सरल रैखिक समीकरणों का हल। रेखीय समीकरण। समाधान, उदाहरण

सरल और जटिल समीकरणों को हल करना कैसे सीखें

प्रिय अभिभावक!

बुनियादी गणितीय प्रशिक्षण के बिना शिक्षा असंभव है आधुनिक आदमी. स्कूल में, गणित कई संबंधित विषयों के लिए सहायक विषय के रूप में कार्य करता है। स्कूल के बाद के जीवन में, निरंतर शिक्षा एक वास्तविक आवश्यकता बन जाती है, जिसके लिए गणित सहित बुनियादी स्कूल-व्यापी प्रशिक्षण की आवश्यकता होती है।

पर प्राथमिक स्कूलन केवल मुख्य विषयों पर ज्ञान रखा जाता है, बल्कि विकसित भी होता है तार्किक सोच, कल्पना और स्थानिक प्रतिनिधित्व, साथ ही इस विषय में रुचि।

निरंतरता के सिद्धांत का पालन करते हुए, हम सबसे महत्वपूर्ण विषय पर ध्यान केंद्रित करेंगे, जिसका नाम है "यौगिक समीकरणों को हल करने में क्रिया घटकों का संबंध।"

इस पाठ की सहायता से आप आसानी से जटिल समीकरणों को हल करना सीख सकते हैं। इस पाठ में आप जानेंगे चरण-दर-चरण निर्देशजटिल समीकरणों के समाधान।

कई माता-पिता इस सवाल से चकित हैं - बच्चों को सरल और जटिल समीकरणों को हल करने का तरीका कैसे सिखाया जाए। यदि समीकरण सरल हैं - यह अभी भी आधी परेशानी है, लेकिन जटिल भी हैं - उदाहरण के लिए, अभिन्न। वैसे जानकारी के लिए ऐसे समीकरण भी हैं, जिनके समाधान के लिए हमारे ग्रह के सर्वश्रेष्ठ दिमाग संघर्ष कर रहे हैं और जिसके समाधान के लिए बहुत महत्वपूर्ण नकद पुरस्कार जारी किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आपको याद हैपेरेलमैनऔर कई मिलियन का दावा न किया गया नकद बोनस।

हालाँकि, आइए शुरुआत में सरल गणितीय समीकरणों पर लौटते हैं और समीकरणों के प्रकार और घटकों के नाम दोहराते हैं। थोड़ा वार्म-अप:

_________________________________________________________________________

जोश में आना

प्रत्येक कॉलम में अतिरिक्त संख्या ज्ञात कीजिए:

2) प्रत्येक कॉलम में कौन सा शब्द गायब है?

3) पहले कॉलम के शब्दों को दूसरे कॉलम के शब्दों से मिलाएं।

"समीकरण" "समानता"

4) आप कैसे समझाते हैं कि "समानता" क्या है?

5) और "समीकरण"? क्या यह समानता है? इसके बारे में क्या खास है?

टर्म योग

कम अंतर

उत्पाद घटाना

कारकसमानता

लाभांश

समीकरण

निष्कर्ष: एक समीकरण एक चर के साथ एक समानता है जिसका मूल्य पाया जाना चाहिए।

_______________________________________________________________________

मेरा सुझाव है कि प्रत्येक समूह एक कागज के टुकड़े पर एक टिप-टिप पेन के साथ समीकरण लिखें: (बोर्ड पर)

समूह 1 - अज्ञात शब्द के साथ; समूह 2 - अज्ञात कम के साथ; समूह 3 - एक अज्ञात सबट्रेंड के साथ; समूह 4 - एक अज्ञात भाजक के साथ; समूह 5 - एक अज्ञात विभाज्य के साथ; 6 वां समूह - एक अज्ञात गुणक के साथ।

1 समूह x + 8 = 15 2 समूह x - 8 = 7 3 समूह 48 - x = 36 चौथा समूह 540: x = 9 5 समूह x: 15 = 9 6 समूह x * 10 = 360

समूह में से एक को गणितीय भाषा में अपने समीकरण को पढ़ना चाहिए और उनके समाधान पर टिप्पणी करनी चाहिए, यानी ज्ञात क्रिया घटकों (एल्गोरिदम) के साथ किए जा रहे ऑपरेशन का उच्चारण करना चाहिए।

निष्कर्ष: हम एल्गोरिथम के अनुसार सभी प्रकार के सरल समीकरणों को हल करने, शाब्दिक भाव पढ़ने और लिखने में सक्षम हैं।

मैं उस समस्या को हल करने का प्रस्ताव करता हूं जिसमें प्रकट होता है नया प्रकारसमीकरण

निष्कर्ष: हम समीकरणों के हल से परिचित हुए, जिनमें से एक भाग में एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति होती है, जिसका मूल्य ज्ञात किया जाना चाहिए और एक साधारण समीकरण प्राप्त किया जाना चाहिए।

________________________________________________________________________

समीकरण के दूसरे संस्करण पर विचार करें, जिसका समाधान श्रृंखला को हल करने के लिए कम हो जाता है सरल समीकरण. यहाँ यौगिक समीकरणों के परिचय में से एक है।

ए + बी * सी (एक्स - वाई): 3 2 * डी + (एम - एन) क्या वे रिकॉर्ड के समीकरण हैं? क्यों? इन क्रियाओं को क्या कहते हैं? अंतिम क्रिया का नामकरण करते हुए उन्हें पढ़ें:

नहीं। ये समीकरण नहीं हैं, क्योंकि समीकरण में "=" चिह्न अवश्य होना चाहिए। भाव a + b * c - संख्या a का योग और संख्या b और c का गुणनफल; (x - y): 3 - संख्याओं x और y के बीच के अंतर का भागफल; 2 * d + (m - n) - दोगुनी संख्या d का योग और संख्याओं m और n के बीच का अंतर।

मेरा सुझाव है कि हर कोई गणितीय भाषा में एक वाक्य लिखें:

संख्या x और 4 और संख्या 3 के बीच के अंतर का गुणनफल 15 है।

निष्कर्ष: उत्पन्न हुई समस्या की स्थिति पाठ के लक्ष्य की स्थापना को प्रेरित करती है: यह जानने के लिए कि समीकरणों को कैसे हल किया जाए जिसमें अज्ञात घटक एक अभिव्यक्ति है। ऐसे समीकरण यौगिक समीकरण होते हैं।

__________________________________________________________________________

या शायद पहले से अध्ययन किए गए समीकरणों के प्रकार हमारी मदद करेंगे? (एल्गोरिदम)

कौन सा ज्ञात समीकरण हमारे समीकरण के समान है? एक्स * ए = इन

बहुत ही महत्वपूर्ण प्रश्न: बाईं ओर का व्यंजक क्या है - योग, अंतर, गुणनफल या भागफल?

(एक्स - 4) * 3 = 15 (उत्पाद)

क्यों? (क्योंकि अंतिम क्रिया गुणन है)

निष्कर्ष:ऐसे समीकरणों पर अभी तक विचार नहीं किया गया है। लेकिन हम तय कर सकते हैं कि क्या अभिव्यक्तिएक्स - 4एक कार्ड (y - y) को सुपरइम्पोज़ करें, और आपको एक समीकरण मिलता है जिसे एक अज्ञात घटक को खोजने के लिए एक सरल एल्गोरिथ्म का उपयोग करके आसानी से हल किया जा सकता है।

यौगिक समीकरणों को हल करते समय, प्रत्येक चरण में स्वचालित स्तर पर एक क्रिया का चयन करना, टिप्पणी करना, क्रिया के घटकों का नामकरण करना आवश्यक है।

भाग को सरल बनाएं

नहीं ↓ हाँ

(वाई - 5) * 4 = 28
वाई - 5 = 28: 4
वाई - 5 = 7
वाई = 5 +7
वाई = 12
(12 - 5) * 4 = 28
28 = 28 (और)

निष्कर्ष:अलग-अलग पृष्ठभूमि वाली कक्षाओं में इस काम को अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। अधिक तैयार कक्षाओं में, प्राथमिक निर्धारण के लिए भी, ऐसे भावों का उपयोग किया जा सकता है जिनमें दो नहीं, बल्कि तीन या अधिक क्रियाएं होती हैं, लेकिन उनके समाधान की आवश्यकता होती है अधिकएक साधारण समीकरण प्राप्त होने तक समीकरण को सरल बनाने वाले प्रत्येक चरण के साथ कदम। और हर बार आप देख सकते हैं कि क्रियाओं का अज्ञात घटक कैसे बदलता है।

_____________________________________________________________________________

निष्कर्ष:

जब कुछ बहुत ही सरल, समझने योग्य बात आती है, तो हम अक्सर कहते हैं: "मामला स्पष्ट है, जैसे दो गुणा दो - चार!"।

लेकिन इससे पहले कि आप इस तथ्य के बारे में सोचें कि दो गुणा दो चार है, लोगों को कई, कई हजारों वर्षों तक अध्ययन करना पड़ा।

दो हज़ार साल से भी पहले प्राचीन यूनानियों को अंकगणित और ज्यामिति की स्कूली पाठ्यपुस्तकों के कई नियम ज्ञात थे।

जहाँ भी आपको गिनने, मापने, तुलना करने की आवश्यकता हो, आप गणित के बिना नहीं कर सकते।

यह कल्पना करना कठिन है कि लोग कैसे रहेंगे यदि वे नहीं जानते कि कैसे गिनना, मापना, तुलना करना है। गणित यही सिखाता है।

आज आप स्कूली जीवन में उतर गए हैं, छात्रों की भूमिका में रहे हैं और मेरा सुझाव है कि प्रिय माता-पिता, अपने कौशल का मूल्यांकन बड़े पैमाने पर करें।

मेरा कौशल	तिथि और ग्रेड
क्रिया घटक।
अज्ञात घटक के साथ समीकरण बनाना।
अभिव्यक्ति पढ़ना और लिखना।
एक साधारण समीकरण में समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए।
एक समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए, जिसके किसी एक भाग में संख्यात्मक व्यंजक हो।
एक समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए जिसमें क्रिया का अज्ञात घटक एक व्यंजक है।

52. अधिक जटिल उदाहरणसमीकरण.
उदाहरण 1 ।

5 / (एक्स - 1) - 3 / (एक्स + 1) \u003d 15 / (एक्स 2 - 1)

सामान्य हर x 2 - 1 है, क्योंकि x 2 - 1 \u003d (x + 1) (x - 1)। इस समीकरण के दोनों पक्षों को x 2 - 1 से गुणा करें।

या, कमी के बाद,

5(x + 1) - 3(x - 1) = 15

5x + 5 - 3x + 3 = 15

2x=7 और x=3½

एक अन्य समीकरण पर विचार करें:

5 / (एक्स-1) - 3 / (एक्स + 1) \u003d 4 (एक्स 2 - 1)

ऊपर के रूप में हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

5(x + 1) - 3(x - 1) = 4
5x + 5 - 3x - 3 = 4 या 2x = 2 और x = 1।

आइए देखें कि क्या हमारी समानताएं उचित हैं यदि हम प्रत्येक माना समीकरण में x को पाया गया संख्या से प्रतिस्थापित करते हैं।

पहले उदाहरण के लिए, हमें मिलता है:

हम देखते हैं कि यहां किसी भी संदेह के लिए कोई जगह नहीं है: हमने एक्स के लिए ऐसी संख्या पाई है कि आवश्यक समानता उचित है।

दूसरे उदाहरण के लिए, हमें मिलता है:

5/(1-1) - 3/2 = 15/(1-1) या 5/0 - 3/2 = 15/0

यहां संदेह पैदा होता है: हम यहां शून्य से विभाजन के साथ मिलते हैं, जो असंभव है। यदि भविष्य में हम इस विभाजन को एक निश्चित, अप्रत्यक्ष, अर्थ देने का प्रबंधन करते हैं, तो हम सहमत हो सकते हैं कि पाया गया समाधान x - 1 हमारे समीकरण को संतुष्ट करता है। तब तक, हमें यह स्वीकार करना चाहिए कि हमारे समीकरण का कोई ऐसा हल नहीं है जिसका कोई सीधा अर्थ हो।

ऐसे मामले तब हो सकते हैं जब अज्ञात को किसी तरह समीकरण में भिन्नों के हर में शामिल किया जाता है, और इनमें से कुछ हर, जब समाधान मिल जाता है, गायब हो जाता है।

उदाहरण 2।

आप तुरंत देख सकते हैं कि इस समीकरण में एक अनुपात का रूप है: संख्या x + 3 से संख्या x - 1 का अनुपात संख्या 2x + 3 और संख्या 2x - 2 के अनुपात के बराबर है। इस परिस्थिति को देखते हुए, समीकरण को भिन्न से मुक्त करने के लिए यहां आवेदन करने का निर्णय अनुपात की मुख्य संपत्ति है (चरम शर्तों का उत्पाद औसत के उत्पाद के बराबर है)। तब उसे मिलेगा:

(x + 3) (2x - 2) = (2x + 3) (x - 1)

2x 2 + 6x - 2x - 6 = 2x 2 + 3x - 2x - 3।

यहां यह आशंका पैदा कर सकता है कि हम इस समीकरण का सामना नहीं करेंगे, तथ्य यह है कि समीकरण में x 2 वाले पद शामिल हैं। हालांकि, हम समीकरण के दोनों पक्षों से 2x 2 घटा सकते हैं - इससे समीकरण नहीं टूटेगा; तो x 2 वाले सदस्य नष्ट हो जाएंगे, और हम प्राप्त करते हैं:

6x - 2x - 6 = 3x - 2x - 3

आइए अज्ञात शब्दों को बाईं ओर ले जाएं, ज्ञात को दाईं ओर - हमें मिलता है:

3x=3 या x=1

इस समीकरण को याद रखना

(x + 3)/(x - 1) = (2x + 3)/(2x - 2)

हम तुरंत देखेंगे कि x (x = 1) के लिए पाया गया मान प्रत्येक भिन्न के हर को गायब कर देता है; हमें इस तरह के समाधान को तब तक छोड़ देना चाहिए जब तक कि हम शून्य से विभाजन के प्रश्न पर विचार नहीं कर लेते।

यदि हम आगे ध्यान दें कि समानुपात के गुण के अनुप्रयोग में जटिल मामले हैं, और यह कि किसी दिए गए के दोनों पक्षों को गुणा करके एक सरल समीकरण प्राप्त किया जा सकता है आम विभाजक, अर्थात् 2(x - 1) - आखिरकार, 2x - 2 = 2 (x - 1), तो हम प्राप्त करते हैं:

2(x + 3) = 2x - 3 या 2x + 6 = 2x - 3 या 6 = -3,

जो असंभव है।

यह परिस्थिति इंगित करती है कि इस समीकरण में ऐसे समाधान नहीं हैं जिनका सीधा अर्थ है, जो इस समीकरण के हर को शून्य में नहीं बदलेगा।
आइए अब समीकरण हल करें:

(3x + 5)/(x - 1) = (2x + 18)/(2x - 2)

हम समीकरण 2(x - 1) के दोनों भागों को गुणा करते हैं, अर्थात एक उभयनिष्ठ हर से, हमें प्राप्त होता है:

6x + 10 = 2x + 18

पाया गया समाधान हर को समाप्त नहीं करता है और इसका सीधा अर्थ है:

या 11 = 11

यदि कोई व्यक्ति दोनों भागों को 2(x - 1) से गुणा करने के बजाय, अनुपात के गुण का उपयोग करेगा, तो उसे प्राप्त होगा:

(3x + 5)(2x - 2) = (2x + 18)(x - 1) or
6x 2 + 4x - 10 = 2x 2 + 16x - 18.

यहां पहले से ही x 2 के साथ शर्तों को समाप्त नहीं किया जाएगा। सभी अज्ञात शब्दों को बाईं ओर और ज्ञात शब्दों को दाईं ओर स्थानांतरित करने पर, हम प्राप्त करेंगे

4x 2 - 12x = -8

एक्स 2 - 3x = -2

हम अभी इस समीकरण को हल नहीं कर सकते। भविष्य में, हम सीखेंगे कि ऐसे समीकरणों को कैसे हल करें और इसके लिए दो समाधान खोजें: 1) हम x = 2 और 2) ले सकते हैं हम x = 1 ले सकते हैं। दोनों समाधानों की जांच करना आसान है:

1) 2 2 - 3 2 = -2 और 2) 1 2 - 3 1 = -2

अगर हमें प्रारंभिक समीकरण याद है

(3x + 5) / (x - 1) = (2x + 18) / (2x - 2),

हम देखेंगे कि अब हमें इसके दोनों हल मिलते हैं: 1) x = 2 वह समाधान है जिसका सीधा अर्थ है और हर को शून्य नहीं करता है, 2) x = 1 वह समाधान है जो हर को शून्य में बदल देता है और करता है सीधा अर्थ नहीं है।

उदाहरण 3।

आइए इस समीकरण में शामिल भिन्नों के उभयनिष्ठ हर को खोजें, जिसके लिए हम प्रत्येक हर को गुणनखंडित करते हैं:

1) x 2 - 5x + 6 \u003d x 2 - 3x - 2x + 6 \u003d x (x - 3) - 2 (x - 3) \u003d (x - 3) (x - 2),

2) x 2 - x - 2 \u003d x 2 - 2x + x - 2 \u003d x (x - 2) + (x - 2) \u003d (x - 2) (x + 1),

3) x 2 - 2x - 3 \u003d x 2 - 3x + x - 3 \u003d x (x - 3) + (x - 3) \u003d (x - 3) (x + 1)।

सामान्य हर (x - 3)(x - 2)(x + 1) है।

इस समीकरण के दोनों पक्षों को गुणा करें (और अब हम इसे फिर से लिख सकते हैं:

एक सामान्य भाजक (x - 3) (x - 2) (x + 1) के लिए। फिर, प्रत्येक भिन्न को घटाने के बाद, हम प्राप्त करते हैं:

3(x + 1) - 2(x - 3) = 2(x - 2) or
3x + 3 - 2x + 6 = 2x - 4।

यहाँ से हमें मिलता है:

-x = -13 और x = 13.

इस समाधान का एक सीधा अर्थ है: यह किसी भी हर को शून्य पर सेट नहीं करता है।

अगर हमें समीकरण लेना है:

फिर, ठीक उसी तरह से आगे बढ़ने पर, जैसा कि ऊपर बताया गया है, हम प्राप्त करेंगे

3(x + 1) - 2(x - 3) = x - 2

3x + 3 - 2x + 6 = x - 2

3x - 2x - x = -3 - 6 - 2,

तुम कहाँ जाओगे

जो असंभव है। यह परिस्थिति बताती है कि अंतिम समीकरण का हल खोजना असंभव है जिसका सीधा अर्थ है।

लक्ष्य और लक्ष्य:

शैक्षिक:

1. फॉर्म के "जटिल" समीकरणों को हल करने के लिए एक विधि पर विचार करें: (x + 3): 8 = 5 और उन्हें हल करने के लिए एक क्रिया एल्गोरिदम प्राप्त करें।
2. अपने कंप्यूटिंग कौशल में सुधार करें।

विकसित होना:

1. रूप के समीकरणों के संचालन के तरीके का विश्लेषण, तर्क, व्याख्या करने की क्षमता विकसित करना: (x + 3): 8 = 5।

शैक्षिक:

1. जोड़े में काम करने की क्षमता बनाने के लिए (किसी मित्र की राय सुनें, समस्या पर चर्चा करें, आम सहमति पर आएं)।

स्वास्थ्य की बचत:

1. अपने स्वास्थ्य का ख्याल रखना सीखें।

उपकरण:

1. मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर और स्क्रीन;
2. एक कंप्यूटर;
3. प्रस्तुति;
4. अनुस्मारक-समर्थन;
5. कार्ड पर कार्य।

कक्षाओं के दौरान:

I. संगठनात्मक क्षण।

- घंटी बजी। गणित की कक्षा के लिए अपनी तैयारी की जाँच करें। हर कोई तैयार है।

और चलो इसे जांचें!

- ब्लिट्ज: कैसे खोजें अज्ञात शब्द? (घटाया, घटाया, लाभांश, भाजक, गुणक)।

- बहुत बढ़िया! बैठ जाओ। हम सुरक्षित रूप से आरंभ कर सकते हैं। नोटबुक खोलें। संख्या लिखो, महान कार्य।

द्वितीय. बुनियादी ज्ञान का अद्यतनीकरण।

1) - मेरा सुझाव है कि आप वार्म-अप करें। स्क्रीन पर ध्यान दें!

(परिशिष्ट 1. प्रस्तुति -स्लाइड 1).

100 ∙ 29 32 ∙ 20 4800: 2

एक 15 9000 - इंच से: 317

एक्स 80 = 640 कश्मीर: 50 = 500 सी + 90 = 34 + 56

- रिकॉर्डिंग डेटा को समूहों में विभाजित करें। 2 से किसने विभाजित किया? 3 समूहों के लिए?

बहस!!! किस आधार पर बांटे... , एक …..?

- नाम संख्यात्मक भाव। नाम पत्र। विश्राम? (समीकरण।)

(स्लाइड 2)

- संख्यात्मक भावों के मूल्यों का पता लगाएं।
- शाब्दिक अभिव्यक्तियों का अर्थ खोजें यदि

ए = 0, बी = 1, सी = 317

- समीकरणों में, "अतिरिक्त" खोजें। इसे साबित करो!
- 1 समीकरण, 2 समीकरणों का मूल ज्ञात कीजिए। (सरल।)
- इस प्रकार के जटिल समीकरण को हल करने के लिए सबसे पहले क्या करना चाहिए? (सरलीकृत करें।) - कैसे? (कार्रवाई करें।) क्या?
- समीकरण को सरल कीजिए। जड़ का पता लगाएं।

III. विषय, कार्य।

- कौन सीखना चाहता है कि नए प्रकार के जटिल समीकरणों को कैसे हल किया जाए? एक हाथ उठाओ! बहुत बढ़िया! इसका मतलब है कि आप कठिनाइयों से डरते नहीं हैं और नई खोजों के लिए तैयार हैं!
- हमारे पाठ का विषय "एक नए प्रकार के "जटिल" समीकरणों का समाधान है।

(चूंकि शब्द "जटिल" समीकरण मनमाना है, मैंने इसे उद्धरण चिह्नों में संलग्न किया है।)

- सीखने के उद्देश्यों को परिभाषित करें:

1. नए प्रकार के जटिल समीकरणों को हल करना सीखें।
2. एक समाधान एल्गोरिथ्म बनाएँ। (एल्गोरिदम - क्रम, क्रियाओं का क्रम।)
3. समीकरणों के हल पर टिप्पणी करना सीखें।
4. अपने कंप्यूटिंग कौशल में सुधार करें।

शारीरिक शिक्षा 1.

चतुर्थ। विषय पर काम करें। समस्या का निरूपण। नया खुल रहा है।

1) नंबर 488 से। पाठ्यपुस्तक।

- मैं अब आपको फिर से शोधकर्ताओं से मिलने के लिए आमंत्रित करना चाहता हूं।

+ 30 = 50 यह बोर्ड प्रविष्टि!

- अभिव्यक्ति पढ़ें। 1 स्लग 2 स्लग राशि मूल्य।

क्या यह एक समीकरण है? क्यों?

- "बॉक्स" में एक्सप्रेशन डालें

+ 30 = 50 - हम प्रविष्टि को क्या कहते हैं? (मुश्किल उर।) - क्या ऐसा लगता है कि हम पहले से ही जानते हैं कि कैसे हल किया जाए? - क्यों?

इस समीकरण को हल करने का एक तरीका खोजने का प्रयास करें। ध्यान दें, मैंने गलती से कार्रवाई के घटकों पर हस्ताक्षर नहीं किए हैं! बिना जांचे सबमिट करें!

2) स्पष्टीकरण: - इस योग में 4 x का शाब्दिक व्यंजक क्या (कौन सा घटक) है (यह 1 पद है)।

तो, 1 पद एक शाब्दिक व्यंजक 4 x है और यह अज्ञात है!

नियम नहीं बदलता है! अज्ञात 1 स्लग को कैसे खोजें?

4 एक्स

= 50 - 30 - क्या आप हल कर सकते हैं?

3) - ट्यूटोरियल पी खोलें। 149 नंबर 488. पढ़ें कि मिशा ने कैसे तर्क दिया।

वी. एल्गोरिथ्म की व्युत्पत्ति। नया ठीक करना।

1) बोर्ड को समीकरण हल करें: (x + 3): 8 = 5 1।

व्यायाम! क्रम का पता लगाने की कोशिश करो!

2) एल्गोरिथ्म की व्युत्पत्ति।

- जैसा कि आप समझते हैं, घटकों को बुलाया जाएगा: लाभांश, भाजक, निजी मूल्य।

- पहला या आखिरी कौन सा विभाग है? = आप कहाँ से शुरू करते हैं?

3). कलन विधि(स्लाइड 3).

1. मैं अंतिम क्रिया को परिभाषित करूंगा और घटकों का नाम दूंगा।
2. मैं एक अज्ञात घटक को परिभाषित करूंगा और इसे खोजने के लिए नियम याद रखूंगा।
3. एक नया समीकरण लिखिए और सरल कीजिए।
4. मुझे एक साधारण समीकरण हल करने दीजिए।

4) टिप्पणी के लिए मेमो पढ़ना।

5). नंबर 489. पाठ्यपुस्तक। टिप्पणी करना।

शारीरिक शिक्षा मिनट 2 (आंखों के लिए)।

6)। सामूहिक कार्य। जोड़े में काम।

1) (y– 5) 4 = 28
2) 3 ए - 7 \u003d 14
3) (24 + डी): 8 = 7
4) 63: (14 - x) = 7

चेकलिस्ट भरें!

समीकरण।	1	2	3	4
समाधान।

रेखीय समीकरण। समाधान, उदाहरण।

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

रेखीय समीकरण।

रैखिक समीकरण सबसे अच्छे नहीं हैं कठिन विषयस्कूल गणित। लेकिन कुछ तरकीबें ऐसी हैं जो एक प्रशिक्षित छात्र को भी पहेली बना सकती हैं। क्या हम इसका पता लगाएंगे?)

एक रैखिक समीकरण को आमतौर पर फॉर्म के समीकरण के रूप में परिभाषित किया जाता है:

कुल्हाड़ी + बी = 0 कहाँ पे ए और बी- कोई संख्या।

2x + 7 = 0. यहाँ ए = 2, ख = 7

0.1x - 2.3 = 0 यहाँ ए = 0.1, बी=-2.3

12x + 1/2 = 0 यहाँ ए = 12, ख = 1/2

कुछ भी जटिल नहीं है, है ना? खासकर यदि आप शब्दों पर ध्यान नहीं देते हैं: "जहां ए और बी कोई संख्या है"... और अगर आप नोटिस करते हैं, लेकिन इसके बारे में लापरवाही से सोचते हैं?) आखिरकार, अगर ए = 0, बी = 0(कोई संख्या संभव है?), तो हमें एक अजीब अभिव्यक्ति मिलती है:

लेकिन वह सब नहीं है! अगर कहें, ए = 0,एक ख = 5,यह काफी बेतुका कुछ पता चला है:

गणित में क्या तनाव और आत्मविश्वास कम करता है, हाँ ...) खासकर परीक्षाओं में। लेकिन इन अजीबोगरीब भावों में से, आपको X को भी खोजना होगा! जिसका कोई वजूद ही नहीं है। और, आश्चर्यजनक रूप से, यह X खोजना बहुत आसान है। हम सीखेंगे कि यह कैसे करना है। इस पाठ में।

दिखने में रैखिक समीकरण को कैसे पहचानें? यह निर्भर करता है क्या दिखावट।) चाल यह है कि रैखिक समीकरणों को न केवल रूप के समीकरण कहा जाता है कुल्हाड़ी + बी = 0 , बल्कि ऐसे समीकरण भी जो रूपांतरणों और सरलीकरणों द्वारा इस रूप में कम हो जाते हैं। और कौन जानता है कि यह कम हुआ है या नहीं?)

कुछ मामलों में एक रैखिक समीकरण को स्पष्ट रूप से पहचाना जा सकता है। मान लीजिए, यदि हमारे पास एक समीकरण है जिसमें पहली डिग्री में केवल अज्ञात हैं, तो हाँ संख्याएँ। और समीकरण नहीं है द्वारा विभाजित अंश अनजान , क्या यह महत्वपूर्ण है! और विभाजन द्वारा संख्या,या एक संख्यात्मक अंश - बस! उदाहरण के लिए:

यह एक रैखिक समीकरण है। यहाँ भिन्न हैं, लेकिन वर्ग में, घन आदि में कोई x नहीं है, और हर में कोई x नहीं है, अर्थात। नहीं x . द्वारा विभाजन. और यहाँ समीकरण है

रैखिक नहीं कहा जा सकता। यहाँ x सभी पहली डिग्री में हैं, लेकिन वहाँ है x . के साथ व्यंजक द्वारा विभाजन. सरलीकरण और परिवर्तनों के बाद, आप एक रैखिक समीकरण, और एक द्विघात समीकरण, और अपनी पसंद की कोई भी चीज़ प्राप्त कर सकते हैं।

यह पता चला है कि जब तक आप इसे लगभग हल नहीं कर लेते, तब तक किसी जटिल उदाहरण में एक रैखिक समीकरण का पता लगाना असंभव है। यह परेशान करने वाला है। लेकिन असाइनमेंट में, एक नियम के रूप में, वे समीकरण के रूप के बारे में नहीं पूछते हैं, है ना? कार्यों में, समीकरणों का आदेश दिया जाता है तय करना।यह मुझे आनंद देता है।)

रैखिक समीकरणों का समाधान। उदाहरण।

संपूर्ण समाधान रेखीय समीकरणसमीकरणों के समान परिवर्तनों से मिलकर बनता है। वैसे, ये परिवर्तन (जितना दो तक!) समाधान के अंतर्गत आते हैं गणित के सभी समीकरण।दूसरे शब्दों में, निर्णय कोईसमीकरण इन्हीं परिवर्तनों के साथ शुरू होता है। रैखिक समीकरणों के मामले में, इन परिवर्तनों पर यह (समाधान) पूर्ण उत्तर के साथ समाप्त होता है। लिंक का पालन करना समझ में आता है, है ना?) इसके अलावा, रैखिक समीकरणों को हल करने के उदाहरण भी हैं।

आइए सबसे सरल उदाहरण से शुरू करें। बिना किसी झंझट के। मान लीजिए कि हमें निम्नलिखित समीकरण को हल करने की आवश्यकता है।

एक्स - 3 = 2 - 4x

यह एक रैखिक समीकरण है। एक्स सभी पहली शक्ति के लिए हैं, एक्स द्वारा कोई विभाजन नहीं है। लेकिन, वास्तव में, हमें परवाह नहीं है कि समीकरण क्या है। हमें इसे हल करने की जरूरत है। यहां योजना सरल है। समीकरण के बाईं ओर x के साथ सब कुछ लीजिए, दाईं ओर x (संख्याओं) के बिना सब कुछ।

ऐसा करने के लिए, आपको स्थानांतरित करने की आवश्यकता है - 4x बाईं ओर, संकेत के परिवर्तन के साथ, निश्चित रूप से, लेकिन - 3 - दांई ओर। वैसे, यह है समीकरणों का पहला समान परिवर्तन।हैरान? इसलिए, उन्होंने लिंक का पालन नहीं किया, लेकिन व्यर्थ ...) हमें मिलता है:

एक्स + 4x = 2 + 3

हम समान देते हैं, हम मानते हैं:

हमें पूरी तरह से खुश रहने के लिए क्या चाहिए? हाँ, ताकि बाईं ओर एक साफ़ X हो! रास्ते में पांच हो जाता है। साथ पांच से छुटकारा पाएं समीकरणों का दूसरा समान परिवर्तन।अर्थात्, हम समीकरण के दोनों भागों को 5 से विभाजित करते हैं। हमें एक तैयार उत्तर मिलता है:

एक प्रारंभिक उदाहरण, बिल्कुल। यह वार्म-अप के लिए है।) यह बहुत स्पष्ट नहीं है कि मैंने यहाँ समान परिवर्तनों को क्यों याद किया? ठीक है। हम बैल को सींगों से पकड़ते हैं।) चलो कुछ और प्रभावशाली तय करते हैं।

उदाहरण के लिए, यहाँ यह समीकरण है:

हम कहाँ शुरू करें? X के साथ - बाईं ओर, X के बिना - दाईं ओर? ऐसा हो सकता है। छोटे चरणों में लंबी सड़क. और आप तुरंत, एक सार्वभौमिक और शक्तिशाली तरीके से कर सकते हैं। जब तक, निश्चित रूप से, आपके शस्त्रागार में समीकरणों के समान परिवर्तन नहीं होते हैं।

मैं आपसे एक महत्वपूर्ण प्रश्न पूछता हूं: आप इस समीकरण के बारे में सबसे ज्यादा क्या नापसंद करते हैं?

100 में से 95 लोग जवाब देंगे: अंशों ! उत्तर सही है। तो चलिए इनसे छुटकारा पाते हैं। तो हम तुरंत शुरू करते हैं दूसरा समान परिवर्तन. आपको बाईं ओर के अंश को किससे गुणा करने की आवश्यकता है ताकि हर पूरी तरह से कम हो जाए? यह सही है, 3. और दाईं ओर? 4. लेकिन गणित हमें दोनों पक्षों को से गुणा करने की अनुमति देता है वही नंबर. हम कैसे निकलते हैं? आइए दोनों पक्षों को 12 से गुणा करें! वे। एक आम भाजक के लिए। फिर तीन कम हो जाएंगे, और चार। यह न भूलें कि आपको प्रत्येक भाग को गुणा करने की आवश्यकता है पूरी तरह से. यहाँ पहला कदम कैसा दिखता है:

कोष्ठक का विस्तार:

टिप्पणी! मीटर (एक्स+2)मैंने कोष्ठक में लिया! ऐसा इसलिए है क्योंकि भिन्नों को गुणा करते समय अंश को पूर्ण से गुणा किया जाता है! और अब आप भिन्नों को कम कर सकते हैं और कम कर सकते हैं:

शेष कोष्ठक खोलना:

उदाहरण नहीं, बल्कि शुद्ध आनंद!) अब हम मंत्र को याद करते हैं निम्न ग्रेड: x के साथ - बाईं ओर, x के बिना - दाईं ओर!और इस परिवर्तन को लागू करें:

यहाँ कुछ इस प्रकार हैं:

और हम दोनों भागों को 25 से विभाजित करते हैं, अर्थात्। दूसरा परिवर्तन फिर से लागू करें:

बस इतना ही। उत्तर: एक्स=0,16

आइए ध्यान दें: मूल भ्रमित समीकरण को लाने के लिए अच्छी लग रही हो, हमने दो (केवल दो!) समान परिवर्तन- एक ही संख्या से समीकरण के चिह्न और गुणन-विभाजन के परिवर्तन के साथ बाएं-दाएं अनुवाद। यह सार्वभौमिक तरीका है! हम इस तरह से काम करेंगे कोई समीकरण! बिल्कुल कोई। इसलिए मैं इन समान परिवर्तनों को हर समय दोहराता रहता हूं।)

जैसा कि आप देख सकते हैं, रैखिक समीकरणों को हल करने का सिद्धांत सरल है। हम समीकरण लेते हैं और उत्तर प्राप्त होने तक समान परिवर्तनों की सहायता से इसे सरल बनाते हैं। यहां मुख्य समस्याएं गणना में हैं, न कि समाधान के सिद्धांत में।

लेकिन ... सबसे प्राथमिक रैखिक समीकरणों को हल करने की प्रक्रिया में ऐसे आश्चर्य हैं कि वे एक मजबूत मूर्खता में ड्राइव कर सकते हैं ...) सौभाग्य से, ऐसे केवल दो आश्चर्य हो सकते हैं। आइए उन्हें विशेष मामले कहते हैं।

रैखिक समीकरणों को हल करने में विशेष मामले।

पहले आश्चर्य।

मान लीजिए कि आप एक प्रारंभिक समीकरण में आते हैं, कुछ इस तरह:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

थोड़ा ऊब, हम एक्स के साथ बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, एक्स के बिना - दाईं ओर ... संकेत के परिवर्तन के साथ, सब कुछ ठोड़ी-चिनार है ... हमें मिलता है:

2x-5x+3x=5-2-3

हम मानते हैं, और ... ओह माय! हम पाते हैं:

यह समानता अपने आप में आपत्तिजनक नहीं है। शून्य वास्तव में शून्य है। लेकिन एक्स चला गया है! और हमें उत्तर में लिखना होगा, x किसके बराबर है।अन्यथा, समाधान मायने नहीं रखता, हाँ...) एक गतिरोध?

शांत! ऐसे संदिग्ध मामलों में, सबसे सामान्य नियम बचाते हैं। समीकरण कैसे हल करें? समीकरण को हल करने का क्या अर्थ है? इसका मतलब है की, x के सभी मान ज्ञात कीजिए जिन्हें मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर हमें सही समानता मिलेगी।

लेकिन हमारे पास सही समानता है पहले से हीहो गई! 0 = 0, वास्तव में कहाँ ?! यह पता लगाना बाकी है कि यह किस x से प्राप्त होता है। x के किन मानों को प्रतिस्थापित किया जा सकता है मूलसमीकरण अगर ये x's अभी भी शून्य हो गया है?चलो भी?)

हाँ!!! Xs को प्रतिस्थापित किया जा सकता है कोई!आप क्या चाहते हैं। कम से कम 5, कम से कम 0.05, कम से कम -220। वे अभी भी सिकुड़ेंगे। यदि आप मुझ पर विश्वास नहीं करते हैं, तो आप इसे देख सकते हैं।) किसी भी x मान को में बदलें मूलसमीकरण और गणना। हर समय शुद्ध सत्य प्राप्त होगा: 0 = 0, 2 = 2, -7.1 = -7.1 और इसी तरह।

यहाँ आपका उत्तर है: x कोई संख्या है।

उत्तर विभिन्न गणितीय प्रतीकों में लिखा जा सकता है, सार नहीं बदलता है। यह पूरी तरह से सही और पूर्ण उत्तर है।

दूसरा आश्चर्य।

आइए एक ही प्राथमिक रैखिक समीकरण लें और उसमें केवल एक संख्या बदलें। यह हम तय करेंगे:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

समान परिवर्तनों के बाद, हमें कुछ दिलचस्प मिलता है:

इस प्रकार सं. एक रैखिक समीकरण हल किया, एक अजीब समानता प्राप्त की। गणितीय रूप से बोलते हुए, हमारे पास है गलत समानता।और बोलना सरल भाषा, यह सच नहीं है। बड़बड़ाना। लेकिन फिर भी, यह बकवास काफी अच्छा कारण है सही निर्णयसमीकरण।)

फिर से, हम सोचते हैं सामान्य नियम. मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर x हमें क्या देगा? सहीसमानता? हाँ, कोई नहीं! ऐसे कोई एक्स नहीं हैं। आप जो कुछ भी प्रतिस्थापित करेंगे, सब कुछ कम हो जाएगा, बकवास रहेगा।)

यहाँ आपका उत्तर है: कोई समाधान नहीं हैं।

यह भी पूरी तरह से मान्य उत्तर है। गणित में, ऐसे उत्तर अक्सर होते हैं।

इस प्रकार सं. अब, मुझे आशा है, किसी भी (न केवल रैखिक) समीकरण को हल करने की प्रक्रिया में Xs की हानि आपको बिल्कुल भी परेशान नहीं करेगी। बात जानी-पहचानी है।)

अब जब हमने रैखिक समीकरणों के सभी नुकसानों को हल कर लिया है, तो उन्हें हल करना समझ में आता है।

अगर आपको यह साइट पसंद है...

वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। तत्काल सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)

आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

इस वीडियो में, हम एक ही एल्गोरिथम का उपयोग करके हल किए गए रैखिक समीकरणों के एक पूरे सेट का विश्लेषण करेंगे - इसलिए उन्हें सबसे सरल कहा जाता है।

आरंभ करने के लिए, आइए परिभाषित करें: एक रैखिक समीकरण क्या है और उनमें से किसे सबसे सरल कहा जाना चाहिए?

एक रैखिक समीकरण वह होता है जिसमें केवल एक चर होता है, और केवल पहली डिग्री में होता है।

सबसे सरल समीकरण का अर्थ है निर्माण:

एल्गोरिथम का उपयोग करके अन्य सभी रैखिक समीकरणों को सरलतम में घटा दिया जाता है:

1. खुले कोष्ठक, यदि कोई हो;
2. एक चर वाले पदों को समान चिह्न के एक तरफ और बिना चर के पदों को दूसरी तरफ ले जाएं;
3. समान चिह्न के बाएँ और दाएँ समान पदों को लाएँ;
4. परिणामी समीकरण को चर $x$ के गुणांक से विभाजित करें।

बेशक, यह एल्गोरिथ्म हमेशा मदद नहीं करता है। तथ्य यह है कि कभी-कभी, इन सभी साजिशों के बाद, चर $x$ का गुणांक शून्य के बराबर हो जाता है। इस मामले में, दो विकल्प संभव हैं:

1. समीकरण का कोई हल नहीं है। उदाहरण के लिए, जब आपको $0\cdot x=8$ जैसा कुछ मिलता है, यानी। बाईं ओर शून्य है, और दाईं ओर एक गैर-शून्य संख्या है। नीचे दिए गए वीडियो में, हम कई कारणों को देखेंगे कि यह स्थिति क्यों संभव है।
2. समाधान सभी संख्याएं हैं। इकलौता मामला, जब यह संभव हो, समीकरण को निर्माण $0\cdot x=0$ तक घटा दिया जाता है। यह काफी तार्किक है कि कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम $x$ को प्रतिस्थापित करते हैं, फिर भी यह "शून्य बराबर शून्य" होगा, अर्थात। सही संख्यात्मक समानता।

और अब देखते हैं कि वास्तविक समस्याओं के उदाहरण पर यह सब कैसे काम करता है।

समीकरण हल करने के उदाहरण

आज हम रैखिक समीकरणों से निपटते हैं, और केवल सबसे सरल। सामान्य तौर पर, एक रैखिक समीकरण का अर्थ है कोई भी समानता जिसमें बिल्कुल एक चर होता है, और यह केवल पहली डिग्री तक जाता है।

इस तरह के निर्माण लगभग उसी तरह हल किए जाते हैं:

1. सबसे पहले, आपको कोष्ठक खोलने की जरूरत है, यदि कोई हो (जैसा कि हमारे पिछले उदाहरण में है);
2. फिर समान लाओ
3. अंत में, चर को अलग करें, अर्थात। सब कुछ जो चर के साथ जुड़ा हुआ है - जिन शर्तों में यह निहित है - एक तरफ स्थानांतरित कर दिया जाता है, और इसके बिना जो कुछ भी रहता है वह दूसरी तरफ स्थानांतरित हो जाता है।

फिर, एक नियम के रूप में, आपको परिणामी समानता के प्रत्येक पक्ष पर समान लाने की आवश्यकता है, और उसके बाद यह केवल "x" के गुणांक से विभाजित करने के लिए रहता है, और हमें अंतिम उत्तर मिलेगा।

सिद्धांत रूप में, यह अच्छा और सरल दिखता है, लेकिन व्यवहार में, अनुभवी हाई स्कूल के छात्र भी काफी सरल रैखिक समीकरणों में आपत्तिजनक गलतियाँ कर सकते हैं। आमतौर पर, गलतियाँ या तो कोष्ठक खोलते समय, या "प्लस" और "माइनस" की गिनती करते समय की जाती हैं।

इसके अलावा, ऐसा होता है कि एक रैखिक समीकरण का कोई हल नहीं होता है, या इसलिए कि समाधान पूरी संख्या रेखा है, अर्थात। कोई संख्या। हम आज के पाठ में इन सूक्ष्मताओं का विश्लेषण करेंगे। लेकिन हम शुरू करेंगे, जैसा कि आप पहले ही समझ चुके हैं, सबसे सरल कार्यों के साथ।

सरल रैखिक समीकरणों को हल करने की योजना

आरंभ करने के लिए, मैं एक बार फिर सबसे सरल रैखिक समीकरणों को हल करने की पूरी योजना लिखता हूं:

1. कोष्ठक का विस्तार करें, यदि कोई हो।
2. एकांत चर, यानी। सब कुछ जिसमें "x" होता है, एक तरफ स्थानांतरित हो जाता है, और "x" के बिना - दूसरी तरफ।
3. हम समान शब्द प्रस्तुत करते हैं।
4. हम गुणांक द्वारा "x" पर सब कुछ विभाजित करते हैं।

बेशक, यह योजना हमेशा काम नहीं करती है, इसमें कुछ सूक्ष्मताएं और तरकीबें हैं, और अब हम उन्हें जानेंगे।

सरल रैखिक समीकरणों के वास्तविक उदाहरणों को हल करना

कार्य 1

पहले चरण में, हमें कोष्ठकों को खोलना होगा। लेकिन वे इस उदाहरण में नहीं हैं, इसलिए हम इस चरण को छोड़ देते हैं। दूसरे चरण में, हमें चरों को अलग करने की आवश्यकता है। कृपया ध्यान दें: हम केवल व्यक्तिगत शर्तों के बारे में बात कर रहे हैं। चलो लिखते है:

हम बाईं ओर और दाईं ओर समान शब्द देते हैं, लेकिन यह पहले ही यहां किया जा चुका है। इसलिए, हम चौथे चरण पर आगे बढ़ते हैं: एक कारक से विभाजित करें:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

यहां हमें जवाब मिला।

कार्य #2

इस कार्य में, हम कोष्ठकों का अवलोकन कर सकते हैं, तो आइए उनका विस्तार करें:

बाईं ओर और दाईं ओर, हम लगभग समान निर्माण देखते हैं, लेकिन आइए एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करें, अर्थात। अनुक्रमक चर:

यहाँ कुछ इस प्रकार हैं:

यह किन जड़ों पर काम करता है? उत्तर: किसी के लिए। इसलिए, हम लिख सकते हैं कि $x$ कोई भी संख्या है।

कार्य #3

तीसरा रैखिक समीकरण पहले से ही अधिक दिलचस्प है:

\[\बाएं(6-x \दाएं)+\बाएं(12+x \दाएं)-\बाएं(3-2x \दाएं)=15\]

यहां कई कोष्ठक हैं, लेकिन उन्हें किसी भी चीज से गुणा नहीं किया जाता है, उनके सामने बस अलग-अलग संकेत होते हैं। आइए उन्हें तोड़ दें:

हम पहले से ज्ञात दूसरा चरण करते हैं:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

आइए गणना करें:

हम अंतिम चरण करते हैं - हम गुणांक द्वारा "x" पर सब कुछ विभाजित करते हैं:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

रैखिक समीकरणों को हल करते समय याद रखने योग्य बातें

यदि हम बहुत सरल कार्यों को अनदेखा करते हैं, तो मैं निम्नलिखित कहना चाहूंगा:

• जैसा कि मैंने ऊपर कहा, हर रैखिक समीकरण का कोई हल नहीं होता - कभी-कभी कोई मूल नहीं होता है;
• जड़ें हों तो भी उनमें शून्य प्रवेश कर सकता है - इसमें कोई बुराई नहीं है।

जीरो बाकी के समान ही संख्या है, आप इसमें किसी तरह का भेदभाव न करें या यह मान लें कि यदि आपको शून्य मिलता है, तो आपने कुछ गलत किया है।

एक अन्य विशेषता कोष्ठक के विस्तार से संबंधित है। कृपया ध्यान दें: जब उनके सामने "माइनस" होता है, तो हम उसे हटा देते हैं, लेकिन कोष्ठक में हम संकेतों को बदल देते हैं विलोम. और फिर हम इसे मानक एल्गोरिदम के अनुसार खोल सकते हैं: हमें वही मिलेगा जो हमने ऊपर की गणना में देखा था।

इस सरल तथ्य को समझने से आपको हाई स्कूल में मूर्खतापूर्ण और हानिकारक गलतियाँ करने से बचने में मदद मिलेगी, जब इस तरह के कार्यों को करने की अनुमति नहीं दी जाती है।

जटिल रैखिक समीकरणों को हल करना

आइए अधिक जटिल समीकरणों पर चलते हैं। अब निर्माण अधिक जटिल हो जाएंगे और विभिन्न परिवर्तन करते समय एक द्विघात कार्य दिखाई देगा। हालाँकि, आपको इससे डरना नहीं चाहिए, क्योंकि यदि, लेखक के इरादे के अनुसार, हम एक रैखिक समीकरण को हल करते हैं, तो परिवर्तन की प्रक्रिया में एक द्विघात फ़ंक्शन वाले सभी मोनोमियल अनिवार्य रूप से कम हो जाएंगे।

उदाहरण 1

जाहिर है, पहला कदम कोष्ठक खोलना है। आइए इसे बहुत सावधानी से करें:

आइए अब गोपनीयता लेते हैं:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

यहाँ कुछ इस प्रकार हैं:

जाहिर है, इस समीकरण का कोई हल नहीं है, इसलिए उत्तर में हम इस प्रकार लिखते हैं:

\[\विविधता \]

या कोई जड़ नहीं।

उदाहरण #2

हम एक ही कदम उठाते हैं। पहला कदम:

आइए एक चर के साथ सब कुछ बाईं ओर ले जाएं, और इसके बिना - दाईं ओर:

यहाँ कुछ इस प्रकार हैं:

जाहिर है, इस रैखिक समीकरण का कोई हल नहीं है, इसलिए हम इसे इस तरह लिखते हैं:

\[\varnothing\],

या कोई जड़ नहीं।

समाधान की बारीकियां

दोनों समीकरण पूरी तरह से हल हो गए हैं। इन दो अभिव्यक्तियों के उदाहरण पर, हमने एक बार फिर सुनिश्चित किया कि सरलतम रैखिक समीकरणों में भी, सब कुछ इतना सरल नहीं हो सकता है: या तो एक हो सकता है, या कोई नहीं, या असीम रूप से कई हो सकते हैं। हमारे मामले में, हमने दो समीकरणों पर विचार किया, दोनों में बस कोई जड़ नहीं है।

लेकिन मैं आपका ध्यान एक और तथ्य की ओर आकर्षित करना चाहूंगा: कोष्ठक के साथ कैसे काम किया जाए और उनके सामने ऋण चिह्न होने पर उनका विस्तार कैसे किया जाए। इस अभिव्यक्ति पर विचार करें:

खोलने से पहले, आपको सब कुछ "x" से गुणा करना होगा। कृपया ध्यान दें: गुणा करें प्रत्येक व्यक्तिगत शब्द. अंदर दो पद हैं - क्रमशः, दो पद और गुणा किया जाता है।

और इन प्राथमिक प्रतीत होने वाले, लेकिन बहुत महत्वपूर्ण और खतरनाक परिवर्तनों के पूरा होने के बाद ही, ब्रैकेट को इस दृष्टिकोण से खोला जा सकता है कि इसके बाद एक ऋण चिह्न है। हां, हां: केवल अब, जब परिवर्तन किए जाते हैं, तो हमें याद आता है कि कोष्ठक के सामने एक ऋण चिह्न है, जिसका अर्थ है कि नीचे सब कुछ सिर्फ संकेत बदलता है। उसी समय, कोष्ठक स्वयं गायब हो जाते हैं और, सबसे महत्वपूर्ण बात, सामने वाला "माइनस" भी गायब हो जाता है।

हम दूसरे समीकरण के साथ भी ऐसा ही करते हैं:

यह कोई संयोग नहीं है कि मैं इन छोटे, प्रतीत होने वाले महत्वहीन तथ्यों पर ध्यान देता हूं। क्योंकि समीकरणों को हल करना हमेशा प्रारंभिक परिवर्तनों का एक क्रम होता है, जहाँ स्पष्ट और सक्षम रूप से सरल क्रियाओं को करने में असमर्थता इस तथ्य की ओर ले जाती है कि हाई स्कूल के छात्र मेरे पास आते हैं और ऐसे सरल समीकरणों को फिर से हल करना सीखते हैं।

बेशक, वह दिन आएगा जब आप इन कौशलों को स्वचालितता में बदल देंगे। अब आपको हर बार इतने ट्रांसफॉर्मेशन नहीं करने हैं, आप सब कुछ एक लाइन में लिख देंगे। लेकिन जब आप अभी सीख रहे हैं, तो आपको प्रत्येक क्रिया को अलग से लिखना होगा।

और भी जटिल रैखिक समीकरणों को हल करना

अब हम जो हल करने जा रहे हैं, उसे शायद ही सबसे सरल कार्य कहा जा सकता है, लेकिन अर्थ वही रहता है।

कार्य 1

\[\बाएं(7x+1 \दाएं)\बाएं(3x-1 \दाएं)-21((x)^(2))=3\]

आइए पहले भाग में सभी तत्वों को गुणा करें:

आइए एक रिट्रीट करें:

यहाँ कुछ इस प्रकार हैं:

आइए अंतिम चरण करें:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

यहाँ हमारा अंतिम उत्तर है। और, इस तथ्य के बावजूद कि हल करने की प्रक्रिया में हमारे पास द्विघात फ़ंक्शन के साथ गुणांक थे, हालांकि, उन्होंने पारस्परिक रूप से रद्द कर दिया, जो समीकरण को बिल्कुल रैखिक बनाता है, वर्ग नहीं।

कार्य #2

\[\बाएं(1-4x \दाएं)\बाएं(1-3x \दाएं)=6x\बाएं(2x-1 \दाएं)\]

आइए पहले चरण को ध्यान से करें: पहले ब्रैकेट में प्रत्येक तत्व को दूसरे में प्रत्येक तत्व से गुणा करें। परिवर्तनों के बाद कुल मिलाकर चार नई शर्तें प्राप्त की जानी चाहिए:

और अब ध्यान से प्रत्येक पद में गुणा करें:

आइए शब्दों को "x" के साथ बाईं ओर ले जाएं, और बिना - दाईं ओर:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

यहाँ समान शब्द हैं:

हमें एक निश्चित उत्तर मिला है।

समाधान की बारीकियां

इन दो समीकरणों के बारे में सबसे महत्वपूर्ण टिप्पणी निम्नलिखित है: जैसे ही हम उन कोष्ठकों को गुणा करना शुरू करते हैं जिनमें इससे बड़ा एक पद है, तो यह इस प्रकार किया जाता है अगला नियम: हम पहले पद से पहला पद लेते हैं और दूसरे से प्रत्येक तत्व से गुणा करते हैं; फिर हम पहले से दूसरा तत्व लेते हैं और इसी तरह दूसरे से प्रत्येक तत्व के साथ गुणा करते हैं। नतीजतन, हमें चार शब्द मिलते हैं।

बीजगणितीय योग पर

पिछले उदाहरण में, मैं छात्रों को याद दिलाना चाहूंगा कि क्या है बीजीय योग. शास्त्रीय गणित में, $1-7$ से हमारा मतलब है सरल डिजाइन: एक से सात घटाएं। बीजगणित में, हमारा मतलब निम्न से है: संख्या "एक" में हम एक और संख्या जोड़ते हैं, जिसका नाम "माइनस सात" है। यह बीजीय योग सामान्य अंकगणितीय योग से भिन्न होता है।

जैसे ही सभी परिवर्तन, प्रत्येक जोड़ और गुणा करते समय, आप ऊपर वर्णित लोगों के समान निर्माण देखना शुरू करते हैं, बहुपद और समीकरणों के साथ काम करते समय आपको बीजगणित में कोई समस्या नहीं होगी।

अंत में, आइए कुछ और उदाहरण देखें जो हमारे द्वारा देखे गए उदाहरणों की तुलना में और भी अधिक जटिल होंगे, और उन्हें हल करने के लिए, हमें अपने मानक एल्गोरिथम का थोड़ा विस्तार करना होगा।

भिन्न के साथ समीकरण हल करना

ऐसे कार्यों को हल करने के लिए, हमारे एल्गोरिथ्म में एक और कदम जोड़ना होगा। लेकिन पहले, मैं अपने एल्गोरिथ्म को याद दिलाऊंगा:

1. कोष्ठक खोलें।
2. अलग चर।
3. समान लाओ।
4. एक कारक से विभाजित करें।

काश, यह अद्भुत एल्गोरिथ्म, इसकी सभी दक्षता के लिए, पूरी तरह से उपयुक्त नहीं होता जब हमारे सामने भिन्न होते हैं। और जो हम नीचे देखेंगे, दोनों समीकरणों में हमारे पास बाईं ओर और दाईं ओर एक भिन्न है।

इस मामले में कैसे काम करें? हाँ, यह बहुत आसान है! ऐसा करने के लिए, आपको एल्गोरिथ्म में एक और कदम जोड़ने की जरूरत है, जिसे पहली क्रिया से पहले और उसके बाद, अर्थात् भिन्नों से छुटकारा पाने के लिए किया जा सकता है। इस प्रकार, एल्गोरिथ्म इस प्रकार होगा:

1. अंशों से छुटकारा पाएं।
2. कोष्ठक खोलें।
3. अलग चर।
4. समान लाओ।
5. एक कारक से विभाजित करें।

"अंशों से छुटकारा पाने" का क्या अर्थ है? और पहले मानक चरण के बाद और पहले दोनों में ऐसा करना क्यों संभव है? वास्तव में, हमारे मामले में, सभी भिन्न हर के संदर्भ में संख्यात्मक होते हैं, अर्थात। हर जगह भाजक सिर्फ एक संख्या है। इसलिए, यदि हम समीकरण के दोनों भागों को इस संख्या से गुणा करते हैं, तो हमें भिन्नों से छुटकारा मिलेगा।

उदाहरण 1

\[\frac(\बाएं(2x+1 \दाएं)\बाएं(2x-3 \दाएं))(4)=((x)^(2))-1\]

आइए इस समीकरण में भिन्नों से छुटकारा पाएं:

\[\frac(\बाएं(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot चार\]

कृपया ध्यान दें: सब कुछ एक बार "चार" से गुणा किया जाता है, अर्थात। सिर्फ इसलिए कि आपके पास दो ब्रैकेट हैं इसका मतलब यह नहीं है कि आपको उनमें से प्रत्येक को "चार" से गुणा करना होगा। चलो लिखते है:

\[\बाएं(2x+1 \दाएं)\बाएं(2x-3 \दाएं)=\बाएं(((x)^(2))-1 \दाएं)\cdot 4\]

अब इसे खोलते हैं:

हम एक चर का एकांतीकरण करते हैं:

हम समान शर्तों को कम करते हैं:

\[-4x=-1\बाएं| :\बाएं(-4 \दाएं) \दाएं।\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

हमें अंतिम समाधान मिल गया है, हम दूसरे समीकरण को पास करते हैं।

उदाहरण #2

\[\frac(\बाएं(1-x \दाएं)\बाएं(1+5x \दाएं))(5)+((x)^(2))=1\]

यहां हम सभी समान क्रियाएं करते हैं:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

समस्या हल हो गई।

वास्तव में, मैं आज यही बताना चाहता था।

प्रमुख बिंदु

प्रमुख निष्कर्ष इस प्रकार हैं:

• रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम को जानें।
• कोष्ठक खोलने की क्षमता।
• अगर आपके पास कहीं है तो चिंता न करें द्विघात कार्य, सबसे अधिक संभावना है, आगे के परिवर्तनों की प्रक्रिया में, वे कम हो जाएंगे।
• रैखिक समीकरणों में जड़ें, यहां तक ​​​​कि सबसे सरल, तीन प्रकार की होती हैं: एक एकल जड़, पूरी संख्या रेखा एक जड़ होती है, कोई जड़ें नहीं होती हैं।

मुझे आशा है कि यह पाठ आपको सभी गणित को और अधिक समझने के लिए एक सरल, लेकिन बहुत महत्वपूर्ण विषय में महारत हासिल करने में मदद करेगा। अगर कुछ स्पष्ट नहीं है, तो साइट पर जाएं, वहां प्रस्तुत उदाहरणों को हल करें। देखते रहिए, और भी कई दिलचस्प चीज़ें आपका इंतज़ार कर रही हैं!