. Ако това е уравнението, дадено първоначално в задачата, то се нарича най-простото. Всички други логаритмични уравнения се свеждат до най-простите чрез специални трансформации (вижте „Основни свойства на логаритмите“). Трябва обаче да се вземат предвид много тънкости: могат да възникнат допълнителни корени, така че сложните логаритмични уравнения ще бъдат разгледани отделно.

Как се решават такива уравнения? Достатъчно е да замените числото отдясно на знака за равенство с логаритъм в същата основа като отляво. Тогава можете да се отървете от знака на логаритъма. Получаваме:

log a f (x) = b ⇒ log a f (x) = log a a b ⇒ f (x) = a b

Получихме обичайното уравнение. Неговите корени са корените на първоначалното уравнение.

Изваждане на степени

Често логаритмичните уравнения, които външно изглеждат сложни и заплашителни, се решават само в няколко реда, без да включват сложни формули. Днес ще разгледаме точно такива задачи, при които всичко, което се изисква от вас, е внимателно да редуцирате формулата до каноничната форма и да не се обърквате, когато търсите областта на дефиниране на логаритми.

Днес, както вероятно се досещате от заглавието, ще решаваме логаритмични уравнения, използвайки формули за преход към каноничната форма. Основният „трик“ на този видео урок ще бъде работата със степени или по-скоро извеждането на степента от основата и аргумента. Нека да разгледаме правилото:

По същия начин можете да извлечете степента от основата:

Както можем да видим, ако, когато премахваме степента от аргумента логаритъм, просто имаме допълнителен множителотпред, то при премахване на степента от основата - не просто множител, а обърнат множител. Това трябва да се помни.

И накрая, най-интересното. Тези формули могат да се комбинират, тогава получаваме:

Разбира се, при извършването на тези преходи има определени клопки, свързани с възможното разширяване на обхвата на дефиницията или, обратно, стесняване на обхвата на дефиницията. Преценете сами:

log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 x

Ако в първия случай x може да бъде всяко число, различно от 0, т.е. изискването x ≠ 0, то във втория случай се задоволяваме само с x, които не само не са равни, но са строго по-големи от 0, тъй като домейнът на дефиницията на логаритъма е аргументът да е строго по-голям от 0. Затова ще ви припомня една чудесна формула от курса по алгебра за 8-9 клас:

Тоест трябва да напишем нашата формула, както следва:

log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 |x |

Тогава няма да настъпи стесняване на обхвата на дефиницията.

В днешния видео урок обаче няма да има квадрати. Ако погледнете нашите задачи, ще видите само корените. Затова няма да прилагаме това правило, но все пак трябва да го имате предвид, така че в подходящия момент, когато видите квадратична функцияв аргумент или основа на логаритъм, ще запомните това правило и ще извършите всички трансформации правилно.

Така че първото уравнение е:

За да разрешите този проблем, предлагам внимателно да разгледаме всеки от термините, присъстващи във формулата.

Нека пренапишем първия член като степен с рационален показател:

Разглеждаме втория член: log 3 (1 − x). Тук няма нужда да правите нищо, всичко вече е трансформирано тук.

И накрая, 0, 5. Както казах в предишните уроци, когато решавате логаритмични уравнения и формули, силно препоръчвам да преминете от десетични дроби към обикновени. Нека направим това:

0,5 = 5/10 = 1/2

Нека пренапишем нашата оригинална формула, като вземем предвид получените условия:

log 3 (1 − x ) = 1

Сега да преминем към каноничната форма:

log 3 (1 − x ) = log 3 3

Отърваваме се от знака за логаритъм, като приравняваме аргументите:

1 − x = 3

−x = 2

x = −2

Това е, решихме уравнението. Все пак нека да играем на сигурно и да намерим домейна на дефиницията. За да направите това, нека се върнем към оригиналната формула и да видим:

1 − x > 0

−x > −1

х< 1

Нашият корен x = −2 удовлетворява това изискване, следователно x = −2 е решение на първоначалното уравнение. Сега получихме строга, ясна обосновка. Това е, проблемът е решен.

Да преминем към втората задача:

Нека разгледаме всеки термин поотделно.

Нека напишем първото:

Преобразувахме първия член. Работим с втори термин:

И накрая, последният член, който е вдясно от знака за равенство:

Заместваме получените изрази вместо термините в получената формула:

log 3 x = 1

Да преминем към каноничната форма:

log 3 x = log 3 3

Отърваваме се от знака за логаритъм, приравнявайки аргументите, и получаваме:

х = 3

Отново, само за по-сигурно, нека се върнем към първоначалното уравнение и да погледнем. В оригиналната формула променливата x присъства само в аргумента, следователно,

x > 0

Във втория логаритъм x е под корена, но отново в аргумента, следователно коренът трябва да е по-голям от 0, т.е. радикалният израз трябва да е по-голям от 0. Гледаме нашия корен x = 3. Очевидно е, че удовлетворява това изискване. Следователно x = 3 е решение на първоначалното логаритмично уравнение. Това е, проблемът е решен.

Има две ключови точки в днешния видео урок:

1) не се страхувайте да преобразувате логаритми и по-специално не се страхувайте да изваждате степени от знака на логаритъма, като същевременно помните нашата основна формула: когато премахвате степен от аргумент, тя просто се изважда без промени като множител, а при премахване на степен от основата тази степен се обръща.

2) втората точка е свързана със самата канонична форма. Направихме прехода към каноничната форма в самия край на преобразуването на формулата на логаритмичното уравнение. Нека ви напомня следната формула:

a = log b b a

Разбира се, под израза „всяко число b“ имам предвид тези числа, които отговарят на изискванията, наложени на основата на логаритъма, т.е.

1 ≠ b > 0

За такова b и тъй като вече знаем основата, това изискване ще бъде изпълнено автоматично. Но за такова b - всяко, което удовлетворява това изискване - този преход може да бъде извършен и ще получим канонична форма, в която можем да се отървем от знака на логаритъма.

Разширяване на домейна на дефиниция и допълнителни корени

В процеса на преобразуване на логаритмични уравнения може да възникне имплицитно разширяване на областта на дефиниция. Често учениците дори не забелязват това, което води до грешки и неправилни отговори.

Нека започнем с най-простите дизайни. Най-простото логаритмично уравнение е следното:

log a f (x) = b

Обърнете внимание, че x присъства само в един аргумент от един логаритъм. Как решаваме такива уравнения? Използваме каноничната форма. За да направите това, представете си числото b = log a a b и нашето уравнение ще бъде пренаписано, както следва:

log a f (x) = log a a b

Този запис се нарича канонична форма. Именно до това трябва да сведете всяко логаритмично уравнение, което ще срещнете не само в днешния урок, но и във всяка самостоятелна и контролна работа.

Как да стигнем до каноничната форма и какви техники да използваме е въпрос на практика. Основното нещо, което трябва да разберете, е, че веднага щом получите такъв запис, можете да считате проблема за разрешен. Защото следващата стъпка е да напишете:

f (x) = a b

С други думи, ние се отърваваме от знака за логаритъм и просто приравняваме аргументите.

Защо всички тези приказки? Факт е, че каноничната форма е приложима не само към най-простите проблеми, но и към всякакви други. По-специално тези, които ще решим днес. да видим

Първа задача:

Какъв е проблемът с това уравнение? Факт е, че функцията е в два логаритма наведнъж. Проблемът може да бъде сведен до най-простия си вид, като просто извадите един логаритъм от друг. Но възникват проблеми с областта на дефиницията: могат да се появят допълнителни корени. Нека просто преместим един от логаритмите надясно:

Този запис е много по-подобен на каноничната форма. Но има още един нюанс: в каноничната форма аргументите трябва да са еднакви. И отляво имаме логаритъма при основа 3, а отдясно при основа 1/3. Той знае, че тези бази трябва да бъдат доведени до една и съща бройка. Например, нека си спомним какви са отрицателните сили:

И тогава ще използваме експонентата „−1“ извън дневника като множител:

Моля, обърнете внимание: степента, която е била в основата, се обръща и се превръща в дроб. Получихме почти канонична нотация, като се отървахме от различни бази, но в замяна получихме фактора „−1“ отдясно. Нека включим този фактор в аргумента, като го превърнем в степен:

Разбира се, след като получихме каноничната форма, ние смело зачеркваме знака на логаритъма и приравняваме аргументите. В същото време нека ви напомня, че когато се повдигне на степен „−1“, фракцията просто се обръща - получава се пропорция.

Нека използваме основното свойство на пропорцията и го умножим на кръст:

(x − 4) (2x − 1) = (x − 5) (3x − 4)

2x 2 − x − 8x + 4 = 3x 2 − 4x − 15x + 20

2x 2 − 9x + 4 = 3x 2 − 19x + 20

x 2 − 10x + 16 = 0

Това, което имаме пред нас е квадратно уравнение, така че го решаваме с помощта на формулите на Vieta:

(x − 8)(x − 2) = 0

x 1 = 8; х 2 = 2

Това е. Мислите ли, че уравнението е решено? не! За такова решение ще получим 0 точки, тъй като оригиналното уравнение съдържа два логаритма с променливата x. Следователно е необходимо да се вземе предвид областта на дефиницията.

И тук започва забавлението. Повечето ученици са объркани: каква е областта на дефиниране на логаритъм? Разбира се, всички аргументи (имаме два) трябва да са по-големи от нула:

(x − 4)/(3x − 4) > 0

(x − 5)/(2x − 1) > 0

Всяко от тези неравенства трябва да се реши, да се маркира на права линия, да се пресече и едва тогава да се види кои корени лежат в пресечката.

Ще бъда честен: тази техника има право на съществуване, надеждна е и ще получите правилния отговор, но в нея има твърде много ненужни стъпки. Така че нека да преминем през нашето решение отново и да видим: къде точно трябва да приложим обхвата? С други думи, трябва ясно да разберете кога точно се появяват допълнителни корени.

1. Първоначално имахме два логаритма. След това преместихме един от тях надясно, но това не повлия на дефиниционната зона.
2. След това премахваме степента от основата, но все още има два логаритъма и във всеки от тях има променлива x.
3. Накрая задраскваме знаците на log и получаваме класическото дробно рационално уравнение.

На последната стъпка обхватът на дефиницията се разширява! Веднага щом преминахме към дробно-рационално уравнение, отървавайки се от логаритмичните знаци, изискванията за променливата x се промениха драматично!

Следователно областта на дефиницията може да се разглежда не в самото начало на решението, а само на споменатата стъпка - преди директно приравняване на аргументите.

Тук се крие възможността за оптимизация. От една страна, от нас се изисква и двата аргумента да са по-големи от нула. От друга страна, ние допълнително приравняваме тези аргументи. Следователно, ако поне един от тях е положителен, то вторият също ще бъде положителен!

Така се оказва, че изискването две неравенства да бъдат изпълнени едновременно е пресилено. Достатъчно е да разгледаме само една от тези дроби. Коя точно? Този, който е по-прост. Например, нека разгледаме дясната дроб:

(x − 5)/(2x − 1) > 0

Това е типично дробно рационално неравенство, като се използва методът на интервала:

Как да поставите табели? Нека вземем число, което очевидно е по-голямо от всички наши корени. Например, 1 милиард и заместваме неговата част. Получаваме положително число, т.е. вдясно от корена x = 5 ще има знак плюс.

След това знаците се редуват, защото никъде няма корени с четна кратност. Интересуваме се от интервали, където функцията е положителна. Следователно x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞).

Сега нека си припомним отговорите: x = 8 и x = 2. Строго погледнато, това все още не са отговори, а само кандидати за отговор. Кое от тях принадлежи на посочения набор? Разбира се, x = 8. Но x = 2 не ни подхожда от гледна точка на неговата област на дефиниране.

Общо отговорът на първото логаритмично уравнение ще бъде x = 8. Сега имаме компетентно, добре обосновано решение, като вземем предвид областта на дефиницията.

Да преминем към второто уравнение:

log 5 (x − 9) = log 0,5 4 − log 5 (x − 5) + 3

Нека ви напомня, че ако има десетична дроб в уравнението, тогава трябва да се отървете от нея. С други думи, нека пренапишем 0,5 като обикновена дроб. Веднага забелязваме, че логаритъма, съдържащ тази основа, се изчислява лесно:

Това е много важен момент! Когато имаме степени както в основата, така и в аргумента, можем да извлечем индикаторите на тези степени, като използваме формулата:

Нека се върнем към нашето първоначално логаритмично уравнение и го пренапишем:

log 5 (x − 9) = 1 − log 5 (x − 5)

Получихме дизайн, доста близък до каноничната форма. Ние обаче сме объркани от термините и знака минус вдясно от знака за равенство. Нека представим едно като логаритъм при основа 5:

log 5 (x − 9) = log 5 5 1 − log 5 (x − 5)

Извадете логаритмите отдясно (в този случай техните аргументи са разделени):

log 5 (x − 9) = log 5 5/(x − 5)

Прекрасно. Така че получихме каноничната форма! Зачеркваме знаците на дневника и приравняваме аргументите:

(x − 9)/1 = 5/(x − 5)

Това е пропорция, която може лесно да се реши чрез умножение на кръст:

(x − 9)(x − 5) = 5 1

x 2 − 9x − 5x + 45 = 5

x 2 − 14x + 40 = 0

Очевидно имаме редуцирано квадратно уравнение. Може лесно да се реши с помощта на формулите на Vieta:

(x − 10)(x − 4) = 0

х 1 = 10

х 2 = 4

Имаме два корена. Но това не са окончателни отговори, а само кандидати, тъй като логаритмичното уравнение също изисква проверка на домейна на дефиниция.

Напомням ви: няма нужда да търсите кога всекиот аргументите ще бъде по-голямо от нула. Достатъчно е да се изисква един аргумент - или x − 9 или 5/(x − 5) - да е по-голям от нула. Помислете за първия аргумент:

x − 9 > 0

х > 9

Очевидно само x = 10 удовлетворява това изискване. Това е окончателният отговор. Целият проблем е решен.

Още веднъж ключовите мисли на днешния урок:

1. Веднага щом променливата x се появи в няколко логаритма, уравнението престава да бъде елементарно и неговата област на дефиниция трябва да бъде изчислена. В противен случай можете лесно да напишете допълнителни корени в отговора.
2. Работата със самия домейн може значително да се опрости, ако изпишем неравенството не веднага, а точно в момента, в който се отървем от знаците на журнала. В крайна сметка, когато аргументите се приравняват помежду си, достатъчно е да се изисква само един от тях да е по-голям от нула.

Разбира се, ние сами избираме с кой аргумент да образуваме неравенство, така че е логично да изберем най-простия. Например, във второто уравнение избрахме аргумента (x − 9), линейна функция, за разлика от дробния рационален втори аргумент. Съгласете се, решаването на неравенството x − 9 > 0 е много по-лесно от 5/(x − 5) > 0. Въпреки че резултатът е същият.

Тази забележка значително опростява търсенето на ODZ, но внимавайте: можете да използвате едно неравенство вместо две само ако аргументите са точно са равни помежду си!

Разбира се, сега някой ще попита: какво се случва по различен начин? Да, случва се. Например, в самата стъпка, когато умножаваме два аргумента, съдържащи променлива, има опасност да се появят ненужни корени.

Преценете сами: първо се изисква всеки от аргументите да е по-голям от нула, но след умножението е достатъчно произведението им да е по-голямо от нула. В резултат на това се пропуска случаят, когато всяка от тези дроби е отрицателна.

Ето защо, ако тепърва започвате да разбирате сложни логаритмични уравнения, при никакви обстоятелства не умножавайте логаритми, съдържащи променливата x - това твърде често ще доведе до появата на допълнителни корени. По-добре е да направите една допълнителна стъпка, да преместите един термин от другата страна и да създадете канонична форма.

Е, какво да направите, ако не можете да умножите такива логаритми, ще обсъдим в следващия видео урок :)

Още веднъж за степените в уравнението

Днес ще разгледаме една доста хлъзгава тема относно логаритмичните уравнения или по-точно премахването на степените от аргументите и основите на логаритмите.

Дори бих казал ще говоримотносно премахването на четните степени, защото именно с четните степени възникват повечето трудности при решаването на реални логаритмични уравнения.

Да започнем с каноничната форма. Да кажем, че имаме уравнение от формата log a f (x) = b. В този случай пренаписваме числото b, използвайки формулата b = log a a b . Оказва се следното:

log a f (x) = log a a b

След това приравняваме аргументите:

f (x) = a b

Предпоследната формула се нарича канонична форма. Именно до това се опитват да сведат всяко логаритмично уравнение, колкото и сложно и страшно да изглежда на пръв поглед.

Така че нека опитаме. Да започнем с първата задача:

Предварителна бележка: както казах, всичко десетични знацив логаритмично уравнение е по-добре да го преобразувате в обикновени:

0,5 = 5/10 = 1/2

Нека пренапишем нашето уравнение, като вземем предвид този факт. Обърнете внимание, че както 1/1000, така и 100 са степени на десет, а след това нека извадим степени, където и да са: от аргументи и дори от основата на логаритмите:

И тук много студенти имат въпрос: „Откъде идва модулът вдясно?“ Наистина, защо просто не напишем (x − 1)? Разбира се, сега ще запишем (x − 1), но отчитането на домейна на дефиниция ни дава право на такова означение. В крайна сметка друг логаритъм вече съдържа (x − 1) и този израз трябва да е по-голям от нула.

Но когато премахнем квадрата от основата на логаритъма, трябва да оставим точно модула в основата. Нека обясня защо.

Факт е, че от математическа гледна точка вземането на степен е равносилно на вземане на корен. По-специално, когато повдигаме на квадрат израза (x − 1) 2, ние по същество вземаме втория корен. Но квадратният корен не е нищо повече от модул. точно така модул, защото дори ако изразът x − 1 е отрицателен, когато се повдигне на квадрат, „минусът“ пак ще изгори. По-нататъшното извличане на корена ще ни даде положително число - без никакви минуси.

Като цяло, за да избегнете обидни грешки, запомнете веднъж завинаги:

Коренът на четната степен на всяка функция, която е повдигната на същата степен, е равен не на самата функция, а на нейния модул:

Нека се върнем към нашето логаритмично уравнение. Говорейки за модула, твърдя, че можем да го премахнем безболезнено. Това е вярно. Сега ще обясня защо. Строго погледнато, трябваше да разгледаме две възможности:

1. x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = x − 1
2. x − 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

Всяка от тези опции трябва да бъде разгледана. Но има една уловка: оригиналната формула вече съдържа функцията (x − 1) без никакъв модул. И следвайки областта на дефиниране на логаритмите, имаме право веднага да напишем, че x − 1 > 0.

Това изискване трябва да бъде изпълнено независимо от всички модули и други трансформации, които извършваме в процеса на решение. Следователно няма смисъл да се обмисля вторият вариант - той никога няма да възникне. Дори да получим някои числа при решаването на този клон на неравенството, те пак няма да бъдат включени в крайния отговор.

Сега сме буквално на една крачка от каноничната форма на логаритмичното уравнение. Нека представим единицата по следния начин:

1 = log x − 1 (x − 1) 1

Освен това въвеждаме фактора −4, който е отдясно, в аргумента:

log x − 1 10 −4 = log x − 1 (x − 1)

Пред нас е каноничната форма на логаритмичното уравнение. Отърваваме се от знака за логаритъм:

10 −4 = x − 1

Но тъй като основата беше функция (а не просто число), ние допълнително изискваме тази функция да е по-голяма от нула, а не равна на единица. Получената система ще бъде:

Тъй като изискването x − 1 > 0 се изпълнява автоматично (все пак x − 1 = 10 −4), едно от неравенствата може да бъде изтрито от нашата система. Второто условие също може да бъде зачеркнато, защото x − 1 = 0,0001< 1. Итого получаем:

х = 1 + 0,0001 = 1,0001

Това е единственият корен, който автоматично удовлетворява всички изисквания на областта на дефиниране на логаритъма (въпреки това всички изисквания бяха елиминирани като очевидно изпълнени в условията на нашата задача).

И така, второто уравнение:

3 log 3 x x = 2 log 9 x x 2

Как това уравнение е фундаментално различно от предишното? Макар и само защото основите на логаритмите - 3x и 9x - не са естествени степени една на друга. Следователно преходът, който използвахме в предишното решение, не е възможен.

Да махнем поне градусите. В нашия случай единствената степен е във втория аргумент:

3 log 3 x x = 2 ∙ 2 log 9 x |x |

Знакът за модул обаче може да бъде премахнат, тъй като променливата x също е в основата, т.е. x > 0 ⇒ |x| = х. Нека пренапишем нашето логаритмично уравнение:

3 log 3 x x = 4 log 9 x x

Получихме логаритми, в които аргументите са еднакви, но различни причини. Какво да правя след това? Тук има много опции, но ние ще разгледаме само две от тях, които са най-логичните и най-важното е, че това са бързи и разбираеми техники за повечето ученици.

Вече разгледахме първия вариант: във всяка неясна ситуация преобразувайте логаритми с променлива основа в някаква постоянна основа. Например до двойка. Формулата за преход е проста:

Разбира се, ролята на променлива c трябва да бъде нормално число: 1 ≠ c > 0. Нека в нашия случай c = 2. Сега имаме пред нас обикновено дробно рационално уравнение. Събираме всички елементи отляво:

Очевидно е по-добре да премахнете коефициента log 2 x, тъй като той присъства както в първата, така и във втората фракция.

log 2 x = 0;

3 log 2 9x = 4 log 2 3x

Разделяме всеки дневник на два термина:

log 2 9x = log 2 9 + log 2 x = 2 log 2 3 + log 2 x;

log 2 3x = log 2 3 + log 2 x

Нека пренапишем двете страни на равенството, като вземем предвид тези факти:

3 (2 log 2 3 + log 2 x) = 4 (log 2 3 + log 2 x)

6 log 2 3 + 3 log 2 x = 4 log 2 3 + 4 log 2 x

2 log 2 3 = log 2 x

Сега всичко, което остава, е да въведете две под знака на логаритъма (ще се превърне в степен: 3 2 = 9):

log 2 9 = log 2 x

Пред нас е класическата канонична форма, отърваваме се от знака за логаритъм и получаваме:

Както се очакваше, този корен се оказа по-голям от нула. Остава да проверим домейна на дефиницията. Нека да разгледаме причините:

Но коренът x = 9 удовлетворява тези изисквания. Следователно това е окончателното решение.

Заключение от това решениепросто: не се плашете от дългите оформления! Просто в самото начало избрахме нова база на случаен принцип - и това значително усложни процеса.

Но тогава възниква въпросът: каква е основата оптимален? Ще говоря за това във втория метод.

Нека се върнем към нашето първоначално уравнение:

3 log 3x x = 2 log 9x x 2

3 log 3x x = 2 ∙ 2 log 9x |x |

x > 0 ⇒ |x| = х

3 log 3 x x = 4 log 9 x x

Сега нека помислим малко: кое число или функция би била оптималната основа? Очевидно е, че най-добрият вариантще има c = x - това, което вече е в аргументите. В този случай формулата log a b = log c b /log c a ще приеме формата:

С други думи, изразът е просто обърнат. В този случай аргументът и основата сменят местата си.

Тази формула е много полезна и много често се използва при решаване на сложни логаритмични уравнения. Има обаче един много сериозен капан при използването на тази формула. Ако заместим променливата x вместо основата, тогава върху нея се налагат ограничения, които не са били спазвани преди това:

Нямаше такова ограничение в първоначалното уравнение. Следователно трябва отделно да проверим случая, когато x = 1. Заместете тази стойност в нашето уравнение:

3 log 3 1 = 4 log 9 1

Получаваме правилното числово равенство. Следователно x = 1 е корен. Намерихме точно същия корен в предишния метод в самото начало на решението.

Но сега, след като разгледахме отделно този конкретен случай, ние безопасно приемаме, че x ≠ 1. Тогава нашето логаритмично уравнение ще бъде пренаписано в следната форма:

3 log x 9x = 4 log x 3x

Ние разширяваме двата логаритма, като използваме същата формула, както преди. Обърнете внимание, че log x x = 1:

3 (log x 9 + log x x ) = 4 (log x 3 + log x x )

3 log x 9 + 3 = 4 log x 3 + 4

3 log x 3 2 − 4 log x 3 = 4 − 3

2 log x 3 = 1

Така стигнахме до каноничната форма:

log x 9 = log x x 1

х=9

Получихме втория корен. То удовлетворява изискването x ≠ 1. Следователно x = 9 заедно с x = 1 е крайният отговор.

Както можете да видите, обемът на изчисленията леко е намалял. Но когато решавате истинско логаритмично уравнение, броят на стъпките ще бъде много по-малък, защото не се изисква да описвате всяка стъпка толкова подробно.

Основното правило на днешния урок е следното: ако задачата съдържа четна степен, от която се извлича корен от същата степен, тогава изходът ще бъде модул. Въпреки това, този модул може да бъде премахнат, ако обърнете внимание на областта на дефиниране на логаритми.

Но внимавайте: след този урок повечето ученици смятат, че разбират всичко. Но когато решават реални проблеми, те не могат да възпроизведат цялата логическа верига. В резултат на това уравнението придобива ненужни корени и отговорът се оказва неправилен.

Алгебра 11 клас

Тема: “Методи за решаване на логаритмични уравнения”

Цели на урока:

образователен: изграждане на знания за по различни начинирешаване на логаритмични уравнения, способност за прилагането им във всяка конкретна ситуация и избор на произволен метод за решаване;

развитие: развитие на умения за наблюдение, сравняване, прилагане на знания в нова ситуация, идентифициране на модели, обобщаване; развиване на умения за взаимен контрол и самоконтрол;

образователен: възпитаване на отговорно отношение към учебната работа, внимателно възприемане на материала в урока и внимателно водене на бележки.

Тип урок : урок за въвеждане на нов материал.

„Изобретяването на логаритмите, макар и да намалява работата на астронома, удължава живота му.“
Френският математик и астроном P.S. Лаплас

Напредък на урока

I. Поставяне на целта на урока

Изучава дефиницията на логаритъм, свойствата на логаритмите и логаритмична функцияще ни позволи да решаваме логаритмични уравнения. Всички логаритмични уравнения, независимо колко сложни са, се решават с помощта на единни алгоритми. Ще разгледаме тези алгоритми в днешния урок. Не са много от тях. Ако ги усвоите, тогава всяко уравнение с логаритми ще бъде изпълнимо за всеки от вас.

Запишете темата на урока в тетрадката си: „Методи за решаване на логаритмични уравнения“. Каня всички за съдействие.

II. Актуализиране на справочните знания

Нека се подготвим за изучаване на темата на урока. Решавате всяка задача и записвате отговора, не е нужно да пишете условието. Работете по двойки.

1) За какви стойности на x функцията има смисъл:

а)

б)

V)

г)

(Отговорите се проверяват за всеки слайд и грешките се сортират)

2) Съвпадат ли графиките на функциите?

а) y = x и

б)И

3) Препишете равенствата като логаритмични равенства:

4) Запишете числата като логаритми с основа 2:

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) Изчислете :

6) Опитайте се да възстановите или допълните липсващите елементи в тези равенства.

III. Въведение в новия материал

На екрана се показва следното изявление:

„Уравнението е златният ключ, който отваря всички математически сусами.“
Съвременният полски математик С. Ковал

Опитайте се да формулирате дефиницията на логаритмично уравнение. (Уравнение, съдържащо неизвестно под знака на логаритъма ).

Нека помислимнай-простото логаритмично уравнение: дневник А x = b (където a>0, a ≠ 1). Тъй като логаритмичната функция нараства (или намалява) върху множеството от положителни числа и приема всички реални стойности, тогава от теоремата за корена следва, че за всяко b това уравнение има само едно решение, и то положително.

Запомнете дефиницията на логаритъм. (Логаритъмът на число x при основа a е показател за степента, на която трябва да се повдигне основата a, за да се получи числото x ). От дефиницията на логаритъм веднага следва, чеА V е такова решение.

Запишете заглавието:Методи за решаване на логаритмични уравнения

1. По дефиниция на логаритъм .

Така се решават най-простите уравнения от вида.

Нека помислим№ 514(a) ): Решете уравнението

Как предлагате да го разрешите? (По дефиниция на логаритъм )

Решение . , Следователно 2x – 4 = 4; х = 4.

Отговор: 4.

В тази задача 2x – 4 > 0, тъй като> 0, така че не могат да се появят външни корени иняма нужда да проверявате . В тази задача не е необходимо да се изписва условието 2x – 4 > 0.

2. Потенциране (преход от логаритъм на даден израз към самия израз).

Нека помислим№ 519(g): дневник 5 ( х 2 +8)- дневник 5 ( х+1)=3 дневник 5 2

Каква функция забелязахте?(Основите са еднакви и логаритмите на двата израза са равни) . Какво може да се направи?(Потенцира).

Трябва да се има предвид, че всяко решение се съдържа сред всички x, за които логаритмичните изрази са положителни.

Решение: ODZ:

X 2 +8>0 ненужно неравенство

дневник 5 ( х 2 +8) = дневник 5 2 3 + дневник 5 ( х+1)

дневник 5 ( х 2 +8)= дневник 5 (8 х+8)

Нека потенцираме първоначалното уравнение

х 2 +8= 8 х+8

получаваме уравнениетох 2 +8= 8 х+8

Нека го решим:х 2 -8 х=0

х=0, х=8

Отговор: 0; 8

Като цялопреминаване към еквивалентна система :

Уравнение

(Системата съдържа излишно условие - едно от неравенствата не трябва да се разглежда).

Въпрос към класа : Кое от тези три решения ви хареса най-много? (Обсъждане на методите).

Имате право да решавате по какъвто и да е начин.

3. Въвеждане на нова променлива .

Нека помислим№ 520(g) . .

Какво забелязахте? (Това е квадратно уравнение по отношение на log3x) Какви са вашите предложения? (Въведете нова променлива)

Решение . ODZ: x > 0.

Нека, тогава уравнението ще приеме формата:. Дискриминант D > 0. Корени според теоремата на Виета:.

Да се ​​върнем към замяната:или.

След като решихме най-простите логаритмични уравнения, получаваме:

; .

отговор : 27;

4. Логаритмирайте двете страни на уравнението.

Решете уравнението:.

Решение : ODZ: x>0, нека вземем логаритъма на двете страни на уравнението при основа 10:

. Нека приложим свойството на логаритъм от степен:

(lgx + 3) lgx =

(logx + 3) logx = 4

Нека logx = y, тогава (y + 3)y = 4

, (D > 0) корени съгласно теоремата на Виета: y1 = -4 и y2 = 1.

Нека се върнем към замяната, получаваме: lgx = -4,; logx = 1,. . Това е следното: ако една от функциите y = f(x) увеличава, а другият y = g(x) намалява на интервала X, след това уравнението f(x)= g(x) има най-много един корен на интервала X .

Ако има корен, значи може да се познае. .

отговор : 2

« Правилна употребаметоди могат да бъдат научени
само като ги прилагаме към различни примери.“
Датският историк на математиката G. G. Zeiten

аз V. домашна работа

С. 39 разгледайте пример 3, решете № 514(b), № 529(b), № 520(b), № 523(b)

V. Обобщаване на урока

Какви методи за решаване на логаритмични уравнения разгледахме в клас?

В следващите уроци ще разгледаме повече сложни уравнения. За решаването им ще бъдат полезни изучените методи.

Последен показан слайд:

„Какво е повече от всичко на света?
пространство.
Кое е най-мъдрото нещо?
време.
Коя е най-добрата част?
Постигни това, което искаш."
Талес

Пожелавам на всеки да постигне това, което иска. Благодарим ви за съдействието и разбирането.

Решаване на логаритмични уравнения. част 1.

Логаритмично уравнениее уравнение, в което неизвестното се съдържа под знака на логаритъма (по-специално в основата на логаритъма).

Най-простият логаритмично уравнениеима формата:

Решаване на всяко логаритмично уравнениевключва преход от логаритми към изрази под знака на логаритми. Това действие обаче разширява обхвата приемливи стойностиуравнение и може да доведе до появата на външни корени. За да избегнете появата на чужди корени, можете да направите един от трите начина:

1. Направете еквивалентен преходот първоначалното уравнение до система, включително

в зависимост от това кое неравенство или по-просто.

Ако уравнението съдържа неизвестно в основата на логаритъма:

след това отиваме в системата:

2. Отделно намерете обхвата на приемливите стойности на уравнението, след това решете уравнението и проверете дали намерените решения удовлетворяват уравнението.

3. Решете уравнението, а след това проверка:заместваме намерените решения в първоначалното уравнение и проверяваме дали получаваме правилното равенство.

Логаритмично уравнение от всяко ниво на сложност винаги в крайна сметка се свежда до най-простото логаритмично уравнение.

Всички логаритмични уравнения могат да бъдат разделени на четири типа:

1 . Уравнения, които съдържат логаритми само на първа степен. С помощта на трансформации и използване те се довеждат до формата

Пример. Нека решим уравнението:

Нека приравним изразите под знака логаритъм:

Нека проверим дали нашият корен на уравнението удовлетворява:

Да, засища.

Отговор: x=5

2 . Уравнения, които съдържат логаритми на степени, различни от 1 (особено в знаменателя на дроб). Такива уравнения могат да бъдат решени с помощта на въвеждане на промяна на променлива.

Пример.Нека решим уравнението:

Нека намерим уравнението на ODZ:

Уравнението съдържа логаритми на квадрат, така че може да бъде решено чрез промяна на променлива.

важно! Преди да въведете замяна, трябва да „разглобите“ логаритмите, които са част от уравнението, на „тухли“, като използвате свойствата на логаритмите.

Когато „разглобявате“ логаритми, е важно да използвате свойствата на логаритмите много внимателно:

Освен това тук има още един тънък момент и за да избегнем често срещана грешка, ще използваме междинно равенство: ще напишем степента на логаритъма в тази форма:

по същия начин,

Нека заместим получените изрази в оригиналното уравнение. Получаваме:

Сега виждаме, че неизвестното се съдържа в уравнението като част от . Нека представим замяната: . Тъй като може да приема всяка реална стойност, ние не налагаме никакви ограничения върху променливата.

Както знаете, когато се умножават изрази със степени, техните показатели винаги се събират (a b *a c = a b+c). Този математически закон е изведен от Архимед, а по-късно, през 8-ми век, математикът Вирасен създава таблица с цели показатели. Именно те послужиха за по-нататъшното откриване на логаритми. Примери за използване на тази функция могат да бъдат намерени почти навсякъде, където е необходимо да се опрости тромавото умножение чрез просто събиране. Ако прекарате 10 минути в четене на тази статия, ще ви обясним какво представляват логаритмите и как да работите с тях. На прост и достъпен език.

Дефиниция в математиката

Логаритъмът е израз на следната форма: log a b=c, т.е. логаритъмът на всяко неотрицателно число (т.е. всяко положително) „b“ спрямо основата му „a“ се счита за степен „c“ ”, до което е необходимо да се повдигне основата „a”, за да се получи в крайна сметка стойността „b”. Нека анализираме логаритъма с примери, да кажем, че има израз log 2 8. Как да намерим отговора? Много е просто, трябва да намерите такава степен, че от 2 до необходимата степен да получите 8. След като направим някои изчисления наум, получаваме числото 3! И това е вярно, защото 2 на степен 3 дава отговора като 8.

Видове логаритми

За много ученици и студенти тази тема изглежда сложна и неразбираема, но всъщност логаритмите не са толкова страшни, основното е да разберете общото им значение и да запомните техните свойства и някои правила. Има три отделни вида логаритмични изрази:

1. Натурален логаритъм ln a, където основата е числото на Ойлер (e = 2,7).
2. Десетично a, където основата е 10.
3. Логаритъм на произволно число b при основа a>1.

Всяка от тях се решава по стандартен начин, включващ опростяване, редукция и последваща редукция до един логаритъм с помощта на логаритмични теореми. За да получите правилните стойности на логаритмите, трябва да запомните техните свойства и последователността от действия, когато ги решавате.

Правила и някои ограничения

В математиката има няколко правила-ограничения, които се приемат като аксиома, тоест не подлежат на обсъждане и са истината. Например, невъзможно е да се разделят числа на нула и също така е невъзможно да се извлече четен корен от отрицателни числа. Логаритмите също имат свои собствени правила, следвайки които лесно можете да се научите да работите дори с дълги и обемни логаритмични изрази:

• Основата „а“ винаги трябва да е по-голяма от нула и да не е равна на 1, в противен случай изразът ще загуби значението си, тъй като „1“ и „0“ във всяка степен винаги са равни на техните стойности;
• ако a > 0, тогава a b > 0, се оказва, че „c” също трябва да е по-голямо от нула.

Как се решават логаритми?

Например, дадена е задачата да намерите отговора на уравнението 10 x = 100. Това е много лесно, трябва да изберете степен, като увеличите числото десет, до което получаваме 100. Това, разбира се, е 10 2 = 100.

Сега нека представим този израз в логаритмична форма. Получаваме log 10 100 = 2. При решаването на логаритми всички действия практически се събират, за да се намери степента, на която е необходимо да се въведе основата на логаритъма, за да се получи дадено число.

За да определите точно стойността на неизвестна степен, трябва да се научите как да работите с таблица с градуси. Изглежда така:

Както можете да видите, някои показатели могат да бъдат познати интуитивно, ако имате технически ум и познаване на таблицата за умножение. Въпреки това, за по-големи стойности ще ви е необходима таблица за мощност. Може да се използва дори от тези, които не разбират нищо от сложни математически теми. Лявата колона съдържа числа (основа a), горният ред от числа е стойността на степен c, на която е повдигнато числото a. В пресечната точка клетките съдържат числовите стойности, които са отговорът (a c =b). Да вземем, например, първата клетка с числото 10 и да я поставим на квадрат, получаваме стойността 100, която е посочена в пресечната точка на нашите две клетки. Всичко е толкова просто и лесно, че и най-истинският хуманист ще разбере!

Уравнения и неравенства

Оказва се, че при определени условия показателят е логаритъм. Следователно всички математически числови изрази могат да бъдат записани като логаритмично равенство. Например, 3 4 =81 може да бъде записано като логаритъм с основа 3 от 81, равен на четири (log 3 81 = 4). За отрицателните степени правилата са същите: 2 -5 = 1/32, записваме го като логаритъм, получаваме log 2 (1/32) = -5. Един от най-завладяващите раздели на математиката е темата "логаритми". Ще разгледаме примери и решения на уравнения по-долу, веднага след изучаването на техните свойства. Сега нека да разгледаме как изглеждат неравенствата и как да ги различим от уравненията.

Даден е следният израз: log 2 (x-1) > 3 - това е логаритмично неравенство, тъй като неизвестната стойност “x” е под логаритмичния знак. И също така в израза се сравняват две количества: логаритъма на желаното число при основа две е по-голям от числото три.

Най-важната разлика между логаритмичните уравнения и неравенствата е, че уравненията с логаритми (например логаритъм 2 x = √9) предполагат една или повече конкретни числени стойности в отговора, докато при решаване на неравенство, както обхватът на допустимите стойностите​​и точките се определят чрез нарушаване на тази функция. Вследствие на това отговорът не е прост набор от отделни числа, както в отговора на уравнение, а непрекъсната серия или набор от числа.

Основни теореми за логаритмите

При решаване на примитивни задачи за намиране на стойностите на логаритъма, неговите свойства може да не са известни. Въпреки това, когато става въпрос за логаритмични уравнения или неравенства, на първо място е необходимо ясно да се разберат и приложат на практика всички основни свойства на логаритмите. По-късно ще разгледаме примери за уравнения; нека първо разгледаме всяко свойство по-подробно.

1. Основната идентичност изглежда така: a logaB =B. Прилага се само когато a е по-голямо от 0, не е равно на единица, и B е по-голямо от нула.
2. Логаритъмът на произведението може да бъде представен в следната формула: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. В този случай задължителното условие е: d, s 1 и s 2 > 0; a≠1. Можете да дадете доказателство за тази логаритмична формула с примери и решение. Нека log a s 1 = f 1 и log a s 2 = f 2, тогава a f1 = s 1, a f2 = s 2. Получаваме, че s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (свойства на градуса ), и след това по дефиниция: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, което трябваше да бъде доказано.
3. Логаритъмът на частното изглежда така: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Теоремата под формата на формула приема следния вид: log a q b n = n/q log a b.

Тази формула се нарича „свойство на степента на логаритъм“. Той прилича на свойствата на обикновените градуси и не е изненадващо, защото цялата математика се основава на естествени постулати. Нека да разгледаме доказателството.

Нека log a b = t, оказва се, че a t = b. Ако повдигнем двете части на степен m: a tn = b n ;

но тъй като a tn = (a q) nt/q = b n, следователно log a q b n = (n*t)/t, тогава log a q b n = n/q log a b. Теоремата е доказана.

Примери за задачи и неравенства

Най-често срещаните видове задачи за логаритми са примери за уравнения и неравенства. Има ги в почти всички задачници, а също така са задължителна част от изпитите по математика. За прием в университет или преминаване приемни изпитив математиката трябва да знаете как да решавате правилно такива задачи.

За съжаление, няма единен план или схема за решаване и определяне на неизвестната стойност на логаритъма, но определени правила могат да бъдат приложени към всяко математическо неравенство или логаритмично уравнение. На първо място, трябва да разберете дали изразът може да бъде опростен или да доведе до общ вид. Опростете дългите логаритмични изразивъзможно, ако използвате правилно свойствата им. Нека бързо да ги опознаем.

Когато решаваме логаритмични уравнения, трябва да определим какъв тип логаритъм имаме: примерен израз може да съдържа натурален логаритъм или десетичен.

Ето примери ln100, ln1026. Тяхното решение се свежда до факта, че те трябва да определят степента, на която основата 10 ще бъде равна съответно на 100 и 1026. За да решите естествени логаритми, трябва да приложите логаритмични идентичности или техните свойства. Нека разгледаме решението с примери логаритмични задачиразлични видове.

Как да използваме логаритмични формули: с примери и решения

И така, нека да разгледаме примери за използване на основните теореми за логаритмите.

1. Свойството логаритъм на произведение може да се използва в задачи, където е необходимо разширяване голяма стойностчисла b на по-прости множители. Например log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Отговорът е 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - както виждате, използвайки четвъртото свойство на степента на логаритъм, успяхме да решим един на пръв поглед сложен и неразрешим израз. Просто трябва да факторизирате основата и след това да извадите стойностите на степента от знака на логаритъма.

Задачи от Единния държавен изпит

Логаритмите често се срещат в приемните изпити, особено много логаритмични задачи в Единния държавен изпит (държавен изпит за всички завършили училище). Обикновено тези задачи присъстват не само в част А (най-лесната тестова част от изпита), но и в част В (най-сложните и обемни задачи). Изпитът изисква точни и завършени познания по темата “Натурални логаритми”.

Примерите и решенията на проблемите са взети от официални Опции за единен държавен изпит. Да видим как се решават такива задачи.

Даден е log 2 (2x-1) = 4. Решение:
нека пренапишем израза, като го опростим малко log 2 (2x-1) = 2 2, по дефиницията на логаритъма получаваме, че 2x-1 = 2 4, следователно 2x = 17; х = 8,5.

• Най-добре е да намалите всички логаритми до една и съща основа, така че решението да не е тромаво и объркващо.
• Всички изрази под знака за логаритъм са посочени като положителни, следователно, когато показателят на израз, който е под знака за логаритъм и като негова основа е изваден като множител, изразът, който остава под логаритъма, трябва да бъде положителен.

В този урок ще прегледаме основните теоретични факти за логаритмите и ще разгледаме решаването на най-простите логаритмични уравнения.

Нека си припомним централната дефиниция - дефиницията на логаритъм. Свързано е с решението експоненциално уравнение. Това уравнение има един корен, нарича се логаритъм от b по основа a:

определение:

Логаритъмът от b при основа a е степента, до която трябва да се повдигне основа a, за да се получи b.

Нека ви напомним основно логаритмично тъждество.

Изразът (израз 1) е коренът на уравнението (израз 2). Заместете стойността x от израз 1 вместо x в израз 2 и получете основната логаритмична идентичност:

Така че виждаме, че всяка стойност е свързана със стойност. Означаваме b с x(), c с y и по този начин получаваме логаритмична функция:

Например:

Нека си припомним основните свойства на логаритмичната функция.

Нека отново обърнем внимание тук, тъй като под логаритъма може да има строго положителен израз, като основа на логаритъма.

ориз. 1. Графика на логаритмична функция с различни основи

Графиката на функцията при е показана в черно. ориз. 1. Ако аргументът нараства от нула до безкрайност, функцията нараства от минус до плюс безкрайност.

Графиката на функцията при е показана в червено. ориз. 1.

Свойства на тази функция:

Обхват: ;

Диапазон от стойности: ;

Функцията е монотонна в цялата си област на дефиниция. При монотонно (строго) нарастване по-голяма стойност на аргумента съответства на по-голяма стойност на функцията. Когато монотонно (строго) намалява, по-голямата стойност на аргумента съответства на по-малка стойност на функцията.

Свойствата на логаритмичната функция са ключът към решаването на различни логаритмични уравнения.

Нека разгледаме най-простото логаритмично уравнение; всички други логаритмични уравнения, като правило, се свеждат до тази форма.

Тъй като основите на логаритмите и самите логаритми са равни, функциите под логаритъма също са равни, но не трябва да пропускаме областта на дефиницията. Под логаритъма може да се появи само положително число, имаме:

Открихме, че функциите f и g са равни, така че е достатъчно да изберете което и да е неравенство, за да се съобразите с ODZ.

Така имаме смесена система, в която има уравнение и неравенство:

По правило не е необходимо да се решава неравенство, достатъчно е да се реши уравнението и да се заменят намерените корени в неравенството, като по този начин се извърши проверка.

Нека формулираме метод за решаване на най-простите логаритмични уравнения:

Изравняване на основите на логаритмите;

Приравняване на сублогаритмични функции;

Извършете проверка.

Нека да разгледаме конкретни примери.

Пример 1 - решаване на уравнението:

Основите на логаритмите първоначално са равни, имаме право да приравняваме подлогаритмични изрази, не забравяйте за ODZ, ние избираме първия логаритъм, за да съставим неравенството:

Пример 2 - решаване на уравнението:

Това уравнение се различава от предишното по това, че основите на логаритмите са по-малки от единица, но това не влияе на решението по никакъв начин:

Нека намерим корена и го заместим в неравенството:

Получихме неправилно неравенство, което означава, че намереният корен не удовлетворява ОДЗ.

Пример 3 - решаване на уравнението:

Основите на логаритмите първоначално са равни, имаме право да приравняваме сублогаритмични изрази, не забравяйте за ODZ, ние избираме втория логаритъм, за да съставим неравенството:

Нека намерим корена и го заместим в неравенството:

Очевидно само първият корен удовлетворява DD.