عزم القصور الذاتي للقضيب بالنسبة للمركز. لحظة القوة ولحظة القصور الذاتي

دعونا الآن نفكر في المشكلة تحديد لحظة القصور الذاتي أجسام مختلفة. عام صيغة لإيجاد لحظة القصور الذاتيالكائن بالنسبة للمحور z له الشكل

بمعنى آخر، تحتاج إلى جمع كل الكتل، وضرب كل منها في مربع المسافة إلى المحور (x 2 i + y 2 i). لاحظ أن هذا صحيح حتى بالنسبة للجسم ثلاثي الأبعاد، على الرغم من أن المسافة لها "مظهر ثنائي الأبعاد". ومع ذلك، في معظم الحالات سنقتصر على الأجسام ثنائية الأبعاد.

كمثال بسيط، لنفترض أن قضيبًا يدور حول محور يمر بنهايته وعموديًا عليه (الشكل 19.3). نحتاج الآن إلى جمع كل الكتل مضروبة في مربعات المسافة x (في هذه الحالة، كل y يساوي صفرًا). وأعني بالمجموع بالطبع تكامل x 2 مضروبًا في "عناصر" الكتلة. إذا قسمنا القضيب إلى قطع طولها dx، فإن عنصر الكتلة المقابل سيكون متناسبًا مع dx، وإذا كان dx هو طول القضيب بأكمله، فستكون كتلته مساوية لـ M. لذلك

إن بُعد عزم القصور الذاتي يساوي دائمًا الكتلة مضروبة في مربع الطول، وبالتالي فإن الكمية المهمة الوحيدة التي حسبناها هي العامل 1/3.

ماذا سيكون عزم القصور الذاتي إذا مر محور الدوران بمنتصف القضيب؟ للعثور عليه، نحتاج مرة أخرى إلى أخذ التكامل، ولكن هذه المرة في النطاق من -1/2L إلى +1/2L. ولكن دعونا نلاحظ سمة واحدة من هذه الحالة. يمكن اعتبار مثل هذا القضيب الذي يمر محوره بالمركز بمثابة قضيبين يمر محورهما في النهاية، ولكل منهما كتلة M/2 وطول L/2. لحظات القصور الذاتي لاثنين من هذه القضبان تساوي بعضها البعض ويتم حسابها باستخدام الصيغة (19.5). ومن ثم، فإن عزم القصور الذاتي للقضيب بأكمله يساوي

وبالتالي، فإن لف القضيب من المنتصف أسهل بكثير من لفه من النهاية.

يمكننا بالطبع الاستمرار في حساب لحظات القصور الذاتي للأجسام الأخرى التي تهمنا. ولكن بما أن مثل هذه الحسابات تتطلب خبرة كبيرة في حساب التكاملات (وهو أمر مهم جدًا في حد ذاته)، فهي ليست ذات أهمية كبيرة بالنسبة لنا على هذا النحو. ومع ذلك، هناك بعض النظريات المثيرة للاهتمام والمفيدة للغاية هنا. فليكن هناك شخص ما ونريد أن نعرفه عزم القصور الذاتي حول محور ما. هذا يعني أننا نريد إيجاد قصوره الذاتي عند الدوران حول هذا المحور. إذا حركنا الجسم بواسطة القضيب الداعم لمركز كتلته بحيث لا يدور عند دورانه حول محوره (في هذه الحالة لا تؤثر عليه عزوم قوى القصور الذاتي، وبالتالي لن يدور الجسم عندما نبدأ بتحريكه) ، إذن من أجل تحويلها، ستكون هناك حاجة إلى نفس القوة تمامًا كما لو كانت الكتلة بأكملها مركزة في مركز الكتلة وكان عزم القصور الذاتي يساوي ببساطة I 1 = MR 2 cm. ، حيث R cm هي المسافة من مركز الكتلة إلى محور الدوران. ومع ذلك، هذه الصيغة، بالطبع، غير صحيحة. أنها لا توفر اللحظة الصحيحة من الجمود في الجسم. بعد كل شيء، في الواقع، عند الدوران، يدور الجسم. لا يدور مركز الكتلة فقط (مما يعطي القيمة I 1)، بل يجب أن يدور الجسم نفسه أيضًا بالنسبة إلى مركز الكتلة. وبالتالي، إلى لحظة القصور الذاتي أنا 1 تحتاج إلى إضافة أنا ج - لحظة القصور الذاتي بالنسبة لمركز الكتلة. الإجابة الصحيحة هي أن عزم القصور الذاتي حول أي محور يساوي

تسمى هذه النظرية نظرية ترجمة المحور الموازي. ويمكن إثبات ذلك بسهولة شديدة. لحظة القصور الذاتي حول أي محور تساوي مجموع الكتل مضروبا في مجموع مربعي x و y، أي I = Σm i (x 2 i + y 2 i). سنركز الآن اهتمامنا على x، ولكن يمكن تكرار كل شيء تمامًا بالنسبة لـ y. دع الإحداثي x هو مسافة هذه النقطة المحددة من الأصل؛ ومع ذلك، دعونا نرى كيف يتغير كل شيء إذا قمنا بقياس المسافة x` من مركز الكتلة بدلاً من x من الأصل. لمعرفة ذلك، يجب أن نكتب
س ط = س` ط + X سم.
بتربيع هذا التعبير نجد
x 2 i = x` 2 i + 2X سم. x`i + X 2 سم.

ماذا يحدث إذا ضربتها بـ mi i وقمت بجمعها على كل r؟ وبأخذ كميات ثابتة خارج علامة الجمع، نجد

أنا x = Σm i x` 2 i + 2X سم. Σm i x`i + X2 سم. أنا

المبلغ الثالث سهل الحساب؛ إنها مجرد MX 2 سم. . يتكون الحد الثاني من عاملين، أحدهما Σm i x` i ؛ وهو يساوي الإحداثي x لمركز الكتلة. لكن هذا يجب أن يكون مساويًا للصفر، لأن x' يتم قياسه من مركز الكتلة، وفي نظام الإحداثيات هذا، يكون متوسط ​​موضع جميع الجسيمات، الموزونة بكتلتها، يساوي الصفر. من الواضح أن المصطلح الأول يمثل الجزء x من I c. وبذلك نصل إلى الصيغة (19.7).

دعونا نتحقق من الصيغة (19.7) باستخدام مثال واحد. دعونا فقط نتحقق مما إذا كان سيكون قابلاً للتطبيق على القضيب. لقد وجدنا بالفعل أن لحظة القصور الذاتي للقضيب بالنسبة إلى نهايته يجب أن تكون مساوية لـ ML 2 /3. ويقع مركز كتلة القضيب بالطبع على مسافة L/2. وبالتالي، يجب أن نحصل على ML 2 /3=ML 2 /12+M(L/2) 2. وبما أن الربع + واحد على اثني عشر = الثلث، فإننا لم نرتكب أي خطأ.

بالمناسبة، للعثور على لحظة القصور الذاتي (19.5)، ليس من الضروري على الإطلاق حساب التكامل. يمكن للمرء ببساطة أن يفترض أنه يساوي القيمة ML 2 مضروبًا في معامل غير معروف γ. بعد ذلك، يمكنك استخدام المنطق حول النصفين والحصول على معامل 1/4γ لحظة القصور الذاتي (19.6). باستخدام نظرية النقل الموازي للمحور، نثبت أن γ = 1/4γ + 1/4، حيث γ = 1/3. يمكنك دائمًا العثور على طريق ملتوٍ!

عند تطبيق نظرية المحور الموازي، من المهم أن نتذكر أن المحور I يجب أن يكون موازيًا للمحور الذي نريد حساب عزم القصور الذاتي حوله.

ربما تجدر الإشارة إلى خاصية أخرى، والتي غالبًا ما تكون مفيدة جدًا في العثور على عزم القصور الذاتي لأنواع معينة من الأجسام. وهي كالتالي: إذا كان لدينا شكل مستو وثلاثي محاور الإحداثيات مع نقطة الأصل الموجودة في هذا المستوى والمحور z موجه بشكل عمودي عليه، فإن عزم القصور الذاتي لهذا الشكل بالنسبة إلى المحور z يساوي مجموع لحظات القصور الذاتي بالنسبة للمحورين x و y. يمكن إثبات ذلك بكل بساطة. لاحظ أن

إن عزم القصور الذاتي للوحة مستطيلة متجانسة، على سبيل المثال، مع الكتلة M والعرض ω والطول L حول محور عمودي عليها ويمر بمركزها، هو ببساطة

نظرًا لأن لحظة القصور الذاتي بالنسبة للمحور الواقع في مستوى اللوحة والموازي لطولها تساوي Mω 2 /12، أي تمامًا كما هو الحال بالنسبة لقضيب بطول ω، ولحظة القصور الذاتي بالنسبة لمحور آخر في نفس المستوى يساوي ML 2 / 12، كما هو الحال بالنسبة لقضيب طوله L.

لذا، دعونا ندرج خصائص عزم القصور الذاتي حول محور معين، والذي سنسميه المحور z:

1. لحظة القصور الذاتي تساوي

2. إذا كان الجسم يتكون من عدة أجزاء، وكان عزم القصور الذاتي لكل منها معروفا، فإن إجمالي عزم القصور الذاتي يساوي مجموع عزوم القصور الذاتي لهذه الأجزاء.
3. عزم القصور الذاتي حول أي محور معين يساوي عزم القصور الذاتي حول محور موازي يمر بمركز الكتلة، بالإضافة إلى حاصل ضرب الكتلة الكلية ومربع مسافة المحور المعطى من مركز الكتلة .
4. لحظة الجمود شخصية مسطحةبالنسبة إلى محور عمودي على مستواه يساوي مجموع لحظات القصور الذاتي بالنسبة إلى أي محورين متعامدين آخرين يقعان في مستوى الشكل ويتقاطعان مع المحور العمودي.

في الجدول يوضح الجدول 19.1 لحظات القصور الذاتي لبعض الأشكال الأولية التي لها كثافة كتلة موحدة، والجدول. 19.2 - لحظات القصور الذاتي لبعض الأشكال والتي يمكن الحصول عليها من الجدول. 19.1 باستخدام الخصائص المذكورة أعلاه.

كثيرا ما نسمع التعبيرات: "إنها خاملة"، "التحرك بالقصور الذاتي"، "لحظة الجمود". في معنى رمزييمكن تفسير كلمة "القصور الذاتي" على أنها نقص في المبادرة والعمل. نحن مهتمون بالمعنى المباشر.

ما هو الجمود

حسب التعريف التعطيلفي الفيزياء، هي قدرة الأجسام على الحفاظ على حالة السكون أو الحركة في غياب القوى الخارجية.

إذا كان كل شيء واضحًا بالنسبة لمفهوم القصور الذاتي على المستوى البديهي، إذن لحظة من الجمود- سؤال منفصل. أوافق، من الصعب أن تتخيل في عقلك ما هو عليه. في هذه المقالة سوف تتعلم كيفية حل المشاكل الأساسية حول هذا الموضوع "لحظة من الجمود".

تحديد لحظة القصور الذاتي

من دورة المدرسةومن المعروف أن الكتلة – مقياس لقصور الجسم. إذا دفعنا عربتين من كتل مختلفة، فسيكون من الصعب إيقاف العربة الأثقل. أي أنه كلما زادت الكتلة، زادت تأثير خارجيضروري لتغيير حركة الجسم. ما يعتبر ينطبق على الحركة الانتقالية، عندما تتحرك العربة من المثال في خط مستقيم.

قياسًا على الكتلة والحركة الانتقالية، فإن عزم القصور الذاتي هو مقياس لقصور الجسم عند حركة دورانيةحول المحور.

لحظة من الجمود- كمية فيزيائية عددية، وهي مقياس لقصور الجسم أثناء دورانه حول محور. تمت الإشارة إليه بالحرف ج وفي النظام سي تقاس بالكيلو جرام ضرب المتر المربع.

كيفية حساب لحظة القصور الذاتي؟ هناك صيغة عامة يتم من خلالها حساب لحظة القصور الذاتي لأي جسم في الفيزياء. إذا تم تقسيم الجسم إلى أجزاء متناهية الصغر مع كتلة مارك ألماني فإن لحظة القصور الذاتي ستكون مساوية لمجموع منتجات هذه الكتل الأولية في مربع المسافة إلى محور الدوران.

هذه هي الصيغة العامة لعزم القصور الذاتي في الفيزياء. لنقطة مادية من الكتلة م ، تدور حول محور على مسافة ص منها، هذه الصيغةيأخذ الشكل:

نظرية شتاينر

على ماذا تعتمد لحظة القصور الذاتي؟ من الكتلة وموضع محور الدوران وشكل الجسم وحجمه.

تعتبر نظرية هيجنز-شتاينر نظرية مهمة جدًا تُستخدم غالبًا في حل المشكلات.

بالمناسبة! لقرائنا هناك الآن خصم 10٪ على

تنص نظرية هيجنز-شتاينر على ما يلي:

لحظة القصور الذاتي لجسم بالنسبة إلى محور اختياري تساوي مجموع عزم القصور الذاتي للجسم بالنسبة إلى محور يمر عبر مركز الكتلة الموازي لمحور اختياري وحاصل ضرب كتلة الجسم بالمربع المسافة بين المحاور.

ولمن لا يريد التكامل المستمر عند حل مسائل إيجاد عزم القصور الذاتي، نقدم رسما يوضح عزم القصور الذاتي لبعض الأجسام المتجانسة التي كثيرا ما تصادف في المسائل:

مثال على حل مسألة للعثور على لحظة القصور الذاتي

دعونا ننظر إلى مثالين. المهمة الأولى هي العثور على لحظة القصور الذاتي. المهمة الثانية هي استخدام نظرية هيجنز-شتاينر.

المشكلة 1. أوجد لحظة القصور الذاتي لقرص متجانس كتلته m ونصف قطره R. يمر محور الدوران عبر مركز القرص.

حل:

دعونا نقسم القرص إلى حلقات رفيعة لا متناهية، يختلف نصف قطرها من 0 قبل روالنظر في واحدة من هذه الحلقة. دع نصف قطرها يكون ص، والكتلة – مارك ألماني. ثم لحظة القصور الذاتي للحلقة هي:

يمكن تمثيل كتلة الحلقة على النحو التالي:

هنا dz– ارتفاع الحلبة . لنعوض بالكتلة في صيغة لحظة القصور الذاتي ونتكامل:

وكانت النتيجة صيغة لحظة القصور الذاتي لقرص أو أسطوانة رفيعة مطلقة.

المشكلة 2. دع مرة أخرى يكون هناك قرص كتلته m ونصف قطره R. الآن نحن بحاجة إلى إيجاد لحظة القصور الذاتي للقرص بالنسبة للمحور الذي يمر عبر منتصف أحد أنصاف أقطاره.

حل:

إن لحظة القصور الذاتي للقرص بالنسبة للمحور الذي يمر عبر مركز الكتلة معروفة من المشكلة السابقة. دعونا نطبق نظرية شتاينر ونجد:

بالمناسبة، على مدونتنا يمكنك العثور على الآخرين مواد مفيدةفي الفيزياء و

نأمل أن تجد شيئًا مفيدًا لنفسك في المقالة. إذا نشأت صعوبات في عملية حساب موتر القصور الذاتي، فلا تنسى خدمة الطلاب. سيقوم المتخصصون لدينا بتقديم المشورة بشأن أي مشكلة وسيساعدون في حل المشكلة في غضون دقائق.

دعونا الآن نفكر في مشكلة تحديد لحظة القصور الذاتي للأجسام المختلفة. الصيغة العامة لإيجاد لحظة القصور الذاتي لجسم بالنسبة إلى المحور هي:

,

بمعنى آخر، تحتاج إلى جمع كل الكتل، وضرب كل منها في مربع بعدها عن المحور. لاحظ أن هذا صحيح حتى بالنسبة للجسم ثلاثي الأبعاد، على الرغم من أن المسافة لها "مظهر ثنائي الأبعاد". ومع ذلك، في معظم الحالات سنقتصر على الأجسام ثنائية الأبعاد.

كمثال بسيط، لنفترض أن قضيبًا يدور حول محور يمر بنهايته وعموديًا عليه (الشكل 19.3). نحتاج الآن إلى جمع كل الكتل مضروبة في مربعات المسافة (في هذه الحالة، كلها صفر). أقصد بالمجموع بالطبع تكامل ضرب "عناصر" الكتلة. إذا قسمنا القضيب إلى قطع طولية، فإن عنصر الكتلة المقابل سيكون متناسبًا مع، وإذا كان طول القضيب بأكمله، فستكون كتلته مساوية لـ. لهذا

. (19.5)

إن بُعد عزم القصور الذاتي يساوي دائمًا الكتلة مضروبة في مربع الطول، وبالتالي فإن الكمية المهمة الوحيدة التي حسبناها هي العامل.

تين. 19.3. قضيب مستقيم يدور حول محور ويمر بأحد طرفيه.

ما عزم القصور الذاتي إذا مر محور الدوران بمنتصف القضيب؟ للعثور عليه، نحتاج مرة أخرى إلى أخذ التكامل، ولكن هذه المرة في النطاق من إلى. ولكن دعونا نلاحظ سمة واحدة من هذه الحالة. مثل هذا القضيب الذي يمر محوره بالمركز يمكن اعتباره قضيبين لهما محور يمر عبر النهاية، ولكل منهما كتلة تساوي وطول يساوي . لحظات القصور الذاتي لاثنين من هذه القضبان تساوي بعضها البعض ويتم حسابها باستخدام الصيغة (19.5). ومن ثم، فإن عزم القصور الذاتي للقضيب بأكمله يساوي

. (19.6)

وبالتالي، فإن لف القضيب من المنتصف أسهل بكثير من لفه من النهاية.

يمكننا بالطبع الاستمرار في حساب لحظات القصور الذاتي للأجسام الأخرى التي تهمنا. ولكن بما أن مثل هذه الحسابات تتطلب خبرة كبيرة في حساب التكاملات (وهو أمر مهم جدًا في حد ذاته)، فهي ليست ذات أهمية كبيرة بالنسبة لنا على هذا النحو. ومع ذلك، هناك بعض النظريات المثيرة للاهتمام والمفيدة للغاية هنا. لنفترض وجود جسم ما ونريد معرفة عزم قصوره الذاتي بالنسبة إلى محور ما. هذا يعني أننا نريد إيجاد قصوره الذاتي عند الدوران حول هذا المحور. إذا حركنا الجسم بواسطة القضيب الداعم لمركز كتلته بحيث لا يدور عند دورانه حول محوره (في هذه الحالة لا تؤثر عليه عزوم قوى القصور الذاتي، وبالتالي لن يدور الجسم عندما نبدأ بتحريكه) ، ومن أجل تدويره، ستكون هناك حاجة إلى نفس القوة تمامًا كما لو كانت الكتلة بأكملها مركزة في مركز الكتلة وكان عزم القصور الذاتي يساوي ببساطة، حيث المسافة من مركز الكتلة إلى المحور من التناوب. ومع ذلك، هذه الصيغة، بالطبع، غير صحيحة. أنها لا توفر اللحظة الصحيحة من الجمود في الجسم. بعد كل شيء، في الواقع، عند الدوران، يدور الجسم. لا يدور مركز الكتلة فقط (وهو ما يعطي الكمية)، بل يجب أن يدور الجسم نفسه أيضًا بالنسبة إلى مركز الكتلة. وبالتالي، إلى لحظة القصور الذاتي تحتاج إلى إضافة لحظة القصور الذاتي بالنسبة إلى مركز الكتلة. الإجابة الصحيحة هي أن عزم القصور الذاتي حول أي محور يساوي

تسمى هذه النظرية نظرية ترجمة المحور الموازي. ويمكن إثبات ذلك بسهولة شديدة. لحظة القصور الذاتي حول أي محور تساوي مجموع الكتل مضروبا في مجموع المربعات و، أي. . سنركز اهتمامنا الآن على، ولكن يمكن تكرار كل شيء بالضبط. دع الإحداثيات تكون مسافة نقطة معينة من الأصل؛ ولكن دعونا نرى كيف تتغير الأشياء إذا قمنا بقياس المسافة من مركز الكتلة بدلاً من نقطة الأصل. لمعرفة ذلك، يجب أن نكتب

بتربيع هذا التعبير نجد

.

ماذا تحصل إذا ضربته وجمعته على الكل؟ وبأخذ كميات ثابتة خارج علامة الجمع، نجد

.

المبلغ الثالث سهل الحساب؛ انه سهل . ويتكون الحد الثاني من عاملين، أحدهما؛ وهو يساوي إحداثي مركز الكتلة. لكن هذا يجب أن يساوي الصفر، لأنه يقاس من مركز الكتلة، وفي نظام الإحداثيات هذا، فإن متوسط ​​موضع جميع الجسيمات، الموزونة بكتلتها، يساوي الصفر. من الواضح أن المصطلح الأول جزء من . وبذلك نصل إلى الصيغة (19.7).

دعونا نتحقق من الصيغة (19.7) باستخدام مثال واحد. دعونا فقط نتحقق مما إذا كان سيكون قابلاً للتطبيق على القضيب. لقد وجدنا بالفعل أن لحظة القصور الذاتي للقضيب بالنسبة إلى نهايته يجب أن تكون مساوية لـ . ويقع مركز كتلة القضيب بالطبع على مسافة. لذا يجب أن نحصل على ذلك. وبما أن الربع + واحد على اثني عشر = الثلث، فإننا لم نرتكب أي خطأ.

بالمناسبة، للعثور على لحظة القصور الذاتي (19.5)، ليس من الضروري على الإطلاق حساب التكامل. يمكنك ببساطة أن تفترض أنها تساوي القيمة مضروبة في معامل غير معروف. بعد ذلك يمكنك استخدام المنطق حول النصفين والحصول على معامل لحظة القصور الذاتي (19.6). باستخدام الآن نظرية الترجمة المتوازية للمحور، نثبت ذلك، من أين. يمكنك دائمًا العثور على طريق ملتوٍ!

عند تطبيق نظرية المحور الموازي، من المهم أن نتذكر أن المحور يجب أن يكون موازيًا للمحور الذي نريد حساب عزم القصور الذاتي حوله.

ربما تجدر الإشارة إلى خاصية أخرى، والتي غالبًا ما تكون مفيدة جدًا في العثور على عزم القصور الذاتي لأنواع معينة من الأجسام. وهي كالتالي: إذا كان لدينا شكل مستو وثلاثي محاور الإحداثيات مع نقطة الأصل الموجودة في هذا المستوى والمحور موجه عموديًا عليه، فإن عزم القصور الذاتي لهذا الشكل بالنسبة للمحور يساوي مجموع لحظات القصور الذاتي بالنسبة للمحاور و. يمكن إثبات ذلك بكل بساطة. لاحظ أن

(لأن كل شيء موجود). على نفس المنوال،

,

إن عزم القصور الذاتي للوحة مستطيلة منتظمة، على سبيل المثال، مع الكتلة والعرض والطول حول محور عمودي عليها ويمر بمركزها، هو ببساطة

,

بما أن عزم القصور الذاتي بالنسبة إلى المحور الواقع في مستوى اللوحة والموازي لطولها يساوي، أي تمامًا كما هو الحال بالنسبة لقضيب طوله، وعزم القصور الذاتي بالنسبة إلى محور آخر في نفس المستوى هو يساوي , نفس طول القضيب .

لذا، دعونا ندرج خصائص عزم القصور الذاتي حول محور معين، والذي سنسميه المحور:

1. لحظة القصور الذاتي تساوي

.

2. إذا كان الجسم يتكون من عدة أجزاء، وكان عزم القصور الذاتي لكل منها معروفا، فإن إجمالي عزم القصور الذاتي يساوي مجموع عزوم القصور الذاتي لهذه الأجزاء.

3. عزم القصور الذاتي حول أي محور معين يساوي عزم القصور الذاتي حول محور موازي يمر بمركز الكتلة، بالإضافة إلى حاصل ضرب الكتلة الكلية ومربع مسافة المحور المعطى من مركز الكتلة .

4. لحظة القصور الذاتي لشكل مسطح بالنسبة إلى محور عمودي على مستواه تساوي مجموع لحظات القصور الذاتي بالنسبة لأي محورين آخرين متعامدين بشكل متبادل يقعان في مستوى الشكل ويتقاطعان مع المحور العمودي.

في الجدول يوضح الجدول 19.1 لحظات القصور الذاتي لبعض الأشكال الأولية التي لها كثافة كتلة موحدة، والجدول. 19.2 - لحظات القصور الذاتي لبعض الأشكال والتي يمكن الحصول عليها من الجدول. 19.1 باستخدام الخصائص المذكورة أعلاه.

الجدول 19.1 أمثلة بسيطةلحظات من الجمود

طول قضيب رفيع	يمر عبر المركز بشكل عمودي على القضيب
حلقة رقيقة متحدة المركز مع أنصاف أقطار و	يمر عبر مركز الحلقة بشكل عمودي على مستوى الحلقة
نصف القطر المجال	يمر عبر المركز

الجدول 19.2 لحظات القصور الذاتي التي تم الحصول عليها من الجدول. 19.1

مستطيل ذو جوانب ومكعب مع جوانب موازية للمركز

يمكن العثور على الأجسام المتعلقة بأي محور عن طريق الحساب. إذا كانت المادة في جسم ما موزعة بشكل مستمر، فإن حساب عزم قصورها يختصر إلى حساب التكامل

بحيث ص- المسافة من عنصر الكتلة مارك ألمانيإلى محور الدوران.

عزم القصور الذاتي لقضيب رفيع متجانس حول محور عمودي.دع المحور يمر عبر نهاية القضيب أ(الشكل 4.4).

في لحظة الجمود يمكننا أن نكتب أنا أ = kml 2 حيث ل- طول القضيب، ك- معامل التناسب. مركز القضيب معهو مركز كتلته. وفقا لنظرية شتاينر أنا أ = أنا ج + م(ل/2) 2 . مقاس أنا جيمكن تمثيلها كمجموع لحظات القصور الذاتي لقضيبين، ساو شمال شرق، طول كل منها متساوي ل/2، الكتلة م/2، وبالتالي فإن لحظة القصور الذاتي هي هكذا، أنا ج = كم(ل/ 2) 2 . بالتعويض بهذه التعبيرات في صيغة نظرية شتاينر، نحصل على ذلك

,

أين ك = 1/3. ونتيجة لذلك نجد

(4.16)

لحظة القصور الذاتي لحلقة دائرية رقيقة بلا حدود(الدوائر). عزم القصور الذاتي حول المحور ز(الشكل 4.5) يساوي

IZ = السيد 2 , (4.17)

أين ر- نصف قطر الحلبة. بسبب التماثل أنا س = أنا ص.

من الواضح أن الصيغة (4.17) تعطي أيضًا عزم القصور الذاتي لأسطوانة متجانسة مجوفة ذات جدران رقيقة للغاية بالنسبة لمحورها الهندسي.

أرز. 4.5 الشكل. 4.6

لحظة القصور الذاتي لقرص رفيع للغاية وأسطوانة صلبة.ومن المفترض أن يكون القرص والأسطوانة متجانسين، أي أن المادة تتوزع فيهما بكثافة ثابتة. دع المحور زيمر عبر وسط القرص مععمودي على مستواه (الشكل 4.6). خذ بعين الاعتبار حلقة رفيعة للغاية ذات نصف قطر داخلي صونصف القطر الخارجي ص + د. مساحة هذه الحلقة دي إس = 2ص RDR. يمكن إيجاد عزم القصور الذاتي بالصيغة (4.17) وهو يساوي دي ض = ص 2 مارك ألماني.يتم تحديد لحظة القصور الذاتي للقرص بأكمله بواسطة التكامل بسبب تجانس القرص مارك ألماني = ، أين س=ص ر 2 هي مساحة القرص بأكمله. إدخال هذا التعبير تحت علامة التكامل، نحصل عليه

(4.18)

الصيغة (4.18) تعطي أيضًا عزم القصور الذاتي لأسطوانة صلبة متجانسة بالنسبة لمحورها الهندسي الطولي.

غالبًا ما يمكن تبسيط حساب عزم القصور الذاتي للجسم بالنسبة إلى المحور عن طريق الحساب أولاً لحظة من الجمودله نسبة إلى النقطة. إن عزم القصور الذاتي للجسم بالنسبة إلى النقطة نفسها لا يلعب أي دور في الديناميكيات. إنه مفهوم مساعد بحت يعمل على تبسيط العمليات الحسابية. عزم القصور الذاتي للجسم بالنسبة للنقطة Oمُسَمًّى مجموع منتجات كتل النقاط المادية التي يتكون منها الجسم بمربعات مسافاتها R إلى النقطة O:س = Σ السيد 2. في حالة التوزيع الشامل المستمر، يتم تقليل هذا المجموع إلى التكامل q = ∫R 2 dm. وغني عن القول أنه لا ينبغي الخلط بين اللحظة θ ولحظة القصور الذاتي أنانسبة إلى المحور. في حالة لحظة أناالجماهير مارك ألمانييتم ضربها بمربعات المسافات إلى هذا المحور، وفي حالة اللحظة θ - إلى نقطة ثابتة.

دعونا نفكر أولاً في نقطة مادية واحدة لها كتلة مومع الإحداثيات س, في,ضبالنسبة لنظام الإحداثيات المستطيل (الشكل 4.7). مربعات مسافاتها إلى محاور الإحداثيات X,ي,زمتساوية على التوالي ص 2 + ض 2,ض 2 + س 2,س 2 + ص 2ولحظات القصور الذاتي حول نفس المحاور

أنا العاشر= م(ذ 2 + ض 2), أنا = م(ض 2 + س 2),

أنا ز = م(س 2 + ذ 2).

دعونا نضيف هذه المساواة الثلاث ونحصل عليها أنا X + أنا Y + أنا Z = 2م(س 2 + ص 2 + ض 2).

لكن X 2 + ص 2 + ض 2 = ر 2 حيث ر- مسافة النقطة م من الأصل عن.لهذا

أنا X + أنا Y + أنا Z = 2θ . (4.19)

هذه العلاقة صالحة ليس فقط لنقطة مادية واحدة، ولكن أيضًا لجسم اعتباطي، حيث يمكن اعتبار الجسم مجموعة من النقاط المادية. هكذا، مجموع لحظات القصور الذاتي لجسم بالنسبة إلى ثلاثة محاور متعامدة متقاطعة عند نقطة واحدة O يساوي ضعف عزم القصور الذاتي لنفس الجسم بالنسبة إلى هذه النقطة.

عزم القصور الذاتي لكرة مجوفة ذات جدران رقيقة بلا حدود.

أولًا، دعونا نوجد عزم القصور الذاتي θ بالنسبة إلى مركز الكرة. من الواضح أنها تساوي θ = السيد 2 . ثم نطبق الصيغة (4.19). الإيمان به بسبب التماثل أنا X = أنا Y = أنا Z = أنا.ونتيجة لذلك، نجد عزم القصور الذاتي للكرة المجوفة بالنسبة لقطرها

عزم القصور الذاتي للجسم بالنسبة إلى المحور وبالنسبة إلى نقطة ما. لحظة القصور الذاتي لنقطة مادية بالنسبة للمحور تساوي حاصل ضرب كتلة النقطة في مربع مسافة النقطة إلى المحور. للعثور على لحظة القصور الذاتي للجسم (مع التوزيع المستمر للمادة) بالنسبة للمحور، عليك تقسيمها عقليًا إلى عناصر صغيرة بحيث يمكن اعتبار كل منها نقطة ماديةكتلة متناهية الصغر مارك ألماني =  العنف المنزلي. إذن فإن عزم القصور الذاتي للجسم بالنسبة للمحور يساوي التكامل على حجم الجسم:

أين ص- مسافة العنصر مارك ألمانيإلى المحور.

غالبًا ما يتم تبسيط حساب عزم القصور الذاتي للجسم حول المحور إذا قمت بحسابه أولاً لحظة القصور الذاتي حول نقطة ما . يتم حسابه باستخدام صيغة مشابهة لـ (1):

(2)

أين ص- مسافة العنصر مارك ألمانيإلى النقطة المحددة (بالنسبة إلى التي يتم حسابها  ). فلتكن هذه النقطة هي أصل نظام الإحداثيات X, ي, ز(رسم بياني 1). مسافات العناصر المربعة مارك ألمانيلتنسيق المحاور X, ي, ز وإلى الأصل متساويان على التوالي ذ 2 + ض 2 , ض 2 + س 2 , س 2 + ذ 2 , س 2 + ذ 2 + ض 2 . لحظات القصور الذاتي للجسم بالنسبة للمحاور X, ي, زونسبة إلى الأصل

ومن هذه العلاقات يترتب على ذلك

هكذا، مجموع لحظات القصور الذاتي للجسم بالنسبة لأي ثلاثة محاور متعامدة تمر عبر نقطة واحدة يساوي ضعف عزم القصور الذاتي للجسم بالنسبة لهذه النقطة.

لحظة القصور الذاتي لحلقة رقيقة. جميع عناصر الحلبة مارك ألماني(الشكل 2) على نفس المسافة، أي ما يعادل نصف قطر الحلقة ر, من محور التماثل (المحور Y) ومن مركزه. لحظة القصور الذاتي للحلقة بالنسبة للمحور Y

(4)

لحظة القصور الذاتي لقرص رفيع. دع قرصًا رقيقًا متجانسًا من الكتلة ممع ثقب متحد المركز (الشكل 3) له أنصاف أقطار داخلية وخارجية ر 1 و ر 2 . دعونا نقسم القرص عقليًا إلى حلقات رقيقة من نصف القطر صسمك دكتور. لحظة القصور الذاتي لهذه الحلقة بالنسبة للمحور ي(الشكل رقم 3، وهو متعامد مع الشكل وغير موضح)، وفقاً للرقم (4):

لحظة القرص من الجمود:

(6)

وعلى وجه الخصوص، على افتراض (6) ر 1 = 0, ر 2 = ر, نحصل على صيغة لحساب لحظة القصور الذاتي لقرص متجانس رفيع وصلب بالنسبة لمحوره:

إن عزم القصور الذاتي للقرص بالنسبة لمحور التماثل لا يعتمد على سمك القرص. لذلك، باستخدام الصيغتين (6) و (7)، من الممكن حساب لحظات القصور الذاتي للأسطوانات المقابلة بالنسبة إلى محاور التماثل الخاصة بها.

يتم أيضًا حساب عزم القصور الذاتي للقرص الرقيق بالنسبة إلى مركزه باستخدام الصيغة (6)،  = ج ذ , وعزوم القصور الذاتي حول المحاور Xو زمتساوون مع بعضهم البعض ج س = ج ض. وعليه، ووفقاً لـ (3): 2 ج س + ج ذ = 2 ج ذ , ج س = ج ذ /2, أو

(8)

لحظة القصور الذاتي للاسطوانة. يجب أن تكون هناك أسطوانة مجوفة متناظرة من الكتلة م، طول ححيث أن نصف القطر الداخلي والخارجي متساويان ر 1 و ر 2 . دعونا نوجد عزم القصور الذاتي بالنسبة للمحور ز، مرسومًا عبر مركز الكتلة بشكل عمودي على محور الأسطوانة (الشكل 4). للقيام بذلك، دعونا نقسمها ذهنيًا إلى أقراص ذات سماكة متناهية الصغر. دي. أحد هذه الأقراص يزن مارك ألماني = mdy/ ح، يقع على مسافة ذمن الأصل كما هو موضح في الصورة 4. عزم القصور الذاتي حول المحور ز، وفقًا لـ (8) ونظرية هيغنز-شتاينر

لحظة القصور الذاتي للاسطوانة بأكملها

عزم القصور الذاتي للأسطوانة حول المحور ز (محور دوران البندول) نجده باستخدام نظرية هويجنز-شتاينر

أين د- المسافة من مركز كتلة الاسطوانة إلى المحور ز . في المرجع 16 تم تحديد لحظة القصور الذاتي هذه على أنها ج نهاية الخبر

(11)

طريقة المربع الأصغر

إن رسم النقاط التجريبية ورسم رسم بياني عليها "بالعين"، وكذلك تحديد الإحداثيات والإحداثيات للنقاط من الرسم البياني، ليس دقيقًا للغاية. ويمكن زيادتها إذا استخدمت الطريقة التحليلية. القاعدة الرياضية لإنشاء الرسم البياني هي اختيار قيم المعلمات "أ" و "ب" في الاعتماد الخطيعطوف ص = آه + ب بحيث يكون مجموع الانحرافات التربيعية  في أنا (الشكل 5) من بين جميع النقاط التجريبية من خط الرسم البياني كانت الأصغر ( طريقة المربعات الصغرى")، أي. بحيث القيمة

(1)