Тип работа: 7

Състояние

Правата y=3x+2 е допирателна към графиката на функцията y=-12x^2+bx-10.

Намерете b, като се има предвид, че абсцисата на допирателната е по-малка от нула.

Покажи решение

Решение

Нека x_0 е абсцисата на точката от графиката на функцията y=-12x^2+bx-10, през която минава допирателната към тази графика. Стойността на производната в точка x_0 е равна на наклона на допирателната, т.е. y"(x_0)=-24x_0+b=3. От друга страна, точката на допирателна принадлежи едновременно на графиката на функция и тангенс, тоест -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2. Получаваме система от уравнения

\begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \край (случаи)

Решавайки тази система, получаваме x_0^2=1, което означава или x_0=-1, или x_0=1.

Тип работа: 7
Съгласно условието за абсцисата, допирателните точки са по-малки от нула, така че x_0=-1, тогава b=3+24x_0=-21.

Състояние

Отговор

Намерете b, като се има предвид, че абсцисата на допирателната е по-малка от нула.

Покажи решение

Ъгловият коефициент на правата към графиката на функцията y=-x^2+5x-7 в произволна точка x_0 е равен на y"(x_0). Но y"=-2x+5, което означава y" (x_0)=-2x_0+5 Ъгловият коефициент на линията y=-3x+4, определен в условието, е равен на -3 -2x_0 +5=-3.

Получаваме: x_0 = 4.

Решавайки тази система, получаваме x_0^2=1, което означава или x_0=-1, или x_0=1.

Източник: „Математика. Подготовка за Единния държавен изпит 2017 г. Ниво на профил." Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип работа: 7
Съгласно условието за абсцисата, допирателните точки са по-малки от нула, така че x_0=-1, тогава b=3+24x_0=-21.

Състояние

Намерете b, като се има предвид, че абсцисата на допирателната е по-малка от нула.

Покажи решение

От фигурата определяме, че допирателната минава през точки A(-6; 2) и B(-1; 1).

Нека означим с C(-6; 1) пресечната точка на правите x=-6 и y=1, а с \alpha ъгъла ABC (на фигурата се вижда, че е остър). Тогава правата линия AB образува ъгъл \pi -\alpha с положителната посока на оста Ox, която е тъпа. Както е известно, tg(\pi -\alpha) ще бъде стойността на производната на функцията f(x) в точка x_0.забележи това tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15.

Решавайки тази система, получаваме x_0^2=1, което означава или x_0=-1, или x_0=1.

Източник: „Математика. Подготовка за Единния държавен изпит 2017 г. Ниво на профил." Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип работа: 7
Съгласно условието за абсцисата, допирателните точки са по-малки от нула, така че x_0=-1, тогава b=3+24x_0=-21.

Състояние

От тук, използвайки формулите за редукция, получаваме:

Намерете b, като се има предвид, че абсцисата на допирателната е по-малка от нула.

Покажи решение

tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Правата y=-2x-4 е допирателна към графиката на функцията y=16x^2+bx+12.

Намерете b, като се има предвид, че абсцисата на допирателната е по-голяма от нула. Нека x_0 е абсцисата на точката върху графиката на функцията y=16x^2+bx+12, през която

е допирателна към тази графика.

Решавайки тази система, получаваме x_0^2=1, което означава или x_0=-1, или x_0=1.

Източник: „Математика. Подготовка за Единния държавен изпит 2017 г. Ниво на профил." Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип работа: 7
Съгласно условието за абсцисата, допирателните точки са по-малки от нула, така че x_0=-1, тогава b=3+24x_0=-21.

Състояние

Стойността на производната в точка x_0 е равна на наклона на тангентата, т.е. y"(x_0)=32x_0+b=-2. От друга страна, точката на допирателна принадлежи едновременно на графиката на функция и допирателната, тоест 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Получаваме система от уравнения

Намерете b, като се има предвид, че абсцисата на допирателната е по-малка от нула.

Покажи решение

\begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \край (случаи)

Решавайки тази система, получаваме x_0^2=1, което означава или x_0=-1, или x_0=1.

Източник: „Математика. Подготовка за Единния държавен изпит 2017 г. Ниво на профил." Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип работа: 7
Съгласно условието за абсцисата, допирателните точки са по-малки от нула, така че x_0=-1, тогава b=3+24x_0=-21.

Състояние

Решавайки системата, получаваме x_0^2=1, което означава или x_0=-1, или x_0=1.

Намерете b, като се има предвид, че абсцисата на допирателната е по-малка от нула.

Покажи решение

Наклонът на допирателната към графиката на функцията y=x^2-4x+9 в произволна точка x_0 е равен на y"(x_0). Но y"=2x-4, което означава y"(x_0)= 2x_0-4 Наклонът на допирателната y =4x-7, определен в условието, е равен на 4. Следователно намираме стойност на x_0-4=4.

Решавайки тази система, получаваме x_0^2=1, което означава или x_0=-1, или x_0=1.

Източник: „Математика. Подготовка за Единния държавен изпит 2017 г. Ниво на профил." Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип работа: 7
Съгласно условието за абсцисата, допирателните точки са по-малки от нула, така че x_0=-1, тогава b=3+24x_0=-21.

Състояние

Фигурата показва графиката на функцията y=f(x) и допирателната към нея в точката с абсцисата x_0.

Намерете b, като се има предвид, че абсцисата на допирателната е по-малка от нула.

Покажи решение

Намерете стойността на производната на функцията f(x) в точка x_0.

От фигурата определяме, че допирателната минава през точки A(1; 1) и B(5; 4).

Нека означим с C(5; 1) пресечната точка на правите x=5 и y=1, а с \alpha ъгъла BAC (виждате на фигурата, че е остър). Тогава правата линия AB образува ъгъл \alpha с положителната посока на оста Ox.

Помислете за следната фигура:

Той изобразява определена функция y = f(x), която е диференцируема в точка a. Отбелязана е точка M с координати (a; f(a)). Секанс MR е начертан през произволна точка P(a + ∆x; f(a + ∆x)) на графиката.

Ако сега точка P се премести по графиката към точка M, тогава правата линия MR ще се върти около точка M. В този случай ∆x ще клони към нула. От тук можем да формулираме определението за допирателна към графиката на функция. Тангента към графиката на функцияДопирателната към графиката на функция е граничната позиция на секанса, тъй като нарастването на аргумента клони към нула. Трябва да се разбере, че съществуването на производната на функцията f в точката x0 означава, че в тази точка на графиката има

допирателна

на него.

В този случай ъгловият коефициент на тангенса ще бъде равен на производната на тази функция в тази точка f’(x0). Това е геометричното значение на производната. Допирателната към графиката на диференцируема в точка x0 функция f е определена права линия, минаваща през точката (x0;f(x0)) и имаща ъглов коефициент f’(x0).

Уравнение на тангенс Нека се опитаме да получим уравнението на допирателната към графиката на някаква функция f в точка A(x0; f(x0)). Уравнението на права линия с наклон k има следната форма:Тъй като нашият коефициент на наклон е равен на производната Нека се опитаме да получим уравнението на допирателната към графиката на някаква функция f в точка A(x0; f(x0)). Уравнението на права линия с наклон k има следната форма: f’(x0)

, тогава уравнението ще приеме следната форма: y =

*x + b.

Сега нека изчислим стойността на b. За целта използваме факта, че функцията минава през точка А.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, от тук изразяваме b и получаваме b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Заместваме получената стойност в уравнението на допирателната:

y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0). y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).: намерете уравнението на допирателната към графиката на функцията f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 в точка x = 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Заместете получените стойности във формулата на допирателната, получаваме: y = 1 + 4*(x - 2). Отваряйки скобите и привеждайки подобни членове, получаваме: y = 4*x - 7.

Отговор: y = 4*x - 7.

Обща схема за съставяне на уравнението на допирателнатакъм графиката на функцията y = f(x):

1. Определете x0.

2. Изчислете f(x0).

3. Изчислете f’(x)

Тази математическа програма намира уравнението на допирателната към графиката на функцията \(f(x)\) в определена от потребителя точка \(a\).

Програмата не само показва уравнението на допирателната, но също така показва процеса на решаване на проблема.

Този онлайн калкулатор може да бъде полезен за ученици от гимназията средни училищав подготовка за тестовеи изпити, при проверка на знанията преди Единния държавен изпит, за родителите да контролират решаването на много задачи по математика и алгебра. Или може би ви е твърде скъпо да наемете учител или да купите нови учебници? Или просто искате да го направите възможно най-бързо?домашна работа

по математика или алгебра? В този случай можете да използвате и нашите програми с подробни решения. По този начин можете да провеждате собствено обучение и/или свое обучение.по-малки братя

или сестри, докато нивото на образование в областта на решаваните проблеми се повишава.

Ако трябва да намерите производната на функция, тогава за това имаме задача Намерете производната.

Ако не сте запознати с правилата за въвеждане на функции, препоръчваме ви да се запознаете с тях.

Въведете функционалния израз \(f(x)\) и числото \(a\)
f(x)=

а=

Намерете уравнение на допирателната
Беше открито, че някои скриптове, необходими за решаване на този проблем, не са заредени и програмата може да не работи.
Може да сте активирали AdBlock.

В този случай го деактивирайте и опреснете страницата.
JavaScript е деактивиран във вашия браузър.
За да се появи решението, трябва да активирате JavaScript.

Ето инструкции как да активирате JavaScript във вашия браузър.
защото Има много хора, желаещи да решат проблема, вашата заявка е на опашка.
След няколко секунди решението ще се появи по-долу. Моля Изчакай

сек... Ако тизабеляза грешка в решението
, тогава можете да пишете за това във формата за обратна връзка. Не забравяйпосочете коя задача вие решавате какво.

въведете в полетата

Нашите игри, пъзели, емулатори:

Малко теория.

Директен наклон наклон на права линия, а ъгълът \(\alpha \) е ъгълът между тази права и оста Ox

Ако \(k>0\), тогава \(0 Ако \(kУравнение на допирателната към графиката на функцията

Ако точка M(a; f(a)) принадлежи на графиката на функцията y = f(x) и ако в тази точка може да се начертае допирателна към графиката на функцията, която не е перпендикулярна на оста x, тогава от геометричния смисъл на производната следва, че ъгловият коефициент на допирателната е равен на f "(a). След това ще разработим алгоритъм за съставяне на уравнение за допирателна към графиката на всяка функция.

Нека функция y = f(x) и точка M(a; f(a)) са дадени на графиката на тази функция; нека се знае, че f"(a) съществува. Нека създадем уравнение за допирателната към графиката на дадена функция в дадена точка. Това уравнение, подобно на уравнението на всяка права линия, която не е успоредна на ординатната ос, има форма y = kx + b, така че задачата е да се намерят стойностите на коефициентите k и b.

Всичко е ясно с ъгловия коефициент k: известно е, че k = f"(a). За да изчислим стойността на b, използваме факта, че желаната права линия минава през точката M(a; f(a)) , Това означава, че ако заместим координатите на точката M в уравнението на права линия, получаваме правилното равенство: \(f(a)=ka+b\), т.е. \(b = f(a) - ka\).

Остава да заменим намерените стойности на коефициентите k и b в уравнението на правата линия:

$$ y=kx+b $$ $$ y=kx+ f(a) - ka $$ $$ y=f(a)+ k(x-a) $$ $$ y=f(a)+ f"(a )(x-a)$$

Ние получихме уравнение на допирателната към графиката на функция\(y = f(x) \) в точката \(x=a \).

Алгоритъм за намиране на уравнението на допирателната към графиката на функцията \(y=f(x)\)
1. Означете абсцисата на допирателната точка с буквата \(a\)
2. Изчислете \(f(a)\)
3. Намерете \(f"(x)\) и изчислете \(f"(a)\)
4. Заместете намерените числа \(a, f(a), f"(a) \) във формулата \(y=f(a)+ f"(a)(x-a) \)

Книги (учебници) Резюмета на Единния държавен изпит и тестовете за Единния държавен изпит онлайн Игри, пъзели Построяване на графики на функции Правописен речник на руския език Речник на младежкия жаргон Каталог на руските училища Каталог на средните образователни институции на Русия Каталог на руските университети Списък от проблеми Намиране на GCD и LCM Опростяване на полином (умножаване на полиноми)

Y = f(x) и ако в тази точка може да се начертае допирателна към графиката на функцията, която не е перпендикулярна на абсцисната ос, тогава ъгловият коефициент на допирателната е равен на f"(a). Вече имаме използва това няколко пъти. Например в § 33 беше установено, че графиката на функцията y = sin x (синусоида) в началото образува ъгъл от 45° с оста x (по-точно допирателната към графиката в началото сключва ъгъл от 45° с положителната посока на оста x), а в пример 5 § 33 точки бяха намерени по даден график функции, в която допирателната е успоредна на оста x. В пример 2 от § 33 е съставено уравнение за допирателната към графиката на функцията y = x 2 в точка x = 1 (по-точно в точка (1; 1), но по-често само стойността на абсцисата е посочено, вярвайки, че ако стойността на абсцисата е известна, тогава стойността на ординатата може да се намери от уравнението y = f(x)). В този раздел ще разработим алгоритъм за съставяне на допирателно уравнение към графиката на всяка функция.

Нека са дадени функцията y = f(x) и точката M (a; f(a)) и също така е известно, че f"(a) съществува. Нека съставим уравнение за допирателната към графиката на a дадена функция в дадена точка. Това уравнение е като уравнението на всяка права линия, която не е успоредна на ординатната ос, има формата y = kx+m, така че задачата е да се намерят стойностите на коефициентите k и m.

Няма проблеми с ъгловия коефициент k: знаем, че k = f "(a). За да изчислим стойността на m, използваме факта, че желаната права линия минава през точката M(a; f (a)) Това означава, че ако заместим координатите на точката M в уравнението на правата, получаваме правилното равенство: f(a) = ka+m, от което намираме, че m = f(a) - ka.
Остава да заменим намерените стойности на коефициентите на комплекта в уравнениетоправ:

Получихме уравнението за допирателната към графиката на функцията y = f(x) в точката x=a.
ако, кажи,
Замествайки намерените стойности a = 1, f(a) = 1 f"(a) = 2 в уравнение (1), получаваме: y = 1+2(x-f), т.е. y = 2x-1.
Сравнете този резултат с този, получен в пример 2 от § 33. Естествено се случи същото.
Нека създадем уравнение за допирателната към графиката на функцията y = tan x в началото. Ние имаме: това означава cos x f"(0) = 1. Замествайки намерените стойности a = 0, f(a) = 0, f"(a) = 1 в уравнение (1), получаваме: y = x.
Ето защо начертахме тангентоида в § 15 (виж фиг. 62) през началото на координатите под ъгъл 45° спрямо абсцисната ос.
Решаването на тези достатъчно прости примери, всъщност използвахме определен алгоритъм, който се съдържа във формула (1). Нека направим този алгоритъм ясен.

АЛГОРИТЪМ ЗА РАЗРАБОТВАНЕ НА УРАВНЕНИЕ ЗА ДОПАТНА КЪМ ГРАФИКАТА НА ФУНКЦИЯТА y = f(x)

1) Обозначете абсцисата на точката на допиране с буквата a.
2) Изчислете 1 (а).
3) Намерете f"(x) и изчислете f"(a).
4) Заместете намерените числа a, f(a), (a) във формула (1).

Пример 1.Напишете уравнение за допирателната към графиката на функцията в точката x = 1.
Нека използваме алгоритъма, като вземем предвид, че в в този пример

На фиг. 126 е изобразена хипербола, построена е права y = 2.
Чертежът потвърждава горните изчисления: наистина правата y = 2 докосва хиперболата в точката (1; 1).

Отговор:у = 2- х.
Пример 2.Начертайте допирателна към графиката на функцията, така че да е успоредна на правата y = 4x - 5.
Нека изясним формулировката на проблема. Изискването за „начертаване на допирателна“ обикновено означава „да се състави уравнение за допирателната“. Това е логично, защото ако човек е успял да създаде уравнение за допирателна, тогава той едва ли ще има затруднения при конструирането на координатна равнинаправа линия според нейното уравнение.
Нека използваме алгоритъма за съставяне на уравнението на допирателната, като вземем предвид, че в този пример Но, за разлика от предишния пример, има неяснота: абсцисата на допирателната точка не е изрично посочена.
Нека започнем да мислим така. Желаната допирателна трябва да е успоредна на правата линия y = 4x-5. Две прави са успоредни тогава и само ако техните наклони са еднакви. Това означава, че ъгловият коефициент на тангентата трябва да бъде равен на ъгловия коефициент на дадената права линия: Така можем да намерим стойността на a от уравнението f"(a) = 4.
Ние имаме:
От уравнението Това означава, че има две допирателни, които отговарят на условията на задачата: едната в точката с абциса 2, другата в точката с абциса -2.
Сега можете да следвате алгоритъма.

Пример 3.От точка (0; 1) начертайте допирателна към графиката на функцията
Нека използваме алгоритъма за съставяне на уравнението на допирателната, като вземем предвид, че в този пример Обърнете внимание, че тук, както в пример 2, абсцисата на допирателната точка не е изрично посочена. Въпреки това следваме алгоритъма.

По условие допирателната минава през точката (0; 1). Замествайки стойностите x = 0, y = 1 в уравнение (2), получаваме:
Както можете да видите, в този пример само на четвъртата стъпка от алгоритъма успяхме да намерим абсцисата на допирателната точка. Замествайки стойността a =4 в уравнение (2), получаваме:

На фиг. 127 е представена геометрична илюстрация на разглеждания пример: начертана е графика на функцията

В § 32 отбелязахме, че за функция y = f(x), имаща производна във фиксирана точка x, е валидно приблизителното равенство:

За удобство на по-нататъшните разсъждения, нека променим нотацията: вместо x ще напишем a, вместо ще напишем x и съответно вместо ще напишем x-a. Тогава приблизителното равенство, написано по-горе, ще приеме формата:

Сега вижте фиг. 128. Към графиката на функцията y = f(x) е прекарана допирателна в точка M (a; f (a)). Точка x е отбелязана на оста x близо до a. Ясно е, че f(x) е ординатата на графиката на функцията в определената точка x. Какво е f(a) + f"(a) (x-a)? Това е ординатата на допирателната, съответстваща на същата точка x - вижте формула (1). Какво е значението на приблизителното равенство (3)? Фактът че За да изчислите приблизителната стойност на функцията, вземете ординатната стойност на тангенса.

Пример 4.Намерете приблизителната стойност на числовия израз 1,02 7.
Говорим за намиране на стойността на функцията y = x 7 в точката x = 1,02. Нека използваме формула (3), като вземем предвид това в този пример
В резултат получаваме:

Ако използваме калкулатор, получаваме: 1,02 7 = 1,148685667...
Както можете да видите, точността на приближението е доста приемлива.
Отговор: 1,02 7 =1,14.

А.Г. Мордкович алгебра 10 клас

Календарно-тематично планиране по математика, видеопо математика онлайн, Математика в училище изтегляне

Съдържание на урока бележки към уроците опорна рамкаурок презентация методи за ускоряване интерактивни технологии Практикувайте задачи и упражнения самопроверка работилници, обучения, казуси, куестове домашна работа въпроси за дискусия риторични въпроси от ученици Илюстрации аудио, видео клипове и мултимедияснимки, картинки, графики, таблици, диаграми, хумор, анекдоти, вицове, комикси, притчи, поговорки, кръстословици, цитати Добавки резюметастатии трикове за любознателните ясли учебници основен и допълнителен речник на термините други Подобряване на учебниците и уроцитекоригиране на грешки в учебникаактуализиране на фрагмент в учебник, елементи на иновация в урока, замяна на остарели знания с нови Само за учители перфектни уроцикалендарен план за годината насокидискусионни програми Интегрирани уроци

Уравнение на допирателната към графиката на функция

П. Романов, Т. Романова,
Магнитогорск,
Челябинска област

Уравнение на допирателната към графиката на функция

Статията е публикувана с подкрепата на Хотелски комплекс ИТАКА+. Когато останете в града на корабостроителите Северодвинск, няма да срещнете проблема с намирането на временно жилище. , на уебсайта на хотелски комплекс "ИТАКА+" http://itakaplus.ru можете лесно и бързо да наемете апартамент в града, за всеки период, с ежедневно плащане.

На съвременния етап от развитието на образованието една от основните му задачи е формирането на творчески мислеща личност. Способността за творчество при учениците може да се развие само ако те систематично се занимават с основите на изследователската дейност. Основата на учениците да използват своите творчески сили, способности и таланти са формираните пълноценни знания и умения. В тази връзка проблемът за формиране на система от основни знания и умения за всяка тема от училищния курс по математика е не малко важен. В същото време пълноценните умения трябва да бъдат дидактическа цел не на отделни задачи, а на внимателно обмислена система от тях. В най-широк смисъл системата се разбира като набор от взаимосвързани взаимодействащи елементи с цялост и стабилна структура.

Нека разгледаме техника за обучение на учениците как да напишат уравнение за допирателна към графиката на функция. По същество всички проблеми за намиране на уравнението на допирателната се свеждат до необходимостта да се изберат от набор (пакет, семейство) линии тези, които отговарят на определено изискване - те са допирателни към графиката на определена функция. В този случай наборът от редове, от които се извършва изборът, може да бъде определен по два начина:

а) точка, лежаща на равнината xOy (централен молив от прави);
б) ъглов коефициент (успореден лъч от прави линии).

В тази връзка, когато изучавахме темата „Допирателна към графиката на функция“, за да изолираме елементите на системата, идентифицирахме два вида проблеми:

1) допирателни проблеми, дадено от точката, през които преминава;
2) задачи за допирателна, зададена от нейния наклон.

Обучението за решаване на допирателни задачи се проведе по алгоритъма, предложен от A.G. Мордкович. Неговата фундаментална разликаот вече известните е, че абсцисата на точката на допиране се обозначава с буквата a (вместо с x0) и следователно уравнението на допирателната приема формата

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(сравнете с y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Тази методическа техника, според нас, позволява на учениците бързо и лесно да разберат къде са записани координатите на текущата точка общото уравнение на допирателната и къде са допирните точки.

Алгоритъм за съставяне на уравнението на допирателната към графиката на функцията y = f(x)

1. Означете абсцисата на допирателната точка с буквата a.
2. Намерете f(a).
3. Намерете f "(x) и f "(a).
4. Заместете намерените числа a, f(a), f "(a) в общо уравнениедопирателна y = f(a) = f "(a)(x – a).

Този алгоритъм може да бъде съставен въз основа на независимото идентифициране на операциите от учениците и последователността на тяхното изпълнение.

Практиката показва, че последователното решаване на всеки от ключовите проблеми с помощта на алгоритъм ви позволява да развиете умения за писане на уравнението на допирателната към графиката на функция на етапи, а стъпките на алгоритъма служат като отправни точки за действия . Този подход съответства на теорията за постепенното формиране на умствените действия, разработена от П.Я. Галперин и Н.Ф. Тализина.

В първия тип задачи бяха идентифицирани две ключови задачи:

• допирателната минава през точка, лежаща на кривата (задача 1);
• допирателната минава през точка, която не лежи на кривата (задача 2).

Задача 1. Напишете уравнение за допирателната към графиката на функцията в точка M(3; – 2).

Решение. Точка M(3; – 2) е допирателна точка, тъй като

1. a = 3 – абсцисата на допирателната точка.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – уравнение на допирателната.

Задача 2. Напишете уравненията на всички допирателни към графиката на функцията y = – x 2 – 4x + 2, минаващи през точката M(– 3; 6).

Решение. Точка M(– 3; 6) не е допирателна точка, тъй като f(– 3) 6 (фиг. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – уравнение на допирателната.

Допирателната минава през точката M(– 3; 6), следователно нейните координати удовлетворяват уравнението на допирателната.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Ако a = – 4, тогава уравнението на допирателната е y = 4x + 18.

Ако a = – 2, тогава уравнението на допирателната има формата y = 6.

Във втория тип основните задачи ще бъдат следните:

• допирателната е успоредна на права (задача 3);
• допирателната минава под определен ъгъл спрямо дадената права (задача 4).

Задача 3. Напишете уравненията на всички допирателни към графиката на функцията y = x 3 – 3x 2 + 3, успоредна на правата y = 9x + 1.

Решение.

1. a – абсцисата на допирателната точка.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Но, от друга страна, f "(a) = 9 (условие за паралелност). Това означава, че трябва да решим уравнението 3a 2 – 6a = 9. Корените му са a = – 1, a = 3 (фиг. 3 ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – уравнение на допирателната;

1) а = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – уравнение на допирателната.

Задача 4. Напишете уравнението на допирателната към графиката на функцията y = 0,5x 2 – 3x + 1, минаваща под ъгъл 45° спрямо правата y = 0 (фиг. 4).

Решение. От условието f "(a) = tan 45° намираме a: a – 3 = 1^a = 4.

1. a = 4 – абсцисата на допирателната точка.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1 (x – 4).

y = x – 7 – уравнение на допирателната.

Лесно е да се покаже, че решаването на всеки друг проблем се свежда до решаването на един или повече ключови проблеми. Разгледайте следните два проблема като пример.

1. Напишете уравненията на допирателните към параболата y = 2x 2 – 5x – 2, ако допирателните се пресичат под прав ъгъл и едната от тях докосва параболата в точката с абциса 3 (фиг. 5).

Решение. Тъй като е дадена абсцисата на допирателната точка, първата част от решението се свежда до ключова задача 1.

1. a = 3 – абсцисата на допирателната точка на една от страните на правия ъгъл.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – уравнение на първата допирателна.

Нека a – ъгъл на наклон на първата допирателна. Тъй като допирателните са перпендикулярни, тогава е ъгълът на наклон на втората допирателна. От уравнението y = 7x – 20 на първата допирателна имаме tg a = 7. Да намерим

Това означава, че наклонът на втората допирателна е равен на .

По-нататъшното решение се свежда до ключова задача 3.

Тогава нека B(c; f(c)) е точката на допиране на втората права

1. – абсцисата на втората точка на допир.
2.
3.
4.
– уравнение на втората допирателна.

Забележка. Ъгловият коефициент на тангентата може да се намери по-лесно, ако учениците знаят отношението на коефициентите на перпендикулярните прави k 1 k 2 = – 1.

2. Напишете уравненията на всички общи допирателни към графиките на функциите

Решение. Задачата се свежда до намиране на абсцисата на допирателните точки на общи допирателни, тоест решаване на ключова задача 1 в общ вид, съставяне на система от уравнения и след това нейното решаване (фиг. 6).

1. Нека a е абсцисата на допирателната точка, лежаща върху графиката на функцията y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Нека c е абсцисата на допирателната точка върху графиката на функцията
2.
3. f "(c) = c.
4.

Тъй като допирателните са общи, тогава

Така че y = x + 1 и y = – 3x – 3 са общи тангенти.

Основната цел на разглежданите задачи е да подготвят учениците самостоятелно да разпознават вида на ключовия проблем при решаване на по-сложни проблеми, изискващи определени изследователски умения (способност за анализ, сравнение, обобщение, излагане на хипотеза и др.). Такива задачи включват всяка задача, в която ключовата задача е включена като компонент. Нека разгледаме като пример задачата (обратна на задача 1) за намиране на функция от семейството на нейните допирателни.

3. За какво b и c правите y = x и y = – 2x са допирателни към графиката на функцията y = x 2 + bx + c?

Решение.

Нека t е абсцисата на точката на допиране на правата линия y = x с параболата y = x 2 + bx + c; p е абсцисата на точката на допиране на правата y = – 2x с параболата y = x 2 + bx + c. Тогава уравнението на допирателната y = x ще приеме формата y = (2t + b)x + c – t 2 , а уравнението на допирателната y = – 2x ще приеме формата y = (2p + b)x + c – p 2 .

Нека съставим и решим система от уравнения

Отговор:

Проблеми за самостоятелно решаване

1. Напишете уравненията на допирателните, начертани към графиката на функцията y = 2x 2 – 4x + 3 в точките на пресичане на графиката с правата y = x + 3.

Отговор: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.

2. За какви стойности на a допирателната, начертана към графиката на функцията y = x 2 – ax в точката на графиката с абсцисата x 0 = 1, минава през точката M(2; 3)?

Отговор: a = 0,5.

3. За какви стойности на p правата линия y = px – 5 докосва кривата y = 3x 2 – 4x – 2?

Отговор: p 1 = – 10, p 2 = 2.

4. Намерете всички общи точки на графиката на функцията y = 3x – x 3 и допирателната, прекарана към тази графика през точката P(0; 16).

Отговор: A(2; – 2), B(– 4; 52).

5. Намерете най-късото разстояние между параболата y = x 2 + 6x + 10 и правата линия

Отговор:

6. На кривата y = x 2 – x + 1 намерете точката, в която допирателната към графиката е успоредна на правата y – 3x + 1 = 0.

Отговор: M(2; 3).

7. Напишете уравнението на допирателната към графиката на функцията y = x 2 + 2x – | 4x |, която го докосва в две точки. Направете рисунка.

Отговор: y = 2x – 4.

8. Докажете, че правата y = 2x – 1 не пресича кривата y = x 4 + 3x 2 + 2x. Намерете разстоянието между най-близките им точки.

Отговор:

9. На параболата y = x 2 са взети две точки с абсцисите x 1 = 1, x 2 = 3. През тези точки се прекарва секанс. В коя точка на параболата допирателната към нея ще бъде успоредна на секущата? Напишете уравненията на секанса и тангенса.

Отговор: y = 4x – 3 – секущо уравнение; y = 4x – 4 – уравнение на допирателната.

10. Намерете ъгъл q между допирателните към графиката на функцията y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1, начертана в точките с абсцисите 0 и 1.

Отговор: q = 45°.

11. В кои точки допирателната към графиката на функцията сключва с оста Ox ъгъл 135°?

Отговор: A(0; – 1), B(4; 3).

12. В точка A(1; 8) към кривата начертана е допирателна. Намерете дължината на допирателната отсечка между координатните оси.

Отговор:

13. Напишете уравнението на всички общи допирателни към графиките на функциите y = x 2 – x + 1 и y = 2x 2 – x + 0,5.

Отговор: y = – 3x и y = x.

14. Намерете разстоянието между допирателните към графиката на функцията успоредна на оста x.

Отговор:

15. Определете под какви ъгли параболата y = x 2 + 2x – 8 пресича оста x.

Отговор: q 1 = арктан 6, q 2 = арктан (– 6).

16. Функционална графика намерете всички точки, допирателната във всяка от които към тази графика пресича положителните полуоси на координатите, отрязвайки равни сегменти от тях.

Отговор: A(– 3; 11).

17. Правата y = 2x + 7 и параболата y = x 2 – 1 се пресичат в точки M и N. Намерете пресечната точка K на правите, допирателни към параболата в точки M и N.

Отговор: K(1; – 9).

18. За какви стойности на b правата y = 9x + b е допирателна към графиката на функцията y = x 3 – 3x + 15?

Отговор: – 1; 31.

19. За какви стойности на k правата y = kx – 10 има само една обща точка с графиката на функцията y = 2x 2 + 3x – 2? За намерените стойности на k определете координатите на точката.

Отговор: k 1 = – 5, A(– 2; 0); k 2 = 11, B(2; 12).

20. При какви стойности на b допирателната, начертана към графиката на функцията y = bx 3 – 2x 2 – 4 в точката с абсцисата x 0 = 2, минава през точката M(1; 8)?

Отговор: b = – 3.

21. Парабола с връх на оста Ox докосва правата, минаваща през точки A(1; 2) и B(2; 4) в точка B. Намерете уравнението на параболата.

Отговор:

22. При каква стойност на коефициента k параболата y = x 2 + kx + 1 докосва оста Ox?

Отговор: k = d 2.

23. Намерете ъглите между правата линия y = x + 2 и кривата y = 2x 2 + 4x – 3.

29. Намерете разстоянието между допирателните към графиката на функцията и образуващите с положителна посока на оста Ox под ъгъл 45°.

Отговор:

30. Намерете геометричното място на върховете на всички параболи от вида y = x 2 + ax + b, допирателни към правата y = 4x – 1.

Отговор: права линия y = 4x + 3.

Литература

1. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина М.В. Алгебра и начало на анализа: 3600 задачи за ученици и постъпващи в университети. – М., Дропла, 1999.
2. Мордкович А. Семинар 4 за млади учители. Тема: Производни приложения. – М., “Математика”, № 21/94.
3. Формиране на знания и умения, основани на теорията за постепенното усвояване на умствените действия.