كيفية حساب جذر 14. كيفية أخذ الجذور التربيعية بسرعة

استخراج الجذر من عدد كبير. أصدقائي الأعزاء!في هذه المقالة سوف نوضح لك كيفية أخذ جذر عدد كبير بدون آلة حاسبة. هذا ضروري ليس فقط لحل أنواع معينة من مشاكل الاستخدام (هناك مشاكل للحركة) ، ولكن أيضًا للعامة التطور الرياضيمن المستحسن معرفة هذه التقنية التحليلية.

يبدو أن كل شيء بسيط: التحليل والاستخراج. لا توجد مشكلة. على سبيل المثال ، الرقم 291600 ، عند توسيعه ، سيعطي المنتج:

نحسب:

هناك واحد ولكن! تعتبر الطريقة جيدة إذا كان من السهل تحديد القواسم 2 و 3 و 4 وما إلى ذلك. ولكن ماذا لو كان الرقم الذي نستخرج منه الجذر منتجًا الأعداد الأولية؟ على سبيل المثال ، 152881 هو حاصل ضرب الأعداد 17 ، 17 ، 23 ، 23. حاول إيجاد القواسم على الفور.

جوهر الطريقة التي ندرسها- هذا تحليل خالص. تم العثور على الجذر مع المهارة المتراكمة بسرعة. إذا لم يتم عمل المهارة ، ولكن النهج مفهوم ببساطة ، فهو أبطأ قليلاً ، لكنه لا يزال محددًا.

لنأخذ جذر 190969.

أولاً ، دعنا نحدد ما بين الأرقام (مضاعفات المائة) التي تكمن في النتيجة.

من الواضح أن نتيجة جذر رقم معين تقع في النطاق من 400 إلى 500 ،لأن

400 2 = 160000 و 500 2 = 250000

حقًا:

في الوسط ، أقرب إلى 160.000 أو 250.000؟

الرقم 190969 في مكان ما في المنتصف ، لكنه لا يزال أقرب إلى 160000. يمكننا أن نستنتج أن نتيجة الجذر لدينا ستكون أقل من 450. دعنا نتحقق من:

في الواقع ، هو أقل من 450 ، منذ 190969< 202 500.

الآن دعنا نتحقق من الرقم 440:

إذن نتيجتنا أقل من 440 منذ ذلك الحين 190 969 < 193 600.

تدقيق الرقم 430:

لقد أثبتنا أن نتيجة هذا الجذر تقع في النطاق من 430 إلى 440.

حاصل ضرب الأعداد المنتهية بالرقم 1 أو 9 يعطي رقمًا ينتهي بالرقم 1. على سبيل المثال ، 21 في 21 يساوي 441.

حاصل ضرب الأعداد المنتهية بالرقم 2 أو 8 يعطي رقمًا ينتهي بالرقم 4. على سبيل المثال ، 18 في 18 يساوي 324.

حاصل ضرب الأعداد المنتهية بالرقم 5 يعطي رقمًا ينتهي بالرقم 5. على سبيل المثال ، 25 في 25 يساوي 625.

حاصل ضرب الأعداد المنتهية بالرقم 4 أو 6 يعطي رقمًا ينتهي بالرقم 6. على سبيل المثال ، 26 في 26 يساوي 676.

حاصل ضرب الأعداد المنتهية بالرقم 3 أو 7 يعطي رقمًا ينتهي بالرقم 9. على سبيل المثال ، 17 في 17 يساوي 289.

بما أن الرقم 190969 ينتهي بالرقم 9 ، فإن هذا المنتج يكون إما 433 أو 437.

* هم فقط ، عند تربيعهم ، يمكنهم إعطاء 9 في النهاية.

نحن نفحص:

إذن ، نتيجة الجذر ستكون 437.

وهذا يعني أننا نوعًا ما "شعرنا" بالإجابة الصحيحة.

كما ترى ، الحد الأقصى المطلوب هو تنفيذ 5 إجراءات في عمود. ربما ستصل على الفور إلى النقطة المهمة ، أو ستقوم بثلاثة إجراءات فقط. كل هذا يتوقف على مدى دقة التقدير الأولي للرقم.

استخراج الجذر الخاص بك من 148996

يتم الحصول على هذا التمييز في المشكلة:

تمر السفينة على طول النهر إلى الوجهة 336 كم وبعد وقوفها تعود إلى نقطة المغادرة. أوجد سرعة السفينة في المياه الساكنة ، إذا كانت سرعة التيار 5 كم / ساعة ، واستمر الوقوف لمدة 10 ساعات ، وعادت السفينة إلى نقطة المغادرة بعد 48 ساعة من مغادرتها. أعط إجابتك بالكيلومتر / الساعة.

عرض الحل

نتيجة الجذر بين العددين 300 و 400:

300 2 =90000 400 2 =160000

في الواقع ، 90000<148996<160000.

يتمثل جوهر المزيد من التفكير في تحديد كيفية تحديد الرقم 148996 (بعيدًا) بالنسبة إلى هذه الأرقام.

احسب الاختلافات 148996 - 90000 = 58996 و 160000 - 148996 = 11004.

اتضح أن 148996 قريبة (أقرب بكثير) من 160000. لذلك ، ستكون نتيجة الجذر بالتأكيد أكبر من 350 وحتى 360.

يمكننا أن نستنتج أن نتيجتنا أكبر من 370. علاوة على ذلك ، من الواضح: نظرًا لأن 148996 تنتهي بالرقم 6 ، فهذا يعني أنه يجب عليك تربيع الرقم المنتهي بالرقم 4 أو 6. * فقط هذه الأرقام ، عند تربيعها ، تستسلم نهاية 6.

مع خالص التقدير ، الكسندر كروتسكيخ.

ملاحظة: سأكون ممتنًا إذا تحدثت عن الموقع في الشبكات الاجتماعية.

خصوصيتك مهمة بالنسبة لنا. لهذا السبب ، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى قراءة سياسة الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كان لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد أو الاتصال بشخص معين.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عندما تقدم طلبًا على الموقع ، فقد نجمع معلومات مختلفة ، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تسمح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها بالاتصال بك وإبلاغك بالعروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر ، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إخطارات واتصالات مهمة.
• يجوز لنا أيضًا استخدام المعلومات الشخصية لأغراض داخلية ، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا دخلت في سحب على جائزة أو مسابقة أو حافز مماثل ، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة هذه البرامج.

الإفصاح للغير

نحن لا نكشف عن المعلومات التي نتلقاها منك لأطراف ثالثة.

استثناءات:

• في حالة الضرورة - وفقًا للقانون والنظام القضائي و / أو الإجراءات القانونية و / أو بناءً على طلبات عامة أو طلبات من هيئات الدولة في أراضي الاتحاد الروسي - الكشف عن معلوماتك الشخصية. قد نكشف أيضًا عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأمن أو إنفاذ القانون أو لأغراض المصلحة العامة الأخرى.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع ، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الجهة الأخرى التي تخلف الطرف الثالث.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام ، وكذلك من الوصول غير المصرح به والكشف والتعديل والتدمير.

الحفاظ على خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة ، فإننا ننقل ممارسات الخصوصية والأمان لموظفينا ونطبق ممارسات الخصوصية بصرامة.

عند حل مشاكل مختلفة من مسار الرياضيات والفيزياء ، غالبًا ما يواجه التلاميذ والطلاب الحاجة إلى استخراج جذور من الدرجة الثانية أو الثالثة أو التاسعة. بالطبع ، في عصر تكنولوجيا المعلومات ، لن يكون من الصعب حل مثل هذه المشكلة باستخدام الآلة الحاسبة. ومع ذلك ، هناك حالات يكون فيها من المستحيل استخدام المساعد الإلكتروني.

على سبيل المثال ، يُمنع إحضار الإلكترونيات إلى العديد من الاختبارات. بالإضافة إلى ذلك ، قد لا تكون الآلة الحاسبة في متناول اليد. في مثل هذه الحالات ، من المفيد معرفة بعض الطرق على الأقل لحساب الجذور يدويًا.

من أبسط الطرق لحساب الجذور هو باستخدام جدول خاص. ما هو وكيف يتم استخدامه بشكل صحيح؟

باستخدام الجدول ، يمكنك العثور على مربع أي رقم من 10 إلى 99. وفي الوقت نفسه ، تحتوي صفوف الجدول على قيم عشرات ، وتحتوي الأعمدة على قيم وحدة. تحتوي الخلية الموجودة عند تقاطع صف وعمود على مربع رقم مكون من رقمين. من أجل حساب مربع 63 ، تحتاج إلى العثور على صف بقيمة 6 وعمود بقيمة 3. عند التقاطع ، نجد خلية برقم 3969.

نظرًا لأن استخراج الجذر هو العملية العكسية للتربيع ، لتنفيذ هذا الإجراء ، يجب عليك القيام بالعكس: أولاً ابحث عن الخلية التي تحتوي على الرقم الذي تريد حساب جذريته ، ثم حدد الإجابة من قيم العمود والصف. كمثال ، ضع في اعتبارك حساب الجذر التربيعي لـ 169.

نجد خلية بهذا الرقم في الجدول ، نحدد العشرات أفقياً - 1 ، عموديًا نجد الآحاد - 3. الإجابة: √169 = 13.

وبالمثل ، يمكنك حساب جذور الدرجة التكعيبية والرقمية باستخدام الجداول المناسبة.

ميزة الطريقة هي بساطتها وعدم وجود حسابات إضافية. العيوب واضحة: لا يمكن استخدام الطريقة إلا لمجموعة محدودة من الأرقام (يجب أن يكون الرقم الذي تم العثور على الجذر من أجله بين 100 و 9801). بالإضافة إلى ذلك ، لن تعمل إذا لم يكن الرقم المحدد موجودًا في الجدول.

عامل رئيسي

إذا لم يكن جدول المربعات في متناول اليد أو كان من المستحيل العثور على الجذر بمساعدته ، يمكنك المحاولة حلل الرقم الموجود تحت الجذر إلى عوامل أولية. العوامل الأولية هي تلك التي يمكن تقسيمها بالكامل (بدون باقي) فقط على نفسها أو على واحد. قد تكون الأمثلة 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، إلخ.

ضع في اعتبارك حساب الجذر باستخدام المثال √576. دعونا نحللها إلى عوامل بسيطة. نحصل على النتيجة التالية: √576 = √ (2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3) = √ (2 ∙ 2 ∙ 2) ² ∙ √3². باستخدام الخاصية الرئيسية للجذور √a² = a ، نتخلص من الجذور والمربعات ، وبعد ذلك نحسب الإجابة: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​= 24.

ماذا تفعل إذا لم يكن لأي من العوامل زوجها الخاص؟ على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك حساب √54. بعد التحليل ، نحصل على النتيجة بالشكل التالي: يمكن ترك الجزء غير القابل للإزالة تحت الجذر. بالنسبة لمعظم المشاكل في الهندسة والجبر ، سيتم احتساب هذه الإجابة على أنها الإجابة النهائية. ولكن إذا كانت هناك حاجة لحساب القيم التقريبية ، فيمكنك استخدام الطرق التي ستتم مناقشتها لاحقًا.

طريقة هيرون

ماذا تفعل عندما تريد أن تعرف على الأقل ما هو الجذر المستخرج تقريبًا (إذا كان من المستحيل الحصول على قيمة عدد صحيح)؟ يتم الحصول على نتيجة سريعة ودقيقة إلى حد ما من خلال تطبيق طريقة هيرون.. يكمن جوهرها في استخدام صيغة تقريبية:

√R = √a + (R - a) / 2√a ،

حيث R هو الرقم الذي سيتم حساب جذره ، a هو أقرب رقم تعرف قيمته الجذرية.

دعونا نرى كيف تعمل الطريقة عمليًا ونقيم مدى دقتها. لنحسب ما يساوي 111. أقرب رقم إلى 111 ، جذره معروف ، هو 121. وهكذا ، R = 111 ، a = 121 ، استبدل القيم الموجودة في الصيغة:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

الآن دعنا نتحقق من دقة الطريقة:

10.55² = 111.3025.

كان خطأ الطريقة 0.3 تقريبًا. إذا كانت دقة الطريقة بحاجة إلى تحسين ، فيمكنك تكرار الخطوات الموضحة سابقًا:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

دعنا نتحقق من دقة الحساب:

10.536² = 111.0073.

بعد التطبيق المتكرر للصيغة ، أصبح الخطأ ضئيلًا تمامًا.

حساب الجذر بالتقسيم إلى عمود

هذه الطريقة في إيجاد قيمة الجذر التربيعي أكثر تعقيدًا بقليل من سابقاتها. ومع ذلك ، فهي الأكثر دقة من بين طرق الحساب الأخرى بدون آلة حاسبة..

لنفترض أنك بحاجة إلى إيجاد الجذر التربيعي بدقة 4 منازل عشرية. دعنا نحلل خوارزمية الحساب باستخدام مثال الرقم التعسفي 1308.1912.

1. قسّم الورقة إلى جزأين بخط عمودي ، ثم ارسم خطًا آخر منه إلى اليمين ، أسفل الحافة العلوية قليلاً. نكتب الرقم على الجانب الأيسر ، ونقسمه إلى مجموعتين من رقمين ، ونتحرك إلى يمين ويسار الفاصلة العشرية. يمكن أن يكون الرقم الأول على اليسار بدون زوج. إذا كانت الإشارة مفقودة في الجانب الأيمن من الرقم ، فيجب إضافة 0. وفي حالتنا ، نحصل على 12 08.19 13.
2. لنحدد أكبر رقم يكون مربعه أقل من أو يساوي المجموعة الأولى من الأرقام. في حالتنا هذه هي 3. لنكتبها في أعلى اليمين ؛ 3 هو الرقم الأول من النتيجة. في أسفل اليمين ، نشير إلى 3 × 3 = 9 ؛ ستكون هناك حاجة إلى هذا للحسابات اللاحقة. اطرح 9 من 13 في عمود ، نحصل على الباقي 4.
3. دعنا نضيف زوج الأرقام التالي إلى الباقي 4 ؛ حصلنا على 408.
4. اضرب الرقم الموجود في أعلى اليمين في 2 واكتبه في أسفل اليمين ، مع إضافة _ x _ = إليه. نحصل على 6_ x _ =.
5. بدلاً من الشرط ، تحتاج إلى استبدال نفس الرقم ، أقل من أو يساوي 408. نحصل على 66 × 6 \ u003d 396. لنكتب 6 في أعلى اليمين ، لأن هذا هو الرقم الثاني من النتيجة. اطرح 396 من 408 ، فنحصل على 12.
6. دعنا نكرر الخطوات من 3 إلى 6. نظرًا لأن الأرقام التي تم تدوينها موجودة في الجزء الكسري من الرقم ، فمن الضروري وضع علامة عشرية في أعلى اليمين بعد 6. لنكتب النتيجة المضاعفة بشرطة: 72_ x _ =. الرقم المناسب هو 1: 721 × 1 = 721. لنكتبه كإجابة. لنطرح 1219 - 721 = 498.
7. دعنا ننفذ تسلسل الإجراءات الواردة في الفقرة السابقة ثلاث مرات أخرى للحصول على العدد المطلوب من المنازل العشرية. إذا لم تكن هناك علامات كافية لإجراء مزيد من العمليات الحسابية ، فيجب إضافة صفرين إلى الرقم الحالي على اليسار.

نتيجة لذلك ، حصلنا على الإجابة: √1308.1912 ≈ 36.1689. إذا قمت بفحص الإجراء باستخدام آلة حاسبة ، فيمكنك التأكد من تحديد جميع الأحرف بشكل صحيح.

حساب البت لقيمة الجذر التربيعي

الطريقة دقيقة للغاية. بالإضافة إلى ذلك ، إنه مفهوم تمامًا ولا يتطلب حفظ الصيغ أو خوارزمية معقدة من الإجراءات ، لأن جوهر الطريقة هو تحديد النتيجة الصحيحة.

لنستخرج الجذر من الرقم 781. لنفكر بالتفصيل في تسلسل الإجراءات.

1. اكتشف أي رقم من قيمة الجذر التربيعي سيكون الأعلى. للقيام بذلك ، دعنا نربّع 0 ، 10 ، 100 ، 1000 ، وما إلى ذلك ، ونكتشف بين أي منهما يقع الرقم الجذر. نحصل على 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. لنأخذ قيمة العشرات. للقيام بذلك ، سنتناوب على رفع الأس 10 ، 20 ، ... ، 90 ، حتى نحصل على رقم أكبر من 781. في حالتنا ، نحصل على 10² = 100 ، 20² = 400 ، 30² = 900. ستكون قيمة النتيجة n في حدود 20< n <30.
3. على غرار الخطوة السابقة ، يتم تحديد قيمة رقم الوحدات. نربّع 21.22 ، ... ، 29: 21² = 441 ، 22² = 484 ، 23² = 529 ، 24² = 576 ، 25² = 625 ، 26² = 676 ، 27² = 729 ، 28² = 784. نحصل على ذلك 27< n < 28.
4. يتم حساب كل رقم لاحق (أعشار ، مائة ، إلخ) بنفس الطريقة الموضحة أعلاه. يتم إجراء الحسابات حتى يتم تحقيق الدقة المطلوبة.

كيفية استخراج الجذر من الرقم. في هذه المقالة ، سوف نتعلم كيفية حساب الجذر التربيعي لأربعة وخمسة أرقام.

لنأخذ الجذر التربيعي لعام 1936 كمثال.

لذلك، .

الرقم الأخير في عام 1936 هو 6. ينتهي مربع 4 و 6 عند 6. لذلك ، يمكن أن يكون 1936 هو مربع 44 أو 46. يبقى التحقق باستخدام الضرب.

وسائل،

لنستخرج الجذر التربيعي للرقم 15129.

لذلك، .

الرقم الأخير في 15129 هو 9. ينتهي الرقم 9 بمربع 3 و 7. لذلك ، يمكن أن يكون 15129 هو مربع 123 أو 127. دعنا نتحقق من الضرب.

وسائل،

كيفية عمل روت - فيديو

والآن أقترح عليك مشاهدة فيديو آنا دينيسوفا - "كيفية استخراج الجذر "، مؤلف الموقع" فيزياء بسيطة"، حيث تشرح كيفية استخراج الجذور التربيعية والتكعيبية بدون آلة حاسبة.

يناقش الفيديو عدة طرق لاستخراج الجذور:

1. أسهل طريقة لاستخراج الجذر التربيعي.

2. المطابقة باستخدام مربع المجموع.

3. الطريقة البابلية.

4. طريقة لاستخراج جذر تربيعي في عمود.

5. طريقة سريعة لاستخراج الجذر التكعيبي.

6. طريقة استخراج الجذر التكعيبي في عمود.

الوصف الببليوغرافي: Pryamostanov S. M. ، Lysogorova L. V. طرق استخراج جذر تربيعي // عالم شاب. 2017. №2.2. س 76-77..02.2019).



الكلمات الدالة : الجذر التربيعي ، استخراج الجذر التربيعي.

في دروس الرياضيات ، تعرفت على مفهوم الجذر التربيعي ، وعملية استخراج الجذر التربيعي. لقد أصبحت مهتمًا باستخراج الجذر التربيعي من الممكن فقط باستخدام جدول المربعات ، باستخدام آلة حاسبة ، أو هل هناك طريقة لاستخراجها يدويًا. لقد وجدت عدة طرق: معادلة بابل القديمة ، من خلال حل المعادلات ، طريقة التخلص من المربع الكامل ، طريقة نيوتن ، الطريقة الهندسية ، طريقة الرسم (،) ، طريقة التخمين ، طريقة طرح الأرقام الفردية.

ضع في اعتبارك الطرق التالية:

دعونا نتحلل إلى عوامل أولية باستخدام علامات القسمة 27225 = 5 * 5 * 3 * 3 * 11 * 11. هكذا

1. ل الطريقة الكندية.اكتشف العلماء الشباب هذه الطريقة السريعة في إحدى الجامعات الكندية الرائدة في القرن العشرين. لا تزيد دقتها عن منزلتين أو ثلاث منازل عشرية.

حيث x هو الرقم المطلوب أخذ الجذر منه ، و c هو رقم أقرب مربع) ، على سبيل المثال:

=5,92

1. عمود.تتيح لك هذه الطريقة العثور على القيمة التقريبية لجذر أي رقم حقيقي بأي دقة محددة مسبقًا. تشمل عيوب الطريقة التعقيد المتزايد للعملية الحسابية مع زيادة عدد الأرقام الموجودة. لاستخراج الجذر يدويًا ، يتم استخدام تدوين مشابه للقسمة حسب العمود.

خوارزمية الجذر التربيعي

1. قسّم الجزء الكسري والجزء الصحيح بشكل منفصل عن الفاصلة على حافة عددينفي كل وجه ( قبلةجزء - من اليمين إلى اليسار ؛ كسري- من اليسار الى اليمين). من الممكن أن يحتوي الجزء الصحيح على رقم واحد ، وقد يحتوي الجزء الكسري على أصفار.

2. يبدأ الاستخراج من اليسار إلى اليمين ، ونختار رقمًا لا يتجاوز مربعه الرقم الموجود في الوجه الأول. نربّع هذا الرقم ونكتبه تحت الرقم الموجود في الوجه الأول.

3. نجد الفرق بين الرقم الموجود في الوجه الأول ومربع الرقم الأول المحدد.

4. للفرق الناتج نقوم بهدم الوجه التالي ، سيكون الرقم الناتج قابل للقسمة. نشكل مقسم. نضاعف الرقم الأول المحدد من الإجابة (اضربه في 2) ، ونحصل على عدد عشرات المقسوم عليه ، ويجب أن يكون عدد الوحدات بحيث لا يتجاوز ناتجها من المقسوم كله المقسوم. نكتب الرقم المحدد في الإجابة.

5. للفرق الناتج ، نقوم بهدم الوجه التالي وتنفيذ الإجراءات وفقًا للخوارزمية. إذا تبين أن هذا الوجه هو وجه الجزء الكسري ، فضع فاصلة في الإجابة. (رسم بياني 1.)

بهذه الطريقة ، يمكنك استخراج الأرقام بدقة مختلفة ، على سبيل المثال ، بدقة تصل إلى جزء من الألف. (الصورة 2)

بالنظر إلى الطرق المختلفة لاستخراج الجذر التربيعي ، يمكننا أن نستنتج: في كل حالة ، تحتاج إلى اتخاذ قرار بشأن اختيار الطريقة الأكثر فاعلية من أجل قضاء وقت أقل في الحل

الأدب:

1. Kiselev A. عناصر الجبر والتحليل. الجزء الأول.- M.-1928

الكلمات الدالة: الجذر التربيعي ، الجذر التربيعي.

حاشية. ملاحظة: تصف المقالة طرق استخراج جذر تربيعي ، وتوفر أمثلة لاستخراج الجذور.