अभाज्य संख्याओं की एक श्रृंखला के साथ शुरू होती है। अभाज्य संख्याओं के लिए सूत्र

अभाज्य सँख्यासबसे दिलचस्प गणितीय घटनाओं में से एक का प्रतिनिधित्व करते हैं जिसने दो सहस्राब्दियों से अधिक समय से वैज्ञानिकों और आम नागरिकों का ध्यान आकर्षित किया है। इस तथ्य के बावजूद कि हम अब कंप्यूटर और सबसे आधुनिक सूचना कार्यक्रमों के युग में रहते हैं, अभाज्य संख्याओं के कई रहस्य अभी तक हल नहीं हुए हैं, यहां तक ​​​​कि ऐसे भी हैं जिन्हें वैज्ञानिक नहीं जानते हैं कि कैसे संपर्क किया जाए।

अभाज्य संख्याएँ, जैसा कि प्रारंभिक अंकगणित के पाठ्यक्रम से जाना जाता है, वे हैं जो केवल एक और स्वयं से शेषफल के बिना विभाज्य हैं। वैसे, यदि कोई प्राकृत संख्या, ऊपर सूचीबद्ध संख्याओं के अतिरिक्त, किसी अन्य संख्या से विभाज्य हो, तो वह संमिश्र कहलाती है। सबसे प्रसिद्ध प्रमेयों में से एक में कहा गया है कि किसी भी समग्र संख्या को अभाज्य संख्याओं के एकमात्र संभावित उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है।

कुछ रोचक तथ्य। सबसे पहले, इकाई इस मायने में अद्वितीय है कि, वास्तव में, यह न तो अभाज्य या मिश्रित संख्याओं से संबंधित है। उसी समय, वैज्ञानिक समुदाय में अभी भी इसे पहले समूह के लिए विशेषता देने का रिवाज है, क्योंकि औपचारिक रूप से यह अपनी आवश्यकताओं को पूरी तरह से पूरा करता है।

दूसरे, एकमात्र सम संख्या जो "अभाज्य संख्या" समूह में प्रवेश कर गई है, निश्चित रूप से, दो है। कोई अन्य सम संख्या यहाँ नहीं मिल सकती है, क्योंकि परिभाषा के अनुसार, स्वयं और एक के अलावा, यह भी दो से विभाज्य है।

अभाज्य संख्याएँ, जिनकी सूची, जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, एक से शुरू हो सकती हैं, एक अनंत श्रृंखला हैं, प्राकृतिक संख्याओं की श्रृंखला के रूप में अनंत हैं। अंकगणित के मौलिक प्रमेय के आधार पर, कोई भी इस निष्कर्ष पर आ सकता है कि अभाज्य संख्याएँ कभी भी बाधित नहीं होती हैं और न ही कभी समाप्त होती हैं, अन्यथा प्राकृतिक संख्याओं की श्रृंखला अनिवार्य रूप से बाधित हो जाएगी।

अभाज्य संख्याएँ प्राकृतिक श्रृंखला में यादृच्छिक रूप से प्रकट नहीं होती हैं, क्योंकि यह पहली नज़र में लग सकती हैं। उनका सावधानीपूर्वक विश्लेषण करने के बाद, आप तुरंत कई विशेषताओं को नोटिस कर सकते हैं, जिनमें से सबसे उत्सुक तथाकथित "जुड़वां" संख्याओं से जुड़े हैं। उन्हें ऐसा इसलिए कहा जाता है क्योंकि किसी न किसी तरह से वे एक दूसरे के बगल में समाप्त हो गए, केवल एक समान सीमांकक (पांच और सात, सत्रह और उन्नीस) से अलग हो गए।

यदि आप उन्हें ध्यान से देखें, तो आप देखेंगे कि इन संख्याओं का योग सदैव तीन का गुणज होता है। इसके अलावा, बाएं साथी के एक तिहाई से विभाजित होने पर, शेष हमेशा दो रहता है, और दायां एक - एक रहता है। इसके अलावा, प्राकृतिक श्रृंखला के साथ इन संख्याओं के वितरण की भविष्यवाणी की जा सकती है यदि यह पूरी श्रृंखला ऑसिलेटरी साइनसॉइड के रूप में प्रस्तुत की जाती है, जिनमें से मुख्य बिंदु तब बनते हैं जब संख्याओं को तीन और दो से विभाजित किया जाता है।

अभाज्य संख्याएं न केवल दुनिया भर के गणितज्ञों द्वारा बारीकी से जांच की वस्तु हैं, बल्कि लंबे समय से संख्याओं की विभिन्न श्रृंखलाओं को संकलित करने में सफलतापूर्वक उपयोग की जाती हैं, जो कि आधार है, जिसमें सिफरोग्राफी भी शामिल है। साथ ही, यह माना जाना चाहिए कि इन अद्भुत तत्वों से जुड़े बड़ी संख्या में रहस्य अभी भी हल होने की प्रतीक्षा कर रहे हैं, कई प्रश्न न केवल दार्शनिक हैं, बल्कि व्यावहारिक महत्व भी हैं।

• अनुवाद

अभाज्य संख्याओं के गुणों का अध्ययन सबसे पहले गणितज्ञों ने किया था प्राचीन ग्रीस. पाइथागोरस स्कूल (500 - 300 ईसा पूर्व) के गणितज्ञ मुख्य रूप से अभाज्य संख्याओं के रहस्यमय और संख्यात्मक गुणों में रुचि रखते थे। वे सबसे पहले पूर्ण और मैत्रीपूर्ण संख्याओं के बारे में विचार लेकर आए थे।

एक पूर्ण संख्या के अपने भाजक स्वयं के बराबर होते हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 6 के उचित भाजक हैं: 1, 2 और 3. 1 + 2 + 3 = 6. संख्या 28 के भाजक 1, 2, 4, 7 और 14 हैं। इसके अलावा, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28।

संख्याएँ मित्रवत कहलाती हैं यदि एक संख्या के उचित भाजक का योग दूसरी संख्या के बराबर हो, और इसके विपरीत - उदाहरण के लिए, 220 और 284। हम कह सकते हैं कि एक पूर्ण संख्या स्वयं के अनुकूल होती है।

300 ईसा पूर्व में यूक्लिड के "बिगिनिंग्स" के काम की उपस्थिति के समय तक। अभाज्य संख्याओं के बारे में कई महत्वपूर्ण तथ्य पहले ही सिद्ध हो चुके हैं। तत्वों की पुस्तक IX में, यूक्लिड ने सिद्ध किया कि अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या होती है। वैसे, यह विरोधाभास द्वारा प्रमाण के उपयोग के पहले उदाहरणों में से एक है। उन्होंने अंकगणित के मूल प्रमेय को भी सिद्ध किया - प्रत्येक पूर्णांक को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में एक अद्वितीय तरीके से दर्शाया जा सकता है।

उन्होंने यह भी दिखाया कि यदि संख्या 2 n -1 अभाज्य है, तो संख्या 2 n-1 * (2 n -1) पूर्ण होगी। एक अन्य गणितज्ञ, यूलर, 1747 में यह दिखाने में सक्षम था कि सभी सम पूर्ण संख्याओं को इस रूप में लिखा जा सकता है। आज तक, यह ज्ञात नहीं है कि विषम पूर्ण संख्याएँ मौजूद हैं या नहीं।

वर्ष 200 ई.पू. में ग्रीक एराटोस्थनीज ने अभाज्य संख्याओं को खोजने के लिए एक एल्गोरिथम का आविष्कार किया जिसे इरेटोस्थनीज की छलनी कहा जाता है।

और फिर मध्य युग से जुड़ी अभाज्य संख्याओं के अध्ययन के इतिहास में एक बड़ा विराम आया।

निम्नलिखित खोजें 17वीं शताब्दी की शुरुआत में गणितज्ञ फ़र्मेट द्वारा की गई थीं। उन्होंने अल्बर्ट गिरार्ड के इस अनुमान को साबित कर दिया कि 4n+1 के रूप की किसी भी अभाज्य संख्या को दो वर्गों के योग के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है, और एक प्रमेय भी तैयार किया कि किसी भी संख्या को चार वर्गों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है।

उसने विकसित किया नई विधिबड़ी संख्याओं का गुणनखंडन, और इसे संख्या 2027651281 = 44021 × 46061 पर प्रदर्शित किया। उन्होंने फ़र्मेट की छोटी प्रमेय को भी सिद्ध किया: यदि p एक अभाज्य संख्या है, तो a p = a modulo p किसी भी पूर्णांक a के लिए सही होगा।

यह कथन "चीनी परिकल्पना" के रूप में जाना जाने वाला आधा साबित होता है और 2000 साल पहले की तारीखें: एक पूर्णांक n अभाज्य है यदि और केवल यदि 2n-2 n से विभाज्य है। परिकल्पना का दूसरा भाग गलत निकला - उदाहरण के लिए, 2341 - 2, 341 से विभाज्य है, हालाँकि संख्या 341 संयुक्त है: 341 = 31 × 11।

Fermat's Little Theorem संख्या सिद्धांत और परीक्षण के तरीकों में कई अन्य परिणामों का आधार था कि क्या संख्याएं अभाज्य हैं, जिनमें से कई आज भी उपयोग में हैं।

फ़र्मेट ने अपने समकालीनों के साथ बड़े पैमाने पर पत्राचार किया, विशेष रूप से मारिन मेर्सन नामक एक भिक्षु के साथ। अपने एक पत्र में, उन्होंने अनुमान लगाया कि 2 n + 1 के रूप की संख्या हमेशा अभाज्य होगी यदि n दो की शक्ति है। उन्होंने n = 1, 2, 4, 8, और 16 के लिए इसका परीक्षण किया, और यह सुनिश्चित था कि जब n दो की शक्ति नहीं है, तो संख्या अनिवार्य रूप से अभाज्य नहीं थी। इन नंबरों को फ़र्मेट नंबर कहा जाता है, और 100 साल बाद तक यूलर ने यह नहीं दिखाया कि अगली संख्या, 232 + 1 = 4294967297, 641 से विभाज्य है और इसलिए अभाज्य नहीं है।

प्रपत्र 2 n - 1 की संख्याएँ भी शोध का विषय रही हैं, क्योंकि यह दिखाना आसान है कि यदि n संयुक्त है, तो संख्या स्वयं भी संमिश्र है। इन नंबरों को मेर्सन नंबर कहा जाता है क्योंकि उन्होंने सक्रिय रूप से उनका अध्ययन किया था।

लेकिन 2 n-1 के रूप की सभी संख्याएँ अभाज्य नहीं हैं, जहाँ n अभाज्य है। उदाहरण के लिए, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89। यह पहली बार 1536 में खोजा गया था।

कई सालों तक, इस तरह की संख्याओं ने गणितज्ञों को सबसे बड़ा ज्ञात अभाज्य संख्या दी। यह कि संख्या M 19 को कैटलडी द्वारा 1588 में सिद्ध किया गया था, और 200 वर्षों के लिए सबसे बड़ी ज्ञात अभाज्य संख्या थी, जब तक कि यूलर ने यह साबित नहीं कर दिया कि M 31 भी अभाज्य है। यह रिकॉर्ड एक और सौ वर्षों तक रहा, और फिर लुकास ने दिखाया कि एम 127 प्राइम है (और यह पहले से ही 39 अंकों की संख्या है), और उसके बाद, कंप्यूटर के आगमन के साथ शोध जारी रहा।

1952 में, M 521, M 607, M 1279, M 2203 और M 2281 संख्याओं की प्रधानता साबित हुई।

2005 तक, 42 Mersenne primes पाए गए थे। उनमें से सबसे बड़ा, एम 25964951 , 7816230 अंकों का होता है।

यूलर के काम का अभाज्य संख्याओं सहित संख्या सिद्धांत पर बहुत प्रभाव पड़ा। उन्होंने फ़र्मेट के छोटे प्रमेय का विस्तार किया और -फ़ंक्शन की शुरुआत की। 5वें फ़र्मेट नंबर 2 32 +1 का गुणनखंडन किया, अनुकूल संख्याओं के 60 जोड़े मिले, और पारस्परिकता के द्विघात नियम को तैयार किया (लेकिन साबित करने में विफल)।

उन्होंने सबसे पहले गणितीय विश्लेषण के तरीकों की शुरुआत की और संख्याओं के विश्लेषणात्मक सिद्धांत को विकसित किया। उन्होंने साबित किया कि न केवल हार्मोनिक श्रृंखला ∑ (1/n), बल्कि रूप की एक श्रृंखला भी है

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

अभाज्य संख्याओं के प्रतिलोम राशियों के योग से प्राप्त होने पर भी विचलन होता है। हार्मोनिक श्रृंखला के n पदों का योग लगभग लॉग (n) की तरह बढ़ता है, जबकि दूसरी श्रृंखला अधिक धीरे-धीरे विचलन करती है, जैसे लॉग [लॉग (एन)]। इसका मतलब यह है कि, उदाहरण के लिए, आज तक मिली सभी अभाज्य संख्याओं के व्युत्क्रमों का योग केवल 4 देगा, हालाँकि श्रृंखला अभी भी अलग है।

पहली नज़र में, ऐसा लगता है कि अभाज्य संख्याओं को पूर्णांकों के बीच यादृच्छिक रूप से वितरित किया जाता है। उदाहरण के लिए, 1000000 से ठीक पहले की 100 संख्याओं में से 9 अभाज्य संख्याएँ हैं, और इस मान के ठीक बाद की 100 संख्याओं में से केवल 2 हैं। लेकिन बड़े खंडों पर, अभाज्य संख्याएँ समान रूप से वितरित की जाती हैं। लीजेंड्रे और गॉस ने उनके वितरण से निपटा। गॉस ने एक बार एक दोस्त से कहा था कि किसी भी खाली 15 मिनट में वह हमेशा अगले 1000 नंबरों में अभाज्य संख्याओं की गणना करता है। अपने जीवन के अंत तक, उन्होंने सभी अभाज्य संख्याओं को 3 मिलियन तक गिन लिया था। लीजेंड्रे और गॉस ने समान रूप से गणना की कि बड़े एन के लिए प्राइम की घनत्व 1/लॉग (एन) है। लीजेंड्रे ने 1 और n के बीच अभाज्य संख्याओं की संख्या का अनुमान लगाया था

(एन) = एन/(लॉग(एन) - 1.08366)

और गॉस - एक लघुगणकीय समाकल के रूप में

(एन) = / 1/लॉग(टी) डीटी

2 से n के एकीकरण अंतराल के साथ।

अभाज्य संख्याओं के घनत्व के बारे में कथन 1/log(n) को अभाज्य संख्या प्रमेय के रूप में जाना जाता है। उन्होंने 19वीं शताब्दी में इसे साबित करने की कोशिश की और चेबीशेव और रीमैन ने प्रगति की। उन्होंने इसे रीमैन हाइपोथिसिस के साथ जोड़ा, जो अब तक रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के शून्य के वितरण के बारे में एक अप्रमाणित अनुमान है। 1896 में हैडमर्ड और डे ला वेली-पॉसिन द्वारा प्राइम्स के घनत्व को एक साथ साबित किया गया था।

अभाज्य संख्याओं के सिद्धांत में, अभी भी कई अनसुलझे प्रश्न हैं, जिनमें से कुछ सैकड़ों वर्ष पुराने हैं:

• जुड़वां अभाज्य परिकल्पना - अभाज्य संख्याओं के युग्मों की अनंत संख्या के बारे में जो एक दूसरे से 2 . से भिन्न होते हैं
• गोल्डबैक का अनुमान: 4 से शुरू होने वाली किसी भी संख्या को दो अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है
• क्या n 2 + 1 के रूप में अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है?
• क्या n 2 और (n + 1) 2 के बीच एक अभाज्य संख्या ज्ञात करना हमेशा संभव है? (तथ्य यह है कि n और 2n के बीच हमेशा एक अभाज्य संख्या होती है जिसे चेबीशेव ने सिद्ध किया था)
• क्या फ़र्मेट अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है? क्या चौथे के बाद कोई फ़र्मेट प्राइम हैं?
• क्या यह मौजूद है अंकगणितीय प्रगतिकिसी दी गई लंबाई के लिए लगातार अभाज्य संख्याएँ? उदाहरण के लिए, लंबाई 4: 251, 257, 263, 269 के लिए। अधिकतम लंबाई 26 मिली है।
• क्या एक समान्तर श्रेणी में तीन क्रमागत अभाज्य संख्याओं के समुच्चय अनंत हैं?
• n 2 - n + 41 0 n ≤ 40 के लिए एक अभाज्य संख्या है। क्या ऐसी अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है? सूत्र n 2 - 79 n + 1601 के लिए वही प्रश्न। ये संख्याएँ 0 n 79 के लिए अभाज्य हैं।
• क्या n# + 1 के रूप में अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है? (n# n से कम सभी अभाज्य संख्याओं को गुणा करने का परिणाम है)
• क्या n# -1 के रूप में अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है?
• क्या n के रूप में अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है! +1?
• क्या n के रूप में अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है! - एक?
• यदि p अभाज्य है, तो क्या 2 p -1 हमेशा चुकता अभाज्य संख्याओं के गुणनखंडों में शामिल नहीं होता है
• क्या फाइबोनैचि अनुक्रम में अनंत अभाज्य संख्याएँ होती हैं?

सबसे बड़ी जुड़वां अभाज्य संख्याएँ 2003663613 × 2 195000 ± 1 हैं। इनमें 58711 अंक होते हैं और 2007 में पाए गए थे।

सबसे बड़ी भाज्य अभाज्य संख्या (प्ररूप n! ± 1 का) 147855 है! - 1. इसमें 142891 अंक होते हैं और 2002 में पाए गए थे।

सबसे बड़ी मूल अभाज्य संख्या (n# ± 1 के रूप की एक संख्या) 1098133# + 1 है।

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विभाजकों की सूची।परिभाषा के अनुसार, संख्या एनकेवल तभी अभाज्य है जब यह 2 और 1 और स्वयं के अलावा किसी भी पूर्णांक से समान रूप से विभाज्य नहीं है। उपरोक्त सूत्र अनावश्यक चरणों को हटाता है और समय बचाता है: उदाहरण के लिए, यह जाँचने के बाद कि क्या कोई संख्या 3 से विभाज्य है, यह जाँचने की कोई आवश्यकता नहीं है कि क्या यह 9 से विभाज्य है।

• फ़्लोर (x) फ़ंक्शन x को x से कम या उसके बराबर के निकटतम पूर्णांक तक ले जाता है।

मॉड्यूलर अंकगणित के बारे में जानें।"एक्स मॉड वाई" ऑपरेशन (मॉड के लिए छोटा है लैटिन शब्द"मॉड्यूलो", यानी "मॉड्यूल") का अर्थ है "x को y से विभाजित करें और शेष खोजें"। दूसरे शब्दों में, मॉड्यूलर अंकगणित में, एक निश्चित मूल्य तक पहुंचने पर, जिसे कहा जाता है मापांक, संख्याएँ "बारी" वापस शून्य हो जाती हैं। उदाहरण के लिए, एक घड़ी मॉड्यूलस 12 में समय को मापती है: यह 10, 11 और 12 बजे दिखाती है और फिर 1 पर लौट आती है।

• कई कैलकुलेटर में एक आधुनिक कुंजी होती है। इस खंड का अंत दिखाता है कि बड़ी संख्या में इस फ़ंक्शन की मैन्युअल रूप से गणना कैसे करें।

अभाज्य संख्याएक प्राकृत (धनात्मक पूर्णांक) संख्या है जो शेषफल के बिना केवल दो प्राकृत संख्याओं से विभाज्य है: स्वयं और द्वारा। दूसरे शब्दों में, एक अभाज्य संख्या में ठीक दो प्राकृतिक भाजक होते हैं: और संख्या ही।

परिभाषा के अनुसार, एक अभाज्य संख्या के सभी भाजक का समुच्चय दो-तत्व है, अर्थात। एक सेट है।

सभी अभाज्य संख्याओं के समुच्चय को प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है। इस प्रकार, अभाज्य संख्याओं के समुच्चय की परिभाषा के आधार पर, हम लिख सकते हैं: .

अभाज्य संख्याओं का क्रम इस तरह दिखता है:

अंकगणित का मौलिक प्रमेय

अंकगणित का मौलिक प्रमेययह दावा करता है कि एक से बड़ी प्रत्येक प्राकृतिक संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में और एक अनोखे तरीके से, कारकों के क्रम तक दर्शाया जा सकता है। इसलिए अभाज्य संख्याएँ प्राथमिक हैं" इमारत ब्लॉकों» प्राकृतिक संख्याओं के सेट।

एक प्राकृतिक संख्या का अपघटन शीर्षक = "(!LANG: QuickLaTeX.com द्वारा प्रस्तुत)" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> в произведение простых чисел называют !} कैनन का:

जहां एक अभाज्य संख्या है, और . उदाहरण के लिए, किसी प्राकृत संख्या का विहित प्रसार इस तरह दिखता है: .

अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में किसी प्राकृत संख्या के निरूपण को भी कहा जाता है संख्या गुणनखंड.

अभाज्य संख्याओं के गुण

एराटोस्थनीज की छलनी

अभाज्य संख्याओं को खोजने और पहचानने के लिए सबसे प्रसिद्ध एल्गोरिदम में से एक है एराटोस्थनीज की छलनी. इसलिए इस एल्गोरिथम का नाम ग्रीक गणितज्ञ एराटोस्थनीज ऑफ साइरेन के नाम पर रखा गया था, जिन्हें एल्गोरिथम का लेखक माना जाता है।

दी गई संख्या से कम सभी अभाज्य संख्याएँ ज्ञात करने के लिए, एराटोस्थनीज की विधि का अनुसरण करते हुए, आपको इन चरणों का पालन करना होगा:

स्टेप 1।दो से , तक की सभी प्राकृत संख्याओं को एक पंक्ति में लिखिए। .
चरण दोएक चर के लिए एक मान निर्दिष्ट करें, यानी सबसे छोटी अभाज्य संख्या के बराबर मान।
चरण 3सूची में से सभी संख्याओं को , यानी संख्याओं: के गुणकों में हटा दें।
चरण 4से बड़ी सूची में पहली असंक्रमित संख्या ज्ञात करें, और उस संख्या का मान चर को निर्दिष्ट करें।
चरण 5संख्या तक पहुंचने तक चरण 3 और 4 दोहराएं।

एल्गोरिथ्म को लागू करने की प्रक्रिया इस तरह दिखेगी:

एल्गोरिथम को लागू करने की प्रक्रिया के अंत में सूची में शेष सभी अनक्रॉस नंबर अभाज्य संख्याओं का एक सेट से से तक होंगे।

गोल्डबैक की परिकल्पना

"अंकल पेट्रोस एंड द गोल्डबैक अनुमान" पुस्तक का कवर

इस तथ्य के बावजूद कि गणितज्ञों द्वारा लंबे समय तक अभाज्य संख्याओं का अध्ययन किया गया है, आज कई संबंधित समस्याएं अनसुलझी हैं। सबसे प्रसिद्ध अनसुलझी समस्याओं में से एक है गोल्डबैक का अनुमान, जो इस प्रकार तैयार किया गया है:

• क्या यह सच है कि दो से बड़ी प्रत्येक सम संख्या को दो अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में निरूपित किया जा सकता है (गोल्डबैक का द्विआधारी अनुमान)?
• क्या यह सच है कि 5 से बड़ी हर विषम संख्या को योग के रूप में दर्शाया जा सकता है? तीन सरलसंख्याएं (टर्नरी गोल्डबैक अनुमान)?

यह कहा जाना चाहिए कि टर्नरी गोल्डबैक अनुमान बाइनरी गोल्डबैक अनुमान का एक विशेष मामला है, या, जैसा कि गणितज्ञ कहते हैं, टर्नरी गोल्डबैक अनुमान बाइनरी गोल्डबैक अनुमान से कमजोर है।

ब्लूम्सबरी यूएसए (यूएसए) और फैबर एंड फैबर (यूके) प्रकाशन कंपनियों द्वारा विज्ञापन मार्केटिंग स्टंट के कारण 2000 में गोल्डबैक का अनुमान गणितीय समुदाय के बाहर व्यापक रूप से जाना जाने लगा। इन प्रकाशन गृहों ने "अंकल पेट्रोस एंड गोल्डबैक्स कंजेक्चर" पुस्तक का विमोचन करने के बाद, गोल्डबैक के अनुमान को साबित करने वाले को पुस्तक के प्रकाशन की तारीख से 2 साल के भीतर 1 मिलियन अमेरिकी डॉलर का पुरस्कार देने का वादा किया। कभी-कभी प्रकाशकों से उल्लिखित पुरस्कार सहस्राब्दी पुरस्कार समस्याओं को हल करने के लिए पुरस्कारों के साथ भ्रमित होते हैं। कोई गलती न करें, क्ले इंस्टीट्यूट द्वारा गोल्डबैक परिकल्पना को मिलेनियम चैलेंज के रूप में सूचीबद्ध नहीं किया गया है, हालांकि यह निकट से संबंधित है रीमैन परिकल्पनामिलेनियम चुनौतियों में से एक।

पुस्तक "सरल संख्या। अनंत के लिए लंबी सड़क

पुस्तक का कवर "गणित की दुनिया। साधारण संख्याएँ। अनंत के लिए लंबी सड़क

इसके अलावा, मैं एक आकर्षक लोकप्रिय विज्ञान पुस्तक पढ़ने की सलाह देता हूं, जिसका एनोटेशन कहता है: "अभाज्य संख्याओं की खोज गणित में सबसे विरोधाभासी समस्याओं में से एक है। वैज्ञानिक कई सहस्राब्दियों से इसे सुलझाने की कोशिश कर रहे हैं, लेकिन नए संस्करणों और परिकल्पनाओं को प्राप्त करते हुए, यह रहस्य अभी भी अनसुलझा है। अभाज्य संख्याओं का प्रकटन किसी भी प्रणाली के अधीन नहीं है: वे प्राकृतिक संख्याओं की एक श्रृंखला में अनायास उत्पन्न होते हैं, गणितज्ञों द्वारा उनके क्रम में पैटर्न की पहचान करने के सभी प्रयासों को अनदेखा करते हुए। यह पुस्तक पाठक को प्राचीन काल से लेकर आज तक वैज्ञानिक विचारों के विकास का पता लगाने और अभाज्य संख्याओं की खोज के सबसे जिज्ञासु सिद्धांतों को पेश करने की अनुमति देगी।

इसके अलावा, मैं इस पुस्तक के दूसरे अध्याय की शुरुआत को उद्धृत करूंगा: "अभाज्य संख्याएं इनमें से एक हैं महत्वपूर्ण विषय, जो हमें गणित की शुरुआत में वापस ले जाता है, और फिर, बढ़ती जटिलता के मार्ग के साथ, हमें अत्याधुनिक तक ले जाता है आधुनिक विज्ञान. इस प्रकार, आकर्षक और का पता लगाना बहुत उपयोगी होगा जटिल इतिहासअभाज्य संख्याओं का सिद्धांत: यह वास्तव में कैसे विकसित हुआ, कैसे तथ्य और सत्य जिन्हें अब आम तौर पर स्वीकार किया जाता है, एकत्र किए गए थे। इस अध्याय में हम देखेंगे कि कैसे गणितज्ञों की पीढ़ियों ने एक नियम की तलाश में प्राकृतिक संख्याओं का ध्यानपूर्वक अध्ययन किया है जो अभाज्य संख्याओं के प्रकट होने की भविष्यवाणी करता है, एक नियम जो खोज के दौरान अधिक से अधिक मायावी बन गया। हम ऐतिहासिक संदर्भ पर भी करीब से नज़र डालेंगे: गणितज्ञों ने किन परिस्थितियों में काम किया और किस हद तक उनके काम में रहस्यमय और अर्ध-धार्मिक अभ्यास शामिल थे जो बिल्कुल भी पसंद नहीं हैं। वैज्ञानिक तरीकेआज इस्तेमाल किया। फिर भी, धीरे-धीरे और कठिनाई से, 17वीं और 18वीं शताब्दी में फ़र्मेट और यूलर को प्रेरित करने वाले नए विचारों के लिए मैदान तैयार किया गया था।"

लेख अभाज्य और मिश्रित संख्याओं की अवधारणाओं से संबंधित है। ऐसी संख्याओं की परिभाषाएँ उदाहरण सहित दी गई हैं। हम एक प्रमाण देते हैं कि अभाज्य संख्याओं की संख्या असीमित है और एराटोस्थनीज की विधि का उपयोग करके अभाज्य संख्याओं की तालिका में एक प्रविष्टि करें। इस बात का प्रमाण दिया जाएगा कि कोई संख्या अभाज्य है या सम्मिश्र।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

अभाज्य और समग्र संख्याएँ - परिभाषाएँ और उदाहरण

अभाज्य और भाज्य संख्याओं को धनात्मक पूर्णांकों के रूप में वर्गीकृत किया जाता है। उन्हें एक से बड़ा होना चाहिए। भाजक भी सरल और यौगिक में विभाजित हैं। भाज्य संख्याओं की अवधारणा को समझने के लिए सबसे पहले भाजक और गुणज की अवधारणाओं का अध्ययन करना आवश्यक है।

परिभाषा 1

अभाज्य संख्याएँ पूर्णांक होती हैं जो एक से बड़ी होती हैं और जिनमें दो धनात्मक भाजक होते हैं, अर्थात स्वयं और 1.

परिभाषा 2

मिश्रित संख्याएँ पूर्णांक होती हैं जो एक से अधिक होती हैं और जिनमें कम से कम तीन धनात्मक भाजक होते हैं।

इकाई न तो अभाज्य है और न ही संयुक्त संख्या. इसका केवल एक धनात्मक भाजक है, इसलिए यह अन्य सभी धनात्मक संख्याओं से भिन्न है। सभी धनात्मक पूर्णांक प्राकृत कहलाते हैं, अर्थात् गिनती में प्रयुक्त होते हैं।

परिभाषा 3

अभाज्य सँख्यावे प्राकृत संख्याएँ हैं जिनमें केवल दो धनात्मक भाजक हैं।

परिभाषा 4

संयुक्त संख्याएक प्राकृत संख्या है जिसमें दो से अधिक धनात्मक भाजक हैं।

1 से बड़ी कोई भी संख्या या तो अभाज्य या भाज्य होती है। विभाज्यता के गुण से, हमारे पास वह 1 और संख्या a हमेशा किसी भी संख्या a के लिए विभाजक होगी, अर्थात यह अपने आप और 1 से विभाज्य होगी। हम पूर्णांकों की परिभाषा देते हैं।

परिभाषा 5

वे प्राकृत संख्याएँ जो अभाज्य नहीं हैं, भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं।

अभाज्य संख्याएँ: 2, 3, 11, 17, 131, 523। वे केवल अपने आप से और 1 से विभाज्य हैं। समग्र संख्याएँ: 6, 63, 121, 6697। यानी संख्या 6 को 2 और 3 में और 63 को 1, 3, 7, 9, 21, 63, और 121 को 11, 11 में विभाजित किया जा सकता है, यानी इसके भाजक 1, 11, 121 होंगे। संख्या 6697 37 और 181 में विघटित हो जाएगी। ध्यान दें कि अभाज्य संख्याओं और अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याओं की अवधारणाएँ अलग-अलग अवधारणाएँ हैं।

अभाज्य संख्याओं का उपयोग करना आसान बनाने के लिए, आपको एक तालिका का उपयोग करना होगा:

सभी मौजूदा प्राकृतिक संख्याओं के लिए एक तालिका अवास्तविक है, क्योंकि उनमें से एक अनंत संख्या है। जब संख्याएँ 10000 या 10000000 के आकार तक पहुँच जाती हैं, तो आपको इरेटोस्थनीज की छलनी का उपयोग करने के बारे में सोचना चाहिए।

एक प्रमेय पर विचार करें जो अंतिम कथन की व्याख्या करता है।

प्रमेय 1

1 के अलावा किसी अन्य प्राकृत संख्या का सबसे छोटा धनात्मक भाजक एक से बड़ा, एक अभाज्य संख्या है।

सबूत 1

मान लें कि a, 1 से बड़ी एक प्राकृत संख्या है, b, a का सबसे छोटा गैर-एक भाजक है। हमें यह सिद्ध करना होगा कि विरोधाभास विधि का उपयोग करके b एक अभाज्य संख्या है।

मान लें कि b एक भाज्य संख्या है। यहाँ से हमारे पास यह है कि b के लिए एक भाजक है, जो 1 और साथ ही b से भिन्न है। ऐसे भाजक को b 1 से निरूपित किया जाता है। यह आवश्यक है कि शर्त 1< b 1 < b पूरा हो चुका है।

यह इस शर्त से देखा जा सकता है कि a, b से विभाज्य है, b, b 1 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि विभाज्यता की अवधारणा इस तरह व्यक्त की जाती है: ए = बी क्यूऔर बी = बी 1 क्यू 1, जहां से ए = बी 1 (क्यू 1 क्यू), जहां क्यू और क्यू 1पूर्णांक हैं। पूर्णांकों के गुणन के नियम के अनुसार, हमारे पास पूर्णांकों का गुणनफल एक पूर्णांक होता है जिसमें a = b 1 · (q 1 · q) के रूप की समानता होती है। यह देखा जा सकता है कि बी 1 a का भाजक है। असमानता 1< b 1 < b नहींमेल खाता है, क्योंकि हम पाते हैं कि b, a का सबसे छोटा धनात्मक अ-1 भाजक है।

प्रमेय 2

अपरिमित रूप से अनेक अभाज्य संख्याएँ हैं।

सबूत 2

मान लीजिए कि हम प्राकृत संख्या n की एक सीमित संख्या लेते हैं और इसे p 1, p 2 , … , p n के रूप में निरूपित करते हैं। आइए संकेतित संख्याओं से भिन्न अभाज्य संख्या ज्ञात करने के एक प्रकार पर विचार करें।

संख्या p पर विचार करें, जो p 1 , p 2 , … , p n + 1 के बराबर है। यह p 1 , p 2 , … , p n के रूप में अभाज्य संख्याओं के संगत प्रत्येक संख्या के बराबर नहीं है। संख्या p अभाज्य है। तब प्रमेय को सिद्ध माना जाता है। यदि यह मिश्रित है, तो हमें अंकन p n + 1 . लेना होगा और p 1 , p 2 ,… , p n में से किसी के साथ भाजक बेमेल दिखाएँ।

यदि ऐसा नहीं होता, तो गुणन p 1 , p 2 , … , p n के विभाज्यता गुण के आधार पर , हम पाते हैं कि यह p n + 1 से विभाज्य होगा। ध्यान दें कि व्यंजक p n + 1 संख्या p विभाजित होने पर p 1 , p 2 , … , p n + 1 के योग के बराबर होती है। हम पाते हैं कि व्यंजक p n + 1 इस राशि का दूसरा पद, जो 1 के बराबर है, विभाजित किया जाना चाहिए, लेकिन यह असंभव है।

यह देखा जा सकता है कि दी गई अभाज्य संख्याओं में से कोई भी अभाज्य संख्या ज्ञात की जा सकती है। यह इस प्रकार है कि असीम रूप से कई अभाज्य संख्याएँ हैं।

चूँकि बहुत सारी अभाज्य संख्याएँ हैं, तालिकाएँ 100, 1000, 10000 और इसी तरह की संख्याओं तक सीमित हैं।

अभाज्य संख्याओं की तालिका संकलित करते समय, किसी को इस तथ्य को ध्यान में रखना चाहिए कि इस तरह के कार्य के लिए संख्याओं की क्रमिक जाँच की आवश्यकता होती है, जो 2 से 100 तक शुरू होती है। यदि कोई भाजक नहीं है, तो इसे तालिका में दर्ज किया जाता है; यदि यह संयुक्त है, तो इसे तालिका में दर्ज नहीं किया गया है।

आइए चरण दर चरण विचार करें।

यदि आप संख्या 2 से शुरू करते हैं, तो इसमें केवल 2 भाजक हैं: 2 और 1, जिसका अर्थ है कि इसे तालिका में दर्ज किया जा सकता है। नंबर 3 के साथ भी। संख्या 4 मिश्रित है, इसे 2 और 2 में विघटित किया जाना चाहिए। संख्या 5 अभाज्य है, जिसका अर्थ है कि इसे तालिका में नियत किया जा सकता है। इसे 100 की संख्या तक करें।

यह विधि असुविधाजनक और समय लेने वाली है। आप एक टेबल बना सकते हैं, लेकिन आपको खर्च करना होगा एक बड़ी संख्या कीसमय। विभाज्यता मानदंड का उपयोग करना आवश्यक है, जिससे भाजक खोजने की प्रक्रिया तेज हो जाएगी।

एराटोस्थनीज की छलनी का उपयोग करने की विधि सबसे सुविधाजनक मानी जाती है। आइए नीचे दी गई तालिकाओं पर एक नज़र डालें। आरंभ करने के लिए, संख्याएँ 2, 3, 4, ..., 50 लिखी जाती हैं।

अब आपको उन सभी संख्याओं को काट देना है जो 2 के गुणज हैं। क्रमिक स्ट्राइकथ्रू करें। हमें फॉर्म की एक तालिका मिलती है:

आइए 5 के गुणजों को क्रासिंग आउट करने के लिए आगे बढ़ते हैं। हम पाते हैं:

हम उन संख्याओं को काटते हैं जो 7, 11 के गुणज हैं। अंत में तालिका दिखती है

आइए हम प्रमेय के निरूपण पर चलते हैं।

प्रमेय 3

आधार संख्या a का सबसे छोटा धनात्मक और गैर-1 भाजक a से अधिक नहीं है, जहां a दी गई संख्या का अंकगणितीय मूल है।

सबूत 3

b . को नामित करना आवश्यक है सबसे छोटा भाजकसंयुक्त संख्या ए। एक पूर्णांक q है, जहाँ a = b · q है, और हमारे पास वह b q है। फॉर्म की असमानता बी> क्यूक्योंकि शर्त का उल्लंघन किया गया है। असमानता के दोनों पक्षों b ≤ q को किसी भी सकारात्मक संख्या b से गुणा किया जाना चाहिए जो 1 के बराबर न हो। हमें वह b b ≤ b q मिलता है, जहां b 2 a और b ≤ a ।

सिद्ध प्रमेय से यह देखा जा सकता है कि तालिका में संख्याओं को हटाने से यह तथ्य सामने आता है कि एक संख्या से शुरू करना आवश्यक है जो कि बी 2 के बराबर है और असमानता बी 2 ≤ ए को संतुष्ट करता है। अर्थात्, यदि आप उन संख्याओं को काट देते हैं जो 2 के गुणज हैं, तो प्रक्रिया 4 से शुरू होती है, और जो 3 के गुणज हैं वे 9 से शुरू होती हैं, और इसी तरह 100 तक।

एराटोस्थनीज के प्रमेय का उपयोग करते हुए ऐसी तालिका को संकलित करना कहता है कि जब सभी समग्र संख्याओं को काट दिया जाता है, तो वहाँ अभाज्य संख्याएँ बनी रहती हैं जो n से अधिक नहीं होती हैं। उदाहरण में जहां n = 50, हमारे पास वह n = 50 है। यहाँ से हमें पता चलता है कि एराटोस्थनीज की चलनी उन सभी मिश्रित संख्याओं को निकाल देती है जिनका मूल्य 50 के मूल के मान से अधिक नहीं होता है। संख्याओं की खोज क्रॉस आउट करके की जाती है।

हल करने से पहले, यह पता लगाना आवश्यक है कि संख्या अभाज्य है या संयुक्त। विभाज्यता मानदंड अक्सर उपयोग किए जाते हैं। आइए इसे नीचे दिए गए उदाहरण में देखें।

उदाहरण 1

सिद्ध कीजिए कि 898989898989898989 एक भाज्य संख्या है।

समाधान

दी गई संख्या के अंकों का योग 9 8 + 9 9 = 9 17 है। अतः 9 से विभाज्यता के चिन्ह के आधार पर संख्या 9 17, 9 से विभाज्य है। यह इस प्रकार है कि यह मिश्रित है।

ऐसे चिन्ह किसी संख्या की प्रधानता को सिद्ध करने में सक्षम नहीं होते हैं। यदि सत्यापन की आवश्यकता है, तो अन्य कदम उठाए जाने चाहिए। सबसे उपयुक्त तरीका संख्याओं की गणना करना है। प्रक्रिया के दौरान, अभाज्य और मिश्रित संख्याएँ पाई जा सकती हैं। अर्थात्, मान में संख्याएँ a से अधिक नहीं होनी चाहिए। अर्थात्, संख्या a को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जाना चाहिए। यदि यह सत्य है, तो संख्या a को अभाज्य माना जा सकता है।

उदाहरण 2

मिश्रित या अभाज्य संख्या 11723 निर्धारित करें।

समाधान

अब आपको संख्या 11723 के लिए सभी भाजक खोजने होंगे। 11723 का मूल्यांकन करने की आवश्यकता है।

यहाँ से हम देखते हैं कि 11723< 200 , то 200 2 = 40 000 , और 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200 .

अधिक जानकारी के लिए सटीक आकलनसंख्या 11723, आपको व्यंजक 108 2 \u003d 11 664, और . लिखना होगा 109 2 = 11 881 , फिर 108 2 < 11 723 < 109 2 . इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि 11723< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

विघटित होने पर, हम प्राप्त करते हैं कि 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83, 89, 97, 101, 103, 107 सभी अभाज्य संख्याएँ हैं। पूरे यह प्रोसेसएक कॉलम द्वारा विभाजन के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। यानी 11723 को 19 से भाग दें। संख्या 19 इसका एक गुणनखंड है, क्योंकि हमें शेषफल के बिना भाग मिलता है। आइए एक कॉलम द्वारा विभाजन को चित्रित करें:

यह इस प्रकार है कि 11723 एक भाज्य संख्या है, क्योंकि स्वयं और 1 के अतिरिक्त इसमें 19 का भाजक है।

उत्तर: 11723 एक भाज्य संख्या है।

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