كيفية إظهار أن النواقل تعتمد خطيًا. الاعتماد الخطي والاستقلال الخطي للناقلات. أساس النواقل. نظام الإحداثيات Affine

يترك إل- الفضاء الخطي التعسفي ، أ أنا Î إلهي عناصرها (ناقلات).

التعريف 3.3.1.تعبير ، أين ، - أرقام حقيقية عشوائية تسمى مجموعة خطية ثلاثة أبعادأ 1 ، أ 2 ، ... ، أ ن.

إذا كان المتجه ص = ، ثم يقولون ذلك ص تتحلل إلى نواقلأ 1 ، أ 2 ، ... ، أ ن.

التعريف 3.3.2.يتم استدعاء مجموعة خطية من المتجهات غير تافه، إذا كان من بين الأرقام واحد على الأقل غير الصفر. خلاف ذلك ، يتم استدعاء المجموعة الخطية تافه.

التعريف 3.3.3 . المتجهات أ 1 ، أ 2 ، ... ، أ نتسمى تعتمد خطيًا إذا كان هناك مزيج خطي غير تافه منها

= 0 .

التعريف 3.3.4. المتجهات أ 1 ، أ 2 ، ... ، أ نتسمى مستقلة خطيًا إذا كانت المساواة = 0 ممكن فقط إذا كانت جميع الأرقام ل 1, ل 2,…, لهي صفر في نفس الوقت.

لاحظ أن أي عنصر غير صفري a 1 يمكن اعتباره نظامًا مستقلًا خطيًا ، منذ المساواة لأ 1 = 0 ممكن فقط بشرط ل= 0.

نظرية 3.3.1.شرط ضروري وكاف لاعتماد خطي أ 1 ، أ 2 ، ... ، أ نهي إمكانية تحلل واحد على الأقل من هذه العناصر في الباقي.

دليل. ضروري. دع العناصر أ 1 ، أ 2 ، ... ، أ نتعتمد خطيا. هذا يعني انه = 0 ، ورقم واحد على الأقل ل 1, ل 2,…, ليختلف عن الصفر. دعنا نحدد ل 1 ¹ 0. ثم

أي أن العنصر أ 1 يتحلل إلى العناصر أ 2 ، أ 3 ، ... ، أ ن.

قدرة. دع العنصر أ 1 يتحلل إلى عناصر أ 2 ، أ 3 ، ... ، أ ن، أي 1 =. ثم = 0 ، لذلك ، هناك تركيبة خطية غير تافهة من المتجهات a 1 ، a 2 ، ... ، a نيساوي 0 ، لذلك فهي تعتمد خطيًا .

نظرية 3.3.2. إذا كان أحد العناصر على الأقل a 1 ، a 2 ،… ، a نصفر ، فإن هذه المتجهات تعتمد خطيًا.

دليل . يترك أ ن= 0 ، ثم = 0 ، مما يعني الاعتماد الخطي للعناصر المشار إليها.

نظرية 3.3.3. إذا كان من بين ن ناقلات أي ف (ص< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

دليل. دعنا ، من أجل التحديد ، العناصر أ 1 ، أ 2 ، ... ، أ صتعتمد خطيا. هذا يعني أن هناك تركيبة خطية غير تافهة مثل ذلك = 0 . سيتم الحفاظ على المساواة المشار إليها إذا أضفنا العنصر إلى كلا أجزائه. ثم + = 0 ، في حين أن واحدًا على الأقل من الأرقام ل 1, ل 2,…, ليرة لبنانيةيختلف عن الصفر. لذلك ، المتجهات أ 1 ، أ 2 ، ... ، أ نتعتمد خطيا.

النتيجة الطبيعية 3.3.1.إذا كانت عناصر n مستقلة خطيًا ، فإن أي عنصر k يكون مستقلًا خطيًا (k< n).

نظرية 3.3.4. إذا كانت النواقلأ 1 ، أ 2 ، ... ، أ ن- 1 مستقلة خطيًا ، والعناصرأ 1 ، أ 2 ، ... ، أ ن- 1 ، أ n تعتمد خطيًا ، ثم المتجهأ يمكن أن تتحلل إلى نواقلأ 1 ، أ 2 ، ... ، أ ن- 1 .

دليل.منذ الشرط 1 ، أ 2 ،…، أ ن- 1 ، أ ن تعتمد خطيًا ، فهناك تركيبة خطية غير بديهية منها = 0 ، و (بخلاف ذلك ، المتجهات أ 1 ، أ 2 ، ... ، أ ن- 1). ولكن بعد ذلك المتجه

,

Q.E.D.

أ 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, أ 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, أ 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

حل.نحن نبحث عن حل عام لنظام المعادلات

أ 1 x 1 + أ 2 x 2 + أ 3 x 3 = Θ

طريقة جاوس. للقيام بذلك ، نكتب هذا النظام المتجانس في الإحداثيات:

مصفوفة النظام

يبدو النظام المسموح به كما يلي: (ص أ = 2, ن= 3). النظام متسق وغير محدد. حلها العام ( x 2 - متغير حر): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => Xس =. يشير وجود حل خاص غير صفري ، على سبيل المثال ، إلى أن المتجهات أ 1 , أ 2 , أ 3 تعتمد خطيا.

مثال 2

اكتشف ما إذا كان نظام المتجهات المعين يعتمد خطيًا أو مستقلًا خطيًا:

1. أ 1 = { -20, -15, - 4 }, أ 2 = { –7, -2, -4 }, أ 3 = { 3, –1, –2 }.

حل.ضع في اعتبارك نظام المعادلات المتجانس أ 1 x 1 + أ 2 x 2 + أ 3 x 3 = Θ

أو موسعة (بالإحداثيات)

النظام متجانس. إذا كان غير منحط ، فهو كذلك القرار الوحيد. متى نظام متجانسهو الحل الصفري (التافه). ومن ثم ، في هذه الحالة ، يكون نظام النواقل مستقلاً. إذا كان النظام متدهورًا ، فعندئذٍ يكون لديه حلول غير صفرية ، وبالتالي فهو تابع.

فحص نظام التحلل:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

النظام غير متدهور ، وبالتالي ، النواقل أ 1 , أ 2 , أ 3 مستقلة خطيًا.

مهام.اكتشف ما إذا كان نظام المتجهات المعين يعتمد خطيًا أو مستقلًا خطيًا:

1. أ 1 = { -4, 2, 8 }, أ 2 = { 14, -7, -28 }.

2. أ 1 = { 2, -1, 3, 5 }, أ 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. أ 1 = { -7, 5, 19 }, أ 2 = { -5, 7 , -7 }, أ 3 = { -8, 7, 14 }.

4. أ 1 = { 1, 2, -2 }, أ 2 = { 0, -1, 4 }, أ 3 = { 2, -3, 3 }.

5. أ 1 = { 1, 8 , -1 }, أ 2 = { -2, 3, 3 }, أ 3 = { 4, -11, 9 }.

6. أ 1 = { 1, 2 , 3 }, أ 2 = { 2, -1 , 1 }, أ 3 = { 1, 3, 4 }.

7. أ 1 = {0, 1, 1 , 0}, أ 2 = {1, 1 , 3, 1}, أ 3 = {1, 3, 5, 1}, أ 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. أ 1 = {-1, 7, 1 , -2}, أ 2 = {2, 3 , 2, 1}, أ 3 = {4, 4, 4, -3}, أ 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. إثبات أن نظام النواقل سيعتمد خطيًا إذا كان يحتوي على:

أ) متجهان متساويان ؛

ب) متجهان متناسبان.

تعريف. مزيج خطي من النواقلأ 1 ، ... ، ن مع معاملات س 1 ، ... ، س ن يسمى متجه

x 1 a 1 + ... + x n a n.

تافه، إذا كانت جميع المعاملات x 1 ، ... ، x n تساوي صفرًا.

تعريف. المجموعة الخطية x 1 a 1 + ... + x n a n تسمى غير تافه، إذا كان أحد المعاملات على الأقل x 1 ، ... ، x n لا يساوي صفرًا.

مستقل خطيا، إذا لم يكن هناك تركيبة غير تافهة من هذه المتجهات تساوي المتجه الصفري.

أي أن المتجهات a 1 ، ... ، a n تكون مستقلة خطيًا إذا كانت x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 إذا وفقط إذا كانت x 1 = 0 ، ... ، x n = 0.

تعريف. يتم استدعاء المتجهات أ 1 ، ... ، أ ن تعتمد خطيا، إذا كان هناك مجموعة غير تافهة من هذه المتجهات تساوي المتجه الصفري.

خصائص النواقل المعتمدة خطيا:

لمتجهات 2 و 3 الأبعاد.

اثنان خطي نواقل تابعة- علاقة خطية متداخلة. (النواقل الخطية تعتمد خطيًا).

للناقلات ثلاثية الأبعاد.

ثلاثة نواقل خطية هي متحد المستوى. (النواقل الثلاثة المستوية تعتمد خطيًا.)

• بالنسبة إلى نواقل الأبعاد.

  نواقل n + 1 دائما تعتمد خطيا.

أمثلة على مهام الاعتماد الخطي والاستقلال الخطي للناقلات:

مثال 1. تحقق مما إذا كانت المتجهات أ = (3 ؛ 4 ؛ 5) ، ب = (-3 ؛ 0 ؛ 5) ، ج = (4 ؛ 4 ؛ 4) ، د = (3 ؛ 4 ؛ 0) مستقلة خطيًا.

حل:

ستكون المتجهات معتمدة خطيًا ، نظرًا لأن أبعاد المتجهات أقل من عدد المتجهات.

مثال 2. تحقق مما إذا كانت المتجهات أ = (1 ؛ 1 ؛ 1) ، ب = (1 ؛ 2 ؛ 0) ، ج = (0 ؛ -1 ؛ 1) مستقلة خطيًا.

حل:

	س 1 + س 2 = 0
	x1 + 2x2 - x3 = 0
	س 1 + س 3 = 0

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	1	0

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0				0	-1	1	0

اطرح الثاني من الصف الأول ؛ أضف السطر الثاني إلى السطر الثالث:

~		1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0		~		1	0	1	0
		0	1	-1	0				0	1	-1	0
		0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0				0	0	0	0

يوضح هذا الحل أن النظام يحتوي على العديد من الحلول ، أي أن هناك مجموعة غير صفرية من قيم الأرقام × 1 ، × 2 ، × 3 بحيث تكون التركيبة الخطية للمتجهات أ ، ب ، ج تساوي المتجه الصفري ، على سبيل المثال:

أ + ب + ج = 0

مما يعني أن المتجهات أ ، ب ، ج تعتمد خطيًا.

إجابة:المتجهات أ ، ب ، ج تعتمد خطيا.

مثال 3. تحقق مما إذا كانت المتجهات أ = (1 ؛ 1 ؛ 1) ، ب = (1 ؛ 2 ؛ 0) ، ج = (0 ؛ -1 ؛ 2) مستقلة خطيًا.

حل:لنجد قيم المعاملات التي عندها سيكون الجمع الخطي لهذه المتجهات مساويًا للمتجه الصفري.

س 1 أ + س 2 ب + س 3 ص 1 = 0

يمكن كتابة معادلة المتجه هذه كنظام المعادلات الخطية

	س 1 + س 2 = 0
	x1 + 2x2 - x3 = 0
	x1 + 2x3 = 0

نقوم بحل هذا النظام باستخدام طريقة Gauss

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	2	0

اطرح الأول من السطر الثاني ؛ اطرح الأول من الصف الثالث:

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0				0	-1	2	0

اطرح الثاني من السطر الأول ؛ أضف السطر الثاني إلى السطر الثالث.

يسمى نظام النواقل تعتمد خطيا، إذا كان هناك مثل هذه الأرقام ، من بينها واحد على الأقل يختلف عن الصفر ، فإن المساواة https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif "width =" 57 "height =" 24 src = "> تتحقق.

إذا كانت هذه المساواة صحيحة فقط إذا كانت جميعها ، فسيتم استدعاء نظام النواقل مستقل خطيا.

نظرية.نظام النواقل سوف تعتمد خطياإذا وفقط إذا كان أحد نواقلها على الأقل عبارة عن مجموعة خطية من المتجهات الأخرى.

مثال 1متعدد الحدود عبارة عن مجموعة خطية من كثيرات الحدود https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif "width =" 88 height = 24 "height =" 24 ">. تشكل كثيرات الحدود نظامًا مستقلًا خطيًا ، نظرًا لأن متعدد الحدود https://pandia.ru/text/78/624/images/image012_44"> "

مثال 2نظام المصفوفة ، https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif "width =" 51 "height =" 48 src = "> مستقل خطيًا ، نظرًا لأن التركيبة الخطية تساوي المصفوفة الصفرية فقط عندما https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width = " الأعمار / image022_26.gif "width =" 40 "height =" 21 "> تابعين خطيًا.

حل.

دعونا نجعل مجموعة خطية من هذه المتجهات https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif "width =" 97 "height =" 24 "> = 0..gif" width = "360" height = "22">.

معادلة الإحداثيات التي تحمل نفس الاسم للمتجهات المتساوية ، نحصل على https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif "width =" 289 "height =" 69 ">

أخيرا نحصل

و

يحتوي النظام على حل تافه فريد ، لذا فإن التركيبة الخطية لهذه المتجهات تكون صفرًا فقط إذا كانت جميع المعاملات صفرًا. لذلك ، فإن نظام النواقل هذا مستقل خطيًا.

مثال 4النواقل مستقلة خطيًا. ماذا ستكون أنظمة النواقل

أ).;

ب).?

حل.

أ).قم بتكوين مجموعة خطية ومساواتها بالصفر

باستخدام خصائص العمليات مع المتجهات في مساحة خطية ، نعيد كتابة المساواة الأخيرة في النموذج

نظرًا لأن المتجهات مستقلة خطيًا ، يجب أن تكون معاملات من أجل مساوية للصفر ، أي .. gif "width =" 12 "height =" 23 src = ">

نظام المعادلات الناتج له حل تافه فريد .

منذ المساواة (*) تم تنفيذه فقط على https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif "width =" 115 height = 20 "height =" 20 "> - مستقل خطيًا ؛

ب).قم بتكوين المساواة https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif "width =" 265 "height =" 24 src = "> (**)

بتطبيق نفس المنطق ، نحصل عليه

نحصل على حل نظام المعادلات بطريقة جاوس

أو

يحتوي النظام الأخير على عدد لا حصر له من الحلول https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif "width =" 149 "height =" 24 src = ">. وبالتالي ، هناك مجموعة غير صفرية من المعاملات التي تتساوى فيها (**) . لذلك ، نظام النواقل يعتمد خطيًا.

مثال 5نظام المتجه مستقل خطيًا ، ونظام المتجه يعتمد خطيًا .. gif "width =" 80 "height =" 24 ">. gif" width = "149 height = 24" height = "24"> (***)

عدم المساواة (***) . في الواقع ، سيكون النظام معتمدًا خطيًا.

من العلاقة (***) نحن نحصل أو دل .

يحصل

مهام لـ قرار مستقل(في الجمهور)

1. النظام الذي يحتوي على متجه صفري يعتمد خطيًا.

2. نظام ناقل واحد أ، يعتمد خطيًا إذا وفقط إذا ، أ = 0.

3. يعتمد النظام الذي يتكون من متجهين خطيًا إذا وفقط إذا كانت المتجهات متناسبة (أي ، يتم الحصول على أحدهما من الآخر بضربه في رقم).

4. إذا تمت إضافة ناقل إلى نظام تابع خطيًا ، فسيتم الحصول على نظام يعتمد خطيًا.

5. إذا تمت إزالة ناقل من نظام مستقل خطيًا ، فإن نظام المتجهات الناتج يكون مستقلاً خطيًا.

6. إذا كان النظام سمستقل خطيًا ، لكنه يصبح معتمدًا خطيًا عند إضافة متجه ب، ثم المتجه بمعبرًا عنها خطيًا من حيث متجهات النظام س.

ج).نظام المصفوفات ، في فضاء مصفوفات من الدرجة الثانية.

10. دع نظام النواقل أ،ب،جالفضاء المتجه مستقل خطيًا. إثبات الاستقلال الخطي للأنظمة التالية من النواقل:

أ).أ +ب ، ب ، ج.

ب).أ +https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif "width =" 15 "height =" 19 "> -عدد التعسفي

ج).أ +ب ، أ + ج ، ب + ج.

11. يترك أ،ب،جهي ثلاثة متجهات في المستوى يمكن استخدامها لتشكيل مثلث. هل ستعتمد هذه النواقل خطيًا؟

12. نظرا اثنين من النواقل أ 1 = (1 ، 2 ، 3 ، 4) ،a2 = (0 ، 0 ، 0 ، 1). التقط اثنين من ناقلات 4D أخرى a3 وa4بحيث النظام a1 ،a2 ،a3 ،a4كانت مستقلة خطيًا .

النواقل وخصائصها وأفعالها معها

النواقل ، الإجراءات مع المتجهات ، الفضاء المتجه الخطي.

المتجهات هي مجموعة مرتبة لعدد محدود من الأرقام الحقيقية.

أجراءات: 1. ضرب متجه برقم: lambda * vector x \ u003d (lamda * x 1، lambda * x 2 ... lambda * x n). (3.4، 0. 7) * 3 \ u003d (9، 12،0.21)

2. إضافة نواقل (تنتمي إلى نفس مساحة المتجه) المتجه x + متجه y \ u003d (x 1 + y 1، x 2 + y 2، ... x n + y n،)

3. المتجه 0 = (0،0… 0) --- n E n - n الأبعاد (الفضاء الخطي) المتجه x + المتجه 0 = المتجه x

نظرية. من أجل نظام من المتجهات n في الفضاء الخطي ذي البعد n ليكون معتمداً خطياً ، من الضروري والكافي أن يكون أحد المتجهات مزيجًا خطيًا من المتجهات الأخرى.

نظرية. أي مجموعة من n + 1st متجه من n-dimensional الفضاء الخطي yavl. تعتمد خطيا.

إضافة المتجهات ، وضرب المتجهات بالأرقام. طرح النواقل.

مجموع المتجهين هو المتجه الموجه من بداية المتجه إلى نهاية المتجه ، بشرط أن تتزامن البداية مع نهاية المتجه. إذا تم إعطاء المتجهات من خلال توسعاتها من حيث متجهات الأساس ، فإن إضافة المتجهات تضيف إحداثيات كل منها.

لنفكر في هذا باستخدام مثال نظام الإحداثيات الديكارتية. يترك

دعونا نظهر ذلك

يوضح الشكل 3 ذلك

يمكن العثور على مجموع أي عدد محدود من المتجهات باستخدام قاعدة المضلع (الشكل 4): لإنشاء مجموع عدد محدود من المتجهات ، يكفي مطابقة بداية كل متجه لاحق مع نهاية المتجه السابق وإنشاء متجه يربط بداية المتجه الأول بنهاية المتجه الأخير.

خصائص عملية إضافة المتجهات:

في هذه التعبيرات م ، ن أعداد.

الفرق بين المتجهين يسمى المتجه ، أما المصطلح الثاني فهو متجه عكس المتجه في الاتجاه ولكنه يساوي طوله.

وبالتالي ، يتم استبدال عملية الطرح المتجه بعملية الجمع

يُطلق على المتجه ، الذي تكون بدايته في أصل الإحداثيات ، والنهاية عند النقطة A (x1 ، y1 ، z1) ، متجه نصف القطر للنقطة A ويُشار إليه أو ببساطة. نظرًا لأن إحداثياتها تتطابق مع إحداثيات النقطة A ، فإن توسعها من حيث المتجهات له الشكل

يمكن كتابة المتجه الذي يبدأ عند النقطة A (x1، y1، z1) وينتهي عند النقطة B (x2، y2، z2) بالشكل

حيث r 2 هو متجه نصف قطر النقطة B ؛ r 1 - متجه نصف قطر النقطة A.

لذلك ، فإن توسيع المتجه من حيث الخواص له الشكل

طوله يساوي المسافة بين النقطتين أ وب

عمليه الضرب

لذلك في حالة وجود مشكلة مسطحة ، يتم العثور على منتج المتجه بواسطة a = (ax ؛ ay) والرقم b بواسطة الصيغة

أ ب = (فأس ب ؛ ع ب)

مثال 1. أوجد حاصل ضرب المتجه a = (1 ؛ 2) في 3.

3 أ = (3 1 ؛ 3 2) = (3 ؛ 6)

لذلك في حالة وجود مشكلة مكانية ، يتم العثور على منتج المتجه a = (ax ؛ ay ؛ az) والرقم ب بواسطة الصيغة

أ ب = (فأس ب ؛ ay ب ؛ az ب)

مثال 1. أوجد حاصل ضرب المتجه أ = (1 ؛ 2 ؛ -5) في 2.

2 أ = (2 1 ؛ 2 2 ؛ 2 (-5)) = (2 ؛ 4 ؛ -10)

حاصل الضرب النقطي للناقلات و أين هي الزاوية بين المتجهات و ؛ إذا كان كذلك ، إذن

من تعريف المنتج العددي ، يتبع ذلك

حيث ، على سبيل المثال ، قيمة إسقاط المتجه على اتجاه المتجه.

مربع عددي لمتجه:

خصائص المنتج النقطي:

حاصل الضرب النقطي في الإحداثيات

لو الذي - التي

الزاوية بين النواقل

الزاوية بين المتجهات - الزاوية بين اتجاهات هذه المتجهات (أصغر زاوية).

منتج المتجه (المنتج المتجه لمتجهين.) -هو ناقل كاذب عمودي على المستوى مبني بواسطة عاملين ، والذي هو نتيجة العملية الثنائية "الضرب المتجه" على المتجهات في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد. المنتج ليس تبادليًا ولا ترابطيًا (إنه مضاد للتبديل) ويختلف عن المنتج النقطي للمتجهات. في العديد من المشاكل الهندسية والفيزيائية ، من الضروري أن تكون قادرًا على بناء ناقل عمودي على اثنين من المتجهات الحالية - منتج المتجه يوفر هذه الفرصة. يكون حاصل الضرب الاتجاهي مفيدًا في "قياس" عمودية المتجهات - طول الضرب العرضي لمتجهين يساوي حاصل ضرب أطوالهما إذا كانا متعامدين ، وينخفض ​​إلى الصفر إذا كانت المتجهات متوازية أو مضادة متوازية.

يتم تعريف منتج المتجه فقط في فضاءات ثلاثية الأبعاد وسبعة أبعاد. تعتمد نتيجة منتج المتجه ، مثل المنتج القياسي ، على قياس المساحة الإقليدية.

على عكس صيغة حساب الناتج القياسي من إحداثيات المتجهات في نظام إحداثيات مستطيل ثلاثي الأبعاد ، تعتمد صيغة منتج المتجه على اتجاه نظام إحداثيات المستطيل ، أو بعبارة أخرى ، "شراليته"

العلاقة الخطية المتداخلة من النواقل.

يتم استدعاء متجهين غير صفريين (لا يساويان 0) خطي خطي إذا كانا يقعان على خطوط متوازية أو على نفس الخط. المرادف مقبول ، لكن لا يوصى به - ناقلات "موازية". يمكن توجيه النواقل الخطية في نفس الاتجاه ("التوجيه المشترك") أو توجيهها بشكل معاكس (في الحالة الأخيرة يطلق عليها أحيانًا "anticollinear" أو "antiparallel").

منتج مختلط من النواقل ( أ ، ب ، ج)- حاصل الضرب القياسي للمتجه أ والمنتج المتجه للمتجهين ب وج:

(أ ، ب ، ج) = أ ⋅ (ب × ج)

في بعض الأحيان يطلق عليه المنتج القياسي الثلاثي للناقلات ، على ما يبدو بسبب حقيقة أن النتيجة هي عددية (بتعبير أدق ، مقياس كاذب).

المعنى الهندسي: معامل المنتج المخلوط عددياً يساوي الحجممربع شكلته النواقل (أ ، ب ، ج) .

ملكيات

يكون المنتج المختلط متماثلاً فيما يتعلق بجميع حججه: أي ، ه.تغيير أي عاملين يغير علامة المنتج. ويترتب على ذلك أن المنتج المختلط في نظام الإحداثيات الديكارتية الصحيح (في أساس متعامد) يساوي محدد المصفوفة المكونة من المتجهات و:

المنتج المختلط في نظام الإحداثيات الديكارتية الأيسر (في أساس متعامد) يساوي محدد مصفوفة مكونة من متجهات ويؤخذ بعلامة ناقص:

بخاصة،

إذا كان أي متجهين متوازيين ، فمع أي متجه ثالث يشكلان منتجًا مختلطًا يساوي صفرًا.

إذا كانت ثلاثة نواقل تعتمد خطيًا (على سبيل المثال ، متحد المستوى ، تقع في نفس المستوى) ، فإن منتجها المختلط هو صفر.

المعنى الهندسي - منتج مختلط بواسطة قيمه مطلقهيساوي حجم خط الموازي (انظر الشكل) الذي تشكله المتجهات و ؛ تعتمد العلامة على ما إذا كان هذا النواقل الثلاثية يمينًا أم يسارًا.

توافق النواقل.

ثلاثة نواقل (أو أكثر) تسمى متحد المستوى إذا تم اختزالها إلى أصل مشترك ، وتقع في نفس المستوى

خصائص التوافق

إذا كان أحد النواقل الثلاثة على الأقل صفرًا ، فإن المتجهات الثلاثة تعتبر أيضًا متحد المستوى.

ثلاثة نواقل تحتوي على زوج ناقلات خطية، متحد المستوى.

منتج مختلط من نواقل متحد المستوى. هذا هو معيار التوحيد لثلاثة نواقل.

نواقل متحد المستوى تعتمد خطيا. هذا أيضًا معيار لاشتراكية.

في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، تشكل 3 نواقل غير متحد المستوى أساسًا

نواقل معتمدة خطيا ومستقلة خطيا.

أنظمة النواقل المعتمدة والمستقلة خطيًا.تعريف. يسمى نظام النواقل تعتمد خطيا، إذا كان هناك تركيبة خطية واحدة غير تافهة على الأقل من هذه المتجهات تساوي المتجه الصفري. خلاف ذلك ، أي إذا كانت تركيبة خطية تافهة من نواقل معينة تساوي المتجه الصفري ، يتم استدعاء المتجهات مستقل خطيا.

نظرية (معيار الاعتماد الخطي). لكي يكون نظام المتجهات في الفضاء الخطي معتمدًا خطيًا ، من الضروري والكافي أن يكون أحد هذه المتجهات على الأقل مزيجًا خطيًا من المتجهات الأخرى.

1) إذا كان هناك متجه صفري واحد على الأقل بين المتجهات ، فإن نظام المتجهات بأكمله يعتمد خطيًا.

في الواقع ، إذا ، على سبيل المثال ، إذن ، بافتراض أن لدينا تركيبة خطية غير بديهية. ▲

2) إذا كانت بعض النواقل تشكل نظامًا معتمدًا خطيًا ، فإن النظام بأكمله يعتمد خطيًا.

في الواقع ، دع المتجهات تعتمد خطيًا. ومن ثم ، يوجد تركيبة خطية غير تافهة تساوي المتجه الصفري. ولكن بعد ذلك ، على افتراض ، نحصل أيضًا على تركيبة خطية غير تافهة تساوي المتجه الصفري.

2. الأساس والأبعاد. تعريف. نظام النواقل المستقلة خطيًا يسمى الفضاء المتجه أساسهذا الفضاء ، إذا كان أي متجه من يمكن تمثيله كمجموعة خطية من نواقل هذا النظام ، أي لكل متجه هناك أرقام حقيقية مثل هذه المساواة ، هذه المساواة تسمى ناقلات التحللحسب الأساس والأرقام مُسَمًّى إحداثيات المتجهات بالنسبة إلى الأساس(أو في الأساس) .

النظرية (على تفرد التوسع من حيث الأساس). يمكن توسيع كل متجه فضائي من حيث الأساس بطريقة فريدة ، أي إحداثيات كل متجه في الأساس يتم تعريفها بشكل لا لبس فيه.