التعريف المباشر الموازي للعلامات. الخطوط المتوازية، علامات وشروط الخطوط المتوازية

هذه المقالة هي عن الخطوط المتوازية والخطوط المتوازية. أولاً، يتم تقديم تعريف الخطوط المتوازية على المستوى وفي الفضاء، ويتم تقديم الرموز، ويتم تقديم الأمثلة والرسوم التوضيحية للخطوط المتوازية. بعد ذلك، تتم مناقشة علامات وشروط توازي الخطوط. في الختام، يتم عرض حلول للمسائل النموذجية لإثبات توازي الخطوط، والتي تعطى من خلال معادلات معينة لخط في نظام إحداثيات مستطيل على مستوى وفي الفضاء ثلاثي الأبعاد.

التنقل في الصفحة.

الخطوط المتوازية - معلومات أساسية.

تعريف.

يتم استدعاء خطين في الطائرة موازي، إذا لم يكن لديهم نقاط مشتركة.

تعريف.

يتم استدعاء خطين في الفضاء ثلاثي الأبعاد موازي، إذا كانوا يقعون في نفس المستوى وليس لديهم نقاط مشتركة.

يرجى ملاحظة أن عبارة "إذا كانا يقعان في مستوى واحد" في تعريف المستقيمات المتوازية في الفضاء مهمة جدًا. دعونا نوضح هذه النقطة: الخطان الموجودان في الفضاء ثلاثي الأبعاد، وليس لهما نقاط مشتركة ولا يقعان في نفس المستوى، ليسا متوازيين، بل متقاطعين.

فيما يلي بعض الأمثلة على الخطوط المتوازية. تقع الحواف المقابلة لورقة دفتر الملاحظات على خطوط متوازية. الخطوط المستقيمة التي يتقاطع بها مستوى جدار المنزل مع مستويات السقف والأرضية متوازية. يمكن أيضًا اعتبار قضبان السكك الحديدية الموجودة على أرض مستوية بمثابة خطوط متوازية.

للإشارة إلى الخطوط المتوازية، استخدم الرمز "". أي أنه إذا كان الخطان a وb متوازيين، فيمكننا كتابة a b باختصار.

يرجى ملاحظة: إذا كان المستقيمان a وb متوازيين، فيمكننا القول أن المستقيم a موازي للخط b، وأيضًا أن الخط b موازي للخط a.

دعونا نعرب عن عبارة تلعب دورًا مهمًا في دراسة الخطوط المتوازية على المستوى: من خلال نقطة لا تقع على خط معين، يمر الخط المستقيم الوحيد الموازي للخط المعطى. يتم قبول هذا البيان كحقيقة (لا يمكن إثباته على أساس البديهيات المعروفة لقياس التخطيط)، ويسمى بديهية الخطوط المتوازية.

بالنسبة للحالة في الفضاء، فإن النظرية صحيحة: من خلال أي نقطة في الفضاء لا تقع على خط معين، يمر خط مستقيم واحد موازٍ للخط المعطى. يمكن إثبات هذه النظرية بسهولة باستخدام البديهية المذكورة أعلاه للخطوط المتوازية (يمكنك العثور على دليل عليها في كتاب الهندسة المدرسي للصفوف 10-11، والمدرج في نهاية المقالة في قائمة المراجع).

بالنسبة للحالة في الفضاء، فإن النظرية صحيحة: من خلال أي نقطة في الفضاء لا تقع على خط معين، يمر خط مستقيم واحد موازٍ للخط المعطى. يمكن إثبات هذه النظرية بسهولة باستخدام بديهية الخط الموازي أعلاه.

توازي الخطوط - علامات وشروط التوازي.

علامة على توازي الخطوطهو شرط كاف لتكون المستقيمات متوازية، أي الشرط الذي يحققه يضمن أن تكون المستقيمات متوازية. وبعبارة أخرى فإن تحقق هذا الشرط يكفي لإثبات توازي المستقيمين.

هناك أيضًا شروط ضرورية وكافية لتوازي الخطوط على المستوى وفي الفضاء ثلاثي الأبعاد.

دعونا نوضح معنى عبارة "الشرط الضروري والكافي للمستقيمين المتوازيين".

لقد تعاملنا بالفعل مع الشرط الكافي للخطوط المتوازية. و ماهو " شرط ضروريتوازي الخطوط"؟ ومن اسم "ضروري" يتضح أن استيفاء هذا الشرط ضروري للخطوط المتوازية. بمعنى آخر، إذا لم يتحقق الشرط اللازم ليكون المستقيمان متوازيين، فإن المستقيمين غير متوازيين. هكذا، شرط ضروري وكاف للخطوط المتوازيةهو شرط يكون تحقيقه ضروريًا وكافيًا للمستقيمين المتوازيين. وهذا هو، من ناحية، هذه علامة على توازي الخطوط، ومن ناحية أخرى، هذه خاصية تمتلكها الخطوط المتوازية.

قبل صياغة الشرط الضروري والكافي لتوازي الخطوط، من المستحسن أن نتذكر عدة تعريفات مساعدة.

خط قاطعهو الخط الذي يتقاطع مع كل من الخطين غير المتطابقين.

عندما يتقاطع خطان مستقيمان مع قاطع تتشكل ثمانية خطوط غير مكتملة. في صياغة الشرط الضروري والكافي لتوازي الخطوط ما يسمى الكذب بالعرض، المقابلةو زوايا أحادية الجانب. دعونا نظهر لهم في الرسم.

نظرية.

إذا تقاطع خطان مستقيمان في المستوى بمستعرض، فإنه لكي يكونا متوازيين لا بد ويكفي أن تكون الزوايا المتقاطعة متساوية، أو الزوايا المتناظرة متساوية، أو مجموع الزوايا من جانب واحد يساوي 180 درجات.

دعونا نعرض رسمًا توضيحيًا لهذا الشرط الضروري والكافي لتوازي الخطوط على المستوى.

يمكنك العثور على أدلة على هذه الشروط لتوازي الخطوط في كتب الهندسة المدرسية للصفوف 7-9.

لاحظ أنه يمكن أيضًا استخدام هذه الشروط في الفضاء ثلاثي الأبعاد - الشيء الرئيسي هو أن الخطين المستقيمين والقاطع يقعان في نفس المستوى.

فيما يلي بعض النظريات الأخرى التي تُستخدم عادةً لإثبات توازي الخطوط.

نظرية.

إذا كان مستقيمان في المستوى موازيين لخط ثالث، فإنهما متوازيان. والدليل على هذا المعيار يأتي من بديهية الخطوط المتوازية.

هناك حالة مماثلة للخطوط المتوازية في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

نظرية.

إذا كان مستقيمان في الفضاء موازيين لخط ثالث، فإنهما متوازيان. تمت مناقشة إثبات هذا المعيار في دروس الهندسة في الصف العاشر.

دعونا توضيح النظريات المذكورة.

دعونا نقدم نظرية أخرى تسمح لنا بإثبات توازي الخطوط على المستوى.

نظرية.

إذا كان مستقيمان في المستوى متعامدين مع مستقيم ثالث، فإنهما متوازيان.

هناك نظرية مماثلة للخطوط في الفضاء.

نظرية.

إذا كان مستقيمان في فضاء ثلاثي الأبعاد متعامدين على نفس المستوى، فإنهما متوازيان.

دعونا نرسم الصور المقابلة لهذه النظريات.

جميع النظريات والمعايير والشروط الضرورية والكافية المذكورة أعلاه ممتازة لإثبات توازي الخطوط باستخدام طرق الهندسة. وهذا يعني أنه لإثبات التوازي بين خطين محددين، عليك إظهار أنهما متوازيان لخط ثالث، أو إظهار تساوي الزوايا المتقاطعة، وما إلى ذلك. يتم حل العديد من المشكلات المماثلة في دروس الهندسة في المدرسة الثانوية. ومع ذلك، تجدر الإشارة إلى أنه في كثير من الحالات يكون من المناسب استخدام طريقة الإحداثيات لإثبات توازي الخطوط على المستوى أو في الفضاء ثلاثي الأبعاد. دعونا نقوم بصياغة الشروط الضرورية والكافية لتوازي الخطوط المحددة في نظام الإحداثيات المستطيل.

توازي الخطوط في نظام الإحداثيات المستطيل.

في هذه الفقرة من المقال سنقوم بصياغة الشروط الضرورية والكافية للخطوط المتوازيةفي نظام إحداثي مستطيل، اعتمادًا على نوع المعادلات التي تحدد هذه الخطوط، وسنقدم أيضًا حلولاً تفصيلية للمسائل المميزة.

لنبدأ بحالة التوازي بين خطين مستقيمين على مستوى في نظام الإحداثيات المستطيل أوكسي. يعتمد برهانه على تعريف متجه الاتجاه للخط وتعريف المتجه الطبيعي للخط على المستوى.

نظرية.

لكي يكون خطان غير متطابقين متوازيين في مستوى، من الضروري والكافي أن تكون متجهات الاتجاه لهذه الخطوط على خط واحد، أو أن تكون المتجهات العمودية لهذه الخطوط على خط واحد، أو أن يكون متجه الاتجاه لخط واحد متعامدًا على العمودي ناقلات السطر الثاني.

ومن الواضح أن حالة التوازي بين خطين على المستوى تختزل إلى (متجهات الاتجاه للخطوط أو المتجهات العادية للخطوط) أو إلى (متجه الاتجاه لخط واحد ومتجه عادي للخط الثاني). وبالتالي، إذا كانت متجهات الاتجاه للخطوط a و b، و و هي ناقلات عادية للخطين a و b، على التوالي، فسيتم كتابة الشرط الضروري والكافي لتوازي الخطين a و b على النحو التالي ، أو أو حيث t هو عدد حقيقي. في المقابل، يتم العثور على إحداثيات الأدلة و (أو) المتجهات العادية للخطوط a و b باستخدام معادلات الخطوط المعروفة.

على وجه الخصوص، إذا كان الخط المستقيم a في نظام الإحداثيات المستطيل أوكسي على المستوى يحدد معادلة خط مستقيم عامة من النموذج ، والخط المستقيم ب - ، فإن المتجهات العادية لهذه الخطوط لها إحداثيات، وعلى التوالي، وسيتم كتابة شرط التوازي للخطين a و b كـ .

إذا كان الخط a يتوافق مع معادلة خط ذو معامل زاوي للشكل، والخط b - فإن المتجهات العادية لهذه الخطوط لها إحداثيات و، وشرط توازي هذه الخطوط يأخذ الشكل . وبالتالي، إذا كانت الخطوط الموجودة على المستوى في نظام الإحداثيات المستطيل متوازية ويمكن تحديدها بمعادلات الخطوط ذات المعاملات الزاوية، فإن المعاملات الزاوية للخطوط ستكون متساوية. والعكس صحيح: إذا كان من الممكن تحديد الخطوط غير المتطابقة على المستوى في نظام الإحداثيات المستطيل بمعادلات خط ذات معاملات زاوية متساوية، فإن هذه الخطوط متوازية.

إذا تم تحديد الخط أ والخط ب في نظام إحداثي مستطيل بواسطة المعادلات الأساسية لخط على مستوى النموذج و أو المعادلات البارامترية لخط مستقيم على مستوى النموذج و وفقًا لذلك، فإن متجهات الاتجاه لهذه الخطوط لها إحداثيات و، ويتم كتابة شرط توازي الخطوط a و b كـ .

دعونا نلقي نظرة على حلول لعدة أمثلة.

مثال.

هل الخطوط متوازية؟ و ؟

حل.

دعونا نعيد كتابة معادلة الخط المستقيم على شكل قطع في الصورة المعادلة العامةمستقيم: . والآن يمكننا أن نرى أن هذا هو المتجه العمودي للخط المستقيم ، a هو المتجه الطبيعي للخط. هذه المتجهات ليست على خط مستقيم، لأنه لا يوجد مثل هذا عدد حقيقير التي من أجلها المساواة ( ). وبالتالي، فإن الشرط الضروري والكافي لتوازي المستقيمات على المستوى غير متوافر، وبالتالي فإن المستقيمات المعطاة ليست متوازية.

إجابة:

لا، الخطوط ليست متوازية.

مثال.

هل الخطوط مستقيمة ومتوازية؟

حل.

هيا نعطي المعادلة الكنسيةخط مستقيم لمعادلة خط مستقيم بمعامل زاوي: . من الواضح أن معادلات الخطوط و ليست هي نفسها (في هذه الحالة، الخطوط المعطاة ستكون هي نفسها) والمعاملات الزاوية للخطوط متساوية، وبالتالي فإن الخطوط الأصلية متوازية.

علامات التوازي بين خطين

النظرية 1. إذا، عندما يتقاطع خطان مع قاطع:

الزوايا المتقاطعة متساوية، أو

الزوايا المتناظرة متساوية، أو

إذن مجموع الزوايا أحادية الجانب هو 180 درجة

الخطوط متوازية(رسم بياني 1).

دليل. نحن نقتصر على إثبات الحالة 1.

اجعل الخطين المتقاطعين a و b متقابلين والزوايا AB متساوية. على سبيل المثال، ∠ 4 = ∠ 6. دعونا نثبت أن || ب.

لنفترض أن الخطين a وb ليسا متوازيين. ثم يتقاطعان عند نقطة ما M، وبالتالي فإن إحدى الزوايا 4 أو 6 ستكون الزاوية الخارجية للمثلث ABM. من أجل التحديد، اجعل ∠ 4 هي الزاوية الخارجية للمثلث ABM، و∠ 6 هي الزاوية الداخلية. من نظرية حول زاوية خارجيةالمثلث يترتب على ذلك أن ∠ 4 أكبر من ∠ 6، وهذا يخالف الشرط، مما يعني أن المستقيمين a و 6 لا يمكن أن يتقاطعا، فهما متوازيان.

النتيجة الطبيعية 1. خطان مختلفان في المستوى المتعامد على نفس الخط متوازيان(الصورة 2).

تعليق. الطريقة التي أثبتنا بها الحالة 1 من النظرية 1 تسمى طريقة الإثبات بالتناقض أو الاختزال إلى السخافة. حصلت هذه الطريقة على اسمها الأول لأنه في بداية الحجة يتم افتراض مخالف (معاكس) لما يحتاج إلى إثباته. يطلق عليه ما يؤدي إلى العبثية لأنه من خلال التفكير على أساس الافتراض الذي تم التوصل إليه، نصل إلى نتيجة سخيفة (إلى العبثية). إن تلقي مثل هذا الاستنتاج يجبرنا على رفض الافتراض الذي تم تقديمه في البداية وقبول الافتراض الذي يحتاج إلى إثبات.

مهمة 1.أنشئ خطًا يمر بالنقطة المعطاة M وموازيًا للمستقيم المعطى a، ولا يمر بالنقطة M.

حل. نرسم خطًا مستقيمًا p عبر النقطة M عموديًا على الخط المستقيم a (الشكل 3).

ثم نرسم خطًا b عبر النقطة M عموديًا على الخط p. الخط b موازي للخط a وفقًا للنتيجة الطبيعية للنظرية 1.

استنتاج مهم يتبع من المشكلة قيد النظر:
من خلال نقطة لا تقع على خط معين، من الممكن دائمًا رسم خط موازي للخط المعطى.

الخاصية الرئيسية للخطوط المتوازية هي كما يلي.

بديهية الخطوط المتوازية. من نقطة معينة لا تقع على مستقيم معين يمر فقط خط واحد موازي للخط المعطى.

دعونا نفكر في بعض خصائص الخطوط المتوازية التي تنبع من هذه البديهية.

1) إذا قطع مستقيم أحد خطين متوازيين فإنه يتقاطع مع الآخر أيضاً (الشكل 4).

2) إذا كان مستقيمان مختلفان موازيين لخط ثالث فإنهما متوازيان (شكل 5).

النظرية التالية صحيحة أيضًا.

النظرية 2. إذا تقاطع خطان متوازيان بقاطع، فإن:

الزوايا المتقاطعة متساوية؛

الزوايا المتناظرة متساوية؛

مجموع الزوايا من جانب واحد هو 180 درجة.

النتيجة الطبيعية 2. إذا كان المستقيم عموديًا على أحد المستقيمين المتوازيين، فهو أيضًا عمودي على الآخر(انظر الشكل 2).

تعليق. تسمى النظرية 2 معكوس النظرية 1. نتيجة النظرية 1 هي شرط النظرية 2. وشرط النظرية 1 هو نتيجة النظرية 2. ليس كل نظرية لها معكوس، أي إذا كانت نظرية معينة صحيح، فإن النظرية العكسية قد تكون خاطئة.

دعونا نشرح ذلك باستخدام مثال نظرية الزوايا الرأسية. يمكن صياغة هذه النظرية على النحو التالي: إذا كانت الزاويتان عموديتين، فإنهما متساويتان. النظرية العكسية هي: إذا كانت الزاويتان متساويتان، فإنهما عموديتان. وهذا بالطبع ليس صحيحا. ليس من الضروري أن تكون الزاويتان المتساويتان عموديتين.

مثال 1.خطان متوازيان يتقاطع معهما الثلث. ومن المعروف أن الفرق بين زاويتين داخليتين من جانب واحد هو 30 درجة. أوجد هذه الزوايا.

حل. دع الشكل 6 يستوفي الشرط.

§ 1. علامات التوازي بين خطين - الهندسة الصف 7 (Atanasyan L. S.)

وصف قصير:

سوف تتعرف على الخطوط المتوازية الموجودة في هذه الفقرة. سوف تحصل على تعريف بسيط، ولكن في نفس الوقت غير عادي إلى حد ما - يسمى الخطان الموجودان على المستوى بالتوازي إذا لم يتقاطعا. بمعنى آخر، إذا لم يتقاطع المستقيمان، فإنهما يكونان متوازيين. أو، إذا لم يكن للمستقيمين نقاط تقاطع، فهما متوازيان.
وغرابة هذا التعريف تكمن في أنه إذا كان أمامك خطان مستقيمان ولا ترى نقطة تقاطعهما، فهذا لا يعني على الإطلاق عدم وجودهما. هذا يعني أنك ببساطة قد لا تراه.
ولذلك، لا يمكن استخدام هذا التعريف مباشرة لإثبات أن المستقيمين متوازيان. بعد كل شيء، لا يمكنك متابعة استمرار الخطوط إلى ما لا نهاية للتأكد من عدم تقاطعها.
ولكن هذا ليس ضروريا. هناك علامات يمكن من خلالها الحكم على توازي الخطوط. هناك ثلاثة منهم. وفقًا لكل منها، يتم أخذ الزوايا الخاصة أو مجموعاتها في الاعتبار، والتي تتشكل عندما يتقاطع هذان الخطان قيد الدراسة مع خط مستقيم ثالث - القاطع. تُستخدم هذه الزوايا للحكم على توازي الخطوط المستقيمة.
تعتمد أدلة هذه العلامات - نظريات توازي الخطوط - على النظرية التي تناولتها بالفعل في الفصل الأول من الكتاب المدرسي - خطان متعامدان مع خط ثالث لا يتقاطعان. الآن فقط تبدو هذه النظرية مختلفة - خطان متعامدان مع الخط الثالث متوازيان.

يحتوي درس الفيديو "علامات توازي الخطين" على دليل على النظريات التي تصف العلامات التي تشير إلى توازي الخطوط. وفي الوقت نفسه، يصف الفيديو 1) نظرية توازي الخطوط، حيث يتم إنشاء المقاطع المستعرضة زوايا متساوية، 2) علامة تعني توازي خطين مستقيمين - بزوايا متناظرة متساوية الشكل، 3) علامة تعني توازي خطين مستقيمين في حالة تقاطعهما مع قاطع، مجموع الزوايا أحادية الجانب يصل إلى 180 درجة. الغرض من درس الفيديو هذا هو تعريف الطلاب بالعلامات التي تعني توازي خطين، والتي تعد معرفتها ضرورية لحل العديد من المشكلات. مشاكل عملية، تقديم إثبات هذه النظريات بصريًا، وتطوير المهارات في إثبات البيانات الهندسية.

ترتبط مزايا درس الفيديو بحقيقة أنه بمساعدة الرسوم المتحركة والمرافقة الصوتية والقدرة على التمييز بالألوان، فإنه يوفر درجة عالية من الوضوح ويمكن أن يكون بمثابة بديل لتقديم كتلة قياسية من كتلة جديدة المواد التعليميةمدرس.

يبدأ درس الفيديو بالعنوان المعروض على الشاشة. قبل وصف علامات الخطوط المتوازية، يتعرف الطلاب على مفهوم القاطع. يتم تعريف القاطع على أنه الخط الذي يتقاطع مع خطوط أخرى. تعرض الشاشة خطين مستقيمين أ و ب، يتقاطعان مع الخط المستقيم ج. يتم تمييز الخط الذي تم إنشاؤه c باللون الأزرق، مع التركيز على حقيقة أنه قاطع للخطين المحددين a وb. من أجل النظر في علامات توازي الخطوط، من الضروري أن تصبح أكثر دراية بمساحة تقاطع الخطوط. القاطع عند نقاط التقاطع مع الخطوط يشكل 8 زوايا ∠1، ∠2، ∠3، ∠4، ∠5، ∠6، ∠7، ∠8، من خلال تحليل العلاقات التي يمكن استخلاص علاماتها التوازي بين هذه الخطوط. ويلاحظ أن الزوايا ∠3 و ∠5، وكذلك ∠2 و ∠4 تسمى بالعرض. منح شرح مفصلاستخدام الرسوم المتحركة للترتيب العرضي للزوايا المستلقية كزوايا تقع بين خطوط مستقيمة متوازية وخطوط مستقيمة مجاورة، مستلقية بشكل عرضي. ثم تم تقديم مفهوم الزوايا أحادية الجانب، والتي تشمل الأزواج ∠4 و∠5، وكذلك ∠3 و∠6. يشار أيضًا إلى أزواج الزوايا المقابلة، والتي يوجد منها 4 أزواج في الصورة المبنية - ∠1-∠5، ∠4-∠8، ∠2-∠6، ∠3-∠7.

الجزء التالي من درس الفيديو يفحص ثلاث علامات للتوازي لأي خطين. يظهر الوصف الأول على الشاشة. تنص النظرية على أنه إذا كانت الزوايا المتقاطعة التي يشكلها القاطع متساوية، فإن الخطوط المعطاة ستكون متوازية. البيان مصحوب برسم يوضح خطين مستقيمين a و b و secant AB. ويلاحظ أن الزوايا المستقيمة ∠1 و ∠2 المتكونة بالعرض متساوية مع بعضها البعض. هذا البيان يحتاج إلى دليل.

الحالة الخاصة الأكثر سهولة هي عندما تكون الزوايا المتقاطعة المعطاة زوايا قائمة. وهذا يعني أن القاطع عمودي على الخطوط، ووفقا للنظرية المثبتة بالفعل، في هذه الحالة لن يتقاطع الخطان a و b، أي أنهما متوازيان. يتم وصف الدليل على هذه الحالة بالذات باستخدام مثال الصورة التي تم إنشاؤها بجوار الشكل الأول، مع تسليط الضوء تفاصيل مهمةالأدلة من خلال الرسوم المتحركة.

ولإثبات ذلك في الحالة العامة، من الضروري رسم عمودي إضافي من منتصف القطعة AB إلى الخط المستقيم a. بعد ذلك، يتم وضع الجزء BH 1 الذي يساوي الجزء AN على الخط المستقيم b. من النقطة الناتجة H 1، يتم رسم قطعة تربط النقطتين O و H 1. بعد ذلك، نفكر في مثلثين ΔОНА و ΔОВН 1، يتم إثبات تساويهما بالمعيار الأول لتساوي المثلثين. الجانبان OA وOB متساويان في البناء، حيث تم تحديد النقطة O على أنها منتصف القطعة AB. الجانبان HA وH 1 B متساويان أيضًا في البناء، حيث أننا قمنا بطرح قطعة H 1 B تساوي HA. وتكون الزوايا ∠1=∠2 حسب شروط المشكلة. وبما أن المثلثات المتكونة متساوية مع بعضها البعض، فإن أزواج الزوايا والأضلاع المتبقية المتناظرة متساوية أيضًا مع بعضها البعض. ويترتب على ذلك أن المقطع OH 1 هو استمرار للجزء OH، ويشكل مقطعًا واحدًا HH 1. تجدر الإشارة إلى أنه بما أن القطعة المبنية OH متعامدة مع الخط المستقيم a، فإن القطعة HH 1 تكون متعامدة مع الخطين المستقيمين a وb. هذه الحقيقةيعني، باستخدام نظرية توازي الخطوط التي تم بناء عمود واحد عليها، أن الخطين المعطىين a وb متوازيان.

النظرية التالية التي تتطلب إثباتًا هي علامة على مساواة الخطوط المتوازية بتساوي الزوايا المقابلة التي تتشكل عند تقاطع القاطع. يتم عرض بيان هذه النظرية على الشاشة ويمكن للطلاب اقتراحها للتسجيل. يبدأ الإثبات ببناء خطين متوازيين a و b على الشاشة، حيث يتم إنشاء القاطع c. أبرزها باللون الأزرق في الصورة. يشكل القاطع الزوايا المقابلة ∠1 و ∠2، والتي تكون متساوية مع بعضها البعض حسب الشرط. تم أيضًا تحديد الزوايا المجاورة ∠3 و∠4. ∠2 بالنسبة إلى الزاوية ∠3 هي زاوية رأسية. أ الزوايا العموديدائما متساوية. بالإضافة إلى ذلك، فإن الزوايا ∠1 و ∠3 تقعان بالعرض بين بعضهما البعض - ومساواتهم (وفقًا للبيان المثبت بالفعل) تعني أن الخطين a و b متوازيان. لقد تم إثبات النظرية.

الجزء الأخير من درس الفيديو خصص لإثبات مقولة أنه إذا كان مجموع الزوايا الأحادية الجانب التي تتكون عند تقاطع خطين مع خط مستعرض يساوي 180 درجة، فإن هذه الخطوط في هذه الحالة ستكون متوازية مع بعضها البعض. يتم توضيح الدليل باستخدام شكل يوضح الخطوط a و b المتقاطعة مع القاطع c. تم تحديد الزوايا التي شكلها التقاطع بشكل مشابه للإثبات السابق. بالشرط، مجموع الزوايا ∠1 و ∠4 يساوي 180 درجة. ومن المعلوم أن مجموع الزوايا ∠3 و ∠4 يساوي 180 درجة، حيث أنهما متجاورتان. هذا يعني أن الزاويتين ∠1 و ∠3 متساويتان. هذا الاستنتاجيعطي الحق في التأكيد على أن الخطين a و b متوازيان. لقد تم إثبات النظرية.

يمكن للمدرس استخدام درس الفيديو "علامات التوازي بين خطين". كتلة مستقلة، إظهار براهين النظريات المذكورة، استبدال أو مصاحبة لشرح المعلم. شرح مفصل يجعل من الممكن استخدام المواد ل دراسة ذاتيةالطلاب وسوف يساعد في شرح المواد أثناء التعلم عن بعد.

على المستوى، تسمى الخطوط متوازية إذا لم يكن لديها نقاط مشتركة، أي أنها لا تتقاطع. للإشارة إلى التوازي، استخدم أيقونة خاصة || (الخطوط المتوازية أ || ب).

بالنسبة للخطوط الموجودة في الفضاء، لا يكفي اشتراط عدم وجود نقاط مشتركة - لكي تكون متوازية في الفضاء، يجب أن تنتمي إلى نفس المستوى (وإلا فسوف تتقاطع).

ليس عليك أن تذهب بعيداً للحصول على أمثلة للخطوط المتوازية، فهي ترافقنا في كل مكان، في الغرفة - هذه هي خطوط تقاطع الجدار مع السقف والأرضية، ورقة دفتر- حواف متقابلة، الخ.

ومن الواضح تمامًا أنه إذا كان هناك خطان متوازيان وخط ثالث موازي لأحد الخطين الأولين، فسيكون موازيًا للثاني أيضًا.

ترتبط الخطوط المتوازية على المستوى ببيان لا يمكن إثباته باستخدام بديهيات قياس التخطيط. يتم قبوله كحقيقة، كبديهية: لأي نقطة على المستوى لا تقع على خط، هناك خط فريد يمر عبرها بالتوازي مع الخط المحدد. كل طالب في الصف السادس يعرف هذه البديهية.

إن تعميمها المكاني، أي القول بأنه بالنسبة لأي نقطة في الفضاء لا تقع على خط، يوجد خط فريد يمر عبرها موازيًا للخط المحدد، يمكن إثباته بسهولة باستخدام بديهية التوازي المعروفة بالفعل على طائرة.

خصائص الخطوط المتوازية

• إذا كان أحد المستقيمين المتوازيين موازيًا للثالث، فإنهما متوازيان بشكل متبادل.

الخطوط المتوازية سواء على المستوى أو في الفضاء لها هذه الخاصية.
على سبيل المثال، النظر في مبرراته في القياس المجسم.

لنفترض أن الخطين b والخط a متوازيان.

الحالة التي تقع فيها جميع الخطوط المستقيمة في نفس المستوى ستترك لقياس التخطيط.

لنفترض أن a وb ينتميان إلى مستوى بيتا، وغاما هي المستوى الذي ينتمي إليه a وc (بحسب تعريف التوازي في الفضاء، يجب أن تنتمي الخطوط المستقيمة إلى نفس المستوى).

إذا افترضنا أن مستويي بيتا وغاما مختلفان ووضعنا علامة معينة على نقطة B على الخط b من مستوى بيتا، فإن المستوى المرسوم عبر النقطة B والخط c يجب أن يتقاطع مع مستوى بيتا في خط مستقيم (دعنا نشير إليه بـ b1) .

إذا كان الخط المستقيم الناتج b1 يتقاطع مع مستوى جاما، فمن ناحية، يجب أن تقع نقطة التقاطع على a، نظرًا لأن b1 ينتمي إلى مستوى بيتا، ومن ناحية أخرى، يجب أن ينتمي أيضًا إلى c، حيث b1 ينتمي إلى المستوى الثالث.
لكن الخطوط المتوازية a وc لا ينبغي أن تتقاطع.

وبالتالي، يجب أن ينتمي السطر b1 إلى مستوى بيتا وفي نفس الوقت لا يحتوي على نقاط مشتركة مع a، وبالتالي، وفقًا لبديهية التوازي، فإنه يتزامن مع b.
لقد حصلنا على خط b1 يتطابق مع الخط b، ينتمي إلى نفس المستوى مع الخط c ولا يتقاطع معه، أي أن b وc متوازيان

• من خلال نقطة لا تقع على خط معين، يمكن أن يمر خط مستقيم واحد فقط موازيًا للخط المعطى.

• خطان مستقيمان يقعان على مستوى وعمودي على الخط الثالث متوازيان.

• إذا قطع المستوى أحد المستقيمين المتوازيين، فإن الخط الثاني يتقاطع أيضًا مع نفس المستوى.

• مطابقة وعبر الكذب زوايا داخلية، التي تتكون من تقاطع خطين مستقيمين متوازيين من الخط الثالث، متساويان، ومجموع الخطوط الداخلية المكونة من جانب واحد يساوي 180 درجة.

والعكس صحيح أيضًا، ويمكن اعتباره علامة على توازي خطين مستقيمين.

حالة الخطوط المتوازية

تمثل الخصائص والخصائص المذكورة أعلاه شروط توازي الخطوط، ويمكن إثباتها باستخدام طرق الهندسة. وبعبارة أخرى، لإثبات توازي خطين موجودين، يكفي إثبات توازيهما لخط ثالث أو تساوي الزوايا، سواء كانت متقابلة أو متقاطعة ونحو ذلك.

وللإثبات، يستخدمون بشكل أساسي طريقة "بالتناقض"، أي على افتراض أن الخطوط غير متوازية. وبناء على هذا الافتراض، يمكن بسهولة إثبات أنه في هذه الحالة يتم انتهاك الشروط المحددة، على سبيل المثال، الزوايا الداخلية التي تقع على بعضها البعض غير متساوية، مما يثبت عدم صحة الافتراض.