Теореми за събиране и умножение на вероятностите.
Зависими и независими събития

Заглавието изглежда страшно, но в действителност всичко е много просто. В този урок ще се запознаем с теоремите за събиране и умножение на вероятностите за събития, както и ще анализираме типични проблеми, които заедно с задача за класическото определяне на вероятносттасъс сигурност ще се срещнете или, по-вероятно, вече сте срещнали по пътя си. За ефективно обучениематериали в тази статия, трябва да знаете и разбирате основните термини теория на вероятноститеи да може да извършва прости аритметични операции. Както можете да видите, изисква се много малко и следователно тлъст плюс в актива е почти гарантиран. Но от друга страна, отново предупреждавам за повърхностно отношение към практически примери– има и достатъчно тънкости. Успех:

Теорема за събиране на вероятности за несъвместими събития: вероятност за поява на едно от двете несъвместимисъбития или (без значение какво), е равна на сумата от вероятностите за тези събития:

Подобен факт важи и за повече количествонесъвместими събития, например за три несъвместими събития и:

Теоремата е мечта =) Такава мечта обаче подлежи на доказателство, което може да се намери например в учебникВ.Е. Гмурман.

Да се ​​запознаем с нови, непознати досега понятия:

Зависими и независими събития

Да започнем с не зависими събития. Събитията са независима , ако вероятността за възникване някой от тях не зависиза появата/непоявата на други събития от разглеждания набор (във всички възможни комбинации). ...Но защо да се занимаваме с общи фрази:

Теорема за умножаване на вероятностите за независими събития: вероятността за съвместна поява на независими събития и е равна на произведението на вероятностите за тези събития:

Нека се върнем към най-простия пример от 1-ви урок, в който се хвърлят две монети и следните събития:

– главите ще се появят на 1-вата монета;
– главите ще се появят на втората монета.

Нека намерим вероятността за събитието (главите ще се появят на 1-вата монета Ина втората монета ще се появи орел - помнете как да четете продукт на събитията!) . Вероятността за глави на една монета не зависи по никакъв начин от резултата от хвърлянето на друга монета, следователно събитията са независими.

По същия начин:
– вероятността 1-вата монета да падне с глави Ина 2-ри опашки;
– вероятността главите да се появят на 1-вата монета Ина 2-ри опашки;
– вероятност първата монета да покаже глави Ина 2-ри орел.

Забележете, че събитията се формират пълна групаи сумата от техните вероятности е равна на единица: .

Теоремата за умножение очевидно се простира до по-голям брой независими събития, например, ако събитията са независими, тогава вероятността за тяхното съвместно възникване е равна на: . Да тренираме конкретни примери:

Проблем 3

Всяка от трите кутии съдържа 10 части. Първата кутия съдържа 8 стандартни части, втората – 7, третата – 9. От всяка кутия произволно се изважда по една част. Намерете вероятността всички части да бъдат стандартни.

Решение: вероятност за извличане на стандарт или нестандартна частот всяка кутия не зависи от това какви части ще бъдат извлечени от други кутии, така че проблемът се занимава с независими събития. Помислете за следните независими събития:

– от 1-ва кутия е извадена стандартна част;
– от 2-ра кутия е свалена стандартна част;
– от 3-та кутия е свалена стандартна част.

Според класическото определение:
са съответните вероятности.

Интересно за нас събитие (стандартна част ще бъде премахната от 1-вата кутия Иот 2-ри стандарт Иот 3-ти стандарт)се изразява чрез продукта.

Според теоремата за умножение на вероятностите за независими събития:

– вероятността една стандартна част да бъде премахната от три кутии.

отговор: 0,504

След тонизиращи упражнения с кутии ни очакват не по-малко интересни урни:

Проблем 4

Три урни съдържат 6 бели и 4 черни топки. От всяка урна се тегли произволно една топка. Намерете вероятността: а) и трите топки да са бели; б) и трите топки ще бъдат с един и същи цвят.

Въз основа на получената информация познайте как да се справите с точката „be“ ;-) Приблизителна пробарешенията са проектирани в академичен стил с подробен списък на всички събития.

Зависими събития. Събитието се нарича зависим , ако неговата вероятност зависиот едно или повече събития, които вече са се случили. Не е нужно да ходите далеч за примери - просто отидете до най-близкия магазин:

– утре от 19.00 часа ще се продава пресен хляб.

Вероятността за това събитие зависи от много други събития: дали утре ще бъде доставен пресен хляб, дали ще бъде разпродаден преди 19 часа или не и т.н. В зависимост от различни обстоятелстватова събитие може да бъде надеждно или невъзможно. Така че събитието е зависим.

Хляб... и, както изискват римляните, циркове:

– на изпита студентът ще получи обикновен билет.

Ако не сте първият, тогава събитието ще бъде зависимо, тъй като вероятността му ще зависи от това какви билети вече са изтеглени от съученици.

Как да определим зависимостта/независимостта на събитията?

Понякога това е директно посочено в изложението на проблема, но най-често трябва да извършите независим анализ. Тук няма еднозначна насока и фактът на зависимост или независимост на събитията следва от естествено логическо разсъждение.

За да не съберете всичко на една купчина, задачи за зависими събитияЩе подчертая следния урок, но засега ще разгледаме най-често срещания набор от теореми в практиката:

Задачи върху теореми за събиране на несъвместими вероятности
и умножаване на вероятностите за независими събития

Този тандем, по моя субективна оценка, работи в приблизително 80% от задачите по разглежданата тема. Хит на хитовете и истинска класика на теорията на вероятностите:

Проблем 5

Двама стрелци са стреляли по един изстрел в мишената. Вероятността за попадение за първия стрелец е 0,8, за втория - 0,6. Намерете вероятността, че:

а) само един стрелец ще уцели целта;
б) поне един от стрелците ще уцели целта.

Решение: Коефициентът на попадение/пропускане на един стрелец е очевидно независим от представянето на другия стрелец.

Да разгледаме събитията:
– 1-ви стрелец ще уцели целта;
– Вторият стрелец ще уцели целта.

Според условието:.

Нека намерим вероятностите за противоположни събития - че съответните стрелки ще пропуснат:

a) Помислете за събитието: – само един стрелец ще уцели целта. Това събитие се състои от два несъвместими резултата:

Първият стрелец ще уцели И 2-ри ще пропусне
или
1-ви ще пропусне ИВторият ще удари.

На езика алгебри на събитиятатози факт ще бъде записан със следната формула:

Първо използваме теоремата за събиране на вероятностите за несъвместими събития, след това теоремата за умножаване на вероятностите за независими събития:

– вероятността да има само едно попадение.

b) Разгледайте събитието: – поне един от стрелците уцелва целта.

Първо, ДА ПОМИСЛИМ – какво означава условието „ПОНЕ ЕДИН”? В този случай това означава, че или първият стрелец ще уцели (вторият ще пропусне) или 2-ри (1-ви ще пропусне) илии двамата стрелци наведнъж - общо 3 несъвместими резултата.

Метод първи: като се вземе предвид вероятността за готовност от предишната точка, е удобно събитието да се представи като сума от следните несъвместими събития:

някой ще стигне до там (събитие, състоящо се на свой ред от 2 несъвместими резултата) или
Ако и двете стрелки са уцелени, отбелязваме това събитие с буквата .

Така:

Според теоремата за умножение на вероятностите за независими събития:
– вероятност първият стрелец да уцели ИВторият стрелец ще уцели.

Съгласно теоремата за събиране на вероятности от несъвместими събития:
– вероятността за поне едно попадение в целта.

Метод втори: Помислете за обратното събитие: – и двамата стрелци ще пропуснат.

Според теоремата за умножение на вероятностите за независими събития:

В резултат на това:

Обърнете специално внимание на втория метод - като цяло той е по-рационален.

Освен това има алтернативен, трети начин за решаването му, базиран на теоремата за събиране на съвместни събития, който не беше споменат по-горе.

! Ако се запознавате с материала за първи път, тогава, за да избегнете объркване, е по-добре да пропуснете следващия параграф.

Метод трети : събитията са съвместими, което означава, че тяхната сума изразява събитието „поне един стрелец ще уцели целта“ (вж. алгебра на събитията). от теоремата за добавяне на вероятности за съвместни събитияи теоремата за умножение на вероятностите за независими събития:

Да проверим: събития и (съответно 0, 1 и 2 попадения)образуват пълна група, така че сумата от техните вероятности трябва да е равна на единица:
, което трябваше да се провери.

отговор:

При задълбочено изучаване на теорията на вероятностите ще се натъкнете на десетки проблеми с милитаристично съдържание и, което е характерно, след това няма да искате да застреляте никого - проблемите са почти подарък. Защо не опростите и шаблона? Нека съкратим записа:

Решение: по условие: , – вероятност за попадение на съответните стрелци. Тогава вероятностите за пропуска им:

а) Съгласно теоремите за събиране на вероятности за несъвместими и умножение на вероятности за независими събития:
– вероятността само един стрелец да уцели целта.

б) Според теоремата за умножение на вероятностите за независими събития:
– вероятността и двамата стрелци да пропуснат.

Тогава: – вероятността поне един от стрелците да уцели целта.

отговор:

На практика можете да използвате всяка опция за дизайн. Разбира се, много по-често минават по краткия път, но не бива да забравяме 1-вия метод - макар и по-дълъг, той е по-смислен - по-ясен е, какво, защо и защосъбира и умножава. В някои случаи хибридният стил е подходящ, когато с главни буквиУдобно е да посочите само някои събития.

Подобни задачи за независимо решение:

Проблем 6

За сигнализиране на пожар са монтирани два независимо работещи сензора. Вероятностите сензорът да заработи в случай на пожар са съответно 0,5 и 0,7 за първия и втория сензор. Намерете вероятността при пожар:

а) и двата сензора ще се повредят;
б) и двата сензора ще работят.
в) Използване теоремата за събиране на вероятностите за събития, образуващи пълна група, намерете вероятността само един сензор да работи при пожар. Проверете резултата, като директно изчислите тази вероятност (използвайки теореми за събиране и умножение).

Тук независимостта на работата на устройствата е директно посочена в условието, което между другото е важно уточнение. Примерното решение е оформено в академичен стил.

Ами ако в подобна задача са дадени еднакви вероятности, например 0,9 и 0,9? Трябва да решите точно същото! (което всъщност вече беше демонстрирано в примера с две монети)

Проблем 7

Вероятността за попадение в целта от първия стрелец с един изстрел е 0,8. Вероятността мишената да не бъде улучена, след като първият и вторият стрелец дадат по един изстрел, е 0,08. Каква е вероятността вторият стрелец да уцели целта с един изстрел?

И това е малък пъзел, който е проектиран накратко. Условието може да се преформулира по-сбито, но няма да преправям оригинала - на практика трябва да се заровя в по-пищни измислици.

Запознайте се с него - той е този, който е планирал огромно количество подробности за вас =):

Проблем 8

Един работник управлява три машини. Вероятността по време на смяна първата машина да изисква настройка е 0,3, втората - 0,75, третата - 0,4. Намерете вероятността по време на смяната:

а) всички машини ще изискват настройка;
б) само една машина ще изисква настройка;
в) поне една машина ще изисква настройка.

Решение: тъй като условието не казва нищо за сингъл технологичен процес, тогава работата на всяка машина трябва да се счита за независима от работата на други машини.

По аналогия със задача № 5, тук можете да вземете предвид събитията, които съответните машини ще изискват настройки по време на смяната, да запишете вероятностите, да намерите вероятностите за противоположни събития и т.н. Но с три обекта вече не искам да форматирам задачата по този начин - ще се окаже дълго и досадно. Ето защо е значително по-изгодно да използвате „бързия“ стил тук:

Според условието: – вероятността по време на смяна съответните машини да изискват настройка. Тогава вероятностите те да не изискват внимание са:

Един от читателите намери страхотна печатна грешка тук, дори няма да я коригирам =)

а) Според теоремата за умножение на вероятностите за независими събития:
– вероятността по време на смяната и трите машини да изискват настройки.

b) Събитието „По време на смяната само една машина ще изисква настройка“ се състои от три несъвместими резултата:

1) 1-ва машина ще изисквавнимание И 2-ра машина няма да изисква И 3-та машина няма да изисква
или:
2) 1-ва машина няма да изисквавнимание И 2-ра машина ще изисква И 3-та машина няма да изисква
или:
3) 1-ва машина няма да изисквавнимание И 2-ра машина няма да изисква И 3-та машина ще изисква.

Съгласно теоремите за събиране на вероятности за несъвместими и умножение на вероятности за независими събития:

– вероятността по време на смяна само една машина да изисква настройка.

Мисля, че вече трябва да разберете откъде идва изразът

в) Нека изчислим вероятността машините да не се нуждаят от настройка и след това вероятността от обратното събитие:
– че поне една машина ще изисква настройка.

отговор:

Точка „ve“ също може да бъде решена чрез сумата, където е вероятността по време на смяна само две машини да изискват настройка. Това събитие от своя страна включва 3 несъвместими резултата, които се описват по аналогия с точката „be“. Опитайте се сами да намерите вероятността, за да проверите целия проблем, като използвате равенството.

Проблем 9

По целта е даден залп от три оръдия. Вероятността за попадение само с един изстрел от първия пистолет е 0,7, от втория – 0,6, от третия – 0,8. Намерете вероятността: 1) поне един снаряд да удари целта; 2) само два снаряда ще ударят целта; 3) целта ще бъде ударена поне два пъти.

Решението и отговорът са в края на урока.

И отново за съвпаденията: ако според условието две или дори всички стойности на първоначалните вероятности съвпадат (например 0,7, 0,7 и 0,7), тогава трябва да се следва точно същият алгоритъм за решение.

За да завършим статията, нека разгледаме друг често срещан пъзел:

Проблем 10

Стрелецът уцелва целта с еднаква вероятност при всеки изстрел. Каква е тази вероятност, ако вероятността за поне едно попадение с три изстрела е 0,973.

Решение: нека означим с – вероятността за попадение в целта с всеки изстрел.
и чрез - вероятността за пропуск с всеки изстрел.

И нека запишем събитията:
– при 3 изстрела стрелецът ще уцели целта поне веднъж;
– стрелецът ще пропусне 3 пъти.

По условие, тогава вероятността от обратното събитие:

От друга страна, според теоремата за умножение на вероятностите за независими събития:

Така:

- вероятността за пропуск при всеки изстрел.

В резултат на това:
– вероятността за попадение с всеки изстрел.

отговор: 0,7

Просто и елегантно.

В разглеждания проблем могат да бъдат зададени допълнителни въпроси относно вероятността само за едно попадение, само за две попадения и вероятността за три попадения в целта. Схемата на решение ще бъде точно същата като в предишните два примера:

Основната съществена разлика обаче е, че тук ги има повтарящи се независими тестове, които се извършват последователно, независимо един от друг и с еднаква вероятност за резултати.

Нека събития АИ IN- непоследователни и вероятностите за тези събития са известни. Въпрос: как да се намери вероятността едно от тези несъвместими събития да се случи? Отговорът на този въпрос се дава от теоремата за добавяне.

Теорема.Вероятността за възникване на едно от две несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите за тези събития:

стр(А + IN) = стр(А) + стр(IN) (1.6)

Доказателство. Наистина, нека п – общ бройвсички еднакво възможни и несъвместими (т.е. елементарни) резултати. Нека събитието Ауслуги м 1 резултати и събитието IN – м 2 резултата. Тогава, според класическата дефиниция, вероятностите за тези събития са равни: стр(А) = м 1 / п, стр(б) = м 2 / п .

От събитията АИ INнесъвместими, тогава нито един от резултатите не е благоприятен за събитието А, не благоприятни за събитието IN(вижте диаграмата по-долу).

Следователно събитието А+INще бъде благоприятно м 1 + м 2 резултата. Следователно, за вероятността стр(А + Б) получаваме:

Следствие 1. Сумата от вероятностите събития, образуващи пълна група, е равна на единица:

стр(А) + стр(IN) + стр(СЪС) + … + стр(г) = 1.

Наистина, нека събития А,IN,СЪС, … , гобразуват пълна група. Поради това те са несъвместими и единствено възможни. Следователно събитието A + B + C + …+г, състоящо се в настъпването (в резултат на тестване) на поне едно от тези събития, е надеждно, т.е. A+B+C+…+г = И стр(A+B+C+ …+г) = 1.

Поради несъвместимостта на събитията А,IN,СЪС, … , гформулата е правилна:

стр(A+B+C+ …+г) = стр(А) + стр(IN) + стр(СЪС) + … + стр(г) = 1.

Пример.В една урна има 30 топки, от които 10 са червени, 5 са ​​сини и 15 са бели. Намерете вероятността да изтеглите червена или синя топка, при условие че от урната е изтеглена само една топка.

Решение. Нека събитието А 1 – теглене на червената топка и събитието А 2 – изваждане на синята топка. Тези събития са несъвместими и стр(А 1) = 10 / 30 = 1 / 3; стр(А 2) = 5/30 = 1/6. По теоремата за добавяне получаваме:

стр(А 1 + А 2) = стр(А 1) + стр(А 2) = 1 / 3 + 1 / 6 = 1 / 2.

Бележка 1.Подчертаваме, че според смисъла на проблема е необходимо преди всичко да се установи естеството на разглежданите събития – дали са несъвместими. Ако горната теорема се приложи към съвместни събития, резултатът ще бъде неправилен.

Теореми за събиране и умножение на вероятностите.

Теорема за събиране на вероятностите за две събития. Вероятността за сумата от две събития е равна на сумата от вероятностите за тези събития без вероятността за тяхното съвместно възникване:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

Теорема за събиране на вероятностите за две несъвместими събития. Вероятността за сумата от две несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите за тях:

P(A+B)=P(A)+P(B).

Пример 2.16.Стрелецът стреля по мишена, разделена на 3 зони. Вероятността за попадение в първата област е 0,45, втората - 0,35. Намерете вероятността стрелецът да удари или първата, или втората област с един изстрел.

Решение.

събития А- „стрелецът удари първата зона“ и IN- „стрелецът е уцелил втората зона“ - са непоследователни (попадането в една зона изключва попадане в друга), така че теоремата за добавяне е приложима.

Необходимата вероятност е:

P(A+B)=P(A)+P(B)= 0,45+ 0,35 = 0,8.

Теорема за добавяне на вероятности пнесъвместими събития. Вероятността за сбор от n несъвместими събития е равна на сбора от вероятностите на тези:

P(A 1 +A 2 +…+A p)=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A p).

Сумата от вероятностите за противоположни събития е равна на единица:

Вероятност за събитие INпри условие, че събитието се е случило А, се нарича условна вероятност на събитието INи се обозначава по следния начин: P(V/A),или R A (B).

. Вероятността за настъпване на две събития е равна на произведението на вероятността за едното от тях и условната вероятност за другото, при условие че се е случило първото събитие:

P(AB)=P(A)P A (B).

Събитие INне зависи от събитието А, Ако

R A (V) = R (V),

тези. вероятност за събитие INне зависи от това дали събитието се е случило А.

Теорема за умножаване на вероятностите за две независими събития.Вероятността за произведението на две независими събития е равна на произведението на техните вероятности:

P(AB)=P(A)P(B).

Пример 2.17.Вероятностите за попадение в целта при стрелба от първото и второто оръдие са съответно равни: стр. 1 = 0,7; стр. 2= 0,8. Намерете вероятността за попадение в един залп (от двете оръдия) от поне едно от оръдията.

Решение.

Вероятността всеки пистолет да удари целта не зависи от резултата от стрелбата от другия пистолет, така че събитията А– „ударен от първия пистолет“ и IN– „попадение от втория пистолет“ са независими.

Вероятност за събитие AB- „и двата пистолета са ударени“:

Необходима вероятност

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB)= 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

Теорема за умножение на вероятностите псъбития.Вероятността за продукт от n събития е равна на произведението на едно от тях по условните вероятности на всички останали, изчислени при предположението, че всички предишни събития са се случили:

Пример 2.18. В урната има 5 бели, 4 черни и 3 сини топки. Всеки тест се състои в премахване на една топка на случаен принцип, без да се връща обратно. Намерете вероятността при първия опит да се появи бяла топка (събитие A), при втория – черна топка (събитие B) и при третия – синя топка (събитие C).

Решение.

Вероятност бяла топка да се появи в първия опит:

Вероятността черна топка да се появи при втория опит, изчислена при предположението, че бяла топка се е появила при първия опит, т.е. условна вероятност:

Вероятността синя топка да се появи в третия опит, изчислена при предположението, че бяла топка се е появила в първия опит и черна във втория, т.е. условна вероятност:

Необходимата вероятност е:

Теорема за умножение на вероятностите пнезависими събития.Вероятността за произведение от n независими събития е равна на произведението на техните вероятности:

P(A 1 A 2…A p)=P(A 1)P(A 2)…P(A p).

Вероятността поне едно от събитията да се случи. Вероятността за възникване на поне едно от събитията A 1, A 2, ..., A n, независими в съвкупността, е равна на разликата между единица и произведението на вероятностите на противоположни събития:

.

Пример 2.19.Вероятностите за попадение в целта при стрелба от три оръдия са следните: стр. 1 = 0,8; стр. 2 = 0,7;стр. 3= 0,9. Намерете вероятността за поне едно попадение (събитие А) с един залп от всички оръдия.

Решение.

Вероятността всеки пистолет да удари целта не зависи от резултатите от стрелба от други оръдия, така че разглежданите събития A 1(ударен от първия пистолет), А 2(ударен от втория пистолет) и A 3(ударени от третия пистолет) са независими в съвкупността.

Вероятности за събития, противоположни на събития A 1, А 2И A 3(т.е. вероятността от пропуски) са съответно равни на:

, , .

Необходимата вероятност е:

Ако независими събития A 1, A 2, …, A pимат същата вероятност за r, тогава вероятността за настъпване на поне едно от тези събития се изразява с формулата:

Р(А)= 1 – q n ,

Къде q=1- p

2.7. Формула за пълна вероятност. Формула на Бейс.

Нека събитието Аможе да възникне при настъпване на едно от несъвместимите събития N 1, N 2, …, N p, образувайки пълна група от събития. Тъй като не е известно предварително кое от тези събития ще се случи, те се наричат хипотези.

Вероятност за възникване на събитие Аизчислено от формула за обща вероятност:

P(A)=P(N 1)P(A/N 1)+ P(N 2)P(A/N 2)+...+ P(N p)P(A/N p).

Да приемем, че е проведен експеримент, в резултат на който събитието Асе случи. Условни вероятности за събития N 1, N 2, …, N pотносно събитието Аса определени Формули на Бейс:

,

Пример 2.20. В група от 20 студента, явили се на изпита, 6 са били отлично подготвени, 8 са били добре подготвени, 4 са били задоволително и 2 са били слабо подготвени. Изпитните работи съдържат 30 въпроса. Добре подготвен ученик може да отговори на всички 30 въпроса, добре подготвен ученик може да отговори на 24 въпроса, добре подготвен ученик може да отговори на 15 въпроса, а зле подготвен ученик може да отговори на 7 въпроса.

Студент, извикан произволно, отговори на три произволно. зададени въпроси. Намерете вероятността този ученик да е подготвен: а) отлично; б) лошо.

Решение.

Хипотези – „ученикът е добре подготвен”;

– „ученикът е добре подготвен”;

– „ученикът е подготвен задоволително”;

– „ученикът е слабо подготвен“.

Преди опит:

; ; ; ;

7. Какво се нарича пълна група от събития?

8. Кои събития се наричат ​​еднакво възможни? Дайте примери за такива събития.

9. Какво се нарича елементарен резултат?

10. Какви резултати смятам за благоприятни за това събитие?

11. Какви операции могат да се извършват върху събития? Дефинирайте ги. Как се обозначават? Дайте примери.

12. Какво се нарича вероятност?

13. Каква е вероятността за надеждно събитие?

14. Каква е вероятността за невъзможно събитие?

15. Какви са границите на вероятността?

16. Как се определя геометричната вероятност на равнина?

17. Как се определя вероятността в пространството?

18. Как се определя вероятността по права линия?

19. Каква е вероятността за сумата от две събития?

20. Каква е вероятността за сумата от две несъвместими събития?

21. Каква е вероятността за сумата от n несъвместими събития?

22. Каква вероятност се нарича условна? Дайте пример.

23. Посочете теоремата за умножение на вероятностите.

24. Как да намерим вероятността за настъпване на поне едно от събитията?

25. Какви събития се наричат ​​хипотези?

26. Кога се използват формулата за пълна вероятност и формулата на Байс?

Лекция 7. Теория на вероятностите

СЛЕДСТВИЯ ОТ ТЕОРЕМИТЕ ЗА СЪБИРАНЕ И УМНОЖЕНИЕ

Теорема за добавяне на вероятности за съвместни събития

Теоремата за добавяне за несъвместимисъбития. Тук ще представим теоремата за добавяне за ставасъбития.

Извикват се две събития става, ако явяването на единия от тях не изключва явяването на другия в същия процес.

Пример 1 . A – появата на четири точки при хвърляне на зар; B – поява на четен брой точки. Събития А и Б са съвместни.

Нека събитията A и B са общи и са дадени вероятностите за тези събития и вероятността за тяхното съвместно възникване. Как да намерим вероятността за събитие A + B, че поне едно от събитията A и B ще се случи? Отговор на този въпрос дава теоремата за събиране на вероятностите за съвместни събития.

Теорема. Вероятността за възникване на поне едно от две съвместни събития е равна на сумата от вероятностите на тези събития без вероятността за съвместното им възникване: P(A + B) = P(A) + P(B) – P (AB).

Доказателство . Тъй като събития A и B, по условие, са съвместими, тогава събитие A + B ще възникне, ако се случи едно от следните три несъвместими събития: . Съгласно теоремата за добавяне на вероятности от несъвместими събития имаме:

P(A + B) = P(A) + P(B) + P(AB).(*)

Събитие А ще възникне, ако възникне едно от двете несъвместими събития: А
или AB. По теоремата за събиране на вероятностите за несъвместими събития имаме

P(A) = P(A) + P(AB).

P(A)=P(A) – P(AB).(**)

По подобен начин имаме

P(B) = P(ĀB) + P(AB).

P(ĀB) = P(B) – P(AB).(***)

Замествайки (**) и (***) в (*), най-накрая получаваме

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB).(****)

Q.E.D.

Бележка 1. Когато използвате получената формула, трябва да се има предвид, че събития A и B могат да бъдат и двете независима, така че зависим.

За независими събития

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A)*P(B);

За зависими събития

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A)*P A (B).

Бележка 2. Ако събития А и Б несъвместими, тогава тяхната комбинация е невъзможно събитие и следователно P(AB) = 0.

Формулата (****) за несъвместими събития приема формата

P(A + B) = P(A) + P(B).

Отново получихме теоремата за добавяне за несъвместими събития. Така формулата (****) е валидна както за съвместни, така и за несъвместими събития.

Пример 2. Вероятностите за попадение в целта при стрелба от първото и второто оръдие са съответно равни: p 1 = 0,7; p 2 = 0,8. Намерете вероятността за попадение с един залп
(от двете пушки) с поне едно от оръжията.

Решение . Вероятността всяко оръжие да уцели целта не зависи от резултата от стрелба от другото оръжие, следователно събития A (попадение от първото оръжие) и B (попадение от второто оръжие) са независими.

Вероятност за AB събитие (и двете оръдия отбелязаха попадение)

P(AB) = P(A) * P(B) = 0,7 * 0,8 = 0,56.

Желаната вероятност P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

Забележка 3. Тъй като в този пример събитията A и B са независими, можем да използваме формулата P = 1 – q 1 q 2

Всъщност вероятностите за събития, противоположни на събития А и Б, т.е. вероятностите за пропуски са:

q 1 = 1 – p 1 = 1 – 0,7 = 0,3;

q 2 = 1 – p 2 = 1 – 0,8 = 0,2;

Необходимата вероятност при един залп поне един пистолет да удари е равна на

P = 1 – q 1 q 2 = 1 – 0,3 * 0,2 = 1 – 0,06 = 0,94.

Както бихте очаквали, се получи същият резултат.

Изучаването на теорията на вероятностите започва с решаването на задачи, включващи събиране и умножение на вероятности. Струва си да се спомене веднага, че ученикът може да срещне проблем при овладяването на тази област на знанието: ако физическите или химичните процеси могат да бъдат представени визуално и разбрани емпирично, тогава нивото на математическата абстракция е много високо и разбирането тук идва само с опит.

Играта обаче си заслужава свещта, защото формулите - както тези, обсъдени в тази статия, така и по-сложните - се използват навсякъде днес и могат да бъдат полезни в работата.

Произход

Колкото и да е странно, тласъкът за развитието на този дял от математиката е... хазартът. Наистина, зарове, хвърляне на монета, покер, рулетка са типични примери, които използват събиране и умножение на вероятности. Това може да се види ясно, като се използват примерите за задачи във всеки учебник. Хората се интересуваха да научат как да увеличат шансовете си за победа и трябва да кажа, че някои успяха в това.

Например, още през 21-ви век един човек, чието име няма да разкриваме, използва тези знания, натрупани от векове, буквално да „изчисти“ казиното, спечелвайки няколко десетки милиона долара на рулетка.

Въпреки повишения интерес към темата обаче, едва през 20-ти век е разработена теоретична рамка, която прави „теоремата“ завършена. Днес в почти всяка наука могат да се намерят изчисления, използващи вероятностни методи.

Приложимост

Важен момент при използване на формули за събиране и умножение на вероятности и условна вероятност е изпълнимостта на централната гранична теорема. В противен случай, въпреки че ученикът може да не го осъзнае, всички изчисления, колкото и правдоподобни да изглеждат, ще бъдат неверни.

Да, силно мотивираният студент е изкушен да използва нови знания при всяка възможност. Но в този случай е необходимо малко да се забави и стриктно да се очертае обхватът на приложимост.

Теорията на вероятностите се занимава със случайни събития, които в емпиричен план представляват резултатите от експерименти: можем да хвърлим шестстранен зар, да изтеглим карта от тесте, да предвидим броя на дефектните части в партида. В някои въпроси обаче е строго забранено използването на формули от този раздел на математиката. Ще обсъдим характеристиките на разглеждането на вероятностите за събитие, теоремите за събиране и умножение на събития в края на статията, но засега нека се обърнем към примери.

Основни понятия

Случайно събитие се отнася до някакъв процес или резултат, който може или не може да се появи в резултат на експеримент. Например, хвърляме сандвич - той може да падне с маслото нагоре или с маслото надолу. Всеки от двата изхода ще бъде случаен и не знаем предварително кой от тях ще се случи.

Когато изучаваме събиране и умножение на вероятности, ще ни трябват още две концепции.

Съвместни се наричат ​​такива събития, настъпването на едно от които не изключва настъпването на другото. Да кажем, че двама души стрелят по мишена едновременно. Ако един от тях произведе успешен, това по никакъв начин няма да повлияе на способността на втория да уцели главната цел или да пропусне.

Несъвместими събития ще бъдат онези събития, чието възникване по едно и също време е невъзможно. Например, ако извадите само една топка от кутия, не можете да получите и синьо, и червено наведнъж.

Наименование

Концепцията за вероятност се обозначава с латинската главна буква P. Следват в скоби аргументите, обозначаващи определени събития.

Във формулите на теоремата за събиране, условната вероятност и теоремата за умножение ще видите изрази в скоби, например: A+B, AB или A|B. Те ще бъдат изчислени по различни начини, сега ще се обърнем към тях.

Допълнение

Нека разгледаме случаите, в които се използват формули за събиране и умножение на вероятности.

За несъвместими събития, най-подходящите проста формуладопълнение: вероятността за всеки от случайните резултати ще бъде равна на сумата от вероятностите за всеки от тези резултати.

Да предположим, че има кутия с 2 сини, 3 червени и 5 жълти топчета. В кутията има общо 10 елемента. Каква е истината в твърдението, че ще теглим синя или червена топка? Ще бъде равно на 2/10 + 3/10, т.е. петдесет процента.

В случай на несъвместими събития формулата става по-сложна, тъй като се добавя допълнителен член. Нека се върнем към него в един параграф, след като разгледахме друга формула.

Умножение

Събирането и умножаването на вероятностите за независими събития се използват в различни случаи. Ако според условията на експеримента сме доволни от някой от двата възможни резултата, ще изчислим сумата; ако искаме да получим два сигурни резултата един след друг, ще прибегнем до използването на различна формула.

Връщайки се към примера от предишния раздел, искаме първо да нарисуваме синята топка и след това червената. Знаем първото число – то е 2/10. Какво се случва след това? Остават 9 топки, а червените са още толкова - три. Според изчисленията ще бъде 3/9 или 1/3. Но какво да правя сега с две числа? Правилният отговор е да умножите, за да получите 2/30.

Съвместни събития

Сега отново можем да се обърнем към формулата за сумата за съвместни събития. Защо се отклонихме от темата? За да разберете как се умножават вероятностите. Сега това знание ще ни трябва.

Вече знаем какви ще бъдат първите два члена (същите като във формулата за добавяне, обсъдена по-рано), но сега трябва да извадим произведението на вероятностите, което току-що се научихме да изчисляваме. За по-голяма яснота нека напишем формулата: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB). Оказва се, че както събирането, така и умножението на вероятностите се използват в един израз.

Да кажем, че трябва да решим всеки от двата проблема, за да получим кредит. Можем да решим първото с вероятност 0,3, а второто с вероятност 0,6. Решение: 0,3 + 0,6 - 0,18 = 0,72. Обърнете внимание, че простото събиране на числата тук няма да е достатъчно.

Условна вероятност

И накрая, съществува концепцията за условна вероятност, чиито аргументи са посочени в скоби и разделени с вертикална черта. Записът P(A|B) гласи следното: „вероятността за събитие A при дадено събитие B.“

Нека да разгледаме един пример: приятел ви дава някакво устройство, нека да е телефон. Може да е счупено (20%) или непокътнато (80%). Вие сте в състояние да поправите всяко устройство, което попадне в ръцете ви с вероятност от 0,4, или не сте в състояние да го направите (0,6). И накрая, ако устройството е в изправност, можете да достигнете правилният човекс вероятност 0,7.

Лесно е да се види как действа условната вероятност в този случай: няма да можете да се свържете с човека, ако телефонът е повреден, но ако работи, не е необходимо да го поправяте. По този начин, за да получите някакви резултати на „второто ниво“, трябва да разберете кое събитие е изпълнено на първото.

Изчисления

Нека разгледаме примери за решаване на задачи, включващи събиране и умножение на вероятности, като използваме данните от предходния параграф.

Първо, нека намерим вероятността да поправите даденото ви устройство. За да направите това, първо, той трябва да е дефектен и второ, трябва да можете да го поправите. Това е типична задача при използване на умножение: получаваме 0,2 * 0,4 = 0,08.

Каква е вероятността веднага да достигнете до правилния човек? Това е толкова просто: 0,8*0,7 = 0,56. В този случай сте установили, че телефонът работи и успешно сте осъществили разговора.

И накрая, помислете за този сценарий: получавате счупен телефон, поправяте го, след това набирате номер и човекът от другата страна вдига. Тук вече трябва да умножим три компонента: 0,2*0,4*0,7 = 0,056.

Какво да направите, ако имате два неработещи телефона едновременно? Каква е вероятността да поправите поне един от тях? при събиране и умножение на вероятности, тъй като се използват съвместни събития. Решение: 0,4 + 0,4 - 0,4*0,4 = 0,8 - 0,16 = 0,64. Така, ако получите две повредени устройства, ще можете да го поправите в 64% от случаите.

Внимателна употреба

Както беше посочено в началото на статията, използването на теорията на вероятностите трябва да бъде умишлено и съзнателно.

Колкото по-голяма е поредицата от експерименти, толкова по-близка е теоретично прогнозираната стойност до тази, получена на практика. Например хвърляме монета. Теоретично, знаейки съществуването на формули за събиране и умножение на вероятности, можем да предвидим колко пъти ще се появят „глави“ и „опашки“, ако проведем експеримента 10 пъти. Проведохме експеримент и по съвпадение съотношението на начертаните страни беше 3 към 7. Но ако проведем серия от 100, 1000 или повече опита, се оказва, че графиката на разпределението се доближава все повече и повече до теоретичната: 44 до 56, 482 до 518 и т.н.

Сега си представете, че този експеримент се провежда не с монета, а с производството на някаква нова химическо вещество, чиято вероятност не знаем. Ще проведем 10 експеримента и без да получим успешен резултат, можем да обобщим: „невъзможно е да се получи веществото“. Но кой знае, ако бяхме направили единадесетия опит, щяхме ли да постигнем целта или не?

Така че, ако отивате в неизвестното, в неизследвана област, теорията на вероятностите може да не е приложима. Всеки следващ опит в този случай може да бъде успешен и обобщения като „X не съществува“ или „X е невъзможно“ ще бъдат преждевременни.

Последна дума

И така, разгледахме два вида събиране, умножение и условни вероятности. С по-нататъшното изучаване на тази област е необходимо да се научим да разграничаваме ситуациите, когато се използва всяка конкретна формула. Освен това трябва да си представите дали вероятностните методи са общоприложими за решаване на вашия проблем.

Ако практикувате, след известно време ще започнете да извършвате всички необходими операции само в ума си. За интересуващите се игри с карти, това умение може да се счита за изключително ценно - ще увеличите значително шансовете си за печалба само като изчислите вероятността определена карта или цвят да изпадне. Въпреки това лесно можете да намерите приложение на придобитите знания в други области на дейност.