6.1. ОСНОВНИ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

При решаване различни задачиВ математиката и физиката, биологията и медицината доста често не е възможно незабавно да се установи функционална връзка под формата на формула, свързваща променливите, които описват изследвания процес. Обикновено трябва да използвате уравнения, които съдържат, в допълнение към независимата променлива и неизвестната функция, също и нейните производни.

Определение.Извиква се уравнение, свързващо независима променлива, неизвестна функция и нейните производни от различен порядък диференциал.

Обикновено се обозначава неизвестна функция y(x)или просто y,и неговите производни - y", y"и т.н.

Възможни са и други обозначения, например: ако г= x(t), тогава x"(t), x""(t)- неговите производни, и t- независима променлива.

Определение.Ако една функция зависи от една променлива, тогава диференциалното уравнение се нарича обикновено. Общ изглед обикновено диференциално уравнение:

или

Функции ЕИ fможе да не съдържа някои аргументи, но за да бъдат уравненията диференциални, наличието на производна е от съществено значение.

Определение.Редът на диференциалното уравнениесе нарича порядъкът на включената в него най-висока производна.

например, x 2 y"- г= 0, y" + sin х= 0 са уравнения от първи ред, и y"+ 2 y"+ 5 г= х- уравнение от втори ред.

При решаване на диференциални уравнения се използва операцията интегриране, която е свързана с появата на произволна константа. Ако се приложи интеграционното действие ппъти, тогава, очевидно, решението ще съдържа ппроизволни константи.

6.2. ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ ОТ ПЪРВИ РЯД

Общ изглед диференциално уравнение от първи редсе определя от израза

Уравнението може да не съдържа изрично хИ y,но задължително съдържа y".

Ако уравнението може да бъде написано като

тогава получаваме диференциално уравнение от първи ред, разрешено по отношение на производната.

Определение.Общото решение на диференциалното уравнение от първи ред (6.3) (или (6.4)) е множеството от решения , Къде СЪС- произволна константа.

Графиката на решението на диференциално уравнение се нарича интегрална крива.

Даване на произволна константа СЪСразлични стойности, могат да се получат частични решения. В самолет xOyобщото решение е семейство от интегрални криви, съответстващи на всяко конкретно решение.

Ако поставите точка A (x 0, y 0),през които трябва да премине интегралната крива, тогава, като правило, от набор от функции Може да се открои едно - частно решение.

Определение.Частно решениена диференциално уравнение е неговото решение, което не съдържа произволни константи.

Ако е общо решение, то от условието

можете да намерите константа СЪС.Условието се нарича първоначално състояние.

Проблемът за намиране на конкретно решение на диференциалното уравнение (6.3) или (6.4), удовлетворяващо началното условие при наречен Проблем на Коши.Този проблем винаги ли има решение? Отговорът се съдържа в следната теорема.

Теорема на Коши(теорема за съществуване и единственост на решение). Пуснете диференциалното уравнение y"= f(x,y)функция f(x,y)и нея

частична производна определени и непрекъснати в някои

регион Д,съдържаща точка След това в района гсъществува

единственото решениеуравнение, удовлетворяващо началното условие при

Теоремата на Коши гласи, че при определени условия има уникална интегрална крива г= f(x),преминаващ през точка Точки, в които не са изпълнени условията на теоремата

Коши се наричат специален.В тези точки се счупва f(x, y) или.

Няколко интегрални криви или нито една не минават през особена точка.

Определение.Ако решението (6.3), (6.4) се намери във формата f(x, y, в)= 0, не е позволено спрямо y, тогава се извиква общ интегралдиференциално уравнение.

Теоремата на Коши гарантира само съществуването на решение. Тъй като няма единен метод за намиране на решение, ще разгледаме само някои видове диференциални уравнения от първи ред, които могат да бъдат интегрирани в квадратури.

Определение.Диференциалното уравнение се нарича интегрируеми в квадратури,ако намирането на неговото решение се свежда до интегриране на функции.

6.2.1. Диференциални уравненияпърви ред с разделими променливи

Определение.Диференциално уравнение от първи ред се нарича уравнение с разделими променливи,

Дясната страна на уравнение (6.5) е произведението на две функции, всяка от които зависи само от една променлива.

Например уравнението е уравнение с разделяне

с променливи
и уравнението

не могат да бъдат представени във формата (6.5).

Като се има предвид това , пренаписваме (6.5) във формата

От това уравнение получаваме диференциално уравнение с разделени променливи, в което диференциалите са функции, които зависят само от съответната променлива:

Интегрирайки термин по термин, имаме

където C = C 2 - C 1 - произволна константа. Израз (6.6) е общият интеграл на уравнение (6.5).

Като разделим двете страни на уравнение (6.5) на, можем да загубим тези решения, за които, Наистина, ако при

това очевидно е решение на уравнение (6.5).

Пример 1.Намерете решение на уравнението, което удовлетворява

състояние: г= 6 at х= 2 (г(2) = 6).

Решение.Ние ще заменим y"тогава . Умножете двете страни по

dx,тъй като по време на по-нататъшната интеграция е невъзможно да се напусне dxв знаменателя:

и след това разделяне на двете части на получаваме уравнението,

които могат да бъдат интегрирани. Нека интегрираме:

Тогава ; потенциране, получаваме y = C. (x + 1) - ob-

общо решение.

Използвайки първоначалните данни, ние определяме произволна константа, като ги заместваме в общото решение

Накрая получаваме г= 2(x + 1) е конкретно решение. Нека да разгледаме още няколко примера за решаване на уравнения с разделими променливи.

Пример 2.Намерете решението на уравнението

Решение.Като се има предвид това , получаваме .

Интегрирайки двете страни на уравнението, имаме

където

Пример 3.Намерете решението на уравнението Решение.Разделяме двете страни на уравнението на онези фактори, които зависят от променлива, която не съвпада с променливата под диференциалния знак, т.е. и интегрирайте. Тогава получаваме

и накрая

Пример 4.Намерете решението на уравнението

Решение.Като знаем какво ще получим. Раздел

lim променливи. Тогава

Интегрирайки, получаваме

Коментирайте.В примери 1 и 2 търсената функция е гизразено експлицитно (общо решение). В примери 3 и 4 - неявно (общ интеграл). В бъдеще формата на решението няма да бъде уточнена.

Пример 5.Намерете решението на уравнението Решение.

Пример 6.Намерете решението на уравнението , задоволително

състояние y(e)= 1.

Решение.Нека напишем уравнението във формата

Умножавайки двете страни на уравнението по dxи нататък, получаваме

Интегрирайки двете страни на уравнението (интегралът от дясната страна се взема на части), получаваме

Но според състоянието г= 1 at х= д. Тогава

Нека заместим намерените стойности СЪСкъм общото решение:

Полученият израз се нарича частично решение на диференциалното уравнение.

6.2.2. Хомогенни диференциални уравнения от първи ред

Определение.Диференциалното уравнение от първи ред се нарича хомогенен,ако може да се представи във формата

Нека представим алгоритъм за решаване на хомогенно уравнение.

1.Вместо това гтогава нека въведем нова функция и следователно

2. По отношение на функцията uуравнение (6.7) приема формата

тоест заместването редуцира едно хомогенно уравнение до уравнение с разделими променливи.

3. Решавайки уравнение (6.8), първо намираме u и след това г= ux.

Пример 1.Решете уравнението Решение.Нека напишем уравнението във формата

Правим замяната:
Тогава

Ние ще заменим

Умножете по dx: Разделете на хи на Тогава

След като сме интегрирали двете страни на уравнението върху съответните променливи, имаме

или, връщайки се към старите променливи, най-накрая получаваме

Пример 2.Решете уравнението Решение.Нека Тогава

Нека разделим двете страни на уравнението на х2: Нека отворим скобите и пренаредим термините:

Преминавайки към старите променливи, стигаме до крайния резултат:

Пример 3.Намерете решението на уравнението предвид това

Решение.Извършване на стандартна подмяна получаваме

или

или

Това означава, че конкретното решение има формата Пример 4.Намерете решението на уравнението

Решение.

Пример 5.Намерете решението на уравнението Решение.

Самостоятелна работа

Намерете решения на диференциални уравнения с разделими променливи (1-9).

Намерете решение на хомогенни диференциални уравнения (9-18).

6.2.3. Някои приложения на диференциални уравнения от първи ред

Проблем с радиоактивното разпадане

Скоростта на разпадане на Ra (радий) във всеки момент от времето е пропорционална на наличната му маса. Намерете закона за радиоактивното разпадане на Ra, ако е известно, че в началния момент е имало Ra и времето на полуразпад на Ra е 1590 години.

Решение.Нека в момента масата Ra е х= x(t) g и Тогава скоростта на разпадане Ra е равна на

Според условията на проблема

Къде к

Разделяйки променливите в последното уравнение и интегрирайки, получаваме

където

За определяне Визползваме началното условие: когато .

Тогава и следователно,

Фактор на пропорционалност копределен от допълнително условие:

Имаме

Оттук и необходимата формула

Проблем със скоростта на размножаване на бактерии

Скоростта на размножаване на бактериите е пропорционална на техния брой. В началото имаше 100 бактерии. За 3 часа броят им се е удвоил. Намерете зависимостта на броя на бактериите от времето. Колко пъти ще се увеличи броят на бактериите в рамките на 9 часа?

Решение.Нека х- брой бактерии в даден момент t.Тогава, според условието,

Къде к- коефициент на пропорционалност.

Оттук От условието се знае, че . означава,

От допълнителното условие . Тогава

Функцията, която търсите:

И така, кога t= 9 х= 800, т.е. за 9 часа броят на бактериите се е увеличил 8 пъти.

Проблемът с увеличаването на количеството ензим

В културата на бирена мая скоростта на растеж на активния ензим е пропорционална на първоначалното му количество х.Първоначално количество ензим асе удвои в рамките на час. Намерете зависимост

x(t).

Решение.По условие диференциалното уравнение на процеса има вида

от тук

но . означава, В= аи след това

Известно е също, че

следователно

6.3. ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ ВТОРИ РЯД

6.3.1. Основни понятия

Определение.Диференциално уравнение от втори реде отношение, което свързва независимата променлива, желаната функция и нейните първа и втора производни.

В специални случаи x може да липсва в уравнението, приили y". Уравнението от втори ред обаче задължително трябва да съдържа y." В общия случай диференциалното уравнение от втори ред се записва като:

или, ако е възможно, във формата, разрешена по отношение на втората производна:

Както в случая на уравнение от първи ред, за уравнение от втори ред може да има общи и частни решения. Общото решение е:

Намиране на конкретно решение

при начални условия – дадени

числа) се нарича Проблем на Коши.Геометрично това означава, че трябва да намерим интегралната крива при= y(x),преминавайки през дадена точкаи има допирателна в тази точка, която е

подравнява с положителната посока на оста волопределен ъгъл. д. (фиг. 6.1). Проблемът на Коши има уникално решение, ако дясната страна на уравнение (6.10), непрестанен

е прекъснат и има непрекъснати частни производни по отношение на ъъъъ"в някакъв квартал на началната точка

За намиране на константи включена в частно решение, системата трябва да бъде разрешена

ориз. 6.1.Интегрална крива

Обикновено диференциално уравнение е уравнение, което свързва независима променлива, неизвестна функция на тази променлива и нейните производни (или диференциали) от различен порядък.

Редът на диференциалното уравнение се нарича ред на най-високата производна, съдържаща се в него.

Освен обикновените се изучават и частни диференциални уравнения. Това са уравнения, свързващи независими променливи, неизвестна функция на тези променливи и нейните частни производни по отношение на същите променливи. Но ние само ще разгледаме обикновени диференциални уравнения и затова, за краткост, ще пропуснем думата „обикновен“.

Примери за диференциални уравнения:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Уравнение (1) е от четвърти ред, уравнение (2) е от трети ред, уравнения (3) и (4) са от втори ред, уравнение (5) е от първи ред.

Диференциално уравнение пред не е задължително да съдържа изрична функция, всички нейни производни от първия до п-ти ред и независима променлива. Може да не съдържа изрични производни на определени поръчки, функция или независима променлива.

Например, в уравнение (1) очевидно няма производни от трети и втори ред, както и функция; в уравнение (2) - производната от втори ред и функцията; в уравнение (4) - независимата променлива; в уравнение (5) - функции. Само уравнение (3) съдържа изрично всички производни, функцията и независимата променлива.

Решаване на диференциално уравнение всяка функция се извиква y = f(x), когато се замести в уравнението, то се превръща в идентичност.

Процесът на намиране на решение на диференциално уравнение се нарича негов интеграция.

Пример 1.Намерете решението на диференциалното уравнение.

Решение. Нека напишем това уравнение във формата. Решението е да се намери функцията от нейната производна. Първоначалната функция, както е известно от интегралното смятане, е антипроизводна за, т.е.

Това е решение на това диференциално уравнение . Промяна в него В, ще получим различни решения. Открихме, че има безкраен брой решения на диференциално уравнение от първи ред.

Общо решение на диференциалното уравнение пред е неговото решение, изразено изрично по отношение на неизвестната функция и съдържащо пнезависими произволни константи, т.е.

Решението на диференциалното уравнение в пример 1 е общо.

Частично решение на диференциалното уравнение се нарича решение, при което на произволни константи се дават конкретни числени стойности.

Пример 2.Намерете общото решение на диференциалното уравнение и частно решение за .

Решение. Нека интегрираме двете страни на уравнението брой пъти, равен на реда на диференциалното уравнение.

,

.

В резултат на това получихме общо решение -

на дадено диференциално уравнение от трети ред.

Сега нека намерим конкретно решение при посочените условия. За да направите това, заменете техните стойности вместо произволни коефициенти и вземете

.

Ако в допълнение към диференциалното уравнение първоначалното условие е дадено във формата , тогава такава задача се нарича Проблем с Коши . Заместете стойностите и в общото решение на уравнението и намерете стойността на произволна константа Ви след това конкретно решение на уравнението за намерената стойност В. Това е решението на проблема на Коши.

Пример 3.Решете задачата на Коши за диференциалното уравнение от Пример 1, предмет на .

Решение. Нека заместим стойностите от началното условие в общото решение г = 3, х= 1. Получаваме

Записваме решението на проблема на Коши за това диференциално уравнение от първи ред:

Решаването на диференциални уравнения, дори и на най-простите, изисква добри умения за интегриране и производни, включително сложни функции. Това може да се види в следния пример.

Пример 4.Намерете общото решение на диференциалното уравнение.

Решение. Уравнението е написано в такава форма, че можете веднага да интегрирате и двете страни.

.

Прилагаме метода на интегриране чрез промяна на променлива (заместване). Нека бъде тогава.

Задължително да се вземе dxи сега - внимание - правим това според правилата за диференциране на сложна функция, тъй като хи има сложна функция ("ябълка" - екстракт корен квадратенили, което е едно и също - повдигане на степен "половин", а "кайма" е самият израз под корена):

Намираме интеграла:

Връщане към променливата х, получаваме:

.

Това е общото решение на това диференциално уравнение от първа степен.

При решаването на диференциални уравнения ще са необходими не само умения от предишните раздели на висшата математика, но и умения от началната, тоест училищната математика. Както вече беше споменато, в диференциално уравнение от всякакъв ред може да няма независима променлива, т.е. променлива х. Знанията за пропорциите от училище, които не са забравени (но в зависимост от кого) от училище, ще помогнат за решаването на този проблем. Това е следващият пример.

Диференциални уравнения от първи ред. Примери за решения.
Диференциални уравнения с разделими променливи

Диференциални уравнения (DE). Тези две думи обикновено ужасяват обикновения човек. Диференциалните уравнения изглеждат нещо непосилно и трудно за овладяване за много ученици. Уууууу... диференциални уравнения, как да преживея всичко това?!

Това мнение и това отношение е коренно погрешно, защото в действителност ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ – ПРОСТО Е И ДОРИ ЗАБАВНО. Какво трябва да знаете и да можете, за да се научите да решавате диференциални уравнения? За да изучавате успешно дифузи, трябва да сте добри в интегрирането и диференцирането. Колкото по-добре се изучават темите Производна на функция на една променливаИ Неопределен интеграл, толкова по-лесно ще бъде разбирането на диференциалните уравнения. Ще кажа повече, ако имате повече или по-малко прилични умения за интеграция, тогава темата е почти овладяна! Колкото повече интеграли различни видовезнаете как да решите - толкова по-добре. защо Ще трябва да интегрирате много. И разграничете. Също така силно препоръчвамнаучете се да намирате.

В 95% от случаите в тестовеИма 3 вида диференциални уравнения от първи ред: разделими уравнениякоито ще разгледаме в този урок; хомогенни уравненияИ линейни нееднородни уравнения. За тези, които започват да изучават дифузори, ви съветвам да прочетете уроците точно в този ред и след като изучите първите две статии, няма да навреди да консолидирате уменията си в допълнителен семинар - уравнения, свеждащи се до хомогенни.

Има още по-редки видове диференциални уравнения: общи диференциални уравнения, уравнения на Бернули и някои други. Най-важният от последните два вида са уравненията в общите диференциали, тъй като в допълнение към това диференциално уравнение считам нов материал – частична интеграция.

Ако ви остават само ден-два, Това за ултра бързо приготвянеима блиц курсв pdf формат.

И така, ориентирите са поставени - да тръгваме:

Първо, нека си припомним обичайните алгебрични уравнения. Те съдържат променливи и числа. Най-простият пример: . Какво означава да решиш обикновено уравнение? Това означава намиране набор от числа, които удовлетворяват това уравнение. Лесно се забелязва, че уравнението на децата има един корен: . Просто за забавление, нека проверим и заместим намерения корен в нашето уравнение:

– получено е правилното равенство, което означава, че решението е намерено правилно.

Дифузорите са проектирани почти по същия начин!

Диференциално уравнение първа поръчкав общ случай съдържа:
1) независима променлива;
2) зависима променлива (функция);
3) първата производна на функцията: .

В някои уравнения от първи ред може да няма „x“ и/или „y“, но това не е важно - важнода отидете в контролната зала бешепърва производна и нямашепроизводни от по-високи разряди – и др.

Какво означава?Решаването на диференциално уравнение означава намиране набор от всички функции, които удовлетворяват това уравнение. Такъв набор от функции често има формата (– произволна константа), която се нарича общо решение на диференциалното уравнение.

Пример 1

Решете диференциално уравнение

Пълни боеприпаси. Откъде да започна решение?

Първо, трябва да пренапишете производната в малко по-различна форма. Припомняме тромавото обозначение, което на мнозина от вас вероятно се е сторило нелепо и ненужно. Това е правилото в дифузьорите!

Във втората стъпка нека да видим дали е възможно отделни променливи?Какво означава да се разделят променливите? Грубо казано, от лявата странатрябва да си тръгваме само "гърци", А от дясната странаорганизирам само "Х". Разделянето на променливите се извършва с помощта на „училищни“ манипулации: поставянето им извън скоби, прехвърляне на термини от част към част с промяна на знака, прехвърляне на фактори от част към част според правилото за пропорцията и др.

Диференциали и са пълни умножители и активни участници във военните действия. В разглеждания пример променливите лесно се разделят чрез подхвърляне на факторите според правилото за пропорцията:

Променливите са разделени. От лявата страна има само "Y", от дясната страна - само "X".

Следващият етап е интегриране на диференциално уравнение. Просто е, поставяме интеграли от двете страни:

Разбира се, трябва да вземем интеграли. В този случай те са таблични:

Както си спомняме, константа се приписва на всяка антипроизводна. Тук има два интеграла, но е достатъчно да напишете константата веднъж (тъй като константа + константа все още е равна на друга константа). В повечето случаи се поставя от дясната страна.

Строго погледнато, след като се вземат интегралите, диференциалното уравнение се счита за решено. Единственото нещо е, че нашето "y" не се изразява чрез "x", тоест решението е представено в имплицитноформа. Решението на диференциално уравнение в неявна форма се нарича общ интеграл на диференциалното уравнение. Тоест това е общ интеграл.

Отговорът в тази форма е доста приемлив, но има ли по-добър вариант? Нека се опитаме да получим общо решение.

моля, запомнете първата техника, той е много разпространен и често се използва в практически задачи: ако логаритъм се появи от дясната страна след интегриране, тогава в много случаи (но не винаги!) също е препоръчително да напишете константата под логаритъма.

т.е. ВМЕСТОзаписите обикновено са писмени .

Защо е необходимо това? И за да се улесни изразяването на „играта“. Използване на свойството на логаритмите . В този случай:

Сега логаритмите и модулите могат да бъдат премахнати:

Функцията е представена изрично. Това е общото решение.

отговор: общо решение: .

Отговорите на много диференциални уравнения са доста лесни за проверка. В нашия случай това се прави съвсем просто, ние вземаме намереното решение и го диференцираме:

След това заместваме производната в оригиналното уравнение:

– получено е правилното равенство, което означава, че общото решение удовлетворява уравнението, което е необходимо да се провери.

Като зададете константа различни стойности, можете да получите безкраен брой частни решениядиференциално уравнение. Ясно е, че всяка от функциите , и т.н. удовлетворява диференциалното уравнение.

Понякога се извиква общото решение семейство от функции. IN в този примеробщо решение е семейство от линейни функции или по-точно семейство от права пропорционалност.

След задълбочен преглед на първия пример е подходящо да отговорите на няколко наивни въпроса относно диференциалните уравнения:

1)В този пример успяхме да разделим променливите. Може ли това винаги да се прави?Не, не винаги. И още по-често променливите не могат да бъдат разделени. Например в хомогенни уравнения от първи ред, първо трябва да го смените. В други видове уравнения, например в линейно нехомогенно уравнение от първи ред, трябва да използвате различни техникии методи за намиране на общо решение. Уравненията с разделими променливи, които разглеждаме в първия урок, са най-простият тип диференциални уравнения.

2) Винаги ли е възможно да се интегрира диференциално уравнение?Не, не винаги. Много е лесно да се измисли „фантастично“ уравнение, което не може да бъде интегрирано; освен това има интеграли, които не могат да бъдат взети. Но такива DE могат да бъдат решени приблизително с помощта на специални методи. Д’Аламбер и Коши гарантират... ...уф, луркмор.за да прочета много току-що, почти добавих „от онзи свят“.

3) В този пример получихме решение под формата на общ интеграл . Винаги ли е възможно да се намери общо решение от общ интеграл, тоест да се изрази изрично „y“?Не, не винаги. Например: . Е, как ще изразиш тук "гръцки"?! В такива случаи отговорът трябва да се запише като общ интеграл. Освен това понякога е възможно да се намери общо решение, но то е написано толкова тромаво и тромаво, че е по-добре да оставим отговора под формата на общ интеграл

4) ...може би това е достатъчно за сега. В първия пример, който срещнахме друг важен момент , но за да не покривам „манекените“ с лавина от нова информация, ще го оставя за следващия урок.

Да не бързаме. Друго просто дистанционно управление и друго типично решение:

Пример 2

Намерете конкретно решение на диференциалното уравнение, което удовлетворява началното условие

Решение: според състоянието, трябва да намерите частно решение DE, който отговаря на дадено начално условие. Тази постановка на въпроса се нарича още Проблем с Коши.

Първо намираме общо решение. В уравнението няма променлива „x“, но това не трябва да обърква, основното е, че има първата производна.

Пренаписваме производната в в правилната форма:

Очевидно променливите могат да бъдат разделени, момчета отляво, момичета отдясно:

Нека интегрираме уравнението:

Получава се общият интеграл. Тук нарисувах константа със звездичка, факт е, че много скоро тя ще се превърне в друга константа.

Сега се опитваме да трансформираме общия интеграл в общо решение (изразете изрично „y“). Да си припомним добрите стари неща от училище: . В този случай:

Константата в индикатора изглежда някак некошерна, така че обикновено се сваля на земята. В детайли така става. Използвайки свойството на степените, пренаписваме функцията, както следва:

Ако е константа, тогава е и някаква константа, нека я преозначим с буквата:

Не забравяйте, че „разрушаването“ е константа втора техника, който често се използва при решаване на диференциални уравнения.

И така, общото решение е: . Това е хубаво семейство от експоненциални функции.

На последния етап трябва да намерите конкретно решение, което да отговаря на даденото начално условие. Това също е просто.

Каква е задачата? Трябва да вземете такивастойността на константата, така че условието да е изпълнено.

Може да се форматира по различни начини, но това вероятно ще бъде най-ясният начин. В общото решение вместо „X“ заместваме нула, а вместо „Y“ заместваме две:



т.е.

Стандартна версия на дизайна:

Сега заместваме намерената стойност на константата в общото решение:
– това е конкретното решение, от което се нуждаем.

отговор: лично решение:

Да проверим. Проверката на частно решение включва два етапа:

Първо трябва да проверите дали конкретното намерено решение наистина удовлетворява първоначалното условие? Вместо „X“ заместваме нула и вижте какво се случва:
- да, наистина е получена двойка, което означава, че първоначалното условие е изпълнено.

Вторият етап вече е познат. Взимаме полученото конкретно решение и намираме производната:

Заместваме в оригиналното уравнение:

– получава се правилното равенство.

Заключение: конкретното решение е намерено правилно.

Да преминем към по-смислени примери.

Пример 3

Решете диференциално уравнение

Решение:Пренаписваме производната във формата, от която се нуждаем:

Оценяваме дали е възможно да разделим променливите? може. Преместваме втория член от дясната страна с промяна на знака:

И прехвърляме множителите според правилото на пропорцията:

Променливите са разделени, нека интегрираме двете части:

Трябва да ви предупредя, че денят на страшния съд наближава. Ако не сте учили добре неопределени интеграли, са решили няколко примера, тогава няма къде да отидете - ще трябва да ги усвоите сега.

Интегралът на лявата страна е лесен за намиране; ние работим с интеграла на котангенса, използвайки стандартната техника, която разгледахме в урока Интегриране на тригонометрични функцииминалата година:

От дясната страна имаме логаритъм и, според първата ми техническа препоръка, константата също трябва да бъде записана под логаритъма.

Сега се опитваме да опростим общия интеграл. Тъй като имаме само логаритми, е напълно възможно (и необходимо) да се отървем от тях. С помощта на известни свойстваНие „опаковаме“ логаритмите колкото е възможно повече. Ще го напиша много подробно:

Опаковката е варварски оръфана:

Може ли да се изрази „игра“? може. Необходимо е да квадратирате и двете части.

Но не е нужно да правите това.

Трети технически съвет:ако за получаване на общо решение е необходимо да се повдигне на степен или да се вкоренят, тогава в повечето случаитрябва да се въздържате от тези действия и да оставите отговора под формата на общ интеграл. Факт е, че общото решение ще изглежда просто ужасно - с големи корени, знаци и други боклуци.

Затова записваме отговора под формата на общ интеграл. По добър начинСмята се, че се представя във формата , тоест от дясната страна, ако е възможно, оставете само константа. Не е необходимо да правите това, но винаги е полезно да угодите на професора ;-)

отговор:общ интеграл:

! Забележка: Общият интеграл на всяко уравнение може да бъде записан по повече от един начин. Следователно, ако вашият резултат не съвпада с предварително известния отговор, това не означава, че сте решили уравнението неправилно.

Общият интеграл също е доста лесен за проверка, основното е да можете да намерите производна на функция, зададена имплицитно. Нека разграничим отговора:

Умножаваме двата члена по:

И разделете на:

Оригиналното диференциално уравнение е получено точно, което означава, че общият интеграл е намерен правилно.

Пример 4

Намерете конкретно решение на диференциалното уравнение, което удовлетворява началното условие. Извършете проверка.

Това е пример за независимо решение.

Нека ви напомня, че алгоритъмът се състои от два етапа:
1) намиране на общо решение;
2) намиране на необходимото конкретно решение.

Проверката също се извършва на две стъпки (вижте примера в Пример № 2), трябва да:
1) уверете се, че конкретното намерено решение отговаря на първоначалното условие;
2) проверете дали определено решение като цяло удовлетворява диференциалното уравнение.

Цялостно решениеи отговорът в края на урока.

Пример 5

Намерете конкретно решение на диференциално уравнение , удовлетворяващи началното условие. Извършете проверка.

Решение:Първо, нека намерим общо решение. Това уравнение вече съдържа готови диференциали, което означава, че решението е опростено. Разделяме променливите:

Нека интегрираме уравнението:

Интегралът отляво е табличен, интегралът отдясно е взет метод за поставяне на функция под диференциалния знак:

Общият интеграл е получен, възможно ли е успешно да се изрази общото решение? може. Закачаме логаритми от двете страни. Тъй като те са положителни, модулните знаци са ненужни:

(Надявам се всички да разберат трансформацията, такива неща вече трябва да се знаят)

И така, общото решение е:

Нека намерим конкретно решение, отговарящо на даденото начално условие.
В общото решение вместо „X“ заместваме нула, а вместо „Y“ заместваме логаритъма от две:

По-познат дизайн:

Заместваме намерената стойност на константата в общото решение.

отговор:частно решение:

Проверка: Първо, нека проверим дали е изпълнено първоначалното условие:
- всичко жужи.

Сега нека проверим дали намереното конкретно решение изобщо удовлетворява диференциалното уравнение. Намиране на производната:

Нека да разгледаме оригиналното уравнение: – представя се в диференциали. Има два начина за проверка. Възможно е да се изрази диференциала от намерената производна:

Нека заместим намереното конкретно решение и получения диференциал в първоначалното уравнение :

Използваме основната логаритмична идентичност:

Получава се правилното равенство, което означава, че конкретното решение е намерено правилно.

Вторият метод за проверка е огледален и по-познат: от уравнението Нека изразим производната, за да направим това, разделяме всички части на:

И в преобразуваното DE заместваме полученото частично решение и намерената производна. В резултат на опростявания трябва да се получи и правилното равенство.

Пример 6

Решете диференциално уравнение. Представете отговора под формата на общ интеграл.

Това е пример, който можете да решите сами, пълно решение и отговор в края на урока.

Какви трудности чакат при решаването на диференциални уравнения с разделими променливи?

1) Не винаги е очевидно (особено за „чайник“), че променливите могат да бъдат разделени. Нека помислим условен пример: . Тук трябва да извадите факторите от скоби: и да разделите корените: . Ясно е какво да правим по-нататък.

2) Трудности със самата интеграция. Интегралите често не са най-простите и ако има недостатъци в уменията за намиране неопределен интеграл, тогава ще е трудно с много дифузори. В допълнение, логиката „тъй като диференциалното уравнение е просто, тогава поне нека интегралите да бъдат по-сложни“ е популярна сред съставителите на колекции и ръководства за обучение.

3) Трансформации с константа. Както всеки е забелязал, константата в диференциалните уравнения може да се борави доста свободно и някои трансформации не винаги са ясни за начинаещ. Нека да разгледаме друг условен пример: . Препоръчително е да умножите всички термини по 2: . Получената константа също е някакъв вид константа, която може да бъде означена с: . Да, и тъй като от дясната страна има логаритъм, тогава е препоръчително да пренапишете константата под формата на друга константа: .

Проблемът е, че те често не се занимават с индекси и използват една и съща буква. В резултат на това записът на решението приема следната форма:

Каква ерес? Точно там има грешки! Строго погледнато, да. От гледна точка на съдържанието обаче няма грешки, тъй като в резултат на преобразуване на променлива константа все пак се получава променлива константа.

Или друг пример, да предположим, че в хода на решаването на уравнението се получава общ интеграл. Този отговор изглежда грозен, така че е препоръчително да промените знака на всеки термин: . Формално тук има друга грешка - трябва да се пише отдясно. Но неофициално се подразбира, че „минус ce“ все още е константа ( което също толкова лесно може да приеме всякакво значение!), така че поставянето на „минус“ няма смисъл и можете да използвате същата буква.

Ще се опитам да избегна небрежен подход и все пак ще присвоя различни индекси на константите, когато ги преобразувам.

Пример 7

Решете диференциално уравнение. Извършете проверка.

Решение:Това уравнение позволява разделяне на променливи. Разделяме променливите:

Нека интегрираме:

Не е необходимо да дефинирате константата тук като логаритъм, тъй като нищо полезно няма да излезе от това.

отговор:общ интеграл:

Проверка: Разграничете отговора (имплицитна функция):

Отърваваме се от дроби, като умножим двата члена по:

Получено е оригиналното диференциално уравнение, което означава, че общият интеграл е намерен правилно.

Пример 8

Намерете конкретно решение на DE.
,

Това е пример, който можете да решите сами. Единственият намек е, че тук ще получите общ интеграл и, по-правилно казано, трябва да се опитате да намерите не конкретно решение, а частичен интеграл. Пълно решение и отговор в края на урока.

I. Обикновени диференциални уравнения

1.1. Основни понятия и определения

Диференциалното уравнение е уравнение, което свързва независима променлива х, необходимата функция ги неговите производни или диференциали.

Символично диференциалното уравнение се записва по следния начин:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Диференциалното уравнение се нарича обикновено, ако търсената функция зависи от една независима променлива.

Решаване на диференциално уравнениесе нарича функция, която превръща това уравнение в идентичност.

Редът на диференциалното уравнениее порядъкът на най-високата производна, включена в това уравнение

Примери.

1. Разгледайте диференциално уравнение от първи ред

Решението на това уравнение е функцията y = 5 ln x. Наистина, заместване y"в уравнението, получаваме идентичността.

И това означава, че функцията y = 5 ln x– е решение на това диференциално уравнение.

2. Разгледайте диференциалното уравнение от втори ред y" - 5y" +6y = 0. Функцията е решението на това уравнение.

Наистина,.

Замествайки тези изрази в уравнението, получаваме: , – идентичност.

И това означава, че функцията е решението на това диференциално уравнение.

Интегриране на диференциални уравненияе процес на намиране на решения на диференциални уравнения.

Общо решение на диференциалното уравнениенаречена функция на формата , което включва толкова независими произволни константи, колкото е редът на уравнението.

Частично решение на диференциалното уравнениее решение, получено от общо решение за различни числени стойности на произволни константи. Стойностите на произволни константи се намират при определени начални стойности на аргумента и функцията.

Графиката на конкретно решение на диференциално уравнение се нарича интегрална крива.

Примери

1. Намерете конкретно решение на диференциално уравнение от първи ред

xdx + ydy = 0, Ако г= 4 at х = 3.

Решение. Интегрирайки двете страни на уравнението, получаваме

Коментирайте. Произволна константа C, получена в резултат на интегриране, може да бъде представена във всяка форма, удобна за по-нататъшни трансформации. В този случай, като се вземе предвид каноничното уравнение на кръг, е удобно да се представи произволна константа C във формата.

- общо решение на диференциалното уравнение.

Частно решение на уравнението, удовлетворяващо началните условия г = 4 at х = 3 се намира от общото чрез заместване на началните условия в общото решение: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Замествайки C=5 в общото решение, получаваме x 2 + y 2 = 5 2 .

Това е конкретно решение на диференциално уравнение, получено от общо решение при дадени начални условия.

2. Намерете общото решение на диференциалното уравнение

Решението на това уравнение е всяка функция от формата , където C е произволна константа. Действително, замествайки , в уравненията, получаваме: , .

Следователно това диференциално уравнение има безкраен брой решения, тъй като за различни стойности на константата C равенството определя различни решения на уравнението.

Например чрез директно заместване можете да проверите дали функциите са решения на уравнението.

Задача, в която трябва да намерите определено решение на уравнението y" = f(x,y)удовлетворяващи първоначалното условие y(x 0) = y 0, се нарича проблем на Коши.

Решаване на уравнението y" = f(x,y), отговарящи на първоначалното условие, y(x 0) = y 0, се нарича решение на задачата на Коши.

Решението на проблема на Коши има прост геометричен смисъл. Всъщност, според тези определения, за решаване на проблема на Коши y" = f(x,y)предвид това y(x 0) = y 0, означава да се намери интегралната крива на уравнението y" = f(x,y)която минава през дадена точка M 0 (x 0,y 0).

II. Диференциални уравнения от първи ред

2.1. Основни понятия

Диференциалното уравнение от първи ред е уравнение на формата F(x,y,y") = 0.

Диференциалното уравнение от първи ред включва първата производна и не включва производни от по-висок ред.

Уравнение y" = f(x,y)се нарича уравнение от първи ред, решено по отношение на производната.

Общото решение на диференциално уравнение от първи ред е функция от формата , която съдържа една произволна константа.

Пример.Разгледайте диференциално уравнение от първи ред.

Решението на това уравнение е функцията.

Наистина, замествайки това уравнение с неговата стойност, получаваме

това е 3x=3x

Следователно функцията е общо решение на уравнението за всяка константа C.

Намерете конкретно решение на това уравнение, което удовлетворява началното условие y(1)=1Заместване на началните условия x = 1, y = 1в общото решение на уравнението, получаваме откъде C=0.

Така получаваме конкретно решение от общото, като заместваме в това уравнение получената стойност C=0– частно решение.

2.2. Диференциални уравнения с разделими променливи

Диференциално уравнение с разделими променливи е уравнение от формата: y"=f(x)g(y)или чрез диференциали, където f(x)И g(y)– определени функции.

За тези г, за които , уравнението y"=f(x)g(y)е еквивалентно на уравнението, в която променливата гприсъства само от лявата страна, а променливата x е само от дясната страна. Те казват, „в ур. y"=f(x)g(yНека разделим променливите."

Уравнение на формата наречено уравнение с отделена променлива.

Интегриране на двете страни на уравнението от х, получаваме G(y) = F(x) + Cе общото решение на уравнението, където G(y)И F(x)– някои антипроизводни, съответно на функции и f(x), Впроизволна константа.

Алгоритъм за решаване на диференциално уравнение от първи ред с разделими променливи

Пример 1

Решете уравнението y" = xy

Решение. Производна на функция y"заменете го с

нека разделим променливите

Нека интегрираме двете страни на равенството:

Пример 2

2yy" = 1- 3x 2, Ако y 0 = 3при х 0 = 1

Това е уравнение с отделена променлива. Нека си го представим в диференциали. За да направим това, пренаписваме това уравнение във формата Оттук

Интегрирайки двете страни на последното равенство, намираме

Заместване на първоначалните стойности x 0 = 1, y 0 = 3ще намерим СЪС 9=1-1+В, т.е. С = 9.

Следователно исканият частичен интеграл ще бъде или

Пример 3

Напишете уравнение за крива, минаваща през точка M(2;-3)и имаща тангенс с ъглов коефициент

Решение. Според условието

Това е уравнение с разделими променливи. Разделяйки променливите, получаваме:

Интегрирайки двете страни на уравнението, получаваме:

Използвайки началните условия, х = 2И y = - 3ще намерим В:

Следователно търсеното уравнение има формата

2.3. Линейни диференциални уравнения от първи ред

Линейно диференциално уравнение от първи ред е уравнение от формата y" = f(x)y + g(x)

Къде f(x)И g(x)- някои определени функции.

Ако g(x)=0тогава линейното диференциално уравнение се нарича хомогенно и има формата: y" = f(x)y

Ако тогава уравнението y" = f(x)y + g(x)се нарича разнороден.

Общо решение на линейно хомогенно диференциално уравнение y" = f(x)yсе дава по формулата: където СЪС– произволна константа.

По-специално, ако C =0,тогава решението е y = 0Ако едно линейно хомогенно уравнение има формата y" = kyКъде ке някаква константа, тогава нейното общо решение има формата: .

Общо решение на линейно нехомогенно диференциално уравнение y" = f(x)y + g(x)се дава по формулата ,

тези. е равно на сумата от общото решение на съответното линейно хомогенно уравнение и частното решение на това уравнение.

За линейно нехомогенно уравнение от вида y" = kx + b,

Къде кИ b- някои числа и определено решение ще бъдат постоянна функция. Следователно общото решение има формата .

Пример. Решете уравнението y" + 2y +3 = 0

Решение. Нека представим уравнението във формата y" = -2y - 3Къде k = -2, b = -3Общото решение се дава с формулата.

Следователно, където C е произволна константа.

2.4. Решаване на линейни диференциални уравнения от първи ред по метода на Бернули

Намиране на общо решение на линейно диференциално уравнение от първи ред y" = f(x)y + g(x)свежда до решаване на две диференциални уравнения с разделени променливи чрез заместване y=uv, Къде uИ v- неизвестни функции от х. Този метод на решение се нарича метод на Бернули.

Алгоритъм за решаване на линейно диференциално уравнение от първи ред

y" = f(x)y + g(x)

1. Въведете заместване y=uv.

2. Диференцирайте това равенство y" = u"v + uv"

3. Заместник гИ y"в това уравнение: u"v + uv" =f(x)uv + g(x)или u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Групирайте членовете на уравнението така, че uизвадете го от скоби:

5. От скобата, приравнявайки я на нула, намерете функцията

Това е разделимо уравнение:

Нека разделим променливите и да получим:

Къде . .

6. Заменете получената стойност vв уравнението (от стъпка 4):

и намерете функцията Това е уравнение с разделими променливи:

7. Напишете общото решение във формата: , т.е. .

Пример 1

Намерете конкретно решение на уравнението y" = -2y +3 = 0Ако y =1при х = 0

Решение. Нека го решим с помощта на заместване y=uv,.y" = u"v + uv"

Заместване гИ y"в това уравнение получаваме

Като групираме втория и третия член от лявата страна на уравнението, премахваме общия множител u извън скоби

Приравняваме израза в скоби към нула и след като решим полученото уравнение, намираме функцията v = v(x)

Получаваме уравнение с разделени променливи. Нека интегрираме двете страни на това уравнение: Намерете функцията v:

Нека заместим получената стойност vв уравнението, което получаваме:

Това е уравнение с отделена променлива. Нека интегрираме двете страни на уравнението: Нека намерим функцията u = u(x,c) Нека намерим общо решение: Нека намерим конкретно решение на уравнението, което удовлетворява началните условия y = 1при х = 0:

III. Диференциални уравнения от по-висок ред

3.1. Основни понятия и определения

Диференциално уравнение от втори ред е уравнение, съдържащо производни от не по-висок от втори ред. В общия случай диференциалното уравнение от втори ред се записва като: F(x,y,y",y") = 0

Общото решение на диференциално уравнение от втори ред е функция от формата , която включва две произволни константи C 1И C 2.

Конкретно решение на диференциално уравнение от втори ред е решение, получено от общо решение за определени стойности на произволни константи C 1И C 2.

3.2. Линейни хомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.

Линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициентинаречено уравнение на формата y" + py" +qy = 0, Къде стрИ р- постоянни стойности.

Алгоритъм за решаване на хомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти

1. Напишете диференциалното уравнение във формата: y" + py" +qy = 0.

2. Съставете характеристичното му уравнение, като обозначите y"чрез r 2, y"чрез r, гв 1: r 2 + pr + q = 0

дадени онлайн калкулаторви позволява да решавате диференциални уравнения онлайн. Достатъчно е да въведете вашето уравнение в съответното поле, като обозначите производната на функцията с апостроф и щракнете върху бутона „решаване на уравнение“ и системата, реализирана на базата на популярния уебсайт WolframAlpha, ще ви даде подробности решаване на диференциално уравнениеабсолютно безплатно. Можете също така да дефинирате проблема на Коши, така че от целия набор възможни решенияизберете коефициента, съответстващ на дадените начални условия. Задачата на Коши се въвежда в отделно поле.

Диференциално уравнение

По подразбиране функцията в уравнението ге функция на променлива х. Можете обаче да зададете собствено обозначение за променливата; ако напишете например y(t) в уравнението, калкулаторът автоматично ще го разпознае гима функция от променлива t. С помощта на калкулатор можете решаване на диференциални уравненияот всякаква сложност и вид: хомогенни и нехомогенни, линейни или нелинейни, първи ред или втори и по-високи редове, уравнения с разделими или неразделими променливи и др. Решение разл. уравнението е дадено в аналитична форма, има подробно описание. Диференциалните уравнения са много често срещани във физиката и математиката. Без тяхното изчисляване е невъзможно да се решат много проблеми (особено в математическата физика).

Един от етапите на решаване на диференциални уравнения е интегриране на функции. Съществуват стандартни методи за решаване на диференциални уравнения. Необходимо е да се редуцират уравненията до форма с разделими променливи y и x и отделно да се интегрират разделените функции. За да направите това, понякога трябва да се направи определена подмяна.