7 عدد أولي أو 9 عدد أولي. كيفية تحديد عدد أولي

حقيقة أن هناك أرقامًا لا تقبل القسمة على أي رقم آخر ، عرفها الناس في العصور القديمة. اللاحقة الأعداد الأوليةيشبه هذا:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61 …

تم تقديم الدليل على وجود عدد غير محدود من هذه الأرقام إقليدسالذي عاش عام 300 قبل الميلاد في نفس الوقت تقريبًا ، عالم رياضيات يوناني آخر ، إراتوستينس، إلى خوارزمية بسيطة إلى حد ما للحصول على الأعداد الأولية ، والتي كان جوهرها الحذف المتسلسل للأرقام من الجدول. تلك الأعداد المتبقية التي لا تقبل القسمة على أي شيء كانت أعداد أولية. تسمى الخوارزمية "غربال إراتوستينس" ​​وبسبب بساطتها (لا توجد عمليات ضرب أو قسمة فيها ، فقط إضافة) لا تزال مستخدمة في تكنولوجيا الكمبيوتر.

على ما يبدو ، خلال زمن إراتوستينس ، أصبح واضحًا أنه لا يوجد معيار واضح لما إذا كان الرقم أوليًا - لا يمكن التحقق من ذلك إلا تجريبيًا. يخرج طرق مختلفةلتبسيط العملية (على سبيل المثال ، من الواضح أن الرقم يجب ألا يكون زوجيًا) ، ولكن لم يتم العثور على خوارزمية تحقق بسيطة حتى الآن ، وعلى الأرجح لن يتم العثور عليها: لمعرفة ما إذا كان الرقم أوليًا أم لا ، يجب على المرء أن يحاول تقسيمها إلى جميع الأعداد الأصغر.

هل الأعداد الأولية تخضع لأية قوانين؟ نعم ، وهم فضوليون للغاية.

على سبيل المثال ، عالم الرياضيات الفرنسي ميرسينفي القرن السادس عشر ، اكتشف أن العديد من الأعداد الأولية لها الشكل 2 ^ N - 1 ، وتسمى هذه الأرقام أعداد ميرسين. قبل ذلك بوقت قصير ، في عام 1588 ، عالم رياضيات إيطالي كاتالدياكتشف عددًا أوليًا 2 19 - 1 = 524287 (وفقًا لتصنيف مرسين ، يطلق عليه M19). اليوم ، يبدو هذا الرقم قصيرًا جدًا ، ولكن حتى الآن باستخدام الآلة الحاسبة ، فإن التحقق من بساطته سيستغرق أكثر من يوم واحد ، وبالنسبة للقرن السادس عشر ، كان هذا عملاً ضخمًا حقًا.

بعد 200 عام عالم رياضيات أويلروجد عددًا أوليًا آخر 2 31 - 1 = 2147483647. مرة أخرى ، يمكن للجميع تخيل المقدار المطلوب من الحسابات لنفسه. كما طرح فرضية (سميت فيما بعد "مشكلة أويلر" ، أو "مشكلة جولدباخ الثنائية") ، وجوهرها بسيط: يمكن تمثيل كل عدد زوجي أكبر من اثنين كمجموع عددين أوليين.

على سبيل المثال ، يمكنك أن تأخذ أي رقمين زوجي: 123456 و 888777888.

باستخدام الكمبيوتر ، يمكنك العثور على مجموعهما في شكل عددين أوليين: 123456 = 61813 + 61643 و 888777888 = 444388979 + 444388909. من المثير للاهتمام هنا أن الدليل الدقيق لهذه النظرية لم يتم العثور عليه حتى الآن ، على الرغم من وجود مساعدة من أجهزة الكمبيوتر تم التحقق من أرقام بها 18 صفرا.

هناك نظرية أخرى في الرياضيات بيير فيرمات، الذي تم اكتشافه عام 1640 ، والذي ينص على أنه إذا كان الرقم الأولي على الشكل 4 * k + 1 ، فيمكن تمثيله كمجموع مربعات الأرقام الأخرى. لذلك ، على سبيل المثال ، في مثالنا ، الرقم الأولي هو 444388909 = 4 * 111097227 + 1. في الواقع ، باستخدام الكمبيوتر ، يمكنك إيجاد 444388909 = 19197 * 19197 + 8710 * 8710.

أثبت أويلر هذه النظرية بعد 100 عام فقط.

وأخيرا برنارد ريمانفي عام 1859 ، تم طرح ما يسمى بفرضية ريمان حول عدد توزيعات الأعداد الأولية التي لا تتجاوز عددًا معينًا. لم يتم إثبات هذه الفرضية حتى الآن ، فهي مدرجة في قائمة "مشاكل الألفية" السبعة ، لحل كل منها يستعد معهد كلاي الرياضي في كامبريدج لدفع مكافأة قدرها مليون دولار أمريكي.

لذا فالأمر ليس بهذه البساطة مع الأعداد الأولية. هناك أيضا حقائق مدهشة. على سبيل المثال ، في عام 1883 عالم رياضيات روسي هم. بيرفوشينمن منطقة بيرم أثبتت بساطة الرقم 2 61-1 = 2305843009213693951 . حتى الآن ، لا يمكن للآلات الحاسبة المنزلية العمل بمثل هذه الأرقام الطويلة ، ولكن في ذلك الوقت كان عملاً هائلاً حقًا ، وكيف تم إنجازه لا يزال غير واضح تمامًا. على الرغم من وجود أشخاص يتمتعون بالفعل بقدرات دماغية فريدة - على سبيل المثال ، من المعروف أن الأشخاص المصابين بالتوحد قادرون على العثور على الأعداد الأولية المكونة من 8 أرقام في أذهانهم (!) كيف يفعلون ذلك غير واضح.

الحداثة

هل الأعداد الأولية ذات صلة اليوم؟ وكيف! الأعداد الأولية هي أساس التشفير الحديث ، لذلك يستخدمها معظم الناس يوميًا دون حتى التفكير في الأمر. تتطلب أي عملية مصادقة ، مثل تسجيل هاتف على الشبكة والمدفوعات المصرفية وما إلى ذلك ، خوارزميات تشفير.

جوهر الفكرة هنا بسيط للغاية وهو أساس الخوارزمية RSAاقترح مرة أخرى في عام 1975. يختار المرسل والمتلقي بشكل مشترك ما يسمى "المفتاح الخاص" ، والذي يتم الاحتفاظ به في مكان آمن. هذا المفتاح ، كما قد يخمن القراء ، هو عدد أولي. الجزء الثاني - "المفتاح العام" ، وهو أيضًا رقم أولي ، يتم تكوينه بواسطة المرسل ويتم نقله كمنتج مع الرسالة في نص عادي ، ويمكن حتى نشره في إحدى الصحف. جوهر الخوارزمية هو أنه بدون معرفة "الجزء المغلق" ، من المستحيل الحصول على النص المصدر.

على سبيل المثال ، إذا أخذنا رقمين أوليين 444388979 و 444388909 ، فسيكون "المفتاح الخاص" 444388979 ، وسيتم نقل المنتج 197481533549433911 (444388979 * 444388909) للجمهور. فقط بمعرفة توأم الروح ، يمكنك حساب العدد المفقود وفك شفرة النص به.

ما هي الحيلة هنا؟ وحقيقة أن حاصل ضرب عددين أوليين يسهل حسابه ، لكن العملية العكسية غير موجودة - إذا كنت لا تعرف الجزء الأول ، فلا يمكن تنفيذ هذا الإجراء إلا عن طريق العد. وإذا كنت تأخذ أعدادًا أولية كبيرة حقًا (على سبيل المثال ، 2000 حرفًا طويلة) ، فإن فك تشفير منتجهم سيستغرق عدة سنوات حتى على جهاز كمبيوتر حديث (بحلول ذلك الوقت ستكون الرسالة قد أصبحت غير ذات صلة لفترة طويلة).

عبقرية هذا المخطط هو أنه لا يوجد شيء سر في الخوارزمية نفسها - فهي مفتوحة وجميع البيانات موجودة على السطح (كل من الخوارزمية وجداول الأعداد الأولية الكبيرة معروفة). الشفرة نفسها ، جنبا إلى جنب مع المفتاح العمومييمكن نقلها بأي شكل من الأشكال ، بأي طريقة شكل مفتوح. ولكن بدون معرفة الجزء السري من المفتاح الذي اختاره المرسل ، لن نتلقى النص المشفر. على سبيل المثال ، يمكننا القول أنه تم نشر وصف خوارزمية RSA في مجلة عام 1977 ، كما تم تقديم مثال على التشفير هناك. فقط في عام 1993 ، بمساعدة الحوسبة الموزعة على أجهزة كمبيوتر 600 متطوع ، تم الحصول على الإجابة الصحيحة.

لذلك تبين أن الأعداد الأولية ليست بهذه البساطة على الإطلاق ، ومن الواضح أن قصتهم لا تنتهي عند هذا الحد.

إجابة إيليا صحيحة ، لكنها ليست مفصلة للغاية. بالمناسبة ، في القرن الثامن عشر ، كان المرء لا يزال يعتبر عددًا أوليًا. على سبيل المثال ، علماء رياضيات كبار مثل أويلر وغولدباخ. غولدباخ هو مؤلف إحدى المهام السبع للألفية - فرضية جولدباخ. تنص الصيغة الأصلية على أنه يمكن تمثيل أي عدد زوجي كمجموع اثنين من الأعداد الأولية. علاوة على ذلك ، في البداية تم أخذ 1 في الاعتبار كرقم أولي ، ونرى هذا: 2 = 1 + 1. هذا أصغر مثال، والذي يفي بالصياغة الأصلية للفرضية. في وقت لاحق تم تصحيحه ، واكتسبت الصياغة نظرة حديثة: "يمكن تمثيل كل عدد زوجي ، بدءًا من 4 ، على أنه مجموع عددين أوليين."

دعونا نتذكر التعريف. بسيط عدد طبيعي p ، الذي يحتوي على مقسومين طبيعيين مختلفين فقط: p نفسه و 1. نتيجة طبيعية من التعريف: العدد الأولي p له قاسم أولي واحد فقط - p نفسه.

افترض الآن أن 1 هو عدد أولي. بحكم التعريف ، العدد الأولي له قاسم أولي واحد فقط - نفسه. ثم يتبين أن أي عدد أولي أكبر من 1 يقبل القسمة على عدد أولي يختلف عنه (على 1). لكن لا يمكن القسمة على عددين أوليين مختلفين ، لأن وإلا فهي ليست أعدادًا أولية ، ولكنها أرقام مركبة ، وهذا يتعارض مع التعريف. مع هذا النهج ، اتضح أن هناك عددًا أوليًا واحدًا فقط - الوحدة نفسها. لكن هذا سخيف. لذلك ، 1 ليس عددًا أوليًا.

1 ، وكذلك 0 ، يشكلان فئة أخرى من الأرقام - فئة العناصر المحايدة فيما يتعلق بعمليات n-nar في بعض المجموعات الفرعية للحقل الجبري. علاوة على ذلك ، فيما يتعلق بعملية الجمع ، 1 هو أيضًا عنصر توليد لحلقة الأعداد الصحيحة.

بالنظر إلى ذلك ، ليس من الصعب العثور على نظائرها للأعداد الأولية في الهياكل الجبرية الأخرى. لنفترض أن لدينا مجموعة ضرب مكونة من قوى 2 تبدأ من 1: 2 ، 4 ، 8 ، 16 ، ... إلخ. 2 يعمل هنا كعنصر تشكيل. الرقم الأولي في هذه المجموعة هو رقم أكبر من أصغر عنصر ولا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى أصغر عنصر. في مجموعتنا ، 4 فقط لديها مثل هذه الخصائص. لا يوجد المزيد من الأعداد الأولية في مجموعتنا.

إذا كان 2 عددًا أوليًا أيضًا في مجموعتنا ، فراجع الفقرة الأولى - مرة أخرى سيتضح أن 2 فقط عدد أولي.

تتناول المقالة مفاهيم الأعداد الأولية والمركبة. تعاريف هذه الأرقام مع الأمثلة. نعطي دليلًا على أن عدد الأعداد الأولية غير محدود ونقوم بإدخال إدخال في جدول الأعداد الأولية باستخدام طريقة إراتوستينس. سيتم تقديم البراهين حول ما إذا كان الرقم أوليًا أم مركبًا.

Yandex.RTB R-A-339285-1

الأعداد الأولية والمركبة - تعريفات وأمثلة

يتم تصنيف الأرقام الأولية والمركبة على أنها أعداد صحيحة موجبة. يجب أن تكون أكبر من واحد. تنقسم المقسومات أيضًا إلى بسيطة ومركبة. لفهم مفهوم الأعداد المركبة ، من الضروري أولاً دراسة مفاهيم القواسم والمضاعفات.

التعريف 1

الأعداد الأولية هي أعداد صحيحة أكبر من واحد ولها قسومان موجبان ، أي نفسها و 1.

التعريف 2

الأعداد المركبة هي أعداد صحيحة أكبر من واحد ولها ثلاثة قواسم موجبة على الأقل.

واحد ليس عددًا أوليًا ولا عددًا مركبًا. لها قاسم موجب واحد فقط ، لذا فهي تختلف عن جميع الأعداد الموجبة الأخرى. تسمى جميع الأعداد الصحيحة الموجبة طبيعية ، أي تستخدم في العد.

التعريف 3

الأعداد الأوليةهي الأعداد الطبيعية التي تحتوي على اثنين فقط من قواسم موجبة.

التعريف 4

عدد مركبهو رقم طبيعي يحتوي على أكثر من اثنين من قواسمه الموجبة.

أي رقم أكبر من 1 يكون إما أوليًا أو مركبًا. من خاصية القابلية للقسمة ، لدينا ذلك 1 والرقم a سيكون دائمًا قواسم على أي رقم a ، أي أنه سيكون قابلاً للقسمة على نفسه وعلى 1. نعطي تعريف الأعداد الصحيحة.

التعريف 5

تسمى الأعداد الطبيعية غير الأولية بالأرقام المركبة.

الأعداد الأولية: 2 ، 3 ، 11 ، 17 ، 131 ، 523. لا يقبلون القسمة إلا على أنفسهم وعلى 1. الأرقام المركبة: 6 ، 63 ، 121 ، 6697. أي أن الرقم 6 يمكن أن يتحلل إلى 2 و 3 ، و 63 إلى 1 ، 3 ، 7 ، 9 ، 21 ، 63 ، و 121 إلى 11 ، 11 ، أي أن قواسمه ستكون 1 ، 11 ، 121. الرقم 6697 سوف يتحلل إلى 37 و 181. لاحظ أن مفاهيم الأعداد الأولية والأعداد الأولية نسبيًا هي مفاهيم مختلفة.

لتسهيل استخدام الأعداد الأولية ، تحتاج إلى استخدام جدول:

يعد جدول جميع الأعداد الطبيعية الموجودة غير واقعي ، نظرًا لوجود عدد لا حصر له منها. عندما تصل الأرقام إلى أحجام 10000 أو 1000000000 ، فعليك التفكير في استخدام غربال إراتوستينس.

ضع في اعتبارك نظرية تشرح العبارة الأخيرة.

نظرية 1

أصغر قاسم موجب لعدد طبيعي أكبر من 1 بخلاف 1 هو رقم أولي.

إثبات 1

افترض أن a عدد طبيعي أكبر من 1 ، وأن b هو أصغر قاسم ليس واحدًا لـ a. يجب أن نثبت أن b عدد أولي باستخدام طريقة التناقض.

لنفترض أن ب هو عدد مركب. من هنا نجد أن هناك قاسمًا لـ b ، والذي يختلف عن 1 وكذلك عن b. يُشار إلى هذا القاسم بالرمز ب 1. من الضروري هذا الشرط 1< b 1 < b اكتمل.

يمكن أن نرى من الشرط أن أ قابل للقسمة على ب ، ب قابل للقسمة على ب 1 ، مما يعني أن مفهوم القسمة يتم التعبير عنه بهذه الطريقة: أ = ب فو ب = ب 1 ف 1 ، من أين أ = ب 1 (ف 1 ف) ، حيث ف و ف 1هي أعداد صحيحة. وفقًا لقاعدة ضرب الأعداد الصحيحة ، لدينا أن حاصل ضرب الأعداد الصحيحة هو عدد صحيح مع المساواة في الشكل a = b 1 · (q 1 · q). يمكن ملاحظة أن ب 1 هو القاسم على. عدم المساواة 1< b 1 < b لايطابق ، لأننا حصلنا على أن b هو أصغر عامل موجب غير مقسوم على 1 لـ a.

نظرية 2

هناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية.

إثبات 2

لنفترض أننا أخذنا عددًا محدودًا من الأعداد الطبيعية n ونشير إليه على أنه p 1، p 2،…، p n. لنفكر في متغير لإيجاد عدد أولي مختلف عن الأرقام المشار إليها.

ضع في اعتبارك الرقم p ، الذي يساوي p 1 ، p 2 ، ... ، p n + 1. لا يساوي كل من الأرقام المقابلة للأعداد الأولية بالصيغة p 1، p 2،…، p n. الرقم ص أولي. ثم تعتبر النظرية مثبتة. إذا كان مركبًا ، فعلينا أن نأخذ الرمز p n + 1 وإظهار عدم تطابق القاسم مع أي من p 1، p 2،…، p n.

إذا لم يكن الأمر كذلك ، فعندئذٍ ، بناءً على خاصية القسمة للمنتج p 1، p 2،…، p n , نتوصل إلى أنه يمكن القسمة على p n + 1. لاحظ أن التعبير p n + 1 العدد ص مقسوم على مجموع ص 1 ، ص 2 ، ... ، ف ن + 1. نحصل على هذا التعبير p n + 1 يجب تقسيم الحد الثاني من هذا المجموع ، والذي يساوي 1 ، لكن هذا مستحيل.

يمكن ملاحظة أن أي عدد أولي يمكن العثور عليه بين أي عدد من الأعداد الأولية. ويترتب على ذلك وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية.

نظرًا لوجود عدد كبير من الأعداد الأولية ، فإن الجداول تقتصر على الأرقام 100 و 1000 و 10000 وما إلى ذلك.

عند تجميع جدول الأعداد الأولية ، ينبغي للمرء أن يأخذ في الاعتبار حقيقة أن مثل هذه المهمة تتطلب فحصًا تسلسليًا للأرقام ، بدءًا من 2 إلى 100. إذا لم يكن هناك قاسم ، يتم تسجيله في الجدول ؛ وإذا كان مركبًا ، فلا يتم إدخاله في الجدول.

دعنا نفكر خطوة بخطوة.

إذا بدأت بالرقم 2 ، فهذا يعني أنه يحتوي على مقسومين فقط: 2 و 1 ، مما يعني أنه يمكن إدخاله في الجدول. أيضا مع الرقم 3. الرقم 4 مركب ، يجب أن يتحلل إلى 2 و 2. الرقم 5 هو عدد أولي ، مما يعني أنه يمكن تثبيته في الجدول. افعل هذا حتى الرقم 100.

هذه الطريقة غير مريحة وتستغرق وقتا طويلا. يمكنك صنع طاولة ، لكن عليك أن تنفق عدد كبير منوقت. من الضروري استخدام معايير القابلية للقسمة ، والتي ستسرع من عملية إيجاد القواسم.

تعتبر الطريقة التي تستخدم منخل إراتوستينس هي الأكثر ملاءمة. دعنا نلقي نظرة على الجداول أدناه. بادئ ذي بدء ، الأرقام 2 ، 3 ، 4 ، ... ، 50 مكتوبة.

أنت الآن بحاجة إلى شطب جميع الأرقام التي تكون من مضاعفات 2. اجعل يتوسطه خط متسلسل. نحصل على جدول بالنموذج:

دعنا ننتقل إلى شطب الأعداد التي تكون من مضاعفات العدد 5. نحن نحصل:

نقوم بشطب الأعداد التي تكون من مضاعفات 7 و 11. أخيرًا يبدو الجدول

دعونا ننتقل إلى صياغة النظرية.

نظرية 3

لا يتجاوز أصغر قاسم موجب وغير 1 للرقم الأساسي a ، حيث a هو الجذر الحسابي للرقم المحدد.

إثبات 3

من الضروري تعيين ب أصغر قاسمرقم مركب أ. يوجد عدد صحيح q ، حيث a = b · q ولدينا ذلك b ≤ q. عدم المساواة في الشكل ب> فلأن الشرط منتهك. يجب ضرب طرفي المتباينة ب ≤ q بأي عدد موجب ب لا يساوي 1. نحصل على b b ≤ b q ، حيث b 2 ≤ a و b a.

يمكن أن نرى من النظرية المثبتة أن حذف الأرقام في الجدول يؤدي إلى حقيقة أنه من الضروري البدء برقم يساوي b 2 ويفي بالتباين b 2 ≤ a. أي إذا قمت بشطب الأرقام التي هي مضاعفات 2 ، فإن العملية تبدأ من 4 ، وتلك التي تعد مضاعفات 3 تبدأ من 9 ، وهكذا حتى 100.

يقول تجميع مثل هذا الجدول باستخدام نظرية إراتوستينس أنه عندما يتم شطب جميع الأرقام المركبة ، ستبقى هناك أرقام أولية لا تتجاوز n. في المثال حيث n = 50 ، لدينا n = 50. من هنا نحصل على أن غربال إراتوستينس يزيل جميع الأرقام المركبة التي لا تزيد قيمتها في القيمة عن قيمة جذر 50. يتم البحث عن الأرقام بالشطب.

قبل الحل ، من الضروري معرفة ما إذا كان الرقم أوليًا أم مركبًا. غالبًا ما تستخدم معايير القسمة. لنلق نظرة على هذا في المثال أدناه.

مثال 1

برهن على أن 898989898989898989 هو رقم مركب.

حل

مجموع أرقام العدد المعطى 9 8 + 9 9 = 9 17. لذا فإن الرقم 9 17 قابل للقسمة على 9 ، بناءً على علامة القابلية للقسمة على 9. ويترتب على ذلك أنه مركب.

هذه العلامات ليست قادرة على إثبات أهلية الرقم. إذا كان التحقق مطلوبًا ، يجب اتخاذ خطوات أخرى. أنسب طريقة هي تعداد الأرقام. أثناء العملية ، يمكن العثور على الأرقام الأولية والمركبة. أي أن الأرقام في القيمة يجب ألا تتجاوز أ. وهذا يعني أن الرقم أ يجب أن يتحلل إلى عوامل أولية. إذا كان هذا صحيحًا ، فيمكن اعتبار الرقم أ عددًا أوليًا.

مثال 2

أوجد العدد المركب أو الأولي 11723.

حل

أنت الآن بحاجة إلى إيجاد جميع القواسم على الرقم 11723. نحتاج إلى تقييم 11723.

من هنا نرى أن 11723< 200 , то 200 2 = 40 000 ، و 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200 .

للمزيد من تقييم دقيقالأرقام 11723 ، يجب كتابة التعبير 108 2 \ u003d 11664 ، و 109 2 = 11 881 ، الذي - التي 108 2 < 11 723 < 109 2 . ويترتب على ذلك أن 11723< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

عند التحلل ، نحصل على 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، 19 ، 23 ، 29 ، 31 ، 37 ، 41 ، 43 ، 47 ، 53 ، 59 ، 61 ، 67 ، 71 ، 73 ، 79 ، 83 ، 89 ، 97 ، 101 ، 103 ، 107 كلها أعداد أولية. جميع هذه العمليةيمكن تمثيلها كقسمة بواسطة عمود. أي قسمة 11723 على 19. الرقم 19 هو أحد عوامله ، لأننا نحصل على القسمة دون الباقي. دعنا نصور القسمة على عمود:

ويترتب على ذلك أن 11723 هو رقم مركب ، لأنه بالإضافة إلى نفسه و 1 ، فإنه يحتوي على القاسم 19.

إجابة: 11723 رقم مركب.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

قائمة القواسم.بحكم التعريف ، الرقم نيكون عددًا أوليًا فقط إذا كان لا يقبل القسمة على 2 وأي أعداد صحيحة بخلاف 1 ونفسه. تزيل الصيغة أعلاه الخطوات غير الضرورية وتوفر الوقت: على سبيل المثال ، بعد التحقق مما إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على 3 ، ليست هناك حاجة للتحقق مما إذا كان قابلاً للقسمة على 9.

• الدالة floor (x) تقرِّب x إلى أقرب عدد صحيح أقل من أو يساوي x.

تعرف على الحساب النمطي.عملية "x mod y" (mod اختصار لـ كلمة لاتينية"modulo" ، أي "module") تعني "قسّم x على y واعثر على الباقي". بعبارة أخرى ، في الحساب النمطي ، عند الوصول إلى قيمة معينة تسمى وحدة، فإن الأرقام "تعود" إلى الصفر. على سبيل المثال ، تقيس الساعة الوقت في المقياس 12: فهي تظهر الساعة 10 و 11 و 12 ثم تعود إلى 1.

• تحتوي العديد من الآلات الحاسبة على مفتاح تعديل. توضح نهاية هذا القسم كيفية حساب هذه الوظيفة يدويًا للأرقام الكبيرة.

تعرف على مخاطر نظرية فيرما الصغيرة.جميع الأرقام التي لم تتحقق شروط الاختبار لها هي أرقام مركبة ، لكن الأرقام المتبقية هي فقط من المحتملتعتبر بسيطة. إذا كنت تريد تجنب النتائج غير الصحيحة ، فابحث عن نفي قائمة "أرقام كارمايكل" ​​(الأرقام المركبة التي تفي بهذا الاختبار) و "أرقام فيرمات الأولية الزائفة" (هذه الأرقام تستوفي شروط الاختبار فقط لبعض القيم أ).

إذا كان ذلك مناسبًا ، استخدم اختبار ميلر رابين.بالرغم من هذه الطريقةمرهقة إلى حد ما بالنسبة للحسابات اليدوية ، وغالبًا ما تستخدم في برامج الحاسوب. يوفر سرعة مقبولة ويعطي أخطاء أقل من طريقة فيرما. لن يتم أخذ الرقم المركب كرقم أولي إذا تم إجراء حسابات لأكثر من قيم أ. إذا قمت بتحديد قيم مختلفة بشكل عشوائي أوبالنسبة لهم جميعًا ، سيعطي الاختبار نتيجة إيجابية ، يمكننا أن نفترض بدرجة عالية إلى حد ما من الثقة ذلك نهو عدد أولي.

للأعداد الكبيرة ، استخدم الحساب النمطي.إذا لم يكن لديك آلة حاسبة بوظيفة التعديل في متناول اليد أو إذا لم تكن الآلة الحاسبة مصممة للعمليات بهذه الوظيفة أعداد كبيرة، استخدم خصائص القوة والحساب المعياري لتسهيل العمليات الحسابية. أدناه مثال على 3 50 (\ displaystyle 3 ^ (50))نموذج 50:

• أعد كتابة التعبير بشكل أكثر ملاءمة: تعديل 50. عند الحساب يدويًا ، قد يكون من الضروري إجراء المزيد من التبسيط.
• (3 25 ∗ 3 25) (\ displaystyle (3 ^ (25) * 3 ^ (25))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. هنا أخذنا في الحسبان خاصية الضرب النمطي.
• 3 25 (displaystyle 3 ^ (25)) mod 50 = 43.
• (3 25 (displaystyle (3 ^ (25))وزارة الدفاع 50 ∗ 3 25 (displaystyle * 3 ^ (25))تعديل 50) تعديل 50 = (43 ∗ 43) (displaystyle (43 * 43))وزارة الدفاع 50.
• = 1849 (displaystyle = 1849)وزارة الدفاع 50.
• = 49 (displaystyle = 49).

في هذه المقالة سوف ندرس الأعداد الأولية والمركبة. أولاً ، نعطي تعريفات للأعداد الأولية والمركبة ، ونعطي أيضًا أمثلة. بعد ذلك ، نثبت أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية. بعد ذلك ، نكتب جدولًا للأعداد الأولية ، وننظر في طرق تجميع جدول الأعداد الأولية ، وسنتناول بشكل خاص الطريقة التي تسمى غربال إراتوستينس. في الختام ، نسلط الضوء على النقاط الرئيسية التي يجب أخذها في الاعتبار عند إثبات أن رقمًا معينًا أوليًا أو مركبًا.

التنقل في الصفحة.

الأعداد الأولية والمركبة - تعريفات وأمثلة

تشير مفاهيم الأعداد الأولية والأرقام المركبة إلى تلك التي تكون أكبر من واحد. هذه الأعداد الصحيحة ، اعتمادًا على عدد المقسومات الموجبة ، مقسمة إلى أعداد أولية ومركبة. حتى نفهم تعريفات الأعداد الأولية والمركبة، يجب أن تكون لديك فكرة جيدة عن المقسومات والمضاعفات.

تعريف.

الأعداد الأوليةهي أعداد صحيحة أكبر من واحد وتحتوي على قسومتين موجبتين فقط ، وهما نفسها و 1.

تعريف.

الأرقام المركبةهي أعداد صحيحة أكبر من واحد يحتوي على ثلاثة قواسم موجبة على الأقل.

بشكل منفصل ، نلاحظ أن الرقم 1 لا ينطبق على الأرقام الأولية أو المركبة. تحتوي الوحدة على قاسم موجب واحد فقط ، وهو الرقم 1 نفسه. هذا يميز الرقم 1 عن جميع الأعداد الصحيحة الموجبة الأخرى التي تحتوي على الأقل على اثنين من قواسم موجبة.

بالنظر إلى أن الأعداد الصحيحة الموجبة هي ، وأن الوحدة بها قاسم موجب واحد فقط ، يمكن إعطاء صيغ أخرى للتعريفات الصوتية للأعداد الأولية والمركبة.

تعريف.

الأعداد الأوليةهي الأعداد الطبيعية التي تحتوي على اثنين فقط من قواسم موجبة.

تعريف.

الأرقام المركبةهي الأعداد الطبيعية التي تحتوي على أكثر من اثنين من قواسم موجبة.

لاحظ أن كل عدد صحيح موجب أكبر من واحد هو إما عدد أولي أو رقم مركب. بمعنى آخر ، لا يوجد عدد صحيح واحد ليس أوليًا ولا مركبًا. هذا يتبع من خاصية القسمة ، والتي تقول أن الرقمين 1 و a هما دومًا قواسم على أي عدد صحيح a.

بناءً على المعلومات الواردة في الفقرة السابقة ، يمكننا تقديم التعريف التالي للأرقام المركبة.

تعريف.

يتم استدعاء الأعداد الطبيعية التي ليست أولية المقوم، مكون، جزء من.

لنجلب أمثلة على الأعداد الأولية والمركبة.

كأمثلة على الأرقام المركبة ، نقدم 6 و 63 و 121 و 6697. هذا البيان يحتاج أيضا إلى تفسير. الرقم 6 ، بالإضافة إلى القواسم الموجبة 1 و 6 ، يحتوي أيضًا على قواسم 2 و 3 ، نظرًا لأن 6 \ u003d 2 3 ، وبالتالي فإن 6 هو رقم مركب حقًا. القواسم الموجبة للعدد 63 هي الأعداد 1 و 3 و 7 و 9 و 21 و 63. العدد 121 يساوي حاصل ضرب 11 11 ، إذن قواسمه الموجبة هي 1 و 11 و 121. والرقم 6697 مركب ، لأن قواسمه الموجبة ، بالإضافة إلى 1 و 6697 ، هي أيضًا الأرقام 37 و 181.

في ختام هذه الفقرة ، أود أيضًا أن ألفت الانتباه إلى حقيقة أن الأعداد الأولية وأرقام الجرائم المشتركة بعيدة كل البعد عن الشيء نفسه.

جدول العدد الأولي

يتم تسجيل الأعداد الأولية ، من أجل تسهيل الاستخدام الإضافي لها ، في جدول يسمى جدول الأعداد الأولية. في الأسفل يكون جدول العدد الأولييصل إلى 1000 .

يطرح سؤال منطقي: "لماذا قمنا بملء جدول الأعداد الأولية حتى 1000 فقط ، أليس من الممكن عمل جدول لجميع الأعداد الأولية الموجودة"؟

دعنا نجيب على الجزء الأول من هذا السؤال أولاً. تكفي الأعداد الأولية التي تصل إلى ألف في معظم المشكلات التي تتضمن أعدادًا أولية. في حالات أخرى ، على الأرجح ، سيتعين عليك اللجوء إلى بعض تقنيات الحلول الخاصة. على الرغم من أنه ، بالطبع ، يمكننا جدولة الأعداد الأولية حتى عدد صحيح موجب كبير بشكل تعسفي ، سواء كان 10،000 أو 1،000،000،000 ، في الفقرة التالية سنتحدث عن طرق تجميع جداول الأعداد الأولية ، على وجه الخصوص ، سنقوم بتحليل الطريقة مُسَمًّى.

الآن دعونا نلقي نظرة على إمكانية (أو بالأحرى استحالة) تجميع جدول لجميع الأعداد الأولية الموجودة. لا يمكننا عمل جدول لجميع الأعداد الأولية لأن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية. البيان الأخير هو نظرية سنثبتها بعد النظرية المساعدة التالية.

نظرية.

أصغر قاسم موجب لعدد طبيعي أكبر من 1 بخلاف 1 هو رقم أولي.

دليل.

يترك أ هو رقم طبيعي أكبر من واحد ، و ب هو أقل عدد موجب ليس واحدًا للمقسوم على أ. دعنا نثبت أن b عدد أولي بالتناقض.

افترض أن ب هو رقم مركب. ثم هناك قاسم للرقم ب (دعنا نشير إليه ب 1) ، والذي يختلف عن كل من 1 و ب. إذا أخذنا في الاعتبار أيضًا أن القيمة المطلقة للمقسوم عليه لا تتجاوز قيمه مطلقهقابل للقسمة (نعرف هذا من خصائص القسمة) ، ثم الشرط 1

نظرًا لأن الرقم a قابل للقسمة على b حسب الشرط ، وقلنا أن b يقبل القسمة على b 1 ، فإن مفهوم القسمة يسمح لنا بالتحدث عن وجود مثل هذه الأعداد الصحيحة q و q 1 أن a = b q و b = b 1 ف 1 ، من أين أ = ب 1 · (ف 1 · ف). مما يلي أن حاصل ضرب عددين صحيحين هو عدد صحيح ، ثم المساواة أ = ب 1 · (ف 1 · ف) تشير إلى أن ب 1 هو القاسم على الرقم أ. مع الأخذ بعين الاعتبار التفاوتات المذكورة أعلاه 1

يمكننا الآن إثبات أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية.

نظرية.

هناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية.

دليل.

لنفترض أنه ليس كذلك. أي ، لنفترض أنه لا يوجد سوى n عدد أولي ، وهذه الأعداد الأولية هي p 1، p 2،…، p n. دعنا نظهر أنه يمكننا دائمًا العثور على عدد أولي مختلف عن العدد المشار إليه.

ضع في اعتبارك رقم p يساوي p 1 · p 2 · ... · p n +1. من الواضح أن هذا الرقم يختلف عن كل من الأعداد الأولية ص 1 ، ص 2 ، ... ، ص ن. إذا كان الرقم p عددًا أوليًا ، فسيتم إثبات النظرية. إذا كان هذا الرقم مركبًا ، فبموجب النظرية السابقة ، يوجد قاسم أولي لهذا العدد (دعنا نشير إليه p n + 1). دعنا نظهر أن هذا القاسم لا يتطابق مع أي من الأعداد ص 1 ، ص 2 ، ... ، ف ن.

إذا لم يكن الأمر كذلك ، فبواسطة خصائص القسمة ، سيكون حاصل الضرب p 1 · p 2 · ... · p n يقبل القسمة على p n + 1. لكن الرقم p قابل للقسمة أيضًا على p n + 1 ، يساوي مجموع p 1 · p 2 · ... · p n +1. هذا يعني أن الحد الثاني من هذا المجموع ، الذي يساوي واحدًا ، يجب أن يقبل القسمة على p n + 1 ، وهذا مستحيل.

وهكذا ، ثبت أنه يمكن دائمًا العثور على عدد أولي جديد ، والذي لا يتم تضمينه بين أي عدد من الأعداد الأولية المعطاة مسبقًا. لذلك ، يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الأولية.

لذلك ، نظرًا لوجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية ، عند تجميع جداول الأعداد الأولية ، فإنها تقصر نفسها دائمًا من أعلى إلى عدد ما ، عادةً 100 ، 1000 ، 10000 ، إلخ.

منخل إراتوستينس

الآن سنناقش طرق تجميع جداول الأعداد الأولية. افترض أننا نحتاج إلى عمل جدول بأعداد أولية حتى 100.

الطريقة الأكثر وضوحًا لحل هذه المشكلة هي التحقق بالتسلسل من الأعداد الصحيحة الموجبة ، بدءًا من 2 وتنتهي بـ 100 ، لوجود قاسم موجب أكبر من 1 وأقل من الرقم الذي يتم التحقق منه (من خصائص القسمة ، نحن اعلم أن القيمة المطلقة للمقسوم عليه لا تتجاوز القيمة المطلقة للمقسوم ، تختلف عن الصفر). إذا لم يتم العثور على المقسوم عليه ، فإن الرقم الذي يتم التحقق منه يكون أوليًا ، ويتم إدخاله في جدول الأعداد الأولية. إذا تم العثور على قاسم كهذا ، فإن الرقم الذي يتم التحقق منه مركب ، ولا يتم إدخاله في جدول الأعداد الأولية. بعد ذلك ، هناك انتقال إلى الرقم التالي ، والذي يتم فحصه بالمثل بحثًا عن وجود القاسم.

دعنا نصف الخطوات القليلة الأولى.

نبدأ بالرقم 2. الرقم 2 لا يحتوي على قواسم موجبة بخلاف 1 و 2. لذلك ، فهو عدد أولي ، لذلك ندخله في جدول الأعداد الأولية. هنا يجب أن يقال أن 2 هو أصغر عدد أولي. دعنا ننتقل إلى الرقم 3. المقسوم الإيجابي المحتمل بخلاف 1 و 3 هو 2. لكن 3 غير قابلة للقسمة على 2 ، لذلك ، 3 هي عدد أولي ، ويجب أيضًا إدخالها في جدول الأعداد الأولية. دعنا ننتقل إلى الرقم 4. قواسمه الموجبة بخلاف 1 و 4 يمكن أن تكون 2 و 3 ، فلنتحقق منها. الرقم 4 قابل للقسمة على 2 ، لذلك ، 4 هو رقم مركب ولا يحتاج إلى إدخاله في جدول الأعداد الأولية. لاحظ أن 4 هو أصغر رقم مركب. دعنا ننتقل إلى الرقم 5. نتحقق مما إذا كان أحد الأعداد 2 ، 3 ، 4 على الأقل هو القاسم عليه. بما أن الرقم 5 لا يقبل القسمة على 2 أو 3 أو 4 ، فهو عدد أولي ويجب كتابته في جدول الأعداد الأولية. ثم هناك انتقال إلى الأرقام 6 و 7 وهكذا حتى 100.

هذا النهج لتجميع جدول الأعداد الأولية بعيد كل البعد عن المثالية. بطريقة أو بأخرى ، له الحق في الوجود. لاحظ أنه باستخدام طريقة إنشاء جدول الأعداد الصحيحة ، يمكنك استخدام معايير القسمة ، والتي ستسرع قليلاً من عملية إيجاد القواسم.

هناك طريقة أكثر ملاءمة لتجميع جدول الأعداد الأولية يسمى. كلمة "غربال" الموجودة في الاسم ليست عرضية ، لأن إجراءات هذه الطريقة تساعد ، كما كانت ، على "غربلة" منخل إراتوستينس الأعداد الصحيحة ، الوحدات الكبيرة ، من أجل فصل الوحدات البسيطة عن الوحدات المركبة.

دعنا نظهر غربال إراتوستينس أثناء العمل عند تجميع جدول الأعداد الأولية حتى 50.

أولاً ، نكتب الأرقام 2 ، 3 ، 4 ، ... ، 50 بالترتيب.

العدد الأول المكتوب 2 هو عدد أولي. الآن من الرقم 2 ننتقل بالتتابع إلى اليمين برقمين ونشطب هذه الأرقام حتى نصل إلى نهاية جدول الأرقام المترجم. لذلك سيتم شطب جميع الأعداد التي تكون من مضاعفات العدد اثنين.

الرقم الأول غير المشطوب بعد 2 هو 3. هذا الرقم أولي. الآن ، من الرقم 3 ، ننتقل بالتتابع إلى اليمين بثلاثة أرقام (مع مراعاة الأرقام المشطوبة بالفعل) وشطبها. لذلك سيتم شطب جميع الأعداد التي تكون من مضاعفات العدد ثلاثة.

الرقم الأول غير المشطوب بعد 3 هو 5. هذا الرقم أولي. الآن ، من الرقم 5 ، ننتقل بالتتابع إلى اليمين بمقدار 5 أرقام (نأخذ في الاعتبار أيضًا الأرقام التي تم شطبها سابقًا) ونشطبها. لذلك ، يتم شطب جميع الأعداد التي تكون من مضاعفات العدد خمسة.

بعد ذلك ، نقوم بشطب الأعداد التي تكون من مضاعفات 7 ، ثم مضاعفات 11 ، وهكذا. تنتهي العملية في حالة عدم وجود أرقام متبقية لشطبها. يوجد أدناه جدول مكتمل بالأعداد الأولية حتى 50 تم الحصول عليها باستخدام منخل إراتوستينس. جميع الأعداد غير المتقاطعة هي أعداد أولية ، وجميع الأرقام المشطوبة مركبة.

دعنا نصوغ ونثبت نظرية من شأنها تسريع عملية تجميع جدول الأعداد الأولية باستخدام غربال إراتوستينس.

نظرية.

لا يتعدى أقل عدد مركب موجب واحد أ ، حيث يكون من أ.

دليل.

نشير بالحرف ب إلى أصغر قاسم للرقم المركب أ الذي يختلف عن الوحدة (الرقم ب هو عدد أولي ، والذي يتبع النظرية المثبتة في بداية الفقرة السابقة). ثم هناك عدد صحيح q بحيث يكون a = b q (هنا q هو عدد صحيح موجب ، يتبع قواعد ضرب الأعداد الصحيحة) ، و (عندما b> q ، يتم انتهاك الشرط الذي يكون b هو أصغر قاسم على a ، منذ ذلك الحين q هو أيضًا مقسوم عليه بسبب المساواة أ = ف ب). بضرب كلا طرفي المتباينة في موجب وأكبر من واحد صحيح ب (مسموح لنا القيام بذلك) ، نحصل على ومن أين و.

ماذا تعطينا النظرية المثبتة بخصوص غربال إراتوستينس؟

أولاً ، يجب أن يبدأ حذف الأعداد المركبة التي تكون مضاعفات العدد الأولي b برقم يساوي (هذا يتبع من المتباينة). على سبيل المثال ، يجب أن يبدأ شطب الأرقام المكوّنة من مضاعفات الرقمين بالرقم 4 ومضاعفات الثلاثة - بالرقم 9 ومضاعفات الخمسة - بالرقم 25 وهكذا.

ثانيًا ، يمكن اعتبار تجميع جدول الأعداد الأولية حتى الرقم n باستخدام غربال Eratosthenes مكتملاً عندما يتم شطب جميع الأرقام المركبة التي هي مضاعفات أعداد أولية لا تتجاوز. في مثالنا ، n = 50 (لأننا نقوم بجدولة الأعداد الأولية حتى 50) ، وبالتالي يجب أن يستبعد غربال إراتوستينس جميع المضاعفات المركبة للأعداد الأولية 2 و 3 و 5 و 7 التي لا تتجاوز الجذر التربيعي الحسابي لـ 50 . أي أننا لم نعد بحاجة إلى البحث عن الأعداد التي تكون مضاعفات الأعداد الأولية 11 و 13 و 17 و 19 و 23 وما إلى ذلك حتى 47 وشطبها ، حيث سيتم شطبها بالفعل كمضاعفات الأعداد الأولية الأصغر 2 ، 3 و 5 و 7.

هل هذا العدد أولي أم مركب؟

تتطلب بعض المهام معرفة ما إذا كان الرقم المحدد أوليًا أم مركبًا. في الحالة العامة ، هذه المهمة بعيدة كل البعد عن البساطة ، خاصة بالنسبة للأرقام التي يتكون سجلها من عدد كبير من الأحرف. في معظم الحالات ، عليك البحث عن طريقة محددة لحلها. ومع ذلك ، سنحاول توجيه سلسلة الأفكار للحالات البسيطة.

مما لا شك فيه ، يمكن للمرء أن يحاول استخدام معايير القسمة لإثبات أن رقمًا معينًا مركب. إذا أظهرت بعض معايير القابلية للقسمة ، على سبيل المثال ، أن الرقم المعطى قابل للقسمة على عدد صحيح موجب أكبر من واحد ، فإن الرقم الأصلي مركب.

مثال.

برهن على أن الرقم 89898989898989898989 مركب.

حل.

مجموع أرقام هذا الرقم هو 9 8 + 9 9 = 9 17. نظرًا لأن الرقم الذي يساوي 9 17 قابل للقسمة على 9 ، فعندئذٍ من خلال معيار القابلية للقسمة على 9 ، يمكن القول إن الرقم الأصلي قابل للقسمة أيضًا على 9. لذلك ، فهو مركب.

عيب كبير في هذا النهج هو أن معايير القسمة لا تسمح لنا بإثبات بساطة الرقم. لذلك ، عند التحقق من رقم لمعرفة ما إذا كان أوليًا أم مركبًا ، فأنت بحاجة إلى المتابعة بشكل مختلف.

الطريقة الأكثر منطقية هي تعداد جميع القواسم الممكنة لرقم معين. إذا لم يكن أي من القواسم المحتملة مقسومًا حقيقيًا على رقم معين ، فإن هذا الرقم يكون أوليًا ؛ وإلا فإنه مركب. من النظريات المثبتة في الفقرة السابقة ، يترتب على ذلك أنه يجب البحث عن قواسم عدد معين من الأعداد الأولية التي لا تتجاوز. وبالتالي ، يمكن قسمة الرقم المعطى أ على التوالي على الأعداد الأولية (التي يسهل أخذها من جدول الأعداد الأولية) ، في محاولة للعثور على المقسوم على الرقم أ. إذا تم العثور على القاسم ، فإن الرقم أ مركب. إذا كان من بين الأعداد الأولية التي لا تتجاوز ، لا يوجد قاسم على الرقم أ ، فإن الرقم أ هو عدد أولي.

مثال.

رقم 11 723 بسيط أم مركب؟

حل.

لنكتشف العدد الأولي الذي يمكن أن تكون قواسمه على 11 723. لهذا ، نحن نقدر.

من الواضح أن ، منذ 200 2 \ u003d 40000 ، و 11723<40 000 (при необходимости смотрите статью مقارنة الأرقام). وبالتالي ، فإن القواسم الأولية المحتملة لـ 11،723 أقل من 200. هذا بالفعل يبسط مهمتنا إلى حد كبير. إذا لم نكن نعرف هذا ، فسنضطر إلى فرز جميع الأعداد الأولية ليس حتى 200 ، ولكن حتى العدد 11 723.

إذا رغبت في ذلك ، يمكنك تقدير أكثر دقة. منذ 108 2 \ u003d 11664 ، و 109 2 \ u003d 11881 ، ثم 108 2<11 723<109 2 , следовательно, . وبالتالي ، فإن أيًا من الأعداد الأولية الأقل من 109 يحتمل أن يكون قاسمًا أوليًا للرقم المحدد 11،723.

الآن سنقسم العدد 11723 بالتسلسل إلى أعداد أولية 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، 19 ، 23 ، 29 ، 31 ، 37 ، 41 ، 43 ، 47 ، 53 ، 59 ، 61 ، 67 ، 71 ، 73 ، 79 ، 83 ، 89 ، 97 ، 101 ، 103 ، 107. إذا كان العدد 11 723 مقسومًا بالكامل على أحد الأعداد الأولية المكتوبة ، فسيكون مركبًا. إذا لم يكن قابلاً للقسمة على أي من الأعداد الأولية المكتوبة ، فإن الرقم الأصلي يكون أوليًا.

لن نصف عملية الانقسام الرتيبة والرتيبة بأكملها. دعنا نقول فقط أن 11 723