Решение на прости линейни уравнения. Линейни уравнения. Решение, примери

Как да се научим да решаваме прости и сложни уравнения

Скъпи родители!

Без основно математическо обучение образованието е невъзможно модерен човек. В училище математиката служи като помощен предмет за много свързани дисциплини. В следучилищния живот непрекъснатото образование се превръща в реална необходимост, което изисква основно обучение в училище, включително математика.

AT начално училищене само знанията се полагат по основните теми, но и се развиват логично мислене, въображение и пространствени представи, както и интерес към този предмет.

Спазвайки принципа на непрекъснатост, ще се съсредоточим върху най-важната тема, а именно „Връзката на компонентите на действие при решаване на съставни уравнения“.

С помощта на този урок можете лесно да научите как да решавате сложни уравнения. В този урок ще се запознаете инструкции стъпка по стъпкарешения на сложни уравнения.

Много родители са объркани от въпроса - как да накараме децата да се научат да решават прости и сложни уравнения. Ако уравненията са прости - това все още е половината от проблемите, но има и сложни - например интегрални. Между другото, за информация има и такива уравнения, за решението на които се борят най-добрите умове на нашата планета и за чието решение се издават много значителни парични награди. Например, ако си спомнятеПерелмани непотърсен паричен бонус от няколко милиона.

Нека обаче се върнем в началото на простите математически уравнения и повторим видовете уравнения и имената на компонентите. Малко загряване:

_________________________________________________________________________

ЗАГРЯВКА

Намерете допълнителното число във всяка колона:

2) Коя дума липсва във всяка колона?

3) Свържете думите от първата колона с думите от втората колона.

"Уравнение" "Равенство"

4) Как обяснявате какво е „равенство“?

5) А "уравнението"? Равенство ли е? Какво му е специалното?

срочна сума

намалена разлика

субтрахенден продукт

факторравенство

дивидент

уравнението

Заключение: Уравнението е равенство с променлива, чиято стойност трябва да се намери.

_______________________________________________________________________

Предлагам всяка група да напише уравнението на лист хартия с флумастер: (на дъската)

група 1 - с неизвестен термин; група 2 - с неизвестно намаление; група 3 - с неизвестен субтрахенд; група 4 - с неизвестен делител; група 5 - с неизвестно делимо; 6-та група - с неизвестен множител.

1 група x + 8 = 15 2 група x - 8 = 7 3 група 48 - x = 36 4-та група 540: x = 9 5 група x: 15 = 9 6 група x * 10 = 360

Един от групата трябва да прочете тяхното уравнение на математически език и да коментира тяхното решение, т.е. да произнесе операцията, която се извършва с известни компоненти на действие (алгоритъм).

Заключение: Ние можем да решаваме прости уравнения от всякакъв вид според алгоритъма, да четем и записваме буквални изрази.

Предлагам да се реши проблема, в който се появява нов типуравнения.

Заключение: Запознахме се с решението на уравнения, една от частите на които съдържа числен израз, чиято стойност трябва да се намери и да се получи просто уравнение.

________________________________________________________________________

Помислете за друга версия на уравнението, чието решение се свежда до решаване на веригата прости уравнения. Ето едно от въвеждането на съставни уравнения.

a + b * c (x - y): 3 2 * d + (m - n) Записни уравнения ли са? Защо? Как се наричат ​​тези действия? Прочетете ги, като посочите последното действие:

Не. Това не са уравнения, защото уравнението трябва да съдържа знака „=“. Изрази a + b * c - сумата от числото a и произведението на числата b и c; (x - y): 3 - частно на разликата между числата x и y; 2 * d + (m - n) - сумата от удвоеното число d и разликата между числата m и n.

Предлагам на всеки да напише изречение на математически език:

Произведението от разликата между числата x и 4 и числото 3 е 15.

ИЗВОД: Възникналата проблемна ситуация мотивира поставянето на целта на урока: да се научим да решаваме уравнения, в които неизвестният компонент е израз. Такива уравнения са съставни уравнения.

__________________________________________________________________________

Или може би вече изучените видове уравнения ще ни помогнат? (алгоритми)

Кое от известните уравнения е подобно на нашето? X * a = в

МНОГО ВАЖЕН ВЪПРОС: Какъв е изразът от лявата страна - сбор, разлика, произведение или частно?

(x - 4) * 3 = 15 (продукт)

Защо? (тъй като последното действие е умножение)

Заключение:Такива уравнения все още не са разглеждани. Но можем да решим дали изразътх - 4насложете карта (y - y) и получавате уравнение, което може лесно да бъде решено с помощта на прост алгоритъм за намиране на неизвестен компонент.

При решаване на съставни уравнения е необходимо на всяка стъпка да се избира действие на автоматизирано ниво, коментиране, назоваване на компонентите на действието.

Опростете частта

Не ↓ да

(y - 5) * 4 = 28
y - 5 = 28: 4
y - 5 = 7
y = 5 +7
y = 12
(12 - 5) * 4 = 28
28 = 28 (и)

Заключение:В класове с различна подготовка тази работа може да се организира по различни начини. В по-подготвени класове дори за първична фиксация могат да се използват изрази, в които не две, а три или повече действия, но тяхното решаване изисква Повече ▼стъпки, като всяка стъпка опростява уравнението, докато се получи просто уравнение. И всеки път можете да наблюдавате как се променя неизвестният компонент на действията.

_____________________________________________________________________________

ЗАКЛЮЧЕНИЕ:

Когато става въпрос за нещо много просто, разбираемо, често казваме: „Работата е ясна, като две по две – четири!“.

Но преди да се замислите за факта, че две по две е четири, хората трябваше да учат много, много хиляди години.

Много правила от училищните учебници по аритметика и геометрия са били известни на древните гърци преди повече от две хиляди години.

Навсякъде, където трябва да преброите, измерите, сравните нещо, не можете без математика.

Трудно е да си представим как биха живели хората, ако не знаеха как да броят, измерват, сравняват. Математиката учи това.

Днес вие се потопихте в училищния живот, бяхте в ролята на ученици и ви предлагам, скъпи родители, да оцените уменията си по скала.

Моите умения	Дата и оценка
Компоненти за действие.
Съставяне на уравнение с неизвестен компонент.
Изрази за четене и писане.
Намерете корена на уравнение в просто уравнение.
Намерете корена на уравнение, една от частите на което съдържа числов израз.
Намерете корена на уравнение, в което неизвестният компонент на действието е израз.

52. | Повече ▼ сложни примериуравнения.
Пример 1 .

5 / (x - 1) - 3 / (x + 1) \u003d 15 / (x 2 - 1)

Общият знаменател е x 2 - 1, тъй като x 2 - 1 \u003d (x + 1) (x - 1). Умножете двете страни на това уравнение по x 2 - 1. Получаваме:

или след намаляване,

5(x + 1) - 3(x - 1) = 15

5x + 5 – 3x + 3 = 15

2x=7 и x=3½

Помислете за друго уравнение:

5 / (x-1) - 3 / (x + 1) \u003d 4 (x 2 - 1)

Решавайки както по-горе, получаваме:

5(x + 1) - 3(x - 1) = 4
5x + 5 - 3x - 3 = 4 или 2x = 2 и x = 1.

Нека видим дали нашите равенства са оправдани, ако заместим x във всяко от разглежданите уравнения с намереното число.

За първия пример получаваме:

Виждаме, че тук няма място за никакви съмнения: намерихме такова число за x, че изискваното равенство е оправдано.

За втория пример получаваме:

5/(1-1) - 3/2 = 15/(1-1) или 5/0 - 3/2 = 15/0

Тук възникват съмнения: тук се срещаме с деление на нула, което е невъзможно. Ако в бъдеще успеем да придадем определен, макар и косвен, смисъл на това разделение, тогава можем да се съгласим, че намереното решение x - 1 удовлетворява нашето уравнение. Дотогава трябва да признаем, че нашето уравнение изобщо няма решение, което да има пряк смисъл.

Такива случаи могат да възникнат, когато неизвестното по някакъв начин е включено в знаменателите на дробите в уравнението и някои от тези знаменатели, когато се намери решението, изчезват.

Пример 2 .

Веднага можете да видите, че това уравнение има формата на пропорция: отношението на числото x + 3 към числото x - 1 е равно на отношението на числото 2x + 3 към числото 2x - 2. Нека някой, в предвид това обстоятелство, решите да приложите тук, за да освободите уравнението от дроби, които са основното свойство на пропорцията (произведението на екстремните членове е равно на произведението на средните). Тогава той ще получи:

(x + 3) (2x - 2) = (2x + 3) (x - 1)

2x 2 + 6x - 2x - 6 = 2x 2 + 3x - 2x - 3.

Тук може да предизвика опасения, че няма да се справим с това уравнение, фактът, че уравнението включва членове с x 2 . Въпреки това можем да извадим 2x 2 от двете страни на уравнението - това няма да наруши уравнението; тогава членовете с x 2 ще бъдат унищожени и получаваме:

6x - 2x - 6 = 3x - 2x - 3

Нека преместим неизвестните членове наляво, известните надясно - получаваме:

3x=3 или x=1

Спомняйки си това уравнение

(x + 3)/(x - 1) = (2x + 3)/(2x - 2)

веднага ще забележим, че намерената стойност за x (x = 1) прави нула знаменателите на всяка дроб; трябва да изоставим такова решение, докато не разгледаме въпроса за делението на нула.

Ако отбележим по-нататък, че прилагането на свойството на пропорцията усложнява нещата и че може да се получи по-просто уравнение чрез умножаване на двете страни на дадено по общ знаменател, а именно върху 2(x - 1) - все пак 2x - 2 = 2 (x - 1), тогава получаваме:

2(x + 3) = 2x - 3 или 2x + 6 = 2x - 3 или 6 = -3,

което е невъзможно.

Това обстоятелство показва, че това уравнение няма решения, които имат пряк смисъл, което не би превърнало знаменателите на това уравнение в нула.
Нека решим уравнението сега:

(3x + 5)/(x - 1) = (2x + 18)/(2x - 2)

Умножаваме двете части на уравнението 2(x - 1), т.е. по общ знаменател, получаваме:

6x + 10 = 2x + 18

Намереното решение не анулира знаменателя и има пряко значение:

или 11 = 11

Ако някой, вместо да умножи двете части по 2(x - 1), използва свойството пропорция, той ще получи:

(3x + 5)(2x - 2) = (2x + 18)(x - 1) или
6x 2 + 4x - 10 = 2x 2 + 16x - 18.

Тук вече членовете с x 2 няма да бъдат анихилирани. Като прехвърлим всички неизвестни членове в лявата страна и известните в дясната, ще получим

4x 2 - 12x = -8

x 2 - 3x = -2

Не можем да решим това уравнение сега. В бъдеще ще се научим как да решаваме такива уравнения и ще намерим две решения за тях: 1) можем да вземем x = 2 и 2) можем да вземем x = 1. Лесно е да проверим и двете решения:

1) 2 2 - 3 2 = -2 и 2) 1 2 - 3 1 = -2

Ако си спомним първоначалното уравнение

(3x + 5) / (x - 1) = (2x + 18) / (2x - 2),

ще видим, че сега получаваме и двете му решения: 1) x = 2 е решението, което има пряко значение и не превръща знаменателя в нула, 2) x = 1 е решението, което превръща знаменателя в нула и прави нямат пряко значение.

Пример 3 .

Нека намерим общия знаменател на дробите, включени в това уравнение, за което разлагаме всеки от знаменателите на множители:

1) x 2 - 5x + 6 \u003d x 2 - 3x - 2x + 6 \u003d x (x - 3) - 2 (x - 3) \u003d (x - 3) (x - 2),

2) x 2 - x - 2 \u003d x 2 - 2x + x - 2 \u003d x (x - 2) + (x - 2) \u003d (x - 2) (x + 1),

3) x 2 - 2x - 3 \u003d x 2 - 3x + x - 3 \u003d x (x - 3) + (x - 3) \u003d (x - 3) (x + 1).

Общият знаменател е (x - 3)(x - 2)(x + 1).

Умножете двете страни на това уравнение (и сега можем да го пренапишем като:

към общ знаменател (x - 3) (x - 2) (x + 1). Тогава, след намаляване на всяка фракция, получаваме:

3(x + 1) - 2(x - 3) = 2(x - 2) или
3x + 3 - 2x + 6 = 2x - 4.

От тук получаваме:

–x = –13 и x = 13.

Това решение има пряко значение: то не поставя нито един от знаменателите на нула.

Ако вземем уравнението:

тогава, процедирайки точно по същия начин, както по-горе, ще получим

3(x + 1) - 2(x - 3) = x - 2

3x + 3 - 2x + 6 = x - 2

3x - 2x - x = -3 - 6 - 2,

къде ще вземеш

което е невъзможно. Това обстоятелство показва, че е невъзможно да се намери решение за последното уравнение, което има пряк смисъл.

Цели и цели:

Образователни:

1. Разгледайте метод за решаване на „сложни“ уравнения от вида: (x + 3): 8 = 5 и изведете алгоритъм за действие за решаването им.
2. Подобрете своите компютърни умения.

Разработване:

1. Развийте способността да анализирате, разсъждавате, обяснявате начина на работа на уравнения от формата: (x + 3): 8 = 5.

Образователни:

1. Формиране на способността за работа по двойки (изслушайте мнението на приятел, обсъдете проблема, стигнете до консенсус).

Спестяване на здравето:

1. Научете се да се грижите за здравето си.

Оборудване:

1. Мултимедиен проектор и екран;
2. Компютър;
3. Презентация;
4. Напомняне-поддръжка;
5. Задачи на карти.

По време на часовете:

I. Организационен момент.

– звънецът звънна. Проверете готовността си за час по математика. Всички са готови.

И нека го проверим!

– БЛИЦ: Как да намерим неизвестен термин? (изваден, намален, дивидент, делител, множител).

- Много добре! Седни. Можем спокойно да започнем. Отворени тетрадки. Запишете номера, страхотна работа.

II. Актуализиране на основни знания.

1) - Предлагам ви да направите загрявка. Внимание към екрана!

(Приложение 1. Презентация -слайд 1).

100 ∙ 29 32 ∙ 20 4800: 2

a ∙ 15 9000 - в от: 317

x ∙ 80 = 640 k: 50 = 500 c + 90 = 34 + 56

– Разделете записаните данни на групи. Кой раздели на 2? За 3 групи?

Дискусия!!! На каква основа сте разделили... , а …..?

- Назовават числови изрази. Име букви. Почивка? (Уравнения.)

(Слайд 2)

- Намерете стойностите на числови изрази.
- Намерете значението на буквалните изрази ако

a = 0, b = 1, c = 317

- Сред уравненията намерете „екстрата“. Докажи го!
– Намерете корена на 1 уравнение, 2 уравнения. (Просто.)
– Какво трябва да се направи първо, за да се реши сложно уравнение от този тип? (Опростете.) - Как? (Извършва действие.) Какво?
- Опростете уравнението. Намерете корена.

III. Тема, задачи.

– Кой иска да се научи как да решава сложни уравнения от нов вид? Вдигни ръка! Много добре! Това означава, че не се страхувате от трудности и сте готови за нови открития!
- Темата на нашия урок е „Решаване на „сложни“ уравнения от нов тип“.

(Тъй като терминът „сложно“ уравнение е произволен, аз го затворих в кавички.)

– Определете учебните цели:

1. Научете се да решавате сложни уравнения от нов вид.
2. Създайте алгоритъм за решение. (Алгоритъм - ред, последователност от действия.)
3. Научете се да коментирате решението на уравненията.
4. Подобрете своите компютърни умения.

Физическо възпитание 1.

IV. Работа по темата. Формулиране на проблема. Отваряне на нов.

1) От No 488. Учебник.

– Сега искам да ви поканя отново да посетите изследователи.

□ + 30 = 50 Този запис в таблото!

- Прочетете израза. 1 плужек 2 плужек Стойност на сумата.

Това уравнение ли е? Защо?

- Вмъкнете израза в "полето"

□ + 30 = 50 - Как наричаме записа? (Труден ур.) - Прилича ли на този, който вече знаем как да решим? - Защо?

Опитайте се да намерите начин да решите това уравнение. ОБЪРНЕТЕ ВНИМАНИЕ, не случайно съм подписал компонентите на акцията! Изпратете без проверка!

2) Обяснение: - Какъв (кой компонент) е буквалният израз 4 ∙ x в тази сума (това е 1 член).

И така, 1 член е буквален израз 4 ∙ x и е неизвестен!

Правилото не се променя! Как да намерим неизвестния 1 охлюв?

4 x	= 50 – 30 – Можете ли да решите?

3) - Отворете урока, стр. 149 № 488. Прочетете как разсъждава Миша.

V. Извеждане на алгоритъма. Оправяне на новото.

1) Решете уравнението: (x + 3) : 8 = 5 1 на дъската.

Упражнение! Опитайте се да разберете последователността!

2) Извеждане на алгоритъма.

- Както разбирате, компонентите ще се наричат: дивидент, делител, частна стойност.

- Коя дивизия е първа или последна? = Откъде започвате?

3). Алгоритъм(Слайд 3).

1. Ще дефинирам последното действие и ще назова компонентите.
2. Ще дефинирам неизвестен компонент и ще запомня правилото за намирането му.
3. Запишете ново уравнение и го опростете.
4. Нека реша едно просто уравнение.

4) Бележка за четене за коментиране.

5). No 489. Учебник. Коментиране.

Физкултурна минута 2 (за очите).

6). Колективна работа. Работете по двойки.

1) (y– 5) ∙ 4 = 28
2) 3 ∙ a - 7 \u003d 14
3) (24 + d): 8 = 7
4) 63: (14 - x) = 7

Попълнете контролния списък!

Уравнението.	1	2	3	4
Решение.

Линейни уравнения. Решение, примери.

внимание!
Има допълнителни
материал в специален раздел 555.
За тези, които силно "не много..."
И за тези, които "много...")

Линейни уравнения.

Линейните уравнения не са най-добрите трудна темаучилищна математика. Но има някои трикове, които могат да озадачат дори обучен ученик. Ще го разберем ли?)

Линейното уравнение обикновено се определя като уравнение от формата:

брадва + b = 0 където а и б- всякакви числа.

2x + 7 = 0. Ето а=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 Тук а=0,1, b=-2,3

12x + 1/2 = 0 Тук а=12, b=1/2

Нищо сложно, нали? Особено ако не забелязвате думите: "където a и b са произволни числа"... И ако забележите, но небрежно мислите за това?) В крайна сметка, ако а=0, b=0(възможни ли са всякакви числа?), тогава получаваме смешен израз:

Но това не е всичко! ако, кажи, а=0,а b=5,излиза нещо доста абсурдно:

Какво напряга и подкопава доверието в математиката, да ...) Особено на изпитите. Но от тези странни изрази трябва да намерите и X! Която изобщо не съществува. И, изненадващо, този X се намира много лесно. Ще научим как да го направим. В този урок.

Как да разпознаем линейно уравнение по външен вид? Зависи какво външен вид.) Номерът е, че линейните уравнения се наричат ​​не само уравнения на формата брадва + b = 0 , но също и всички уравнения, които са сведени до тази форма чрез трансформации и опростявания. И кой знае дали е намален или не?)

В някои случаи линейното уравнение може да бъде ясно разпознато. Да речем, ако имаме уравнение, в което има само неизвестни на първа степен, да числа. И уравнението не го прави дроби, разделени на неизвестен , важно е! И деление по номер,или числова дроб - това е! Например:

Това е линейно уравнение. Тук има дроби, но няма х в квадрата, в куба и т.н., както и няма х в знаменателите, т.е. Не деление на х. И ето уравнението

не може да се нарече линеен. Тук всички х са на първа степен, но има деление с израз с x. След опростявания и трансформации можете да получите линейно уравнение, квадратно уравнение и каквото искате.

Оказва се, че е невъзможно да откриете линейно уравнение в някакъв сложен пример, докато почти не го решите. Това е разстройващо. Но в задачите, като правило, те не питат за формата на уравнението, нали? В задачите уравненията са подредени реши.Това ме радва.)

Решение на линейни уравнения. Примери.

Цялостно решение линейни уравнениясе състои от идентични трансформации на уравнения. Между другото, тези трансформации (до две!) са в основата на решенията всички уравнения на математиката.С други думи, решението всякаквиУравнението започва със същите тези трансформации. При линейните уравнения то (решението) върху тези трансформации завършва с пълноценен отговор. Има смисъл да следвате връзката, нали?) Освен това има и примери за решаване на линейни уравнения.

Да започнем с най-простия пример. Без никакви подводни камъни. Да кажем, че трябва да решим следното уравнение.

x - 3 = 2 - 4x

Това е линейно уравнение. Всички X са на първа степен, няма деление на X. Но всъщност не ни интересува какво е уравнението. Трябва да го разрешим. Схемата тук е проста. Съберете всичко с x от лявата страна на уравнението, всичко без x (числа) от дясната.

За да направите това, трябва да прехвърлите - 4x вляво, със смяна на знака, разбира се, но - 3 - надясно. Между другото, това е първо идентично преобразуване на уравнения.изненадан? И така, те не последваха връзката, но напразно ...) Получаваме:

x + 4x = 2 + 3

Даваме подобни, считаме:

Какво ни трябва, за да сме напълно щастливи? Да, така че да има чист Х отляво! Петима пречи. Отървете се от петте с второ идентично преобразуване на уравнения.А именно, разделяме двете части на уравнението на 5. Получаваме готов отговор:

Елементарен пример, разбира се. Това е за загрявка.) Не е много ясно защо припомних идентични трансформации тук? ДОБРЕ. Хващаме бика за рогата.) Да решим нещо по-впечатляващо.

Например, ето това уравнение:

Откъде да започнем? С Х - наляво, без Х - надясно? Може и така да е. С малки стъпки дълъг път. И можете веднага, по универсален и мощен начин. Освен ако, разбира се, във вашия арсенал има идентични трансформации на уравнения.

Задавам ви един ключов въпрос: Какво не харесвате най-много в това уравнение?

95 души от 100 ще отговорят: дроби ! Отговорът е правилен. Така че нека се отървем от тях. Така че започваме веднага с второ идентично преобразуване. По какво трябва да умножите дробта отляво, така че знаменателят да е напълно намален? Точно така, 3. А отдясно? С 4. Но математиката ни позволява да умножим двете страни по същото число. Как да се измъкнем? Нека умножим двете страни по 12! Тези. до общ знаменател. След това трите ще бъдат намалени и четирите. Не забравяйте, че трябва да умножите всяка част изцяло. Ето как изглежда първата стъпка:

Разширяване на скобите:

Забележка! Числител (x+2)Взех в скоби! Това е така, защото при умножаване на дроби числителят се умножава по цялото, изцяло! И сега можете да намалите дробите и да намалите:

Отваряне на останалите скоби:

Не пример, а чисто удоволствие!) Сега си припомняме заклинанието от по-ниски оценки: с х - наляво, без х - надясно!И приложете тази трансформация:

Ето някои като:

И разделяме двете части на 25, т.е. приложете отново втората трансформация:

Това е всичко. Отговор: х=0,16

Нека вземем под внимание: за да доведем оригиналното объркващо уравнение до добре изглеждащ, използвахме две (само две!) идентични трансформации- превод наляво-надясно със смяна на знака и умножение-деление на уравнението с едно и също число. Това е универсалният начин! Ние ще работим по този начин всякакви уравнения! Абсолютно всякакви. Ето защо непрекъснато повтарям тези идентични трансформации.)

Както можете да видите, принципът за решаване на линейни уравнения е прост. Взимаме уравнението и го опростяваме с помощта на идентични трансформации, докато получим отговора. Основните проблеми тук са в изчисленията, а не в принципа на решението.

Но ... Има такива изненади в процеса на решаване на най-елементарните линейни уравнения, които могат да вкарат в силен ступор ...) За щастие може да има само две такива изненади. Нека ги наречем специални случаи.

Специални случаи при решаване на линейни уравнения.

Първо изненада.

Да предположим, че попаднете на елементарно уравнение, нещо като:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Леко отегчени, прехвърляме с X наляво, без X - надясно ... С промяна на знака всичко е чин-чинар ... Получаваме:

2x-5x+3x=5-2-3

Ние вярваме и ... о, боже! Получаваме:

Само по себе си това равенство не е оспоримо. Нулата наистина е нула. Но X го няма! И трябва да напишем в отговора, на какво е равно x.Иначе решението не се брои, да...) Задънена улица?

Спокоен! В такива съмнителни случаи спасяват най-общите правила. Как се решават уравнения? Какво означава да решиш уравнение? Това означава, намери всички стойности на x, които, когато бъдат заменени в оригиналното уравнение, ще ни дадат правилното равенство.

Но имаме правилното равенство вечесе случи! 0=0, къде наистина?! Остава да разберем при какви x се получава това. В какви стойности на x могат да бъдат заменени началенуравнение, ако тези x все още се свиват до нула?Хайде?)

Да!!! Xs могат да бъдат заменени всякакви!Какво искаш. Най-малко 5, поне 0,05, най-малко -220. Те тепърва ще се свиват. Ако не ми вярвате, можете да го проверите.) Заменете всички x стойности в началенуравнение и изчислете. През цялото време ще се получава чистата истина: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 и т.н.

Ето вашия отговор: x е произволно число.

Отговорът може да бъде написан с различни математически символи, същността не се променя. Това е напълно правилен и пълен отговор.

Изненада втора.

Нека вземем същото елементарно линейно уравнение и променим само едно число в него. Ето какво ще решим:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

След същите идентични трансформации получаваме нещо интригуващо:

Като този. Реших линейно уравнение, получих странно равенство. Математически казано, имаме грешно равенство.И говорене обикновен език, това не е вярно. Рейв. Но въпреки това тази глупост е доста добра причина за правилно решениеуравнения.)

Отново мислим от Общи правила. Какво ще ни даде x, когато бъде заменено в оригиналното уравнение правилноравенство? Да, никакви! Няма такива иксове. Каквото и да замените, всичко ще се намали, ще останат глупости.)

Ето вашия отговор: няма решения.

Това също е напълно валиден отговор. В математиката подобни отговори често се срещат.

Като този. Сега, надявам се, загубата на X в процеса на решаване на всяко (не само линейно) уравнение изобщо няма да ви притеснява. Въпросът е познат.)

Сега, след като се справихме с всички капани в линейните уравнения, има смисъл да ги разрешим.

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.

В това видео ще анализираме цял набор от линейни уравнения, които се решават с помощта на един и същ алгоритъм - затова се наричат ​​най-простите.

Като начало, нека дефинираме: какво е линейно уравнение и кое от тях трябва да се нарече най-простото?

Линейно уравнение е това, в което има само една променлива и то само на първа степен.

Най-простото уравнение означава конструкцията:

Всички останали линейни уравнения се свеждат до най-простите с помощта на алгоритъма:

1. Отворени скоби, ако има такива;
2. Преместете термини, съдържащи променлива от едната страна на знака за равенство, и термини без променлива от другата;
3. Преместете подобни термини отляво и отдясно на знака за равенство;
4. Разделете полученото уравнение на коефициента на променливата $x$.

Разбира се, този алгоритъм не винаги помага. Факт е, че понякога след всички тези машинации коефициентът на променливата $x$ се оказва равен на нула. В този случай са възможни два варианта:

1. Уравнението изобщо няма решения. Например, когато получите нещо като $0\cdot x=8$, т.е. отляво е нула, а отдясно е различно от нула число. Във видеото по-долу ще разгледаме няколко причини, поради които тази ситуация е възможна.
2. Решението е всички числа. Единственият случай, когато това е възможно, уравнението се свежда до конструкцията $0\cdot x=0$. Съвсем логично е, че каквито и $x$ да заместим, пак ще се получи „нула е равна на нула“, т.е. правилно числово равенство.

А сега нека да видим как всичко работи на примера на реални проблеми.

Примери за решаване на уравнения

Днес се занимаваме с линейни уравнения и то само с най-простите. Най-общо линейно уравнение означава всяко равенство, което съдържа точно една променлива и то само на първа степен.

Такива конструкции се решават приблизително по същия начин:

1. На първо място, трябва да отворите скобите, ако има такива (както в последния ни пример);
2. След това донесете подобни
3. Накрая изолирайте променливата, т.е. всичко, което е свързано с променливата - термините, в които се съдържа - се прехвърля от едната страна, а всичко, което остава без нея, се прехвърля от другата страна.

След това, като правило, трябва да донесете подобни от всяка страна на полученото равенство и след това остава само да се раздели на коефициента при "x" и ще получим окончателния отговор.

На теория това изглежда хубаво и просто, но на практика дори опитни гимназисти могат да направят обидни грешки в доста прости линейни уравнения. Обикновено се допускат грешки или при отваряне на скоби, или при броене на "плюсове" и "минуси".

Освен това се случва линейното уравнение изобщо да няма решения или така че решението да е цялата числова линия, т.е. произволен брой. Ще анализираме тези тънкости в днешния урок. Но ще започнем, както вече разбрахте, с най-простите задачи.

Схема за решаване на прости линейни уравнения

Като начало нека отново напиша цялата схема за решаване на най-простите линейни уравнения:

1. Разгънете скобите, ако има такива.
2. Отделете променливите, т.е. всичко, което съдържа "х" се прехвърля на едната страна, а без "х" - на другата.
3. Представяме подобни условия.
4. Разделяме всичко на коефициента при "х".

Разбира се, тази схема не винаги работи, има някои тънкости и трикове и сега ще се запознаем с тях.

Решаване на реални примери на прости линейни уравнения

Задача №1

В първата стъпка се изисква да отворим скобите. Но те не са в този пример, така че пропускаме тази стъпка. Във втората стъпка трябва да изолираме променливите. Моля, обърнете внимание: говорим само за индивидуални условия. нека напишем:

Даваме подобни термини отляво и отдясно, но това вече е направено тук. Затова преминаваме към четвъртата стъпка: разделяне на коефициент:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Тук получихме отговора.

Задача №2

В тази задача можем да наблюдаваме скобите, така че нека ги разширим:

И отляво, и отдясно виждаме приблизително една и съща конструкция, но нека действаме според алгоритъма, т.е. секвестр променливи:

Ето някои като:

В какви корени работи това? Отговор: за всякакви. Следователно можем да напишем, че $x$ е произволно число.

Задача №3

Третото линейно уравнение вече е по-интересно:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Тук има няколко скоби, но те не се умножават по нищо, а просто имат различни знаци пред тях. Нека ги разделим:

Извършваме втората стъпка, която вече ни е известна:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Нека изчислим:

Извършваме последната стъпка - разделяме всичко на коефициента при "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Неща, които трябва да запомните, когато решавате линейни уравнения

Ако пренебрегнем твърде простите задачи, бих искал да кажа следното:

• Както казах по-горе, не всяко линейно уравнение има решение - понякога просто няма корени;
• Дори да има корени, между тях може да влезе нула - в това няма нищо лошо.

Нулата е същото число като останалите, не трябва по някакъв начин да го дискриминирате или да предполагате, че ако получите нула, значи сте направили нещо нередно.

Друга особеност е свързана с разширяването на скобите. Моля, обърнете внимание: когато има „минус“ пред тях, ние го премахваме, но в скоби променяме знаците на противоположност. И тогава можем да го отворим според стандартните алгоритми: ще получим това, което видяхме в изчисленията по-горе.

Разбирането на този прост факт ще ви помогне да избегнете глупави и болезнени грешки в гимназията, когато извършването на подобни действия се приема за даденост.

Решаване на сложни линейни уравнения

Нека да преминем към по-сложни уравнения. Сега конструкциите ще станат по-сложни и ще се появи квадратична функция при извършване на различни трансформации. Но не трябва да се страхувате от това, защото ако, според намерението на автора, решим линейно уравнение, тогава в процеса на трансформация всички мономи, съдържащи квадратична функция, задължително ще бъдат намалени.

Пример #1

Очевидно първата стъпка е отварянето на скобите. Нека направим това много внимателно:

Сега да вземем поверителността:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Ето някои като:

Очевидно това уравнение няма решения, така че в отговора пишем следното:

\[\сорт \]

или без корени.

Пример #2

Изпълняваме същите стъпки. Първа стъпка:

Нека преместим всичко с променлива наляво, а без нея - надясно:

Ето някои като:

Очевидно това линейно уравнение няма решение, така че го записваме така:

\[\varnothing\],

или без корени.

Нюанси на решението

И двете уравнения са напълно решени. На примера на тези два израза отново се уверихме, че дори в най-простите линейни уравнения всичко може да не е толкова просто: може да има или едно, или нито едно, или безкрайно много. В нашия случай разгледахме две уравнения, и в двете просто няма корени.

Но бих искал да обърна внимание на друг факт: как да работите със скоби и как да ги разширите, ако пред тях има знак минус. Помислете за този израз:

Преди да отворите, трябва да умножите всичко по "x". Моля, обърнете внимание: умножете всеки отделен термин. Вътре има два термина - съответно два термина и се умножава.

И едва след като тези на пръв поглед елементарни, но много важни и опасни трансформации са завършени, може да се отвори скобата от гледна точка на това, че след нея има знак минус. Да, да: едва сега, когато трансформациите са направени, ние си спомняме, че има знак минус пред скобите, което означава, че всичко отдолу просто променя знаците. В същото време самите скоби изчезват и, най-важното, предният „минус“ също изчезва.

Правим същото с второто уравнение:

Неслучайно обръщам внимание на тези дребни, на пръв поглед незначителни факти. Защото решаването на уравнения винаги е последователност от елементарни трансформации, където невъзможността за ясно и компетентно извършване на прости действия води до факта, че учениците от гимназията идват при мен и се учат да решават такива прости уравнения отново.

Разбира се, ще дойде ден, когато ще усъвършенствате тези умения до автоматизм. Вече не е нужно да извършвате толкова много трансформации всеки път, ще пишете всичко на един ред. Но докато просто учите, трябва да напишете всяко действие отделно.

Решаване на още по-сложни линейни уравнения

Това, което ще решим сега, трудно може да се нарече най-простата задача, но смисълът остава същият.

Задача №1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Нека умножим всички елементи от първата част:

Да направим отстъпление:

Ето някои като:

Нека направим последната стъпка:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Ето нашия окончателен отговор. И въпреки факта, че в процеса на решаване имахме коефициенти с квадратична функция, обаче, те взаимно се компенсират, което прави уравнението точно линейно, а не квадратно.

Задача №2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Нека направим първата стъпка внимателно: умножете всеки елемент в първата скоба по всеки елемент във втората. Общо четири нови члена трябва да бъдат получени след трансформации:

А сега внимателно изпълнете умножението във всеки член:

Нека преместим членовете с "x" наляво, а без - надясно:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Ето подобни термини:

Получихме категоричен отговор.

Нюанси на решението

Най-важната забележка за тези две уравнения е следната: щом започнем да умножаваме скобите, в които има член, по-голям от него, тогава това се прави според следващото правило: вземаме първия член от първия и умножаваме с всеки елемент от втория; след това вземаме втория елемент от първия и по подобен начин умножаваме с всеки елемент от втория. В резултат на това получаваме четири термина.

На алгебричната сума

В последния пример бих искал да напомня на учениците какво е алгебрична сума. В класическата математика под $1-7$ имаме предвид прост дизайн: Извадете седем от едно. В алгебрата под това разбираме следното: към числото „едно“ добавяме друго число, а именно „минус седем“. Тази алгебрична сума се различава от обичайната аритметична сума.

Веднага щом при извършване на всички трансформации, всяко добавяне и умножение започнете да виждате конструкции, подобни на описаните по-горе, просто няма да имате проблеми в алгебрата, когато работите с полиноми и уравнения.

В заключение, нека да разгледаме още няколко примера, които ще бъдат още по-сложни от тези, които току-що разгледахме, и за да ги решим, ще трябва леко да разширим нашия стандартен алгоритъм.

Решаване на уравнения с дроб

За решаването на такива задачи ще трябва да добавим още една стъпка към нашия алгоритъм. Но първо ще напомня нашия алгоритъм:

1. отворени скоби.
2. Отделни променливи.
3. Донесете подобни.
4. Разделете на коефициент.

Уви, този прекрасен алгоритъм, въпреки цялата му ефективност, не е напълно подходящ, когато имаме дроби пред нас. И в това, което ще видим по-долу, имаме дроб отляво и отдясно и в двете уравнения.

Как да работим в този случай? Да, много е просто! За да направите това, трябва да добавите още една стъпка към алгоритъма, която може да се извърши както преди първото действие, така и след него, а именно да се отървете от дроби. Така алгоритъмът ще бъде както следва:

1. Отървете се от дробите.
2. отворени скоби.
3. Отделни променливи.
4. Донесете подобни.
5. Разделете на коефициент.

Какво означава „да се отървем от дробите“? И защо е възможно това да се прави както след, така и преди първата стандартна стъпка? Всъщност в нашия случай всички дроби са числови по отношение на знаменателя, т.е. навсякъде знаменателят е просто число. Следователно, ако умножим и двете части на уравнението по това число, тогава ще се отървем от дроби.

Пример #1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Нека се отървем от дробите в това уравнение:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot четири\]

Моля, обърнете внимание: всичко се умножава по „четири“ веднъж, т.е. това, че имате две скоби, не означава, че трябва да умножите всяка от тях по "четири". нека напишем:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Сега нека го отворим:

Извършваме изолиране на променлива:

Ние извършваме намаляване на подобни условия:

\[-4x=-1\наляво| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Получихме окончателното решение, преминаваме към второто уравнение.

Пример #2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Тук извършваме всички същите действия:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Проблема решен.

Това всъщност е всичко, което исках да кажа днес.

Ключови точки

Основните констатации са следните:

• Познаване на алгоритъма за решаване на линейни уравнения.
• Възможност за отваряне на скоби.
• Не се притеснявайте, ако някъде имате квадратични функции, най-вероятно в процеса на по-нататъшни трансформации те ще бъдат намалени.
• Корените в линейните уравнения, дори и най-простите, са три вида: един единствен корен, цялата числова линия е корен, корени изобщо няма.

Надявам се, че този урок ще ви помогне да овладеете проста, но много важна тема за по-нататъшно разбиране на цялата математика. Ако нещо не е ясно, отидете на сайта, решете представените там примери. Очаквайте още много интересни неща!