خواص الخط المستقيم في الهندسة الإقليدية.

يمكن رسم عدد لا نهائي من الخطوط المستقيمة عبر أي نقطة.

من خلال أي نقطتين غير متطابقتين يمكن رسم خط مستقيم واحد.

خطان متباعدان في المستوى إما يتقاطعان في نقطة واحدة أو يتقاطعان

بالتوازي (يتبع من السابق).

في الفضاء ثلاثي الأبعاد هناك ثلاثة خيارات الموقف النسبيخطين مستقيمين:

• تتقاطع الخطوط؛

• الخطوط المستقيمة متوازية.

• تتقاطع الخطوط المستقيمة.

مستقيم خط— منحنى جبري من الدرجة الأولى: خط مستقيم في نظام الإحداثيات الديكارتية

يتم إعطاؤه على المستوى بمعادلة من الدرجة الأولى (معادلة خطية).

المعادلة العامة للخط المستقيم.

تعريف. يمكن تحديد أي خط مستقيم على المستوى بمعادلة من الدرجة الأولى

الفأس + وو + C = 0،

وثابت أ، بلا تساوي الصفر في نفس الوقت. تسمى هذه المعادلة من الدرجة الأولى عام

معادلة الخط المستقيم.اعتمادا على قيم الثوابت أ، بو معالحالات الخاصة التالية ممكنة:

. ج = 0، أ ≠0، ب ≠ 0- يمر خط مستقيم بنقطة الأصل

. أ = 0، ب ≠0، ج ≠0 ( بواسطة + ج = 0)- خط مستقيم موازي للمحور أوه

. ب = 0، أ ≠ 0، ج ≠ 0 ( الفأس + ج = 0)- خط مستقيم موازي للمحور الوحدة التنظيمية

. ب = ج = 0، أ ≠0- الخط يتطابق مع المحور الوحدة التنظيمية

. أ = ج = 0، ب ≠0- الخط يتطابق مع المحور أوه

يمكن تمثيل معادلة الخط المستقيم في في أشكال مختلفةاعتمادا على أي معين

الشروط الأولية.

معادلة الخط المستقيم من نقطة والمتجه العادي.

تعريف. في نظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل، متجه ذو مكونات (A، B)

عمودي على الخط الذي تعطيه المعادلة

الفأس + وو + C = 0.

مثال. أوجد معادلة الخط الذي يمر بنقطة أ(1، 2)عمودي على المتجه (3, -1).

حل. مع A = 3 وB = -1، دعونا نكتب معادلة الخط المستقيم: 3x - y + C = 0. لإيجاد المعامل C

لنعوض بإحداثيات النقطة A المعطاة في التعبير الناتج، نحصل على: 3 - 2 + C = 0، وبالتالي

ج = -1. المجموع: المعادلة المطلوبة: 3س - ص - 1 = 0.

معادلة الخط الذي يمر بنقطتين.

دعونا نعطي نقطتين في الفضاء م 1 (س 1 ، ص 1 ، ض 1)و م2 (س 2، ص 2، ض 2)،ثم معادلة الخط,

المرور عبر هذه النقاط:

إذا كان أي من المقامات يساوي صفرًا، فيجب أن يكون البسط المقابل مساويًا للصفر. على

المستوى، تم تبسيط معادلة الخط المستقيم المكتوبة أعلاه:

لو × 1 ≠ × 2و س = س 1، لو × 1 = × 2 .

جزء = كمُسَمًّى ميل مستقيم.

مثال. أوجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين A(1, 2) وB(3, 4).

حل. وبتطبيق الصيغة المكتوبة أعلاه نحصل على:

معادلة الخط المستقيم باستخدام النقطة والمنحدر.

إذا كانت المعادلة العامة للخط الفأس + وو + C = 0إحضار إلى النموذج:

وتعيين ، ثم تسمى المعادلة الناتجة

معادلة الخط المستقيم مع الميل ك.

معادلة الخط المستقيم من نقطة ومتجه الاتجاه.

قياسا على النقطة التي تفكر في معادلة خط مستقيم من خلال المتجه العادي، يمكنك إدخال المهمة

خط مستقيم عبر نقطة ومتجه توجيه لخط مستقيم.

تعريف. كل ناقل غير الصفر (α 1 ، α 2)والتي تكون مكوناتها مستوفية للشرط

أألفا 1 + بألفا 2 = 0مُسَمًّى توجيه متجه لخط مستقيم.

الفأس + وو + C = 0.

مثال. أوجد معادلة الخط المستقيم الذي له متجه اتجاه (1، -1) ويمر بالنقطة A(1، 2).

حل. سنبحث عن معادلة الخط المطلوب بالشكل: الفأس + بواسطة + C = 0.وفقا للتعريف ،

يجب أن تستوفي المعاملات الشروط التالية:

1 * أ + (-1) * ب = 0، أي. أ = ب.

ثم معادلة الخط المستقيم لها الشكل: الفأس + آي + ج = 0،أو س + ص + ج / أ = 0.

في س = 1، ص = 2نحن نحصل ج/أ = -3، أي. المعادلة المطلوبة:

س + ص - 3 = 0

معادلة الخط المستقيم في القطاعات.

إذا كان في المعادلة العامة للخط المستقيم Аh + Ву + С = 0 С≠0، فبالقسمة على -С نحصل على:

او اين

معنى هندسيالمعاملات هي أن المعامل a هو إحداثيات نقطة التقاطع

مستقيم مع المحور أوه،أ ب- إحداثيات نقطة تقاطع الخط مع المحور الوحدة التنظيمية.

مثال. يتم إعطاء المعادلة العامة للخط المستقيم س - ص + 1 = 0.أوجد معادلة هذا الخط مقسمة إلى شرائح.

ج \u003d 1، أ \u003d -1، ب \u003d 1.

المعادلة العادية للخط.

إذا كان طرفا المعادلة الفأس + وو + C = 0القسمة على العدد ، من اتصل

عامل التطبيع، ثم نحصل

xcosφ + ysinφ - ص = 0 -المعادلة العادية للخط.

يجب اختيار علامة ± لعامل التطبيع بحيث μ*ج< 0.

ر- طول العمود الذي يسقط من نقطة الأصل إلى الخط المستقيم،

أ φ - الزاوية التي يشكلها هذا المتعامد مع الاتجاه الموجب للمحور أوه.

مثال. يتم إعطاء المعادلة العامة للخط 12س - 5ص - 65 = 0. مطلوب للكتابة أنواع مختلفةالمعادلات

هذا الخط المستقيم.

معادلة هذا الخط في القطاعات:

معادلة هذا الخط مع الميل: (القسمة على 5)

معادلة الخط:

كوس φ = 12/13؛ خطيئة φ= -5/13; ع = 5.

وتجدر الإشارة إلى أنه ليس كل خط مستقيم يمكن تمثيله بمعادلة مقطعة، على سبيل المثال الخطوط المستقيمة،

موازية للمحاور أو مارة بنقطة الأصل.

الزاوية المحصورة بين الخطوط المستقيمة على المستوى.

تعريف. إذا تم إعطاء سطرين ص = ك 1 س + ب 1 , ص = ك 2 س + ب 2ثم الزاوية الحادة بين هذين الخطين

سيتم تعريفها على أنها

خطان متوازيان إذا ك 1 = ك 2. خطان متعامدان

لو ك 1 = -1/ ك 2 .

نظرية.

مباشر الفأس + وو + C = 0و أ 1 س + ب 1 ص + ج 1 = 0متوازي عندما تكون المعاملات متناسبة

أ 1 = α، ب 1 = κB. إذا أيضا ص 1 = ك، ثم تتطابق الخطوط. إحداثيات نقطة تقاطع خطين

تم العثور عليها كحل لنظام معادلات هذه الخطوط.

معادلة المستقيم الذي يمر بنقطة معينة تكون عمودية على مستقيم معين.

تعريف. خط يمر عبر نقطة م 1 (س 1، ص 1)وعمودي على الخط ص = ك س + ب

ممثلة بالمعادلة:

المسافة من نقطة إلى خط.

نظرية. إذا تم إعطاء نقطة م(س 0، ص 0)،ثم المسافة إلى الخط المستقيم الفأس + وو + C = 0معرف ك:

دليل. دع هذه النقطة م 1 (س 1، ص 1)- قاعدة عمودي سقط من نقطة ما ملاجل منحه

مباشر. ثم المسافة بين النقاط مو م 1:

(1)

الإحداثيات × 1و في 1يمكن إيجادها كحل لنظام المعادلات:

المعادلة الثانية للنظام هي معادلة الخط المار نقطة معينةم 0 عمودي

نظرا لخط مستقيم. إذا قمنا بتحويل المعادلة الأولى للنظام إلى الشكل:

أ(س - س 0) + ب(ص - ص 0) + الفأس 0 + بواسطة 0 + ج = 0،

ثم بالحل نحصل على:

وبالتعويض بهذه العبارات في المعادلة (1) نجد:

لقد تم إثبات النظرية.

معادلة الخط الذي يمر بنقطة معينة في اتجاه معين. معادلة الخط الذي يمر عبر نقطتين معلومتين. الزاوية المحصورة بين خطين مستقيمين. حالة التوازي والتعامد بين خطين مستقيمين. تحديد نقطة تقاطع خطين

1. معادلة الخط الذي يمر عبر نقطة معينة أ(س 1 , ذ 1) في اتجاه معين يحدده المنحدر ك,

ذ - ذ 1 = ك(س - س 1). (1)

تحدد هذه المعادلة قلم رصاص من الخطوط التي تمر عبر نقطة ما أ(س 1 , ذ 1) وهو ما يسمى مركز الشعاع.

2. معادلة الخط الذي يمر بنقطتين: أ(س 1 , ذ 1) و ب(س 2 , ذ 2) تكتب هكذا:

يتم تحديد المعامل الزاوي لخط مستقيم يمر بنقطتين معلومتين بواسطة الصيغة

3. الزاوية بين الخطوط المستقيمة أو بهي الزاوية التي يجب أن يدور بها الخط المستقيم الأول أحول نقطة تقاطع هذه الخطوط عكس اتجاه عقارب الساعة حتى تتزامن مع الخط الثاني ب. إذا تم إعطاء خطين مستقيمين بواسطة معادلات ذات ميل

ذ = ك 1 س + ب 1 ,

المعادلات الأساسية لخط في الفضاء هي معادلات تحدد خطًا يمر عبر نقطة معينة على خط واحد مع متجه الاتجاه.

دعونا نعطي نقطة ومتجه الاتجاه. نقطة تعسفية تقع على الخط لفقط إذا كانت المتجهات و على خط واحد، أي أن الشرط قد تحقق لها:

.

المعادلات المذكورة أعلاه هي المعادلات القانونية للخط المستقيم.

أعداد م , نو صهي إسقاطات لمتجه الاتجاه على محاور الإحداثيات. بما أن المتجه ليس صفراً، إذن كل الأرقام م , نو صلا يمكن أن يساوي الصفر في نفس الوقت. ولكن واحد أو اثنين منهم قد يكون صفراً. في الهندسة التحليلية، على سبيل المثال، يُسمح بالإدخال التالي:

,

مما يعني أن إسقاطات المتجه على المحور أويو أوزتساوي الصفر. ولذلك، فإن كلا من المتجه والخط المستقيم المحددين بالمعادلات القانونية متعامدان مع المحورين أويو أوز، أي الطائرات يوز .

مثال 1.اكتب معادلات لخط في الفضاء عمودي على المستوى ويمر بنقطة تقاطع هذا المستوى مع المحور أوز .

حل. دعونا نجد نقطة تقاطع هذا المستوى مع المحور أوز. منذ أي نقطة تقع على المحور أوز، لها إحداثيات، بافتراض معادلة المستوى المعطاة س = ص = 0، نحصل على 4 ض- 8 = 0 أو ض= 2 . وبالتالي فإن نقطة تقاطع هذا المستوى مع المحور أوزله إحداثيات (0; 0; 2). بما أن الخط المطلوب عمودي على المستوى، فإنه يوازي متجهه الطبيعي. لذلك، يمكن أن يكون المتجه الموجه للخط المستقيم هو المتجه العادي طائرة معينة.

والآن دعونا نكتب المعادلات المطلوبة لخط مستقيم يمر بنقطة ما أ= (0; 0; 2) في اتجاه المتجه:

معادلات الخط الذي يمر عبر نقطتين محددتين

يمكن تعريف الخط المستقيم بنقطتين تقعان عليه و في هذه الحالة، يمكن أن يكون المتجه الموجه للخط المستقيم هو المتجه. ثم تأخذ المعادلات القانونية للخط الشكل

.

تحدد المعادلات المذكورة أعلاه خطًا يمر عبر نقطتين محددتين.

مثال 2.اكتب معادلة للخط المستقيم في الفضاء الذي يمر بالنقطتين و .

حل. ولنكتب المعادلات المطلوبة للخط المستقيم بالشكل الموضح أعلاه في المرجع النظري:

.

وبما أن الخط المستقيم المطلوب يكون عموديًا على المحور أوي .

مستقيم كخط تقاطع الطائرات

يمكن تعريف الخط المستقيم في الفضاء بأنه خط تقاطع مستويين غير متوازيين، أي كمجموعة من النقاط التي تحقق نظامًا من معادلتين خطيتين

تسمى معادلات النظام أيضًا المعادلات العامة للخط المستقيم في الفضاء.

مثال 3.إنشاء معادلات قانونية لخط في الفضاء تعطى بواسطة المعادلات العامة

حل. لكتابة المعادلات الأساسية لخط ما، أو ما شابه ذلك، معادلات خط يمر عبر نقطتين محددتين، عليك إيجاد إحداثيات أي نقطتين على الخط. يمكن أن تكون نقاط تقاطع خط مع أي خطين تنسيق الطائرات، على سبيل المثال يوزو xOz .

نقطة تقاطع الخط والمستوى يوزلديه الإحداثي السيني س= 0 . ولذلك، على افتراض في هذا النظام من المعادلات س= 0، نحصل على نظام بمتغيرين:

قرارها ذ = 2 , ض= 6 معًا س= 0 يحدد نقطة أ(0، 2، 6) السطر المطلوب. بافتراض ذلك في نظام المعادلات المعطى ذ= 0 نحصل على النظام

قرارها س = -2 , ض= 0 معًا ذ= 0 يحدد نقطة ب(-2; 0; 0) تقاطع خط مع مستوى xOz .

الآن نكتب معادلات الخط المستقيم الذي يمر بالنقاط أ(0؛ 2؛ 6) و ب (-2; 0; 0) :

,

أو بعد قسمة المقامات على -2:

,

دعونا نعطي نقطتين م(X 1 ,ش 1) و ن(X 2,ذ 2). دعونا نجد معادلة الخط الذي يمر بهذه النقاط.

لأن هذا الخط يمر عبر هذه النقطة مفوفقاً للصيغة (1.13) تكون معادلتها بالشكل

ش – ي 1 = ك(X-x 1),

أين ك- معامل زاوي غير معروف.

يتم تحديد قيمة هذا المعامل بشرط مرور الخط المستقيم المطلوب عبر هذه النقطة نمما يعني أن إحداثياتها تحقق المعادلة (1.13)

ي 2 – ي 1 = ك(X 2 – X 1),

من هنا يمكنك العثور على ميل هذا الخط:

,

أو بعد التحويل

(1.14)

تحدد الصيغة (1.14). معادلة الخط الذي يمر بنقطتين م(X 1, ي 1) و ن(X 2, ي 2).

في حالة خاصة عندما النقاط م(أ, 0), ن(0, ب), أ ¹ 0, ب¹ 0 تقع على محاور الإحداثيات، المعادلة (1.14) ستأخذ شكلاً أبسط

المعادلة (1.15)مُسَمًّى معادلة الخط المستقيم في القطاعات، هنا أو بتشير إلى الأجزاء المقطوعة بخط مستقيم على المحاور (الشكل 1.6).

الشكل 1.6

مثال 1.10. اكتب معادلة الخط الذي يمر بالنقاط م(1، 2) و ب(3, –1).

. ووفقاً لـ (1.14)، فإن معادلة الخط المستقيم المطلوب لها الشكل

2(ي – 2) = -3(X – 1).

وبنقل جميع الحدود إلى الجانب الأيسر، نحصل أخيرًا على المعادلة المطلوبة

3X + 2ي – 7 = 0.

مثال 1.11. اكتب معادلة الخط الذي يمر بنقطة م(2، 1) ونقطة تقاطع الخطين X+ ص – 1 = 0, س – ذ+ 2 = 0.

. ونوجد إحداثيات نقطة تقاطع الخطين من خلال حل هذه المعادلات معًا

إذا أضفنا هذه المعادلات حدًا تلو الآخر، نحصل على 2 X+ 1 = 0، حيث . بالتعويض بالقيمة الموجودة في أي معادلة، نحصل على قيمة الإحداثي ش:

الآن لنكتب معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين (2، 1) و:

أو .

وبالتالي أو -5( ي – 1) = X – 2.

وأخيرا نحصل على معادلة الخط المستقيم المطلوب في الصورة X + 5ي – 7 = 0.

مثال 1.12. أوجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقاط م(2.1) و ن(2,3).

باستخدام الصيغة (1.14)، نحصل على المعادلة

هذا غير منطقي لأن المقام الثاني هو صفر. ومن شروط المشكلة يتضح أن حدود النقطتين لهما نفس القيمة. وهذا يعني أن الخط المستقيم المطلوب موازي للمحور أويومعادلتها هي : س = 2.

تعليق . إذا تبين أن أحد المقامات يساوي الصفر عند كتابة معادلة خط باستخدام الصيغة (1.14)، فيمكن الحصول على المعادلة المطلوبة عن طريق مساواة البسط المقابل بالصفر.

دعونا نفكر في طرق أخرى لتحديد خط على المستوى.

1. دع المتجه غير الصفري يكون عموديًا على الخط المحدد ل، و نقطة م 0(X 0, ي 0) يقع على هذا الخط (الشكل 1.7).

الشكل 1.7

دعونا نشير م(X, ي) أي نقطة على السطر ل. المتجهات و متعامد. وباستخدام شروط التعامد لهذه المتجهات نحصل على أو أ(X – X 0) + ب(ي – ي 0) = 0.

لقد حصلنا على معادلة الخط الذي يمر بنقطة م 0 عمودي على المتجه. ويسمى هذا المتجه ناقلات الطبيعي إلى خط مستقيم ل. يمكن إعادة كتابة المعادلة الناتجة كـ

أوه + وو + مع= 0، حيث مع = –(أX 0 + بواسطة 0), (1.16),

أين أو في- إحداثيات المتجه العادي.

نحصل على المعادلة العامة للخط في شكل حدودي.

2. يمكن تعريف الخط الموجود على المستوى على النحو التالي: دع المتجه غير الصفري يكون موازيًا لخط معين لوالفترة م 0(X 0, ي 0) تقع على هذا الخط. دعونا نأخذ نقطة تعسفية مرة أخرى م(X، ذ) على خط مستقيم (الشكل 1.8).

الشكل 1.8

المتجهات و على استطراد.

دعونا نكتب شرط العلاقة الخطية المتداخلة بين هذه المتجهات: أين ت- رقم تعسفي يسمى المعلمة. لنكتب هذه المساواة بالإحداثيات:

تسمى هذه المعادلات المعادلات البارامترية مستقيم. دعونا نستبعد المعلمة من هذه المعادلات ت:

يمكن كتابة هذه المعادلات بطريقة أخرى

. (1.18)

المعادلة الناتجة تسمى المعادلة الكنسيةمستقيم. يسمى المتجه ناقل التوجيه مستقيم .

تعليق . من السهل أن نرى أن if هو المتجه الطبيعي للخط ل، فإن متجه اتجاهه يمكن أن يكون المتجه منذ ذلك الحين، أي .

مثال 1.13. اكتب معادلة الخط الذي يمر بنقطة م 0(1, 1) موازي للخط 3 X + 2ش– 8 = 0.

حل . المتجه هو المتجه العادي للخطوط المعطاة والمرغوبة. دعونا نستخدم معادلة الخط الذي يمر عبر نقطة م 0 مع ناقل عادي معين 3( X –1) + 2(ش– 1) = 0 أو 3 X + 2u– 5 = 0. حصلنا على معادلة الخط المطلوب.

تعريف.يمكن تحديد أي خط مستقيم على المستوى بمعادلة من الدرجة الأولى

الفأس + وو + C = 0،

علاوة على ذلك، فإن الثوابتين A وB لا يساويان الصفر في نفس الوقت. تسمى هذه المعادلة من الدرجة الأولى المعادلة العامة للخط المستقيم.اعتمادا على القيم الثابت أ، بوC الحالات الخاصة التالية ممكنة:

C = 0، A ≠0، B ≠ 0 – يمر الخط المستقيم عبر نقطة الأصل

A = 0، B ≠0، C ≠0 (بواسطة + C = 0) - خط مستقيم موازٍ لمحور الثور

B = 0، A ≠0، C ≠ 0 (Ax + C = 0) – خط مستقيم موازٍ لمحور Oy

ب = ج = 0، أ ≠0 – الخط المستقيم يتزامن مع محور أوي

أ = ج = 0، ب ≠0 – الخط المستقيم يتزامن مع محور الثور

يمكن تقديم معادلة الخط المستقيم بأشكال مختلفة اعتمادًا على أي شروط أولية معينة.

معادلة الخط المستقيم من نقطة والمتجه العادي

تعريف.في نظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل، يكون المتجه ذو المكونات (A، B) متعامدًا مع الخط المستقيم المعطى بالمعادلة Ax + By + C = 0.

مثال. أوجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة A(1, 2) العمودي على (3, -1).

حل. مع A = 3 وB = -1، دعونا نكتب معادلة الخط المستقيم: 3x – y + C = 0. لإيجاد المعامل C، نعوض بإحداثيات النقطة A المعطاة في التعبير الناتج، ونحصل على: 3 – 2 + C = 0 ، وبالتالي C = -1 . المجموع: المعادلة المطلوبة: 3س – ص – 1 = 0.

معادلة الخط الذي يمر بنقطتين

دع النقطتين M 1 (x 1، y 1، z 1) و M 2 (x 2، y 2، z 2) معطاة في الفضاء، فإن معادلة الخط الذي يمر بهذه النقاط هي:

إذا كان أي من المقامات يساوي صفرًا، فيجب أن يكون البسط المقابل يساوي صفرًا، وعلى المستوى، يتم تبسيط معادلة الخط المكتوب أعلاه:

إذا كان x 1 ≠ x 2 و x = x 1، إذا كان x 1 = x 2.

الكسر = k يسمى ميلمستقيم.

مثال. أوجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين A(1, 2) وB(3, 4).

حل.وبتطبيق الصيغة المكتوبة أعلاه نحصل على:

معادلة الخط المستقيم من نقطة ومنحدر

إذا كان مجموع Ax + Bu + C = 0، يؤدي إلى النموذج:

وتعيين ، ثم تسمى المعادلة الناتجة معادلة الخط المستقيم مع الميلك.

معادلة الخط المستقيم من نقطة ومتجه الاتجاه

عن طريق القياس مع النقطة التي تعتبر معادلة الخط المستقيم من خلال ناقل عادي، يمكنك إدخال تعريف الخط المستقيم من خلال نقطة ومتجه التوجيه للخط المستقيم.

تعريف.كل متجه غير صفري (α 1, α 2) تفي مكوناته بالشرط A α 1 + B α 2 = 0 يسمى متجهًا موجهًا للخط

الفأس + وو + C = 0.

مثال. أوجد معادلة الخط المستقيم الذي له متجه اتجاه (1، -1) ويمر بالنقطة A(1، 2).

حل.سنبحث عن معادلة الخط المطلوب بالشكل: Ax + By + C = 0. ووفقاً للتعريف، يجب أن تستوفي المعاملات الشروط:

1 * أ + (-1) * ب = 0، أي. أ = ب.

ثم معادلة الخط المستقيم لها الشكل: Ax + Ay + C = 0، أو x + y + C / A = 0. بالنسبة لـ x = 1، y = 2 نحصل على C/ A = -3، أي. المعادلة المطلوبة:

معادلة الخط في القطاعات

إذا كان في المعادلة العامة للخط المستقيم Аh + Ву + С = 0 С≠0، فبالقسمة على –С نحصل على: أو

المعنى الهندسي للمعاملات هو المعامل أهي إحداثيات نقطة تقاطع الخط مع محور الثور و ب– إحداثيات نقطة تقاطع الخط المستقيم مع محور أوي.

مثال.معطاة المعادلة العامة للخط x – y + 1 = 0. أوجد معادلة هذا الخط مقسمة إلى شرائح.

ج \u003d 1، أ \u003d -1، ب \u003d 1.

المعادلة العادية للخط

إذا تم ضرب طرفي المعادلة Ax + By + C = 0 في العدد من اتصل عامل التطبيع، ثم نحصل

xcosφ + ysinφ - ص = 0 -

المعادلة العادية للخط. يجب اختيار العلامة ± لعامل التطبيع بحيث تكون μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

مثال. تم إعطاء المعادلة العامة للخط 12x – 5y – 65 = 0. مطلوب كتابة أنواع مختلفة من المعادلات لهذا الخط.

معادلة هذا الخط في القطاعات:

معادلة هذا الخط مع الميل: (القسمة على 5)

; كوس φ = 12/13؛ خطيئة φ= -5/13; ع = 5.

تجدر الإشارة إلى أنه لا يمكن تمثيل كل خط مستقيم بمعادلة في قطاعات، على سبيل المثال، خطوط مستقيمة موازية للمحاور أو تمر بأصل الإحداثيات.

مثال. يقطع الخط المستقيم الأجزاء الموجبة المتساوية على محاور الإحداثيات. اكتب معادلة للخط المستقيم إذا كانت مساحة المثلث المكون من هذه القطع 8 سم2.

حل.معادلة الخط المستقيم لها الشكل: , ab /2 = 8; أب = 16؛ أ=4، أ=-4. أ = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

مثال. اكتب معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة A(-2, -3) ونقطة الأصل.

حل. معادلة الخط المستقيم هي : , حيث x 1 = y 1 = 0; س 2 = -2؛ ص 2 = -3.

الزاوية بين الخطوط المستقيمة على المستوى

تعريف.إذا تم إعطاء خطين y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2، فسيتم تعريف الزاوية الحادة بين هذه الخطوط على أنها

.

خطان متوازيان إذا كان k 1 = k 2. يكون الخطان متعامدين إذا كان k 1 = -1/ k 2.

نظرية.الخطوط Ax + Bу + C = 0 و A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 تكون متوازية عندما تكون المعاملات A 1 = lectA، B 1 = lectB متناسبة. وإذا كان C 1 = lect أيضًا، فإن الخطوط متطابقة. تم العثور على إحداثيات نقطة تقاطع خطين كحل لنظام معادلات هذه الخطوط.

معادلة الخط الذي يمر بنقطة معينة عموديًا على مستقيم معين

تعريف.الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة M 1 (x 1, y 1) وعمودي على الخط المستقيم y = kx + b يمثل بالمعادلة:

المسافة من نقطة إلى خط

نظرية.إذا تم إعطاء نقطة M(x 0, y 0)، فسيتم تحديد المسافة إلى الخط Ax + Bу + C = 0 على النحو التالي

.

دليل.لتكن النقطة M 1 (x 1, y 1) هي قاعدة العمود المسقط من النقطة M إلى الخط المستقيم المعطى. ثم المسافة بين النقطتين M و M 1:

(1)

يمكن إيجاد الإحداثيات x 1 و y 1 عن طريق حل نظام المعادلات:

المعادلة الثانية للنظام هي معادلة الخط الذي يمر بنقطة معينة M 0 عمودي على خط معين. إذا قمنا بتحويل المعادلة الأولى للنظام إلى الشكل:

أ(س – س 0) + ب(ص – ص 0) + الفأس 0 + بواسطة 0 + ج = 0،

ثم بالحل نحصل على:

وبالتعويض بهذه العبارات في المعادلة (1) نجد:

لقد تم إثبات النظرية.

مثال. تحديد الزاوية بين السطور: y = -3 x + 7; ص = 2 س + 1.

ك 1 = -3؛ ك 2 = 2؛ تغφ = ; φ= π /4.

مثال. بيّن أن الخطين 3x – 5y + 7 = 0 و 10x + 6y – 3 = 0 متعامدان.

حل. نجد: ك 1 = 3/5، ك 2 = -5/3، ك 1* ك 2 = -1، وبالتالي فإن الخطوط المتعامدة.

مثال. فيما يلي رؤوس المثلث A(0; 1)، B (6; 5)، C (12; -1). أوجد معادلة الارتفاع المرسوم من الرأس C.

حل. نجد معادلة الجانب AB: ; 4 س = 6 ص - 6؛

2 س – 3 ص + 3 = 0;

معادلة الارتفاع المطلوبة لها الشكل: Ax + By + C = 0 أو y = kx + b. ك = . ثم ص = . لأن ويمر الارتفاع بالنقطة C، فإن إحداثياته ​​تحقق هذه المعادلة: من حيث ب = 17. المجموع: .

الإجابة: 3 س + 2 ص – 34 = 0.