गणितीय अपेक्षा की गणना कैसे करें। उम्मीद फॉर्मूला

यादृच्छिक चर X की गणितीय अपेक्षा माध्य मान है।

1. एम (सी) = सी

2. एम (सीएक्स) = सीएम (एक्स), कहाँ पे सी= कॉन्स्ट

3. एम (एक्स ± वाई) = एम (एक्स) ± एम (वाई)

4. यदि यादृच्छिक चर एक्सतथा यूस्वतंत्र, तो एम (एक्सवाई) = एम (एक्स) एम (वाई)

फैलाव

एक यादृच्छिक चर X के प्रसरण को कहा जाता है

डी (एक्स) = एस (एक्स - एम (एक्स)) 2 पी = एम (एक्स 2 ) - एम 2 (एक्स).

फैलाव एक यादृच्छिक चर के मूल्यों के अपने औसत मूल्य से विचलन का एक उपाय है।

1. डी (सी) = 0

2. डी (एक्स + सी) = डी (एक्स)

3. डी (सीएक्स) = सी 2 डी (एक्स), कहाँ पे सी= कॉन्स्ट

4. स्वतंत्र यादृच्छिक चर के लिए

डी (एक्स ± वाई) = डी (एक्स) + डी (वाई)

5. डी (एक्स ± वाई) = डी (एक्स) + डी (वाई) ± 2कोव (एक्स, वाई)

वर्गमूलएक यादृच्छिक चर X के प्रसरण से मानक विचलन कहा जाता है .

@ टास्क 3: एक यादृच्छिक चर X को संभावनाओं के साथ केवल दो मान (0 या 1) लेने दें क्यू, पी, कहाँ पे पी + क्यू = 1. पाना अपेक्षित मूल्यऔर फैलाव।

समाधान:

एम (एक्स) = 1 पी + 0 क्यू = पी; डी (एक्स) = (1 - पी) 2 पी + (0 - पी) 2 क्यू = पीक्यू।

@ टास्क 4: गणितीय अपेक्षा और यादृच्छिक चर का प्रसरण एक्स 8 के बराबर हैं। यादृच्छिक चरों की गणितीय अपेक्षा और प्रसरण ज्ञात कीजिए: a) एक्स-4; बी) 3X-4.

हल: एम (एक्स - 4) = एम (एक्स) - 4 = 8 - 4 = 4; डी (एक्स - 4) = डी (एक्स) = 8; एम(3एक्स - 4) = 3एम(एक्स) - 4 = 20; डी(3एक्स - 4) = 9डी(एक्स) = 72।

@ टास्क 5: परिवारों के समूह में बच्चों की संख्या के अनुसार निम्नलिखित वितरण होता है:

एक्स मैं	एक्स 1	x2
अनुकरणीय	0,1	p2	0,4	0,35

परिभाषित करना एक्स 1, x2तथा p2यदि यह ज्ञात हो कि एम (एक्स) = 2; डी (एक्स) = 0.9.

हल: प्रायिकता p 2, p 2 = 1 - 0.1 - 0.4 - 0.35 = 0.15 के बराबर है। अज्ञात x समीकरणों से पाए जाते हैं: M(X) = x 1 0.1 + x 2 0.15 + 2 0.4 + 3 0.35 = 2; डी (एक्स) = 0.1 + 0.15 + 4 0.4 + 9 0.35 - 4 = 0.9। एक्स 1 = 0; एक्स 2 = 1.

सामान्य जनसंख्या और नमूना। पैरामीटर अनुमान

चयनात्मक अवलोकन

सांख्यिकीय अवलोकनआप निरंतर और गैर-निरंतर व्यवस्थित कर सकते हैं। निरंतर अवलोकन में अध्ययन की गई जनसंख्या (सामान्य जनसंख्या) की सभी इकाइयों की परीक्षा शामिल है। जनसंख्या भौतिक का एक सेट है or कानूनी संस्थाएंजिसका अध्ययन शोधकर्ता अपने कार्य के अनुसार करता है। यह अक्सर आर्थिक रूप से व्यवहार्य नहीं होता है, और कभी-कभी असंभव भी होता है। इस सम्बन्ध में सामान्य जनसंख्या के केवल एक भाग का ही अध्ययन किया जाता है - नमूना चयन ढांचा .

नमूना जनसंख्या से प्राप्त परिणामों को सामान्य जनसंख्या तक बढ़ाया जा सकता है यदि निम्नलिखित सिद्धांतों का पालन किया जाता है:

1. नमूना जनसंख्या यादृच्छिक रूप से निर्धारित की जानी चाहिए।

2. नमूना इकाइयों की संख्या पर्याप्त होनी चाहिए।

3. प्रदान किया जाना चाहिए प्रतिनिधित्व ( नमूने का प्रतिनिधित्व)। एक प्रतिनिधि नमूना उस आबादी का एक छोटा लेकिन सटीक मॉडल है जिसका प्रतिनिधित्व करने का इरादा है।

नमूना प्रकार

व्यवहार में, आवेदन करें निम्नलिखित प्रकारनमूने:

ए) उचित यादृच्छिक, बी) यांत्रिक, सी) ठेठ, डी) धारावाहिक, ई) संयुक्त।

स्व-यादृच्छिक नमूनाकरण

पर उचित यादृच्छिक नमूना नमूना इकाइयों को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है, उदाहरण के लिए, लॉट या यादृच्छिक संख्या जनरेटर खींचकर।

नमूने दोहराए जाते हैं और दोहराए नहीं जाते हैं। पुन: नमूनाकरण में, नमूना की गई इकाई को वापस कर दिया जाता है और फिर से नमूना लेने का एक समान मौका बरकरार रखता है। गैर-दोहराव नमूने के साथ, नमूने में शामिल जनसंख्या इकाई भविष्य में नमूने में भाग नहीं लेती है।

नमूना अवलोकन में निहित त्रुटियां, इस तथ्य के कारण उत्पन्न होती हैं कि नमूना पूरी तरह से सामान्य आबादी को पुन: पेश नहीं करता है, कहा जाता है मानक त्रुटियां . वे नमूने से प्राप्त संकेतकों के मूल्यों और सामान्य जनसंख्या के संकेतकों के संबंधित मूल्यों के बीच मूल-माध्य-वर्ग अंतर का प्रतिनिधित्व करते हैं।

गणना सूत्र मानक त्रुटियादृच्छिक पुन: चयन के साथ, निम्नलिखित: , और यादृच्छिक गैर-दोहराव चयन के साथ, निम्नलिखित: , जहां S 2 नमूना जनसंख्या का प्रसरण है, एन/एन -नमूना शेयर, एन, नहीं- नमूने और सामान्य जनसंख्या में इकाइयों की संख्या। पर एन = एनमानक त्रुटि एम = 0।

यांत्रिक नमूनाकरण

पर यांत्रिक नमूनाकरण सामान्य जनसंख्या को समान अंतरालों में विभाजित किया जाता है और प्रत्येक अंतराल से यादृच्छिक रूप से एक इकाई का चयन किया जाता है।

उदाहरण के लिए, 2% नमूना दर के साथ, प्रत्येक 50 वीं इकाई को जनसंख्या की सूची से चुना जाता है।

यांत्रिक नमूने की मानक त्रुटि को स्व-यादृच्छिक गैर-दोहराव नमूनाकरण की त्रुटि के रूप में परिभाषित किया गया है।

विशिष्ट नमूना

पर विशिष्ट नमूना सामान्य जनसंख्या को सजातीय विशिष्ट समूहों में विभाजित किया जाता है, फिर इकाइयों को प्रत्येक समूह से यादृच्छिक रूप से चुना जाता है।

विषम सामान्य जनसंख्या के मामले में एक विशिष्ट नमूने का उपयोग किया जाता है। एक विशिष्ट नमूना अधिक सटीक परिणाम देता है क्योंकि यह प्रतिनिधित्व सुनिश्चित करता है।

उदाहरण के लिए, सामान्य जनसंख्या के रूप में शिक्षकों को निम्नलिखित विशेषताओं के अनुसार समूहों में विभाजित किया जाता है: लिंग, अनुभव, योग्यता, शिक्षा, शहरी और ग्रामीण स्कूल, आदि।

विशिष्ट नमूनाकरण मानक त्रुटियों को स्व-यादृच्छिक नमूनाकरण त्रुटियों के रूप में परिभाषित किया जाता है, केवल अंतर यह है कि एस 2इंट्रा-ग्रुप वेरिएंस के औसत द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

सीरियल सैंपलिंग

पर सीरियल सैंपलिंग सामान्य आबादी को अलग-अलग समूहों (श्रृंखला) में विभाजित किया जाता है, फिर बेतरतीब ढंग से चुने गए समूहों को निरंतर अवलोकन के अधीन किया जाता है।

सीरियल सैंपलिंग मानक त्रुटियों को स्व-यादृच्छिक नमूनाकरण त्रुटियों के रूप में परिभाषित किया गया है, केवल अंतर यह है कि एस 2अंतरसमूह प्रसरणों के औसत द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

संयुक्त नमूनाकरण

संयुक्त नमूनाकरणदो या अधिक नमूना प्रकारों का एक संयोजन है।

बिंदु अनुमान

एकमात्र उद्देश्यनमूना अवलोकन सामान्य जनसंख्या की विशेषताओं का पता लगा रहा है। चूंकि यह सीधे नहीं किया जा सकता है, नमूना आबादी की विशेषताओं को सामान्य आबादी तक बढ़ाया जाता है।

औसत नमूने के आंकड़ों से सामान्य जनसंख्या के अंकगणितीय माध्य को निर्धारित करने की मौलिक संभावना सिद्ध होती है चेबीशेव का प्रमेय. असीमित आवर्धन के साथ एनसंभावना है कि नमूना माध्य और सामान्य माध्य के बीच का अंतर मनमाने ढंग से छोटा होगा 1.

इसका मतलब है कि सामान्य आबादी की विशेषता सटीकता के साथ . इस तरह के आकलन को कहा जाता है बिंदु .

अंतराल अनुमान

अंतराल अनुमान का आधार है केंद्रीय सीमा प्रमेय.

अंतराल अनुमानआपको इस प्रश्न का उत्तर देने की अनुमति देता है: सामान्य जनसंख्या के पैरामीटर का अज्ञात, वांछित मूल्य किस अंतराल के भीतर और किस संभावना के साथ है?

आमतौर पर आत्मविश्वास के स्तर के रूप में जाना जाता है पी = 1 – ए, जो अंतराल में होगा – डी< < + D, где D = टी क्रेएम > 0 सीमांत त्रुटि नमूने, ए - सार्थक तल (संभावना है कि असमानता झूठी होगी), टी क्रे- महत्वपूर्ण मूल्य, जो मूल्यों पर निर्भर करता है एनऔर ए. एक छोटे से नमूने के साथ n< 30 टी क्रेके साथ दो-पूंछ वाले परीक्षण के लिए छात्र के टी-वितरण के महत्वपूर्ण मूल्य का उपयोग करके दिया जाता है एन- महत्व के स्तर के साथ स्वतंत्रता की 1 डिग्री a ( टी क्रे(एन- 1, ए) "छात्र के टी-वितरण के महत्वपूर्ण मूल्य", परिशिष्ट 2) तालिका से पाया जाता है। एन> 30 के लिए, टी क्रेसामान्य वितरण की मात्रा है ( टी क्रेलाप्लास फ़ंक्शन F(t) = (1 .) के मूल्यों की तालिका से पाया जाता है – ए)/2 तर्क के रूप में)। p = 0.954 पर, क्रांतिक मान टी क्रे= 2 p पर = 0.997 क्रांतिक मान टी क्रे= 3. इसका मतलब है कि सीमांत त्रुटि आमतौर पर मानक त्रुटि से 2-3 गुना अधिक होती है।

इस प्रकार, नमूनाकरण विधि का सार इस तथ्य में निहित है कि, सामान्य आबादी के एक निश्चित छोटे हिस्से के सांख्यिकीय आंकड़ों के आधार पर, एक अंतराल खोजना संभव है, जिसमें आत्मविश्वास की संभावना है पीसामान्य जनसंख्या की वांछित विशेषता पाई जाती है ( औसत जनसंख्याश्रमिक, औसत स्कोर, औसत उपज, मानक विचलन, आदि)।

@ कार्य 1।निगम के उद्यमों के लेनदारों के साथ बस्तियों की गति निर्धारित करने के लिए, एक वाणिज्यिक बैंक में 100 भुगतान दस्तावेजों का एक यादृच्छिक नमूना किया गया था, जिसके अनुसार औसत अवधि 6 दिनों (एस = 6) के मानक विचलन के साथ धन का हस्तांतरण और प्राप्त करना 22 दिनों (= 22) के बराबर निकला। संभावना के साथ पी= 0.954 नमूना माध्य और विश्वास अंतराल की सीमांत त्रुटि निर्धारित करें मध्यम अवधिइस निगम के उद्यमों की बस्तियाँ।

हल: नमूने की सीमांत त्रुटि का मतलब के अनुसार है(1)के बराबर हैडी = 2· 0.6 = 1.2, और विश्वास अंतराल (22 - 1.2; 22 + 1.2) के रूप में परिभाषित किया गया है, अर्थात्। (20.8; 23.2)।

6.5 सहसंबंध और प्रतिगमन

असतत प्रायिकता स्थान पर दिए गए यादृच्छिक चर X की गणितीय अपेक्षा (माध्य मान) संख्या m =M[X]=∑x i p i है, यदि श्रृंखला पूर्ण रूप से अभिसरण करती है।

सेवा असाइनमेंट. सेवा की मदद से ऑनलाइन मोड गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन की गणना की जाती है(उदाहरण देखें)। इसके अतिरिक्त, वितरण फलन F(X) का एक आलेख आलेखित किया जाता है।

एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा के गुण

1. एक स्थिर मान की गणितीय अपेक्षा स्वयं के बराबर है: M[C]=C , C एक स्थिरांक है;
2. एम = सी एम [एक्स]
3. यादृच्छिक चर के योग की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है: M=M[X]+M[Y]
4. स्वतंत्र यादृच्छिक चर के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर है: M=M[X] M[Y] यदि X और Y स्वतंत्र हैं।

फैलाव गुण

1. एक स्थिर मान का फैलाव शून्य के बराबर होता है: D(c)=0.
2. अचर गुणनखंड को परिक्षेपण चिह्न के नीचे से चुकता करके निकाला जा सकता है: D(k*X)= k 2 D(X)।
3. यदि यादृच्छिक चर X और Y स्वतंत्र हैं, तो योग का विचरण, प्रसरणों के योग के बराबर है: D(X+Y)=D(X)+D(Y)।
4. यदि यादृच्छिक चर X और Y निर्भर हैं: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. विचरण के लिए, कम्प्यूटेशनल सूत्र मान्य है:
   डी (एक्स) = एम (एक्स 2) - (एम (एक्स)) 2

उदाहरण। दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों X और Y की गणितीय अपेक्षाएँ और प्रसरण ज्ञात हैं: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 । यादृच्छिक चर Z=9X-8Y+7 की गणितीय अपेक्षा और प्रसरण ज्ञात कीजिए।
समाधान। गणितीय अपेक्षा के गुणों के आधार पर: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
फैलाव गुणों के आधार पर: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

गणितीय अपेक्षा की गणना के लिए एल्गोरिथ्म

असतत यादृच्छिक चर के गुण: उनके सभी मूल्यों को पुन: क्रमांकित किया जा सकता है प्राकृतिक संख्या; प्रत्येक मान को एक गैर-शून्य संभावना असाइन करें।

1. युग्मों को एक-एक करके गुणा करें: x i को p i से।
2. हम प्रत्येक जोड़ी x i p i का गुणनफल जोड़ते हैं।
   उदाहरण के लिए, n = 4 के लिए: m = x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

असतत यादृच्छिक चर का वितरण कार्यक्रमिक रूप से, यह उन बिंदुओं पर अचानक बढ़ जाता है जिनकी संभावनाएँ सकारात्मक होती हैं।

उदाहरण 1।

एक्स मैं	1	3	4	7	9
अनुकरणीय	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

गणितीय अपेक्षा सूत्र m = x i p i द्वारा ज्ञात की जाती है।
गणितीय अपेक्षा एम [एक्स].
एम [एक्स] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
फैलाव सूत्र d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 द्वारा ज्ञात किया जाता है।
फैलाव डी [एक्स].
डी [एक्स] = 1 2 *0.1 + 3 2 *0.2 + 4 2 *0.1 + 7 2 *0.3 + 9 2 *0.3 - 5.9 2 = 7.69
मानक विचलन (x).
= वर्ग (डी [एक्स]) = वर्ग (7.69) = 2.78

उदाहरण # 2। एक असतत यादृच्छिक चर में निम्नलिखित वितरण श्रृंखला होती है:

एक्स	-10	-5	0	5	10
आर	एक	0,32	2एक	0,41	0,03

इस यादृच्छिक चर का मान a, गणितीय अपेक्षा और मानक विचलन ज्ञात कीजिए।

समाधान। मान a संबंध से पाया जाता है: p i = 1
p i = a + 0.32 + 2 a + 0.41 + 0.03 = 0.76 + 3 a = 1
0.76 + 3 a = 1 या 0.24=3 a , जहां से a = 0.08

उदाहरण #3। एक असतत यादृच्छिक चर के वितरण कानून का निर्धारण करें यदि इसका विचरण ज्ञात है, और x 1 एक्स 1 =6; x2=9; एक्स3 = एक्स; x4=15
पी 1 = 0.3; पी2=0.3; पी 3 = 0.1; पी 4 \u003d 0.3
डी (एक्स) = 12.96

समाधान।
यहाँ आपको प्रसरण d (x) ज्ञात करने के लिए एक सूत्र बनाने की आवश्यकता है:
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
जहाँ अपेक्षा m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
हमारे डेटा के लिए
एम(एक्स)=6*0.3+9*0.3+x 3 *0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12.96 = 6 2 0.3+9 2 0.3+x 3 2 0.1+15 2 0.3-(9+0.1x 3) 2
या -9/100 (x 2 -20x+96)=0
तदनुसार, समीकरण की जड़ों को खोजना आवश्यक है, और उनमें से दो होंगे।
x 3 \u003d 8, x 3 \u003d 12
हम उसे चुनते हैं जो शर्त को संतुष्ट करता है x 1 x3=12

असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियम
एक्स 1 =6; x2=9; एक्स 3 \u003d 12; x4=15
पी 1 = 0.3; पी2=0.3; पी 3 = 0.1; पी 4 \u003d 0.3

यानी अगर एसएल. मात्रा का वितरण नियम है, तो

बुलायाइसकी गणितीय अपेक्षा। यदि क्रमांक मान में अनंत संख्या में मान हैं, तो गणितीय अपेक्षा एक अनंत श्रृंखला के योग से निर्धारित होती है , बशर्ते कि यह श्रृंखला पूरी तरह से परिवर्तित हो (अन्यथा, अपेक्षित मान मौजूद नहीं है) .

के लिये निरंतर क्रमांक संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन f(x) द्वारा दिया गया मान, गणितीय अपेक्षा को एक अभिन्न के रूप में निर्धारित किया जाता है

बशर्ते कि यह अभिन्न मौजूद है (यदि अभिन्न विचलन होता है, तो हम कहते हैं कि गणितीय अपेक्षा मौजूद नहीं है)।

उदाहरण 1. आइए हम ऊपर वितरित एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा को परिभाषित करें पॉइसन का नियम. परिभाषा से

या निरूपित

,

तो पैरामीटर , पॉइसन यादृच्छिक चर का परिभाषित वितरण नियम इस चर के माध्य मान के बराबर है।

उदाहरण 2. एक घातीय वितरण कानून के साथ एक यादृच्छिक चर के लिए, गणितीय अपेक्षा है

():

(पूर्णांक में, इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि f (x) केवल धनात्मक x के लिए अशून्य है, सीमाएँ लें)।

उदाहरण 3. वितरण कानून के अनुसार वितरित यादृच्छिक चर कॉची, कोई औसत मूल्य नहीं है। सचमुच

उम्मीद गुण.

संपत्ति 1. एक स्थिरांक की गणितीय अपेक्षा स्वयं स्थिरांक के बराबर होती है।

स्थिरांक C इस मान को एक की प्रायिकता के साथ लेता है और परिभाषा के अनुसार, M(C)=C×1=C

संपत्ति 2. यादृच्छिक चर के बीजगणितीय योग की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के बीजगणितीय योग के बराबर होती है।

हम इस गुण को केवल दो असतत यादृच्छिक चरों के योग के लिए सिद्ध करने तक ही सीमित रखते हैं, अर्थात्। साबित करो

दो असतत sl के योग के तहत। मात्राओं के रूप में समझा जाता है मात्रा जो संभावनाओं के साथ मान लेती है

परिभाषा से

इस शर्त के तहत गणना की गई घटना की संभावना कहां है। अंतिम समानता का दाहिना भाग घटना के घटित होने के सभी मामलों को सूचीबद्ध करता है, इसलिए यह घटना के घटित होने की कुल संभावना के बराबर है, अर्थात। . उसी प्रकार . अंत में हमारे पास है

संपत्ति 3. दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के गुणनफल की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के गुणनफल के बराबर होती है।

पर			…
क्यू			…
एक्स			…
आर			…

हम इस गुण का प्रमाण केवल असतत मात्राओं के लिए देते हैं। निरंतर यादृच्छिक चर के लिए, यह इसी तरह साबित होता है।

मान लीजिए कि X और Y स्वतंत्र हैं और उनके वितरण नियम हैं

इन यादृच्छिक चर का उत्पाद एक यादृच्छिक चर होगा जो यादृच्छिक चर की स्वतंत्रता के कारण समान संभावनाओं वाले मान लेता है। फिर

परिणाम. स्थिर गुणक को गणितीय अपेक्षा चिह्न से निकाला जा सकता है। तो शताब्दी स्थिरांक सी इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि अगला क्या मूल्य लेगा। मान X है, तो गुण 3 से। हमारे पास है

एम (सीएक्स) = एम (सी) × एम (एक्स) = सी × एम (एक्स)

उदाहरण. यदि a और b स्थिरांक हैं, तो M(ax+b)=aM(x)+b.

स्वतंत्र परीक्षणों की योजना में किसी घटना के घटित होने की संख्या की गणितीय अपेक्षा।

मान लीजिए n स्वतंत्र प्रयोग किए जाते हैं, जिनमें से प्रत्येक में एक घटना के घटित होने की प्रायिकता R है। इन n प्रयोगों में किसी घटना के घटित होने की संख्या द्विपद नियम के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर X है। हालांकि, इसके औसत मूल्य की प्रत्यक्ष गणना बोझिल है। सरलीकरण के लिए, हम विस्तार का उपयोग करेंगे, जिसका उपयोग हम भविष्य में बार-बार करेंगे:

जहां एक वितरण कानून है (दिए गए प्रयोग में घटना होने पर यह मान 1 लेता है, और यदि घटना दिए गए प्रयोग में घटना नहीं दिखाई देती है तो मान 0 लेता है)।

आर	1	आर

इसीलिए

वे। n स्वतंत्र परीक्षणों में किसी घटना के घटित होने की औसत संख्या परीक्षणों की संख्या और एक परीक्षण में घटना के घटित होने की प्रायिकता के गुणनफल के बराबर होती है।

उदाहरण के लिए, यदि एक शॉट से लक्ष्य को हिट करने की संभावना 0.1 है, तो 20 शॉट्स में हिट की औसत संख्या 20×0.1=2 है।

पासा फेंकने के उदाहरण का उपयोग करके गणितीय अपेक्षा की अवधारणा पर विचार किया जा सकता है। प्रत्येक फेंक के साथ, गिराए गए अंक दर्ज किए जाते हैं। उन्हें व्यक्त करने के लिए 1 - 6 की सीमा में प्राकृतिक मूल्यों का उपयोग किया जाता है।

थ्रो की एक निश्चित संख्या के बाद, सरल गणनाओं का उपयोग करके, आप गिरे हुए बिंदुओं का अंकगणितीय माध्य ज्ञात कर सकते हैं।

किसी भी श्रेणी मान को छोड़ने के साथ-साथ, यह मान यादृच्छिक होगा।

और अगर आप कई बार थ्रो की संख्या बढ़ाते हैं? बड़ी संख्या में थ्रो के साथ, अंक का अंकगणितीय माध्य मान एक विशिष्ट संख्या तक पहुंच जाएगा, जिसे संभाव्यता सिद्धांत में गणितीय अपेक्षा का नाम मिला है।

तो, गणितीय अपेक्षा को एक यादृच्छिक चर के औसत मान के रूप में समझा जाता है। इस सूचक को संभावित मूल्यों के भारित योग के रूप में भी प्रस्तुत किया जा सकता है।

इस अवधारणा के कई समानार्थी शब्द हैं:

• अर्थ;
• औसत मूल्य;
• केंद्रीय प्रवृत्ति संकेतक;
• पहला क्षण।

दूसरे शब्दों में, यह एक संख्या से अधिक कुछ नहीं है जिसके चारों ओर एक यादृच्छिक चर के मान वितरित किए जाते हैं।

मानव गतिविधि के विभिन्न क्षेत्रों में, गणितीय अपेक्षा को समझने के दृष्टिकोण कुछ भिन्न होंगे।

इसे इस प्रकार देखा जा सकता है:

• किसी निर्णय को अपनाने से प्राप्त औसत लाभ, उस स्थिति में जब इस तरह के निर्णय को बड़ी संख्या के सिद्धांत के दृष्टिकोण से माना जाता है;
• जीतने या हारने की संभावित राशि (जुआ सिद्धांत), प्रत्येक दांव के लिए औसतन गणना की जाती है। कठबोली में, वे "खिलाड़ी के लाभ" (खिलाड़ी के लिए सकारात्मक) या "कैसीनो लाभ" (खिलाड़ी के लिए नकारात्मक) की तरह लगते हैं;
• जीत से प्राप्त लाभ का प्रतिशत।

सभी यादृच्छिक चरों के लिए गणितीय अपेक्षा अनिवार्य नहीं है। यह उन लोगों के लिए अनुपस्थित है जिनके पास संबंधित योग या अभिन्न में विसंगति है।

उम्मीद गुण

किसी भी सांख्यिकीय पैरामीटर की तरह, गणितीय अपेक्षा में निम्नलिखित गुण होते हैं:

गणितीय अपेक्षा के लिए बुनियादी सूत्र

गणितीय अपेक्षा की गणना निरंतरता (सूत्र ए) और विसंगति (सूत्र बी) दोनों की विशेषता वाले यादृच्छिक चर के लिए की जा सकती है:

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, जहां xi यादृच्छिक चर के मान हैं, pi संभावनाएं हैं:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, जहां f(x) एक निश्चित संभाव्यता घनत्व है।

गणितीय अपेक्षा की गणना के उदाहरण

उदाहरण ए.

क्या स्नो व्हाइट के बारे में परी कथा में सूक्ति की औसत ऊंचाई का पता लगाना संभव है। यह ज्ञात है कि 7 सूक्तियों में से प्रत्येक की एक निश्चित ऊँचाई थी: 1.25; 0.98; 1.05; 0.71; 0.56; 0.95 और 0.81 मी.

गणना एल्गोरिथ्म काफी सरल है:

• विकास संकेतक (यादृच्छिक चर) के सभी मूल्यों का योग ज्ञात करें:
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• परिणामी राशि को सूक्ति की संख्या से विभाजित किया जाता है:
  6,31:7=0,90.

इस प्रकार, एक परी कथा में सूक्ति की औसत ऊंचाई 90 सेमी है। दूसरे शब्दों में, यह सूक्ति के विकास की गणितीय अपेक्षा है।

कार्य सूत्र - एम (एक्स) \u003d 4 0.2 + 6 0.3 + 10 0.5 \u003d 6

गणितीय अपेक्षा का व्यावहारिक कार्यान्वयन

व्यावहारिक गतिविधि के विभिन्न क्षेत्रों में गणितीय अपेक्षा के सांख्यिकीय संकेतक की गणना का सहारा लिया जाता है। सबसे पहले, हम वाणिज्यिक क्षेत्र के बारे में बात कर रहे हैं। वास्तव में, हाइजेंस द्वारा इस सूचक की शुरूआत उन संभावनाओं के निर्धारण से जुड़ी है जो किसी घटना के लिए अनुकूल, या इसके विपरीत, प्रतिकूल हो सकती हैं।

इस पैरामीटर का व्यापक रूप से जोखिम मूल्यांकन के लिए उपयोग किया जाता है, खासकर जब वित्तीय निवेश की बात आती है।
इसलिए, व्यवसाय में, गणितीय अपेक्षा की गणना कीमतों की गणना करते समय जोखिम का आकलन करने के लिए एक विधि के रूप में कार्य करती है।

इसके अलावा, इस सूचक का उपयोग कुछ उपायों की प्रभावशीलता की गणना करते समय किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, श्रम सुरक्षा पर। इसके लिए धन्यवाद, आप किसी घटना के घटित होने की संभावना की गणना कर सकते हैं।

इस पैरामीटर के आवेदन का एक अन्य क्षेत्र प्रबंधन है। इसकी गणना उत्पाद गुणवत्ता नियंत्रण के दौरान भी की जा सकती है। उदाहरण के लिए, मैट का उपयोग करना। उम्मीदों, आप दोषपूर्ण भागों के निर्माण की संभावित संख्या की गणना कर सकते हैं।

वैज्ञानिक अनुसंधान के दौरान प्राप्त परिणामों के सांख्यिकीय प्रसंस्करण के दौरान गणितीय अपेक्षा भी अपरिहार्य है। यह आपको लक्ष्य की उपलब्धि के स्तर के आधार पर किसी प्रयोग या अध्ययन के वांछित या अवांछनीय परिणाम की संभावना की गणना करने की भी अनुमति देता है। आखिरकार, इसकी उपलब्धि लाभ और लाभ से जुड़ी हो सकती है, और इसकी गैर-उपलब्धि - हानि या हानि के रूप में।

विदेशी मुद्रा में गणितीय अपेक्षा का उपयोग करना

विदेशी मुद्रा बाजार में लेनदेन करते समय इस सांख्यिकीय पैरामीटर का व्यावहारिक अनुप्रयोग संभव है। इसका उपयोग व्यापार लेनदेन की सफलता का विश्लेषण करने के लिए किया जा सकता है। इसके अलावा, अपेक्षा के मूल्य में वृद्धि उनकी सफलता में वृद्धि का संकेत देती है।

यह भी याद रखना महत्वपूर्ण है कि गणितीय अपेक्षा को एक व्यापारी के प्रदर्शन का विश्लेषण करने के लिए उपयोग किए जाने वाले एकमात्र सांख्यिकीय पैरामीटर के रूप में नहीं माना जाना चाहिए। औसत मूल्य के साथ-साथ कई सांख्यिकीय मापदंडों के उपयोग से कई बार विश्लेषण की सटीकता बढ़ जाती है।

ट्रेडिंग खातों की टिप्पणियों की निगरानी में इस पैरामीटर ने खुद को अच्छी तरह साबित कर दिया है। उसके लिए धन्यवाद, जमा खाते पर किए गए कार्यों का त्वरित मूल्यांकन किया जाता है। ऐसे मामलों में जहां व्यापारी की गतिविधि सफल होती है और वह नुकसान से बचता है, केवल गणितीय अपेक्षा की गणना का उपयोग करने की अनुशंसा नहीं की जाती है। इन मामलों में, जोखिमों को ध्यान में नहीं रखा जाता है, जो विश्लेषण की प्रभावशीलता को कम करता है।

व्यापारियों की रणनीति के अध्ययन से संकेत मिलता है कि:

• यादृच्छिक इनपुट पर आधारित रणनीति सबसे प्रभावी हैं;
• संरचित इनपुट पर आधारित रणनीति सबसे कम प्रभावी हैं।

सकारात्मक परिणाम प्राप्त करने के लिए, यह समान रूप से महत्वपूर्ण है:

• धन प्रबंधन रणनीति;
• बाहर निकलने की रणनीतियाँ।

गणितीय अपेक्षा के रूप में इस तरह के एक संकेतक का उपयोग करके, हम मान सकते हैं कि 1 डॉलर का निवेश करने पर लाभ या हानि क्या होगी। यह ज्ञात है कि कैसीनो में अभ्यास किए जाने वाले सभी खेलों के लिए गणना की गई यह सूचक संस्था के पक्ष में है। यह वही है जो आपको पैसा बनाने की अनुमति देता है। खेलों की एक लंबी श्रृंखला के मामले में, ग्राहक द्वारा पैसे खोने की संभावना काफी बढ़ जाती है।

पेशेवर खिलाड़ियों के खेल छोटे समय अवधि तक सीमित होते हैं, जिससे जीतने की संभावना बढ़ जाती है और हारने का जोखिम कम हो जाता है। निवेश संचालन के प्रदर्शन में भी यही पैटर्न देखा जाता है।

एक निवेशक सकारात्मक अपेक्षा और कम समय में बड़ी संख्या में लेनदेन के साथ एक महत्वपूर्ण राशि कमा सकता है।

प्रत्याशा को लाभ के प्रतिशत (पीडब्लू) के औसत लाभ (एडब्ल्यू) और हानि की संभावना (पीएल) के औसत नुकसान (एएल) के बीच के अंतर के रूप में माना जा सकता है।

एक उदाहरण के रूप में, निम्नलिखित पर विचार करें: स्थिति - 12.5 हजार डॉलर, पोर्टफोलियो - 100 हजार डॉलर, प्रति जमा जोखिम - 1%। लेनदेन की लाभप्रदता 20% के औसत लाभ के साथ 40% मामलों में है। हानि की स्थिति में, औसत हानि 5% है। एक व्यापार के लिए गणितीय अपेक्षा की गणना करने से $625 का मूल्य मिलता है।

प्रत्येक व्यक्तिगत मूल्य पूरी तरह से उसके वितरण कार्य द्वारा निर्धारित किया जाता है। साथ ही, व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए, कई संख्यात्मक विशेषताओं को जानना पर्याप्त है, जिसके लिए एक यादृच्छिक चर की मुख्य विशेषताओं को संक्षिप्त रूप में प्रस्तुत करना संभव हो जाता है।

ये मात्राएँ मुख्य रूप से हैं अपेक्षित मूल्यतथा फैलाव .

अपेक्षित मूल्य- संभाव्यता सिद्धांत में एक यादृच्छिक चर का औसत मूल्य। के रूप में नामित ।

सबसे सरल तरीके से, एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक्स (डब्ल्यू), के रूप में पाए जाते हैं अभिन्नलेबेस्ग्यूसंभाव्यता माप के संबंध में आर शुरुआती संभाव्यता स्थान

आप किसी मान की गणितीय अपेक्षा इस प्रकार भी प्राप्त कर सकते हैं: लेबेस्ग इंटीग्रलसे एक्ससंभाव्यता वितरण द्वारा आर एक्समात्रा एक्स:

सभी संभावित मूल्यों का सेट कहां है एक्स.

यादृच्छिक चर से कार्यों की गणितीय अपेक्षा एक्सवितरण के माध्यम से है आर एक्स. उदाहरण के लिए, यदि एक्स- और . में मानों के साथ यादृच्छिक चर एफ (एक्स)- स्पष्ट बोरेलीसमारोह एक्स , फिर:

यदि एक एफ (एक्स)- वितरण समारोह एक्स, तो गणितीय अपेक्षा प्रतिनिधित्व योग्य है अभिन्नलेबेस्ग्यू - स्टिल्टजेस (या रीमैन - स्टिल्टजेस):

जबकि अभिन्नता एक्सकिस तरीके से ( * ) अभिन्न की परिमितता से मेल खाती है

विशिष्ट मामलों में, यदि एक्ससंभावित मूल्यों के साथ एक असतत वितरण है एक्स के, के = 1, 2,। , और संभावनाएं , तब

यदि एक्ससंभाव्यता घनत्व के साथ एक बिल्कुल निरंतर वितरण है पी (एक्स), फिर

इस मामले में, गणितीय अपेक्षा का अस्तित्व संबंधित श्रृंखला या अभिन्न के पूर्ण अभिसरण के बराबर है।

एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा के गुण।

• स्थिर मान की गणितीय अपेक्षा इस मान के बराबर है:

सी- लगातार;

• एम = सीएम [एक्स]

• यादृच्छिक रूप से लिए गए मानों के योग की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर होती है:

• स्वतंत्र यादृच्छिक चर के गुणनफल की गणितीय अपेक्षा = उनकी गणितीय अपेक्षाओं का गुणनफल:

एम = एम [एक्स] + एम [वाई]

यदि एक्सतथा यूस्वतंत्र।

यदि श्रृंखला अभिसरण करती है:

गणितीय अपेक्षा की गणना के लिए एल्गोरिदम।

असतत यादृच्छिक चर के गुण: उनके सभी मूल्यों को प्राकृतिक संख्याओं द्वारा पुन: क्रमांकित किया जा सकता है; प्रत्येक मान को गैर-शून्य संभावना के साथ समान करें।

1. जोड़े को बारी-बारी से गुणा करें: एक्स मैंपर अनुकरणीय.

2. प्रत्येक जोड़ी का गुणनफल जोड़ें एक्स आई पी आई.

उदाहरण के लिए, के लिये एन = 4 :

असतत यादृच्छिक चर का वितरण कार्यचरणबद्ध रूप से, यह उन बिंदुओं पर अचानक बढ़ जाता है जिनकी संभावनाओं का सकारात्मक संकेत होता है।

उदाहरण:सूत्र द्वारा गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए।