Униформена шлака. Системи линейни еднородни уравнения

системи линейни уравнения, за които всички свободни членове са равни на нула се наричат хомогенен :

Всяка хомогенна система винаги е последователна, тъй като винаги е била нула (тривиален ) решение. Възниква въпросът при какви условия една хомогенна система ще има нетривиално решение.

Теорема 5.2.Една хомогенна система има нетривиално решение тогава и само ако рангът на основната матрица е по-малък от броя на нейните неизвестни.

Последица. Квадратна хомогенна система има нетривиално решение тогава и само ако детерминантата на основната матрица на системата не е равна на нула.

Пример 5.6.Определете стойностите на параметъра l, при които системата има нетривиални решения, и намерете тези решения:

Решение. Тази система ще има нетривиално решение, когато детерминантата на основната матрица е равна на нула:

Следователно системата е нетривиална, когато l=3 или l=2. За l=3, рангът на основната матрица на системата е 1. След това, оставяйки само едно уравнение и приемайки, че г=аИ z=b, получаваме х=b-a, т.е.

За l=2, рангът на основната матрица на системата е 2. След това, избирайки второстепенната като основа:

получаваме опростена система

От тук намираме това x=z/4, y=z/2. Вярвайки z=4а, получаваме

Множеството от всички решения на една хомогенна система има много важно линейно свойство : ако колони X 1 и Х 2 - решения на хомогенна система AX = 0, тогава всяка линейна комбинация от тяха X 1 + б X 2 също ще бъде решение на тази система. Наистина, тъй като БРАВИЛА 1 = 0 И БРАВИЛА 2 = 0 , Това А(а X 1 + б X 2) = а БРАВИЛА 1 + б БРАВИЛА 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Поради това свойство, ако една линейна система има повече от едно решение, тогава ще има безкраен брой от тези решения.

Линейно независими колони д 1 , д 2 , E k, които са решения на хомогенна система, се наричат фундаментална система от решения хомогенна система от линейни уравнения, ако общото решение на тази система може да бъде записано като линейна комбинация от тези колони:

Ако една хомогенна система има ппроменливи, а рангът на основната матрица на системата е равен на r, Това к = н-р.

Пример 5.7.Намерете основната система от решения на следната система от линейни уравнения:

Решение. Нека намерим ранга на основната матрица на системата:

По този начин наборът от решения на тази система от уравнения образува линейно подпространство на измерение н-р= 5 - 2 = 3. Нека изберем минор като основа

.

След това, оставяйки само основните уравнения (останалото ще бъде линейна комбинация от тези уравнения) и основните променливи (преместваме останалите, така наречените свободни променливи вдясно), получаваме опростена система от уравнения:

Вярвайки х 3 = а, х 4 = b, х 5 = c, намираме

, .

Вярвайки а= 1, b = c= 0, получаваме първото основно решение; вярвайки b= 1, a = c= 0, получаваме второто основно решение; вярвайки c= 1, a = b= 0, получаваме третото основно решение. В резултат на това нормално фундаментална системарешенията ще приемат формата

Използвайки фундаменталната система, общото решение на хомогенна система може да бъде написано като

X = аЕ 1 + bE 2 + cE 3. а

Нека отбележим някои свойства на решенията на нехомогенна система от линейни уравнения AX=Bи тяхната връзка със съответната хомогенна система от уравнения AX = 0.

Общо решение на нееднородна системае равно на сумата от общото решение на съответната хомогенна система AX = 0 и произволно частно решение на нехомогенната система. Наистина, нека Y 0 е произволно частно решение на нехомогенна система, т.е. AY 0 = Б, И Y- общо решение на разнородна система, т.е. AY=B. Като извадим едното равенство от другото, получаваме
А(Y-Y 0) = 0, т.е. Y-Y 0 е общото решение на съответната хомогенна система БРАВИЛА=0. следователно Y-Y 0 = X, или Y=Y 0 + X. Q.E.D.

Нека нееднородната система има формата AX = B 1 + Б 2 . Тогава общото решение на такава система може да бъде записано като X = X 1 + X 2 , където AX 1 = Б 1 и AX 2 = Б 2. Това свойство изразява универсалното свойство на всяко линейни системи(алгебрични, диференциални, функционални и др.). Във физиката това свойство се нарича принцип на суперпозиция, по електротехника и радиотехника - принцип на суперпозиция. Например, в теорията на линейните електрически вериги, токът във всяка верига може да се получи като алгебрична суматокове, причинени от всеки източник на енергия поотделно.

система млинейни уравнения c пнаречени неизвестни система от линейни хомогенниуравнения, ако всички свободни членове са равни на нула. Такава система изглежда така:

Къде и ij (аз = 1, 2, …, м; й = 1, 2, …, п) - дадени числа; x i– неизвестен.

Система от линейни хомогенни уравнения винаги е последователна, тъй като r(A) = r(). Винаги има поне нула ( тривиален) решение (0; 0; …; 0).

Нека разгледаме при какви условия хомогенните системи имат ненулеви решения.

Теорема 1.Система от линейни хомогенни уравнения има ненулеви решения тогава и само ако рангът на нейната основна матрица е rпо-малко неизвестни п, т.е. r < п.

□ 1). Нека система от линейни еднородни уравнения има ненулево решение. Тъй като рангът не може да надвишава размера на матрицата, тогава, очевидно, r ≤ п. Нека r = п. След това един от малките размери n nразличен от нула. Следователно съответната система от линейни уравнения има единственото решение: . Това означава, че няма други решения освен тривиалните. Така че, ако има нетривиално решение, тогава r < п.

2). Нека r < п. Тогава хомогенната система, тъй като е последователна, е несигурна. Това означава, че има безкраен брой решения, т.е. има ненулеви решения. ■

Помислете за хомогенна система плинейни уравнения c пнеизвестен:

(2)

Теорема 2.Хомогенна система плинейни уравнения c пнеизвестни (2) има ненулеви решения тогава и само ако неговият детерминант е равен на нула: = 0.

□ Ако системата (2) има ненулево решение, тогава = 0. Защото когато системата има само едно нулево решение. Ако = 0, тогава рангът rосновната матрица на системата е по-малка от броя на неизвестните, т.е. r < п. И следователно системата има безкраен брой решения, т.е. има ненулеви решения. ■

Нека означим решението на система (1) X 1 = к 1 , X 2 = к 2 , …, x n = k nкато низ .

Решенията на система от линейни хомогенни уравнения имат следните свойства:

1. Ако линията е решение на система (1), тогава линията е решение на система (1).

2. Ако линиите И - решения на система (1), тогава за всякакви стойности с 1 и с 2 тяхната линейна комбинация също е решение на система (1).

Валидността на тези свойства може да се провери чрез директното им заместване в уравненията на системата.

От формулираните свойства следва, че всяка линейна комбинация от решения на система от линейни еднородни уравнения също е решение на тази система.

Система от линейно независими решения д 1 , д 2 , …, e rнаречен фундаментален, ако всяко решение на система (1) е линейна комбинация от тези решения д 1 , д 2 , …, e r.

Теорема 3.Ако ранг rматриците на коефициентите за променливи на системата от линейни хомогенни уравнения (1) са по-малки от броя на променливите п, тогава всяка фундаментална система от решения на система (1) се състои от n–rрешения.

Ето защо общо решениесистема от линейни хомогенни уравнения (1) има формата:

Къде д 1 , д 2 , …, e r– всяка фундаментална система от решения на система (9), с 1 , с 2 , …, с п– произволни числа, r = n–r.

Теорема 4.Общо решение на системата млинейни уравнения c пнеизвестни е равно на сумата от общото решение на съответната система от линейни еднородни уравнения (1) и произволно частно решение на тази система (1).

Пример.Решете системата

Решение.За тази система м = п= 3. Детерминанта

според теорема 2 системата има само тривиално решение: х = г = z = 0.

Пример. 1) Намерете общи и частни решения на системата

2) Намерете основната система от решения.

Решение. 1) За тази система м = п= 3. Детерминанта

по теорема 2 системата има ненулеви решения.

Тъй като в системата има само едно независимо уравнение

х + г – 4z = 0,

тогава от него ще изразим х =4z- г. Откъде получаваме безкраен брой решения: (4 z- г, г, z) – това е общото решение на системата.

При z= 1, г= -1, получаваме едно конкретно решение: (5, -1, 1). Поставяне z= 3, г= 2, получаваме второто конкретно решение: (10, 2, 3) и т.н.

2) В общото решение (4 z- г, г, z) променливи гИ zса безплатни, а променливата X- зависим от тях. За да намерим фундаменталната система от решения, нека присвоим стойности на свободните променливи: първо г = 1, z= 0, тогава г = 0, z= 1. Получаваме частични решения (-1, 1, 0), (4, 0, 1), които образуват фундаменталната система от решения.

Илюстрации:

ориз. 1 Класификация на системите от линейни уравнения

ориз. 2 Изследване на системи от линейни уравнения

Презентации:

· Решение SLAE_матричен метод

· Метод на решение SLAE_Cramer

· Решение SLAE_метод на Гаус

· Пакети за решаване на математически задачи Mathematica, MathCad: търсене на аналитични и числени решения на системи от линейни уравнения

Въпроси за сигурност :

1. Дефинирайте линейно уравнение

2. Какъв тип система изглежда? млинейни уравнения с пнепознат?

3. Какво се нарича решаване на системи от линейни уравнения?

4. Какви системи се наричат ​​еквивалентни?

5. Коя система се нарича несъвместима?

6. Каква система се нарича ставна?

7. Коя система се нарича определена?

8. Коя система се нарича неопределена

9. Избройте елементарните преобразувания на системи от линейни уравнения

10. Избройте елементарните преобразувания на матрици

11. Формулирайте теорема за прилагането на елементарни трансформации към система от линейни уравнения

12. Какви системи могат да бъдат решени с помощта на матричния метод?

13. Какви системи могат да бъдат решени по метода на Крамър?

14. Какви системи могат да бъдат решени по метода на Гаус?

15. Избройте 3 възможни случая, които възникват при решаване на системи от линейни уравнения по метода на Гаус

16. Опишете матричния метод за решаване на системи от линейни уравнения

17. Опишете метода на Крамър за решаване на системи от линейни уравнения

18. Опишете метода на Гаус за решаване на системи от линейни уравнения

19. Какви системи могат да бъдат решени с помощта обратна матрица?

20. Избройте 3 възможни случая, които възникват при решаване на системи от линейни уравнения по метода на Крамер

Литература:

1. Висша математика за икономисти: Учебник за университети / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М. Н. Фридман. Изд. Н.Ш. Кремер. – М.: ЕДИНСТВО, 2005. – 471 с.

2. Общ курс по висша математика за икономисти: Учебник. / Ед. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2006. – 655 с.

3. Сборник задачи по висша математика за икономисти: Урок/ Под редакцията на V.I. Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2006. – 574 с.

4. Gmurman V. E. Ръководство за решаване на проблеми в теорията на вероятностите и магматичната статистика. - М.: висше училище, 2005. – 400 с.

5. Гмурман. V.E. Теория на вероятностите и математическа статистика. - М.: Висше училище, 2005.

6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Висша математика в упражнения и задачи. Част 1, 2. – М.: Оникс 21 век: Мир и образование, 2005. – 304 с. част 1; – 416 стр. Част 2.

7. Математика в икономиката: Учебник: В 2 части / A.S. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандара. – М.: Финанси и статистика, 2006.

8. Шипачев В.С. Висша математика: Учебник за студенти. университети - М.: Висше училище, 2007. - 479 с.

Свързана информация.

Решаването на системи от линейни алгебрични уравнения (SLAE) несъмнено е най-важната тема в курса по линейна алгебра. Огромен брой задачи от всички клонове на математиката се свеждат до решаване на системи от линейни уравнения. Тези фактори обясняват причината за тази статия. Материалът на статията е подбран и структуриран така, че с негова помощ можете

• вдигам оптимален методрешения на вашата система от линейни алгебрични уравнения,
• изучаване на теорията на избрания метод,
• решите вашата система от линейни уравнения, като разгледате подробни решения на типични примери и проблеми.

Кратко описание на материала на статията.

Първо даваме всички необходими определения, понятия и въвеждаме обозначения.

След това ще разгледаме методи за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения, в които броят на уравненията е равен на броя на неизвестните променливи и които имат уникално решение. Първо, ще се съсредоточим върху метода на Крамър, второ, ще покажем матричния метод за решаване на такива системи от уравнения и трето, ще анализираме метода на Гаус (методът за последователно елиминиране на неизвестни променливи). За да консолидираме теорията, определено ще решим няколко SLAE по различни начини.

След това ще преминем към решаване на системи от линейни алгебрични уравнения общ изглед, в които броят на уравненията не съвпада с броя на неизвестните променливи или основната матрица на системата е единична. Нека формулираме теоремата на Кронекер-Капели, която ни позволява да установим съвместимостта на SLAE. Нека анализираме решението на системите (ако са съвместими), използвайки концепцията за базисен минор на матрица. Ще разгледаме и метода на Гаус и ще опишем подробно решенията на примерите.

Определено ще се спрем на структурата на общото решение на хомогенни и нехомогенни системи от линейни алгебрични уравнения. Нека дадем концепцията за фундаментална система от решения и да покажем как общото решение на SLAE се записва с помощта на векторите на фундаменталната система от решения. За по-добро разбиране нека разгледаме няколко примера.

В заключение ще разгледаме системи от уравнения, които могат да бъдат сведени до линейни, както и различни задачи, при решаването на които възникват СЛАУ.

Навигация в страницата.

Дефиниции, понятия, обозначения.

Ще разгледаме системи от p линейни алгебрични уравнения с n неизвестни променливи (p може да бъде равно на n) от вида

Неизвестни променливи, - коефициенти (някои реални или комплексни числа), - свободни членове (също реални или комплексни числа).

Тази форма на запис SLAE се нарича координирам.

IN матрична формаписането на тази система от уравнения има формата,
Къде - основната матрица на системата, - колонна матрица от неизвестни променливи, - колонна матрица от свободни членове.

Ако добавим матрица-колона от свободни членове към матрица А като (n+1)-та колона, получаваме т.нар. разширена матрицасистеми от линейни уравнения. Обикновено разширената матрица се обозначава с буквата T, а колоната от свободни условия е разделена с вертикална линия от останалите колони, т.е.

Решаване на система от линейни алгебрични уравнениянаречен набор от стойности на неизвестни променливи, който превръща всички уравнения на системата в идентичности. Матричното уравнение за дадени стойности на неизвестните променливи също става идентичност.

Ако система от уравнения има поне едно решение, тогава тя се нарича съвместно.

Ако система от уравнения няма решения, тогава тя се нарича неставни.

Ако SLAE има уникално решение, то се извиква определени; ако има повече от едно решение, тогава – несигурен.

Ако свободните членове на всички уравнения на системата са равни на нула , тогава системата се извиква хомогенен, иначе – разнородни.

Решаване на елементарни системи линейни алгебрични уравнения.

Ако броят на уравненията на една система е равен на броя на неизвестните променливи и детерминантата на нейната основна матрица не е равна на нула, тогава такива SLAE ще се наричат елементарен. Такива системи от уравнения имат уникално решение и в случай на хомогенна система всички неизвестни променливи са равни на нула.

Започнахме да изучаваме такива SLAE в гимназия. Когато ги решавахме, взехме едно уравнение, изразихме една неизвестна променлива чрез други и я заместихме в останалите уравнения, след това взехме следващото уравнение, изразихме следващата неизвестна променлива и я заместихме в други уравнения и т.н. Или са използвали метода на добавяне, тоест добавят две или повече уравнения, за да елиминират някои неизвестни променливи. Няма да се спираме подробно на тези методи, тъй като по същество те са модификации на метода на Гаус.

Основните методи за решаване на елементарни системи от линейни уравнения са методът на Крамер, матричният метод и методът на Гаус. Нека ги подредим.

Решаване на системи от линейни уравнения по метода на Крамер.

Да предположим, че трябва да решим система от линейни алгебрични уравнения

в която броят на уравненията е равен на броя на неизвестните променливи и детерминантата на основната матрица на системата е различна от нула, т.е.

Нека е детерминантата на основната матрица на системата и - детерминанти на матрици, които се получават от A чрез заместване 1-ви, 2-ри, …, n-тиколона съответно към колоната безплатни членове:

С тази нотация неизвестните променливи се изчисляват с помощта на формулите на метода на Cramer като . Ето как се намира решението на система от линейни алгебрични уравнения с помощта на метода на Крамер.

Пример.

Методът на Крамер .

Решение.

Основната матрица на системата има формата . Нека изчислим неговата детерминанта (ако е необходимо, вижте статията):

Тъй като детерминантата на основната матрица на системата е различна от нула, системата има уникално решение, което може да бъде намерено по метода на Крамър.

Нека съставим и изчислим необходимите детерминанти (получаваме детерминантата, като заменим първата колона в матрица A с колона със свободни членове, детерминантата, като заменим втората колона с колона със свободни членове и като заменим третата колона на матрица A с колона със свободни членове) :

Намиране на неизвестни променливи с помощта на формули :

отговор:

Основният недостатък на метода на Крамър (ако може да се нарече недостатък) е сложността на изчисляването на детерминанти, когато броят на уравненията в системата е повече от три.

Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения по матричен метод (с помощта на обратна матрица).

Нека система от линейни алгебрични уравнения е дадена в матрична форма, където матрицата A има размерност n на n и нейният детерминант е различен от нула.

Тъй като , матрица A е обратима, т.е. има обратна матрица. Ако умножим двете страни на равенството по лявата, получаваме формула за намиране на матрица-колона от неизвестни променливи. Ето как получихме решение на система от линейни алгебрични уравнения, използвайки матричния метод.

Пример.

Решете система от линейни уравнения матричен метод.

Решение.

Нека пренапишем системата от уравнения в матрична форма:

защото

тогава SLAE може да се реши с помощта на матричния метод. Използвайки обратната матрица, решението на тази система може да се намери като .

Нека изградим обратна матрица, използвайки матрица от алгебрични добавки на елементи от матрица A (ако е необходимо, вижте статията):

Остава да се изчисли матрицата на неизвестните променливи чрез умножаване на обратната матрица към матрица-колона от безплатни членове (ако е необходимо, вижте статията):

отговор:

или в друга нотация x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Основният проблем при намирането на решения на системи от линейни алгебрични уравнения с помощта на матричния метод е сложността на намирането на обратната матрица, особено за квадратни матрициред по-висок от трети.

Решаване на системи от линейни уравнения по метода на Гаус.

Да предположим, че трябва да намерим решение на система от n линейни уравнения с n неизвестни променливи
чиято детерминанта на основната матрица е различна от нула.

Същността на метода на Гауссе състои от последователно изключване на неизвестни променливи: първо x 1 се изключва от всички уравнения на системата, като се започне от второто, след това x 2 се изключи от всички уравнения, като се започне от третото и така нататък, докато само неизвестната променлива x n остава в последното уравнение. Този процес на трансформиране на уравненията на система за последователно елиминиране на неизвестни променливи се нарича директен метод на Гаус. След завършване на предния ход на метода на Гаус, x n се намира от последното уравнение, като се използва тази стойност от предпоследното уравнение, x n-1 се изчислява и така нататък, x 1 се намира от първото уравнение. Процесът на изчисляване на неизвестни променливи при преминаване от последното уравнение на системата към първото се нарича обратно на метода на Гаус.

Нека опишем накратко алгоритъма за елиминиране на неизвестни променливи.

Ще приемем, че , тъй като винаги можем да постигнем това чрез размяна на уравненията на системата. Нека елиминираме неизвестната променлива x 1 от всички уравнения на системата, като започнем от второто. За да направим това, към второто уравнение на системата добавяме първото, умножено по , към третото уравнение добавяме първото, умножено по , и така нататък, към n-то уравнение добавяме първото, умножено по . Системата от уравнения след такива трансформации ще приеме формата

където и .

Щяхме да стигнем до същия резултат, ако бяхме изразили x 1 по отношение на други неизвестни променливи в първото уравнение на системата и бяхме заместили получения израз във всички останали уравнения. Така променливата x 1 се изключва от всички уравнения, като се започне от второто.

След това процедираме по подобен начин, но само с част от получената система, която е маркирана на фигурата

За да направим това, към третото уравнение на системата добавяме второто, умножено по , към четвъртото уравнение добавяме второто, умножено по , и така нататък, към n-тото уравнение добавяме второто, умножено по . Системата от уравнения след такива трансформации ще приеме формата

където и . Така променливата x 2 се изключва от всички уравнения, като се започне от третото.

След това пристъпваме към елиминиране на неизвестното x 3, докато действаме по подобен начин с частта от системата, маркирана на фигурата

Така че ние продължаваме директното развитие на метода на Гаус, докато системата приеме формата

От този момент започваме обратното на метода на Гаус: изчисляваме x n от последното уравнение като , като използваме получената стойност на x n намираме x n-1 от предпоследното уравнение и така нататък намираме x 1 от първото уравнение .

Пример.

Решете система от линейни уравнения Метод на Гаус.

Решение.

Нека изключим неизвестната променлива x 1 от второто и третото уравнение на системата. За да направим това, към двете страни на второто и третото уравнение добавяме съответните части на първото уравнение, умножени съответно по и по:

Сега елиминираме x 2 от третото уравнение, като добавим към лявата и дясната му страна лявата и дясната страна на второто уравнение, умножени по:

Това завършва предния ход на метода на Гаус;

От последното уравнение на получената система от уравнения намираме x 3:

От второто уравнение получаваме.

От първото уравнение намираме оставащата неизвестна променлива и по този начин завършваме обратния метод на Гаус.

отговор:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от общ вид.

Като цяло броят на уравненията на системата p не съвпада с броя на неизвестните променливи n:

Такива SLAE може да нямат решения, да имат едно решение или да имат безкрайно много решения. Това твърдение се отнася и за системи от уравнения, чиято основна матрица е квадратна и сингулярна.

Теорема на Кронекер–Капели.

Преди да се намери решение на система от линейни уравнения, е необходимо да се установи нейната съвместимост. Отговорът на въпроса кога SLAE е съвместим и кога неконсистентен е даден от Теорема на Кронекер–Капели:
За да бъде последователна система от p уравнения с n неизвестни (p може да бъде равно на n), е необходимо и достатъчно рангът на основната матрица на системата да бъде равен на ранга на разширената матрица, т.е. , ранг(A)=ранг(T).

Нека разгледаме като пример приложението на теоремата на Кронекер-Капели за определяне на съвместимостта на система от линейни уравнения.

Пример.

Разберете дали системата от линейни уравнения има решения.

Решение.

. Нека използваме метода на граничещи непълнолетни. Минор от втори ред различен от нула. Нека да разгледаме непълнолетните от трети ред, граничещи с него:

Тъй като всички гранични второстепенни от трети ред са равни на нула, рангът на основната матрица е равен на две.

На свой ред, рангът на разширената матрица е равно на три, тъй като минорът е от трети ред

различен от нула.

по този начин Rang(A), следователно, използвайки теоремата на Kronecker–Capelli, можем да заключим, че оригиналната система от линейни уравнения е непоследователна.

отговор:

Системата няма решения.

И така, научихме се да установяваме несъответствието на система, използвайки теоремата на Кронекер–Капели.

Но как да се намери решение за SLAE, ако неговата съвместимост е установена?

За да направим това, имаме нужда от концепцията за базис минор на матрица и теорема за ранга на матрица.

Нарича се минорът от най-високия порядък на матрицата A, различен от нула основен.

От определението за базис минор следва, че неговият ред е равен на ранга на матрицата. За ненулева матрица A може да има няколко базисни минора;

Например, помислете за матрицата .

Всички минори от трети ред на тази матрица са равни на нула, тъй като елементите на третия ред на тази матрица са сумата от съответните елементи на първия и втория ред.

Следните минори от втори ред са основни, тъй като са различни от нула

Непълнолетни не са основни, тъй като са равни на нула.

Теорема за ранга на матрицата.

Ако рангът на матрица от ред p по n е равен на r, тогава всички елементи на ред (и колона) на матрицата, които не формират избрания основен минор, се изразяват линейно чрез елементите на съответния ред (и колона), образуващи основата минор.

Какво ни казва теоремата за ранга на матрицата?

Ако съгласно теоремата на Кронекер–Капели сме установили съвместимостта на системата, тогава избираме произволен основен минор от главната матрица на системата (нейният ред е равен на r) и изключваме от системата всички уравнения, които не формират избрания основен минор. Полученият по този начин SLAE ще бъде еквивалентен на оригиналния, тъй като отхвърлените уравнения все още са излишни (според теоремата за матричния ранг те са линейна комбинация от останалите уравнения).

В резултат на това, след изхвърляне на ненужните уравнения на системата, са възможни два случая.

Ако броят на уравненията r в получената система е равен на броя на неизвестните променливи, тогава тя ще бъде определена и единственото решение може да бъде намерено чрез метода на Крамер, матричния метод или метода на Гаус.

Пример.

.

Решение.

Ранг на основната матрица на системата е равно на две, тъй като минорът е от втори ред различен от нула. Разширен матричен ранг също е равно на две, тъй като единственият минор от трети порядък е нула

и минорът от втори ред, разгледан по-горе, е различен от нула. Въз основа на теоремата на Кронекер–Капели можем да твърдим съвместимостта на оригиналната система от линейни уравнения, тъй като Rank(A)=Rank(T)=2.

Като основа минор приемаме . Образува се от коефициентите на първото и второто уравнения:


Третото уравнение на системата не участва във формирането на базисния минор, така че го изключваме от системата въз основа на теоремата за ранга на матрицата:


Така получихме елементарна система от линейни алгебрични уравнения. Нека го решим с помощта на метода на Cramer:


отговор:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Ако броят на уравненията r в получения SLAE е по-малък от броя на неизвестните променливи n, тогава от лявата страна на уравненията оставяме членовете, които формират основата, второстепенни, и прехвърляме останалите членове в десните страни на уравнения на системата с противоположен знак.

Неизвестните променливи (r от тях), останали от лявата страна на уравненията, се наричат основен.

Извикват се неизвестни променливи (има n - r части), които са от дясната страна безплатно.

Сега вярваме, че свободните неизвестни променливи могат да приемат произволни стойности, докато r главните неизвестни променливи ще бъдат изразени чрез свободни неизвестни променливи по уникален начин. Техният израз може да бъде намерен чрез решаване на получената SLAE с помощта на метода на Крамер, матричния метод или метода на Гаус.

Нека го разгледаме с пример.

Пример.

Решете система от линейни алгебрични уравнения .

Решение.

Нека намерим ранга на основната матрица на системата по метода на граничещи непълнолетни. Нека вземем 1 1 = 1 като ненулев минор от първи ред. Нека започнем да търсим ненулев минор от втори ред, граничещ с този минор:


Ето как намерихме ненулев минор от втори порядък. Нека започнем да търсим ненулев граничен минор от трети ред:


По този начин рангът на основната матрица е три. Рангът на разширената матрица също е равен на три, т.е. системата е последователна.

Вземаме намерения ненулев минор от трети ред като основен.

За по-голяма яснота показваме елементите, които формират основния минор:


Оставяме членовете, включени в базисния минор от лявата страна на системните уравнения, и прехвърляме останалите с противоположни знаци в дясната страна:


Нека дадем на свободните неизвестни променливи x 2 и x 5 произволни стойности, тоест приемаме , където са произволни числа. В този случай SLAE ще приеме формата


Нека решим получената елементарна система от линейни алгебрични уравнения, използвайки метода на Крамер:


Следователно, .

В отговора си не забравяйте да посочите свободни неизвестни променливи.

отговор:

Къде са произволните числа.

Нека да обобщим.

За да решим система от общи линейни алгебрични уравнения, първо определяме нейната съвместимост с помощта на теоремата на Кронекер–Капели. Ако рангът на основната матрица не е равен на ранга на разширената матрица, тогава заключаваме, че системата е несъвместима.

Ако рангът на основната матрица е равен на ранга на разширената матрица, тогава избираме базов минор и отхвърляме уравненията на системата, които не участват във формирането на избрания базов минор.

Ако редът на осн равно на числотонеизвестни променливи, тогава SLAE има уникално решение, което намираме по всеки познат ни метод.

Ако редът на основния минор е по-малък от броя на неизвестните променливи, тогава от лявата страна на системните уравнения оставяме членовете с основните неизвестни променливи, прехвърляме останалите членове в десните страни и даваме произволни стойности на свободните неизвестни променливи. От получената система от линейни уравнения намираме основните неизвестни променливи по методКрамер, матричен метод или метод на Гаус.

Метод на Гаус за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от общ вид.

Методът на Гаус може да се използва за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от всякакъв вид, без първо да бъдат тествани за съвместимост. Процесът на последователно елиминиране на неизвестни променливи дава възможност да се направи заключение както за съвместимостта, така и за несъвместимостта на SLAE и ако съществува решение, прави възможно намирането му.

От изчислителна гледна точка методът на Гаус е за предпочитане.

Гледайте го подробно описаниеи анализирани примери в статията методът на Гаус за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от общ вид.

Писане на общо решение на хомогенни и нехомогенни линейни алгебрични системи с помощта на вектори на фундаменталната система от решения.

В този раздел ще говоримвърху едновременни хомогенни и нехомогенни системи от линейни алгебрични уравнения с безкраен брой решения.

Нека първо да разгледаме хомогенните системи.

Фундаментална система от решенияхомогенна система от p линейни алгебрични уравнения с n неизвестни променливи е колекция от (n – r) линейно независими решения на тази система, където r е редът на базисния минор на основната матрица на системата.

Ако означим линейно независими решения хомогенен SLAEкато X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) са колонни матрици с размерност n на 1), тогава общото решение на това хомогенна система е представена като линейна комбинация от вектори на фундаменталната система от решения с произволни постоянни коефициенти C 1, C 2, ..., C (n-r), т.е.

Какво означава терминът общо решение на хомогенна система от линейни алгебрични уравнения (oroslau)?

Значението е просто: формулата задава всичко възможни решенияоригиналния SLAE, с други думи, като вземем произволен набор от стойности на произволни константи C 1, C 2, ..., C (n-r), използвайки формулата, ще получим едно от решенията на оригиналния хомогенен SLAE.

Така, ако намерим фундаментална система от решения, тогава можем да дефинираме всички решения на тази хомогенна SLAE като .

Нека покажем процеса на конструиране на фундаментална система от решения на хомогенен SLAE.

Избираме базисния минор на оригиналната система от линейни уравнения, изключваме всички други уравнения от системата и прехвърляме всички членове, съдържащи свободни неизвестни променливи, към дясната страна на уравненията на системата с противоположни знаци. Нека дадем на свободните неизвестни променливи стойностите 1,0,0,...,0 и да изчислим основните неизвестни чрез решаване на получената елементарна система от линейни уравнения по какъвто и да е начин, например, използвайки метода на Cramer. Това ще доведе до X (1) - първото решение на фундаменталната система. Ако дадем на свободните неизвестни стойностите 0,1,0,0,…,0 и изчислим основните неизвестни, получаваме X (2) . И т.н. Ако присвоим стойностите 0.0,...,0.1 на свободните неизвестни променливи и изчислим основните неизвестни, получаваме X (n-r) . По този начин ще бъде конструирана фундаментална система от решения на хомогенна SLAE и нейното общо решение може да бъде записано във формата .

За нехомогенни системи от линейни алгебрични уравнения общото решение е представено във формата , където е общото решение на съответната хомогенна система, а е частното решение на оригиналната нехомогенна SLAE, която получаваме, като даваме на свободните неизвестни стойностите ​​0,0,…,0 и изчисляване на стойностите на основните неизвестни.

Нека да разгледаме примерите.

Пример.

Намерете основната система от решения и общото решение на хомогенна система от линейни алгебрични уравнения .

Решение.

Рангът на основната матрица на хомогенните системи от линейни уравнения винаги е равен на ранга на разширената матрица. Нека намерим ранга на основната матрица, като използваме метода на граничещите второстепенни. Като ненулев минор от първи ред приемаме елемент a 1 1 = 9 от основната матрица на системата. Нека намерим граничния ненулев минор от втори ред:

Намерен е минор от втори порядък, различен от нула. Нека да преминем през минори от трети ред, граничещи с него, в търсене на различен от нула:

Всички граничещи непълнолетни от трети ред са равни на нула, следователно рангът на основната и разширената матрица е равен на две. Да вземем. За яснота нека отбележим елементите на системата, които я формират:

Третото уравнение на оригиналния SLAE не участва във формирането на основния минор, следователно може да бъде изключено:

Оставяме членовете, съдържащи основните неизвестни от дясната страна на уравненията, и прехвърляме членовете със свободни неизвестни отдясно:

Нека изградим фундаментална система от решения на оригиналната хомогенна система от линейни уравнения. Фундаменталната система от решения на този SLAE се състои от две решения, тъй като оригиналният SLAE съдържа четири неизвестни променливи и редът на неговия основен минор е равен на две. За да намерим X (1), даваме на свободните неизвестни променливи стойностите x 2 = 1, x 4 = 0, след което намираме основните неизвестни от системата от уравнения
.

Ще продължим да усъвършенстваме нашата технология елементарни трансформациина хомогенна система от линейни уравнения.
Въз основа на първите параграфи материалът може да изглежда скучен и посредствен, но това впечатление е измамно. В допълнение към по-нататъшното развитие на техниките, ще има много нова информация, така че, моля, опитайте се да не пренебрегвате примерите в тази статия.

Какво е хомогенна система от линейни уравнения?

Отговорът се подсказва сам. Система от линейни уравнения е хомогенна, ако свободният член всичкиуравнението на системата е нула. Например:

Това е абсолютно ясно хомогенната система винаги е последователна, тоест винаги има решение. И, на първо място, това, което хваща окото е т.нар тривиаленрешение . Тривиално, за тези, които изобщо не разбират значението на прилагателното, означава без показност. Не академично, разбира се, но разбираемо =) ...Защо да се лутаме, нека да разберем дали тази система има други решения:

Пример 1

Решение: за решаване на хомогенна система е необходимо да се напише системна матрицаи с помощта на елементарни трансформации го приведете в стъпаловидна форма. Моля, обърнете внимание, че тук не е необходимо да записвате вертикалната лента и нулевата колона с безплатни термини - в крайна сметка, без значение какво правите с нули, те ще останат нули:

(1) Първият ред беше добавен към втория ред, умножен по –2. Първият ред беше добавен към третия ред, умножен по –3.

(2) Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по –1.

Разделянето на третия ред на 3 няма много смисъл.

В резултат на елементарни преобразувания се получава еквивалентна хомогенна система и, използвайки обратния метод на Гаус, е лесно да се провери, че решението е уникално.

отговор:

Нека формулираме един очевиден критерий: хомогенна система от линейни уравнения има само тривиално решение, Ако ранг на системната матрица(в случая 3) е равен на броя на променливите (в случая – 3 броя).

Нека загреем и настроим нашето радио на вълната от елементарни трансформации:

Пример 2

Решете хомогенна система от линейни уравнения

За да консолидираме окончателно алгоритъма, нека анализираме последната задача:

Пример 7

Решете хомогенна система, запишете отговора във векторна форма.

Решение: нека напишем матрицата на системата и, използвайки елементарни трансформации, я привеждаме в поетапна форма:

(1) Променен е знакът на първия ред. Още веднъж обръщам внимание на техника, която е била срещана много пъти, което ви позволява значително да опростите следващото действие.

(1) Първият ред беше добавен към 2-ри и 3-ти ред. Първият ред, умножен по 2, беше добавен към 4-тия ред.

(3) Последните три реда са пропорционални, два от тях са премахнати.

В резултат на това се получава стандартна стъпкова матрица и решението продължава по набраздената писта:

– основни променливи;
– свободни променливи.

Нека изразим основните променливи чрез свободни променливи. От второто уравнение:

– заместване в 1-вото уравнение:

Така че общото решение е:

Тъй като в разглеждания пример има три свободни променливи, фундаменталната система съдържа три вектора.

Нека заместим тройка от стойности в общото решение и да получим вектор, чиито координати удовлетворяват всяко уравнение на хомогенната система. И отново повтарям, че е силно препоръчително да проверявате всеки получен вектор - няма да отнеме много време, но напълно ще ви предпази от грешки.

За тройка ценности намерете вектора

И накрая за тримата получаваме третия вектор:

отговор: , Къде

Тези, които желаят да избегнат дробни стойности, могат да обмислят тройки и да получите отговор в еквивалентна форма:

Говорейки за дроби. Нека разгледаме матрицата, получена в задачата и нека се запитаме: възможно ли е да се опрости по-нататъшното решение? В крайна сметка тук първо изразихме основната променлива чрез дроби, след това чрез дроби основната променлива и, трябва да кажа, този процес не беше най-простият и не най-приятният.

Второ решение:

Идеята е да се опита изберете други базисни променливи. Нека погледнем матрицата и забележим две единици в третата колона. Така че защо да няма нула в горната част? Нека извършим още една елементарна трансформация:

Дадени матрици

Намерете: 1) aA - bB,

Решение: 1) Намираме го последователно, като използваме правилата за умножаване на матрица по число и събиране на матрици..

2. Намерете A*B if

Решение: Използваме правилото за умножение на матрици

отговор:

3. За дадена матрица намерете второстепенното M 31 и изчислете детерминантата.

Решение: Малък M 31 е детерминантата на матрицата, която се получава от A

след задраскване на ред 3 и колона 1. Намираме

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

Нека трансформираме матрица А, без да променяме детерминантата й (нека направим нули в ред 1)

-3*, -, -4*
-10			-15
-20			-25
-4			-5

Сега изчисляваме детерминантата на матрица A чрез разширяване по ред 1

Отговор: M 31 = 0, detA = 0

Решете с помощта на метода на Гаус и метода на Крамер.

2x 1 + x 2 + x 3 = 2

x 1 + x 2 + 3x 3 = 6

2x 1 + x 2 + 2x 3 = 5

Решение: Да проверим

Можете да използвате метода на Cramer

Решение на системата: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3

Нека приложим метода на Гаус.

Нека редуцираме разширената матрица на системата до триъгълна форма.

За по-лесно изчисление, нека разменим редовете:

Умножете втория ред по (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) и добавете към 3-то:

	1 / 2		7 / 2

Умножете първия ред по (k = -2 / 2 = -1 ) и добавете към 2-ро:

Сега оригиналната система може да бъде написана като:

x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 - (6x 3)

От 2-ри ред изразяваме

От 1-ви ред изразяваме

Решението е същото.

Отговор: (2; -5; 3)

Намерете общото решение на системата и FSR

13x 1 – 4x 2 – x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0

11x 1 – 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

Решение: Да приложим метода на Гаус. Нека редуцираме разширената матрица на системата до триъгълна форма.

	-4	-1	-4	-6
	-2		-2	-3
х 1	х 2	х 3	х 4	х 5

Умножете първия ред по (-11). Нека умножим втория ред по (13). Нека добавим 2-ри ред към 1-ви:

	-2		-2	-3

Умножете втория ред по (-5). Нека умножим 3-тия ред по (11). Нека добавим третия ред към втория:

Умножете 3-тия ред по (-7). Нека умножим 4-тия ред по (5). Нека добавим 4-тия ред към 3-тия:

Второто уравнение е линейна комбинация от останалите

Нека намерим ранга на матрицата.

	-18	-24	-18	-27
х 1	х 2	х 3	х 4	х 5

Избраният минор има най-висок ред (от възможните минори) и е различен от нула (равен е на произведението на елементите на обратния диагонал), следователно rang(A) = 2.

Този минор е основен. Той включва коефициенти за неизвестните x 1 , x 2 , което означава, че неизвестните x 1 , x 2 са зависими (основни), а x 3 , x 4 , x 5 са ​​свободни.

Система с коефициенти на тази матрица е еквивалентна оригинална системаи има формата:

18x 2 = 24x 3 + 18x 4 + 27x 5

7x 1 + 2x 2 = - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5

Използвайки метода за елиминиране на неизвестни, намираме общо решение:

x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5

x 1 = - 1/3 x 3

Намираме фундаментална система от решения (FSD), която се състои от (n-r) решения. В нашия случай n=5, r=2, следователно фундаменталната система от решения се състои от 3 решения и тези решения трябва да бъдат линейно независими.

За да бъдат редовете линейно независими, е необходимо и достатъчно рангът на матрицата, съставена от елементи на ред, да бъде равен на броя на редовете, тоест 3.

Достатъчно е да зададете свободните неизвестни x 3 , x 4 , x 5 стойности от редовете на детерминанта от 3-ти ред, различни от нула, и да изчислите x 1 , x 2 .

Най-простият ненулев детерминант е единичната матрица.

Но е по-удобно да се вземе тук

Ние намираме с помощта на общото решение:

а) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = -2, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 4 Þ

аз Решение на FSR: (-2; -4; 6; 0;0)

б) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = 0, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 6 Þ

II FSR решение: (0; -6; 0; 6;0)

в) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = 0, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = -9 Þ

III решение на FSR: (0; - 9; 0; 0;6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0;0), (0; -6; 0; 6;0), (0; - 9; 0; 0;6)

6. Дадено е: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 – 4i. Намерете: a) z 1 – 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 /z 2

Решение: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

Отговор: а) -3i б) 12+26i в) -1,4 – 0,3i