Асимптотични свойства на базирана на характеризиране симетрия и тестове за съгласие. Асимптотично поведение на функциите. сравнение на безкрайно малки функции. Асимптотични критерии за избор

Обект на изследване и актуалност на темата. В теорията на статистическия анализ на дискретни последователности специално място заемат тестовете за добро съответствие за тестване на евентуално сложна нулева хипотеза, която е тази за случайна последователност, такава че

Xi e hi,i = 1, ,n, където hi = (0,1,. ,M), за всяко i = 1,.,n и за всяко k £ 1m вероятността на събитието

Xi = k) не зависи от r. Това означава, че последователността е в някакъв смисъл стационарна.

В редица приложни проблеми последователността (Xr-)™ = 1 се счита за последователност от цветове на топки, когато се избира без връщане до изчерпване от урна, съдържаща n - 1 > 0 топки от цвят k, k € 1m - Ще обозначим множеството от такива селекции O(n0 - 1, .,pm - 1). Нека има общо n - 1 топки в урната, m k=0

Нека означим с r(k) (fc) Jk) rw - Г! , . . . , поредица от номера на топки от цвят A; в пробата. Разгледайте последователността, където k)

Kk-p-GPk1.

Последователността h^ се определя с помощта на разстоянията между местоположенията на съседни топки от цвят k по такъв начин, че

Pk Kf = 1>=1

Наборът от последователности h(fc) за всички k £ 1m еднозначно определя последователностите hk за различни k зависят една от друга. По-специално, всеки един от тях се определя еднозначно от всички останали. Ако кардиналността на набора 1m е 2, тогава последователността от цветове на топките се определя еднозначно от последователността на разстоянията между местата на съседни топки от същия фиксиран цвят. Нека урна, съдържаща n - 1 топки, има две различни цветове, има N - 1 топки с цвят 0. Може да се установи едно-към-едно съответствие между множеството ffl(N- l,n - N) и множеството 9\n,N вектора h(n, N) = (hi,., hjf) с положителни цели числа, така че K = P. (0,1)

Множеството 9РП)дг съответства на множеството от всички различни дялове на положително цяло число n на N подредени членове.

След като зададем определено вероятностно разпределение върху множеството от вектори £Hn,dr, получаваме съответното вероятностно разпределение върху множеството Wl(N - 1,n - N). Наборът е подмножество на набор от вектори с неотрицателни цели числа, които отговарят на (0.1). Разпределенията на формата ще се разглеждат като вероятностни разпределения върху набор от вектори в дисертационната работа

P(%,N) = (n,.,rN)) = P(£„ = ru,v = l,.,N\jr^ = n), (0.2) където. ,£dr - независими неотрицателни цели числа случайни променливи.

Разпределения от вида (0.2) в /24/ се наричат ​​обобщени схеми за разполагане на n частици в N клетки. По-специално, ако случайните променливи £b. ,£lg в (0.2) са разпределени съгласно законите на Поасон с параметри съответно Ai,., Ldr, тогава векторът h(n,N) има полиномиално разпределение с вероятностите за резултати

Ri = . , L", V = \,.,N.

L\ + . . . + АН

Ако случайните променливи £ь >&v в (0-2) са еднакво разпределени съгласно геометричния закон, където p е всяко в интервала 0< р < 1, то, как отмечено в /25/,/26/, получающаяся обобщенная схема размещения соответствует равномерному распределению на множестве В силу взаимнооднозначного соответствия между множеством dft(N - 1 ,п - N) и множеством tRn,N получаем равномерное распределение на множестве выборов без возвращения. При этом, вектору расстояний между местами шаров одного цвета взаимно однозначно соответствует вектор частот в обобщенной схеме размещения, и, соответственно, числу расстояний длины г - число ячеек, содержащих ровно г частиц. Для проверки по единственной последовательности гипотезы о том, что она получена как результат выбора без возвращения, и каждая такая выборка имеет одну и ту же вероятность можно проверить гипотезу о том, что вектор расстояний между местами шаров цвета 0 распределен как вектор частот в соответствующей обобщенной схеме размещения п частиц по N ячейкам.

Както е отбелязано в /14/, /38/, специално място в тестването на хипотези за разпределението на честотните вектори h(n, N) = (hi,., /gdr) в обобщени схеми за поставяне на n частици в N клетки заема по критерии, базирани на базата на статистика от формата 1 m(N -l,n-N)\ N

LN(h(n,N))=Zfv(hv)

Фн = Ф(-Т7, flQ Hi II-

0,4), където fu, v = 1,2,. и φ - някои реални функции, N

Mr = E = r), r = 0,1,. 1/=1

Величините в /27/ се наричат ​​брой клетки, съдържащи точно g частици.

Статистиките от формата (0.3) в /30/ се наричат ​​разделими (аддитивно разделими) статистики. Ако функциите /„ в (0.3) не зависят от u, тогава такива статистики се наричат ​​в /31/ симетрични разделими статистики.

За всяко r статистиката /xr е симетрична разделима статистика. От равенството

E DM = E DFg (0.5) следва, че класът на симетричните разделими статистики на hv съвпада с класа на линейните функции на fir. Освен това класът на функциите на формата (0.4) е по-широк от класа на симетричните разделими статистики.

Но = (#o(n, N)) е поредица от прости нулеви хипотези, че разпределението на вектора h(n, N) е (0.2), където са случайните променливи,. в (0.2) са еднакво разпределени и k) = pk,k = 0,1,2,., параметрите n, N се променят в централната област.

Да разгледаме някои P £ (0,1) и последователност от, най-общо казано, сложни алтернативи

H = (H(n, N)) такова, че съществува - максималният брой, за който, за всяка проста хипотеза H\ € H(n, N), неравенството е в сила

РШ > an,N(P)) > Р

Ще отхвърлим хипотезата Hq(ti,N), ако fm > asm((3). Ако има ограничение

Шп ~1пР(0н > an,N(P))=u(p,Н), където вероятността за всяко N се изчислява при хипотезата Нк(п, N), тогава стойността ^(/З, Н) е назован в /38/ индекс на критерия φ в точката (j3, H). Последната граница може, най-общо казано, да не съществува. Ето защо в дисертационния труд освен критериалния индекс се разглежда стойността

Ish (~1pP(fm > al(/?)))

JV->oo N-ooo означава съответно долната и горната граница на последователността (odg) за N -> oo,

Ако съществува индекс на критерия, тогава индексът на критерия съвпада с него. По-ниският индекс на критерия винаги съществува. Колкото по-висока е стойността на индекса на критерия (долния индекс на критерия), толкова по-добър е статистическият критерий в разглеждания смисъл. В /38/ проблемът за конструиране на критерии за съгласие за обобщени оформления с най-висока стойносткритерий индекс в класа от критерии, които отхвърлят хипотезата Ho(n,N) при /MO Ml Mt GC iV" iV""""" ~yv" " ^ " където m > 0 е някакво фиксирано число, последователността от константа единиците се избират въз основа на дадена стойност на мощността на критерия за последователност от алтернативи, ft е реална функция от m + 1 аргумента.

Индексите на критериите се определят от вероятностите за големи отклонения. Както беше показано в /38/, грубата (до логаритмична еквивалентност) асимптотика на вероятностите за големи отклонения на отделими статистики, когато условието на Крамер е изпълнено за случайната променлива /(ξ) се определя от съответния Kull-Bak-Leibler- Информационно разстояние на Санов (случайната променлива rj удовлетворява условието Крамер, ако за някои R > 0 генериращата момент функция Metr] е крайна в интервала \t\< Н /28/).

Въпросът за вероятностите за големи отклонения на статистиката от неограничен брой ели, както и за произволни отделими статистики, които не отговарят на условието на Крамер, остана отворен. Това не ни позволи окончателно да решим проблема с конструирането на критерии за тестване на хипотези в обобщени схеми за поставяне с най-висок процент на сближаване на вероятността от грешка от първи вид до нула с алтернативи, които не се приближават в класа от критерии, базирани на статистика на формата (0.4). Актуалността на дисертационното изследване се определя от необходимостта от завършване на решението на поставения проблем.

Целта на дисертационния труд е да се конструират критерии за съответствие с най-висока стойност на индекса на критерия (долен индекс на критерия) за проверка на хипотези в схема за подбор без връщане в класа критерии, които отхвърлят хипотезата U(n , N) за $.<>,■ ■)><*. (0-7) где ф - функция от счетного количества аргументов, и параметры п, N изменяются в центральной области.

В съответствие с целта на изследването бяха поставени следните задачи:

Изследвайте свойствата на ентропията и информационното разстояние Kull-Bak - Leibler - Sanov за дискретни разпределения с изброим брой резултати;

Изследване на вероятностите за големи отклонения на статистиката на формата (0,4);

Изследване на вероятностите за големи отклонения на симетрични сепарируеми статистики (0,3), които не отговарят на условието на Крамер;

Намерете такава статистика, че критерият за съответствие, конструиран въз основа на него за тестване на хипотези в обобщени оформления, има най-високата стойност на индекса в класа от критерии на формата (0,7).

Научна новост:

Научна и практическа стойност. Работата решава редица въпроси относно поведението на вероятностите за големи отклонения в обобщените схеми за разположение. Получените резултати могат да се използват в образователен процесв специалностите по математическа статистика и теория на информацията, при изучаване на статистически процедури за анализ на дискретни последователности и са използвани в /3/, /21/ при обосноваване на сигурността на един клас информационни системи. Разпоредби за защита:

Намаляване на проблема с тестването, базирано на една последователност от цветове на топки, хипотезата, че тази последователност е получена в резултат на избор без връщане, докато топките бъдат изчерпани от урна, съдържаща топки от два цвята, и всеки такъв избор има същата вероятност, за изграждането на критерии за добро съответствие за тестване на хипотези в съответното обобщено оформление;

Непрекъснатост на функциите на ентропията и информационното разстояние на Кулбак-Лайблер-Санов върху безкрайномерен симплекс с въведената логаритмична обобщена метрика;

Теорема за грубата (до логаритмична еквивалентност) асимптотика на вероятностите за големи отклонения на симетрични сепарируеми статистики, които не отговарят на условието на Крамер в схемата на обобщено разположение в полуекспоненциалния случай;

Теорема за груба (до логаритмична еквивалентност) асимптотика на вероятностите за големи отклонения за статистика от вида (0.4);

Изграждане на критерий за съответствие за проверка на хипотези в обобщени оформления с най-висока стойност на индекса в класа критерии на формата (0.7).

Апробация на работата. Резултатите бяха представени на семинари на катедрата по дискретна математика на Математическия институт на име. V. A. Steklov RAS, отдел за информационна сигурност на ITM&VT на име. S. A. Lebedev RAS и в:

Пети общоруски симпозиум по приложна и промишлена математика. Пролетна сесия, Кисловодск, 2 - 8 май 2004 г.;

Шеста международна Петрозаводска конференция "Вероятностни методи в дискретната математика" 10 - 16 юни 2004 г.;

Втора международна конференция " Информационни системии технологии (IST"2004), Минск, 8-10 ноември 2004 г.;

Международна конференция "Съвременни проблеми и нови тенденции в теорията на вероятностите", Черновци, Украйна, 19 - 26 юни 2005 г.

Основните резултати от работата са използвани в изследователската работа "Апология", извършена от ИТМиВТ РАН. С. А. Лебедев в интерес на Федералната служба за технически и експортен контрол на Руската федерация и бяха включени в доклада за изпълнението на етапа на изследването /21/. Някои резултати от дисертацията са включени в научния доклад "Развитие на математическите проблеми на криптографията" на Академията по криптография на Руската федерация за 2004 г. /22/.

Авторът изказва дълбока благодарност на научния ръководител, доктор на физико-математическите науки Ронжин А. Ф. и научния консултант, доктор на физико-математическите науки, ст. н. с. А. В. Князев Авторът изказва благодарност на доктора на физико-математическите науки, професор А. М. Зубков. и кандидат на физико-математическите науки Математически науки И. А. Круглов за вниманието към работата и редица ценни коментари.

Структура и съдържание на работата.

Първата глава разглежда свойствата на ентропията и информационното разстояние за разпределения върху множеството от неотрицателни цели числа.

В първия параграф на първа глава се въвеждат обозначения и се дават необходимите определения. По-специално се използва следната нотация: x = (xq,x\, . ) - безкрайномерен вектор с изброим брой компоненти;

H(x) - -Ex^oXvlnx,-, truncm(x) = (x0,x1,.,xm,0,0,.)] f2* = (x, xi > 0, zy = 0,1,. , О "< 1}; Q = {х, х, >0,u = 0,1,., o xv = 1); = (x G O, ££L0 = 7);

Ml = o Ue>1|5 € o< Ml - 7МГ1 < 00}. Понятно, что множество £1 соответствует семейству вероятностных распределений на множестве неотрицательных целых чисел, П7 - семейству вероятностных распределений на множестве неотрицательных целых чисел с математическим ожиданием 7.

Ако y 6E P, тогава за e > 0 множеството ще бъде означено с Oe(y)

Oe(y) - (x^< уие£ для всех v = 0,1,.}.

Във втори параграф на първа глава е доказана теорема за ограничеността на ентропията на дискретни разпределения с ограничено математическо очакване.

Теорема 1. За ограничеността на ентропията на дискретни разпределения с ограничено математическо очакване.

За всеки 6 P7

H(x)

Ако x € fly съответства на геометрично разпределение с математическа дефиниция 7, т.е. 7 x„ = (1- р)р\ v = 0,1,., където р = --,

1 + 7 тогава равенството е в сила

H(x) = F(<7).

Твърдението на теоремата може да се разглежда като резултат от формално приложение на метода на Лагранж на условните множители в случай на безкраен брой променливи. Теоремата, че единственото разпределение на множеството (k, k + 1, k + 2,.) с дадено математическо очакване и максимална ентропия е геометрично разпределение с дадено математическо очакване е дадено (без доказателство) в /47/. Авторът обаче е дал строги доказателства.

Третият параграф на първа глава дава дефиницията на обобщена метрика - метрика, която позволява безкрайни стойности.

За x,y € Q функцията p(x,y) се определя като минималното e > O със свойството yye~£<хи< уиее для всех и = 0,1,. Если такого е не существует, то полагается, что р(х,у) = оо.

Доказано е, че функцията p(x,y) е обобщена метрика върху семейството от разпределения върху множеството от неотрицателни цели числа, както и върху цялото множество Cl*. Вместо e в дефиницията на показателя p(x,y), можете да използвате всяко друго положително число, различно от 1. Получените показатели ще се различават с мултипликативна константа. Нека означим с J(x, y) информационното разстояние

00 £ J(x,y) = E In-.

Тук и по-долу се приема, че 0 In 0 = 0.0 In jj = 0. Информационното разстояние е определено за такива x, y, че x„ = 0 за всички и такива, че y = 0. Ако това условие не е изпълнено, тогава ние ще приеме J(x,ij) = oo. Нека L SP. Тогава ще обозначим

J (A Y) = |nf J(x,y).

Четвъртият параграф на първа глава дава определението за компактност на функции, дефинирани върху множеството Q*. Компактността на функция с изброим брой аргументи означава, че с всякаква степен на точност стойността на функцията може да бъде апроксимирана от стойностите на тази функция в точки, където само краен брой аргументи са различни от нула. Доказана е компактността на функциите на ентропията и информационното разстояние.

1. За всяка 0< 7 < оо функция Н(х) компактна на

2. Ако за някои 0< 70 < оо

R e тогава за всяка 0<7<оо,г>0 функцията x) = J(x,p) е компактна в множеството

Петият параграф на първа глава обсъжда свойствата на информационното разстояние, дефинирано в безкрайномерно пространство. В сравнение с крайномерния случай ситуацията с непрекъснатостта на функцията на информационното разстояние се променя качествено. Показано е, че функцията на информационното разстояние не е непрекъсната върху множеството в нито една от метриките

Pl&V) = E\Xi~Y»\, u=0

E (xv - Ui)2 v=Q

Рз(х,у) = 8Up\xu-yv\. v

Доказана е валидността на следните неравенства за ентропийните функции H(x) и информационното разстояние J(x,p):

1. За всяко x, x" € fi

N(x) - N(x")\< - 1){Н{х) + Н{х")).

2. Ако за някои x,p e P съществува e > 0 такова, че x 6 0 £(p), то за всяко x" £ Q J(x,p) - J(x",p)|< (е"М - 1){Н{х) + Н{х") + ееН(р)).

От тези неравенства, като се вземе предвид теорема 1, следва, че функциите на ентропията и информационното разстояние са равномерно непрекъснати върху съответните подмножества на Q в метриката p(x,y)t, а именно,

1. За всяко 7, такова че 0< 7 < оо, функция Н(х) равномерно непрерывна на Г2 в метрике р(ж,у);

2. Ако за едни 70, 0< 70 < оо

TO за всяка 0<7<оои£>0 функция

L p(x) = J(x,p) е равномерно непрекъснато в множеството Π Oe(p) в метриката p(x,y).

Дадено е определение за неекстремалност на функция. Неекстремалното условие означава, че функцията няма локални екстремуми или функцията приема същите стойности при локални минимуми (локални максимуми). Условието за неекстремност отслабва изискването за липса на локални екстремуми. Например функцията sin x в множеството от реални числа има локални екстремуми, но удовлетворява условието за неекстремност.

Нека за някои 7 > 0, областта A е дадена от условието

A = (x € VLv4>(x) > a), (0.9) където φ(x) е функция с реална стойност, a е някаква реална константа, inf φ(x)< а < inf ф(х).

Изследван е въпросът при какви условия върху функцията φ при промяна на параметрите n,N в централната област, ^ -; 7, за всички достатъчно големи стойности има неотрицателни цели ko, k\,., kn такива, че k0 + ki + . + kn = N, k\ + 2k2. + табло за управление - N и

F(ko k\ kp

-£,0,0 ,.)>а.

Доказано е, че за това е достатъчно да се изисква функцията φ да е неекстремна, компактна и непрекъсната в метриката p(x,y), а също така, че за поне една точка x, удовлетворяваща (0.9), за някои e > 0 съществува краен момент степени 1 + e и x„ > 0 за всяко v = 0,1.

Във втората глава изучаваме грубата (до логаритмична еквивалентност) асимптотика на вероятността за големи отклонения на функциите от D = (^0) ■ ) Ts "n, 0, .) - броя на клетките с дадено запълване в централната област на изменение на параметрите N, n Груба Асимптотиката на вероятностите за големи отклонения е достатъчна за изследване на показателите на критериите за съответствие.

Нека случайните променливи ^ в (0.2) са еднакво разпределени и

P(z) - генерираща функция на случайна променлива - събира се в окръжност с радиус 1< R < оо. Следуя /38/, для 0 < z < R обозначим через £(z) случайную величину такую, что

Ml+£ = £ i1+ex„< 00.

0,10) k] = Pk, k = 0,1,.

Нека обозначим

Ако има решение на уравнението m Z(z) = ъ то то е единствено /38/. Навсякъде по-нататък ще приемем, че pk > O,A; = 0,1,.

Първият параграф на първия параграф на втората глава съдържа асимптотиката на логаритмите на вероятностите от формата

1pP(/x0 = ko,.,tsp = kp).

Доказана е следната теорема.

Теорема 2. Груба локална теорема за вероятностите за големи отклонения. Нека n, N -> оо, така че jj ->7,0<7 < оо, существует z7 - корень уравнения M£(z) = 7, с. в. £(г7) имеет положительную дисперсию. Тогда для любого k G Cl(n,N)

1nP(D = k) = JftpK)) + O(^lniV).

Твърдението на теоремата следва пряко от формулата за съвместното разпределение fii,. fin в /26/ и следната оценка: ако неотрицателните цели числа, Нп отговарят на условието

Hi + 2d2 + + PNn = n, тогава броят на ненулевите стойности сред тях е 0(l/n). Това е груба оценка и не претендира да е нова. Броят на ненулевите CG в обобщените схеми на оформление не надвишава стойността на максималното запълване на клетките, което в централната област, с вероятност, клоняща към 1, не надвишава стойността O(lnn) /25/, / 27/. Независимо от това, получената оценка 0(y/n) е удовлетворена с вероятност 1 и е достатъчна за получаване на груба асимптотика.

Във втория параграф на първия параграф на втората глава се намира стойността на границата, където adg е поредица от реални числа, сходни към някои a G R, φ(x) е функция с реална стойност. Доказана е следната теорема.

Теорема 3. Груба интегрална теорема за вероятностите за големи отклонения. Нека условията на теорема 2 са изпълнени, за някои r > 0, C > 0 реалната функция φ(x) е компактна, равномерно непрекъсната в метриката p на множеството

A = 0r+<;(p(z7)) П Ц7+с] и удовлетворяет условию неэкстремальности на множестве fly. Если для некоторой константы а такой, что inf ф(х) < а < sup ф(х). xeily существует вектор ра € fi7 П 0r(p(z7)); такой, что

Ф(ra) > a и j(( (x) >a,xe P7),p(2;7)) = 7(pa,p(*y)) mo за всяка последователност a^, сходна към a,