Съдържание на статията

ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ.Много физични закони, които управляват определени явления, са записани под формата на математическо уравнение, което изразява определена връзка между определени величини. Често говорим за връзката между величини, които се променят с времето, например ефективността на двигателя, измерена чрез разстоянието, което една кола може да измине с един литър гориво, зависи от скоростта на колата. Съответното уравнение съдържа една или повече функции и техните производни и се нарича диференциално уравнение. (Скоростта на промяна на разстоянието във времето се определя от скоростта; следователно скоростта е производна на разстоянието; по същия начин ускорението е производна на скоростта, тъй като ускорението определя скоростта на промяна на скоростта с времето.) Голяма стойност, които диференциалните уравнения имат за математиката и особено за нейните приложения, се обясняват с факта, че изучаването на много физически и технически проблеми се свежда до решаването на такива уравнения. Диференциалните уравнения също играят важна роля в други науки, като биология, икономика и електротехника; всъщност те възникват навсякъде, където има нужда от количествено (числово) описание на явленията (тъй като света около наспромени във времето и условията се променят от едно място на друго).

Примери.

Следните примери дават по-добро разбиране за това как различни задачиса формулирани на езика на диференциалните уравнения.

1) Законът за разпадане на някои радиоактивни вещества е, че скоростта на разпадане е пропорционална на наличното количество от това вещество. Ако х– количеството вещество в определен момент от време t, то този закон може да се запише по следния начин:

Къде dx/дте скоростта на разпадане, и к– някаква положителна характеристика на константата това вещество. (Знакът минус от дясната страна показва това хнамалява с времето; знак плюс, винаги подразбиращ се, когато знакът не е изрично посочен, би означавал това хсе увеличава с времето.)

2) Контейнерът първоначално съдържа 10 kg сол, разтворена в 100 m 3 вода. Ако чиста водаизлива в контейнера със скорост 1 m 3 в минута и се смесва равномерно с разтвора, а полученият разтвор изтича от контейнера със същата скорост, тогава колко сол ще има в контейнера във всеки следващ момент? Ако х– количество сол (в kg) в контейнера наведнъж t, след това по всяко време t 1 m 3 разтвор в контейнера съдържа х/100 кг сол; следователно количеството сол намалява със скорост х/100 кг/мин, или

3) Нека има маси по тялото мокачен от края на пружината, действа възстановяваща сила, пропорционална на количеството напрежение в пружината. Нека х– степента на отклонение на тялото от равновесното положение. След това, според втория закон на Нютон, който гласи, че ускорението (втората производна на хпо време, определено d 2 х/дт 2) пропорционално на силата:

Дясната страна има знак минус, защото възстановяващата сила намалява разтягането на пружината.

4) Законът за охлаждане на тялото гласи, че количеството топлина в тялото намалява пропорционално на разликата в телесната температура и среда. Ако чаша кафе, загрята до температура 90°C, е в стая, където температурата е 20°C, тогава

Къде Т– температура на кафето по време t.

5) Външният министър на държавата Блефуску твърди, че оръжейната програма, приета от Лилипутия, принуждава страната му да увеличи военните разходи колкото е възможно повече. Министърът на външните работи на Лилипутия прави подобни изявления. Получената ситуация (в нейната най-проста интерпретация) може да бъде точно описана с две диференциални уравнения. Нека хИ г- разходи за въоръжение на Лилипутия и Блефуску. Ако приемем, че Лилипутия увеличава разходите си за въоръжение със скорост, пропорционална на скоростта на нарастване на разходите за въоръжение на Блефуску и обратно, получаваме:

където са членовете брадваи - отопишете военните разходи на всяка страна, кИ лса положителни константи. (Този проблем е формулиран за първи път по този начин през 1939 г. от Л. Ричардсън.)

След като задачата е написана на езика на диференциалните уравнения, трябва да се опитате да ги решите, т.е. намерете количествата, чиито скорости на изменение са включени в уравненията. Понякога решенията се намират под формата на изрични формули, но по-често те могат да бъдат представени само в приблизителна форма или може да се получи качествена информация за тях. Често може да бъде трудно да се определи дали изобщо съществува решение, камо ли да се намери такова. Важен разделтеориите на диференциалните уравнения представляват така наречените „теореми за съществуване“, в които се доказва съществуването на решение за един или друг вид диференциално уравнение.

Оригиналната математическа формулировка на физически проблем обикновено съдържа опростяващи предположения; критерият за тяхната разумност може да бъде степента на съответствие на математическото решение с наличните наблюдения.

Решения на диференциални уравнения.

Диференциално уравнение, например dy/dx = х/г, не числото удовлетворява, а функцията в това конкретен случайтака че неговата графика във всяка точка, например в точка с координати (2,3), има допирателна с ъглов коефициент, равен на отношението на координатите (в нашия пример 2/3). Това е лесно да се провери, ако строите голям бройточки и от всяка отделете къс сегмент със съответния наклон. Решението ще бъде функция, чиято графика докосва всяка своя точка до съответния сегмент. Ако има достатъчно точки и сегменти, тогава можем приблизително да очертаем хода на кривите на разтвора (на фиг. 1 са показани три такива криви). Има точно една крива на решение, минаваща през всяка точка с г№ 0. Всяко отделно решение се нарича частично решение диференциално уравнение; ако е възможно да се намери формула, съдържаща всички частни решения (с възможно изключение на няколко специални), тогава те казват, че е получено общо решение. Конкретно решение представлява една функция, докато общо решение представлява цяло семейство от тях. Решаването на диференциално уравнение означава намиране на неговото частно или общо решение. В примера, който разглеждаме, общото решение има формата г 2 – х 2 = c, Къде c– произволен брой; конкретно решение, минаващо през точката (1,1), има формата г = хи се оказва кога c= 0; частно решение, минаващо през точка (2,1), има формата г 2 – х 2 = 3. Условието, изискващо кривата на решението да премине, например, през точката (2,1), се нарича начално условие (тъй като определя началната точка на кривата на решението).

Може да се покаже, че в пример (1) общото решение има формата х = ce –кт, Къде c– константа, която може да се определи например чрез посочване на количеството вещество при t= 0. Уравнението от пример (2) е частен случай на уравнението от пример (1), съотв к= 1/100. Първоначално състояние х= 10 ат t= 0 дава конкретно решение х = 10д –t/100 . Уравнението от пример (4) има общо решение Т = 70 + ce –кти частно решение 70 + 130 – кт; за определяне на стойността к, необходими са допълнителни данни.

Диференциално уравнение dy/dx = х/гсе нарича уравнение от първи ред, тъй като съдържа първата производна (редът на диференциалното уравнение обикновено се счита за ред на най-високата производна, включена в него). За повечето (макар и не всички) диференциални уравнения от първи вид, които възникват на практика, само една крива на решение минава през всяка точка.

Има няколко важни типа диференциални уравнения от първи ред, които могат да бъдат решени под формата на формули, съдържащи само елементарни функции– степени, степени, логаритми, синуси и косинуси и др. Такива уравнения включват следното.

Уравнения с разделими променливи.

Уравнения на формата dy/dx = f(х)/ж(г) може да се реши, като се запише в диференциали ж(г)dy = f(х)dxи интегриране на двете части. В най-лошия случай решението може да бъде представено под формата на интеграли от известни функции. Например в случая с уравнението dy/dx = х/гимаме f(х) = х, ж(г) = г. Като го напиша във формата ydy = xdxи интегрирайки, получаваме г 2 = х 2 + c. Уравненията с разделими променливи включват уравнения от примери (1), (2), (4) (те могат да бъдат решени по начина, описан по-горе).

Уравнения в тотални диференциали.

Ако диференциалното уравнение има формата dy/dx = М(х,г)/Н(х,г), Къде МИ Нса две дадени функции, тогава тя може да бъде представена като М(х,г)dx – Н(х,г)dy= 0. Ако лявата страна е диференциалът на някаква функция Е(х,г), тогава диференциалното уравнение може да бъде написано като dF(х,г) = 0, което е еквивалентно на уравнението Е(х,г) = конст. По този начин кривите на решението на уравнението са „линиите на постоянни нива“ на функцията или геометричното място на точките, които удовлетворяват уравненията Е(х,г) = c. Уравнение ydy = xdx(Фиг. 1) - с разделими променливи и същото - в общи диференциали: за да се уверим в последното, го записваме във формата ydy – xdx= 0, т.е. d(г 2 – х 2) = 0. Функция Е(х,г) в този случай е равно на (1/2)( г 2 – х 2); Някои от неговите линии на постоянно ниво са показани на фиг. 1.

Линейни уравнения.

Линейните уравнения са уравнения от "първа степен" - неизвестната функция и нейните производни се появяват в такива уравнения само до първа степен. По този начин линейното диференциално уравнение от първи ред има формата dy/dx + стр(х) = р(х), Къде стр(х) И р(х) – функции, които зависят само от х. Неговото решение винаги може да бъде написано с помощта на интеграли на известни функции. Много други видове диференциални уравнения от първи ред се решават с помощта на специални техники.

Уравнения от по-висок ред.

Много диференциални уравнения, с които се сблъскват физиците, са уравнения от втори ред (т.е. уравнения, съдържащи втори производни, например е уравнението на простото хармонично движение от пример (3), md 2 х/дт 2 = –kx. Най-общо казано, можем да очакваме, че уравнение от втори ред има частични решения, които отговарят на две условия; например, може да се изисква кривата на решението да минава през дадена точка в дадена посока. В случаите, когато диференциалното уравнение съдържа определен параметър (число, чиято стойност зависи от обстоятелствата), решения от необходимия тип съществуват само за определени стойности на този параметър. Например, разгледайте уравнението md 2 х/дт 2 = –kxи ние ще поискаме това г(0) = г(1) = 0. Функция ге 0 очевидно е решение, но ако е цяло число, кратно стр, т.е. к = м 2 п 2 стр 2, където пе цяло число, но в действителност само в този случай има други решения, а именно: г= грях npx. Стойностите на параметрите, за които уравнението има специални решения, се наричат ​​характерни или собствени стойности; те играят важна роля в много задачи.

Уравнението на простото хармонично движение е пример за важен клас уравнения, а именно линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти. повече общ пример(също втори ред) – уравнение

Къде аИ b– дадени константи, f(х) е дадена функция. Такива уравнения могат да бъдат решени по различни начини, например, използвайки интегралното преобразуване на Лаплас. Същото може да се каже и за линейни уравнения от по-висок ред с постоянни коефициенти. Те също играят важна роля линейни уравненияс променливи коефициенти.

Нелинейни диференциални уравнения.

Уравнения, съдържащи неизвестни функции и техните производни на степен по-висока от първата или повече по сложен начин, се наричат ​​нелинейни. IN последните годините привличат все повече внимание. Факт е, че физичните уравнения обикновено са линейни само до първо приближение; По-нататъшните и по-точни изследвания, като правило, изискват използването на нелинейни уравнения. В допълнение, много проблеми са нелинейни по природа. Тъй като решенията на нелинейни уравнения често са много сложни и трудни за представяне прости формули, значителна част съвременна теорияпосветен качествен анализтяхното поведение, т.е. разработването на методи, които позволяват, без да се решава уравнението, да се каже нещо съществено за природата на решенията като цяло: например, че всички те са ограничени, или имат периодичен характер, или зависят по определен начин от коефициентите.

Приблизителните решения на диференциалните уравнения могат да бъдат намерени числено, но това изисква много време. С появата на високоскоростни компютри това време беше значително намалено, което отвори нови възможности за числено решаване на много проблеми, които преди това бяха неразрешими за такова решение.

Теореми за съществуване.

Теорема за съществуване е теорема, която твърди, че при определени условия дадено диференциално уравнение има решение. Има диференциални уравнения, които нямат решения или имат повече от очакваното. Целта на една теорема за съществуване е да ни убеди, че дадено уравнение действително има решение и най-често да ни увери, че то има точно едно решение от търсения тип. Например уравнението, с което вече се сблъскахме dy/dx = –2гима точно едно решение, минаващо през всяка точка от равнината ( х,г), и тъй като вече намерихме едно такова решение, по този начин напълно решихме това уравнение. От друга страна, уравнението ( dy/dx) 2 = 1 – г 2 има много решения. Сред тях има и прави г = 1, г= –1 и криви г= грях( х + c). Решението може да се състои от няколко сегмента от тези прави линии и криви, преминаващи един в друг в точки на контакт (фиг. 2).

Частични диференциални уравнения.

Обикновеното диференциално уравнение е твърдение за производната на неизвестна функция на една променлива. Частично диференциално уравнение съдържа функция на две или повече променливи и производни на тази функция по отношение на поне две различни променливи.

Във физиката примери за такива уравнения са уравнението на Лаплас

X, г) вътре в кръга, ако стойностите uопределени във всяка точка от ограничаващия кръг. Тъй като проблемите с повече от една променлива във физиката са по-скоро правило, отколкото изключение, лесно е да си представим колко обширен е предметът на теорията на частичните диференциални уравнения.

Бележки от лекции по

диференциални уравнения

Диференциални уравнения

Въведение

При изучаване на определени явления често възниква ситуация, когато процесът не може да бъде описан с помощта на уравнението y=f(x) или F(x;y)=0. В допълнение към променливата x и неизвестната функция, производната на тази функция влиза в уравнението.

определение:Извиква се уравнението, свързващо променливата x, неизвестната функция y(x) и нейните производни диференциално уравнение. IN общ изгледдиференциалното уравнение изглежда така:

F(x;y(x); ;;...;y (n))=0

определение:Редът на диференциалното уравнение е редът на най-високата производна, включена в него.

– диференциално уравнение от 1-ви ред

– диференциално уравнение от 3-ти ред

определение:Решението на диференциално уравнение е функция, която, когато бъде заместена в уравнението, го превръща в идентичност.

Диференциални уравнения от 1-ви ред

определение:Уравнение на формата =f(x;y) или F(x;y; )=0се нарича диференциално уравнение от първи ред.

определение:Общото решение на диференциално уравнение от 1-ви ред е функцията y=γ(x;c), където (c –const), която, когато се замести в уравнението, го превръща в идентичност. Геометрично на равнината общото решение съответства на семейство интегрални криви в зависимост от параметъра c.

определение:Интегралната крива, минаваща през точка в равнината с координати (x 0 ; y 0), съответства на конкретно решение на диференциалното уравнение, удовлетворяващо началното условие:

Теорема за съществуването на уникалност на решение на диференциално уравнение от 1-ви ред

Дадено е диференциално уравнение от 1-ви ред
и функцията f(x;y) е непрекъсната заедно с частни производни в някаква област D на равнината XOY, след това през точката M 0 (x 0 ;y 0) D преминава през единствената крива, съответстваща на определено решение на диференциалното уравнение, съответстващо на началното условие y(x 0)=y 0

Една интегрална крива минава през точка в равнината с дадени координати.

Ако не е възможно да се получи общо решение на диференциално уравнение от първи ред в ясна форма, т.е.
, тогава може да се получи имплицитно:

F(x; y; c) =0 – неявна форма

Общото решение в тази форма се нарича общ интегралдиференциално уравнение.

Във връзка с диференциалното уравнение от 1-ви ред се поставят 2 проблема:

1) Намерете общото решение (общ интеграл)

2) Намерете конкретно решение (частичен интеграл), което удовлетворява даденото начално условие. Този проблем се нарича проблем на Коши за диференциално уравнение.

Диференциални уравнения с разделими променливи

Уравнения от вида:
се нарича диференциално уравнение с разделими променливи.

Да заместим

умножете по dx

нека разделим променливите

разделете на

Забележка: необходимо е да се вземе предвид специалният случай, когато

променливите са разделени

нека интегрираме двете страни на уравнението

- общо решение

Диференциално уравнение с разделими променливи може да бъде записано като:

Изолиран случай
!

Нека интегрираме двете страни на уравнението:

1)

2)
начало условия:

Хомогенни диференциални уравнения от 1-ви ред

определение:функция
се нарича хомогенна от порядък n ако

Пример: - хомогенна функция от ред n=2

определение:Извиква се хомогенна функция от ред 0 хомогенен.

определение:Диференциално уравнение
се нарича хомогенна, ако
- хомогенна функция, т.е.

По този начин хомогенното диференциално уравнение може да бъде написано като:

Използване на замяна , където t е функция на променливата x, хомогенното диференциално уравнение се свежда до уравнение с разделими променливи.

- заместваме в уравнението

Променливите разделени, нека интегрираме двете страни на уравнението

Нека направим обратното заместване чрез заместване , получаваме общо решение в неявна форма.

Едно хомогенно диференциално уравнение може да бъде написано в диференциална форма.

M(x;y)dx+N(x;y)dy=0, където M(x;y) и N(x;y) са хомогенни функции от един и същи ред.

Разделете на dx и изразете

1)

дадени онлайн калкулаторви позволява да решавате диференциални уравнения онлайн. Достатъчно е да въведете вашето уравнение в съответното поле, като обозначите производната на функцията с апостроф и щракнете върху бутона „решаване на уравнение“ и системата, реализирана на базата на популярния уебсайт WolframAlpha, ще ви даде подробности решаване на диференциално уравнениеабсолютно безплатно. Можете също така да дефинирате проблема на Коши, така че от целия набор възможни решенияизберете коефициента, съответстващ на дадените начални условия. Задачата на Коши се въвежда в отделно поле.

Диференциално уравнение

По подразбиране функцията в уравнението ге функция на променлива х. Можете обаче да зададете собствено обозначение за променливата; ако напишете например y(t) в уравнението, калкулаторът автоматично ще го разпознае гима функция от променлива t. С помощта на калкулатор можете решаване на диференциални уравненияот всякаква сложност и вид: хомогенни и нехомогенни, линейни или нелинейни, първи ред или втори и по-високи редове, уравнения с разделими или неразделими променливи и др. Решение разл. уравнението е дадено в аналитична форма, има подробно описание. Диференциалните уравнения са много често срещани във физиката и математиката. Без тяхното изчисляване е невъзможно да се решат много проблеми (особено в математическата физика).

Един от етапите на решаване на диференциални уравнения е интегриране на функции. Съществуват стандартни методи за решаване на диференциални уравнения. Необходимо е да се редуцират уравненията до форма с разделими променливи y и x и отделно да се интегрират разделените функции. За да направите това, понякога трябва да се направи определена подмяна.

Диференциални уравнения от първи ред. Примери за решения.
Диференциални уравнения с разделими променливи

Диференциални уравнения (DE). Тези две думи обикновено ужасяват обикновения човек. Диференциалните уравнения изглеждат нещо непосилно и трудно за овладяване за много ученици. Уууууу... диференциални уравнения, как да преживея всичко това?!

Това мнение и това отношение е коренно погрешно, защото в действителност ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ – ПРОСТО Е И ДОРИ ЗАБАВНО. Какво трябва да знаете и да можете, за да се научите да решавате диференциални уравнения? За да изучавате успешно дифузи, трябва да сте добри в интегрирането и диференцирането. Колкото по-добре се изучават темите Производна на функция на една променливаИ Неопределен интеграл, толкова по-лесно ще бъде разбирането на диференциалните уравнения. Ще кажа повече, ако имате повече или по-малко прилични умения за интеграция, тогава темата е почти овладяна! Колкото повече интеграли различни видовезнаете как да решите - толкова по-добре. защо Ще трябва да интегрирате много. И разграничете. Също така силно препоръчвамнаучете се да намирате.

В 95% от случаите в тестовеИма 3 вида диференциални уравнения от първи ред: разделими уравнениякоито ще разгледаме в този урок; хомогенни уравненияИ линейни нееднородни уравнения. За тези, които започват да изучават дифузори, ви съветвам да прочетете уроците точно в този ред и след като изучите първите две статии, няма да навреди да консолидирате уменията си в допълнителен семинар - уравнения, редуциращи се до хомогенни.

Има още по-редки видове диференциални уравнения: общи диференциални уравнения, уравнения на Бернули и някои други. Най-важният от последните два вида са уравненията в общите диференциали, тъй като в допълнение към това диференциално уравнение считам нов материал – частична интеграция.

Ако ви остават само ден-два, Това за ултра бързо приготвянеима блиц курсв pdf формат.

И така, ориентирите са поставени - да тръгваме:

Първо, нека си припомним обичайните алгебрични уравнения. Те съдържат променливи и числа. Най-простият пример: . Какво означава да решиш обикновено уравнение? Това означава намиране набор от числа, които удовлетворяват това уравнение. Лесно се забелязва, че уравнението на децата има един корен: . Просто за забавление, нека проверим и заместим намерения корен в нашето уравнение:

– получено е правилното равенство, което означава, че решението е намерено правилно.

Дифузорите са проектирани почти по същия начин!

Диференциално уравнение първа поръчкав общ случай съдържа:
1) независима променлива;
2) зависима променлива (функция);
3) първата производна на функцията: .

В някои уравнения от първи ред може да няма „x“ и/или „y“, но това не е важно - важнода отидете в контролната зала бешепърва производна и нямашепроизводни от по-високи разряди – и др.

Какво означава?Решаването на диференциално уравнение означава намиране набор от всички функции, които удовлетворяват това уравнение. Такъв набор от функции често има формата (– произволна константа), която се нарича общо решение на диференциалното уравнение.

Пример 1

Решете диференциално уравнение

Пълни боеприпаси. Откъде да започна решение?

На първо място, трябва да пренапишете производната в малко по-различна форма. Припомняме тромавото обозначение, което на мнозина от вас вероятно се е сторило нелепо и ненужно. Това е правилото в дифузьорите!

Във втората стъпка нека да видим дали е възможно отделни променливи?Какво означава да се разделят променливите? Грубо казано, от лявата странатрябва да си тръгваме само "гърци", А от дясната странаорганизирам само "Х". Разделянето на променливите се извършва с помощта на „училищни“ манипулации: поставянето им извън скоби, прехвърляне на термини от част към част с промяна на знака, прехвърляне на фактори от част към част според правилото за пропорцията и др.

Диференциали и са пълни умножители и активни участници във военните действия. В разглеждания пример променливите лесно се разделят чрез подхвърляне на факторите според правилото за пропорцията:

Променливите са разделени. От лявата страна има само "Y", от дясната страна - само "X".

Следващият етап е интегриране на диференциално уравнение. Просто е, поставяме интеграли от двете страни:

Разбира се, трябва да вземем интеграли. В този случай те са таблични:

Както си спомняме, константа се присвоява на всяка антипроизводна. Тук има два интеграла, но е достатъчно да напишете константата веднъж (тъй като константа + константа все още е равна на друга константа). В повечето случаи се поставя от дясната страна.

Строго погледнато, след като се вземат интегралите, диференциалното уравнение се счита за решено. Единственото нещо е, че нашето "y" не се изразява чрез "x", тоест решението е представено в имплицитноформа. Решението на диференциално уравнение в неявна форма се нарича общ интеграл на диференциалното уравнение. Тоест това е общ интеграл.

Отговорът в тази форма е доста приемлив, но има ли по-добър вариант? Нека се опитаме да получим общо решение.

моля, запомнете първата техника, той е много разпространен и често се използва в практически задачи: ако след интегриране от дясната страна се появи логаритъм, тогава в много случаи (но не винаги!) също е препоръчително да напишете константата под логаритъма.

т.е. ВМЕСТОзаписите обикновено са писмени .

Защо е необходимо това? И за да се улесни изразяването на „играта“. Използване на свойството на логаритмите . В този случай:

Сега логаритмите и модулите могат да бъдат премахнати:

Функцията е представена изрично. Това е общото решение.

отговор: общо решение: .

Отговорите на много диференциални уравнения са доста лесни за проверка. В нашия случай това се прави съвсем просто, ние вземаме намереното решение и го диференцираме:

След това заместваме производната в оригиналното уравнение:

– получено е правилното равенство, което означава, че общото решение удовлетворява уравнението, което е необходимо да се провери.

Като зададете константа различни стойности, можете да получите безкраен брой частни решениядиференциално уравнение. Ясно е, че всяка от функциите , и т.н. удовлетворява диференциалното уравнение.

Понякога се извиква общото решение семейство от функции. IN в този примеробщо решение е семейство от линейни функции или по-точно семейство от права пропорционалност.

След задълбочен преглед на първия пример е подходящо да отговорите на няколко наивни въпроса относно диференциалните уравнения:

1)В този пример успяхме да разделим променливите. Може ли това винаги да се прави?Не, не винаги. И още по-често променливите не могат да бъдат разделени. Например в хомогенни уравнения от първи ред, първо трябва да го смените. В други видове уравнения, например в линейно нехомогенно уравнение от първи ред, трябва да използвате различни техникии методи за намиране на общо решение. Уравненията с разделими променливи, които разглеждаме в първия урок, са най-простият тип диференциални уравнения.

2) Винаги ли е възможно да се интегрира диференциално уравнение?Не, не винаги. Много е лесно да се измисли „фантастично“ уравнение, което не може да бъде интегрирано; освен това има интеграли, които не могат да бъдат взети. Но такива DE могат да бъдат решени приблизително с помощта на специални методи. Д'Аламбер и Коши гарантират... ...уф, луркмор.за да чета много току-що, почти добавих „от другия свят“.

3) В този пример получихме решение под формата на общ интеграл . Винаги ли е възможно да се намери общо решение от общ интеграл, тоест да се изрази изрично „y“?Не, не винаги. Например: . Е, как ще изразиш тук "гръцки"?! В такива случаи отговорът трябва да се запише като общ интеграл. Освен това понякога е възможно да се намери общо решение, но то е написано толкова тромаво и тромаво, че е по-добре да оставим отговора под формата на общ интеграл

4) ...може би това е достатъчно за сега. В първия пример, който срещнахме друг важен момент , но за да не покривам „манекените“ с лавина от нова информация, ще го оставя за следващия урок.

Да не бързаме. Друго просто дистанционно управление и друго типично решение:

Пример 2

Намерете конкретно решение на диференциалното уравнение, което удовлетворява началното условие

Решение: според състоянието, трябва да намерите частно решение DE, който отговаря на дадено начално условие. Тази постановка на въпроса се нарича още Проблем с Коши.

Първо намираме общо решение. В уравнението няма променлива „x“, но това не трябва да обърква, основното е, че има първата производна.

Пренаписваме производната в в правилната форма:

Очевидно променливите могат да бъдат разделени, момчета отляво, момичета отдясно:

Нека интегрираме уравнението:

Получава се общият интеграл. Тук нарисувах константа със звездичка, факт е, че много скоро тя ще се превърне в друга константа.

Сега се опитваме да трансформираме общия интеграл в общо решение (изразете изрично „y“). Да си припомним добрите стари неща от училище: . В този случай:

Константата в индикатора изглежда някак некошерна, така че обикновено се сваля на земята. В детайли така става. Използвайки свойството на степените, пренаписваме функцията, както следва:

Ако е константа, тогава е и някаква константа, нека я преозначим с буквата:

Не забравяйте, че „разрушаването“ е константа втора техника, който често се използва при решаване на диференциални уравнения.

И така, общото решение е: . Това е хубаво семейство от експоненциални функции.

На последния етап трябва да намерите конкретно решение, което да отговаря на даденото начално условие. Това също е просто.

Каква е задачата? Трябва да вземете такивастойността на константата, така че условието да е изпълнено.

Може да се форматира по различни начини, но това вероятно ще бъде най-ясният начин. В общото решение вместо „X“ заместваме нула, а вместо „Y“ заместваме две:



т.е.

Стандартна версия на дизайна:

Сега заместваме намерената стойност на константата в общото решение:
– това е конкретното решение, от което се нуждаем.

отговор: лично решение:

Да проверим. Проверката на частно решение включва два етапа:

Първо трябва да проверите дали конкретното намерено решение наистина удовлетворява първоначалното условие? Вместо „X“ заместваме нула и вижте какво се случва:
- да, наистина е получена двойка, което означава, че първоначалното условие е изпълнено.

Вторият етап вече е познат. Взимаме полученото конкретно решение и намираме производната:

Заместваме в оригиналното уравнение:

– получава се правилното равенство.

Заключение: конкретното решение е намерено правилно.

Да преминем към по-смислени примери.

Пример 3

Решете диференциално уравнение

Решение:Пренаписваме производната във формата, от която се нуждаем:

Оценяваме дали е възможно да разделим променливите? може. Преместваме втория член от дясната страна с промяна на знака:

И прехвърляме множителите според правилото на пропорцията:

Променливите са разделени, нека интегрираме двете части:

Трябва да ви предупредя, че денят на страшния съд наближава. Ако не сте учили добре неопределени интеграли, са решили няколко примера, тогава няма къде да отидете - ще трябва да ги усвоите сега.

Интегралът на лявата страна е лесен за намиране; ние работим с интеграла на котангенса, използвайки стандартната техника, която разгледахме в урока Интегриране на тригонометрични функцииминалата година:

От дясната страна имаме логаритъм и, според първата ми техническа препоръка, константата също трябва да бъде записана под логаритъма.

Сега се опитваме да опростим общия интеграл. Тъй като имаме само логаритми, е напълно възможно (и необходимо) да се отървем от тях. С помощта на известни свойства„Паковаме“ логаритмите колкото е възможно повече. Ще го напиша много подробно:

Опаковката е варварски оръфана:

Може ли да се изрази „игра“? може. Необходимо е да квадратирате и двете части.

Но не е нужно да правите това.

Трети технически съвет:ако за получаване на общо решение е необходимо да се повдигне на степен или да се вкоренят, тогава в повечето случаитрябва да се въздържате от тези действия и да оставите отговора под формата на общ интеграл. Факт е, че общото решение ще изглежда просто ужасно - с големи корени, знаци и други боклуци.

Затова записваме отговора под формата на общ интеграл. По добър начинСмята се, че се представя във формата , тоест от дясната страна, ако е възможно, оставете само константа. Не е необходимо да правите това, но винаги е полезно да угодите на професора ;-)

отговор:общ интеграл:

! Забележка: Общият интеграл на всяко уравнение може да бъде записан по повече от един начин. Следователно, ако вашият резултат не съвпада с предварително известния отговор, това не означава, че сте решили уравнението неправилно.

Общият интеграл също е доста лесен за проверка, основното е да можете да намерите производна на функция, зададена имплицитно. Нека разграничим отговора:

Умножаваме двата члена по:

И разделете на:

Оригиналното диференциално уравнение е получено точно, което означава, че общият интеграл е намерен правилно.

Пример 4

Намерете конкретно решение на диференциалното уравнение, което удовлетворява началното условие. Извършете проверка.

Това е пример за независимо решение.

Нека ви напомня, че алгоритъмът се състои от два етапа:
1) намиране на общо решение;
2) намиране на необходимото конкретно решение.

Проверката също се извършва на две стъпки (вижте примера в Пример № 2), трябва да:
1) уверете се, че конкретното намерено решение отговаря на първоначалното условие;
2) проверете дали определено решение като цяло удовлетворява диференциалното уравнение.

Цялостно решениеи отговорът в края на урока.

Пример 5

Намерете конкретно решение на диференциално уравнение , отговарящи на началното условие. Извършете проверка.

Решение:Първо, нека намерим общо решение. Това уравнение вече съдържа готови диференциали, което означава, че решението е опростено. Разделяме променливите:

Нека интегрираме уравнението:

Интегралът отляво е табличен, интегралът отдясно е взет метод за поставяне на функция под диференциалния знак:

Общият интеграл е получен, възможно ли е успешно да се изрази общото решение? може. Закачаме логаритми от двете страни. Тъй като те са положителни, модулните знаци са ненужни:

(Надявам се всички да разберат трансформацията, такива неща вече трябва да се знаят)

И така, общото решение е:

Нека намерим конкретно решение, отговарящо на даденото начално условие.
В общото решение вместо „X“ заместваме нулата, а вместо „Y“ заместваме логаритъма от две:

По-познат дизайн:

Заместваме намерената стойност на константата в общото решение.

отговор:лично решение:

Проверка: Първо, нека проверим дали е изпълнено първоначалното условие:
- всичко жужи.

Сега нека проверим дали намереното конкретно решение изобщо удовлетворява диференциалното уравнение. Намиране на производната:

Нека да разгледаме оригиналното уравнение: – представя се в диференциали. Има два начина за проверка. Възможно е да се изрази диференциала от намерената производна:

Нека заместим намереното конкретно решение и получения диференциал в първоначалното уравнение :

Използваме основната логаритмична идентичност:

Получава се правилното равенство, което означава, че конкретното решение е намерено правилно.

Вторият метод за проверка е огледален и по-познат: от уравнението Нека изразим производната, за да направим това, разделяме всички части на:

И в преобразуваното DE заместваме полученото частично решение и намерената производна. В резултат на опростявания трябва да се получи и правилното равенство.

Пример 6

Решете диференциално уравнение. Представете отговора под формата на общ интеграл.

Това е пример, който можете да решите сами, пълно решение и отговор в края на урока.

Какви трудности чакат при решаването на диференциални уравнения с разделими променливи?

1) Не винаги е очевидно (особено за „чайник“), че променливите могат да бъдат разделени. Нека помислим условен пример: . Тук трябва да извадите факторите от скоби: и да разделите корените: . Ясно е какво да правим по-нататък.

2) Трудности със самата интеграция. Интегралите често не са най-простите и ако има недостатъци в уменията за намиране неопределен интеграл, тогава ще е трудно с много дифузори. В допълнение, логиката „тъй като диференциалното уравнение е просто, тогава поне нека интегралите да бъдат по-сложни“ е популярна сред съставителите на колекции и ръководства за обучение.

3) Трансформации с константа. Както всички са забелязали, константата в диференциалните уравнения може да се борави доста свободно и някои трансформации не винаги са ясни за начинаещ. Нека да разгледаме друг условен пример: . Препоръчително е да умножите всички термини по 2: . Получената константа също е някакъв вид константа, която може да бъде означена с: . Да, и тъй като от дясната страна има логаритъм, тогава е препоръчително да пренапишете константата под формата на друга константа: .

Проблемът е, че те често не се занимават с индекси и използват една и съща буква. В резултат на това записът на решението приема следната форма:

Каква ерес? Точно там има грешки! Строго погледнато, да. От гледна точка на съдържанието обаче няма грешки, тъй като в резултат на преобразуване на променлива константа все пак се получава променлива константа.

Или друг пример, да предположим, че в хода на решаването на уравнението се получава общ интеграл. Този отговор изглежда грозен, така че е препоръчително да промените знака на всеки термин: . Формално тук има друга грешка - трябва да се пише отдясно. Но неофициално се подразбира, че „минус ce“ все още е константа ( което също толкова лесно може да приеме всякакво значение!), така че поставянето на „минус“ няма смисъл и можете да използвате същата буква.

Ще се опитам да избегна небрежен подход и все пак ще присвоя различни индекси на константите, когато ги преобразувам.

Пример 7

Решете диференциално уравнение. Извършете проверка.

Решение:Това уравнение позволява разделяне на променливи. Разделяме променливите:

Нека интегрираме:

Не е необходимо да дефинирате константата тук като логаритъм, тъй като нищо полезно няма да излезе от това.

отговор:общ интеграл:

Проверка: Разграничете отговора (имплицитна функция):

Отърваваме се от дроби, като умножим двата члена по:

Получено е оригиналното диференциално уравнение, което означава, че общият интеграл е намерен правилно.

Пример 8

Намерете конкретно решение на DE.
,

Това е пример, който можете да решите сами. Единственият намек е, че тук ще получите общ интеграл и, по-правилно казано, трябва да се опитате да намерите не конкретно решение, а частичен интеграл. Пълно решение и отговор в края на урока.

Решаването на различни геометрични, физически и инженерни проблеми често води до уравнения, които свързват независимите променливи, характеризиращи конкретен проблем с някаква функция на тези променливи и производни на тази функция от различен порядък.

Като пример можем да разгледаме най-простия случай на равномерно ускорено движение материална точка.

Известно е, че преместването на материална точка при равномерно ускорено движение е функция на времето и се изразява с формулата:

На свой ред ускорение ае производна по отношение на времето tот скоростта V, което също е производно на времето tот движение С. Тези.

Тогава получаваме:
- уравнението свързва функцията f(t) с независимата променлива t и производната от втори ред на функцията f(t).

Определение. Диференциално уравнение е уравнение, което свързва независими променливи, техните функции и производни (или диференциали) на тази функция.

Определение. Ако диференциалното уравнение има една независима променлива, тогава тя се извиква обикновено диференциално уравнение , ако има две или повече независими променливи, тогава се нарича такова диференциално уравнение частично диференциално уравнение.

Определение. Най-високият порядък на производните, появяващи се в уравнението, се нарича ред на диференциалното уравнение .

Пример.

- обикновено диференциално уравнение от 1-ви ред. Общо взето е писано
.

- обикновено диференциално уравнение от 2-ри ред. Общо взето е писано

- частично диференциално уравнение от първи ред.

Определение. Общо решение диференциалното уравнение е такава диференцируема функция y = (x, C), която, когато се замести в оригиналното уравнение вместо неизвестна функция, превръща уравнението в идентичността

Свойства на общото решение.

1) Защото константата C е произволна стойност, тогава най-общо казано диференциалното уравнение има безкраен брой решения.

2) При всякакви начални условия x = x 0, y(x 0) = y 0, има стойност C = C 0, при която решението на диференциалното уравнение е функцията y = (x, C 0).

Определение. Извиква се решение от вида y = (x, C 0). частно решение диференциално уравнение.

Определение. Проблем с Коши (Огюстен Луи Коши (1789-1857) - френски математик) е намирането на всяко конкретно решение на диференциално уравнение от вида y = (x, C 0), удовлетворяващо началните условия y(x 0) = y 0.

Теорема на Коши. (теорема за съществуването и уникалността на решение на диференциално уравнение от 1-ви ред)

Ако функциятаf(х, г) е непрекъснат в някакъв регионгв самолетаXOYи има непрекъсната частна производна в тази област
, тогава каквато и да е точката (x 0 , г 0 ) в районаг, има само едно решение
уравнения
, определени в някакъв интервал, съдържащ точка x 0 , като се вземе при x = x 0 значение (X 0 ) = y 0 , т.е. има уникално решение на диференциалното уравнение.

Определение. Интеграл Диференциално уравнение е всяко уравнение, което не съдържа производни и за което даденото диференциално уравнение е следствие.

Пример.Намерете общото решение на диференциалното уравнение
.

Общото решение на диференциалното уравнение се търси чрез интегриране на лявата и дясната страна на уравнението, което преди това се трансформира, както следва:

Сега нека интегрираме:

е общото решение на първоначалното диференциално уравнение.

Да кажем, че са дадени някои начални условия: x 0 = 1; y 0 = 2, тогава имаме

Като заместим получената стойност на константата в общото решение, получаваме частно решение за зададените начални условия (решение на задачата на Коши).

Определение. Интегрална крива се нарича графика y = (x) на решението на диференциално уравнение в равнината XOY.

Определение. Със специално решение на диференциално уравнение е такова решение във всички точки, на което се нарича условието за уникалност на Коши (виж. Теорема на Коши.) не е изпълнено, т.е. в околността на някаква точка (x, y) има поне две интегрални криви.

Специалните решения не зависят от константата C.

Специални решения не могат да бъдат получени от общото решение за която и да е стойност на константата C. Ако конструираме семейство от интегрални криви на диференциално уравнение, тогава специалното решение ще бъде представено от линия, която докосва поне една интегрална крива във всяка точка .

Имайте предвид, че не всяко диференциално уравнение има специални решения.

Пример.Намерете общото решение на диференциалното уравнение:
Намерете специално решение, ако съществува.

Това диференциално уравнение също има специално решение при= 0. Това решение не може да се получи от общото, но при заместване в изходното уравнение получаваме тъждество. Мнението, че решението г = 0 може да се получи от общото решение с СЪС 1 = 0 погрешно, защото В 1 = д В  0.