Свойства на права линия в евклидовата геометрия.

Безкрайно много прави линии могат да бъдат начертани през всяка точка.

През всеки две несъвпадащи точки може да се прекара една права линия.

Две различни прави в една равнина се пресичат в една точка или се пресичат

паралелен (следва от предишния).

В триизмерното пространство има три варианта относителна позициядве прави линии:

• линиите се пресичат;

• линиите са успоредни;

• пресичат се прави линии.

Направо линия— алгебрична крива от първи ред: права линия в декартовата координатна система

се дава на равнината чрез уравнение от първа степен (линейно уравнение).

Общо уравнение на права линия.

Определение. Всяка права линия в равнината може да бъде определена чрез уравнение от първи ред

Ax + Wu + C = 0,

и постоянна А, Бне са равни на нула едновременно. Това уравнение от първи ред се нарича общ

уравнение на права линия.В зависимост от стойностите на константите А, БИ СЪСВъзможни са следните специални случаи:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- права линия минава през началото

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- права линия, успоредна на оста о

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- права линия, успоредна на оста OU

. B = C = 0, A ≠0- правата линия съвпада с оста OU

. A = C = 0, B ≠0- правата линия съвпада с оста о

Уравнението на права линия може да бъде представено в в различни формив зависимост от всяка даденост

начални условия.

Уравнение на права от точка и нормален вектор.

Определение. В декартова правоъгълна координатна система вектор с компоненти (A, B)

перпендикулярна на правата, дадена от уравнението

Ax + Wu + C = 0.

Пример. Намерете уравнението на права, минаваща през точка A(1, 2)перпендикулярен на вектора (3, -1).

Решение. При A = 3 и B = -1, нека съставим уравнението на правата линия: 3x - y + C = 0. За да намерим коефициента C

Нека заместим координатите на дадената точка A в получения израз, следователно получаваме: 3 - 2 + C = 0

С = -1. Общо: необходимото уравнение: 3x - y - 1 = 0.

Уравнение на права, минаваща през две точки.

Нека в пространството са дадени две точки M 1 (x 1, y 1, z 1)И M2 (x 2, y 2, z 2),Тогава уравнение на права,

преминавайки през тези точки:

Ако някой от знаменателите е нула, съответният числител трябва да бъде равен на нула. На

равнина, уравнението на правата линия, написано по-горе, е опростено:

Ако x 1 ≠ x 2И x = x 1, Ако x 1 = x 2 .

Фракция = kНаречен наклон прав.

Пример. Намерете уравнението на правата, минаваща през точки A(1, 2) и B(3, 4).

Решение. Прилагайки формулата, написана по-горе, получаваме:

Уравнение на права линия с помощта на точка и наклон.

Ако общото уравнение на правата Ax + Wu + C = 0води до:

и посочете , тогава полученото уравнение се нарича

уравнение на права линия с наклон k.

Уравнение на права от точка и насочващ вектор.

По аналогия с точката, разглеждаща уравнението на права линия през нормалния вектор, можете да въведете задачата

права линия през точка и насочващ вектор на права линия.

Определение. Всеки ненулев вектор (α 1, α 2), чиито компоненти отговарят на условието

Aα 1 + Bα 2 = 0Наречен насочващ вектор на права линия.

Ax + Wu + C = 0.

Пример. Намерете уравнението на права линия с насочващ вектор (1, -1) и минаваща през точката A(1, 2).

Решение. Ще търсим уравнението на желаната права във формата: Ax + By + C = 0.Според определението,

коефициентите трябва да отговарят на следните условия:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = Б.

Тогава уравнението на правата има формата: Ax + Ay + C = 0,или x + y + C / A = 0.

при x = 1, y = 2получаваме C/A = -3, т.е. необходимо уравнение:

x + y - 3 = 0

Уравнение на права линия в отсечки.

Ако в общото уравнение на правата Ах + Ву + С = 0 С≠0, тогава, разделяйки на -С, получаваме:

или къде

Геометрично значениекоефициенти е, че коефициентът a е координатата на пресечната точка

права с ос оА b- координата на пресечната точка на правата с оста OU.

Пример. Дадено е общото уравнение на права линия x - y + 1 = 0.Намерете уравнението на тази права в сегменти.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Нормално уравнение на права.

Ако и двете страни на уравнението Ax + Wu + C = 0разделяне на число което се нарича

нормализиращ фактор, тогава получаваме

xcosφ + ysinφ - p = 0 -нормално уравнение на права.

Знакът ± на нормализиращия фактор трябва да бъде избран така, че μ*C< 0.

Р- дължината на перпендикуляра, пуснат от началото до правата линия,

А φ - ъгълът, образуван от този перпендикуляр с положителната посока на оста о

Пример. Дадено е общото уравнение на правата 12x - 5y - 65 = 0. Задължително за писане Различни видовеуравнения

тази права линия.

Уравнението на тази права в сегменти:

Уравнението на тази права с наклона: (раздели на 5)

Уравнение на права:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Трябва да се отбележи, че не всяка права линия може да бъде представена чрез уравнение в сегменти, например прави линии,

успоредни на осите или минаващи през началото.

Ъгълът между прави в равнина.

Определение. Ако са дадени два реда y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, тогава острия ъгъл между тези прави

ще се определи като

Две прави са успоредни, ако k 1 = k 2. Две линии са перпендикулярни

Ако k 1 = -1/ k 2 .

Теорема.

Директен Ax + Wu + C = 0И A 1 x + B 1 y + C 1 = 0паралелно, когато коефициентите са пропорционални

A 1 = λA, B 1 = λB. Ако също С 1 = λС, тогава линиите съвпадат. Координати на пресечната точка на две прави

се намират като решение на системата от уравнения на тези прави.

Уравнението на права, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на дадена права.

Определение. Права, минаваща през точка M 1 (x 1, y 1)и перпендикулярна на правата y = kx + b

представено от уравнението:

Разстояние от точка до права.

Теорема. Ако се даде точка M(x 0, y 0),след това разстоянието до правата линия Ax + Wu + C = 0дефиниран като:

Доказателство. Нека точката M 1 (x 1, y 1)- основата на перпендикуляр, пуснат от точка Мза даденост

директен. След това разстоянието между точките МИ М 1:

(1)

Координати х 1И на 1може да се намери като решение на системата от уравнения:

Второто уравнение на системата е уравнението на минаващата права дадена точка M 0 перпендикуляр

дадена права линия. Ако трансформираме първото уравнение на системата във вида:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

тогава, решавайки, получаваме:

Замествайки тези изрази в уравнение (1), намираме:

Теоремата е доказана.

Уравнението на права, минаваща през дадена точка в дадена посока. Уравнение на права, минаваща през две дадени точки. Ъгълът между две прави. Условието за успоредност и перпендикулярност на две прави. Определяне на пресечната точка на две прави

1. Уравнение на права, минаваща през дадена точка А(х 1 , г 1) в дадена посока, определена от наклона к,

г - г 1 = к(х - х 1). (1)

Това уравнение дефинира молив от прави, минаващи през точка А(х 1 , г 1), който се нарича център на лъча.

2. Уравнение на права, минаваща през две точки: А(х 1 , г 1) и Б(х 2 , г 2), написано така:

Ъгловият коефициент на права линия, минаваща през две дадени точки, се определя по формулата

3. Ъгъл между прави АИ Бе ъгълът, на който трябва да се завърти първата права линия Аоколо точката на пресичане на тези линии обратно на часовниковата стрелка, докато съвпадне с втората линия Б. Ако две прави са дадени чрез уравнения с наклон

г = к 1 х + Б 1 ,

Каноничните уравнения на права в пространството са уравнения, които определят права, минаваща през дадена точка, колинеарна на насочващия вектор.

Нека са дадени точка и насочващ вектор. Произволна точка лежи на права лсамо ако векторите и са колинеарни, т.е. за тях е изпълнено условието:

.

Горните уравнения са каноничните уравнения на правата линия.

Числа м , нИ стрса проекции на вектора на посоката върху координатните оси. Тъй като векторът е различен от нула, тогава всички числа м , нИ стрне могат едновременно да бъдат равни на нула. Но една или две от тях може да се окажат нула. В аналитичната геометрия, например, е разрешен следният запис:

,

което означава, че проекциите на вектора върху оста ойИ Озса равни на нула. Следователно както векторът, така и правата, определени от каноничните уравнения, са перпендикулярни на осите ойИ Оз, тоест самолети yOz .

Пример 1.Напишете уравнения за права в пространството, перпендикулярна на равнина и минаваща през пресечната точка на тази равнина с оста Оз .

Решение. Нека намерим пресечната точка на тази равнина с оста Оз. Тъй като всяка точка, лежаща на оста Оз, има координати , тогава, приемайки в даденото уравнение на равнината x = y = 0, получаваме 4 z- 8 = 0 или z= 2. Следователно точката на пресичане на тази равнина с оста Озима координати (0; 0; 2) . Тъй като желаната права е перпендикулярна на равнината, тя е успоредна на нейния нормален вектор. Следователно насочващият вектор на правата линия може да бъде нормалният вектор дадена равнина.

Сега нека напишем необходимите уравнения за права линия, минаваща през точка А= (0; 0; 2) по посока на вектора:

Уравнения на права, минаваща през две дадени точки

Една права линия може да бъде определена от две точки, лежащи върху нея И В този случай насочващият вектор на правата може да бъде векторът . Тогава каноничните уравнения на правата приемат формата

.

Горните уравнения определят права, минаваща през две дадени точки.

Пример 2.Напишете уравнение за права в пространството, минаваща през точките и .

Решение. Нека запишем необходимите уравнения на правата във формата, дадена по-горе в теоретичната справка:

.

Тъй като , тогава желаната права е перпендикулярна на оста ой .

Права като линията на пресичане на равнини

Правата линия в пространството може да се дефинира като пресечна линия на две неуспоредни равнини и т.е. като набор от точки, удовлетворяващи система от две линейни уравнения

Уравненията на системата се наричат ​​още общи уравнения на права линия в пространството.

Пример 3.Съставяне на канонични уравнения на права в пространството, дадена от общи уравнения

Решение. За да напишете каноничните уравнения на права или, което е същото, уравненията на права, минаваща през две дадени точки, трябва да намерите координатите на произволни две точки от правата. Те могат да бъдат точките на пресичане на права с произволни две координатни равнини, Например yOzИ xOz .

Пресечна точка на права и равнина yOzима абсциса х= 0 . Следователно, приемайки в тази система от уравнения х= 0, получаваме система с две променливи:

Нейното решение г = 2 , z= 6 заедно с х= 0 дефинира точка А(0; 2; 6) желаната линия. След това приемаме в дадената система от уравнения г= 0, получаваме системата

Нейното решение х = -2 , z= 0 заедно с г= 0 дефинира точка Б(-2; 0; 0) пресечна точка на права с равнина xOz .

Сега нека напишем уравненията на правата, минаваща през точките А(0; 2; 6) и Б (-2; 0; 0) :

,

или след разделяне на знаменателите на -2:

,

Нека се дадат две точки М(х 1 ,U 1) и н(х 2,г 2). Нека намерим уравнението на правата, минаваща през тези точки.

Тъй като тази права минава през точката М, то съгласно формула (1.13) неговото уравнение има вида

U – Y 1 = К(X–x 1),

Където К– неизвестен ъглов коефициент.

Стойността на този коефициент се определя от условието, че желаната права линия минава през точката н, което означава, че неговите координати отговарят на уравнение (1.13)

Y 2 – Y 1 = К(х 2 – х 1),

От тук можете да намерите наклона на тази линия:

,

Или след преобразуване

(1.14)

Формула (1.14) определя Уравнение на права, минаваща през две точки М(х 1, Y 1) и н(х 2, Y 2).

В специалния случай, когато точките М(А, 0), н(0, Б), А ¹ 0, Б¹ 0, лежат на координатните оси, уравнението (1.14) ще приеме по-проста форма

Уравнение (1.15)Наречен Уравнение на права линия в отсечки, Тук АИ Бобозначават сегментите, отрязани от права линия на осите (Фигура 1.6).

Фигура 1.6

Пример 1.10. Напишете уравнение за права, минаваща през точките М(1, 2) и Б(3, –1).

. Съгласно (1.14) уравнението на търсената права има формата

2(Y – 2) = -3(х – 1).

Прехвърляйки всички членове в лявата страна, най-накрая получаваме желаното уравнение

3х + 2Y – 7 = 0.

Пример 1.11. Напишете уравнение за права, минаваща през точка М(2, 1) и пресечната точка на правите х+ Y – 1 = 0, X – y+ 2 = 0.

. Ще намерим координатите на пресечната точка на правите, като решим тези уравнения заедно

Ако добавим тези уравнения член по член, получаваме 2 х+ 1 = 0, откъдето . Замествайки намерената стойност във всяко уравнение, намираме стойността на ординатата U:

Сега нека напишем уравнението на правата линия, минаваща през точките (2, 1) и:

или .

Следователно или –5( Y – 1) = х – 2.

Накрая получаваме уравнението на желаната линия във формата х + 5Y – 7 = 0.

Пример 1.12. Намерете уравнението на правата, минаваща през точките М(2.1) и н(2,3).

Използвайки формула (1.14), получаваме уравнението

Няма смисъл, тъй като вторият знаменател е нула. От условията на задачата става ясно, че абсцисите на двете точки имат еднаква стойност. Това означава, че желаната права линия е успоредна на оста ойи неговото уравнение е: х = 2.

Коментирайте . Ако при писане на уравнението на линия по формула (1.14) един от знаменателите се окаже равен на нула, тогава желаното уравнение може да се получи чрез приравняване на съответния числител на нула.

Нека разгледаме други начини за дефиниране на права в равнина.

1. Нека ненулев вектор е перпендикулярен на дадената права Л, и точка М 0(х 0, Y 0) лежи на тази линия (Фигура 1.7).

Фигура 1.7

Нека обозначим М(х, Y) всяка точка на права Л. Вектори и Ортогонален. Използвайки условията за ортогоналност на тези вектори, получаваме или А(х – х 0) + Б(Y – Y 0) = 0.

Получихме уравнението на права, минаваща през точка М 0 е перпендикулярна на вектора. Този вектор се нарича Нормален вектор към права линия Л. Полученото уравнение може да бъде пренаписано като

о + Ву + СЪС= 0, където СЪС = –(Ах 0 + от 0), (1.16),

Където АИ IN– координати на нормалния вектор.

Получаваме общото уравнение на правата в параметрична форма.

2. Права линия в равнина може да се дефинира по следния начин: нека ненулев вектор е успореден на дадената права линия Ли точка М 0(х 0, Y 0) лежи на тази права. Нека отново вземем произволна точка М(х, y) на права линия (Фигура 1.8).

Фигура 1.8

Вектори и колинеарен.

Нека запишем условието за колинеарност на тези вектори: , където T– произволно число, наречено параметър. Нека запишем това равенство в координати:

Тези уравнения се наричат Параметрични уравнения Направо. Нека изключим параметъра от тези уравнения T:

Тези уравнения могат иначе да бъдат записани във формата

. (1.18)

Полученото уравнение се нарича Канонично уравнениеправ. Векторът се нарича Насочващият вектор е прав .

Коментирайте . Лесно се вижда, че ако е нормалният вектор към правата Л, тогава неговият вектор на посоката може да бъде векторът, тъй като , т.е.

Пример 1.13. Напишете уравнението на права, минаваща през точка М 0(1, 1) успоредно на права 3 х + 2U– 8 = 0.

Решение . Векторът е нормалният вектор към дадената и желаната права. Нека използваме уравнението на права, минаваща през точка М 0 с даден нормален вектор 3( х –1) + 2(U– 1) = 0 или 3 х + 2у– 5 = 0. Получихме уравнението на търсената права.

Определение.Всяка права линия в равнината може да бъде определена чрез уравнение от първи ред

Ax + Wu + C = 0,

Освен това константите A и B не са равни на нула едновременно. Това уравнение от първи ред се нарича общо уравнение на права линия.В зависимост от стойностите константа A, Bи C са възможни следните специални случаи:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – правата минава през началото

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - права линия, успоредна на оста Ox

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – права линия, успоредна на оста Oy

B = C = 0, A ≠0 – правата съвпада с оста Oy

A = C = 0, B ≠0 – правата съвпада с оста Ox

Уравнението на права линия може да бъде представено в различни форми в зависимост от дадени начални условия.

Уравнение на права от точка и нормален вектор

Определение.В декартовата правоъгълна координатна система вектор с компоненти (A, B) е перпендикулярен на правата линия, дадена от уравнението Ax + By + C = 0.

Пример. Намерете уравнението на правата, минаваща през точката A(1, 2), перпендикулярна на (3, -1).

Решение. При A = 3 и B = -1, нека съставим уравнението на правата: 3x – y + C = 0. За да намерим коефициента C, заместваме координатите на дадената точка A в получения израз. Получаваме: 3 – 2 + C = 0, следователно C = -1 . Общо: необходимото уравнение: 3x – y – 1 = 0.

Уравнение на права, минаваща през две точки

Нека две точки M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2) са дадени в пространството, тогава уравнението на правата, минаваща през тези точки, е:

Ако някой от знаменателите е равен на нула, съответният числител трябва да бъде равен на нула. На равнината уравнението на правата, написано по-горе, е опростено:

ако x 1 ≠ x 2 и x = x 1, ако x 1 = x 2.

Дробта = k се нарича наклонправ.

Пример. Намерете уравнението на правата, минаваща през точки A(1, 2) и B(3, 4).

Решение.Прилагайки формулата, написана по-горе, получаваме:

Уравнение на права от точка и наклон

Ако общият Ax + Bu + C = 0, води до формата:

и посочете , тогава полученото уравнение се нарича уравнение на права линия с наклонк.

Уравнение на права от точка и насочващ вектор

По аналогия с точката, разглеждайки уравнението на права линия през нормален вектор, можете да въведете дефиницията на права линия през точка и насочващия вектор на правата линия.

Определение.Всеки ненулев вектор (α 1, α 2), компонентите на който отговарят на условието A α 1 + B α 2 = 0, се нарича насочващ вектор на правата.

Ax + Wu + C = 0.

Пример. Намерете уравнението на права линия с насочващ вектор (1, -1) и минаваща през точката A(1, 2).

Решение.Ще търсим уравнението на желаната линия във формата: Ax + By + C = 0. В съответствие с дефиницията коефициентите трябва да отговарят на условията:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = Б.

Тогава уравнението на правата има формата: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0. за x = 1, y = 2 получаваме C/ A = -3, т.е. необходимо уравнение:

Уравнение на права в отсечки

Ако в общото уравнение на правата Ах + Ву + С = 0 С≠0, тогава, разделяйки на –С, получаваме: или

Геометричният смисъл на коефициентите е, че коефициентът Ае координатата на пресечната точка на правата с оста Ox, и b– координатата на пресечната точка на правата с оста Oy.

Пример.Дадено е общото уравнение на правата x – y + 1 = 0. Намерете уравнението на тази права в отсечки.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Нормално уравнение на права

Ако двете страни на уравнението Ax + By + C = 0 се умножат по числото което се нарича нормализиращ фактор, тогава получаваме

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

нормално уравнение на права. Знакът ± на нормализиращия фактор трябва да бъде избран така, че μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Пример. Дадено е общото уравнение на правата 12x – 5y – 65 = 0. Необходимо е да се напишат различни видове уравнения за тази линия.

уравнение на тази права в сегменти:

уравнение на тази права с наклон: (разделете на 5)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Трябва да се отбележи, че не всяка права линия може да бъде представена чрез уравнение в сегменти, например прави линии, успоредни на осите или минаващи през началото на координатите.

Пример. Правата линия отрязва равни положителни отсечки по координатните оси. Напишете уравнение на права линия, ако площта на триъгълника, образуван от тези сегменти, е 8 cm 2.

Решение.Уравнението на правата има вида: , ab /2 = 8; ab=16; а=4, а=-4. а = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Пример. Напишете уравнение за права линия, минаваща през точка A(-2, -3) и началото.

Решение. Уравнението на правата линия е: , където x 1 = y 1 = 0; х 2 = -2; y 2 = -3.

Ъгъл между прави в равнина

Определение.Ако са дадени две прави y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, тогава острия ъгъл между тези линии ще бъде определен като

.

Две прави са успоредни, ако k 1 = k 2. Две прави са перпендикулярни, ако k 1 = -1/ k 2.

Теорема.Правите Ax + Bу + C = 0 и A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 са успоредни, когато коефициентите A 1 = λA, B 1 = λB са пропорционални. Ако също C 1 = λC, тогава правите съвпадат. Координатите на пресечната точка на две прави се намират като решение на системата от уравнения на тези прави.

Уравнение на права, минаваща през дадена точка перпендикулярно на дадена права

Определение.Права линия, минаваща през точката M 1 (x 1, y 1) и перпендикулярна на правата линия y = kx + b, е представена от уравнението:

Разстояние от точка до линия

Теорема.Ако е дадена точка M(x 0, y 0), тогава разстоянието до правата Ax + Bу + C = 0 се определя като

.

Доказателство.Нека точка M 1 (x 1, y 1) е основата на перпендикуляра, пуснат от точка M към дадена права линия. Тогава разстоянието между точките M и M 1:

(1)

Координатите x 1 и y 1 могат да бъдат намерени чрез решаване на системата от уравнения:

Второто уравнение на системата е уравнението на права, минаваща през дадена точка M 0 перпендикулярно на дадена права. Ако трансформираме първото уравнение на системата във вида:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

тогава, решавайки, получаваме:

Замествайки тези изрази в уравнение (1), намираме:

Теоремата е доказана.

Пример. Определете ъгъла между правите: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Пример. Покажете, че правите 3x – 5y + 7 = 0 и 10x + 6y – 3 = 0 са перпендикулярни.

Решение. Намираме: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, следователно, линиите са перпендикулярни.

Пример. Дадени са върховете на триъгълника A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Намерете уравнението на височината, изтеглена от върха C.

Решение. Намираме уравнението на страната AB: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Необходимото уравнение на височината има формата: Ax + By + C = 0 или y = kx + b. k = . Тогава y = . защото височината минава през точка C, тогава нейните координати удовлетворяват това уравнение: от където b = 17. Общо: .

Отговор: 3 x + 2 y – 34 = 0.