كيفية حل الانقسامات مع الباقي. كيف تقسم في عمود؟ كيف تشرح تقسيم العمود لطفل؟ اقسم على رقم واحد مكون من رقمين وثلاثة أرقام ، قسمة مع الباقي

ماذا يفعل الصف الثالث في الرياضيات؟ القسمة مع الباقي والأمثلة والمهام - هذا ما تمت دراسته في الدروس. عند القسمة مع الباقي والخوارزمية لمثل هذه الحسابات سيتم مناقشتهافي المقالة.

الخصائص

ضع في اعتبارك الموضوعات المدرجة في البرنامج الذي يدرسه الصف الثالث. القسمة مع الباقي قسم خاص من الرياضيات. عن ماذا يدور الموضوع؟ إذا لم يكن المقسوم قابلاً للقسمة بالتساوي على المقسوم عليه ، فسيظل الباقي. على سبيل المثال ، نقسم 21 على 6. اتضح أن 3 ، لكن الباقي يبقى 3.

في الحالات التي يكون فيها الباقي أثناء قسمة الأعداد الطبيعية مساويًا للصفر ، يقولون إن القسمة تم إجراؤها بواسطة عدد صحيح. على سبيل المثال ، إذا تم قسمة 25 على 5 ، فإن النتيجة هي 5. والباقي هو صفر.

حل الأمثلة

من أجل إجراء القسمة مع الباقي ، يتم استخدام رمز محدد.

دعنا نعطي أمثلة في الرياضيات (الصف 3). يمكن ترك القسمة مع الباقي. يكفي أن تكتب في سطر: 13: 4 = 3 (الباقي 1) أو 17: 5 = 3 (الباقي 2).

دعونا نحلل كل شيء بمزيد من التفصيل. على سبيل المثال ، عند قسمة 17 على ثلاثة ، نحصل على العدد الصحيح خمسة ، بالإضافة إلى أن الباقي هو اثنان. ما هو الإجراء لحل مثل هذا المثال للقسمة مع الباقي؟ عليك أولًا إيجاد العدد الأقصى حتى 17 ، والذي يمكن قسمة العدد على ثلاثة بدون باقي. سيكون أكبر 15.

بعد ذلك ، 15 مقسومًا على الرقم ثلاثة ، ستكون نتيجة الإجراء هو الرقم خمسة. نطرح الآن الرقم الذي وجدناه من القسمة ، أي طرح 15 من 17 ، فنحصل على اثنين. الإجراء الإلزامي هو التوفيق بين القاسم والباقي. بعد التحقق ، يتم تسجيل الاستجابة للإجراء المتخذ بالضرورة. 17: 3 = 15 (الباقي 2).

إذا كان الباقي أكبر من المقسوم عليه ، فإن الإجراء لم يتم تنفيذه بشكل صحيح. وفقًا لهذه الخوارزمية ، يتم تنفيذ تقسيم الفئة 3 مع الباقي. يتم تحليل الأمثلة أولاً بواسطة المعلم على السبورة ، ثم تتم دعوة الأطفال لاختبار معرفتهم من خلال إجراء عمل مستقل.

مثال الضرب

واحدة من أصعب الموضوعات التي يواجهها الصف الثالث هي القسمة مع الباقي. يمكن أن تكون الأمثلة معقدة ، خاصةً عندما تكون حسابات العمود الإضافية مطلوبة.

لنفترض أنك بحاجة إلى قسمة الرقم 190 على 27 للحصول على الباقي الأدنى. دعنا نحاول حل المسألة باستخدام الضرب.

نختار رقمًا ، عند ضربه ، سيعطي رقمًا أقرب ما يمكن إلى الرقم 190. إذا ضربنا 27 في 6 ، نحصل على الرقم 162. اطرح الرقم 162 من 190 ، فسيكون الباقي 28. خارج ليكون أكثر من المقسوم عليه الأصلي. لذلك ، الرقم ستة غير مناسب لمثالنا كمضاعف. دعنا نكمل حل المثال ، مع الأخذ بالرقم 7 من أجل الضرب.

بضرب 27 في 7 ، نحصل على حاصل الضرب 189. بعد ذلك ، سوف نتحقق من صحة الحل ، لذلك نطرح النتيجة التي تم الحصول عليها من 190 ، أي طرح الرقم 189. والباقي سيكون 1 ، ومن الواضح أنه أقل من 27. هذه هي الطريقة التي يتم بها حل التعبيرات المعقدة في المدرسة (الصف 3 ، القسمة مع الباقي). تتضمن الأمثلة دائمًا سجل الاستجابة. يمكن صياغة التعبير الرياضي بأكمله على النحو التالي: 190: 27 = 7 (الباقي 1). يمكن إجراء حسابات مماثلة في عمود.

هذه هي الطريقة التي يؤدي بها تقسيم الفئة 3 مع الباقي. ستساعد الأمثلة المذكورة أعلاه على فهم الخوارزمية لحل مثل هذه المشكلات.

استنتاج

من أجل الطلاب مدرسة إبتدائيةتم تكوين المهارات الحسابية الصحيحة ، يلتزم المعلم ، أثناء دروس الرياضيات ، بالاهتمام بشرح خوارزمية تصرفات الطفل عند حل مهام القسمة مع الباقي.

وفقًا للمعايير التعليمية الفيدرالية الجديدة للولاية ، يتم إيلاء اهتمام خاص للنهج الفردي للتعلم. يجب على المعلم تحديد المهام لكل طفل ، مع مراعاة قدراته الفردية. في كل مرحلة من مراحل تدريس قواعد التقسيم مع الباقي ، يجب على المعلم تنفيذ رقابة وسيطة. يسمح له بتحديد المشاكل الرئيسية التي تنشأ مع استيعاب المواد لكل طالب ، والمعرفة والمهارات الصحيحة في الوقت المناسب ، والقضاء على المشاكل الناشئة ، والحصول على النتيجة المرجوة.

في هذه المقالة سوف نحلل قسمة عدد صحيح مع الباقي. دعنا نبدء ب المبدأ العامبتقسيم الأعداد الصحيحة مع الباقي ، نقوم بصياغة وإثبات نظرية حول قابلية الأعداد الصحيحة للقسمة مع الباقي ، وتتبع الروابط بين المقسوم والمقسوم عليه والحاصل غير المكتمل والباقي. بعد ذلك ، سنعلن عن القواعد التي يتم من خلالها تقسيم الأعداد الصحيحة مع الباقي ، وننظر في تطبيق هذه القواعد عند حل الأمثلة. بعد ذلك ، سوف نتعلم كيفية التحقق من نتيجة قسمة الأعداد الصحيحة مع الباقي.

التنقل في الصفحة.

فكرة عامة عن قسمة الأعداد الصحيحة مع الباقي

سننظر في قسمة الأعداد الصحيحة مع الباقي على أنه تعميم للقسمة مع باقي الأعداد الطبيعية. هذا لأن الأعداد الطبيعية هي جزء لا يتجزأالأعداد الكلية.

لنبدأ بالمصطلحات والترميز المستخدمة في الوصف.

قياسا على القسمة الأعداد الطبيعيةمع الباقي ، نفترض أن نتيجة القسمة مع باقي عددين صحيحين أ وب (ب لا تساوي صفرًا) هي عددين صحيحين ج ود. يتم استدعاء الأرقام أ و ب قابل للقسمةو مقسمعلى التوالي ، الرقم د هو بقيةمن قسمة a على b ، ويسمى العدد الصحيح c خاص غير مكتمل(أو ببساطة خاصإذا كان الباقي صفراً).

دعنا نتفق على أن الباقي هو عدد صحيح غير سالب ، وقيمته لا تتجاوز b ، أي (التقينا بسلاسل متباينة متشابهة عندما تحدثنا عن مقارنة ثلاثة أعداد صحيحة أو أكثر).

إذا كان الرقم ج هو حاصل قسمة جزئي ، والرقم د هو باقي قسمة عدد صحيح أ على عدد صحيح ب ، فسنكتب هذه الحقيقة بإيجاز كمساواة في الشكل أ: ب = ج (تبقى د).

لاحظ أنه عند قسمة عدد صحيح أ على عدد صحيح ب ، يمكن أن يكون الباقي صفرًا. في هذه الحالة ، نقول إن a يقبل القسمة على b دون أن يترك أثرا(أو تماما). وبالتالي ، فإن قسمة الأعداد الصحيحة بدون باقي هي حالة خاصة لتقسيم الأعداد الصحيحة مع الباقي.

تجدر الإشارة أيضًا إلى أنه عند قسمة الصفر على عدد صحيح ، فإننا نتعامل دائمًا مع القسمة بدون باقي ، لأنه في هذه الحالة سيكون حاصل القسمة مساويًا للصفر (انظر القسم الخاص بنظرية قسمة الصفر على عدد صحيح) ، و الباقي سيساوي صفرًا أيضًا.

لقد قررنا المصطلحات والترميز ، فلنكتشف الآن معنى قسمة الأعداد الصحيحة على الباقي.

قسمة عدد صحيح سالب على عدد صحيح موجب ب يمكن أن يكون منطقيًا أيضًا. للقيام بذلك ، اعتبر عددًا صحيحًا سالبًا كدين. دعونا نتخيل مثل هذا الموقف. يجب أن يتم سداد الدين الذي يتكون من العناصر من قبل b شخص ، مع تقديم نفس المساهمة. قيمه مطلقهسيحدد حاصل القسمة غير المكتمل c في هذه الحالة مقدار ديون كل من هؤلاء الأشخاص ، وسيُظهر الباقي عدد العناصر المتبقية بعد سداد الدين. لنأخذ مثالا. لنفترض أن شخصين مدينان بسبعة تفاحات. إذا افترضنا أن كل واحد منهم مدين بـ 4 تفاحات ، فبعد سداد الدين سيتبقى له تفاحة واحدة. هذا الموقف يتوافق مع المساواة (−7): 2 = −4 (المتبقي 1).

القسمة مع باقي عدد صحيح تعسفي a على عدد صحيح سالب ، لن نعلق أي معنى ، لكننا سنتركه الحق في الوجود.

نظرية القسمة للأعداد الصحيحة مع الباقي

عندما تحدثنا عن قسمة الأعداد الطبيعية على الباقي ، وجدنا أن المقسوم أ والمقسوم عليه ب والحاصل الجزئي ج والباقي د مرتبطان بالمساواة أ = ب ج + د. تشترك الأعداد الصحيحة a و b و c و d في نفس العلاقة. تم تأكيد هذا الاتصال من خلال ما يلي نظرية القسمة مع الباقي.

نظرية.

يمكن تمثيل أي عدد صحيح أ بطريقة فريدة من خلال عدد صحيح ورقم غير صفري ب في الصورة أ = ب q + ص ، حيث q و r بعض الأعداد الصحيحة ، و.

دليل - إثبات.

دعونا أولاً نثبت إمكانية تمثيل a = b · q + r.

إذا كانت الأعداد الصحيحة a و b قابلة للقسمة بالتساوي على b ، فإنه بحكم التعريف يوجد عدد صحيح q بحيث يكون a = b q. في هذه الحالة ، فإن المساواة a = b q + r تنطبق على r = 0.

الآن سنفترض أن b عدد صحيح موجب. نختار عددًا صحيحًا q بحيث لا يتجاوز المنتج b · q الرقم a ، والمنتج b · (q + 1) أكبر بالفعل من a. أي نأخذ q بحيث تكون المتباينات ب q

يبقى إثبات إمكانية تمثيل a = b q + r لسالب b.

نظرًا لأن معامل الرقم ب في هذه الحالة هو رقم موجب ، فهناك تمثيل لـ ، حيث q 1 عدد صحيح ، و r عدد صحيح يلبي الشروط. بعد ذلك ، بافتراض q = −q 1 ، نحصل على التمثيل المطلوب a = b q + r للسالب b.

ننتقل إلى إثبات التفرد.

افترض أنه بالإضافة إلى التمثيل a = b q + r ، فإن q و r أعداد صحيحة ، وهناك تمثيل آخر a = b q 1 + r 1 ، حيث q 1 و r 1 بعض الأعداد الصحيحة ، و q 1 ≠ q و.

بعد الطرح من الجزأين الأيسر والأيمن للمساواة الأولى ، على التوالي ، الأجزاء اليمنى واليسرى من المساواة الثانية ، نحصل على 0 = ب (q − q 1) + r − r 1 ، وهو ما يعادل المساواة r− ص 1 = ب (ف 1 - ف). ثم المساواة في الشكل ، وبسبب خصائص معامل العدد - والمساواة .

من الشروط ويمكننا أن نستنتج ذلك. نظرًا لأن q و q 1 عددان صحيحان و q ≠ q 1 ، فمن أين نستنتج ذلك . من عدم المساواة التي تم الحصول عليها و ويترتب على ذلك المساواة في الشكل مستحيل في ظل افتراضنا. لذلك ، لا يوجد تمثيل آخر للرقم a ، باستثناء a = b · q + r.

العلاقات بين المقسوم والمقسوم عليه وحاصل القسمة الجزئي والباقي

تسمح لك المساواة أ = ب ج + د بإيجاد عائد غير معروف أ إذا كان القاسم ب ، والحاصل الجزئي ج والباقي د معروفين. تأمل في مثال.

مثال.

ما هو العائد إذا نتج عن القسمة على العدد الصحيح 21 حاصل قسمة غير كامل من 5 والباقي 12؟

المحلول.

نحتاج إلى حساب المقسوم أ عندما نعرف المقسوم عليه ب = −21 ، والحاصل الجزئي ج = 5 والباقي د = 12. بالانتقال إلى المساواة أ = ب ج + د ، نحصل على أ = (- 21) 5 + 12. ملاحظة ، نقوم أولاً بضرب الأعداد الصحيحة 21 و 5 وفقًا لقاعدة ضرب الأعداد الصحيحة بعلامات مختلفة ، وبعد ذلك نقوم بإضافة أعداد صحيحة بعلامات مختلفة: (−21) 5 + 12 = −105 + 12 = −93.

إجابه:

−93 .

يتم التعبير عن العلاقات بين المقسوم والمقسوم عليه وحاصل القسمة الجزئي والباقي أيضًا من خلال المساواة في الشكل b = (a − d): c، c = (a − d): b and d = a − b · c. تسمح لنا هذه المعادلات بحساب المقسوم عليه ، وحاصل القسمة الجزئي ، والباقي على التوالي. نحتاج غالبًا إلى إيجاد باقي قسمة عدد صحيح أ على عدد صحيح ب عند معرفة المقسوم والمقسوم عليه وحاصل القسمة الجزئي باستخدام الصيغة د = أ − ب ج. لتجنب المزيد من الأسئلة ، سنقوم بتحليل مثال لحساب الباقي.

مثال.

أوجد باقي قسمة العدد الصحيح 19 على العدد الصحيح 3 إذا كان حاصل القسمة الجزئي معروفًا أنه −7.

المحلول.

لحساب باقي القسمة ، نستخدم صيغة بالصيغة d = a − b · c. من الحالة لدينا جميع البيانات اللازمة أ = −19 ، ب = 3 ، ج = −7. نحصل على d = a − b c = −19−3 (−7) = −19 - (- 21) = - 19 + 21 = 2 (الفرق −19 - (- 21) حسبنا بقاعدة طرح سالب عدد صحيح).

إجابه:

القسمة مع باقي الأعداد الصحيحة الموجبة والأمثلة

كما لاحظنا بالفعل أكثر من مرة ، فإن الأعداد الصحيحة الموجبة هي أعداد طبيعية. لذلك ، يتم إجراء القسمة على باقي الأعداد الصحيحة الموجبة وفقًا لجميع قواعد القسمة مع باقي الأعداد الطبيعية. من المهم جدًا أن تكون قادرًا على إجراء القسمة بسهولة مع باقي الأعداد الطبيعية ، حيث أن هذا هو الأساس الذي يقوم عليه تقسيم ليس فقط الأعداد الصحيحة الموجبة ، ولكن أيضًا أساس جميع قواعد القسمة مع باقي الأعداد الصحيحة التعسفية.

من وجهة نظرنا ، من الأنسب إجراء القسمة على عمود ، تتيح لك هذه الطريقة الحصول على كل من حاصل القسمة غير الكامل (أو مجرد حاصل القسمة) والباقي. ضع في اعتبارك مثالاً على القسمة مع باقي الأعداد الصحيحة الموجبة.

مثال.

نفذ قسمة مع باقي 14671 على 54.

المحلول.

لنقم بقسمة هذه الأعداد الصحيحة الموجبة على عمود:

تبين أن الحاصل غير المكتمل هو 271 ، والباقي هو 37.

إجابه:

14671: 54 = 271 (الباقي 37).

قاعدة القسمة مع باقي عدد صحيح موجب على عدد صحيح سالب ، أمثلة

دعنا نصيغ قاعدة تسمح لك بإجراء قسمة على باقي عدد صحيح موجب على عدد صحيح سالب.

حاصل القسمة الجزئي لقسمة عدد صحيح موجب a على عدد صحيح سالب b هو عكس حاصل القسمة الجزئي لقسمة a على معامل b ، والباقي من قسمة a على b هو باقي القسمة على.

ويترتب على هذه القاعدة أن حاصل القسمة غير المكتمل لقسمة عدد صحيح موجب على عدد صحيح سالب هو عدد صحيح غير موجب.

دعنا نعيد تشكيل القاعدة الصوتية في خوارزمية للقسمة على باقي عدد صحيح موجب على عدد صحيح سالب:

• نقسم معامل المقسوم على معامل المقسوم عليه ، نحصل على حاصل القسمة غير الكامل والباقي. (إذا تبين في هذه الحالة أن الباقي يساوي صفرًا ، فسيتم تقسيم الأرقام الأصلية بدون باقي ، ووفقًا لقاعدة قسمة الأعداد الصحيحة بعلامات معاكسة ، فإن حاصل القسمة المطلوب يساوي الرقم المقابل للحاصل من تقسيم الوحدات.)
• نكتب الرقم المقابل لحاصل القسمة غير المكتمل المستلم ، والباقي. هذه الأرقام هي ، على التوالي ، حاصل القسمة المطلوب والباقي من قسمة العدد الصحيح الموجب الأصلي على عدد صحيح سالب.

دعونا نعطي مثالاً على استخدام الخوارزمية لقسمة عدد صحيح موجب على عدد صحيح سالب.

مثال.

اقسم على باقي عدد صحيح موجب 17 على عدد صحيح سالب −5.

المحلول.

دعنا نستخدم خوارزمية القسمة مع باقي عدد صحيح موجب على عدد صحيح سالب.

الفاصل

العدد المقابل لـ 3 هو −3. وبالتالي ، فإن حاصل القسمة الجزئي المطلوب لقسمة 17 على −5 هو −3 والباقي هو 2.

إجابه:

17: (- 5) = - 3 (الراحة 2).

مثال.

يقسم 45 في -15.

المحلول.

وحدات المقسوم والمقسوم عليه هي 45 و 15 على التوالي. العدد 45 يقبل القسمة على 15 بدون باقي ، بينما حاصل القسمة 3. لذلك ، العدد الصحيح الموجب 45 يقبل القسمة على العدد الصحيح السالب 15 بدون باقي ، بينما حاصل القسمة يساوي الرقم المقابل لـ 3 ، أي −3. في الواقع ، وفقًا لقاعدة قسمة الأعداد الصحيحة ذات العلامات المختلفة ، لدينا.

إجابه:

45:(−15)=−3 .

القسمة مع باقي عدد صحيح سالب على عدد صحيح موجب ، أمثلة

دعونا نصيغ قاعدة القسمة مع باقي عدد صحيح سالب بعدد صحيح موجب.

للحصول على حاصل قسمة غير مكتمل c من قسمة عدد صحيح سالب أ على عدد صحيح موجب ب ، تحتاج إلى أخذ الرقم المقابل للحاصل غير المكتمل من قسمة الوحدات النمطية للأرقام الأصلية وطرح واحدًا منه ، وبعد ذلك يتم حساب الباقي د باستخدام الصيغة د = أ − ب ج.

من قاعدة القسمة هذه مع الباقي ، يترتب على ذلك أن حاصل القسمة غير المكتمل لقسمة عدد صحيح سالب على عدد صحيح موجب هو عدد صحيح سالب.

من القاعدة التي تم التعبير عنها تتبع خوارزمية القسمة مع باقي العدد الصحيح السالب أ بعدد صحيح موجب ب:

• نجد وحدات المقسوم والمقسوم عليه.
• نقسم معامل المقسوم على معامل المقسوم عليه ، نحصل على حاصل القسمة غير الكامل والباقي. (إذا كان الباقي صفرًا ، فإن الأعداد الصحيحة الأصلية قابلة للقسمة بدون باقي ، ويكون حاصل القسمة المطلوب مساويًا للرقم المقابل لحاصل القسمة من قسمة الوحدات.)
• نكتب الرقم المقابل لحاصل القسمة غير المكتمل المستلم ونطرح الرقم 1 منه. الرقم المحسوب هو حاصل القسمة الجزئي المطلوب c من قسمة العدد الصحيح السالب الأصلي على عدد صحيح موجب.

دعنا نحلل حل المثال الذي نستخدم فيه خوارزمية القسمة المكتوبة مع الباقي.

مثال.

أوجد حاصل القسمة الجزئي وباقي العدد الصحيح السالب 17 مقسومًا على العدد الصحيح الموجب 5.

المحلول.

مقياس المقسوم 17 هو 17 ، ومقياس المقسوم عليه 5 هو 5.

الفاصل 17 في 5 ، نحصل على حاصل غير مكتمل 3 والباقي 2.

عكس 3 هو −3. اطرح واحدًا من −3: −3−1 = −4. لذا ، فإن حاصل القسمة غير المكتمل المطلوب هو −4.

يبقى لحساب الباقي. في مثالنا أ = −17 ، ب = 5 ، ج = −4 ، ثم د = أ − ب ج = 17−5 (−4) = −17 - (- 20) = - 17 + 20 = 3.

وبالتالي ، فإن حاصل القسمة الجزئي للعدد الصحيح السالب 17 مقسومًا على عدد صحيح موجب 5 هو −4 والباقي هو 3.

إجابه:

(17): 5 = −4 (بقية 3).

مثال.

اقسم العدد الصحيح السالب −1 404 على العدد الصحيح الموجب 26.

المحلول.

معامل المقسوم هو 1404 ، معامل المقسوم عليه هو 26.

قسّم 1404 على 26 في عمود:

نظرًا لأن مقياس المقسوم قد تم قسومه على معامل المقسوم عليه بدون باقي ، يتم تقسيم الأعداد الصحيحة الأصلية بدون باقي ، والحاصل المطلوب يساوي الرقم المقابل لـ 54 ، أي −54.

إجابه:

(−1 404):26=−54 .

حكم القسمة مع باقي الأعداد الصحيحة السالبة ، أمثلة

دعونا نصيغ قاعدة القسمة مع باقي الأعداد الصحيحة السالبة.

للحصول على حاصل قسمة غير مكتمل c من قسمة عدد صحيح سالب a على عدد صحيح سالب b ، تحتاج إلى حساب حاصل القسمة غير المكتمل من قسمة الوحدات النمطية للأرقام الأصلية وإضافة واحد إليها ، وبعد ذلك ، احسب الباقي d باستخدام الصيغة d = أ − ب ج.

من هذه القاعدة يترتب على ذلك أن حاصل القسمة غير المكتمل لقسمة الأعداد الصحيحة السالبة هو عدد صحيح موجب.

دعونا نعيد كتابة القاعدة الصوتية في شكل خوارزمية لقسمة الأعداد الصحيحة السالبة:

• نجد وحدات المقسوم والمقسوم عليه.
• نقسم معامل المقسوم على معامل المقسوم عليه ، نحصل على حاصل القسمة غير الكامل والباقي. (إذا كان الباقي صفراً ، فإن الأعداد الصحيحة الأصلية قابلة للقسمة بدون باقي ، والحاصل المطلوب يساوي حاصل قسمة معامل القسمة على معامل المقسوم عليه.)
• نضيف واحدًا إلى حاصل القسمة غير المكتمل الناتج ، وهذا الرقم هو حاصل القسمة غير المكتمل المطلوب من قسمة الأعداد الصحيحة السلبية الأصلية.
• احسب الباقي باستخدام الصيغة د = أ − ب ج.

ضع في اعتبارك تطبيق الخوارزمية لقسمة الأعداد الصحيحة السالبة عند حل مثال.

مثال.

أوجد حاصل القسمة الجزئي وباقي العدد الصحيح السالب 17 مقسومًا على العدد الصحيح السالب −5.

المحلول.

نستخدم خوارزمية القسمة المناسبة مع الباقي.

معامل المقسوم هو 17 ، مقياس المقسوم عليه هو 5.

قسم 17 ضرب 5 يعطي حاصل القسمة غير المكتمل 3 والباقي 2.

نضيف واحدًا إلى حاصل القسمة غير المكتمل 3: 3 + 1 = 4. لذلك ، فإن حاصل القسمة غير المكتمل المطلوب لقسمة 17 على −5 هو 4.

يبقى لحساب الباقي. في هذا المثال أ = −17 ، ب = 5 ، ج = 4 ، ثم د = أ − ب ج = −17 - (- 5) 4 = −17 - (- 20) = - 17 + 20 = 3.

إذن ، حاصل القسمة الجزئي للعدد الصحيح السالب 17 مقسومًا على عدد صحيح سالب −5 هو 4 ، والباقي هو 3.

إجابه:

(17): (- 5) = 4 (الراحة 3).

التحقق من نتيجة قسمة الأعداد الصحيحة مع الباقي

بعد إجراء قسمة الأعداد الصحيحة مع الباقي ، من المفيد التحقق من النتيجة. يتم التحقق على مرحلتين. في المرحلة الأولى ، يتم التحقق مما إذا كان الباقي d رقمًا غير سالب ، وكذلك التحقق من الشرط. إذا تم استيفاء جميع شروط المرحلة الأولى من التحقق ، فيمكنك المتابعة إلى المرحلة الثانية من التحقق ، وإلا يمكن القول بأن خطأ ما حدث في مكان ما عند القسمة على الباقي. في المرحلة الثانية ، يتم التحقق من صحة المساواة a = b · c + d. إذا كانت هذه المساواة صحيحة ، فقد تم تنفيذ القسمة مع الباقي بشكل صحيح ، وإلا حدث خطأ في مكان ما.

لنفكر في حلول الأمثلة التي يتم فيها التحقق من نتيجة قسمة الأعداد الصحيحة مع الباقي.

مثال.

عند قسمة الرقم -521 على -12 ، كان حاصل القسمة الجزئي 44 والباقي 7 ، تحقق من النتيجة.

المحلول. −2 لـ b = −3 ، c = 7 ، d = 1. نملك ب ج + د = 3 7 + 1 = −21 + 1 = −20. وبالتالي ، فإن المساواة أ = ب ج + د غير صحيحة (في مثالنا أ = −19).

لذلك ، تم إجراء القسمة مع الباقي بشكل غير صحيح.

كيف تعلم الطفل أن يقسم؟ أبسط طريقة هي تعلم القسمة على العمود. هذا أسهل بكثير من القيام بالحسابات الذهنية ، فهو يساعد على عدم الخلط وعدم "فقدان" الأرقام وتطوير مخطط ذهني سيعمل تلقائيًا في المستقبل.

في تواصل مع

كيف يتم تنفيذها

القسمة مع الباقي هي طريقة لا يمكن فيها تقسيم الرقم إلى عدة أجزاء بالضبط. نتيجة لهذه العملية الحسابية ، بالإضافة إلى الجزء الكامل ، تبقى قطعة غير قابلة للتجزئة.

لنأخذ مثال بسيطكيف تقسم بالباقي:

يوجد علبة 5 لترات من الماء و 2 عبوة سعة 2 لتر. عندما يتم سكب الماء من جرة سعة خمسة لترات في وعاء سعته 2 لتر ، سيبقى لتر واحد من الماء غير المستخدم في الجرة سعة خمسة لترات. هذا هو الباقي. رقميًا يبدو كالتالي:

5: 2 = 2 راحة (1). من أين 1 من؟ 2 × 2 = 4 ، 5-4 = 1.

الآن ضع في اعتبارك ترتيب القسمة في عمود مع الباقي. هذا يسهل عملية الحساب بصريًا ويساعد على عدم فقد الأرقام.

تحدد الخوارزمية موقع جميع العناصر وتسلسل الإجراءات التي يتم من خلالها تنفيذ الحساب. كمثال ، دعنا نقسم 17 على 5.

الخطوات الرئيسية:

1. الإدخال الصحيح. قابل للقسمة (17) - يقع على الجانب الأيسر. اكتب المقسوم عليه (5) إلى يمين المقسوم. يتم رسم خط عمودي بينهما (يشير إلى علامة التقسيم) ، ومن ثم ، من هذا الخط ، يتم رسم خط أفقي ، مع التأكيد على المقسوم عليه. الميزات الرئيسية موضحة باللون البرتقالي.
2. البحث عن الكل. بعد ذلك ، يتم إجراء الحساب الأول والأبسط - كم عدد القواسم التي تناسب المقسوم. دعنا نستخدم جدول الضرب ونتحقق بالترتيب: 5 * 1 = 5 - يناسب ، 5 * 2 = 10 - يناسب ، 5 * 3 = 15 - يناسب ، 5 * 4 = 20 - غير مناسب. خمسة في أربعة أكثر من سبعة عشر ، مما يعني أن الخمسة الرابعة غير مناسبة. العودة إلى ثلاثة. جرة سعة 17 لترًا تتسع لثلاثة برطمانات سعة خمسة لترات. نكتب النتيجة بالشكل التالي: 3 نكتب تحت السطر ، تحت المقسوم عليه. 3 حاصل قسمة غير مكتمل.
3. تعريف الباقي. 3 * 5 = 15. 15 مكتوب تحت المقسوم. نرسم خطًا (يشير إلى العلامة "="). اطرح الرقم الناتج من المقسوم: 17-15 = 2. نكتب النتيجة أدناه تحت السطر - في عمود (ومن هنا جاء اسم الخوارزمية). 2 هو الباقي.

ملحوظة!عند القسمة بهذه الطريقة ، يجب أن يكون الباقي دائمًا أقل من المقسوم عليه.

عندما يكون المقسوم عليه أكبر من المقسوم

هناك حالات يكون فيها القاسم أكبر من المقسوم. لم يتم بعد دراسة الكسور العشرية في برنامج الصف الثالث ، ولكن وفقًا للمنطق ، يجب كتابة الإجابة في شكل كسر - في أحسن الأحوال كسر عشري ، وفي أسوأ الأحوال كسر بسيط. لكن (!) بالإضافة إلى البرنامج طريقة الحساب يحد من المهمة: لازم لا تقسم بل تجد الباقي! البعض منهم ليسوا كذلك! كيف تحل مثل هذه المشكلة؟

ملحوظة!هناك قاعدة للحالات التي يكون فيها القاسم أكبر من المقسوم: حاصل القسمة غير المكتمل هو 0 ، والباقي يساوي المقسوم.

كيف نقسم الرقم 5 على الرقم 6 مع إبراز الباقي؟ كم عدد الجرار سعة 6 لترات التي يمكن وضعها في وعاء سعة 5 لترات؟ لأن 6 أكبر من 5.

وفقًا للمهمة ، من الضروري ملء 5 لترات - لا يتم ملء لتر واحد. إذن ، تبقى الخمسة جميعًا الإجابة: حاصل القسمة غير المكتمل = 0 ، والباقي = 5.

تبدأ الشعبة بالدراسة في الصف الثالث بالمدرسة. بحلول هذا الوقت ، يجب أن يكون الطلاب بالفعل ، مما يسمح لهم بتقسيم الأرقام المكونة من رقمين إلى أرقام مكونة من رقم واحد.

حل المشكلة: يجب توزيع 18 قطعة حلوى على خمسة أطفال. كم عدد الحلوى المتبقية؟

أمثلة:

أوجد حاصل القسمة غير المكتمل: 3 * 1 = 3، 3 * 2 = 6، 3 * 3 = 9، 3 * 4 = 12، 3 * 5 = 15. 5 - تمثال نصفي. نعود إلى 4.

الباقي: 3 * 4 = 12 ، 14-12 = 2.

الجواب: حاصل القسمة غير المكتمل 4 ، 2 يسار.

قد تسأل لماذا ، عند القسمة على 2 ، يكون الباقي إما 1 أو 0. وفقًا لجدول الضرب ، بين الأرقام التي هي مضاعفات الرقمين هناك فرق لكل وحدة.

مهمة أخرى: يجب تقسيم 3 فطائر إلى قسمين.

قسّم 4 فطائر على قطعتين.

قسّم 5 فطائر على قطعتين.

العمل بأرقام متعددة الخانات

يقدم برنامج الصف الرابع عملية تقسيم أكثر تعقيدًا مع زيادة في الأرقام المحسوبة. إذا تم إجراء الحسابات في الصف الثالث على أساس جدول الضرب الأساسي الذي يتراوح من 1 إلى 10 ، فإن طلاب الصف الرابع ينفذون حسابات بأرقام متعددة الأرقام تزيد عن 100.

هذا الإجراء هو الأكثر ملاءمة للتنفيذ في عمود ، نظرًا لأن حاصل القسمة غير المكتمل سيكون أيضًا رقمًا مكونًا من رقمين (في معظم الحالات) ، وتسهل خوارزمية العمود العمليات الحسابية وتجعلها أكثر وضوحًا.

دعونا نقسم أرقام متعددة الأرقام إلى رقمين: 386:25

يختلف هذا المثال عن السابق في عدد مستويات الحساب ، على الرغم من أن الحسابات تتم وفقًا لنفس المبدأ كما كان من قبل. دعونا نلقي نظرة فاحصة:

386 هو المقسوم ، 25 هو القاسم. من الضروري إيجاد حاصل القسمة غير المكتمل واستخراج الباقي.

مستوى اول

القاسم هو رقم مكون من رقمين. المقسوم مكون من ثلاثة أرقام. نختار أول رقمين يسارًا من المقسوم - وهذا يساوي 38. نقارنها بالمقسوم عليه. 38 فوق 25؟ نعم ، لذا يمكن قسمة 38 على 25. كم عدد 25s كاملة في 38؟

25 * 1 = 25 ، 25 * 2 = 50. 50 أكبر من 38 ، ارجع خطوة واحدة.

الجواب - 1. نكتب الوحدة إلى المنطقة ليس خاصا بالكامل.

38-25 = 13. نكتب الرقم 13 تحت الخط.

المستوى الثاني

13 فوق 25؟ لا - هذا يعني أنه يمكنك "خفض" الرقم 6 لأسفل بإضافته إلى جانب 13 ، على اليمين. اتضح 136. هل 136 أكثر من 25؟ نعم ، هذا يعني أنه يمكنك طرحه. كم مرة يتناسب العدد 25 مع العدد 136؟

25 * 1 = 25 ، 25 * 2 = 50 ، 25 * 3 = 75 ، 25 * 4 = 100 ، 25 * 5 = 125 ، 256 * = 150. 150 أكبر من 136 - ارجع خطوة واحدة. نكتب الرقم 5 في منطقة حاصل القسمة غير المكتملة ، على يمين الوحدة.

نحسب الباقي:

136-125 = 11. نكتب تحت الخط. 11 فوق 25؟ لا ، الانقسام غير ممكن. هل للمقسوم ارقام متبقية؟ لا ، ليس هناك المزيد لمشاركته. اكتملت الحسابات.

إجابه:حاصل القسمة غير المكتمل هو 15 والباقي 11.

وإذا تم اقتراح مثل هذه القسمة ، عندما يكون المقسوم على رقمين أكبر من أول رقمين من المقسوم متعدد القيم؟ في هذه الحالة ، يشارك الرقم الثالث (الرابع والخامس واللاحق) في الحسابات على الفور.

وهنا بعض الأمثلةقسمة بأعداد مكونة من ثلاثة وأربعة أرقام:

75 هو رقم مكون من رقمين. 386 - ثلاثة أرقام. قارن أول رقمين على اليسار بالمقسوم عليه. 38 فوق 75؟ لا ، الانقسام غير ممكن. نأخذ كل الأرقام الثلاثة. 386 فوق 75؟ نعم ، الانقسام ممكن. نقوم بالحسابات.

75 * 1 = 75 ، 75 * 2 = 150 ، 75 * 3 = 225 ، 75 * 4 = 300 ، 75 * 5 = 375 ، 75 * 6 = 450. 450 أكبر من 386 - نعود خطوة للوراء. نكتب 5 في منطقة حاصل القسمة غير المكتمل.

من السهل تعليم الطفل القسمة على عمود. من الضروري شرح خوارزمية هذا الإجراء ودمج المواد التي تمت تغطيتها.

• وفقًا للمنهج المدرسي ، يبدأ الأطفال في شرح القسمة حسب العمود الموجود بالفعل في الصف الثالث. الطلاب الذين يفهمون كل شيء "أثناء التنقل" يفهمون هذا الموضوع بسرعة
• ولكن ، إذا مرض الطفل وتغيب عن دروس الرياضيات ، أو لم يفهم الموضوع ، فيجب على الوالدين شرح المادة للطفل بأنفسهم. من الضروري نقل المعلومات إليه بأكبر قدر ممكن من الوضوح.
• يجب على الأمهات والآباء أثناء العملية التعليمية للطفل التحلي بالصبر ، وإظهار اللباقة فيما يتعلق بأطفالهم. لا ينبغي بأي حال من الأحوال أن تصرخ على طفل إذا لم ينجح شيء ما معه ، لأنك بهذه الطريقة يمكنك تثبيطه عن كل الرغبة في الدراسة.

هام: لكي يفهم الطفل قسمة الأعداد ، يجب أن يعرف جدول الضرب تمامًا. إذا كان الطفل لا يعرف الضرب جيدًا ، فلن يفهم القسمة.

أثناء الفصول الإضافية في المنزل ، يمكن استخدام أوراق الغش ، ولكن يجب أن يتعلم الطفل جدول الضرب قبل الانتقال إلى موضوع "القسمة".

فكيف تشرح للطفل تقسيم العمود:

• حاول أن تشرح بأعداد صغيرة أولاً. خذ عصي العد ، على سبيل المثال ، 8 قطع
• اسأل الطفل عن عدد الأزواج الموجودة في هذا الصف من العصي؟ صحيح 4. إذا قسمت 8 على 2 ، تحصل على 4 ، وإذا قسمت 8 على 4 ، تحصل على 2
• دع الطفل يقسم بنفسه رقمًا آخر ، على سبيل المثال ، رقم أكثر تعقيدًا: 24: 4
• عندما يتقن الطفل قسمة الأعداد الأولية ، يمكنك حينئذٍ الانتقال إلى تقسيم الأعداد المكونة من ثلاثة أرقام إلى رقم واحد

تُعطى القسمة دائمًا للأطفال أكثر صعوبة من الضرب. لكن الفصول الإضافية الدؤوبة في المنزل ستساعد الطفل على فهم خوارزمية هذا الإجراء ومواكبة أقرانهم في المدرسة.

ابدأ بسيطًا - قسمة على رقم واحد:

هام: احسب في ذهنك حتى يتضح الانقسام دون باقي ، وإلا فقد يختلط الأمر على الطفل.

على سبيل المثال ، 256 مقسومًا على 4:

• ارسم خطًا رأسيًا على ورقة وقسمه إلى نصفين على الجانب الأيمن. اكتب الرقم الأول على اليسار ، والثاني على اليمين فوق السطر.
• اسأل الطفل عن عدد أربع في اثنين - لا على الإطلاق
• ثم نأخذ 25. للتوضيح ، افصل هذا الرقم من فوق بزاوية. اسأل الطفل مرة أخرى كم عدد أربعة مناسب لخمسة وعشرين عامًا؟ هذا صحيح ، ستة. نكتب الرقم "6" في الركن الأيمن السفلي أسفل السطر. يجب أن يستخدم الطفل جدول الضرب للإجابة الصحيحة.
• اكتب الرقم 24 تحت 25 ، وقم بوضع خط تحته لتكتب الإجابة - 1
• اسأل مرة أخرى: كم عدد الأربع التي يمكن أن تتسع في الوحدة - لا على الإطلاق. ثم نهدم الرقم "6" إلى واحد
• اتضح 16 - كم أربعة مناسب لهذا الرقم؟ صحيح 4. نكتب "4" بجوار "6" في الإجابة
• تحت سن 16 ، نكتب 16 ، ونضع خطًا تحته ويظهر "0" ، مما يعني أننا قسمنا بشكل صحيح واتضح أن الإجابة هي "64"

القسمة الكتابية على رقمين

عندما يتقن الطفل القسمة على رقم واحد ، يمكنك المضي قدمًا. يعد القسمة المكتوبة على رقم مكون من رقمين أكثر تعقيدًا بعض الشيء ، ولكن إذا فهم الطفل كيفية تنفيذ هذا الإجراء ، فلن يكون من الصعب عليه حل مثل هذه الأمثلة.

هام: مرة أخرى ، ابدأ في الشرح بخطوات بسيطة. سيتعلم الطفل تحديد الأرقام بشكل صحيح وسيكون من السهل عليه قسمة الأعداد المركبة.

نفّذوا هذا الإجراء البسيط معًا: 184: 23 - كيف تشرح:

• أولاً ، نقسم 184 على 20 ، يتبين أننا نحصل على 8. لكننا لا نكتب الرقم 8 في الإجابة ، لأن هذا رقم تجريبي
• تحقق مما إذا كانت 8 تناسبها أم لا. نضرب 8 في 23 ، اتضح أن 184 - هذا هو بالضبط الرقم الذي لدينا في المقسوم عليه. ستكون الإجابة 8

هام: لكي يفهم الطفل ، حاول أخذ 9 بدلاً من الثمانية ، دعه يضرب 9 في 23 ، اتضح أن 207 - هذا أكثر مما لدينا في المقسوم عليه. الرقم 9 لا يناسبنا.

لذلك سوف يفهم الطفل تدريجيًا القسمة ، وسيكون من السهل عليه قسمة أعداد أكثر تعقيدًا:

• قسّم 768 على 24. حدد الرقم الأول من الخاص - نقسم 76 ليس على 24 ، ولكن على 20 ، اتضح 3. نكتب 3 ردًا تحت السطر على اليمين
• تحت 76 نكتب 72 ونرسم خطًا ونكتب الفرق - اتضح 4. هل هذا الرقم قابل للقسمة على 24؟ لا - لقد هدمنا 8 ، اتضح 48
• هل 48 يقبل القسمة على 24؟ هذا صحيح - نعم. اتضح 2 ، نكتب هذا الرقم ردا على ذلك
• اتضح 32. الآن يمكنك التحقق مما إذا كنا قد قمنا بإجراء القسمة بشكل صحيح. اضرب في عمود: 24 × 32 ، اتضح 768 ، ثم كل شيء صحيح

إذا تعلم الطفل القسمة على رقم مكون من رقمين ، فأنت بحاجة إلى الانتقال إلى الموضوع التالي. خوارزمية القسمة على رقم مكون من ثلاثة أرقام هي نفس خوارزمية القسمة على رقم مكون من رقمين.

فمثلا:

• قسّم 146064 على 716. نأخذ أولاً 146 - اسأل الطفل إذا كان هذا الرقم يقبل القسمة على 716 أم لا. هذا صحيح - لا ، ثم نأخذ 1460
• كم مرة يتناسب الرقم 716 مع الرقم 1460؟ صحيح - 2 ، لذلك نكتب هذا الرقم في الإجابة
• نضرب 2 في 716 ، يتبين لنا أن 1432. نكتب هذا الرقم تحت 1460. اتضح أن الفرق هو 28 ، نكتب تحت الخط
• الهدم 6. اسأل الطفل - 286 يقبل القسمة على 716؟ هذا صحيح - لا ، لذلك نكتب 0 في الإجابة بجوار 2. نهدم رقمًا آخر 4
• نقسم 2864 على 716. نأخذ 3 لكل منهما - قليلاً ، 5 لكل منهما - الكثير ، مما يعني أننا نحصل على 4. نضرب 4 في 716 ، نحصل على 2864
• اكتب 2864 تحت 2864 بفارق 0. الإجابة 204

هام: للتحقق من صحة القسمة ، اضرب مع الطفل في عمود - 204 × 716 = 146064. التقسيم صحيح.

حان الوقت ليشرح الطفل أن الانقسام لا يمكن أن يكون كاملًا فقط ، ولكن أيضًا مع الباقي. الباقي دائمًا أصغر من المقسوم عليه أو مساوٍ له.

يجب شرح القسمة مع الباقي بمثال بسيط: 35: 8 = 4 (الباقي 3):

• كم ثمانية تناسب 35؟ صحيح - 4. يبقى 3
• هل هذا الرقم يقبل القسمة على 8؟ هذا صحيح - لا. إذن الباقي هو 3.

بعد ذلك ، يجب أن يتعلم الطفل أنه يمكنك متابعة القسمة بإضافة 0 إلى الرقم 3:

• الجواب هو الرقم 4. بعده نكتب فاصلة ، حيث أن إضافة الصفر تدل على أن الرقم سيكون بكسر.
• اتضح 30. قسّم 30 على 8 ، اتضح أن 3. نكتب ردًا ، وتحت 30 نكتب 24 ، ونضع خطًا تحتها ونكتب 6
• نحمل الرقم 0 إلى الرقم 6. اقسم 60 على 8. خذ 7 لكل منها ، اتضح أن 56. اكتب أقل من 60 واكتب الفرق 4
• نضيف 0 إلى الرقم 4 ونقسمه على 8 ، يتبين أن 5 - نكتبه ردًا على ذلك
• نطرح 40 من 40 ، ونحصل على 0. إذن ، الإجابة هي: 35: 8 = 4.375

نصيحة: إذا كان الطفل لا يفهم شيئًا ، فلا تغضب. اسمح ليومين بالمرور وحاول شرح المادة مرة أخرى.

دروس الرياضيات في المدرسة ستعزز المعرفة أيضًا. سيمر الوقت وسيحل الطفل بسرعة وسهولة أي أمثلة على القسمة.

خوارزمية قسمة الأرقام كما يلي:

• قم بتقدير الرقم الذي سيكون في الإجابة
• أوجد أول عائد غير مكتمل
• حدد عدد الأرقام في حاصل القسمة
• أوجد الأرقام في كل رقم من حاصل القسمة
• ابحث عن الباقي (إن وجد)

وفقًا لهذه الخوارزمية ، يتم إجراء القسمة على كل من الأرقام المكونة من رقم واحد وأي عدد متعدد الأرقام (مكون من رقمين وثلاثة أرقام وأربعة أرقام وما إلى ذلك).

عندما تدرس مع طفل ، اسأله غالبًا أمثلة لعمل تقدير. يجب أن يحسب الإجابة بسرعة في ذهنه. فمثلا:

• 1428:42
• 2924:68
• 30296:56
• 136576:64
• 16514:718

لتوحيد النتيجة ، يمكنك استخدام ألعاب القسمة التالية:

• "لغز". اكتب خمسة أمثلة على قطعة من الورق. واحد منهم فقط يجب أن يكون لديه الإجابة الصحيحة.

حالة الطفل: من بين عدة أمثلة ، تم حل واحد فقط بشكل صحيح. ابحث عنه في دقيقة.

فيديو: لعبة حسابية للأطفال بالإضافة إلى الضرب والقسمة

فيديو: الرسوم المتحركة التعليمية الرياضيات تعلم عن ظهر قلب جداول الضرب والقسمة على 2