Практически задачи по математическа логика на твърдения и операции върху тях. Истинските ценности

Пропозиционална логика , наричана още пропозиционална логика, е клон на математиката и логиката, който изучава логическите форми на сложни твърдения, изградени от прости или елементарни твърдения, използващи логически операции.

Пропозиционалната логика се абстрахира от съдържанието на твърденията и изучава тяхната истинност, тоест дали твърдението е вярно или невярно.

Картината по-горе е илюстрация на феномен, известен като парадокса на лъжеца. В същото време, според автора на проекта, подобни парадокси са възможни само в среда, която не е лишена от политически проблеми, където някой априори може да бъде етикетиран като лъжец. В природния многопластов свят по темата „истина“ или „лъжа“ се оценяват само отделни твърдения . И по-късно в този урок ще се запознаете с възможността сами да оцените много твърдения по тази тема (и след това вижте правилните отговори). Включително сложни твърдения, в които по-простите са свързани помежду си със знаци на логически операции. Но първо, нека разгледаме тези операции върху самите изрази.

Пропозиционалната логика се използва в компютърните науки и програмирането под формата на деклариране на логически променливи и присвояване на логически стойности „false“ или „true“, от които зависи ходът на по-нататъшното изпълнение на програмата. В малките програми, където е включена само една булева променлива, на булевата променлива често се дава име като "флаг" и значението е "флаг е вдигнат", когато стойността на променливата е "истина" и "флаг е свален, когато." стойността на тази променлива е "false". В програмите голям обем, в които има няколко или дори много логически променливи, професионалистите са длъжни да измислят имена за логически променливи, които имат формата на твърдения и семантично значение, което ги отличава от другите логически променливи и е разбираемо за други професионалисти, които ще прочетете текста на тази програма.

По този начин логическа променлива с име „UserRegistered“ (или неин англоезичен аналог) може да бъде декларирана под формата на изявление, на което може да бъде присвоена логическата стойност „истина“, ако са изпълнени условията, че регистрационните данни са изпратени от потребителя и тези данни се разпознават като валидни от програмата. При по-нататъшни изчисления стойностите на променливите могат да се променят в зависимост от логическата стойност (истина или невярно) на променливата UserRegistered. В други случаи на променлива, например с име „Остават повече от три дни преди деня“, може да бъде присвоена стойност „Истина“ преди определен блок от изчисления и по време на по-нататъшно изпълнение на програмата тази стойност може да бъде се запазва или променя на „false“ и напредъкът на по-нататъшното изпълнение зависи от стойността на тази променлива програми.

Ако една програма използва няколко логически променливи, чиито имена имат формата на изрази и от тях се изграждат по-сложни оператори, тогава е много по-лесно да разработим програмата, ако преди да я разработим, запишем всички операции от изрази под формата на формули, използвани в логиката на изразите, отколкото правим по време на Този урок е това, което ще правим.

Логически операции върху изрази

За математически твърдения човек винаги може да направи избор между две различни алтернативи, „истина“ и „лъжа“, но за твърдения, направени на „вербален“ език, понятията „истина“ и „лъжа“ са малко по-неясни. Въпреки това, например, вербални форми като „Върви си вкъщи“ и „Вали ли?“ не са твърдения. Следователно е ясно, че твърденията са словесни форми, в които се заявява нещо . Въпросителни или възклицателни изречения, призиви, както и пожелания или искания не са твърдения. Те не могат да бъдат оценени със стойностите "true" и "false".

Твърденията, напротив, могат да се разглеждат като количества, които могат да приемат две значения: „вярно“ и „невярно“.

Дадени са например следните преценки: „кучето е животно“, „Париж е столицата на Италия“, „3

Първото от тези твърдения може да бъде оценено със символа „вярно“, второто с „невярно“, третото с „вярно“ и четвъртото с „невярно“. Тази интерпретация на твърдения е предмет на пропозиционалната алгебра. Твърденията ще ги обозначаваме с големи букви с латински букви А, б, ..., и техните значения, т.е. вярно и невярно, съответно ИИ Л. В обикновената реч се използват връзки между твърдения „и“, „или“ и други.

Тези връзки позволяват, чрез свързване на различни твърдения едно с друго, да се образуват нови твърдения - сложни твърдения . Например съединителното "и". Нека бъдат дадени изявленията: " π повече от 3" и твърдението " π по-малко от 4". Можете да организирате нов - сложен отчет " π повече от 3 и π по-малко от 4". Твърдение "ако π ирационално тогава π ² също е ирационално" се получава чрез свързване на две изявления със съединителя "ако - тогава". И накрая, можем да получим от всяко изявление ново - сложно изявление - чрез отричане на първоначалното изявление.

Разглеждане на твърдения като количества, които придобиват значения ИИ Л, ще дефинираме допълнително логически операции върху изрази , които ни позволяват да получим нови сложни твърдения от тези твърдения.

Нека са дадени две произволни твърдения АИ б.

1 . Първата логическа операция върху тези твърдения - конюнкция - представлява образуването на ново твърдение, което ще обозначим А ∧ би което е вярно тогава и само ако АИ бса верни. В обикновената реч тази операция съответства на свързването на изявления със съединителя „и“.

Таблица на истината за връзка:

А	б	А ∧ б
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	Л

2 . Втора логическа операция върху изрази АИ б- дизюнкция, изразена като А ∨ б, се определя по следния начин: вярно е тогава и само ако поне едно от първоначалните твърдения е вярно. В обикновената реч тази операция съответства на свързващи изявления със съединителя „или“. Тук обаче имаме неделимо „или“, което се разбира в смисъла на „или или“, когато АИ би двете не могат да бъдат верни. При дефинирането на пропозиционалната логика А ∨ бвярно и ако само едно от твърденията е вярно, и ако и двете твърдения са верни АИ б.

Таблица на истината за дизюнкция:

А	б	А ∨ б
И	И	И
И	Л	И
Л	И	И
Л	Л	Л

3 . Третата логическа операция върху твърдения АИ б, изразено като А → б; така полученото твърдение е невярно тогава и само ако Авярно, но бневярно. Анаречен с колет , б - следствие , и изявлението А → б - следното , наричано още импликация. В обикновената реч тази операция съответства на връзката „ако-тогава“: „ако А, Това б". Но в дефиницията на пропозиционалната логика това твърдение винаги е вярно, независимо дали твърдението е вярно или невярно б. Това обстоятелство може да се формулира накратко по следния начин: „от фалшивото произтича всичко“. На свой ред, ако Авярно, но бе невярно, тогава цялото твърдение А → бневярно. Ще бъде вярно тогава и само тогава А, И бса верни. Накратко това може да се формулира по следния начин: „лъжата не може да следва от истината“.

Таблица на истината, която да следвате (внушение):

А	б	А → б
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	И
Л	Л	И

4 . Четвъртата логическа операция върху твърдения, по-точно върху едно твърдение, се нарича отрицание на твърдение Аи се означава с ~ А(можете също да намерите използването не на символа ~, а на символа ¬, както и надчертаване по-горе А). ~ Аима твърдение, което е невярно, когато Авярно и вярно кога Аневярно.

Таблица на истината за отрицание:

А	~ А
Л	И
И	Л

5 . И накрая, петата логическа операция върху твърдения се нарича еквивалентност и се обозначава А ↔ б. Полученото твърдение А ↔ бедно твърдение е вярно тогава и само ако АИ би двете са верни или и двете са неверни.

Таблица на истината за еквивалентност:

А	б	А → б	б → А	А ↔ б
И	И	И	И	И
И	Л	Л	И	Л
Л	И	И	Л	Л
Л	Л	И	И	И

Повечето езици за програмиране имат специални символи за обозначаване на логическите значения на изразите; те са написани на почти всички езици като верни и неверни.

Нека обобщим горното. Пропозиционална логика изучава връзки, които са напълно определени от начина, по който едни твърдения са изградени от други, наречени елементарни. В този случай елементарните твърдения се разглеждат като цяло, което не се разлага на части.

Нека систематизираме в таблицата по-долу имената, обозначенията и значението на логическите операции върху твърдения (скоро ще ни трябват отново за решаване на примери).

Купчина	Наименование	Име на операцията
не		отрицание
И		връзка
или		дизюнкция
ако... тогава...		внушение
тогава и само тогава		еквивалентност

Вярно за логически операции законите на логиката на алгебрата, който може да се използва за опростяване на булеви изрази. Трябва да се отбележи, че в пропозиционалната логика човек се абстрахира от семантичното съдържание на твърдението и се ограничава до разглеждането му от позицията, че то е или вярно, или невярно.

Пример 1.

1) (2 = 2) И (7 = 7) ;

2) Не(15;

3) ("Бор" = "Дъб") ИЛИ ("Череша" = "Клен");

4) Not("Pine" = "Oak") ;

5) (Не(15 20) ;

6) („На очите е дадено да виждат“) И („Под третия етаж е вторият етаж“);

7) (6/2 = 3) ИЛИ (7*5 = 20) .

1) Значението на твърдението в първите скоби е „вярно“, значението на израза във вторите скоби също е вярно. И двата израза са свързани чрез логическата операция „И“ (вижте правилата за тази операция по-горе), следователно логическата стойност на целия този оператор е „истина“.

2) Значението на твърдението в скоби е „невярно“. Преди това твърдение има логическа операция на отрицание, следователно логическото значение на цялото това твърдение е „вярно“.

3) Значението на твърдението в първите скоби е „невярно“, значението на твърдението във вторите скоби също е „невярно“. Изявленията са свързани с логическата операция "ИЛИ" и нито едно от изявленията няма стойност "true". Следователно логичното значение на цялото това твърдение е „фалшиво“.

4) Значението на твърдението в скоби е „невярно“. Това твърдение се предшества от логическата операция на отрицание. Следователно логичното значение на цялото това твърдение е „вярно“.

5) Твърдението във вътрешните скоби се отрича в първите скоби. Това твърдение във вътрешните скоби има значението "невярно", следователно неговото отрицание ще има логическото значение "вярно". Твърдението във вторите скоби означава "невярно". Тези две твърдения са свързани с логическата операция „И“, тоест получава се „вярно и невярно“. Следователно логичното значение на цялото това твърдение е „фалшиво“.

6) Значението на твърдението в първите скоби е „вярно“, значението на твърдението във вторите скоби също е „вярно“. Тези две твърдения са свързани с логическата операция „И“, тоест получава се „вярно И истина“. Следователно логичното значение на цялото това твърдение е „вярно“.

7) Значението на твърдението в първите скоби е „вярно“. Значението на твърдението във вторите скоби е „невярно“. Тези две твърдения са свързани с логическата операция „ИЛИ“, тоест „вярно ИЛИ невярно“. Следователно логичното значение на цялото това твърдение е „вярно“.

Пример 2.Напишете следните сложни изрази, като използвате логически операции:

1) „Потребителят не е регистриран“;

2) „Днес е неделя и някои служители са на работа“;

3) „Потребителят е регистриран тогава и само ако предоставените от него данни се считат за валидни.“

1) стр- единичен оператор „Потребителят е регистриран”, логическа операция: ;

2) стр- единично изявление „Днес е неделя“, р- "Някои служители са на работа", логическа операция: ;

3) стр- единична декларация „Потребителят е регистриран“, р- „Изпратените от потребителя данни са установени като валидни“, логическа операция: .

Решете сами примери за пропозиционална логика и след това разгледайте решенията

Пример 3.Изчислете логическите стойности на следните твърдения:

1) („В една минута има 70 секунди“) ИЛИ („Въртящ се часовник показва времето“);

2) (28 > 7) И (300/5 = 60) ;

3) ("Телевизия - електрически уред") И ("Стъкло - дърво");

4) Не ((300 > 100) ИЛИ ("Можете да утолите жаждата си с вода"));

5) (75 < 81) → (88 = 88) .

Пример 4.Запишете следните сложни твърдения, като използвате логически операции и изчислете техните логически стойности:

1) „Ако часовникът показва неправилно времето, тогава може да пристигнете в час в грешния час“;

2) „В огледалото можете да видите отражението си и Париж, столицата на САЩ“;

Пример 5.Определяне на булевата стойност на израз

(стр → р) ↔ (r → s) ,

стр = "278 > 5" ,

р= "Ябълка = портокал",

стр = "0 = 9" ,

s= "Шапката покрива главата".

Формули на пропозиционалната логика

Понятието за логическата форма на сложно твърдение се изяснява с помощта на понятието пропозиционални логически формули .

В примери 1 и 2 се научихме да пишем сложни изрази, използвайки логически операции. Всъщност те се наричат ​​формули на пропозиционалната логика.

За означаване на твърдения, както в споменатия пример, ще продължим да използваме буквите

стр, р, r, ..., стр 1 , р 1 , r 1 , ...

Тези букви ще играят ролята на променливи, които приемат стойностите на истината „true“ и „false“ като стойности. Тези променливи се наричат ​​също пропозиционални променливи. Ще им се обадим допълнително елементарни формули или атоми .

За да се конструират пропозиционални логически формули, в допълнение към буквите, посочени по-горе, се използват знаци на логически операции

~, ∧, ∨, →, ↔,

както и символи, които осигуряват възможност за еднозначно четене на формулите - лява и дясна скоба.

Концепция пропозиционални логически формули нека го дефинираме по следния начин:

1) елементарните формули (атоми) са формули на пропозиционалната логика;

2) ако АИ б- формули на пропозиционална логика, след това ~ А , (А ∧ б) , (А ∨ б) , (А → б) , (А ↔ б) също са формули на пропозиционалната логика;

3) само онези изрази са формули на пропозиционална логика, за които това следва от 1) и 2).

Дефиницията на формула на пропозиционална логика съдържа списък на правилата за формиране на тези формули. Съгласно дефиницията всяка формула на пропозиционалната логика е или атом, или е образувана от атоми в резултат на последователното прилагане на правило 2).

Пример 6.Нека стр- единично твърдение (атом) „Всички рационални числа са реални“, р- "Някои реални числа са рационални числа" r- "някои рационални числа са реални." Преведете следните формули на пропозиционалната логика под формата на вербални твърдения:

6) .

1) „не реални числа, които са рационални";

2) „ако не всички рационални числа са реални, тогава не рационални числа, които са валидни“;

3) „ако всички рационални числа са реални, тогава някои реални числа са рационални числа и някои рационални числа са реални“;

4) „всички реални числа са рационални числа и някои реални числа са рационални числа, а някои рационални числа са реални числа“;

5) „всички рационални числа са реални тогава и само ако не е така, че не всички рационални числа са реални“;

6) „не е така, че не всички рационални числа са реални и няма реални числа, които са рационални, или няма рационални числа, които са реални.“

Пример 7.Създайте таблица на истината за формулата на пропозиционалната логика , които в таблицата могат да бъдат обозначени f .

Решение. Започваме да съставяме таблица на истината, като записваме стойности („вярно“ или „невярно“) за единични твърдения (атоми) стр , рИ r. Всички възможни стойностиса записани в осем реда на таблицата. Освен това, когато определяме стойностите на операцията за импликация и се движим надясно в таблицата, помним, че стойността е равна на „фалшиво“, когато „фалшиво“ следва от „вярно“.

стр	р	r					f
И	И	И	И	И	И	И	И
И	И	Л	И	И	И	Л	И
И	Л	И	И	Л	Л	Л	Л
И	Л	Л	И	Л	Л	И	И
Л	И	И	Л	И	Л	И	И
Л	И	Л	Л	И	Л	И	Л
Л	Л	И	И	И	И	И	И
Л	Л	Л	И	И	И	Л	И

Обърнете внимание, че нито един атом няма формата ~ А , (А ∧ б) , (А ∨ б) , (А → б) , (А ↔ б) . Сложните формули имат този тип.

Броят на скобите във формулите на пропозиционалната логика може да бъде намален, ако приемем това

1) в сложна формула ще пропуснем външната двойка скоби;

2) нека подредим знаците на логическите операции „по ред на приоритет“:

↔, →, ∨, ∧, ~ .

В този списък знакът ↔ има най-голям обхват, а знакът ~ има най-малък обхват. Обхватът на знака за операция се отнася до онези части от формулата на пропозиционалната логика, към които се прилага появата на въпросния знак (върху които той действа). По този начин във всяка формула е възможно да се пропуснат тези двойки скоби, които могат да бъдат възстановени, като се вземе предвид „редът на приоритета“. И при възстановяването на скоби първо се поставят всички скоби, свързани с всички появявания на знака ~ (движим се отляво надясно), след това с всички появявания на знака ∧ и т.н.

Пример 8.Възстановете скобите във формулата на пропозиционалната логика б ↔ ~ В ∨ г ∧ А .

Решение. Скобите се възстановяват стъпка по стъпка, както следва:

б ↔ (~ В) ∨ г ∧ А

б ↔ (~ В) ∨ (г ∧ А)

б ↔ ((~ В) ∨ (г ∧ А))

(б ↔ ((~ В) ∨ (г ∧ А)))

Не всяка формула на пропозиционалната логика може да бъде написана без скоби. Например във формули А → (б → В) и ~( А → б) не е възможно допълнително изключване на скоби.

Тавтологии и противоречия

Логическите тавтологии (или просто тавтологии) са формули на пропозиционална логика, така че ако буквите се заменят произволно с твърдения (вярно или невярно), резултатът винаги ще бъде вярно твърдение.

Тъй като истинността или неверността на сложните твърдения зависи само от значенията, а не от съдържанието на твърденията, всяко от които отговаря на определена буква, то проверката дали дадено твърдение е тавтология може да стане по следния начин. В изследвания израз стойностите 1 и 0 (съответно „true“ и „false“) се заместват с буквите по всички възможни начини, а логическите стойности на изразите се изчисляват с помощта на логически операции. Ако всички тези стойности са равни на 1, тогава изследваният израз е тавтология и ако поне едно заместване дава 0, тогава това не е тавтология.

По този начин се нарича пропозиционална логическа формула, която приема стойността „истина“ за всяко разпределение на стойностите на атомите, включени в тази формула идентичен с истинската формула или тавтология .

Обратното значение е логическо противоречие. Ако всички стойности на твърденията са равни на 0, тогава изразът е логическо противоречие.

По този начин се нарича пропозиционална логическа формула, която приема стойността „false“ за всяко разпределение на стойностите на атомите, включени в тази формула идентично невярна формула или противоречие .

В допълнение към тавтологиите и логическите противоречия има формули на пропозиционалната логика, които не са нито тавтологии, нито противоречия.

Пример 9.Изградете таблица на истинност за формула на пропозиционална логика и определете дали тя е тавтология, противоречие или нито едно от двете.

Решение. Нека създадем таблица на истината:

И	И	И	И	И
И	Л	Л	Л	И
Л	И	Л	И	И
Л	Л	Л	Л	И

В значенията на импликацията не откриваме ред, в който „невярно” следва от „вярно”. Всички стойности на оригиналното твърдение са равни на "true". следователно тази формулапропозиционалната логика е тавтология.

Пример 1.Установете истинността на твърдение · C
Решение. Сложното изявление включва 3 прости изявления: A, B, C. Колоните в таблицата са попълнени със стойности (0, 1). Всички са посочени възможни ситуации. Простите твърдения са разделени от сложните с двойна вертикална линия.
При съставяне на таблица трябва да се внимава да не се обърка редът на действията; Когато попълвате колоните, трябва да се движите „отвътре навън“, т.е. от елементарни формули към все по-сложни; последната попълнена колона съдържа стойностите на оригиналната формула.

А	IN	СЪС		A+		· СЪС
0	1	1	0	0	1	1

Таблицата показва, че това твърдение е вярно само в случай, когато A = 0, B = 1, C = 1. Във всички останали случаи е невярно.

Еквивалентност на твърденията.

С помощта на таблици на истината можете да установите еквивалентността на две или повече твърдения.

Изявленията се наричат ​​еквивалентни, ако съответните стойности на всяко от тях съвпадат в таблицата на истината.

Пример 2.Твърди се, че твърдението A+B·C е еквивалентно на твърдението (A+B)· (A+C)
Решение. Проверката се извършва чрез съставяне на таблица на истинност.

А	IN	СЪС	B C	A+B·C	A+B	A+C	(A+B)· (A+C)

Сравнявайки 5-та и 8-ма колона, ние се уверяваме, че всички стойности, получени по формулата A + B · C, съвпадат със стойностите, получени по формулата (A + B) · (A + C) , т.е. твърденията са еквивалентни (еквивалентни). Едното може да замени другото.
Еквивалентните (еквивалентни) твърдения са свързани със знака º A + B · Cº (A + B) · (A + C).
Нека отбележим разликата между еквивалентност и еквивалентност.
Еквивалентността е логическа операция, която позволява при дадени две твърдения A и B да се конструират нови A и B.
Еквивалентността е връзката между две съставни твърдения, състояща се във факта, че техните стойности на истината винаги са еднакви.

Тавтология.

Нека е дадено твърдение A· и е необходимо да се построи таблица на истинност.
Твърдение А е невярно, неговата истинност не зависи от истинността на твърдение А.

Разгледайте твърдението B+.
В този случай твърдението B+ винаги е вярно, независимо от истинността на B.

IN		B+

Твърдения, чиято истинност е постоянна и не зависи от истинността на включените в тях прости твърдения, а се определя само от тяхната структура, се наричат ​​тъждествени или тавтологии.
Има еднакво верни и еднакво неверни твърдения.
Във формулите всяко еднакво вярно твърдение се заменя с 1, а всяко еднакво невярно твърдение се заменя с 0. Законът за изключената среда.
A º 0
B+ º 1

Пример 3.Докажете тавтологията (XÙ Y)® (XÚ Y)
Решение.

защото твърдението (XÙ Y)® (XÚ Y) винаги е вярно, тогава то е тавтология.

Пример 4.Докажете тавтологията ((X® Y)Ù (Y® Z))® (X® Z)
Решение.
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ F1 _ _ _ _ F2 _ _ _ _ _ F

X	Y	З	X®Y	Y®Z	X® Z	F1Ù F2	(F1Ù F2) ® F3

Таблицата показва, че изследваното твърдение е тавтология, т.к това е наистина постоянно.

Въпроси и задачи.

1. Кое от следните твърдения:

а) (A+C); б) +В; в) +С); г) А+;
еквивалентно твърдение (B+C)

2. Използвайте таблици на истинност, за да определите кои от следните формули са тавтологии:
А) " ); б) ; V) ;

G) ; д) (X® Y) « (Y® X); е) (X® Y) « ;

g) (X® Y)« .

3. Установете истинността на твърдение

4. Еквивалентни ли са твърденията:
и ?

5. Определете дали това твърдение е тавтология:
а) ; б)

6. За всяка формула измислете изречения, които те формализират:
А) ; б) ; V) .

7. От прости поговорки: „Виктор е добър плувец“ - А; “Виктор се гмурка добре” - B; „Виктор пее добре“ - C, е съставено сложно твърдение, чиято формула изглежда така:
X=(A+C)·(A+B). Определете дали твърдението X е еквивалентно на твърдението: „Виктор е добър плувец и Виктор пее добре.“

8.
а) ; б) ;
в) ((X1® X2)® X3)Ù (X3 « X1); г) ((X® Y)Ù (Y® Z))® (X® Z).

9. Определете истинността на твърденията:
А) , , ;
б) , , ;
V) , , ;
G) , , .

Закони на логиката

Еквивалентностите на формулите на пропозиционалната логика често се наричат ​​закони на логиката.
Познаването на законите на логиката ви позволява да проверите правилността на разсъжденията и доказателствата.
Нарушенията на тези закони водят до логически грешкии произтичащите от тях противоречия.
Изброяваме най-важните от тях:
1. Xº X Закон за тъждеството
2. Закон на противоречието
3. Закон за изключената среда
4. Законът за двойните отрицания
5. XÙ Xº X , XÚ Xº C Закони на идемпотентността
6. C Ù U º U Ù C , C Ú U º U Ú C Закони за комутативност (комутативност)
7. (C Ù U) Ù Z ºC Ù (U Ù Z) , (C Ú U) Ú Z º C Ú (U Ú Z) - Закони на асоциативността (комбинация)
8. C Ù (U Ú Z) º (C Ù U) Ú (C Ù Z), C Ú (U Ù Z) º (C Ú U) Ù (C Ú Z) - Закони за дистрибутивност (разпределение)
9. , Законите на Де Морган
10. XÙ 1º C , C Ú 0 º C
11. C Ù 0 º 0 , C Ú 1 º 1
12. C Ù (C Ú U) º C , C Ú (C Ù U) º C Закони за абсорбция
13. (C Ú U) Ù ( Ú U) º U , (C Ù U) Ú ( Ú U) º U Закони на залепването

1-ви законформулирана от древногръцкия философ Аристотел. Законът за тъждеството гласи, че мисълта, съдържаща се в определено твърдение, остава непроменена през целия аргумент, в който се появява това твърдение.

Закон на противоречиетоказва, че нито едно изречение не може да бъде вярно едновременно с отрицанието си.
„Тази ябълка е узряла“ и „Тази ябълка не е узряла“.

Закон за изключената средаказва, че за всяко твърдение има само две възможности: това твърдение е или вярно, или невярно. Трети вариант няма. „Днес ще получа 5 или няма.“ Или предложението е вярно, или неговото отрицание.

Законът за двойното отрицание.Да се ​​отрече отричането на твърдение е същото като да се потвърди това твърдение.
„Не е вярно, че 2×2¹ 4“

Закони на идемпотентността.В алгебрата на логиката няма експоненти и коефициенти. Съвкупност от идентични „фактори“ е еквивалентна на един от тях.

Закони за комутативност и асоциативност.Конюнкция и дизюнкция са подобни на знаците за умножение и събиране със същото име.
За разлика от събирането и умножението на числата, логическото събиране и умножение са равни по отношение на дистрибутивността: не само конюнкцията е разпределителна спрямо дизюнкцията, но и дизюнкцията е разпределителна спрямо конюнкцията.

Значението на законите на Де Морган(Август де Морган (1806-1871) - шотландски математик и логик) може да се изрази в кратки словесни формулировки:
- отрицанието на логическо произведение е еквивалентно на логическата сума на отрицанията на факторите.
- отрицанието на логическа сума е еквивалентно на логическото произведение на отрицанията на членовете.

Можете да докажете законите на логиката:
1) използване на таблици на истината;
2) използване на еквивалентности.
Нека докажем законите на адхезията и абсорбцията, използвайки еквивалентности:
1) (C Ú U) Ù ( Ú U) º (C + U) × ( + U) º C × + U × + U × U + C × U ºU × + U + C × U º U × +U (1 + C) º U × + U º U ( + 1) º U (Закон за залепване)

2) C Ù (C Ú U) º C × C +C × U º C +C × U º C (1 + U) º C (Закон за поглъщане)

Упражнение.Докажете законите на логиката с помощта на таблици на истината.

Трансформации на идентичността

Опростяване на формули.

Пример 1.Опростете формулата (AÚB) · (AÚC)
Решение.
a) Отворете скобите (A Ú B) · (A ÚC) º A · A Ú A · C Ú B · A Ú B · C
б) Съгласно закона за еквивалентност A · A º A, следователно,
A · A Ú A · C ÚB · A Ú B · C º A ÚA · C Ú B · A Ú B · C
в) В твърденията A и A·C изваждаме A извън скоби и използвайки свойството AÚ1º 1, получаваме AÚA·СÚ B · A Ú B · C º A ·(1 ÚС) Ú B · A Ú B · Сº A ÚB · A Ú B·C
г) Подобно на точка в), нека извадим твърдение А извън скоби.
AÚB · A Ú B · Сº A (1ÚB)ÚB · Сº A Ú B · С
Така доказахме закона за дистрибутивността.

2. Трансформации „поглъщане“ и „свързване“

Пример 2.Опростете израза AÚ A · B

Решение. A ÚA · B º A (1 Ú B) º A - абсорбция

Пример 3.Опростете израза A · B Ú A · - знаци за логическо събиране;
- знаци за логическо умножение.
И ще се използва:
- знаци за отрицание и логическо умножение;
- знаци за отрицание и логическо добавяне.

Пример 5.Трансформирайте формулата така, че да не използва логически знаци за добавяне.
Решение. Нека използваме закона за двойното отрицание и след това формулата на Де Морган.

Пример 6.Трансформирайте формулата така, че да не използва логически знаци за умножение.
Решение. Използвайки формулите на де Морган и закона за двойното отрицание, получаваме:

В предишните две лекции дефинирахме логически операции – отрицание, конюнкция, два вида дизюнкция, импликация и еквивалентност. Нека разгледаме някои задачи за прилагане на дефиниции на логически връзки. Това са задачи, при които се изисква да се установи истинностната стойност на едно съставно твърдение, ако е известна истинностната стойност на друго съставно твърдение, както и задачи, при които се изисква да се определи дали има прости поговорки, ако стойностите на истината на някои съставни твърдения, образувани от тези твърдения, са известни.

Определете стойността на истината на дадено твърдение, като използвате стойностите на истината на други твърдения

Задача 6.1. Известно е, че твърдението $ \displaystyle AB$ е невярно, а твърдението $ \displaystyle A \to B $ е вярно. Определете стойността на истината на твърдението $ \displaystyle B \to A’ $, ако е известно, че тя може да бъде уникално определена с помощта на тези данни.

Решение. Да предположим, че това твърдение е невярно:

$ \displaystyle B \to A’=0 $.

Защо приехме фалшивостта, а не истинността на това внушение? Причината е много проста: импликацията е невярна само в един случай. Ако това предположение не противоречи на условията на проблема, то е вярно, тъй като стойността на истината на всяко твърдение е лъжа или истина. Според дефиницията на импликация, тя е невярна тогава и само ако предпоставката е вярна и заключението е невярно:

$ \displaystyle B= 1$, $ \displaystyle A’=0 $.

По дефиницията на отрицание, то е невярно тогава и само ако самото твърдение е вярно:

$ \displaystyle A=1 $.

Но в този случай, предвид дефинициите за импликация и връзка,

$ \displaystyle A \to B=1 $, $ \displaystyle A B=1 $.

Въпреки това, според условията на задачата, последното твърдение има истинностна стойност „лъжа“. Имаме противоречие. Това означава, че твърдението $ \displaystyle B \to A’ $ е вярно.

Проблемът може да бъде решен по друг начин: използвайки условие, директно да получите истинската стойност на импликацията. защото

$ \displaystyle AB=0 $,

тогава, според дефиницията на конюнкция, са възможни следните опции за разпределение на стойностите на истината на твърденията $ \displaystyle A $ и $ \displaystyle B $:

1) $ \displaystyle A=B=0 $;

3) $ \displaystyle A=1 $, $ \displaystyle B=0 $.

Тъй като

$ \displaystyle A \to B=1 $,

тогава, съгласно дефиницията на импликацията, получаваме, че стойностите на истината на твърденията $ \displaystyle A $ и $ \displaystyle B $ могат да бъдат както следва:

1) $ \displaystyle A=B=0 $;

2) $ \displaystyle A=0 $, $ \displaystyle B=1 $;

3) $ \displaystyle A=B=1 $.

Условията $ \displaystyle A=1 $, $ \displaystyle B=0 $ и $ \displaystyle A=B=1 $ са несъвместими, тъй като всяко твърдение е вярно или невярно. Остават първите два варианта. Нека ги проверим с помощта на дефинициите за импликация и отрицание:

1) $ \displaystyle B \to A’=0 \to 0’=0 \to 1=1 $;

2) $ \displaystyle B \to A’=1 \to 0’=1 \to 1 =1 $.

И в двата случая изразът $ \displaystyle B \to A’ $ има стойността на истината „true“.

Очевидно първият начин за решаване на този проблем е много по-кратък от втория.

Определете дали има достатъчно данни, за да определите истинската стойност на дадено твърдение

Задача 6.2. Нека твърдението $ \displaystyle A \to B $ е невярно. Това достатъчно ли е, за да се определи стойността на истината на израза $ \displaystyle (B \to (A \to C)) \vee (B’ \to C) $? Ако е достатъчно, посочете тази стойност. Ако не е достатъчно, тогава покажете с примери, че и двете стойности на истината са възможни.

Решение. Тъй като

$ \displaystyle A \to B=0 $,

тогава, според определението за импликация,

$ \displaystyle A=1$, $ \displaystyle B=0 $.

Това означава, че импликацията $ \displaystyle B \to (A \to C) $ е вярна, тъй като нейната предпоставка е невярна (каквито и да са стойностите на истината на твърденията $ \displaystyle A $ и $ \displaystyle C $). Следователно, като се има предвид определението за дизюнкция, изразът $ \displaystyle (B \to (A \to C)) \vee (B’ \to C) $ има стойността на истината „true“.

Задача 6.3. Нека се знае, че твърдението $ \displaystyle AB $ е вярно. Възможно ли е, използвайки тези данни, да се определи истинната стойност на твърдението $ \displaystyle (AB) \to ((ABC’) \vee (A’BC))$? Ако е възможно, посочете тази стойност. В противен случай покажете с примери, че едно твърдение може да бъде вярно или невярно.

Решение. Тъй като връзката на две твърдения е вярна тогава и само ако и двете от тези твърдения са верни, тогава

$ \displaystyle A=B=1 $.

Това означава, че импликацията $ \displaystyle (AB) \to ((ABC’) \vee (A’BC))$ е вярно, ако заключението му е вярно, и невярно в противен случай (по силата на дефиницията на тази логическа връзка). Разгледайте дизюнкцията $ \displaystyle (ABC’) \vee (A’BC) $. Известно е, че

$ \displaystyle A=B=1 $.

Тогава, според дефиницията на отрицание $ \displaystyle A’=0 $. Ако $ \displaystyle C=0 $, тогава $ \displaystyle C’=1 $. Следователно, по дефиниция, връзката $ \displaystyle ABC’ $ е вярна, а връзката $ \displaystyle A’BC $ е невярна. Това означава, че дизюнкцията $ \displaystyle (ABC’) \vee (A’BC) $ е вярна. Ако $ \displaystyle C=1 $, тогава $ \displaystyle C’=0 $. Следователно твърденията $ \displaystyle ABC’ $ и $ \displaystyle A’BC $ са неверни. Тогава дизюнкцията $ \displaystyle (ABC’) \vee (A’BC) $ е невярна. Така че изразът $ \displaystyle (AB) \to ((ABC’) \vee (A’BC))$ има стойността на истината „false“, когато

$ \displaystyle C=1 $

и "вярно" при

$ \displaystyle C=0 $.

Оказва се, че е невъзможно недвусмислено да се определи истинностната стойност на едно твърдение, използвайки условията на проблема. Тук трябва да се подчертае, че това не означава, че стойността на истината изобщо не може да бъде определена. Тук просто няма достатъчно данни, които да го подкрепят.

Разберете дали има твърдения с дадени истинностни стойности

Задача 6.4. Нека изразът $ \displaystyle A \vee B' $ и $ \displaystyle B \to (A \vee C) $ имат истинската стойност „false“, а изразът $ \displaystyle C' \to B' $ има истината стойност "вярно". Има ли изявления като $ \displaystyle A $, $ \displaystyle B$ и $ \displaystyle C $?

Решение. Дизюнкцията на две твърдения по дефиниция е невярна само в един случай: ако и двете от тези твърдения са неверни. означава,

$ \displaystyle A=B’=0 $.

Следователно, предвид дефинициите на отрицанието,

$ \displaystyle B=1 $.

Помислете за внушението

$ \displaystyle B \to (A \vee C) $.

Според условията на задачата е невярно. Това е възможно тогава и само ако

$ \displaystyle B=1 $, $ \displaystyle A \vee C =0 $.

Това означава, по силата на определението за дизюнкция,

$ \displaystyle A=C=0 $.

следователно

$ \displaystyle C’ \to B’=0′ \to 1’=1 \to 0=0 $.

Но според условията на задачата това импликация е вярно. Имаме противоречие. Това означава, че няма твърдения, които да отговарят на тези условия.

Урок №2

Алгебра на предложенията. Логически операции.

(комбиниран урок, включващ повторение на предходната тема,

въвеждане на нов материал и консолидация)

Цел на урока:Формиране на понятия у учениците: логически твърдения, логически операции.

Цели на урока:

Повторете основните материали от урок 1 (форми на човешкото мислене: концепция, преценка, заключение);

Въвеждане на определението за пропозиционална алгебра;

Въвеждане на основни логически операции.

Изисквания за знания и умения:

Студентите трябва да знаят:

Какво изучава пропозиционалната алгебра и какъв е обектът на изследване на пропозиционалната алгебра;

Значения на понятията: логическо твърдение, логически операции;

Таблици на истинност на логическите операции.

Студентите трябва да могат да:

Дайте примери за логически твърдения;

Определяне на значенията на логически твърдения;

Наименувайте логически операции и изградете таблици на истинност за тях.

Стъпки на урока

I. Организационен момент. Поставяне на целта на урока. 2 мин.

II. Повторение. 7 мин.

III. преглед домашна работа. 5 мин.

IV. Въвеждане на нов материал. 20 мин.

V. Консолидация. 7 мин.

VI. Обобщаване на урока. 3 мин.

VII. Поставяне на домашна работа. 1 мин.

Напредък на урока

II. Повторение.

1) Повторение на основните определения и понятия от урок 1:

· Концепция – форма на мислене, която отразява съществените признаци на предметите.

о Обхват на понятието– набор от обекти, всеки от които има характеристики, съставляващи съдържанието на понятието.

Дайте примери.

· присъда (изявление, твърдение) - форма на мислене, в която се потвърждава или отрича нещо относно обекти, техните свойства или връзки между тях.

о Форма на съдебното решение– това е неговата структура, начинът, по който са свързани компонентите му.

· Извод - форма на мислене, чрез която от едно или повече съждения, наречени предпоставки, съгласно определени правила за умозаключение получаваме съждение-заключение (извод)

- Определете кои от следните фрази са твърдения и защо?

1. Колко е хубаво да си генерал!

2.

3. Познай себе си.

4. Всички мечки живеят на север.

5. Революцията не може да бъде мирна и безкръвна.

6.

7.

(Примери 1 и 3 не са твърдения, тъй като те са съответно възклицателни и повелителни изречения).

- Сега определете дали предложенията са прости или съставни.

(В пример 5 той може да бъде разделен на две прости изявления, което означава, че е съставен.)

- Определете значението на твърденията (вярно или невярно).

В пример 6 се убеждаваме, че съдържанието на твърдението често е субективна характеристика. Обосновката за истинността или неистинността на простите твърдения се решава извън науката на логиката. Например, въз основа на нашия житейски опит, ние придаваме определено значение на преценка 6.

Руските поговорки, както в пример 4, винаги ще бъдат верни, защото се основават на житейския опит на цели поколения хора.

В пример 7 значението на твърдението се определя в курс по геометрия, а в твърдение 5 в курс по история.

Резултатите са представени в следната таблица:

Фрази	Изявления	Вярно или невярно	Прости поговорки
1. Колко е хубаво да си генерал!
2. Не можете да хванете риба от езерце без затруднения.
3. Познайте себе си.
4. Всички мечки живеят на север.
5. Революцията не може да бъде мирна и безкръвна.
6. Талантът винаги ще си проправи път.
7. Сборът от ъглите на триъгълник е 1800.

В миналия урок казахме, че всяко твърдение се състои от три елемента:
подлог, сказуемо и съединител. Предмет(S) - концепция за предмета. Предикат(П)- концепцията за свойствата и връзките на обекта. връзка - връзка между субект и предикат.

Определете какво е подлогът, сказуемото и съединителното в прости твърдения.

Дори не можете да хванете риба от езерце без затруднения.

Всички мечки живеят на север.

Талантът винаги ще си проправи път.

Сборът от ъглите на триъгълник е 1800.

III. Проверка на домашното:

Карта за домашна работа

1. От дадените прости твърдения съставете и запишете поне 3 съставни твърдения: 1) Да отидем на вилата. 2) Хубаво време. 3) Лошо време. 4) Ще отидем на плаж. 5) Антон ни кани на театър.

2. Извлечете, ако е възможно, заключение от всяка двойка предпоставки: а) Всички птици са животни. Всички врабчета са птици. б) Някои уроци са трудни. Всичко, което е трудно, изисква внимание. IN) Няма добро делоне е незаконно. Всичко, което е законно, може да се направи без страх.

а) Тези, които са плешиви, не се нуждаят от гребен. Нито един гущер няма коса. Следователно гущерите не се нуждаят от гребен. Б) Всеки завършил 3-то тримесечие получава подарък компютър. Завършихте 3-та четвърт без тройки. Така че, пригответе се да получите компютър като подарък.

VI. Обяснение на нов материал

Пропозиционална алгебра

Идеята за възможност математизация на логикатаизразено още през 17 век. Той се опита да създаде универсален език, с който всяка концепция и твърдение могат да бъдат дадени числена характеристикаи установете правила за работа с тези числа, които биха позволили незабавно да се определи дали дадено твърдение е вярно или невярно. Тоест споровете между хората биха могли да се разрешават чрез изчисления. Идеята на Лайбниц се оказа невярна, тъй като е невъзможно (не са намерени начини) да се сведе човешкото мислене до някакъв вид математическо смятане.

Въпреки това, истинският прогрес на тази наука е постигнат в средата на 19 век, преди всичко благодарение на трудовете на J. Boole „Математически анализ на логиката“. Той прехвърли законите и правилата на алгебричните операции в логиката, въведе логически операции и предложи начин за писане на изявления в символна форма.

Много изключителни математици и логици са участвали в развитието на математическата логика края на XIXи 20-ти век, включително К. Гьодел (австриец), Д. Гилбърт (немец), С. Клийн (американец), Е. Пост (американец), А. Тюринг (англичанин), А. Чърч (американец) и много други .

Съвременната математизирана формална логика е обширна научна област, която намира широко приложение както в рамките на математиката (изучаване на основите на математиката), така и извън нея (синтез и анализ автоматични устройства, теоретична кибернетика, по-специално изкуствен интелект).

По този начин обектите на изследване на алгебрата на логиката са твърдения.

Под изявление (съждение) ще разберем декларативно изречение, за което можем недвусмислено да кажем дали е вярно или невярно.

Изявленията ще ги обозначаваме с главни латински букви. Ако твърдение А е вярно, тогава ще напишем „А = 1“ и ще кажем: „А е вярно“. Ако твърдението X е невярно, тогава ще напишем „X = 0“ и ще кажем „X е невярно“.

Обосновката за истинността или неистинността на прости твърдения се решава извън алгебрата на логиката. Например истинността или неистинността на твърдението „Сумата от ъглите на триъгълника е 180°“ се установява от геометрията, като в геометрията на Евклид това твърдение е вярно, а в геометрията на Лобачевски е невярно.

Алгебрата на логиката се абстрахира от семантичното съдържание на твърденията. Тя се интересува само от един факт - дали дадено твърдение е вярно или невярно. Такава преценка на интересите позволява да се изучават твърдения с алгебрични методи.

Логически операции

В алгебрата на логиката човек може да изпълнява изявления върху изявления различни операции(както в алгебрата на реалните числа са дефинирани операциите събиране, деление и степенуване върху числа). Ще разгледаме само някои от най-важните от тях:

Дизюнкция (логическо събиране) Подтекст (логическо следствие) Еквивалентност (логическо равенство)

1) Инверсия (логическо отрицание)

Инверсия (логическо отрицание) е логическа операция, която свързва всяко дадено твърдение с ново твърдение, което е вярно, ако даденото твърдение е невярно, и невярно, ако даденото твърдение е вярно.

Логическите операции са посочени таблици на истината и може да се илюстрира графично с помощта на кръгове на Ойлер , кръстен на великия математик, физик и астроном Леонхард Ойлер ()

Символ за инверсия: ; не А ; А; НЕ А

0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

А

Образува се от просто твърдение чрез добавяне на частицата НЕ към предиката или чрез използване на фигура на речта „НЕ Е ВЯРНО, ЧЕ...“.

Пример: А = "Навън вали"

= "Не е вярно, че навън вали"

Задача 1.Дайте пример за твърдение и неговото отрицание.

Определете истинността на всеки.

Така че инверсията на твърдение е вярно, когато твърдението е невярно.

2) Конюнкция (логическо умножение)

вярно тогава и само ако и двете оригинални твърдения са верни.

Обозначение на връзката: А&IN, А и IN, А Л IN, А IN.

Таблица на истината:

		А&IN

Образува се чрез комбиниране на две твърдения в едно с помощта на връзка "И"

Пример: А = "Навън вали"

B= "Небето е синьо"

А&IN = "Навън вали и небето е синьо"

Задача 2.а) Дайте примери за две твърдения и получете съставно твърдение, като използвате логическата връзка „И“.

И така, връзката на две твърдения е вярна тогава и само ако и двете оригинални твърдения са верни.

3) Дизюнкция (логическо добавяне) е логическа операция, която асоциира всеки две изявления с ново изявление, което

вярно тогава и само ако поне едно от двете първоначални твърдения е вярно.

Нотация за дизюнкция: А V IN, А ИЛИ IN, А+IN.

0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

А V IN

Образува се чрез комбиниране на две твърдения в едно с помощта на връзката „ИЛИ“

Пример: А = "Навън вали"

B= "Небето е синьо"

А V IN = „Навън вали или небето е синьо“

Задача 3.а) Дайте примери за две твърдения и получете съставно твърдение, като използвате свързващото звено „ИЛИ“.

И така, дизюнкция на две твърдения е вярна тогава и само ако поне едно от двете първоначални твърдения е вярно.

4) Импликация (логическо следствие) е логическа операция, която асоциира всеки две изявления с ново изявление, което

е невярно тогава и само ако първото твърдение (условие) е вярно и второто твърдение (последствие) е невярно.

Нотация за дизюнкция: А ® IN.

Таблица на истината: Диаграма на Ойлер:

"АКО..., ТОГАВА..."

Щом е дадена клетва, значи трябва да се изпълни.

Ако едно число се дели на 9, то се дели на 3.

Пример: А = "Навън вали"

B= "Небето е синьо"

А ® IN = "Ако навън вали, небето е синьо"

Задача 4. а) Дайте примери за две твърдения и получете съставно твърдение, като използвате свързващото звено „АКО, ТОГАВА...“.

б) Определете истинността или неверността на всяко от трите твърдения

И така, импликацията на две твърдения е невярна тогава и само ако първото твърдение (условие) е вярно и второто твърдение (следствие) е невярно.

5) Еквивалентност (логическо равенство) е логическа операция, която асоциира всеки две изявления с ново изявление, което

вярно тогава и само ако и двете оригинални твърдения са едновременно верни или едновременно неверни.

Нотация за дизюнкция: А « B, A = B, A≡B.

Таблица на истината: Диаграма на Ойлер:

Образува се чрез комбиниране на две твърдения в едно с помощта на фигура на речта „...ТОГАВА И САМО КОГАТО...“

Ъгъл се нарича прав тогава и само ако е равен на 900

Всички закони на математиката, физиката, всички дефиниции са еквивалентни твърдения

Две прави са успоредни тогава и само ако не се пресичат.

Пример: А = "Навън вали"

B= "Небето е синьо"

А « IN = "Навън вали тогава и само ако небето е синьо"

Задача 5.а) Дайте примери за две твърдения и получете съставно твърдение, като използвате свързващата реч „...ТОГАВА И САМО КОГАТО...“

б) Определете истинността или неверността на всяко от трите твърдения.

Така че еквивалентността на двете твърдения е вярна ако и само ако и двете първоначални твърдения са едновременно верни или едновременно неверни.

VI. Затвърдяване на наученото.

1. Обяснете защо следните изречения не са твърдения :

· Какъв цвят е тази къща?

· Числото X не надвишава единица.

· Погледнете през прозореца.

· Пийте доматен сок!

· Тази тема е скучна.

· Били ли сте на театър?

2. Обяснете защо твърдението на всяка теорема е твърдение.

3. Дайте 2 примера за верни и неверни твърдения от математика, биология, история, информатика, литература.

4. От следните изречения изберете тези, които са твърдения:

Коля попита: „Как да стигна Болшой театър? Как да стигна до библиотеката? Картините на Пикасо са твърде абстрактни. Решаването на проблем е информационен процес. Числото 2 е делител на числото 7 в някаква бройна система.

5. Изберете верните твърдения:

· „Числото 28 е перфектно число“

· „Не можете да хванете риба от езерото без усилия“

· „Талантът винаги ще намери своя път“

· „Някои животни мислят“

· „Информатика – наука за алгоритмите“

· „2+3*5=30“

· „Всички ученици обичат компютърните науки“

6.

7. Коя логическа операция съответства на тази таблица на истинност?

8. Коя логическа операция съответства на тази таблица на истинност?

9. Коя логическа операция съответства на тази таблица на истинност?

10. Коя логическа операция съответства на тази таблица на истинност?

Обобщение на урока:

Запознахте се с основните понятия на логическата алгебра. Разгледахме логическите операции. Анализирахме таблицата на истината за всяка логическа операция и илюстрирахме LO с помощта на кръгове на Ойлер.

2. Научете всички определения в тетрадката си от бележките към урока.

3. Изберете изрази за всяка логическа операция от примера)

В лингвистичната практика често се използват неверни и верни твърдения. Първата оценка се възприема като отричане на истината (неистина). Реално се използват и други видове оценки: несигурност, недоказуемост (доказуемост), нерешимост. Когато обсъждаме за какво число x едно твърдение е вярно, е необходимо да вземем предвид законите на логиката.

Появата на „многозначната логика“ доведе до използването на неограничен брой индикатори за истинност. Ситуацията с елементите на истината е объркана и сложна, затова е важно да се изясни.

Принципи на теорията

Истинското твърдение е стойността на свойство (атрибут) и винаги се взема предвид за конкретно действие. Какво е истината? Схемата е следната: „Изявление X има стойността на истината Y, ако твърдението Z е вярно.“

Нека разгледаме един пример. Трябва да разберете кое от следните твърдения е вярно: „Обект A има атрибут B.“ Това твърдение е невярно, тъй като обектът има атрибут B, и е невярно в смисъл, че a няма атрибут b. Терминът „грешно“ в този случай се използва като външно отрицание.

Дефиниция на истината

Как се определя вярното твърдение? Независимо от структурата на израза X, е разрешена само следната дефиниция: „Изявлението X е вярно, когато има X, само X.“

Тази дефиниция позволява въвеждането на термина „истина“ в езика. Той определя акта на съгласие или говорене с казаното в него.

Прости поговорки

Те съдържат вярно твърдение без определение. Можете да се ограничите, когато казвате „Не-X“ обща дефиниция, ако това твърдение не е вярно. Съюзът "X и Y" е верен, ако X и Y са верни.

Примерно изявление

Как да разберем за кое x дадено твърдение е вярно? За да отговорим на този въпрос, използваме израза: „Частица a е в област от пространство b.“ За тази цел разгледайте твърдението следните случаи:

• невъзможно е да се наблюдава частицата;
• частицата може да се наблюдава.

Вторият вариант предлага определени възможности:

• частицата действително се намира в определен регион на пространството;
• не е в предполагаемата част на пространството;
• частицата се движи по такъв начин, че е трудно да се определи зоната на нейното местоположение.

В този случай можем да използваме четири термина за истинност, които съответстват на дадените възможности.

За сложни структуриподходяща употреба повечеусловия. Това показва, че стойностите на истината са неограничени. За какъв брой твърдението е вярно зависи от практическата целесъобразност.

Принцип на двусмислието

В съответствие с него всяко твърдение е или невярно, или вярно, тоест се характеризира с една от двете вероятни стойности на истината - „фалшиво“ и „вярно“.

Този принцип е в основата на класическата логика, която се нарича двузначна теория. Принципът на двусмислието е използван от Аристотел. Този философ, обсъждайки за какъв брой x дадено твърдение е вярно, го смята за неподходящо за тези твърдения, които се отнасят до бъдещи случайни събития.

Той установи логическа връзка между фатализма и принципа на неяснотата, позицията за предопределеността на всякакви човешки действия.

В следващите исторически епохи ограниченията, наложени на този принцип, се обясняват с факта, че той значително усложнява анализа на твърдения за планирани събития, както и за несъществуващи (ненаблюдаеми) обекти.

Когато мислим кои твърдения са верни, не винаги е било възможно да се намери недвусмислен отговор с помощта на този метод.

Възникващите съмнения относно логическите системи бяха разсеяни едва след разработването на съвременната логика.

За да разберете за кое от дадените числа твърдението е вярно, е подходяща двузначна логика.

Принципът на полисемията

Ако преформулираме версията на двузначно твърдение, за да идентифицираме истината, можем да го превърнем в специален случай на полисемия: всяко твърдение ще има една истинностна стойност n, ако n е по-голямо от 2 или по-малко от безкрайност.

Като изключения от допълнителните стойности на истината (над „false“ и „true“) има много логически системи, основан на принципа на полисемията. Двузначната класическа логика характеризира типичните употреби на определени логически знаци: „или“, „и“, „не“.

Многозначната логика, която претендира да ги конкретизира, не трябва да противоречи на резултатите от двузначна система.

Убеждението, според което принципът на неяснотата винаги води до твърдение за фатализъм и детерминизъм, се счита за погрешно. Също така неправилна е идеята, че множествената логика се счита за необходимо средство за прилагане на индетерминистично разсъждение и че нейното приемане съответства на отказ от използване на строг детерминизъм.

Семантика на логическите знаци

За да разберете за какво число X дадено твърдение е вярно, можете да се въоръжите с таблици на истината. Логическата семантика представлява раздел от металогиката, който изследва връзката с обозначените обекти и тяхното съдържание на различни езикови изрази.

Този проблем е бил разглеждан още в древния свят, но е формулиран под формата на пълноценна независима дисциплина едва в началото на 19-20 век. Трудовете на Г. Фреге, К. Пиърс, Р. Карнап, С. Крипке позволиха да се идентифицира същността на тази теория, нейният реализъм и целесъобразност.

За дълъг период от време семантичната логика разчиташе главно на анализа на формализирани езици. Само в напоследъкПовечето от изследванията започват да се посветят на естествения език.

Има две основни области в тази методология:

• теория на обозначението (справка);
• теория на значението.

Първият включва изследване на връзката на различни езикови изрази с обозначените обекти. Основните му категории могат да бъдат представени като: „обозначение“, „име“, „модел“, „интерпретация“. Тази теорияе основа за доказателства в съвременната логика.

Теорията на значението се занимава с търсенето на отговор на въпроса какво представлява значението на един езиков израз. Обяснява тяхната идентичност по смисъл.

Теорията на значението играе съществена роля в обсъждането на семантичните парадокси, при разрешаването на които всеки критерий за приемливост се счита за важен и уместен.

Логическо уравнение

Този термин се използва в метаезика. Под логическо уравнение можете да си представите нотацията F1=F2, в която F1 и F2 са формули на разширения език на логическите изявления. Решаването на такова уравнение означава определяне на тези набори от истински стойности на променливи, които ще бъдат включени в една от формулите F1 или F2, в които ще се наблюдава предложеното равенство.

Знакът за равенство в математиката в някои ситуации показва равенството на оригиналните обекти, а в някои случаи се поставя, за да демонстрира равенството на техните стойности. Записът F1=F2 може да означава, че говорим за същата формула.

В литературата формалната логика често се разбира като синоним като „езика на логическите твърдения“. като " точните думи» се появяват формули, които служат семантични единици, използвани за изграждане на разсъждения в неформалната (философска) логика.

Изявлението действа като изречение, което изразява конкретна преценка. С други думи, той изразява идеята за наличието на определено състояние на нещата.

Този факт стана основата на пропозиционалната логика. Има разделение на твърденията на прости и сложни групи.

При формализиране прости опцииизявленията използват елементарни формули на езика от нулев ред. Описанието на сложни твърдения е възможно само с помощта на езикови формули.

Логическите връзки са необходими за обозначаване на връзки. Когато се използват, простите изрази се превръщат в сложни видове:

• "не",
• „не е вярно, че...“,
• "или".

Заключение

Формалната логика помага да се разбере за кое име дадено твърдение е вярно, включва изграждането и анализа на правила за трансформиране на определени изрази, които ги запазват истински смисълнезависимо от съдържанието. Тя се появява като отделен клон на философската наука едва в края на деветнадесети век. Второто направление е неформалната логика.

Основната задача на тази наука е да систематизира правила, които позволяват да се извлекат нови твърдения въз основа на доказани твърдения.

Основата на логиката е възможността за получаване на някои идеи като логическо следствие от други твърдения.

Този факт ни позволява да опишем адекватно не само конкретен проблем в математическа наука, но и да пренесем логиката в художественото творчество.

Логическото изследване предполага връзката, която съществува между предпоставките и заключенията, извлечени от тях.

Тя може да се счита за една от първоначалните, фундаментални концепции на съвременната логика, която често се нарича наука за „това, което следва от нея“.

Трудно е да си представим без такова разсъждение доказателството на теореми в геометрията, обяснението физични явления, обяснение на механизмите на реакциите в химията.