Поредица от прости числа започва с. Формули за прости числа

прости числапредставляват един от най-интересните математически феномени, който привлича вниманието на учени и обикновени граждани повече от две хилядолетия. Въпреки факта, че сега живеем в ерата на компютрите и най-модерните информационни програми, много мистерии на простите числа все още не са разгадани, има дори такива, до които учените не знаят как да подходят.

Прости числа са, както е известно от курса на елементарната аритметика, тези, които се делят без остатък само на единица и себе си. Между другото, ако едно естествено число се дели, освен изброените по-горе, на друго число, тогава то се нарича съставно. Една от най-известните теореми гласи, че всяко съставно число може да бъде представено като единственото възможно произведение на прости числа.

Малко интересни факти. Първо, единицата е уникална в смисъл, че всъщност не принадлежи към прости или съставни числа. В същото време в научната общност все още е обичайно да се приписва на първата група, тъй като формално тя напълно отговаря на нейните изисквания.

Второ, единственото четно число, което се е промъкнало в групата на „простите числа“, е, разбира се, две. Всяко друго четно число просто не може да стигне до тук, тъй като по дефиниция, освен себе си и единица, то се дели и на две.

Простите числа, чийто списък, както беше споменато по-горе, може да започне с единица, са безкрайна поредица, толкова безкрайна, колкото поредицата от естествени числа. Въз основа на основната теорема на аритметиката може да се стигне до извода, че простите числа никога не се прекъсват и никога не свършват, тъй като в противен случай редицата от естествени числа неизбежно би била прекъсната.

Простите числа не се появяват произволно в естествената серия, както може да изглежда на пръв поглед. След като ги анализирате внимателно, веднага можете да забележите няколко особености, най-любопитните от които са свързани с т. нар. числа „близнаци“. Наричат ​​се така, защото по някакъв непонятен начин са се озовали един до друг, разделени само с четен разделител (пет и седем, седемнадесет и деветнадесет).

Ако ги разгледате внимателно, ще забележите, че сборът на тези числа винаги е кратен на три. Освен това при разделяне на тройка на левия другар остатъкът винаги остава две, а десният - едно. В допълнение, самото разпределение на тези числа по естествената серия може да бъде предвидено, ако цялата тази серия се представи под формата на колебателни синусоиди, чиито основни точки се формират, когато числата се разделят на три и две.

Простите числа са не само обект на внимателно наблюдение от математиците по целия свят, но отдавна успешно се използват при съставянето на различни серии от числа, което е основата, включително за шифрографията. В същото време трябва да се признае, че огромен брой мистерии, свързани с тези прекрасни елементи, все още чакат да бъдат решени, много въпроси имат не само философско, но и практическо значение.

• Превод

Свойствата на простите числа за първи път са изследвани от математиците Древна Гърция. Математиците от питагорейската школа (500 - 300 г. пр.н.е.) се интересуват предимно от мистичните и нумерологични свойства на простите числа. Те бяха първите, които излязоха с идеи за перфектни и приятелски числа.

Съвършеното число има свои собствени делители, равни на себе си. Например правилните делители на числото 6 са: 1, 2 и 3. 1 + 2 + 3 = 6. Делителите на числото 28 са 1, 2, 4, 7 и 14. Освен това 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Числата се наричат ​​приятелски, ако сумата от правилните делители на едно число е равна на друго и обратно - например 220 и 284. Можем да кажем, че перфектното число е приятелско на себе си.

Към момента на появата на работата на Евклид "Начала" през 300 г. пр.н.е. Вече са доказани няколко важни факта за простите числа. В книга IX на Елементите Евклид доказва, че има безкраен брой прости числа. Между другото, това е един от първите примери за използване на доказателство от противно. Той също така доказва основната теорема на аритметиката - всяко цяло число може да бъде представено по уникален начин като произведение на прости числа.

Той също така показа, че ако числото 2 n -1 е просто, тогава числото 2 n-1 * (2 n -1) ще бъде перфектно. Друг математик, Ойлер, през 1747 г. успява да покаже, че всички четни съвършени числа могат да бъдат записани в тази форма. До ден днешен не е известно дали съществуват нечетни перфектни числа.

През 200 г. пр.н.е. Гъркът Ератостен измисли алгоритъм за намиране на прости числа, наречен Ситото на Ератостен.

И тогава имаше голяма пауза в историята на изучаването на простите числа, свързана със Средновековието.

Следните открития са направени още в началото на 17 век от математика Ферма. Той доказа хипотезата на Албер Жирар, че всяко просто число от формата 4n+1 може да бъде записано уникално като сбор от два квадрата, а също така формулира теорема, че всяко число може да бъде представено като сбор от четири квадрата.

Той се разви нов методфакторизиране на големи числа и го демонстрира върху числото 2027651281 = 44021 × 46061. Той също така доказва малката теорема на Ферма: ако p е просто число, тогава a p = a по модул p ще бъде вярно за всяко цяло число a.

Това твърдение доказва половината от това, което беше известно като „китайската хипотеза“ и датира отпреди 2000 години: цяло число n е просто тогава и само ако 2n-2 се дели на n. Втората част от хипотезата се оказа невярна - например 2341 - 2 се дели на 341, въпреки че числото 341 е съставно: 341 = 31 × 11.

Малката теорема на Ферма беше основата за много други резултати в теорията на числата и методи за тестване дали числата са прости, много от които все още се използват днес.

Ферма кореспондира широко със своите съвременници, особено с монах на име Марин Мерсен. В едно от писмата си той предположи, че числата от формата 2 n + 1 винаги ще бъдат прости, ако n е степен на две. Той тества това за n = 1, 2, 4, 8 и 16 и беше сигурен, че когато n не е степен на две, числото не е непременно просто. Тези числа се наричат ​​числа на Ферма и едва 100 години по-късно Ойлер показа, че следващото число, 232 + 1 = 4294967297, се дели на 641 и следователно не е просто.

Числата от формата 2 n - 1 също са били обект на изследване, тъй като е лесно да се покаже, че ако n е съставно, тогава самото число също е съставно. Тези числа се наричат ​​числа на Мерсен, защото той активно ги изучава.

Но не всички числа от формата 2 n - 1, където n е просто, са прости. Например 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Това е открито за първи път през 1536 г.

В продължение на много години числата от този вид даваха на математиците най-големите известни прости числа. Че числото M 19 е доказано от Каталди през 1588 г. и в продължение на 200 години е най-голямото известно просто число, докато Ойлер не доказва, че M 31 също е просто число. Този рекорд се задържа още сто години, а след това Лукас показа, че M 127 е просто число (и това вече е число от 39 цифри), а след това изследванията продължиха с появата на компютрите.

През 1952 г. е доказана простотата на числата M 521 , M 607 , M 1279 , M 2203 и M 2281.

До 2005 г. бяха открити 42 прости числа на Мерсен. Най-големият от тях, M 25964951, се състои от 7816230 цифри.

Работата на Ойлер има огромно влияние върху теорията на числата, включително простите числа. Той разшири малката теорема на Ферма и въведе φ-функцията. Факторизира 5-то число на Ферма 2 32 +1, намери 60 двойки приятелски числа и формулира (но не успя да докаже) квадратичния закон за реципрочност.

Той е първият, който въвежда методите на математическия анализ и развива аналитичната теория на числата. Той доказа, че не само хармоничната серия ∑ (1/n), но и серия от формата

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Получава се чрез сумата от количества, обратни на простите числа, също се разминава. Сумата от n члена на хармоничната серия нараства приблизително като log(n), докато втората серия се отклонява по-бавно, като log[ log(n)]. Това означава, че например сумата от реципрочните стойности на всички прости числа, намерени до момента, ще даде само 4, въпреки че серията все още се разминава.

На пръв поглед изглежда, че простите числа са разпределени между цели числа доста произволно. Например сред 100-те числа непосредствено преди 10000000 има 9 прости числа, а сред 100-те числа непосредствено след тази стойност има само 2. Но на големи сегменти простите числа са разпределени сравнително равномерно. Лежандр и Гаус се занимават с тяхното разпространение. Гаус веднъж казал на приятел, че във всеки свободни 15 минути той винаги брои броя на простите числа в следващите 1000 числа. До края на живота си той е преброил всички прости числа до 3 милиона. Legendre и Gauss също така изчисляват, че за голямо n плътността на простите числа е 1/log(n). Лежандр оценява броя на простите числа между 1 и n като

π(n) = n/(log(n) - 1,08366)

А Гаус - като логаритмичен интеграл

π(n) = / 1/log(t) dt

С интервал на интегриране от 2 до n.

Твърдението за плътността на простите числа 1/log(n) е известно като теорема за простите числа. Те се опитват да го докажат през целия 19 век и Чебишев и Риман постигат напредък. Те го свързват с хипотезата на Риман, недоказана досега хипотеза за разпределението на нулите на дзета функцията на Риман. Плътността на простите числа е доказана едновременно от Адамар и де ла Вале-Пусен през 1896 г.

В теорията на простите числа все още има много неразрешени въпроси, някои от които са на много стотици години:

• хипотеза за прости числа близнаци - за безкраен брой двойки прости числа, които се различават едно от друго с 2
• Хипотезата на Голдбах: всяко четно число, започващо от 4, може да бъде представено като сбор от две прости числа
• Има ли безкраен брой прости числа от формата n 2 + 1?
• винаги ли е възможно да се намери просто число между n 2 и (n + 1) 2? (фактът, че винаги има просто число между n и 2n е доказан от Чебишев)
• Има ли безкраен брой прости числа на Ферма? има ли прости числа на Ферма след 4-то?
• съществува ли аритметична прогресияот последователни прости числа за всяка дадена дължина? например за дължина 4: 251, 257, 263, 269. Максималната намерена дължина е 26 .
• Има ли безкраен брой набори от три последователни прости числа в една аритметична прогресия?
• n 2 - n + 41 е просто число за 0 ≤ n ≤ 40. Има ли безкраен брой такива прости числа? Същият въпрос за формулата n 2 - 79 n + 1601. Тези числа са прости за 0 ≤ n ≤ 79.
• Има ли безкраен брой прости числа от формата n# + 1? (n# е резултат от умножаване на всички прости числа, по-малки от n)
• Има ли безкраен брой прости числа от формата n# -1?
• Има ли безкраен брой прости числа от вида n! +1?
• Има ли безкраен брой прости числа от вида n! - един?
• ако p е просто число, дали 2 p -1 не включва винаги сред множителите на простите числа на квадрат
• Редицата на Фибоначи съдържа ли безкраен брой прости числа?

Най-големите двойни прости числа са 2003663613 × 2 195000 ± 1. Те ​​се състоят от 58711 цифри и са открити през 2007 г.

Най-голямото факторно просто число (от формата n! ± 1) е 147855! - 1. Състои се от 142891 цифри и е открит през 2002 г.

Най-голямото първично просто число (число във формата n# ± 1) е 1098133# + 1.

Тагове: Добавете тагове

Списък на делителите.По дефиниция броят не просто само ако не се дели равномерно на 2 и на други цели числа, различни от 1 и себе си. Горната формула премахва ненужните стъпки и спестява време: например след проверка дали дадено число се дели на 3, няма нужда да проверявате дали се дели на 9.

• Функцията floor(x) закръгля x до най-близкото цяло число, по-малко или равно на x.

Научете за модулната аритметика.Операцията "x mod y" (mod е съкращение от латинска дума„modulo“, тоест „модул“) означава „разделяне на x на y и намиране на остатъка“. С други думи, в модулната аритметика, при достигане на определена стойност, която се нарича модул, числата се "обръщат" обратно към нула. Например, часовникът измерва времето по модул 12: показва 10, 11 и 12 часа и след това се връща на 1.

• Много калкулатори имат моден ключ. Краят на този раздел показва как ръчно да изчислите тази функция за големи числа.

просто числое естествено (цяло положително) число, което се дели без остатък само на две естествени числа: на и на себе си. С други думи, едно просто число има точно два естествени делителя: и самото число.

По дефиниция множеството от всички делители на едно просто число е двуелементно, т.е. е набор.

Множеството от всички прости числа се обозначава със символа . Така, по силата на дефиницията на множеството прости числа, можем да напишем: .

Последователността от прости числа изглежда така:

Основна теорема на аритметиката

Основна теорема на аритметикататвърди, че всяко естествено число, по-голямо от едно, може да бъде представено като произведение на прости числа и по уникален начин до реда на факторите. Така че простите числа са елементарни" изграждащи блокове» набори от естествени числа.

Разлагане на естествено число title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> в произведение простых чисел называют !} каноничен:

където е просто число и . Например, каноничното разширение на естествено число изглежда така: .

Представянето на естествено число като произведение на прости числа се нарича още разлагане на числа.

Свойства на простите числа

Ситото на Ератостен

Един от най-известните алгоритми за търсене и разпознаване на прости числа е сито на Ератостен. Така че този алгоритъм е кръстен на гръцкия математик Ератостен от Кирена, който се смята за автор на алгоритъма.

За да намерите всички прости числа, по-малки от дадено число, следвайки метода на Ератостен, трябва да изпълните следните стъпки:

Етап 1.Изпишете подред всички естествени числа от две до , т.е. .
Стъпка 2Присвояване на стойност на променлива, тоест стойност, равна на най-малкото просто число.
Стъпка 3Изтрийте в списъка всички числа от до кратни на , тоест числа: .
Стъпка 4Намерете първото незачертано число в списъка, по-голямо от и присвоете стойността на това число на променливата.
Стъпка 5Повторете стъпки 3 и 4, докато достигнете броя.

Процесът на прилагане на алгоритъма ще изглежда така:

Всички останали незачертани числа в списъка в края на процеса на прилагане на алгоритъма ще бъдат набор от прости числа от до .

Хипотезата на Голдбах

Корица на книгата "Чичо Петрос и предположението на Голдбах"

Въпреки факта, че простите числа са били изучавани от математиците от дълго време, днес много свързани проблеми остават нерешени. Един от най-известните нерешени проблеми е Хипотезата на Голдбах, който се формулира по следния начин:

• Вярно ли е, че всяко четно число, по-голямо от две, може да бъде представено като сбор от две прости числа (бинарна хипотеза на Голдбах)?
• Вярно ли е, че всяко нечетно число, по-голямо от 5, може да се представи като сбор три простичисла (троична хипотеза на Голдбах)?

Трябва да се каже, че тройната хипотеза на Голдбах е специален случай на двоичната хипотеза на Голдбах или, както казват математиците, троичната хипотеза на Голдбах е по-слаба от бинарната хипотеза на Голдбах.

Хипотезата на Голдбах стана широко известна извън математическата общност през 2000 г. благодарение на рекламен маркетингов трик от издателските компании Bloomsbury USA (САЩ) и Faber and Faber (UK). Тези издателства, след като пуснаха книгата „Чичо Петрос и предположението на Голдбах“, обещаха да платят награда от 1 милион щатски долара в рамките на 2 години от датата на публикуване на книгата на този, който докаже предположението на Голдбах. Понякога споменатата награда от издателите се бърка с наградите за решаване на проблемите с наградата на хилядолетието. Не се заблуждавайте, Хипотезата на Голдбах не е посочена като предизвикателство на хилядолетието от Clay Institute, въпреки че е тясно свързана с хипотезата на Риманедно от предизвикателствата на хилядолетието.

Книгата „Прости числа. Дълъг път към безкрая

Корица на книгата „Светът на математиката. Прости числа. Дълъг път към безкрая

Освен това препоръчвам да прочетете завладяваща научно-популярна книга, в анотацията към която се казва: „Търсенето на прости числа е един от най-парадоксалните проблеми в математиката. Учените се опитват да го разрешат от няколко хилядолетия, но, придобивайки нови версии и хипотези, тази мистерия все още остава неразгадана. Появата на простите числа не подлежи на никаква система: те възникват спонтанно в поредица от естествени числа, игнорирайки всички опити на математиците да идентифицират модели в тяхната последователност. Тази книга ще позволи на читателя да проследи еволюцията на научните идеи от древни времена до наши дни и ще представи най-любопитните теории за търсенето на прости числа.

Освен това ще цитирам началото на втора глава на тази книга: „Простите числа са едно от важни теми, които ни връщат към самото начало на математиката и след това, по пътя на нарастваща сложност, ни водят до най-новото съвременна наука. По този начин би било много полезно да се проследи увлекателното и сложна историятеорията на простите числа: как точно се е развила, как точно са събрани фактите и истините, които сега се считат за общоприети. В тази глава ще видим как поколения математици внимателно са изучавали естествените числа в търсене на правило, което предсказва появата на прости числа, правило, което в хода на търсенето става все по-неуловимо. Също така ще разгледаме по-отблизо историческия контекст: в какви условия са работили математиците и до каква степен работата им включва мистични и полурелигиозни практики, които изобщо не приличат на научни методиизползвани днес. Въпреки това бавно и трудно почвата беше подготвена за новите възгледи, вдъхновили Ферма и Ойлер през 17-ти и 18-ти век.

Статията разглежда понятията прости и съставни числа. Дадени са дефиниции на такива числа с примери. Даваме доказателство, че броят на простите числа е неограничен и правим запис в таблицата на простите числа, използвайки метода на Ератостен. Ще бъдат дадени доказателства за това дали едно число е просто или съставно.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Прости и съставни числа – дефиниции и примери

Простите и съставните числа се класифицират като положителни цели числа. Те трябва да са по-големи от едно. Делителите също се делят на прости и съставни. За да разберете концепцията за съставни числа, е необходимо първо да изучите концепциите за делители и кратни.

Определение 1

Простите числа са цели числа, които са по-големи от едно и имат два положителни делителя, тоест себе си и 1.

Определение 2

Съставните числа са цели числа, които са по-големи от едно и имат поне три положителни делителя.

Устройството не е нито основно, нито съставно число. То има само един положителен делител, така че е различно от всички други положителни числа. Всички положителни числа се наричат ​​естествени, т.е. използвани при броене.

Определение 3

прости числаса естествени числа, които имат само два положителни делителя.

Определение 4

Съставно числое естествено число, което има повече от два положителни делителя.

Всяко число, по-голямо от 1, е или просто, или съставно. От свойството на делимост имаме, че 1 и числото a винаги ще бъдат делители на всяко число a, тоест то ще се дели на себе си и на 1. Даваме дефиницията на целите числа.

Определение 5

Естествените числа, които не са прости, се наричат ​​съставни числа.

Прости числа: 2, 3, 11, 17, 131, 523. Те се делят само на себе си и на 1. Съставни числа: 6, 63, 121, 6697. Тоест числото 6 може да се разложи на 2 и 3, а 63 на 1, 3, 7, 9, 21, 63 и 121 на 11, 11, тоест неговите делители ще бъдат 1, 11, 121. Числото 6697 ще се разложи на 37 и 181. Обърнете внимание, че понятията прости числа и относително прости числа са различни понятия.

За да улесните използването на прости числа, трябва да използвате таблица:

Таблица за всички съществуващи естествени числа е нереалистична, тъй като има безкраен брой от тях. Когато числата достигнат размери от 10000 или 1000000000, тогава трябва да помислите за използването на ситото на Ератостен.

Помислете за теорема, която обяснява последното твърдение.

Теорема 1

Най-малкият положителен делител на естествено число, различно от 1, по-голямо от едно, е просто число.

доказателство 1

Да приемем, че a е естествено число, по-голямо от 1, b е най-малкият неединичен делител на a. Трябва да докажем, че b е просто число, използвайки метода на противоречието.

Да кажем, че b е съставно число. От тук имаме, че има делител за b, който е различен както от 1, така и от b. Такъв делител се означава като b 1 . Необходимо е условие 1< b 1 < b е завършен.

От условието се вижда, че a се дели на b, b се дели на b 1, което означава, че понятието делимост се изразява по следния начин: a = b qи b = b 1 q 1 , откъдето a = b 1 (q 1 q) , където q и р 1са цели числа. Съгласно правилото за умножение на цели числа имаме, че произведението на цели числа е цяло число с равенство от вида a = b 1 · (q 1 · q) . Вижда се, че b 1 е делител на a. Неравенство 1< b 1 < b несъвпада, защото получаваме, че b е най-малкият положителен не-1 делител на a.

Теорема 2

Има безкрайно много прости числа.

Доказателство 2

Да предположим, че вземем краен брой естествени числа n и означим като p 1 , p 2 , … , p n . Нека разгледаме вариант за намиране на просто число, различно от посочените.

Да разгледаме числото p, което е равно на p 1 , p 2 , … , p n + 1 . То не е равно на всяко от числата, съответстващи на прости числа от вида p 1 , p 2 , … , p n . Числото p е просто. Тогава теоремата се счита за доказана. Ако е съставен, тогава трябва да вземем нотацията p n + 1 и показват несъответствие на делителя с който и да е от p 1 , p 2 , … , p n .

Ако това не беше така, тогава въз основа на свойството за делимост на продукта p 1 , p 2 , … , p n , получаваме, че ще се дели на p n + 1 . Обърнете внимание, че изразът p n + 1 числото p се дели на сумата p 1 , p 2 , … , p n + 1 . Получаваме, че изразът p n + 1 вторият член на тази сума, който е равен на 1, трябва да се раздели, но това е невъзможно.

Може да се види, че всяко просто число може да бъде намерено сред произволен брой дадени прости числа. От това следва, че има безкрайно много прости числа.

Тъй като има много прости числа, таблиците са ограничени до числа 100, 1000, 10 000 и т.н.

Когато съставяте таблица с прости числа, трябва да вземете предвид факта, че такава задача изисква последователна проверка на числа, като се започне от 2 до 100. Ако няма делител, той се записва в таблицата, ако е съставен, тогава не се вписва в таблицата.

Нека разгледаме стъпка по стъпка.

Ако започнете с числото 2, то има само 2 делителя: 2 и 1, което означава, че може да бъде въведено в таблицата. Също и с числото 3 . Числото 4 е съставно, трябва да се разложи на 2 и 2. Числото 5 е просто, което означава, че може да бъде фиксирано в таблицата. Направете това до числото 100.

Този метод е неудобен и отнема време. Можете да направите маса, но трябва да похарчите голям бройвреме. Необходимо е да се използват критерии за делимост, което ще ускори процеса на намиране на делители.

Методът с помощта на ситото на Ератостен се счита за най-удобен. Нека да разгледаме таблиците по-долу. Като начало се изписват числата 2, 3, 4, ..., 50.

Сега трябва да задраскате всички числа, кратни на 2. Направете последователно зачертаване. Получаваме таблица от вида:

Нека да преминем към задраскване на числа, кратни на 5. Получаваме:

Задраскваме числата, кратни на 7, 11. Най-накрая масата изглежда така

Нека преминем към формулировката на теоремата.

Теорема 3

Най-малкият положителен и различен от 1 делител на основното число a не превишава a , където a е аритметичният корен на даденото число.

Доказателство 3

Необходимо е да се посочи b най-малък делителсъставно число а. Има цяло число q, където a = b · q и имаме, че b ≤ q. Неравенство на формата b > qзащото условието е нарушено. Двете страни на неравенството b ≤ q трябва да се умножат по всяко положително число b, което не е равно на 1. Получаваме, че b b ≤ b q , където b 2 ≤ a и b ≤ a .

От доказаната теорема се вижда, че изтриването на числата в таблицата води до факта, че е необходимо да се започне с число, което е равно на b 2 и удовлетворява неравенството b 2 ≤ a . Тоест, ако задраскате числа, които са кратни на 2, тогава процесът започва от 4, а тези, които са кратни на 3, започват от 9 и така нататък до 100.

Съставянето на такава таблица с помощта на теоремата на Ератостен гласи, че когато всички съставни числа бъдат задраскани, ще останат прости, които не надвишават n. В примера, където n = 50, имаме, че n = 50. От тук получаваме, че ситото на Ератостен отсява всички съставни числа, които не са по-големи от стойността на корен от 50. Търсенето на номера става чрез задраскване.

Преди решаването е необходимо да се установи дали числото е просто или съставно. Често се използват критерии за делимост. Нека разгледаме това в примера по-долу.

Пример 1

Докажете, че 898989898989898989 е съставно число.

Решение

Сборът от цифрите на даденото число е 9 8 + 9 9 = 9 17 . Така че числото 9 17 се дели на 9 въз основа на знака за делимост на 9. От това следва, че тя е съставна.

Такива знаци не са в състояние да докажат простотата на числото. Ако е необходима проверка, трябва да се предприемат други стъпки. Най-подходящият начин е да изброите числа. По време на процеса могат да бъдат намерени прости и съставни числа. Тоест числата в стойност не трябва да надвишават a . Тоест числото a трябва да се разложи на прости множители. ако това е вярно, тогава числото a може да се счита за просто.

Пример 2

Определете съставното или просто число 11723.

Решение

Сега трябва да намерите всички делители на числото 11723. Трябва да се оцени 11723.

От тук виждаме, че 11723< 200 , то 200 2 = 40 000 и 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200 .

За още точна оценкачисла 11723, трябва да напишете израза 108 2 \u003d 11 664 и 109 2 = 11 881 , тогава 108 2 < 11 723 < 109 2 . От това следва, че 11723г< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

При разлагането получаваме, че 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83, 89, 97, 101, 103, 107 са прости числа. Цял този процесможе да се представи като деление с колона. Тоест, разделете 11723 на 19. Числото 19 е един от неговите множители, тъй като получаваме деление без остатък. Нека изобразим разделянето с колона:

От това следва, че 11723 е съставно число, защото освен себе си и 1 има делител 19 .

Отговор: 11723 е съставно число.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter