Важни бележки!
1. Ако видите gobbledygook вместо формули, изчистете кеша. Как да направите това във вашия браузър е написано тук:
2. Преди да започнете да четете статията, обърнете внимание на нашия навигатор най-много полезен ресурсЗа

Какво е вероятност?

Първият път, когато срещнах този термин, нямаше да разбера какво е това. Затова ще се опитам да обясня ясно.

Вероятността е шансът желаното от нас събитие да се случи.

Например, решили сте да отидете в къщата на приятел, помните входа и дори етажа, на който живее. Но забравих номера и местоположението на апартамента. И сега стоите на стълбището, а пред вас има врати, от които да избирате.

Какъв е шансът (вероятността), че ако позвъните на първия звънец, вашият приятел ще отвори вместо вас? Има само апартаменти, а приятел живее само зад един от тях. С равен шанс можем да изберем всяка врата.

Но какъв е този шанс?

врати, дясната врата. Вероятност за отгатване чрез звънене на първата врата: . Тоест един път от три ще познаете точно.

Искаме да знаем, след като се обадим веднъж, колко често ще познаем вратата? Нека да разгледаме всички опции:

1. Ти се обади 1-воврата
2. Ти се обади 2-роврата
3. Ти се обади 3-товрата

Сега нека да разгледаме всички опции, където може да бъде приятел:

А. За 1-вовратата
b. За 2-ровратата
V. За 3-товратата

Нека сравним всички опции под формата на таблица. Отметка показва опции, когато вашият избор съвпада с местоположението на приятел, кръст - когато не съвпада.

Как виждаш всичко може би опцииместоположението на вашия приятел и вашия избор на коя врата да позвъните.

А благоприятни резултати от всички . Тоест ще познаете веднъж, като позвъните веднъж на вратата, т.е. .

Това е вероятност - съотношението на благоприятен изход (когато вашият избор съвпада с местоположението на вашия приятел) към броя на възможните събития.

Дефиницията е формулата. Вероятността обикновено се означава с p, следователно:

Не е много удобно да се пише такава формула, затова ще вземем за - броя на благоприятните резултати, а за - общия брой резултати.

Вероятността може да бъде записана като процент, трябва да умножите получения резултат по:

Думата „резултати“ вероятно е привлякла вниманието ви. Защото математиците се обаждат различни действия(у нас такова действие е звънец) експерименти, тогава резултатът от такива експерименти обикновено се нарича резултат.

Е, има благоприятни и неблагоприятни резултати.

Да се ​​върнем към нашия пример. Да кажем, че звъннахме на една от вратите, но ни отвориха непознат. Не познахме правилно. Каква е вероятността, ако позвъним на една от останалите врати, нашият приятел да ни я отвори?

Ако си мислите така, значи това е грешка. Нека да го разберем.

Остават ни две врати. Така че имаме възможни стъпки:

1) Обадете се 1-воврата
2) Обадете се 2-роврата

Приятелят, въпреки всичко това, определено стои зад един от тях (в края на краищата не беше зад този, който извикахме):

а) Приятел за 1-вовратата
б) Приятел за 2-ровратата

Нека отново начертаем таблицата:

Както можете да видите, има само опции, от които са благоприятни. Тоест вероятността е равна.

защо не

Ситуацията, която разгледахме, е пример за зависими събития.Първото събитие е първото звънене на вратата, второто събитие е второто звънене на вратата.

И се наричат ​​зависими, защото влияят следващи стъпки. В крайна сметка, ако след първото позвъняване на звънеца на вратата се отвори приятел, каква би била вероятността той да е зад един от другите двама? Правилно, .

Но ако има зависими събития, тогава също трябва да има независима? Точно така, случват се.

Пример от учебника е хвърлянето на монета.

1. Хвърлете монета веднъж. Каква е вероятността да получите глави, например? Точно така - тъй като има всички опции (или глави, или опашки, ще пренебрегнем вероятността монетата да кацне на ръба си), но това само ни устройва.
2. Но това дойде на глави. Добре, нека го хвърлим отново. Каква е вероятността да получите глави сега? Нищо не се е променило, всичко е същото. Колко опции? две. От колко сме доволни? един.

И нека да се надигне глави поне хиляда пъти подред. Вероятността да получите глави наведнъж ще бъде същата. Варианти винаги има и то изгодни.

Лесно е да се разграничат зависимите събития от независимите:

1. Ако експериментът се проведе веднъж (хвърлят монета веднъж, звънят веднъж на вратата и т.н.), тогава събитията винаги са независими.
2. Ако експериментът се проведе няколко пъти (монета се хвърля веднъж, на вратата се звъни няколко пъти), тогава първото събитие винаги е независимо. И тогава, ако броят на благоприятните или броят на всички резултати се промени, тогава събитията са зависими, а ако не, те са независими.

Нека се упражним малко в определянето на вероятността.

Пример 1.

Монетата се хвърля два пъти. Каква е вероятността да получите глави два пъти подред?

Решение:

Нека разгледаме всичко възможни варианти:

1. Орел-орел
2. Глави-опашки
3. Опашки-Глави
4. Опашки-опашки

Както можете да видите, има само опции. От тях само ние сме доволни. Тоест вероятността:

Ако условието изисква просто да се намери вероятността, тогава отговорът трябва да бъде даден във формуляра десетичен знак. Ако беше посочено, че отговорът трябва да бъде даден като процент, тогава ще умножим по.

отговор:

Пример 2.

В кутия шоколадови бонбони всички шоколадови бонбони са опаковани в една и съща опаковка. От сладките обаче – с ядки, с коняк, с череши, с карамел и с нуга.

Каква е вероятността да вземете един бонбон и да получите бонбон с ядки? Дайте отговора си като процент.

Решение:

Колко възможни изхода има? .

Тоест, ако вземете един бонбон, той ще бъде от наличните в кутията.

Колко благоприятни изхода?

Защото кутията съдържа само шоколади с ядки.

отговор:

Пример 3.

В кутия с балони. от които са бели и черни.

1. Каква е вероятността да изтеглите бяла топка?
2. Добавихме още черни топки в кутията. Каква е сега вероятността да изтеглите бяла топка?

Решение:

а) В кутията има само топки. От тях са бели.

Вероятността е:

б) Сега има повече топки в кутията. И остават точно толкова бели - .

отговор:

Пълна вероятност

Вероятността за всички възможни събития е равна на ().

Да кажем, че в кутия има червени и зелени топки. Каква е вероятността да изтеглите червена топка? Зелена топка? Червена или зелена топка?

Вероятност да изтеглите червена топка

Зелена топка:

Червена или зелена топка:

Както можете да видите, сборът от всички възможни събития е равен на (). Разбирането на тази точка ще ви помогне да разрешите много проблеми.

Пример 4.

В кутията има маркери: зелен, червен, син, жълт, черен.

Каква е вероятността да НЕ нарисувате червен маркер?

Решение:

Нека преброим броя благоприятни резултати.

НЕ е червен маркер, това означава зелен, син, жълт или черен.

Вероятността събитието да не се случи е равна на минус вероятността събитието да се случи.

Правило за умножаване на вероятностите за независими събития

Вече знаете какво представляват независимите събития.

Ами ако трябва да намерите вероятността две (или повече) независими събития да се случат последователно?

Да кажем, че искаме да знаем каква е вероятността, ако хвърлим монета веднъж, да видим глави два пъти?

Вече разгледахме - .

Ами ако хвърлим монета веднъж? Каква е вероятността да видите орел два пъти подред?

Общо възможни опции:

1. Орел-орел-орел
2. Глави-глави-опашки
3. Глави-опашки-глави
4. Глави-опашки-опашки
5. Опашки-глави-глави
6. Опашки-глави-опашки
7. Опашки-опашки-глави
8. Опашки-опашки-опашки

Не знам за вас, но направих грешки няколко пъти, когато съставях този списък. Уау! И единственият вариант (първи) ни подхожда.

За 5 хвърляния можете сами да направите списък с възможни резултати. Но математиците не са толкова трудолюбиви като вас.

Следователно те първо забелязаха и след това доказаха, че вероятността от определена последователност от независими събития всеки път намалява с вероятността от едно събитие.

С други думи,

Нека да разгледаме примера на същата злополучна монета.

Вероятност да получите глави в предизвикателство? . Сега хвърляме монетата веднъж.

Каква е вероятността да получите глави в един ред?

Това правило не работи само ако бъдем помолени да намерим вероятността едно и също събитие да се случи няколко пъти подред.

Ако искахме да намерим последователността TAILS-HEADS-TAILS за последователни хвърляния, бихме направили същото.

Вероятността да получите опашки е , глави - .

Вероятност за получаване на последователността ОПАШКИ-ГЛАВИ-ОПАШКИ-ОПАШКИ:

Можете да проверите сами, като направите таблица.

Правилото за събиране на вероятностите за несъвместими събития.

Така че спри! Нова дефиниция.

Нека да го разберем. Нека вземем нашата изтъркана монета и я хвърлим веднъж.
Възможни опции:

1. Орел-орел-орел
2. Глави-глави-опашки
3. Глави-опашки-глави
4. Глави-опашки-опашки
5. Опашки-глави-глави
6. Опашки-глави-опашки
7. Опашки-опашки-глави
8. Опашки-опашки-опашки

И така, несъвместимите събития са определена, дадена последователност от събития. - това са несъвместими събития.

Ако искаме да определим каква е вероятността от две (или повече) несъвместими събитияслед това сумираме вероятностите за тези събития.

Трябва да разберете, че главите или опашките са две независими събития.

Ако искаме да определим вероятността за възникване на последователност (или която и да е друга), тогава използваме правилото за умножаване на вероятностите.
Каква е вероятността да получите глави при първото хвърляне и опашки при второто и третото хвърляне?

Но ако искаме да знаем каква е вероятността да получим една от няколко последователности, например, когато главите се появят точно веднъж, т.е. опции и тогава трябва да съберем вероятностите на тези последователности.

Общите опции ни подхождат.

Можем да получим същото, като съберем вероятностите за поява на всяка последователност:

По този начин добавяме вероятности, когато искаме да определим вероятността за определени, непоследователни последователности от събития.

Има страхотно правило, което ще ви помогне да избегнете объркване кога да умножавате и кога да събирате:

Нека се върнем към примера, където хвърлихме монета веднъж и искахме да знаем вероятността да видим глави веднъж.
Какво трябва да стане?

Трябва да изпадне:
(глави И опашки И опашки) ИЛИ (опашки И глави И опашки) ИЛИ (опашки И опашки И глави).
Ето как се оказва:

Нека да разгледаме няколко примера.

Пример 5.

В кутията има моливи. червено, зелено, оранжево, жълто и черно. Каква е вероятността да нарисувате червени или зелени моливи?

Решение:

Пример 6.

Ако зарът бъде хвърлен два пъти, каква е вероятността да получите общо 8?

Решение.

Как можем да вземем точки?

(и) или (и) или (и) или (и) или (и).

Вероятността да получите едно (всяко) лице е .

Ние изчисляваме вероятността:

обучение.

Мисля, че сега разбирате кога трябва да изчислите вероятностите, кога да ги добавите и кога да ги умножите. не е ли Нека се упражним малко.

Задачи:

Нека вземем тесте карти, съдържащо карти, включително пики, купи, 13 купа и 13 каро. От до Асо от всяка боя.

1. Каква е вероятността да изтеглим купи в един ред (поставяме първата извадена карта обратно в тестето и я разбъркваме)?
2. Каква е вероятността да изтеглите черна карта (пика или купа)?
3. Каква е вероятността да нарисувате картина (вале, дама, поп или асо)?
4. Каква е вероятността да изтеглите две картини подред (премахваме първата изтеглена карта от тестето)?
5. Каква е вероятността, вземайки две карти, да съберете комбинация - (вале, дама или поп) и асо, в което са изтеглени картите, няма значение.

Отговори:

Ако сте успели да разрешите всички проблеми сами, значи сте страхотни! Сега ще разбивате задачи по теория на вероятностите на Единния държавен изпит като луди!

ТЕОРИЯ НА ВЕРОЯТНОСТИТЕ. СРЕДНО НИВО

Нека разгледаме един пример. Да кажем, че хвърляме зар. Какъв вид кост е това, знаете ли? Това е, което наричат ​​куб с числа на лицата. Колко лица, толкова числа: от до колко? до.

И така, ние хвърляме зара и искаме той да излезе или. И ние го разбираме.

В теорията на вероятностите казват какво се е случило благоприятно събитие(да не се бърка с проспериращ).

Ако се случи, събитието също ще бъде благоприятно. Общо могат да се случат само две благоприятни събития.

Колко са неблагоприятните? Тъй като има общо възможни събития, това означава, че неблагоприятните са събития (това е ако или изпада).

определение:

Вероятността е отношението на броя на благоприятните събития към броя на всички възможни събития. Тоест, вероятността показва каква част от всички възможни събития са благоприятни.

Показва вероятност латиница(очевидно от английска думавероятност - вероятност).

Обичайно е вероятността да се измерва като процент (вижте темата). За да направите това, стойността на вероятността трябва да бъде умножена по. В примера със зарове, вероятност.

И в проценти: .

Примери (решете сами):

1. Каква е вероятността да получите глави при хвърляне на монета? Каква е вероятността за кацане на глави?
2. Каква е вероятността да получите четно число при хвърляне на зар? Кое е странно?
3. В кутия обикновени, сини и червени моливи. Рисуваме един молив произволно. Каква е вероятността да получите прост?

Решения:

1. Колко опции има? Остри и опашки - само две. Колко от тях са благоприятни? Само един е орел. Така че вероятността

   Същото е и с опашките: .

2. Общо опции: (колко страни има кубът, толкова много различни опции). Благоприятни: (това са всички четни числа:).
   Вероятност. Разбира се, същото е и с нечетните числа.
3. Общо: . Благоприятно:. Вероятност: .

Пълна вероятност

Всички моливи в кутията са зелени. Каква е вероятността да нарисувате червен молив? Няма шансове: вероятност (в края на краищата благоприятни събития -).

Такова събитие се нарича невъзможно.

Каква е вероятността да нарисувате зелен молив? Има точно същия брой благоприятни събития, колкото има всички събития (всички събития са благоприятни). Така че вероятността е равна на или.

Такова събитие се нарича надеждно.

Ако една кутия съдържа зелени и червени моливи, каква е вероятността да нарисувате зелен или червен? Отново. Нека отбележим това: вероятността да извадите зелено е равна, а червеното е равна.

Като цяло тези вероятности са напълно равни. т.е. сумата от вероятностите на всички възможни събития е равна на или.

Пример:

В кутия с моливи има сини, червени, зелени, обикновени, жълти, а останалите са оранжеви. Каква е вероятността да не нарисувате зелено?

Решение:

Помним, че всички вероятности се събират. И вероятността да получите зелено е равна. Това означава, че вероятността да не нарисувате зелено е равна.

Запомнете този трик:Вероятността събитието да не се случи е равна на минус вероятността събитието да се случи.

Независими събития и правилото за умножение

Хвърляте монета веднъж и искате тя да излезе с глави и двата пъти. Каква е вероятността от това?

Нека да прегледаме всички възможни опции и да определим колко са:

Глави-глави, опашки-глави, глави-опашки, опашки-опашки. Какви други?

Общо опции. От тях само един ни подхожда: Eagle-Eagle. Като цяло вероятността е равна.

Добре. Сега нека хвърлим монета веднъж. Сметнете си сами. проработи ли (отговор).

Може би сте забелязали, че с добавянето на всяко следващо хвърляне, вероятността намалява наполовина. Общо правилонаречен правило за умножение:

Вероятностите за независими събития се променят.

Какво представляват независимите събития? Всичко е логично: това са тези, които не зависят един от друг. Например, когато хвърляме монета няколко пъти, всеки път се прави ново хвърляне, резултатът от което не зависи от всички предишни хвърляния. Можем също толкова лесно да хвърлим две различни монети едновременно.

Още примери:

1. Заровете се хвърлят два пъти. Каква е вероятността да се появи и двата пъти?
2. Монетата се хвърля веднъж. Каква е вероятността първия път да излезе с глави, а след това два пъти с опашки?
3. Играчът хвърля два зара. Каква е вероятността сборът на числата върху тях да е равен?

Отговори:

1. Събитията са независими, което означава, че правилото за умножение работи: .
2. Вероятността за глави е равна. Вероятността за опашки е същата. Умножете:
3. 12 може да се получи само ако се хвърлят две -ki: .

Несъвместими събития и правилото за добавяне

Събития, които се допълват до степен на пълна вероятност, се наричат ​​несъвместими. Както подсказва името, те не могат да се случат едновременно. Например, ако хвърлим монета, тя може да излезе или с глави, или с опашки.

Пример.

В кутия с моливи има сини, червени, зелени, обикновени, жълти, а останалите са оранжеви. Каква е вероятността да нарисувате зелено или червено?

Разтвор .

Вероятността да нарисувате зелен молив е равна. Червено - .

Благоприятни събития във всички: зелено + червено. Това означава, че вероятността да нарисувате зелено или червено е еднаква.

Същата вероятност може да бъде представена в следната форма: .

Това е правилото за добавяне:вероятностите за несъвместими събития се сумират.

Проблеми от смесен тип

Пример.

Монетата се хвърля два пъти. Каква е вероятността резултатите от хвърлянията да са различни?

Разтвор .

Това означава, че ако първият резултат е глави, вторият трябва да е опашки и обратно. Оказва се, че има две двойки независими събития и тези двойки са несъвместими една с друга. Как да не се объркате къде да умножите и къде да добавите.

Има просто правило за такива ситуации. Опитайте се да опишете какво ще се случи, като използвате съюзите „И“ или „ИЛИ“. Например в този случай:

Трябва да излезе (глави и опашки) или (опашки и глави).

Където има връзка „и“ ще има умножение, а където има „или“ ще има събиране:

Опитайте сами:

1. Каква е вероятността, ако една монета бъде хвърлена два пъти, монетата да падне от една и съща страна и двата пъти?
2. Заровете се хвърлят два пъти. Каква е вероятността да получите общо точки?

Решения:

Друг пример:

Хвърлете монета веднъж. Каква е вероятността главите да се появят поне веднъж?

Решение:

ТЕОРИЯ НА ВЕРОЯТНОСТИТЕ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Вероятността е отношението на броя на благоприятните събития към броя на всички възможни събития.

Независими събития

Две събития са независими, ако настъпването на едното не променя вероятността другото да се случи.

Пълна вероятност

Вероятността за всички възможни събития е равна на ().

Вероятността събитието да не се случи е равна на минус вероятността събитието да се случи.

Правило за умножаване на вероятностите за независими събития

Вероятността за определена последователност от независими събития е равна на произведението на вероятностите за всяко събитие

Несъвместими събития

Несъвместими събития са тези, които не могат да възникнат едновременно в резултат на експеримент. Редица несъвместими събития образуват пълна група от събития.

Вероятностите за несъвместими събития се сумират.

След като описваме какво трябва да се случи, използвайки съюзите „И“ или „ИЛИ“, вместо „И“ поставяме знак за умножение, а вместо „ИЛИ“ поставяме знак за събиране.

Е, темата приключи. Щом четеш тези редове, значи си много готин.

Защото само 5% от хората са в състояние да овладеят нещо сами. И ако прочетете до края, значи сте в тези 5%!

Сега най-важното.

Разбрахте теорията по тази тема. И, повтарям, това... това е просто супер! Вие вече сте по-добри от огромното мнозинство от вашите връстници.

Проблемът е, че това може да не е достатъчно...

за какво?

За успешно полагане на Единния държавен изпит, за прием в колеж на бюджет и НАЙ-ВАЖНОТО – до живот.

Няма да те убеждавам в нищо, само едно ще кажа...

Хората, които са получили добро образование, печелят много повече от тези, които не са го получили. Това е статистика.

Но това не е основното.

Основното е, че са ПО-ЩАСТЛИВИ (има такива изследвания). Може би защото пред тях се отварят много повече възможности и животът става по-ярък? не знам...

Но помислете сами...

Какво е необходимо, за да сте сигурни, че сте по-добри от другите на Единния държавен изпит и в крайна сметка сте... по-щастливи?

СПЕЧЕЛЕТЕ СИ РЪКАТА КАТО РЕШАВАТЕ ЗАДАЧИ ПО ТАЗИ ТЕМА.

Няма да ви искат теория по време на изпита.

Ще ви трябва решавайте проблеми срещу времето.

И ако не сте ги решили (МНОГО!), определено ще направите глупава грешка някъде или просто няма да имате време.

Това е като в спорта - трябва да го повториш много пъти, за да спечелиш със сигурност.

Намерете колекцията, където пожелаете, задължително с решения, подробен анализ и решавайте, решавайте, решавайте!

Можете да използвате нашите задачи (по желание) и ние, разбира се, ги препоръчваме.

За да се справите по-добре с нашите задачи, трябва да помогнете да удължите живота на учебника YouClever, който четете в момента.

как? Има два варианта:

1. Отключете всички скрити задачи в тази статия -
2. Отключете достъп до всички скрити задачи във всичките 99 статии на учебника - Купете учебник - 499 рубли

Да, имаме 99 такива статии в нашия учебник и веднага се отваря достъп до всички задачи и всички скрити текстове в тях.

Осигурен е достъп до всички скрити задачи за ЦЕЛИЯ живот на сайта.

И в заключение...

Ако не харесвате нашите задачи, намерете други. Просто не спирайте до теорията.

„Разбрах“ и „Мога да реша“ са напълно различни умения. Трябват ви и двете.

Намерете проблеми и ги решете!

Необходимостта да се действа по вероятности възниква, когато вероятностите за някои събития са известни и е необходимо да се изчислят вероятностите за други събития, които са свързани с тези събития.

Събирането на вероятности се използва, когато трябва да изчислите вероятността за комбинация или логическа сума от случайни събития.

Сума от събития Аи бобозначавам А + били А ∪ б. Сумата от две събития е събитие, което се случва тогава и само ако се случи поне едно от събитията. Това означава, че А + б– събитие, което се случва тогава и само ако събитието се е случило по време на наблюдение Аили събитие б, или едновременно Аи б.

Ако събития Аи бса взаимно несъвместими и техните вероятности са дадени, тогава вероятността едно от тези събития да се случи в резултат на едно изпитание се изчислява чрез добавяне на вероятности.

Теорема за добавяне на вероятности.Вероятността да се случи едно от две взаимно несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите за тези събития:

Например по време на лов се произвеждат два изстрела. Събитие А– уцелване на патица с първия изстрел, събитие IN– попадение от втори удар, събитие ( А+ IN) – попадение от първи или втори удар или от два удара. Така че, ако две събития Аи IN– несъвместими събития, значи А+ IN– настъпването на поне едно от тези събития или две събития.

Пример 1.В кутия има 30 топки с еднакъв размер: 10 червени, 5 сини и 15 бели. Изчислете вероятността цветна (не бяла) топка да бъде взета без да се гледа.

Решение. Да приемем, че събитието А- „червената топка е взета“ и събитието IN- „Синята топка беше взета.“ Тогава събитието е „взета е цветна (не бяла) топка“. Нека намерим вероятността за събитието А:

и събития IN:

събития Аи IN– взаимно несъвместими, тъй като ако се вземе една топка, тогава топките не могат да бъдат взети различни цветове. Затова използваме добавянето на вероятности:

Теорема за събиране на вероятности за няколко несъвместими събития.Ако събитията представляват пълен набор от събития, тогава сумата от техните вероятности е равна на 1:

Сумата от вероятностите за противоположни събития също е равна на 1:

Противоположните събития образуват пълен набор от събития, а вероятността за пълен набор от събития е 1.

Вероятностите за противоположни събития обикновено се отбелязват с малки букви стри р. по-специално,

от което следват следните формули за вероятността от противоположни събития:

Пример 2.Мишената в стрелбището е разделена на 3 зони. Вероятността даден стрелец да стреля по мишената в първа зона е 0,15, във втора зона – 0,23, в трета зона – 0,17. Намерете вероятността стрелецът да уцели целта и вероятността стрелецът да пропусне целта.

Решение: Намерете вероятността стрелецът да уцели целта:

Нека намерим вероятността стрелецът да пропусне целта:

За по-сложни задачи, в които трябва да използвате както събиране, така и умножение на вероятности, вижте страницата "Различни задачи, включващи събиране и умножение на вероятности".

Събиране на вероятности за взаимно едновременни събития

Две случайни събития се наричат ​​съвместни, ако появата на едно събитие не изключва появата на второ събитие в същото наблюдение. Например при хвърляне на зар събитието АЧислото 4 се счита за разгърнато и събитието IN– хвърляне на четно число. Тъй като 4 е четно число, двете събития са съвместими. На практика има проблеми с изчисляването на вероятностите за настъпване на едно от взаимно едновременните събития.

Теорема за добавяне на вероятности за съвместни събития.Вероятността едно от съвместните събития да се случи е равна на сумата от вероятностите за тези събития, от която се изважда вероятността за общото случване на двете събития, т.е. произведението на вероятностите. Формулата за вероятностите за съвместни събития има следната форма:

От събитията Аи INсъвместим, събитие А+ INвъзниква, ако настъпи едно от три възможни събития: или AB. Съгласно теоремата за събиране на несъвместими събития, изчисляваме, както следва:

Събитие Аще се случи, ако се случи едно от двете несъвместими събития: или AB. Въпреки това, вероятността за възникване на едно събитие от няколко несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите на всички тези събития:

По същия начин:

Замествайки изрази (6) и (7) в израз (5), получаваме формулата на вероятността за съвместни събития:

При използване на формула (8) трябва да се има предвид, че събитията Аи INможе да бъде:

• взаимно независими;
• взаимно зависими.

Формула за вероятност за взаимно независими събития:

Формула на вероятността за взаимно зависими събития:

Ако събития Аи INса непоследователни, тогава съвпадението им е невъзможен случай и следователно, П(AB) = 0. Четвъртата вероятностна формула за несъвместими събития е:

Пример 3.В автомобилните състезания, когато карате първата кола, имате по-голям шанс да спечелите, а когато карате втората кола. намирам:

• вероятността и двете коли да спечелят;
• вероятността поне една кола да спечели;

1) Вероятността първата кола да спечели не зависи от резултата на втората кола, така че събитията А(първата кола печели) и IN(втората кола ще спечели) – независими събития. Нека намерим вероятността и двете коли да спечелят:

2) Намерете вероятността една от двете коли да спечели:

За по-сложни задачи, в които трябва да използвате както събиране, така и умножение на вероятности, вижте страницата "Различни задачи, включващи събиране и умножение на вероятности".

Решете сами проблема със събирането на вероятностите и след това вижте решението

Пример 4.Хвърлят се две монети. Събитие А- загуба на герба на първата монета. Събитие б- загуба на герба на втората монета. Намерете вероятността за събитие В = А + б .

Умножаване на вероятностите

Умножението на вероятностите се използва, когато трябва да се изчисли вероятността за логически продукт от събития.

В този случай случайните събития трябва да са независими. Две събития се наричат ​​взаимно независими, ако настъпването на едно събитие не влияе върху вероятността за настъпване на второто събитие.

Теорема за умножение на вероятностите за независими събития.Вероятност за едновременно възникване на две независими събития Аи INе равна на произведението на вероятностите за тези събития и се изчислява по формулата:

Пример 5.Монетата се хвърля три пъти подред. Намерете вероятността гербът да се появи и трите пъти.

Решение. Вероятността гербът да се появи при първото хвърляне на монета, втория път и третия път. Нека намерим вероятността гербът да се появи и трите пъти:

Решете сами задачи за умножение на вероятности и след това погледнете решението

Пример 6.Има кутия с девет нови тенис топки. За игра се вземат три топки, а след играта се връщат обратно. При избора на топки, играните топки не се разграничават от неиграните топки. Каква е вероятността след три игриИма ли останали неизиграни топки в полето?

Пример 7. 32 букви от руската азбука са написани на изрязани карти с азбука. Пет карти се изтеглят на случаен принцип една след друга и се поставят на масата по ред на появяване. Намерете вероятността буквите да образуват думата "край".

Пример 8.От пълно тесте карти (52 листа) се изваждат четири карти наведнъж. Намерете вероятността и четирите карти да са от различни цветове.

Пример 9.Същата задача като в пример 8, но всяка карта, след като бъде премахната, се връща в тестето.

По-сложни задачи, в които трябва да използвате както събиране и умножение на вероятности, така и да пресмятате произведението на няколко събития, можете да намерите на страницата "Различни задачи, включващи събиране и умножение на вероятности".

Вероятността поне едно от взаимно независимите събития да се случи може да се изчисли чрез изваждане от 1 на произведението на вероятностите за противоположни събития, тоест по формулата:

Пример 10.Товарите се доставят с три вида транспорт: речен, железопътен и автомобилен транспорт. Вероятността товарът да бъде доставен с речен транспорт е 0,82, с железопътен транспорт 0,87, с автотранспорт 0,90. Намерете вероятността товарът да бъде доставен с поне един от трите вида транспорт.

Теореми за събиране и умножение на вероятности.
Зависими и независими събития

Заглавието изглежда страшно, но в действителност всичко е много просто. В този урок ще се запознаем с теоремите за събиране и умножение на вероятностите за събития, както и ще анализираме типични проблеми, които заедно с задача за класическото определяне на вероятносттасъс сигурност ще се срещнете или, по-вероятно, вече сте срещнали по пътя си. За ефективно обучениематериалите на тази статия трябва да знаете и разбирате основните термини теория на вероятноститеи да може да извършва прости аритметични операции. Както можете да видите, изисква се много малко и следователно тлъст плюс в актива е почти гарантиран. Но от друга страна, отново предупреждавам за повърхностно отношение към практически примери– има и достатъчно тънкости. Успех:

Теорема за събиране на вероятности за несъвместими събития: вероятност за поява на едно от двете несъвместимисъбития или (без значение какво), е равна на сумата от вероятностите за тези събития:

Подобен факт важи и за повече количествонесъвместими събития, например за три несъвместими събития и:

Теоремата е мечта =) Такава мечта обаче подлежи на доказателство, което може да се намери например в учебникВ.Е. Гмурман.

Да се ​​запознаем с нови, непознати досега понятия:

Зависими и независими събития

Да започнем с независими събития. Събитията са независима , ако вероятността за възникване някой от тях не зависиза появата/непоявата на други събития от разглеждания набор (във всички възможни комбинации). ...Но защо си правите труда да изпробвате общи фрази:

Теорема за умножаване на вероятностите за независими събития: вероятността за съвместна поява на независими събития и е равна на произведението на вероятностите за тези събития:

Нека се върнем към най-простия пример от 1-ви урок, в който се хвърлят две монети и следните събития:

– главите ще се появят на 1-вата монета;
– главите ще се появят на втората монета.

Нека намерим вероятността за събитието (главите ще се появят на 1-вата монета ина втората монета ще се появи орел - помнете как да четете продукт на събитията!) . Вероятността за глави на една монета не зависи по никакъв начин от резултата от хвърлянето на друга монета, следователно събитията са независими.

По същия начин:
– вероятността 1-вата монета да падне с глави ина 2-ри опашки;
– вероятността главите да се появят на 1-вата монета ина 2-ри опашки;
– вероятността първата монета да покаже глави ина 2-ри орел.

Забележете, че събитията се формират пълна групаи сумата от техните вероятности е равна на единица: .

Теоремата за умножение очевидно се простира до по-голям брой независими събития, например, ако събитията са независими, тогава вероятността за тяхното съвместно възникване е равна на: . Да тренираме конкретни примери:

Проблем 3

Всяка от трите кутии съдържа 10 части. Първата кутия съдържа 8 стандартни части, втората – 7, третата – 9. От всяка кутия произволно се изважда по една част. Намерете вероятността всички части да бъдат стандартни.

Решение: вероятност за извличане на стандарт или нестандартна частот всяка кутия не зависи от това какви части ще бъдат извлечени от други кутии, така че проблемът се занимава с независими събития. Помислете за следните независими събития:

– от 1-ва кутия е извадена стандартна част;
– от 2-ра кутия е свалена стандартна част;
– от 3-та кутия е свалена стандартна част.

Според класическото определение:
са съответните вероятности.

Интересно за нас събитие (стандартна част ще бъде премахната от 1-вата кутия иот 2-ри стандарт иот 3-ти стандарт)се изразява чрез продукта.

Според теоремата за умножение на вероятностите за независими събития:

– вероятността една стандартна част да бъде премахната от три кутии.

отговор: 0,504

След тонизиращи упражнения с кутии ни очакват не по-малко интересни урни:

Проблем 4

Три урни съдържат 6 бели и 4 черни топки. От всяка урна се тегли произволно една топка. Намерете вероятността: а) и трите топки да са бели; б) и трите топки ще бъдат с един и същи цвят.

Въз основа на получената информация познайте как да се справите с точката „be“ ;-) Приблизителна пробарешенията са проектирани в академичен стил с подробен списък на всички събития.

Зависими събития. Събитието се нарича зависим , ако неговата вероятност зависиот едно или повече събития, които вече са се случили. Не е нужно да ходите далеч за примери – просто отидете до най-близкия магазин:

– утре от 19.00 часа ще се продава пресен хляб.

Вероятността за това събитие зависи от много други събития: дали утре ще бъде доставен пресен хляб, дали ще бъде разпродаден преди 19 часа или не и т.н. В зависимост от различни обстоятелстватова събитие може да бъде надеждно или невъзможно. Така че събитието е зависим.

Хляб... и, както изискват римляните, циркове:

– на изпита студентът ще получи обикновен билет.

Ако не сте първият, тогава събитието ще бъде зависимо, тъй като вероятността му ще зависи от това какви билети вече са изтеглени от съученици.

Как да определим зависимостта/независимостта на събитията?

Понякога това е директно посочено в изложението на проблема, но най-често трябва да извършите независим анализ. Тук няма еднозначна насока и фактът на зависимост или независимост на събитията следва от естествено логическо разсъждение.

За да не съберете всичко на една купчина, задачи за зависими събитияЩе подчертая следния урок, но засега ще разгледаме най-често срещания набор от теореми в практиката:

Задачи върху теореми за събиране на несъвместими вероятности
и умножаване на вероятностите за независими събития

Този тандем, по моя субективна оценка, работи в приблизително 80% от задачите по разглежданата тема. Хит на хитовете и истинска класика на теорията на вероятностите:

Проблем 5

Двама стрелци са стреляли по един изстрел в мишената. Вероятността за попадение за първия стрелец е 0,8, за втория - 0,6. Намерете вероятността, че:

а) само един стрелец ще уцели целта;
б) поне един от стрелците ще уцели целта.

Решение: Коефициентът на попадение/пропускане на един стрелец е очевидно независим от представянето на другия стрелец.

Да разгледаме събитията:
– 1-ви стрелец ще уцели целта;
– Вторият стрелец ще уцели целта.

Според условието:.

Нека намерим вероятностите за противоположни събития - че съответните стрелки ще пропуснат:

a) Помислете за събитието: – само един стрелец ще уцели целта. Това събитие се състои от два несъвместими резултата:

Първият стрелец ще уцели и 2-ри ще пропусне
или
1-ви ще пропусне иВторият ще удари.

На езика алгебри на събитиятатози факт ще бъде записан със следната формула:

Първо използваме теоремата за събиране на вероятностите за несъвместими събития, след това теоремата за умножаване на вероятностите за независими събития:

– вероятността да има само едно попадение.

b) Разгледайте събитието: – поне един от стрелците уцелва целта.

Първо, ДА ПОМИСЛИМ – какво означава условието „ПОНЕ ЕДИН”? В този случай това означава, че или първият стрелец ще уцели (вторият ще пропусне) или 2-ри (1-ви ще пропусне) илии двамата стрелци наведнъж - общо 3 несъвместими изхода.

Метод първи: като се вземе предвид вероятността за готовност от предишната точка, е удобно събитието да се представи като сума от следните несъвместими събития:

някой ще стигне до там (събитие, състоящо се на свой ред от 2 несъвместими резултата) или
Ако и двете стрелки са уцелени, отбелязваме това събитие с буквата .

Така:

Според теоремата за умножение на вероятностите за независими събития:
– вероятност първият стрелец да уцели иВторият стрелец ще уцели.

Според теоремата за събиране на вероятности от несъвместими събития:
– вероятността за поне едно попадение в целта.

Метод втори: Помислете за обратното събитие: – и двамата стрелци ще пропуснат.

Според теоремата за умножение на вероятностите за независими събития:

В резултат на това:

Обърнете специално внимание на втория метод - като цяло той е по-рационален.

Освен това има алтернативен, трети начин за решаването му, базиран на теоремата за събиране на съвместни събития, който не беше споменат по-горе.

! Ако се запознавате с материала за първи път, тогава, за да избегнете объркване, е по-добре да пропуснете следващия параграф.

Метод трети : събитията са съвместими, което означава, че тяхната сума изразява събитието „поне един стрелец ще уцели целта“ (вж. алгебра на събитията). от теоремата за добавяне на вероятности за съвместни събитияи теоремата за умножение на вероятностите за независими събития:

Да проверим: събития и (съответно 0, 1 и 2 попадения)образуват пълна група, така че сумата от техните вероятности трябва да е равна на единица:
, което трябваше да се провери.

отговор:

При задълбочено изучаване на теорията на вероятностите ще се натъкнете на десетки проблеми с милитаристично съдържание и, което е характерно, след това няма да искате да застреляте никого - проблемите са почти подарък. Защо не опростите и шаблона? Нека съкратим записа:

Решение: по условие: , – вероятност за попадение на съответните стрелци. Тогава вероятностите за пропуска им:

а) Съгласно теоремите за събиране на вероятности за несъвместими и умножение на вероятности за независими събития:
– вероятността само един стрелец да уцели целта.

б) Според теоремата за умножение на вероятностите за независими събития:
– вероятността и двамата стрелци да пропуснат.

Тогава: – вероятността поне един от стрелците да уцели целта.

отговор:

На практика можете да използвате всяка опция за дизайн. Разбира се, много по-често те минават по краткия път, но не трябва да забравяме 1-вия метод - въпреки че е по-дълъг, той е по-смислен - по-ясен е, какво, защо и защосъбира и умножава. В някои случаи е подходящ хибриден стил, когато с главни буквиУдобно е да посочите само някои събития.

Подобни задачи за независимо решение:

Проблем 6

За сигнализиране на пожар са монтирани два независимо работещи сензора. Вероятностите сензорът да заработи в случай на пожар са съответно 0,5 и 0,7 за първия и втория сензор. Намерете вероятността при пожар:

а) и двата сензора ще се повредят;
б) и двата сензора ще работят.
в) Използване теоремата за събиране на вероятностите за събития, образуващи пълна група, намерете вероятността само един сензор да работи при пожар. Проверете резултата, като директно изчислите тази вероятност (използвайки теореми за събиране и умножение).

Тук независимостта на работата на устройствата е директно посочена в условието, което между другото е важно уточнение. Примерното решение е оформено в академичен стил.

Ами ако в подобна задача са дадени еднакви вероятности, например 0,9 и 0,9? Трябва да решите точно същото! (което всъщност вече беше демонстрирано в примера с две монети)

Проблем 7

Вероятността за попадение в целта от първия стрелец с един изстрел е 0,8. Вероятността мишената да не бъде улучена, след като първият и вторият стрелец дадат по един изстрел, е 0,08. Каква е вероятността вторият стрелец да уцели целта с един изстрел?

И това е малък пъзел, който е проектиран накратко. Условието може да се преформулира по-сбито, но няма да преправям оригинала - на практика трябва да се заровя в по-пищни измислици.

Запознайте се с него - той е този, който е планирал огромно количество подробности за вас =):

Проблем 8

Един работник управлява три машини. Вероятността по време на смяна първата машина да изисква настройка е 0,3, втората - 0,75, третата - 0,4. Намерете вероятността по време на смяната:

а) всички машини ще изискват настройка;
б) само една машина ще изисква настройка;
в) поне една машина ще изисква настройка.

Решение: тъй като условието не казва нищо за сингъл технологичен процес, тогава работата на всяка машина трябва да се счита за независима от работата на други машини.

По аналогия със задача № 5, тук можете да вземете предвид събитията, които съответните машини ще изискват настройки по време на смяната, да запишете вероятностите, да намерите вероятностите за противоположни събития и т.н. Но с три обекта не искам да формулирам задачата по този начин - ще се окаже дълго и досадно. Ето защо е значително по-изгодно да използвате „бързия“ стил тук:

Според условието: – вероятността по време на смяната съответните машини да изискват настройка. Тогава вероятностите те да не изискват внимание са:

Един от читателите намери страхотна печатна грешка тук, дори няма да я коригирам =)

а) Според теоремата за умножение на вероятностите за независими събития:
– вероятността по време на смяната и трите машини да изискват настройки.

b) Събитието „По време на смяната само една машина ще изисква настройка“ се състои от три несъвместими резултата:

1) 1-ва машина ще изисквавнимание и 2-ра машина няма да изисква и 3-та машина няма да изисква
или:
2) 1-ва машина няма да изисквавнимание и 2-ра машина ще изисква и 3-та машина няма да изисква
или:
3) 1-ва машина няма да изисквавнимание и 2-ра машина няма да изисква и 3-та машина ще изисква.

Съгласно теоремите за събиране на вероятности за несъвместими и умножение на вероятности за независими събития:

– вероятността по време на смяна само една машина да изисква настройка.

Мисля, че вече трябва да разберете откъде идва изразът

в) Нека изчислим вероятността машините да не се нуждаят от настройка и след това вероятността от обратното събитие:
– че поне една машина ще изисква настройка.

отговор:

Точка „ve“ също може да бъде решена чрез сумата, където е вероятността по време на смяна само две машини да изискват настройка. Това събитие от своя страна включва 3 несъвместими резултата, които се описват по аналогия с точката „be“. Опитайте се сами да намерите вероятността, за да проверите целия проблем, като използвате равенството.

Проблем 9

По целта е даден залп от три оръдия. Вероятността за попадение само с един изстрел от първия пистолет е 0,7, от втория – 0,6, от третия – 0,8. Намерете вероятността: 1) поне един снаряд да удари целта; 2) само два снаряда ще ударят целта; 3) целта ще бъде ударена поне два пъти.

Решението и отговорът са в края на урока.

И отново за съвпаденията: ако според условието две или дори всички стойности на първоначалните вероятности съвпадат (например 0,7, 0,7 и 0,7), тогава трябва да се следва точно същият алгоритъм за решение.

За да завършим тази статия, нека разгледаме друг често срещан пъзел:

Проблем 10

Стрелецът уцелва целта с еднаква вероятност при всеки изстрел. Каква е тази вероятност, ако вероятността за поне едно попадение с три изстрела е 0,973.

Решение: нека означим с – вероятността за попадение в целта с всеки изстрел.
и чрез - вероятността за пропуск с всеки изстрел.

И нека запишем събитията:
– при 3 изстрела стрелецът ще уцели целта поне веднъж;
– стрелецът ще пропусне 3 пъти.

По условие, тогава вероятността от обратното събитие:

От друга страна, според теоремата за умножение на вероятностите за независими събития:

Така:

- вероятността за пропуск при всеки изстрел.

В резултат на това:
– вероятността за попадение с всеки изстрел.

отговор: 0,7

Просто и елегантно.

В разглеждания проблем могат да бъдат зададени допълнителни въпроси относно вероятността само за едно попадение, само за две попадения и вероятността за три попадения в целта. Схемата на решение ще бъде точно същата като в двата предишни примера:

Основната съществена разлика обаче е, че тук ги има повтарящи се независими тестове, които се извършват последователно, независимо един от друг и с еднаква вероятност за резултати.

Теорема за добавяне на вероятности

Нека разгледаме несъвместимите случайни събития.

Известно е, че несъвместимите случайни събития $A$ и $B$ в едно и също изпитване имат вероятности за поява съответно $P\left(A\right)$ и $P\left(B\right)$. Нека намерим вероятността от сумата $A+B$ на тези събития, тоест вероятността за настъпване на поне едно от тях.

Да приемем, че в даден тест броят на всички еднакво възможни елементарни събития е $n$. От тях събития $A$ и $B$ се предпочитат съответно от $m_(A) $ и $m_(B) $ елементарни събития. Тъй като събитията $A$ и $B$ са несъвместими, тогава събитието $A+B$ е предпочитано от $m_(A) +m_(B)$ елементарни събития. Имаме $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\frac(m_(B) ) (n) =P\left(A\right)+P\left(B\right)$.

Теорема 1

Вероятността за сумата от две несъвместими събития е равна на сумата от техните вероятности.

Бележка 1

Следствие 1.Вероятността за сумата от произволен брой несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите за тези събития.

Следствие 2.Сумата от вероятностите на пълна група от несъвместими събития (сумата от вероятностите на всички елементарни събития) е равна на единица.

Следствие 3.Сумата от вероятностите за противоположни събития е равна на единица, тъй като те образуват пълна група от несъвместими събития.

Пример 1

Вероятността никога да не вали в града известно време е $p=0,7$. Намерете вероятността $q$ през същото време в града да вали поне веднъж.

Събитията „известно време никога не е валяло в града“ и „известно време в града поне веднъж е валяло“ са противоположни. Следователно $p+q=1$, следователно $q=1-p=1-0,7=0,3$.

Нека разгледаме съвместни случайни събития.

Известно е, че съвместните случайни събития $A$ и $B$ в едно и също изпитване имат вероятности за поява съответно $P\left(A\right)$ и $P\left(B\right)$. Нека намерим вероятността от сумата $A+B$ на тези събития, тоест вероятността за настъпване на поне едно от тях.

Да приемем, че в даден тест броят на всички еднакво възможни елементарни събития е $n$. От тях събития $A$ и $B$ са предпочитани съответно от $m_(A) $ и $m_(B) $ елементарни събития. Тъй като събитията $A$ и $B$ са съвместими, тогава от общия брой $m_(A) +m_(B) $ елементарни събития, определен брой $m_(AB) $ благоприятстват и двете събития $A $ и събитието $B$, тоест тяхното съвместно възникване (производство на събития $A\cdot B$). Това количество $m_(AB) $ влезе едновременно в $m_(A) $ и $m_(B) $ Така че събитието $A+B$ се предпочита от $m_(A) +m_(B) -m_(AB) $ елементарни събития. Имаме: $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B) -m_(AB) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\ frac (m_(B) )(n) -\frac(m_(AB) )(n) =P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cdot B\ правилно )$.

Теорема 2

Вероятността за сумата от две съвместни събития е равна на сумата от вероятностите за тези събития минус вероятността от техния продукт.

Коментирайте. Ако събития $A$ и $B$ са непоследователни, тогава техният продукт $A\cdot B$ е невъзможно събитие, чиято вероятност $P\left(A\cdot B\right)=0$. Следователно формулата за събиране на вероятностите за несъвместими събития е специален случай на формулата за събиране на вероятностите за съвместни събития.

Пример 2

Намерете вероятността, когато два зара се хвърлят едновременно, числото 5 да се появи поне веднъж.

При едновременно хвърляне на два зара броят на всички еднакво възможни елементарни събития е $n=36$, тъй като за всяко число от първия зар могат да се появят шест числа от втория зар. От тях събитието $A$ - падането на числото 5 на първия зар - се изпълнява 6 пъти, събитието $B$ - изпадането на числото 5 на втория зар - също се изпълнява 6 пъти. От всички дванадесет пъти, числото 5 се появява веднъж и на двата зара. Така $P\left(A+B\right)=\frac(6)(36) +\frac(6)(36) -\frac(1)(36) =\frac(11)(36) $ .

Теорема за умножение на вероятностите

Нека разгледаме независими събития.

Събитията $A$ и $B$, които се случват в две последователни изпитания, се наричат ​​независими, ако вероятността за възникване на събитие $B$ не зависи от това дали събитие $A$ се е случило или не.

Например нека в една урна има 2 бели и 2 черни топки. Тестът е да извадите топката. Събитието $A$ е "бялата топка е изтеглена в първия опит." Вероятност $P\left(A\right)=\frac(1)(2) $. След първия тест топката беше върната обратно и беше направен втори тест. Събитие $B$ -- ``бялата топка е изтеглена във втория опит''. Вероятност $P\left(B\right)=\frac(1)(2) $. Вероятността $P\left(B\right)$ не зависи от това дали събитието $A$ се е състояло или не, следователно събитията $A$ и $B$ са независими.

Известно е, че независимите случайни събития $A$ и $B$ от две последователни опити имат вероятности за поява съответно $P\left(A\right)$ и $P\left(B\right)$. Нека намерим вероятността за произведението $A\cdot B$ на тези събития, тоест вероятността за тяхното съвместно възникване.

Да приемем, че в първия тест броят на всички еднакво възможни елементарни събития е $n_(1) $. От тях събитие $A$ е предпочитано от $m_(1)$ елементарни събития. Нека приемем също, че във втория тест броят на всички еднакво възможни елементарни събития е $n_(2) $. От тях събитие $B$ е предпочитано от $m_(2)$ елементарни събития. Сега разгледайте ново елементарно събитие, което се състои от последователно възникване на събития от първия и втория тест. Общият брой на такива еднакво възможни елементарни събития е равен на $n_(1) \cdot n_(2) $. Тъй като събитията $A$ и $B$ са независими, тогава от това число съвместното появяване на събитие $A$ и събитие $B$ (продуктът на събития $A\cdot B$) се предпочита от $m_(1) \ cdot m_(2) $ събития. Имаме: $P\left(A\cdot B\right)=\frac(m_(1) \cdot m_(2) )(n_(1) \cdot n_(2) ) =\frac(m_(1) ) (n_(1) ) \cdot \frac(m_(2) )(n_(2) ) =P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)$.

Теорема 3

Вероятността за произведението на две независими събития е равна на произведението на вероятностите за тези събития.

Нека разгледаме зависимите събития.

В два последователни опита възникват събития $A$ и $B$. Събитие $B$ се нарича зависимо от събитие $A$, ако вероятността за настъпване на събитие $B$ зависи от това дали събитието $A$ се е състояло или не. Тогава вероятността за събитие $B$, която е изчислена при условие, че се е случило събитие $A$, се нарича условна вероятност за събитие $B$ при дадено $A$ и се обозначава с $P\left(B/A\right) $.

Например нека в една урна има 2 бели и 2 черни топки. Тестът е изваждането на топката. Събитието $A$ е "бялата топка е изтеглена в първия опит." Вероятност $P\left(A\right)=\frac(1)(2) $. След първия тест топката не се връща обратно и се извършва втори тест. Събитие $B$ -- ``бялата топка е изтеглена във втория опит''. Ако в първия опит е изтеглена бяла топка, тогава вероятността е $P\left(B/A\right)=\frac(1)(3) $. Ако при първия опит е изтеглена черна топка, тогава вероятността е $P\left(B/\overline(A)\right)=\frac(2)(3) $. По този начин вероятността за събитие $B$ зависи от това дали събитие $A$ се е случило или не, следователно събитие $B$ зависи от събитие $A$.

Да предположим, че събития $A$ и $B$ се случват в две последователни опита. Известно е, че събитието $A$ има вероятност за възникване $P\left(A\right)$. Известно е също, че събитие $B$ зависи от събитие $A$ и неговата условна вероятност, дадена $A$, е равна на $P\left(B/A\right)$.

Теорема 4

Вероятността за произведението на събитие $A$ и зависимо събитие $B$, тоест вероятността за тяхното съвместно възникване, може да се намери по формулата $P\left(A\cdot B\right)=P\ ляво(A\дясно)\cdot P\ляво(B/A\дясно)$.

Симетричната формула $P\left(A\cdot B\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A/B\right)$ също е валидна, където събитието $A$ се приема за зависи от събитието $ B$.

За условията на последния пример намираме вероятността бялата топка да бъде изтеглена и в двата опита. Такова събитие е продукт на събития $A$ и $B$. Вероятността му е равна на $P\left(A\cdot B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)=\frac(1)(2) \cdot \ frac( 1)(3) =\frac(1)(6) $.

Образователна институция „Беларуска държава

Селскостопанска академия"

Катедра Висша математика

СЪБИРАНЕ И УМНОЖЕНИЕ НА ВЕРОЯТНОСТИ. ПОВТОРНИ НЕЗАВИСИМИ ТЕСТОВЕ

Лекция за студенти от факултет „Земеустройство“.

задочни курсове

Горки, 2012 г

Събиране и умножение на вероятности. Повтаря се

независими тестове

Добавяне на вероятности

Сборът от две съвместни събития Аи INнаречено събитие СЪС, състоящ се в настъпването на поне едно от събитията Аили IN. По същия начин сборът от няколко съвместни събития е събитие, състоящо се от настъпването на поне едно от тези събития.

Сборът от две несъвместими събития Аи INнаречено събитие СЪСсъстоящ се от събитие или събитие А, или събития IN. По същия начин, сумата от няколко несъвместими събития е събитие, състоящо се от настъпването на някое от тези събития.

Валидна е теоремата за събиране на вероятностите за несъвместими събития: вероятността за сумата от две несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите за тези събития , т.е. . Тази теорема може да се разшири до всеки краен брой несъвместими събития.

От тази теорема следва:

сумата от вероятностите за събития, образуващи пълна група, е равна на единица;

сумата от вероятностите за противоположни събития е равна на единица, т.е.
.

Пример 1 . Кутията съдържа 2 бели, 3 червени и 5 сини топки. Топките се смесват и една се тегли на случаен принцип. Каква е вероятността топката да е оцветена?

Решение . Нека обозначим събитията:

А=(изтеглена цветна топка);

б=(изтеглена бяла топка);

В=(изтеглена червена топка);

г=(изтеглена синя топка).

Тогава А= В+ г. От събитията В, гса непоследователни, тогава ще използваме теоремата за добавяне на вероятностите за несъвместими събития: .

Пример 2 . Урната съдържа 4 бели топки и 6 черни. От урната се изтеглят произволно 3 топки. Каква е вероятността всички те да са с един и същи цвят?

Решение .

АНека обозначим събитията:

б=(теглени са топки от един и същи цвят);

В=(изваждат се бели топки);

=(изваждат се черни топки). А= б+ Взащото INи СЪСи събития
са несъвместими, а след това по теоремата за събиране на вероятностите за несъвместими събития IN. Вероятност за събитие
равно на
4,

, Къде . Да заместими кп
във формулата и получаваме СЪС:
равно на
,
По същия начин намираме вероятността за събитието
, т.е.
.

. Тогава Пример 3

Решение . Нека обозначим събитията:

А. От тесте с 36 карти се теглят произволно 4 карти. Намерете вероятността сред тях да има поне три аса.

б=(сред извадените карти има поне три аса);

В=(сред извадените карти има три аса);

=(изваждат се черни топки). А= б+ В=(сред извадените карти има четири аса). INи СЪС, и събития
тогава са несъвместими INи СЪС:

,
. Нека намерим вероятностите за събития

0.0022.

. Следователно вероятността сред изтеглените карти да има поне три аса е равна на

Умножаване на вероятностите Работата Аи INнаречено събитие СЪСдве събития
, състоящ се в съвместното възникване на тези събития:

. Това определение се прилага за всеки краен брой събития. независима Двете събития се наричат ,, … ,, ако вероятността едно от тях да се случи не зависи от това дали другото събитие се е случило или не. събития се наричат колективно независими

, ако вероятността за настъпване на всяко от тях не зависи от това дали други събития са настъпили или не. Пример 4

А. Двама стрелци стрелят по мишена. Нека обозначим събитията:

б=(първият стрелец уцели целта);

=(вторият стрелец уцели целта). Аи INОчевидно е, че вероятността първият стрелец да уцели целта не зависи от това дали вторият стрелец е уцелил или пропуснал, и обратното. Следователно, събития

независима. вероятността от произведението на две независими събития е равна на произведението от вероятностите на тези събития : .

Тази теорема е валидна и за кколективно независими събития: .

Пример 5 . Двама стрелци стрелят по една и съща цел. Вероятността за уцелване на първия стрелец е 0,9, а на втория е 0,7. И двамата стрелци стрелят по един изстрел. Определете вероятността да има две попадения в целта.

Решение . Нека обозначим събитията:

А

б

В=(и двамата стрелци ще уцелят целта).

защото
, и събития Аи INзначи са независими
, т.е.

събития Аи INсе наричат зависим , ако вероятността едно от тях да се случи зависи от това дали е настъпило друго събитие или не. Вероятност за настъпване на събитие Апри условие, че събитието INвече е пристигнал, вика се условна вероятност и е обозначен
или
.

Пример 6 . Урната съдържа 4 бели и 7 черни топки. От урната се вадят топки. Нека обозначим събитията:

А=(изтеглена бяла топка) ;

б=(изтеглена черна топка).

Преди да започнете да изваждате топките от урната
. От урната е взета една топка, която се оказва черна. Тогава вероятността от събитието Аслед събитието INще има друг, равен . Това означава, че вероятността от събитие Азависи от събитието IN, т.е. тези събития ще бъдат зависими.

Валидна е теоремата за умножаване на вероятностите от зависими събития: вероятността за настъпване на две зависими събития е равна на произведението на вероятността за едно от тях и условната вероятност за другото, изчислена при предположението, че първото събитие вече се е случило, т.е. или

Пример 7 . Урната съдържа 4 бели топки и 8 червени топки. От него произволно се изтеглят последователно две топки. Намерете вероятността и двете топки да са черни.

Решение . Нека обозначим събитията:

А=(първо изтеглена черна топка);

б=(изтеглена е втората черна топка).

събития Аи INзависим, защото
, А
, т.е.
.

Пример 8 . Трима стрелци стрелят по целта независимо един от друг. Вероятността за попадение в целта за първия стрелец е 0,5, за втория – 0,6 и за третия – 0,8. Намерете вероятността да има две попадения в мишената, ако всеки стрелец стреля по един изстрел.

Решение . Нека обозначим събитията:

А=(ще има две попадения в целта);

б=(първият стрелец ще уцели целта);

В=(вторият стрелец ще уцели целта);

г=(третият стрелец ще уцели целта);

=(първият стрелец няма да уцели целта);

=(вторият стрелец няма да уцели целта);

=(третият стрелец няма да уцели целта).

Според примера
,
,
,

,
,
. Тъй като, използвайки теоремата за събиране на вероятностите за несъвместими събития и теоремата за умножаване на вероятностите за независими събития, получаваме:

Нека събития
формират пълна група от събития на някакъв тест и събитията Аможе да възникне само с едно от тези събития. Ако са известни вероятностите и условните вероятности на събитието А, тогава вероятността за събитие А се изчислява по формулата:

или
. Тази формула се нарича формула за обща вероятност , и събития
хипотези .

Пример 9 . Конвейерът получава 700 части от първата машина и 300 части от втория. Първата машина произвежда 0,5% скрап, а втората - 0,7%. Намерете вероятността взетата част да е дефектна.

Решение . Нека обозначим събитията:

А=(полученият артикул ще бъде дефектен);

=(частта е направена на първата машина);

=(частта е изработена на втората машина).

Вероятността частта да бъде направена на първата машина е равна на
. За втората машина
. Според условието вероятността за получаване на дефектна част, направена на първата машина, е равна на
. За втората машина тази вероятност е равна на
. Тогава вероятността взетата част да е дефектна се изчислява по формулата за обща вероятност

Ако е известно, че в резултат на теста е настъпило някакво събитие А, тогава вероятността това събитие да се е случило с хипотезата
, е равно
равно на
- обща вероятност за събитие А. Тази формула се нарича Формула на Бейс и ви позволява да изчислявате вероятностите за събития
след като стана известно, че събитието Авече е пристигнал.

Пример 10 . Еднотипните авточасти се произвеждат в два завода и се доставят до магазина. Първият завод произвежда 80% от общия брой части, а вторият - 20%. Продуктите на първия завод съдържат 90% стандартни части, а вторият - 95%. Купувачът закупи една част и се оказа стандартна. Намерете вероятността тази част да е произведена във втория завод.

Решение . Нека обозначим събитията:

А=(закупена стандартна част);

=(частта е произведена в първия завод);

=(частта е произведена във втория завод).

Според примера
,
,
и
. Нека изчислим общата вероятност на събитието А: 0,91. Ние изчисляваме вероятността частта да е произведена във втория завод, използвайки формулата на Bayes:

.

Задачи за самостоятелна работа

Вероятността за попадение в целта за първия стрелец е 0,8, за втория – 0,7 и за третия – 0,9. Стрелците са произвели по един изстрел. Намерете вероятността да има поне две попадения в целта.

Ремонтната работилница получи 15 трактора. Известно е, че 6 от тях трябва да сменят двигателя, а останалите трябва да сменят отделни компоненти. На случаен принцип се избират три трактора. Намерете вероятността смяната на двигателя да е необходима за не повече от два избрани трактора.

Стоманобетоновият завод произвежда панели, 80% от които са с най-високо качество.

Трима работници сглобяват лагери. Вероятността лагерът, сглобен от първия работник, да е с най-високо качество е 0,7, от втория – 0,8 и от третия – 0,6. За контрол се взема произволно по един лагер от сглобените от всеки работник. Намерете вероятността поне две от тях да са с най-високо качество.

Вероятността да спечелите първия лотарен билет е 0,2, втория е 0,3 и третия е 0,25. За всеки брой има по един билет. Намерете вероятността поне два билета да спечелят.

Счетоводителят извършва изчисления, като използва три справочника. Вероятността данните, които го интересуват, да са в първата директория е 0,6, във втората - 0,7 и в третата - 0,8. Намерете вероятността данните, които интересуват счетоводителя, да се съдържат в не повече от две директории.

Три машини произвеждат части. Първата машина произвежда част от най-високо качество с вероятност 0,9, втората с вероятност 0,7 и третата с вероятност 0,6. От всяка машина се взема произволно една част. Намерете вероятността поне две от тях да са с най-високо качество.

Еднотипните детайли се обработват на две машини. Вероятността за производство на нестандартна част за първата машина е 0,03, за втората - 0,02. Обработените части се съхраняват на едно място.

Сред тях 67% са от първата машина, а останалите са от втората. Произволно взетата част се оказа стандартна. Намерете вероятността да е направено на първата машина.

Сервизът получи две кутии от същия тип кондензатори. Първата кутия съдържаше 20 кондензатора, от които 2 бяха дефектни. Втората кутия съдържа 10 кондензатора, от които 3 са дефектни.

Кондензаторите бяха поставени в една кутия. Намерете вероятността кондензатор, взет произволно от кутия, да бъде в добро състояние. АТри машини произвеждат еднотипни части, които се подават към общ конвейер. От всички части 20% са от първата машина, 30% от втората и 505 от третата. INВероятността за производство на стандартен детайл на първата машина е 0,8, на втората – 0,6 и на третата – 0,7. Взетата част се оказа стандартна. Намерете вероятността тази част да е направена на третата машина. АМонтажникът получава 40% от частите от фабриката за сглобяване IN, а останалите - фабрично IN.

10 ученици от първа група и 8 от втора бяха разпределени за участие в ученически спортни състезания. Вероятността студент от първа група да попадне в отбора на академията е 0,8, а от втора – 0,7. В отбора беше включен произволно избран ученик. Намерете вероятността той да е от първата група.

Формула на Бернули

Тестовете се наричат независима , ако за всеки от тях събитието Асе случва със същата вероятност
, независимо дали това събитие се е появило или не в други опити. Вероятност за обратното събитие в този случай е равно
.

Пример 11 . Зарове се хвърлят кведнъж. Да обозначим събитието А=(търкаляне на три точки). Вероятност за настъпване на събитие Авъв всеки опит е еднакъв и не зависи от това дали това събитие се е случило или не в други опити. Следователно тези тестове са независими. Вероятност за обратното събитие
(без хвърляне на три точки) е равно на
.

Вероятността, че в кнезависими опити, във всяко от които вероятността за настъпване на събитие Аравно на стр, събитието ще се случи точно . Да заместимпъти (няма значение в какъв ред), изчислени по формулата
равно на
. Тази формула се нарича Формула на Бернули и е удобно, ако броят на тестовете n не е твърде голям.

Пример 12 . Делът на плодовете, заразени с болестта в латентна форма, е 25%. 6 плода са избрани на случаен принцип. Намерете вероятността сред избраните да има: а) точно 3 заразени плода; б) не повече от два заразени плода.

Решение . Според примерните условия.

а) Според формулата на Бернули вероятността от шест избрани плода точно три да бъдат заразени е равна на

0.132.

б) Да обозначим събитието А=(не повече от два плода ще бъдат заразени). Тогава. Според формулата на Бернули:

0.297.

следователно
0.178+0.356+0.297=0.831.

Теореми на Лаплас и Поасон

Формулата на Бернули се използва за намиране на вероятността дадено събитие Аще дойде . Да заместимведнъж на всеки кнезависими опити и във всеки опит вероятността от събитие Ае постоянен. За големи стойности на n изчисленията, използващи формулата на Бернули, стават трудоемки. В този случай, за да се изчисли вероятността от събитие АБи било по-добре да използвате друга формула.

Локална теорема на Лаплас . Нека вероятността стрнастъпване на събитие Авъв всеки опит е постоянна и различна от нула и единица. Тогава вероятността събитието Аще дойде точно . Да заместимпъти с достатъчно голям брой n тестове, изчислени по формулата

, Къде
и стойностите на функцията
са дадени в таблицата.

Основни свойства на функцията
са:

функция
определени и непрекъснати в интервала
.

функция
е положителен, т.е.
>0.

функция
даже, т.е.
.

Тъй като функцията
е четен, тогава таблицата показва стойностите му само за положителни стойности X.

Пример 13 . Кълняемостта на семената на пшеницата е 80%. За опита се избират 100 семена. Намерете вероятността точно 90 от избраните семена да поникнат.

Решение . Според примера к=100, . Да заместим=90, стр=0.8, р=1-0,8=0,2. Тогава
. С помощта на таблицата намираме стойността на функцията
:
.
0.0044.

Вероятността точно 90 от избраните семена да покълнат е равна на При решаванепрактически проблеми Аима нужда да се намери вероятността за настъпване на събитие кпри независими тестове не по-малко веднъж и не повече веднъж. Този проблем се решава с помощта на Интегрална теорема на Лаплас стрнастъпване на събитие А: Нека вероятността квъв всяка независими тестове не по-малко независими тестове е постоянна и различна от нула и единица. Тогава вероятността събитието да се случи е най-малко

пъти с достатъчно голям брой тестове, се изчислява по формулата
,
.

функция
Къде наречен Функция на Лаплас

Основни свойства на функцията
са:

.

функция
и не се изразява чрез елементарни функции. Стойностите на тази функция са дадени в специални таблици.
.

нараства в интервала
.

функция
при
.

странно, т.е. Пример 14

Решение . Компанията произвежда продукти, 13% от които не са с най-високо качество. Определете вероятността в нетествана партида от 150 единици най-висококачествен продукт да има не по-малко от 125 и не повече от 135.
,