Площ на триъгълник - формули и примери за решаване на задачи

По-долу са формули за намиране на площта на произволен триъгълниккоито са подходящи за намиране на площта на всеки триъгълник, независимо от неговите свойства, ъгли или размери. Формулите са представени под формата на картина, с обяснения за тяхното приложение или обосновка за тяхната коректност. Освен това на отделна фигура е показано съответствието между буквените символи във формулите и графичните символи на чертежа.

Забележка . Ако триъгълникът има специални свойства(равнобедрен, правоъгълен, равностранен), можете да използвате формулите, дадени по-долу, както и допълнителни специални формули, които са валидни само за триъгълници с тези свойства:

• "Формула за площта на равностранен триъгълник"

Формули за площ на триъгълник

Обяснения към формулите:
a, b, c- дължините на страните на триъгълника, чиято площ искаме да намерим
r- радиус на окръжността, вписана в триъгълника
Р- радиус на окръжността, описана около триъгълника
ч- височина на триъгълника, спуснат настрани
стр- полупериметър на триъгълник, 1/2 от сбора на страните му (периметър)
α - ъгъл срещу страна а на триъгълника
β - ъгъл срещу страна b на триъгълника
γ - ъгъл срещу страната c на триъгълника
ч а, ч b , ч ° С- височина на триъгълника, спуснат до страни a, b, c

Моля, обърнете внимание, че дадените обозначения съответстват на фигурата по-горе, така че при решаване на реален геометричен проблем ще ви бъде визуално по-лесно да замените правилните стойности на правилните места във формулата.

• Площта на триъгълника е половината от произведението на височината на триъгълника и дължината на страната, с която тази височина е намалена(Формула 1). Правилността на тази формула може да се разбере логично. Височината, спусната до основата, ще раздели произволен триъгълник на два правоъгълни. Ако построите всеки от тях в правоъгълник с размери b и h, тогава очевидно площта на тези триъгълници ще бъде равна на точно половината от площта на правоъгълника (Spr = bh)
• Площта на триъгълника е половината от произведението на двете му страни и синуса на ъгъла между тях(Формула 2) (вижте пример за решаване на задача с помощта на тази формула по-долу). Въпреки факта, че изглежда различен от предишния, той лесно може да се трансформира в него. Ако намалим височината от ъгъл B към страната b, се оказва, че произведението на страната a и синуса на ъгъл γ, според свойствата на синуса в правоъгълен триъгълник, е равно на височината на триъгълника, който начертахме , което ни дава предишната формула
• Може да се намери площта на произволен триъгълник през работаполовината от радиуса на вписаната в нея окръжност от сумата от дължините на всичките й страни(Формула 3), просто казано, трябва да умножите полупериметъра на триъгълника по радиуса на вписания кръг (това е по-лесно за запомняне)
• Площта на произволен триъгълник може да се намери, като продуктът на всичките му страни се раздели на 4 радиуса на описаната около него окръжност (Формула 4)
• Формула 5 е намиране на площта на триъгълник чрез дължините на страните му и неговия полупериметър (половината от сбора на всичките му страни)
• Формулата на Херон(6) е представяне на същата формула без използване на концепцията за полупериметър, само чрез дължините на страните
• Площта на произволен триъгълник е равна на произведението на квадрата на страната на триъгълника и синусите на ъглите, съседни на тази страна, разделени на двойния синус на ъгъла, противоположен на тази страна (Формула 7)
• Площта на произволен триъгълник може да се намери като произведение на два квадрата на окръжността, описана около него от синусите на всеки от неговите ъгли. (Формула 8)
• Ако са известни дължината на едната страна и стойностите на два съседни ъгъла, тогава площта на триъгълника може да се намери като квадрат на тази страна, разделен на двойната сума на котангенсите на тези ъгли (Формула 9)
• Ако е известна само дължината на всяка от височините на триъгълника (Формула 10), тогава площта на такъв триъгълник е обратно пропорционална на дължините на тези височини, както според формулата на Херон
• Формула 11 ви позволява да изчислявате площ на триъгълник въз основа на координатите на неговите върхове, които са посочени като (x;y) стойности за всеки от върховете. Моля, обърнете внимание, че получената стойност трябва да се вземе по модул, тъй като координатите на отделните (или дори всички) върхове може да са в областта на отрицателните стойности

Забележка. Следват примери за решаване на геометрични задачи за намиране на площта на триъгълник. Ако трябва да решите геометрична задача, която не е подобна тук, пишете за това във форума. В решенията вместо символа " Корен квадратен" може да се използва функцията sqrt(), в която sqrt е символът за квадратен корен, а радикалният израз е посочен в скоби.Понякога за прости радикални изрази може да се използва символът √

Задача. Намерете площта на дадените две страни и ъгъла между тях

Страните на триъгълника са 5 и 6 см. Ъгълът между тях е 60 градуса. Намерете площта на триъгълника.

Решение.

За решаването на тази задача използваме формула номер две от теоретичната част на урока.
Площта на триъгълник може да се намери чрез дължините на двете страни и синуса на ъгъла между тях и ще бъде равна на
S=1/2 ab sin γ

Тъй като имаме всички необходими данни за решението (според формулата), можем само да заместим стойностите от условията на задачата във формулата:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

В таблицата със стойности на тригонометричните функции ще намерим и заместим стойността на синус 60 градуса в израза. Ще бъде равно на корен от три по две.
S = 15 √3 / 2

Отговор: 7,5 √3 (в зависимост от изискванията на учителя, вероятно можете да оставите 15 √3/2)

Задача. Намерете площта на равностранен триъгълник

Намерете лицето на равностранен триъгълник със страна 3 cm.

Решение .

Площта на триъгълник може да се намери с помощта на формулата на Heron:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Тъй като a = b = c, формулата за площта на равностранен триъгълник приема формата:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Отговор: 9 √3 / 4.

Задача. Промяна в площта при промяна на дължината на страните

Колко пъти ще се увеличи площта на триъгълника, ако страните се увеличат 4 пъти?

Решение.

Тъй като размерите на страните на триъгълника не са ни известни, за решаване на задачата ще приемем, че дължините на страните са съответно равни на произволни числа a, b, c. След това, за да отговорим на въпроса на задачата, ще намерим площта на дадения триъгълник, а след това ще намерим площта на триъгълника, чиито страни са четири пъти по-големи. Отношението на площите на тези триъгълници ще ни даде отговора на задачата.

По-долу предоставяме текстово обяснение на решението на проблема стъпка по стъпка. В самия край обаче същото това решение е представено в по-удобна графична форма. Тези, които се интересуват, могат веднага да преминат към решенията.

За решаване използваме формулата на Heron (вижте по-горе в теоретичната част на урока). Изглежда така:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(вижте първия ред на снимката по-долу)

Дължините на страните на произволен триъгълник се задават от променливите a, b, c.
Ако страните се увеличат 4 пъти, тогава площта на новия триъгълник c ще бъде:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(вижте втория ред на снимката по-долу)

Както можете да видите, 4 - общ множител, които могат да бъдат извадени от скоби от всичките четири израза според Общи правиламатематика.
Тогава

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - на третия ред на картината
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - четвърти ред

Коренът квадратен от числото 256 е идеално извлечен, така че нека го извадим изпод корена
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(вижте петия ред на снимката по-долу)

За да отговорим на въпроса, зададен в задачата, просто трябва да разделим площта на получения триъгълник на площта на първоначалния.
Нека определим съотношенията на площите, като разделим изразите един на друг и намалим получената дроб.

За да определите площта на триъгълник, можете да използвате различни формули. От всички методи най-лесният и най-често използваният е височината да се умножи по дължината на основата и резултатът да се раздели на две. въпреки това този методдалеч не е единственият. По-долу можете да прочетете как да намерите площта на триъгълник с помощта на различни формули.

Отделно ще разгледаме начините за изчисляване на площта на конкретни видове триъгълници - правоъгълни, равнобедрени и равностранни. Придружаваме всяка формула с кратко обяснение, което ще ви помогне да разберете нейната същност.

Универсални методи за намиране на площта на триъгълник

Формулите по-долу използват специална нотация. Ще дешифрираме всеки от тях:

• a, b, c – дължините на трите страни на фигурата, която разглеждаме;
• r е радиусът на окръжността, която може да бъде вписана в нашия триъгълник;
• R е радиусът на окръжността, която може да бъде описана около него;
• α е големината на ъгъла, образуван от страни b и c;
• β е големината на ъгъла между a и c;
• γ е големината на ъгъла, образуван от страни a и b;
• h е височината на нашия триъгълник, спусната от ъгъл α към страна a;
• p – половината от сбора на страни a, b и c.

Логически е ясно защо можете да намерите площта на триъгълник по този начин. Триъгълникът може лесно да бъде завършен в успоредник, в който едната страна на триъгълника ще действа като диагонал. Площта на успоредник се намира чрез умножаване на дължината на една от страните му по стойността на височината, начертана към нея. Диагоналът разделя този условен паралелограм на 2 еднакви триъгълника. Следователно е съвсем очевидно, че площта на нашия оригинален триъгълник трябва да бъде равна на половината от площта на този спомагателен успоредник.

S=½ a b sin γ

Според тази формула площта на триъгълник се намира чрез умножаване на дължините на двете му страни, тоест a и b, по синуса на ъгъла, образуван от тях. Тази формула логично произтича от предишната. Ако намалим височината от ъгъл β към страна b, тогава според свойствата правоъгълен триъгълник, когато умножим дължината на страната a по синуса на ъгъла γ, получаваме височината на триъгълника, тоест h.

Площта на въпросната фигура се намира чрез умножаване на половината радиус на окръжността, която може да бъде вписана в нея, по нейния периметър. С други думи, намираме произведението на полупериметъра и радиуса на споменатата окръжност.

S= a b c/4R

Според тази формула стойността, от която се нуждаем, може да бъде намерена, като продуктът на страните на фигурата се раздели на 4 радиуса на описаната около нея окръжност.

Тези формули са универсални, тъй като позволяват да се определи площта на всеки триъгълник (мащабен, равнобедрен, равностранен, правоъгълен). Това може да стане с помощта на по-сложни изчисления, на които няма да се спираме подробно.

Площи на триъгълници със специфични свойства

Как да намерим площта на правоъгълен триъгълник? Особеността на тази фигура е, че двете й страни са едновременно нейни височини. Ако a и b са катети и c става хипотенуза, тогава намираме площта по следния начин:

Как да намерите площта на равнобедрен триъгълник? Има две страни с дължина a и една страна с дължина b. Следователно неговата площ може да бъде определена чрез разделяне на 2 на произведението на квадрата на страната a на синуса на ъгъл γ.

Как да намерите площта на равностранен триъгълник? В него дължината на всички страни е равна на a, а големината на всички ъгли е α. Височината му е равна на половината от произведението на дължината на страна a и корен квадратен от 3. За да намерите площта на правилен триъгълник, трябва да умножите квадрата на страна a по корен квадратен от 3 и да разделите на 4.

Понятие за площ

Концепцията за площта на всяка геометрична фигура, по-специално триъгълник, ще бъде свързана с фигура като квадрат. За единица площ на всяка геометрична фигура ще вземем площта на квадрат, чиято страна е равна на едно. За пълнота нека си припомним две основни свойства за понятието области геометрични форми.

Свойство 1:Ако геометричните фигури са равни, то техните повърхнини също са равни.

Свойство 2:Всяка фигура може да бъде разделена на няколко фигури. Освен това площта на оригиналната фигура е равна на сумата от площите на всичките й съставни фигури.

Нека разгледаме един пример.

Пример 1

Очевидно една от страните на триъгълника е диагонал на правоъгълник, едната страна на който е с дължина $5$ (тъй като има $5$ клетки), а другата е $6$ (тъй като има $6$ клетки). Следователно площта на този триъгълник ще бъде равна на половината от такъв правоъгълник. Площта на правоъгълника е

Тогава площта на триъгълника е равна на

Отговор: $15$.

След това ще разгледаме няколко метода за намиране на площите на триъгълниците, а именно с помощта на височината и основата, използвайки формулата на Heron и площта на равностранен триъгълник.

Как да намерите площта на триъгълник, като използвате неговата височина и основа

Теорема 1

Площта на триъгълник може да се намери като половината от произведението на дължината на страната и височината на тази страна.

Математически изглежда така

$S=\frac(1)(2)αh$

където $a$ е дължината на страната, $h$ е височината, начертана към нея.

Доказателство.

Да разгледаме триъгълник $ABC$, в който $AC=α$. Към тази страна е начертана височината $BH$, която е равна на $h$. Нека го изградим до квадрата $AXYC$, както е на фигура 2.

Площта на правоъгълника $AXBH$ е $h\cdot AH$, а площта на правоъгълника $HBYC$ е $h\cdot HC$. Тогава

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Следователно необходимата площ на триъгълника, по свойство 2, е равна на

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Теоремата е доказана.

Пример 2

Намерете площта на триъгълника на фигурата по-долу, ако клетката има площ, равна на единица

Основата на този триъгълник е равна на $9$ (тъй като $9$ е $9$ квадратчета). Височината също е $9$. Тогава, съгласно теорема 1, получаваме

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Отговор: 40,5$.

Формулата на Херон

Теорема 2

Ако са ни дадени три страни на триъгълник $α$, $β$ и $γ$, тогава неговата площ може да се намери, както следва

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

тук $ρ$ означава полупериметъра на този триъгълник.

Доказателство.

Помислете за следната фигура:

По Питагоровата теорема от триъгълника $ABH$ получаваме

От триъгълника $CBH$, според Питагоровата теорема, имаме

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

От тези две отношения получаваме равенството

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Тъй като $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, тогава $α+β+γ=2ρ$, което означава

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

По теорема 1 получаваме

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Триъгълникът е най-простата геометрична фигура, която се състои от три страни и три върха. Поради своята простота триъгълникът се използва от древни времена за вземане на различни измервания, а днес фигурата може да бъде полезна за решаване на практически и ежедневни проблеми.

Характеристики на триъгълник

Фигурата се използва за изчисления от древни времена, например геодезистите и астрономите работят със свойствата на триъгълниците, за да изчисляват площи и разстояния. Лесно е да се изрази площта на всеки n-gon чрез площта на тази фигура и това свойство е използвано от древните учени за извличане на формули за площите на многоъгълниците. Постоянната работа с триъгълници, особено с правоъгълния триъгълник, стана основа за цял клон на математиката - тригонометрия.

Геометрия на триъгълник

Свойствата на геометричната фигура се изучават от древни времена: най-ранната информация за триъгълника е открита в египетски папируси от преди 4000 години. След това фигурата е изследвана в Древна Гърцияи най-голям принос към геометрията на триъгълника са направени от Евклид, Питагор и Херон. Изследването на триъгълника никога не е преставало и през 18 век Леонхард Ойлер въвежда концепцията за ортоцентъра на фигура и кръга на Ойлер. В началото на 19-ти и 20-ти век, когато изглеждаше, че се знае абсолютно всичко за триъгълника, Франк Морли формулира теоремата за ъгловите трисектори, а Вацлав Серпински предлага фракталния триъгълник.

Има няколко вида плоски триъгълници, познати ни училищен курсгеометрия:

• остър - всички ъгли на фигурата са остри;
• тъп - фигурата има един тъп ъгъл (повече от 90 градуса);
• правоъгълна - фигурата съдържа един прав ъгъл, равен на 90 градуса;
• равнобедрен - триъгълник с две равни страни;
• равностранен - ​​триъгълник с равни страни.
• IN Истински животИма всякакви видове триъгълници и в някои случаи може да се наложи да изчислим площта на геометрична фигура.

Площ на триъгълник

Площта е оценка за това каква част от равнината обхваща фигура. Площта на триъгълник може да се намери по шест начина, като се използват страните, височината, ъглите, радиусът на вписаната или описаната окръжност, както и с помощта на формулата на Heron или изчисляване на двойния интеграл по линиите, ограничаващи равнината. Повечето проста формулаза изчисляване на площта на триъгълник изглежда така:

където a е страната на триъгълника, h е неговата височина.

На практика обаче не винаги ни е удобно да намерим височината на геометрична фигура. Алгоритъмът на нашия калкулатор ви позволява да изчислите площта, като знаете:

• три страни;
• две страни и ъгълът между тях;
• една страна и два ъгъла.

За да определим площта през трите страни, използваме формулата на Heron:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

където p е полупериметърът на триъгълника.

Площта на двете страни и ъгъл се изчислява по класическата формула:

S = a × b × sin(alfa),

където alfa е ъгълът между страни a и b.

За да определим площта по отношение на една страна и два ъгъла, използваме връзката, която:

a / sin(алфа) = b / sin(бета) = c / sin(гама)

Използвайки проста пропорция, определяме дължината на втората страна, след което изчисляваме площта по формулата S = a × b × sin(alfa). Този алгоритъм е напълно автоматизиран и трябва само да въведете посочените променливи и да получите резултата. Нека да разгледаме няколко примера.

Примери от живота

Тротоарни плочи

Да приемем, че искате да настилате пода с триъгълни плочки и да определите количеството необходим материал, трябва да разберете площта на една плочка и площта на пода. Да предположим, че трябва да обработите 6 квадратни метра повърхност, като използвате плочка, чиито размери са a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm. Очевидно, за да изчислите площта на триъгълник, калкулаторът използва формулата на Heron и дава. резултатът:

Така площта на един елемент от плочката ще бъде 0,021 квадратен метър, и ще ви трябват 6/0,021 = 285 триъгълника за подобряване на пода. Числата 20, 21 и 29 образуват питагорова тройка - числа, които отговарят на . И това е така, нашият калкулатор също изчисли всички ъгли на триъгълника, а гама ъгълът е точно 90 градуса.

Училищна задача

В училищен проблем трябва да намерите площта на триъгълник, като знаете, че страната a = 5 см, а ъглите алфа и бета са съответно 30 и 50 градуса. За да решим този проблем ръчно, първо ще намерим стойността на страна b, като използваме пропорцията на аспектното съотношение и синусите на противоположните ъгли, и след това ще определим площта, като използваме простата формула S = a × b × sin(alfa). Нека спестим време, въведете данните във формуляра на калкулатора и ще получите незабавен отговор

Когато използвате калкулатора, е важно да посочите правилно ъглите и страните, в противен случай резултатът ще бъде неправилен.

Заключение

Триъгълникът е уникална фигура, която се среща както в реалния живот, така и в абстрактните изчисления. Използвайте нашия онлайн калкулатор, за да определите площта на триъгълници от всякакъв вид.

Триъгълникът е една от най-разпространените геометрични фигури, с които вече се запознаваме начално училище. Всеки ученик е изправен пред въпроса как да намери площта на триъгълник в уроците по геометрия. И така, какви характеристики за намиране на площта на дадена фигура могат да бъдат идентифицирани? В тази статия ще разгледаме основните формули, необходими за изпълнение на такава задача, както и ще анализираме видовете триъгълници.

Видове триъгълници

Можете да намерите абсолютно площта на триъгълник различни начини, тъй като в геометрията има повече от един вид фигури, съдържащи три ъгъла. Тези видове включват:

• Тъп.
• Равностранен (правилен).
• Правоъгълен триъгълник.
• Равнобедрен.

Нека разгледаме по-подробно всеки от тях съществуващи типоветриъгълници.

Тази геометрична фигура се счита за най-често срещаната при решаването на геометрични задачи. Когато възникне необходимост от начертаване на произволен триъгълник, тази опция идва на помощ.

В остроъгълен триъгълник, както подсказва името, всички ъгли са остри и сборът им е 180°.

Този тип триъгълник също е много често срещан, но е малко по-рядко срещан от остроъгълния триъгълник. Например, когато решавате триъгълници (т.е. някои от неговите страни и ъгли са известни и трябва да намерите останалите елементи), понякога трябва да определите дали ъгълът е тъп или не. Косинусът е отрицателно число.

B, стойността на един от ъглите надвишава 90 °, така че останалите два ъгъла могат да приемат малки стойности (например 15 ° или дори 3 °).

За да намерите площта на триъгълник от този тип, трябва да знаете някои нюанси, за които ще говорим по-късно.

Правилен и равнобедрен триъгълник

Правилен многоъгълник е фигура, която включва n ъгъла и чиито страни и ъгли са равни. Това е правилният триъгълник. Тъй като сборът от всички ъгли на триъгълник е 180°, тогава всеки от трите ъгъла е 60°.

Правилният триъгълник, поради своето свойство, се нарича още равностранна фигура.

Заслужава да се отбележи също, че в правилен триъгълник може да бъде вписан само един кръг и около него може да бъде описан само един кръг, като центровете им са разположени в една и съща точка.

В допълнение към равностранен тип, може да се разграничи и равнобедрен триъгълник, който е малко по-различен от него. В такъв триъгълник две страни и два ъгъла са равни един на друг, а третата страна (към която съседните равни ъгли) е основата.

Фигурата показва равнобедрен триъгълник DEF, чиито ъгли D и F са равни, а DF е основата.

Правоъгълен триъгълник

Правоъгълният триъгълник се нарича така, защото един от ъглите му е прав, тоест равен на 90°. Другите два ъгъла дават сбор от 90°.

Най-голямата страна на такъв триъгълник, лежаща срещу ъгъл 90°, е хипотенузата, докато останалите две страни са катетите. За този тип триъгълник се прилага Питагоровата теорема:

Сборът от квадратите на дължините на катетите е равен на квадрата на дължината на хипотенузата.

Фигурата показва правоъгълен триъгълник BAC с хипотенуза AC и катети AB и BC.

За да намерите площта на триъгълник с прав ъгъл, трябва да знаете числените стойности на краката му.

Нека да преминем към формулите за намиране на площта на дадена фигура.

Основни формули за намиране на площ

В геометрията могат да се разграничат две формули, които са подходящи за намиране на площта на повечето видове триъгълници, а именно остър, тъп, правилен и равнобедрени триъгълници. Нека разгледаме всеки от тях.

По страна и височина

Тази формулае универсален за намиране на площта на фигурата, която разглеждаме. За да направите това, достатъчно е да знаете дължината на страната и дължината на височината, начертана към нея. Самата формула (половината от произведението на основата и височината) е следната:

където A е страната на даден триъгълник, а H е височината на триъгълника.

Например, за да намерите площта на остър триъгълник ACB, трябва да умножите неговата страна AB по височината CD и да разделите получената стойност на две.

Въпреки това, не винаги е лесно да се намери площта на триъгълник по този начин. Например, за да използвате тази формула за тъп триъгълник, трябва да удължите една от страните му и едва след това да начертаете надморска височина към нея.

На практика тази формула се използва по-често от останалите.

От двете страни и ъгъл

Тази формула, както и предишната, е подходяща за повечето триъгълници и по смисъла си е следствие от формулата за намиране на площта на страната и височината на триъгълник. Тоест въпросната формула лесно може да се изведе от предишната. Формулировката му изглежда така:

S = ½*sinO*A*B,

където A и B са страните на триъгълника, а O е ъгълът между страните A и B.

Нека си припомним, че синусът на ъгъл може да се види в специална таблица, наречена на името на изключителния съветски математик В. М. Брадис.

Сега нека да преминем към други формули, които са подходящи само за изключителни видове триъгълници.

Площ на правоъгълен триъгълник

В допълнение към универсалната формула, която включва необходимостта да се намери надморската височина в триъгълник, площта на триъгълник, съдържащ прав ъгъл, може да се намери от неговите крака.

По този начин площта на триъгълник, съдържащ прав ъгъл, е половината от произведението на краката му или:

където a и b са катетите на правоъгълен триъгълник.

Правилен триъгълник

Този видгеометрични фигури се различава по това, че площта му може да се намери с посочената стойност само на една от страните му (тъй като всички страни на правилния триъгълник са равни). Така че, когато се сблъскате със задачата да „намирате площта на триъгълник, когато страните са равни“, трябва да използвате следната формула:

S = A 2 *√3 / 4,

където А е страната на равностранния триъгълник.

Формулата на Херон

Последният вариант за намиране на площта на триъгълник е формулата на Heron. За да го използвате, трябва да знаете дължините на трите страни на фигурата. Формулата на Heron изглежда така:

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),

където a, b и c са страните на даден триъгълник.

Понякога проблемът се дава: „площта на правилен триъгълник е да се намери дължината на страната му“. В този случай трябва да използваме формулата, която вече знаем, за намиране на площта на правилен триъгълник и да извлечем от нея стойността на страната (или нейния квадрат):

A 2 = 4S / √3.

Изпитни задачи

В задачите на GIA по математика има много формули. Освен това доста често е необходимо да се намери площта на триъгълник върху карирана хартия.

В този случай е най-удобно да начертаете височината до една от страните на фигурата, да определите нейната дължина от клетките и да използвате универсалната формула за намиране на площта:

Така че, след като изучите формулите, представени в статията, няма да имате проблеми с намирането на площта на триъгълник от всякакъв вид.