سنتناول في هذا الدرس كيفية استخدام المحدد للإنشاء معادلة الطائرة. إذا كنت لا تعرف ما هو المحدد، فانتقل إلى الجزء الأول من الدرس - "المصفوفات والمحددات". وإلا فإنك تخاطر بعدم فهم أي شيء في مادة اليوم.

معادلة الطائرة باستخدام ثلاث نقاط

لماذا نحتاج إلى معادلة مستوية على الإطلاق؟ الأمر بسيط: بمعرفة ذلك، يمكننا بسهولة حساب الزوايا والمسافات وغيرها من الأشياء في المسألة C2. بشكل عام، بدون هذه المعادلة، لا يمكنك الاستغناء عنها. لذلك نقوم بصياغة المشكلة:

مهمة. يتم إعطاء ثلاث نقاط في الفضاء لا تقع على نفس الخط. إحداثياتهم:

م = (س 1، ص 1، ض 1)؛
ن = (س 2، ص 2، ض 2)؛
ك = (س 3، ص 3، ض 3)؛

تحتاج إلى إنشاء معادلة للطائرة التي تمر عبر هذه النقاط الثلاث. علاوة على ذلك، يجب أن تبدو المعادلة كما يلي:

الفأس + بواسطة + تشيكوسلوفاكيا + د = 0

حيث الأرقام A وB وC وD هي المعاملات التي يجب إيجادها في الواقع.

حسنًا، كيف يمكن الحصول على معادلة المستوى إذا كانت إحداثيات النقاط معروفة فقط؟ أسهل طريقة هي استبدال الإحداثيات في المعادلة Ax + By + Cz + D = 0. وستحصل على نظام من ثلاث معادلات يمكن حلها بسهولة.

يجد العديد من الطلاب هذا الحل مملاً للغاية وغير موثوق به. أظهر امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات العام الماضي أن احتمال ارتكاب خطأ حسابي مرتفع حقًا.

ولذلك، بدأ المعلمون الأكثر تقدما في البحث عن حلول أبسط وأكثر أناقة. ووجدوها! صحيح أن التقنية التي تم الحصول عليها تتعلق إلى حد ما بالرياضيات العليا. شخصيًا، اضطررت إلى البحث في القائمة الفيدرالية الكاملة للكتب المدرسية للتأكد من أن لدينا الحق في استخدام هذه التقنية دون أي مبرر أو دليل.

معادلة المستوى من خلال المحدد

كفى من الكلمات، فلنبدأ العمل. لنبدأ بنظرية حول كيفية ارتباط محدد المصفوفة ومعادلة المستوى.

نظرية. دع إحداثيات النقاط الثلاث التي يجب رسم المستوى من خلالها: M = (x 1، y 1، z 1)؛ ن = (س 2، ص 2، ض 2)؛ ك = (س 3، ص 3، ض 3). ومن ثم يمكن كتابة معادلة هذا المستوى من خلال المحدد:

على سبيل المثال، دعونا نحاول العثور على زوج من المستويات التي تحدث بالفعل في المسائل C2. انظر إلى مدى سرعة حساب كل شيء:

أ 1 = (0، 0، 1)؛
ب = (1، 0، 0)؛
ج 1 = (1، 1، 1)؛

نؤلف محددًا ونساويه بالصفر:

نقوم بتوسيع المحدد:

أ = 1 1 (ض − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
ب = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
د = أ − ب = ض − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
د = 0 ⇒ س − ص + ض − 1 = 0;

كما ترون، عند حساب الرقم d، قمت "بتمشيط" المعادلة قليلاً حتى تدخل المتغيرات x وy وz التسلسل الصحيح. هذا كل شئ! المعادلة المستوية جاهزة!

مهمة. اكتب معادلة المستوى الذي يمر بالنقاط:

أ = (0، 0، 0)؛
ب 1 = (1، 0، 1)؛
د 1 = (0، 1، 1)؛

نستبدل على الفور إحداثيات النقاط في المحدد:

نقوم بتوسيع المحدد مرة أخرى:

أ = 1 1 ض + 0 1 س + 1 0 ص = ض؛
ب = 1 1 س + 0 0 ض + 1 1 ص = س + ص;
د = أ − ب = ض − (x + y ) = ض − x − y;
د = 0 ⇒ ض − س − ص = 0 ⇒ س + ص − ض = 0;

وبذلك يتم الحصول على معادلة المستوى مرة أخرى! مرة أخرى، في الخطوة الأخيرة كان علينا تغيير العلامات الموجودة فيه للحصول على صيغة أكثر "جمالاً". ليس من الضروري على الإطلاق القيام بذلك في هذا الحل، ولكن لا يزال يوصى به - لتبسيط الحل الإضافي للمشكلة.

كما ترون، أصبح تكوين معادلة المستوى أسهل بكثير الآن. نعوض بالنقاط في المصفوفة، ونحسب المحدد - وهذا كل شيء، المعادلة جاهزة.

هذا يمكن أن ينهي الدرس. ومع ذلك، ينسى العديد من الطلاب باستمرار ما هو موجود داخل المحدد. على سبيل المثال، أي سطر يحتوي على x 2 أو x 3، وأي سطر يحتوي على x فقط. لتوضيح هذا الأمر حقًا، دعونا ننظر إلى مصدر كل رقم.

من أين تأتي الصيغة مع المحدد؟

لذا، دعونا نكتشف من أين تأتي هذه المعادلة القاسية مع المحدد. سيساعدك هذا على تذكرها وتطبيقها بنجاح.

يتم تعريف جميع المستويات التي تظهر في المشكلة C2 بثلاث نقاط. يتم دائمًا تحديد هذه النقاط على الرسم، أو حتى الإشارة إليها مباشرة في نص المشكلة. على أية حال، لإنشاء معادلة سنحتاج إلى كتابة إحداثياتها:

م = (س 1، ص 1، ض 1)؛
ن = (س 2، ص 2، ض 2)؛
ك = (س 3، ص 3، ض 3).

لنفكر في نقطة أخرى على المستوى بإحداثيات عشوائية:

تي = (س، ص، ض)

خذ أي نقطة من النقاط الثلاث الأولى (على سبيل المثال، النقطة M) وارسم متجهات منها إلى كل نقطة من النقاط الثلاث المتبقية. نحصل على ثلاثة ناقلات:

MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 );
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1 );
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1 ).

والآن دعونا نكتب من هذه المتجهات مصفوفة مربعةومساواة محدده بالصفر. ستصبح إحداثيات المتجهات صفوفًا من المصفوفة - وسنحصل على المحدد المحدد في النظرية:

تعني هذه الصيغة أن حجم متوازي السطوح المبني على المتجهات MN وMK وMT يساوي صفرًا. وبالتالي، فإن المتجهات الثلاثة جميعها تقع في نفس المستوى. على وجه الخصوص، النقطة العشوائية T = (x, y, z) هي بالضبط ما كنا نبحث عنه.

استبدال نقاط وخطوط المحدد

تتمتع المحددات بالعديد من الخصائص الرائعة التي تجعل الأمر أسهل حل المشكلة C2. على سبيل المثال، لا يهمنا من أي نقطة نرسم المتجهات. ولذلك، فإن المحددات التالية تعطي نفس المعادلة المستوية المذكورة أعلاه:

يمكنك أيضًا تبديل خطوط المحدد. وستبقى المعادلة دون تغيير. على سبيل المثال، يحب العديد من الأشخاص كتابة سطر بإحداثيات النقطة T = (x; y; z) في الأعلى. من فضلك، إذا كان ذلك مناسبًا لك:

يرتبك بعض الناس من حقيقة أن أحد الخطوط يحتوي على متغيرات x و y و z والتي لا تختفي عند استبدال النقاط. لكن لا ينبغي أن يختفوا! استبدال الأرقام في المحدد، يجب أن تحصل على هذا البناء:

ثم يتم توسيع المحدد حسب الرسم البياني الموضح في بداية الدرس ويتم الحصول على المعادلة القياسية للمستوى:

الفأس + بواسطة + تشيكوسلوفاكيا + د = 0

نلقي نظرة على مثال. إنها الأخيرة في درس اليوم. سأتعمد تبديل الخطوط للتأكد من أن الإجابة ستعطي نفس معادلة المستوى.

مهمة. اكتب معادلة المستوى الذي يمر بالنقاط:

ب 1 = (1، 0، 1)؛
ج = (1، 1، 0)؛
د 1 = (0، 1، 1).

ولذلك، فإننا نعتبر 4 نقاط:

ب 1 = (1، 0، 1)؛
ج = (1، 1، 0)؛
د 1 = (0، 1، 1)؛
تي = (س، ص، ض).

أولاً، لننشئ محددًا قياسيًا ونساويه بالصفر:

نقوم بتوسيع المحدد:

أ = 0 1 (ض − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
ب = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
د = أ − ب = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
د = 0 ⇒ س + ص + ض − 2 = 0;

هذا كل شيء، لقد حصلنا على الإجابة: x + y + z − 2 = 0.

الآن دعونا نعيد ترتيب سطرين في المحدد ونرى ما سيحدث. على سبيل المثال، لنكتب سطرًا يحتوي على المتغيرات x، y، z ليس في الأسفل، بل في الأعلى:

نقوم مرة أخرى بتوسيع المحدد الناتج:

أ = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
ب = (ض − 1) 1 0 + ص (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = ص;
د = أ − ب = 2 − س − ض − ص;
د = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

لقد حصلنا على نفس المعادلة المستوية تمامًا: x + y + z − 2 = 0. وهذا يعني أنها لا تعتمد حقًا على ترتيب الصفوف. كل ما تبقى هو كتابة الجواب.

إذن نحن مقتنعون بأن معادلة المستوى لا تعتمد على تسلسل الخطوط. يمكننا إجراء حسابات مماثلة وإثبات أن معادلة المستوى لا تعتمد على النقطة التي نطرح إحداثياتها من نقاط أخرى.

في المشكلة المذكورة أعلاه، استخدمنا النقطة B 1 = (1، 0، 1)، ولكن كان من الممكن أن نأخذ C = (1، 1، 0) أو D 1 = (0، 1، 1). بشكل عام، أي نقطة ذات إحداثيات معروفة تقع على المستوى المطلوب.

معادلة الطائرة. كيف تكتب معادلة الطائرة؟
الترتيب المتبادلطائرات. مهام

الهندسة المكانية ليست أكثر تعقيدًا من الهندسة "المسطحة"، ورحلاتنا في الفضاء تبدأ بهذا المقال. لإتقان الموضوع، يجب أن يكون لديك فهم جيد له ثلاثة أبعادبالإضافة إلى ذلك، من المستحسن أن تكون على دراية بهندسة الطائرة - سيكون هناك الكثير من أوجه التشابه، والعديد من القياسات، لذلك سيتم هضم المعلومات بشكل أفضل بكثير. في سلسلة دروسي، يبدأ العالم ثنائي الأبعاد بمقالة معادلة الخط المستقيم على المستوى. ولكن الآن غادر باتمان شاشة التلفزيون المسطحة وانطلق من قاعدة بايكونور الفضائية.

لنبدأ بالرسومات والرموز. من الناحية التخطيطية، يمكن رسم المستوى على شكل متوازي أضلاع، مما يخلق انطباعًا بالمساحة:

الطائرة لا حصر لها، ولكن لدينا الفرصة لتصوير قطعة منها فقط. في الممارسة العملية، بالإضافة إلى متوازي الأضلاع، يتم رسم شكل بيضاوي أو حتى سحابة. لأسباب فنية، من الملائم بالنسبة لي أن أصور الطائرة بهذه الطريقة وفي هذا الموضع بالضبط. الطائرات الحقيقية التي سننظر فيها أمثلة عملية، يمكن وضعه بأي شكل من الأشكال - خذ الرسم بين يديك عقليًا وقم بتدويره في الفضاء، مما يمنح الطائرة أي ميل وأي زاوية.

التسميات: يُشار إلى المستويات عادةً بأحرف يونانية صغيرة، وذلك على ما يبدو حتى لا يتم الخلط بينها خط مستقيم على متن الطائرةأو مع خط مستقيم في الفضاء. أنا معتاد على استخدام الرسالة . في الرسم هو حرف "سيجما"، وليس ثقبا على الإطلاق. على الرغم من أن الطائرة هولي هي بالتأكيد مضحكة للغاية.

في بعض الحالات، يكون من المناسب استخدام نفس الحروف اليونانية ذات الحروف السفلية لتعيين المستويات، على سبيل المثال، .

ومن الواضح أن المستوى يتم تعريفه بشكل فريد من خلال ثلاث نقاط مختلفة لا تقع على نفس الخط. لذلك، تحظى تسميات الطائرات المكونة من ثلاثة أحرف بشعبية كبيرة - حسب النقاط التي تنتمي إليها، على سبيل المثال، وما إلى ذلك. في كثير من الأحيان يتم وضع الحروف بين قوسين: حتى لا يتم الخلط بين المستوى وشكل هندسي آخر.

للقراء ذوي الخبرة سأقدم قائمة الوصول السريع:

• كيفية إنشاء معادلة المستوى باستخدام نقطة ومتجهين؟
• كيفية إنشاء معادلة المستوى باستخدام نقطة ومتجه عادي؟

ونحن لن نضعف ينتظر طويلا:

معادلة المستوى العام

المعادلة العامة للمستوى لها الشكل حيث المعاملات لا تساوي الصفر في نفس الوقت.

عدد من الحسابات النظرية و مشاكل عمليةصالحة لكل من الأساس المتعامد المعتاد و أساس تقاربيمسافة (إذا كان الزيت زيتا، ارجع إلى الدرس الاعتماد الخطي (غير) للمتجهات. أساس المتجهات). من أجل التبسيط، سنفترض أن جميع الأحداث تحدث على أساس متعامد ونظام إحداثيات مستطيل ديكارتي.

والآن دعونا نتدرب على خيالنا المكاني قليلًا. لا بأس إذا كان جهازك سيئًا، الآن سنقوم بتطويره قليلاً. حتى اللعب على الأعصاب يحتاج إلى تدريب.

في الحالة الأكثر عمومية، عندما لا تساوي الأرقام الصفر، يتقاطع المستوى مع محاور الإحداثيات الثلاثة. على سبيل المثال، مثل هذا:

وأكرر مرة أخرى أن الطائرة تستمر إلى أجل غير مسمى في كل الاتجاهات، ولدينا الفرصة لتصوير جزء منها فقط.

دعونا نفكر في أبسط معادلات المستويات:

كيف نفهم هذه المعادلة؟ فكر في الأمر: "Z" يساوي دائمًا الصفر، لأي قيم "X" و"Y". هذه المعادلة "أصلية" خطة تنسيق. في الواقع، يمكن إعادة كتابة المعادلة رسميًا على النحو التالي: ، حيث يمكنك أن ترى بوضوح أننا لا نهتم بالقيمتين "x" و"y"، فمن المهم أن يكون "z" يساوي الصفر.

على نفس المنوال:
- معادلة المستوى الإحداثي؛
- معادلة المستوى الإحداثي.

دعونا نعقد المشكلة قليلاً، ونفكر في المستوى (هنا وفي الفقرة نفترض أن المعاملات العددية لا تساوي الصفر). لنعيد كتابة المعادلة على الصورة: . كيف نفهم ذلك؟ "X" دائمًا، لأي قيم "Y" و"Z"، تساوي رقمًا معينًا. هذا المستوى موازي للمستوى الإحداثي. على سبيل المثال، المستوى يوازي المستوى ويمر عبر نقطة.

على نفس المنوال:
- معادلة المستوى الموازي للمستوى الإحداثي؛
- معادلة المستوى الموازي للمستوى الإحداثي.

دعونا نضيف أعضاء: . يمكن إعادة كتابة المعادلة على النحو التالي: أي أن "zet" يمكن أن يكون أي شيء. ماذا يعني ذلك؟ يرتبط "X" و"Y" بالعلاقة التي ترسم خطًا مستقيمًا معينًا في المستوى (سوف تكتشف ذلك معادلة الخط في الطائرة؟). وبما أن "z" يمكن أن يكون أي شيء، فإن هذا الخط المستقيم "يتكرر" على أي ارتفاع. وبالتالي، تحدد المعادلة مستوى موازيًا لمحور الإحداثيات

على نفس المنوال:
- معادلة المستوى الموازي لمحور الإحداثيات؛
- معادلة المستوى الموازي لمحور الإحداثيات.

إذا كانت الحدود الحرة صفرًا، فستمر المستويات مباشرة عبر المحاور المقابلة. على سبيل المثال، "التناسب المباشر" الكلاسيكي: . ارسم خطًا مستقيمًا في المستوى واضربه ذهنيًا لأعلى ولأسفل (نظرًا لأن "Z" موجود). الخلاصة: المستوى المحدد بالمعادلة يمر عبر محور الإحداثيات.

نكمل المراجعة: معادلة الطائرة يمر عبر الأصل. حسنًا، من الواضح هنا أن هذه النقطة تحقق هذه المعادلة.

وأخيرًا، الحالة الموضحة في الرسم: - المستوى صديق لجميع محاور الإحداثيات، بينما "يقطع" دائمًا مثلثًا يمكن أن يقع في أي من الثماني الثمانية.

عدم المساواة الخطية في الفضاء

لفهم المعلومات تحتاج إلى دراسة جيدة عدم المساواة الخطية في الطائرةلأن أشياء كثيرة ستكون متشابهة. ستكون الفقرة ذات طبيعة عامة موجزة مع عدة أمثلة، حيث أن المادة نادرة جدًا في الممارسة العملية.

إذا كانت المعادلة تحدد المستوى، فإن المتباينات
بسأل أنصاف المساحات. إذا لم تكن المتباينة صارمة (الأخيران في القائمة)، فإن حل المتباينة، بالإضافة إلى نصف المساحة، يشمل أيضًا المستوى نفسه.

مثال 5

أوجد وحدة المتجه الطبيعي للطائرة .

حل: متجه الوحدة هو متجه طوله واحد. دعونا نشير إلى هذا المتجه بواسطة . من الواضح تمامًا أن المتجهات على خط واحد:

أولاً نحذف المتجه العادي من معادلة المستوى: .

كيفية العثور على ناقل الوحدة؟ من أجل العثور على متجه الوحدة، تحتاج كلاقسم إحداثيات المتجه على طول المتجه.

دعونا نعيد كتابة المتجه العادي في النموذج ونجد طوله:

وفقا لما سبق:

إجابة:

التحقق: ما يجب التحقق منه.

ربما لاحظ ذلك القراء الذين درسوا الفقرة الأخيرة من الدرس بعناية إحداثيات متجه الوحدة هي بالضبط جيب التمام لاتجاه المتجه:

لنأخذ استراحة من المشكلة المطروحة: عندما يتم إعطاؤك متجهًا تعسفيًا غير صفري، وحسب الشرط يجب إيجاد جيب تمام الاتجاه (راجع المسائل الأخيرة من الدرس المنتج النقطي للمتجهات)، فإنك في الواقع تجد متجه وحدة على خط مستقيم مع هذا المتجه. في الواقع مهمتان في زجاجة واحدة.

تنشأ الحاجة إلى إيجاد المتجه الطبيعي للوحدة في بعض مشاكل التحليل الرياضي.

لقد اكتشفنا كيفية صيد ناقل عادي، والآن دعونا نجيب على السؤال المعاكس:

كيفية إنشاء معادلة المستوى باستخدام نقطة ومتجه عادي؟

هذا البناء الصارم للمتجه العادي والنقطة معروف جيدًا على لوحة السهام. يرجى مد يدك للأمام واختيار نقطة عشوائية في الفضاء عقليًا، على سبيل المثال، قطة صغيرة في الخزانة الجانبية. من الواضح أنه من خلال هذه النقطة يمكنك رسم مستوى واحد عمودي على يدك.

يتم التعبير عن معادلة المستوى الذي يمر عبر نقطة عمودية على المتجه بالصيغة:

في هذه المادة، سنتعرف على كيفية إيجاد معادلة المستوى إذا عرفنا إحداثيات ثلاث نقاط مختلفة لا تقع على نفس الخط المستقيم. للقيام بذلك، علينا أن نتذكر ما هو نظام الإحداثيات المستطيل في الفضاء ثلاثي الأبعاد. في البداية، سوف نقدم المبدأ الأساسي لهذه المعادلة ونبين بالضبط كيفية استخدامها لحل مشاكل محددة.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

أولاً، علينا أن نتذكر بديهية واحدة، والتي تبدو كالتالي:

التعريف 1

إذا كانت ثلاث نقاط لا تتزامن مع بعضها البعض ولا تقع على نفس الخط، فإن طائرة واحدة فقط تمر عبرها في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

بمعنى آخر، إذا كان لدينا ثلاث نقاط مختلفة إحداثياتها غير متطابقة ولا يمكن توصيلها بخط مستقيم، فيمكننا تحديد المستوى الذي يمر عبرها.

لنفترض أن لدينا نظام إحداثيات مستطيل. دعونا نشير إلى ذلك O x y z. تحتوي على ثلاث نقاط M بإحداثيات M 1 (x 1، y 1، z 1)، M 2 (x 2، y 2، z 2)، M 3 (x 3، y 3، z 3) ، والتي لا يمكن توصيلها خط مستقيم. بناءً على هذه الشروط، يمكننا كتابة معادلة المستوى الذي نحتاجه. هناك طريقتان لحل هذه المشكلة.

1. يستخدم النهج الأول معادلة المستوى العام. في شكل حرف، يتم كتابته على النحو التالي: A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. بمساعدتها، يمكنك تحديد مستوى ألفا معين في نظام الإحداثيات المستطيل الذي يمر عبر النقطة الأولى المحددة M 1 (x 1، y 1، z 1). اتضح أن المتجه الطبيعي للمستوى α سيكون له إحداثيات A، B، C.

تعريف ن

وبمعرفة إحداثيات المتجه العمودي وإحداثيات النقطة التي يمر بها المستوى، يمكننا كتابة المعادلة العامة لهذا المستوى.

وهذا ما سننطلق منه في المستقبل.

وهكذا، ووفقاً لشروط المشكلة، لدينا إحداثيات النقطة المطلوبة (ولو ثلاثة) التي يمر عبرها المستوى. للعثور على المعادلة، عليك حساب إحداثيات متجهها الطبيعي. دعونا نشير إلى ذلك n → .

دعونا نتذكر القاعدة: أي متجه غير صفري لمستوى معين يكون عموديًا على المتجه العمودي لنفس المستوى. ثم لدينا أن n → سيكون متعامدًا مع المتجهات المكونة من النقاط الأصلية M 1 M 2 → و M 1 M 3 → . ثم يمكننا الإشارة إلى n → كمنتج متجه للشكل M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

بما أن M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) و M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (ترد أدلة هذه المساواة في المقالة المخصصة لحساب إحداثيات المتجه من إحداثيات النقاط)، فتبين أن:

n → = م 1 م 2 → × م 1 م 3 → = i → ي → ك → س 2 - س 1 ص 2 - ص 1 ض 2 - ض 1 × 3 - س 1 ص 3 - ص 1 ض 3 - ض 1

إذا قمنا بحساب المحدد، فسنحصل على إحداثيات المتجه الطبيعي n → الذي نحتاجه. يمكننا الآن كتابة المعادلة التي نحتاجها لمستوى يمر عبر ثلاث نقاط معطاة.

2. الطريقة الثانية لإيجاد المعادلة التي تمر عبر M 1 (x 1، y 1، z 1)، M 2 (x 2، y 2، z 2)، M 3 (x 3، y 3، z 3)، يعتمد على مفهوم مثل المستوى المشترك للمتجهات.

إذا كان لدينا مجموعة من النقاط M (x، y، z)، ففي نظام الإحداثيات المستطيل يتم تحديد مستوى للنقاط المعطاة M 1 (x 1، y 1، z 1)، M 2 (x 2، y 2) , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) فقط في حالة المتجهات M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2 → = ( ​​x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) و M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1) ستكون مستوية .

في الرسم البياني سوف يبدو مثل هذا:

هذا يعني أن المنتج المختلط للمتجهات M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → سيكون مساوياً للصفر: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 ، لأن هذا هو الشرط الرئيسي للمستوى المشترك: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) , z 2 - z 1 ) و M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1).

دعونا نكتب المعادلة الناتجة في شكل إحداثي:

بعد أن نحسب المحدد، يمكننا الحصول على المعادلة المستوية التي نحتاجها لثلاث نقاط لا تقع على نفس الخط المستقيم M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) ), م 3 (س 3 , ص 3 , ض 3) .

ومن المعادلة الناتجة يمكن الانتقال إلى معادلة المستوى بالقطاعات أو إلى المعادلة العادية للمستوى إذا كانت ظروف المشكلة تتطلب ذلك.

وفي الفقرة التالية سنقدم أمثلة على كيفية تنفيذ النهج الذي أشرنا إليه في الممارسة العملية.

أمثلة على مسائل تكوين معادلة مستوى يمر بثلاث نقاط

لقد حددنا سابقًا طريقتين يمكن استخدامهما للعثور على المعادلة المطلوبة. دعونا نلقي نظرة على كيفية استخدامها لحل المشكلات ومتى يجب عليك اختيار كل واحدة منها.

مثال 1

هناك ثلاث نقاط لا تقع على نفس الخط، بإحداثيات م 1 (- 3، 2، - 1)، م 2 (- 1، 2، 4)، م 3 (3، 3، - 1). اكتب معادلة الطائرة التي تمر عبرهما.

حل

نحن نستخدم كلتا الطريقتين بالتناوب.

1. أوجد إحداثيات المتجهين اللذين نحتاجهما M 1 M 2 →، M 1 M 3 →:

م 1 م 2 → = - 1 - - 3 , 2 - 2 , 4 - - 1 ⇔ م 1 م 2 → = (2 , 0 , 5) م 1 م 3 → = 3 - - 3 , 3 - 2 , - 1 - - 1 ⇔ م 1 م 3 → = 6 , 1 , 0

الآن دعونا نحسب منتجهم المتجه. لن نصف حسابات المحدد:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

لدينا متجه عادي للمستوى الذي يمر عبر النقاط الثلاث المطلوبة: n → = (- 5, 30, 2) . بعد ذلك، علينا أن نأخذ إحدى النقاط، على سبيل المثال، M 1 (- 3، 2، - 1)، ونكتب معادلة المستوى مع المتجه n → = (- 5، 30، 2). نحصل على ما يلي: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

هذه هي المعادلة التي نحتاجها للمستوى الذي يمر بثلاث نقاط.

2. دعونا نتبع نهجا مختلفا. دعونا نكتب معادلة المستوى الذي يتكون من ثلاث نقاط M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) في النموذج التالي:

س - س 1 ص - ص 1 ض - ض 1 س 2 - س 1 ذ 2 - ص 1 ض 2 - ض 1 × 3 - س 1 ذ 3 - ص 1 ض 3 - ض 1 = 0

هنا يمكنك استبدال البيانات من بيان المشكلة. بما أن x 1 = - 3، y 1 = 2، z 1 = - 1، x 2 = - 1، y 2 = 2، z 2 = 4، x 3 = 3، y 3 = 3، z 3 = - 1، ونتيجة لذلك نحصل على:

س - س 1 ص - ص 1 ض - ض 1 س 2 - س 1 ذ 2 - ص 1 ض 2 - ض 1 × 3 - س 1 ذ 3 - ص 1 ض 3 - ض 1 = س - (- 3) ص - 2 ض - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 ض + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 س + 30 ص + 2 ض - 73

لقد حصلنا على المعادلة التي نحتاجها.

إجابة:- 5 س + 30 ص + 2 ض - 73 .

ولكن ماذا لو كانت النقاط المعطاة لا تزال تقع على نفس الخط وأردنا إنشاء معادلة مستوية لها؟ هنا يجب أن يقال على الفور أن هذا الشرط لن يكون صحيحًا تمامًا. يمكن أن يمر عدد لا حصر له من المستويات عبر هذه النقاط، لذلك من المستحيل حساب إجابة واحدة. دعونا نفكر في مثل هذه المشكلة لإثبات عدم صحة صياغة السؤال هذه.

مثال 2

لدينا نظام إحداثيات مستطيل في فضاء ثلاثي الأبعاد، توضع فيه ثلاث نقاط بإحداثيات M 1 (5، - 8، - 2)، M 2 (1، - 2، 0)، M 3 (- 1، 1) ، ١) . ومن الضروري كتابة معادلة للطائرة التي تمر عبره.

حل

لنستخدم الطريقة الأولى ونبدأ بحساب إحداثيات المتجهين M 1 M 2 → و M 1 M 3 →. لنحسب إحداثياتها: M 1 M 2 → = (- 4, 6, 2)، M 1 M 3 → = - 6، 9، 3.

سيكون المنتج المتقاطع مساوياً لـ:

م 1 م 2 → × م 1 م 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

منذ M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 →، ستكون متجهاتنا على خط واحد (أعد قراءة المقالة عنها إذا نسيت تعريف هذا المفهوم). وبالتالي، فإن النقاط الأولية M 1 (5، - 8، - 2)، M 2 (1، - 2، 0)، M 3 (- 1، 1، 1) تقع على نفس الخط، ومشكلتنا لها عدد لا نهائي من النقاط إجابة الخيارات.

إذا استخدمنا الطريقة الثانية سنحصل على:

س - س 1 ص - ص 1 ض - ض 1 س 2 - س 1 ص 2 - ص 1 ض 2 - ض 1 × 3 - س 1 ذ 3 - ص 1 ض 3 - ض 1 = 0 ⇔ س - 5 ص - (- 8) ض - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8 ض + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

ويترتب على المساواة الناتجة أيضًا أن النقاط المعطاة M 1 (5، - 8، - 2)، M 2 (1، - 2، 0)، M 3 (- 1، 1، 1) تقع على نفس الخط.

إذا كنت تريد العثور على إجابة واحدة على الأقل لهذه المشكلة من بين عدد لا حصر له من خياراتها، فعليك اتباع الخطوات التالية:

1. اكتب معادلة السطر M 1 M 2 أو M 1 M 3 أو M 2 M 3 (إذا لزم الأمر، انظر إلى المادة المتعلقة بهذا الإجراء).

2. خذ النقطة M 4 (x 4, y 4, z 4) التي لا تقع على الخط المستقيم M 1 M 2.

3. اكتب معادلة المستوى الذي يمر عبر ثلاث نقاط مختلفة M 1 و M 2 و M 4 لا تقع على نفس الخط.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

يمكنك ضبط طرق مختلفة(نقطة واحدة ومتجه، نقطتان ومتجه، ثلاث نقاط، وما إلى ذلك). مع أخذ هذا في الاعتبار يمكن أن تكون معادلة الطائرة أنواع مختلفة. أيضًا، وفقًا لشروط معينة، يمكن أن تكون المستويات متوازية، أو متعامدة، أو متقاطعة، وما إلى ذلك. سنتحدث عن هذا في هذا المقال. وسوف نتعلم كيفية إنشاء معادلة عامة للمستوى والمزيد.

الشكل الطبيعي للمعادلة

لنفترض أن هناك مساحة R 3 تحتوي على نظام إحداثيات XYZ مستطيل. دعونا نحدد المتجه α، الذي سيتم إطلاقه من النقطة الأولية O. ومن خلال نهاية المتجه α، نرسم مستوى P، والذي سيكون متعامدًا عليه.

دعونا نشير إلى نقطة اعتباطية على P كـ Q = (x، y، z). لنوقع على متجه نصف القطر للنقطة Q بالحرف p. في هذه الحالة، طول المتجه α يساوي χ=IαI و Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

هذا هو متجه الوحدة الموجه إلى الجانب، مثل المتجه α. α و β و γ هي الزوايا التي تتشكل بين المتجه Ʋ والاتجاهات الإيجابية لمحاور الفضاء x و y و z على التوالي. إن إسقاط أي نقطة QϵП على المتجه Ʋ هو قيمة ثابتة تساوي p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

المعادلة أعلاه منطقية عندما تكون p=0. الشيء الوحيد هو أن المستوى P في هذه الحالة سوف يتقاطع مع النقطة O (α=0) التي هي أصل الإحداثيات، ومتجه الوحدة Ʋ المنطلق من النقطة O سيكون عموديًا على P، على الرغم من اتجاهه، والذي يعني أن المتجه Ʋ يتم تحديده بدقة للإشارة. المعادلة السابقة هي معادلة المستوي P، معبرًا عنها بالشكل المتجه. لكن في الإحداثيات سيبدو هكذا:

P هنا أكبر من أو يساوي 0. لقد وجدنا معادلة المستوى في الفضاء في الصورة العادية.

المعادلة العامة

إذا ضربنا المعادلة في الإحداثيات بأي رقم لا يساوي الصفر، فسنحصل على معادلة مكافئة لهذه المعادلة، تحدد هذا المستوى بالذات. سوف يبدو مثل هذا:

هنا A، B، C هي أرقام تختلف عن الصفر في نفس الوقت. وتسمى هذه المعادلة معادلة المستوى العام.

معادلات الطائرات. حالات خاصة

المعادلة في منظر عاميمكن تعديلها إذا كانت متوفرة شروط إضافية. دعونا ننظر إلى بعض منهم.

لنفترض أن المعامل A هو 0. وهذا يعني أن هذا المستوى موازي لمحور الثور المحدد. في هذه الحالة سيتغير شكل المعادلة: Ву+Cz+D=0.

وبالمثل، فإن شكل المعادلة سوف يتغير في ظل الظروف التالية:

• أولاً، إذا كانت B = 0، فستتغير المعادلة إلى Ax + Cz + D = 0، مما يشير إلى التوازي مع محور Oy.
• ثانيًا، إذا كانت C=0، فسيتم تحويل المعادلة إلى Ax+By+D=0، مما يشير إلى التوازي مع محور Oz المحدد.
• ثالثًا، إذا كانت D=0، فستبدو المعادلة Ax+By+Cz=0، مما يعني أن المستوى يتقاطع مع O (نقطة الأصل).
• رابعاً، إذا كانت A=B=0، فستتغير المعادلة إلى Cz+D=0، والتي ستكون موازية لـ Oxy.
• خامساً، إذا كانت B=C=0، تصبح المعادلة Ax+D=0، مما يعني أن المستوى إلى Oyz موازي.
• سادسا، إذا كانت A=C=0، فستأخذ المعادلة الشكل Ву+D=0، أي أنها ستبلغ عن التوازي إلى Oxz.

نوع المعادلة في القطاعات

في حالة اختلاف الأرقام A، B، C، D عن الصفر، يمكن أن يكون شكل المعادلة (0) على النحو التالي:

س/أ + ص/ب + ض/ج = 1،

حيث أ = -D/A، ب = -D/B، ج = -D/C.

نحصل على النتيجة، تجدر الإشارة إلى أن هذا المستوى سيتقاطع مع محور الثور عند نقطة ذات إحداثيات (a,0,0)، Oy - (0,b,0)، وOz - (0,0,c) ).

مع الأخذ في الاعتبار المعادلة x/a + y/b + z/c = 1، ليس من الصعب تخيل موضع المستوى بصريًا بالنسبة لنظام إحداثي معين.

إحداثيات المتجهات العادية

المتجه الطبيعي n للمستوى P له إحداثيات هي معاملات المعادلة العامةلمستوى معين، أي n (A، B، C).

من أجل تحديد إحداثيات المستوى n الطبيعي، يكفي معرفة المعادلة العامة لمستوى معين.

عند استخدام معادلة مقطعية، والتي لها الشكل x/a + y/b + z/c = 1، وكذلك عند استخدام معادلة عامة، يمكنك كتابة إحداثيات أي متجه عادي لمستوى معين: (1 /أ + 1/ب + 1/ مع).

ومن الجدير بالذكر أن المتجه العادي يساعد في حل مجموعة متنوعة من المشاكل. تشمل المشاكل الأكثر شيوعًا المشكلات التي تتضمن إثبات التعامد أو التوازي للمستويات، ومشاكل إيجاد الزوايا بين المستويات أو الزوايا بين المستويات والخطوط المستقيمة.

نوع المعادلة المستوية حسب إحداثيات النقطة والمتجه العادي

يسمى المتجه غير الصفري n المتعامد على مستوى معين بالطبيعي لمستوى معين.

لنفترض أنه في الفضاء الإحداثي (نظام الإحداثيات المستطيل) يتم إعطاء Oxyz:

• النقطة Mₒ بإحداثيات (xₒ,yₒ,zₒ);
• ناقل صفر n=A*i+B*j+C*k.

من الضروري إنشاء معادلة للمستوى الذي سيمر عبر النقطة Mₒ المتعامدة مع الوضع الطبيعي n.

نختار أي نقطة عشوائية في الفضاء ونشير إليها M (x y، z). دع متجه نصف القطر لأي نقطة M (x,y,z) يكون r=x*i+y*j+z*k، ومتجه نصف القطر للنقطة Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* ط+صₒ *ي+ضₒ*ك. ستنتمي النقطة M إلى مستوى معين إذا كان المتجه MₒM متعامدًا مع المتجه n. دعونا نكتب شرط التعامد باستخدام المنتج العددي:

[MₒM، n] = 0.

بما أن MₒM = r-rₒ، فإن المعادلة المتجهة للمستوى ستبدو كما يلي:

هذه المعادلة يمكن أن يكون لها شكل آخر. للقيام بذلك، يتم استخدام خصائص المنتج العددي، ويتم التحويل الجانب الأيسرالمعادلات = - . إذا أشرنا إليها بـ c، نحصل على المعادلة التالية: - c = 0 أو = c، والتي تعبر عن ثبات الإسقاطات على المتجه الطبيعي لمتجهات نصف القطر لنقاط معينة تنتمي إلى المستوى.

يمكننا الآن الحصول على الصيغة الإحداثية لكتابة المعادلة المتجهة للمستوى = 0. بما أن r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k، وn = A*i+B *j+С*k، لدينا:

اتضح أن لدينا معادلة لمستوى يمر عبر نقطة عمودية على n العادي:

أ*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.

نوع المعادلة المستوية حسب إحداثيات نقطتين ومتجه على خط مستقيم مع المستوي

دعونا نحدد نقطتين عشوائيتين M′ (x′,y′,z′) وM″ (x″,y″,z″) بالإضافة إلى المتجه a (a′,a″,a‴).

الآن يمكننا إنشاء معادلة لمستوى معين سيمر عبر النقطتين الموجودتين M′ وM″، بالإضافة إلى أي نقطة M ذات إحداثيات (x، y، z) موازية للمتجه المحدد a.

في هذه الحالة، يجب أن يكون المتجهان M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) وM″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) مستويين مع المتجه a=(a′,a″,a‴)، مما يعني أن (M′M, M″M, a)=0.

إذن، ستكون معادلة المستوى في الفضاء كما يلي:

نوع معادلة المستوى الذي يتقاطع مع ثلاث نقاط

لنفترض أن لدينا ثلاث نقاط: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) والتي لا تنتمي إلى نفس الخط. من الضروري كتابة معادلة المستوى الذي يمر عبر ثلاث نقاط. وتزعم نظرية الهندسة أن هذا النوع من المستويات موجود بالفعل، لكنه الوحيد والفريد من نوعه. وبما أن هذا المستوى يتقاطع مع النقطة (x′,y′,z′) فإن شكل معادلته سيكون كما يلي:

هنا A، B، C تختلف عن الصفر في نفس الوقت. أيضًا، المستوى المعطى يتقاطع مع نقطتين إضافيتين: (x″,y″,z″) و (x‴,y‴,z‴). وفي هذا الصدد يجب استيفاء الشروط التالية:

الآن يمكننا أن نؤلف نظام متجانسمع غير معروف u، v، w:

في لدينا الحالة س، ذأو z بمثابة نقطة اعتباطية ترضي المعادلة (1). بالنظر إلى المعادلة (1) ونظام المعادلات (2) و (3)، فإن نظام المعادلات المشار إليه في الشكل أعلاه يتم استيفاءه بواسطة المتجه N (A,B,C)، وهو غير تافه. ولهذا فإن محدد هذا النظام يساوي صفرًا.

المعادلة (1) التي حصلنا عليها هي معادلة المستوى. فهو يمر عبر 3 نقاط بالضبط، وهذا أمر سهل التحقق. للقيام بذلك، علينا فك المحدد ليشمل العناصر الموجودة في الصف الأول. من الخصائص الحالية للمحدد، يترتب على ذلك أن مستوانا يتقاطع في نفس الوقت مع ثلاث نقاط محددة في البداية (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . أي أننا قمنا بحل المهمة الموكلة إلينا.

زاوية ثنائي السطوح بين الطائرات

تمثل الزاوية ثنائية السطوح مكانًا مكانيًا الشكل الهندسييتكون من نصفين طائرين ينبثقان من خط مستقيم واحد. بمعنى آخر، هذا هو الجزء من الفضاء المحدود بهذه المستويات النصفية.

لنفترض أن لدينا طائرتين مع المعادلات التالية:

نحن نعلم أن المتجهين N=(A,B,C) وN¹=(A¹,B¹,C¹) متعامدان وفقًا للمستويات المعطاة. في هذا الصدد، الزاوية φ بين المتجهين N وN¹ تساوي الزاوية (ثنائي السطوح) التي تقع بين هذه المستويات. المنتج النقطي له الشكل:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

على وجه التحديد بسبب

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

يكفي أن نأخذ في الاعتبار أن 0 φ π.

في الواقع، المستويان المتقاطعان يشكلان زاويتين (ثنائية السطوح): φ 1 و φ 2. مجموعهم يساوي π (φ 1 + φ 2 = π). أما جيب التمام بينهما فإن قيمهما المطلقة متساوية، لكنهما تختلفان في الإشارة، أي cos φ 1 = -cos φ 2. إذا استبدلنا في المعادلة (0) A وB وC بالأرقام -A و-B و-C، على التوالي، فإن المعادلة التي نحصل عليها ستحدد نفس المستوى، الوحيد، الزاوية φ في المعادلة cos φ= NN 1 /|ن||ن 1 | سيتم استبداله بـ π-φ.

معادلة المستوى المتعامد

تسمى المستويات التي تكون الزاوية بينها 90 درجة متعامدة. باستخدام المواد المذكورة أعلاه، يمكننا إيجاد معادلة مستوى عمودي على آخر. لنفترض أن لدينا مستويين: Ax+By+Cz+D=0 وA¹x+B¹y+C¹z+D=0. يمكننا القول أنهما سيكونان متعامدين إذا كان cosφ=0. وهذا يعني أن NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

معادلة الطائرة الموازية

تسمى المستويتان اللتان لا تحتويان على نقاط مشتركة بالتوازي.

الشرط (معادلاتها هي نفسها كما في الفقرة السابقة) هو أن المتجهين N وN¹، المتعامدين عليهما، متعامدان على خط واحد. وهذا يعني أنها مستوفية وفقا للشروطالتناسب:

أ/أ¹=ب/ب¹=ج/ج¹.

إذا تم تمديد شروط التناسب - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹،

وهذا يدل على أن هذه الطائرات متطابقة. هذا يعني أن المعادلتين Ax+By+Cz+D=0 وA¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 تصفان مستوى واحدًا.

المسافة إلى الطائرة من النقطة

لنفترض أن لدينا مستوى P، والذي يُعطى بالمعادلة (0). من الضروري إيجاد المسافة إليه من نقطة بإحداثيات (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. للقيام بذلك، تحتاج إلى إعادة معادلة المستوى P إلى وضعها الطبيعي:

(ρ,v)=ص (ر≥0).

في هذه الحالة، ρ (x,y,z) هو متجه نصف القطر لنقطة Q الموجودة على P، p هو طول العمود P الذي تم تحريره من نقطة الصفر، v هو متجه الوحدة الموجود في الاتجاه أ.

الفرق ρ-ρº متجه نصف القطر لنقطة ما Q = (x، y، z)، التي تنتمي إلى P، وكذلك متجه نصف القطر لنقطة معينة Q 0 = (xₒ، yₒ، zₒ) هو مثل هذا المتجه، قيمه مطلقهالذي يكون إسقاطه على v مساوياً للمسافة d، والتي يجب إيجادها من Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) إلى P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|، لكن

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =Р-(ρ 0 ,v).

لذلك اتضح

د=|(ρ 0 ,v)-ص|.

لذلك سوف نجد قيمه مطلقهالتعبير الناتج، وهو المطلوب د.

باستخدام لغة المعلمة، نحصل على ما هو واضح:

d=|Аkhₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

إذا كانت نقطة معينة Q 0 على الجانب الآخر من المستوى P، مثل أصل الإحداثيات، فبين المتجه ρ-ρ 0 و v يوجد بالتالي:

د=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-Р>0.

في الحالة التي تكون فيها النقطة Q 0، مع أصل الإحداثيات، على نفس الجانب من P، فإن الزاوية التي تم إنشاؤها تكون حادة، أي:

د=(ρ-ρ 0 ,v)=hr - (ρ 0 , v)>0.

ونتيجة لذلك، اتضح أنه في الحالة الأولى (ρ 0 ,v)>ص، في الحالة الثانية (ρ 0 ,v)<р.

مستوى الظل ومعادلته

المستوى المماس للسطح عند نقطة التلامس M هو مستوى يحتوي على جميع المماسات الممكنة للمنحنيات المرسومة عبر هذه النقطة على السطح.

مع هذا النوع من المعادلات السطحية F(x,y,z)=0، فإن معادلة مستوى المماس عند نقطة الظل M°(x°,y°,z°) ستبدو كما يلي:

F x (x°,y°,z°)(x- x°)+ F x (x°, y°, z°)(y- y°)+ F x (x°, y°,z°)(z-z°)=0.

إذا حددت السطح بصيغة صريحة z=f (x,y)، فسيتم وصف مستوى الظل بالمعادلة:

ض-ض = و(سْ، صْ)(س- xْ)+f(سْ، صْ)(ص- صْ).

تقاطع طائرتين

في نظام الإحداثيات (المستطيل) يقع Oxyz، ويتم إعطاء طائرتين П′ و П″، تتقاطعان ولا تتطابقان. نظرًا لأن أي مستوى يقع في نظام إحداثيات مستطيل يتم تحديده بواسطة معادلة عامة، فسوف نفترض أن P′ وP″ يتم الحصول عليهما من خلال المعادلتين A′x+B′y+C′z+D′=0 وA″x +B″y+ С″z+D″=0. في هذه الحالة، لدينا n ′ (A′، B′، C′) الطبيعي للمستوى P′ و n العادي ″ (A″، B″، C″) للمستوى P″. وبما أن المستويين غير متوازيين وغير متطابقين، فإن هذه المتجهات ليست على خط مستقيم. باستخدام لغة الرياضيات، يمكننا كتابة هذا الشرط على النحو التالي: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (α*A″,×*B″,×*C″), αϵR. دع الخط المستقيم الذي يقع عند تقاطع P′ وP″ يُشار إليه بالحرف a، في هذه الحالة a = P′ ∩ P″.

a هو خط مستقيم يتكون من مجموعة جميع نقاط المستويين (المشتركين) P′ وP″. هذا يعني أن إحداثيات أي نقطة تنتمي إلى الخط a يجب أن تحقق في نفس الوقت المعادلتين A′x+B′y+C′z+D′=0 وA″x+B″y+C″z+D″=0 . وهذا يعني أن إحداثيات النقطة ستكون حلاً جزئيًا لنظام المعادلات التالي:

ونتيجة لذلك، يتبين أن الحل (العام) لهذا النظام من المعادلات سيحدد إحداثيات كل نقطة من نقاط الخط، والتي ستكون بمثابة نقطة تقاطع P′ وP″، وتحديد الخط المستقيم a في نظام الإحداثيات Oxyz (المستطيل) في الفضاء.