تحديد إحداثيات مركز ثقل الأشكال المستوية. تحديد مركز ثقل الأشكال المستوية

إن تحديد مركز ثقل جسم اعتباطي من خلال جمع القوى المؤثرة على أجزائه الفردية على التوالي هو مهمة صعبة؛ يتم تسهيله فقط للأجسام ذات الشكل البسيط نسبيًا.

دع الجسم يتكون من وزنين فقط من الكتلة ومتصلين بواسطة قضيب (الشكل 125). إذا كانت كتلة القضيب صغيرة مقارنة بالكتل و فيمكن إهمالها. تتأثر كل كتلة بالجاذبية التي تساوي و على التوالي؛ كلاهما موجهان عموديًا إلى الأسفل، أي بالتوازي مع بعضهما البعض. كما نعلم، يتم تطبيق محصلة قوتين متوازيتين عند النقطة التي يتم تحديدها من الشرط

أرز. 125. تحديد مركز ثقل جسم مكون من حملين

ولذلك فإن مركز الجاذبية يقسم المسافة بين حملين بنسبة عكسية لنسبة كتلتيهما. إذا علق هذا الجسم عند نقطة ما فإنه سيظل في حالة اتزان.

نظرًا لأن كتلتين متساويتين لهما مركز ثقل مشترك عند نقطة تشطر المسافة بين هاتين الكتلتين، فمن الواضح على الفور، على سبيل المثال، أن مركز ثقل قضيب متجانس يقع في منتصف القضيب (الشكل 126) .

نظرًا لأن أي قطر لقرص مستدير متجانس يقسمه إلى جزأين متماثلين تمامًا (الشكل 127)، فيجب أن يقع مركز الثقل على كل قطر من قطر القرص، أي عند نقطة تقاطع الأقطار - في الشكل الهندسي مركز القرص. وبالمناقشة بطريقة مماثلة، يمكننا أن نجد أن مركز ثقل الكرة المتجانسة يقع في مركزها الهندسي، ويقع مركز ثقل متوازي الأضلاع المستطيل المتجانس عند تقاطع قطريه، وما إلى ذلك. مركز ثقل الطوق أو حلقة تقع في وسطها. يوضح المثال الأخير أن مركز ثقل الجسم يمكن أن يقع خارج الجسم.

أرز. 126. يقع مركز ثقل القضيب المتجانس في منتصفه

أرز. 127. يقع مركز القرص المتجانس في مركزه الهندسي

إذا كان الجسم ذو شكل غير منتظم أو إذا كان غير متجانس (على سبيل المثال، به فراغات)، فغالبًا ما يكون حساب موضع مركز الثقل صعبًا ويكون العثور على هذا الموضع أكثر ملاءمة من خلال التجربة. لنفترض، على سبيل المثال، أنه مطلوب العثور على مركز ثقل قطعة من الخشب الرقائقي. دعونا نعلقه على الخيط (الشكل 128). من الواضح، في وضع التوازن، يجب أن يقع مركز ثقل الجسم على استمرار الخيط، وإلا فإن قوة الجاذبية سيكون لها لحظة بالنسبة إلى نقطة التعليق، والتي ستبدأ في تدوير الجسم. لذلك، برسم خط مستقيم على قطعة الخشب الرقائقي لدينا، والذي يمثل استمرارية الخيط، يمكننا التأكيد على أن مركز الثقل يقع على هذا الخط المستقيم.

وبالفعل، من خلال تعليق الجسم في نقاط مختلفة ورسم خطوط رأسية، سنتأكد من تقاطعها جميعًا في نقطة واحدة. هذه النقطة هي مركز ثقل الجسم (لأنها يجب أن تقع على كل هذه الخطوط في وقت واحد). بطريقة مماثلة، من الممكن تحديد موضع مركز الثقل ليس فقط لشكل مسطح، ولكن أيضًا لجسم أكثر تعقيدًا. يتم تحديد موضع مركز ثقل الطائرة عن طريق دحرجتها بالعجلات على منصة الميزان. سيتم توجيه محصلة قوى الوزن على كل عجلة عموديًا، ويمكنك العثور على الخط الذي تعمل على طوله وفقًا لقانون جمع القوى المتوازية.

أرز. 128. نقطة تقاطع الخطوط العمودية المرسومة عبر نقاط التعليق هي مركز ثقل الجسم

عندما تتغير كتل الأجزاء الفردية من الجسم أو عندما يتغير شكل الجسم، يتغير موضع مركز الثقل. لذلك، يتحرك مركز ثقل الطائرة عند استهلاك الوقود من الخزانات، وعند تحميل الأمتعة، وما إلى ذلك. لإجراء تجربة بصرية توضح حركة مركز الثقل عندما يتغير شكل الجسم، من المناسب أخذها شريطان متطابقان متصلان بمفصلة (الشكل 129). في حالة كون القضبان استمرارًا لبعضها البعض، فإن مركز الثقل يقع على محور القضبان. إذا كانت القضبان مثنية عند المفصلة، ​​فإن مركز الثقل يكون خارج القضبان، على منصف الزاوية التي تشكلها. إذا تم وضع حمل إضافي على أحد القضبان، فإن مركز الثقل سيتحرك نحو هذا الحمل.

أرز. 129. أ) يقع مركز ثقل القضبان المتصلة بمفصلة، ​​على خط مستقيم واحد، على محور القضبان، ب) يقع مركز ثقل نظام القضبان المنحني خارج القضبان

81.1. أين يقع مركز ثقل قضيبين رفيعين متطابقين طولهما 12 سم ومثبتان على شكل حرف T؟

81.2. أثبت أن النقطه الوسطى للوحة مثلثة موحدة تقع عند تقاطع المتوسطات.

أرز. 130. ممارسة 81.3

81.3. لوح متجانس كتلته 60 كجم يرتكز على دعامتين، كما هو موضح في الشكل. 130. تحديد القوى المؤثرة على الدعامات.

تعليمات

يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن موضع مركز الكتلة يعتمد بشكل مباشر على كيفية توزيع كتلته على حجم الجسم. وقد لا يكون مركز الكتلة موجودًا حتى في الجسم نفسه، ومثال على مثل هذا الجسم هو الحلقة المتجانسة، التي يقع فيها مركز الكتلة في مركزها الهندسي. إنه - . في الحسابات، يمكن اعتبار مركز الكتلة بمثابة نقطة رياضية تتركز فيها كتلة الجسم بأكملها.

هنا ر.ت.م. هو متجه نصف القطر لمركز الكتلة، mi هو كتلة النقطة i، ri هو ناقل نصف القطر للنقطة i في النظام. من الناحية العملية، في كثير من الحالات، يكون من السهل العثور على مركز الكتلة إذا كان للكائن شكل هندسي صارم معين. على سبيل المثال، بالنسبة للقضيب المتجانس، فهو يقع في المنتصف تمامًا. في متوازي الأضلاع يكون عند تقاطع الأقطار، وفي المثلث يكون نقطة، وفي المضلع المنتظم يكون مركز الكتلة في مركز التماثل الدوراني.

بالنسبة للأجسام الأكثر تعقيدًا، تصبح مهمة الحساب أكثر تعقيدًا، وفي هذه الحالة من الضروري تقسيم الكائن إلى أحجام متجانسة. يتم تحديد مراكز الكتلة لكل منها على حدة، وبعد ذلك يتم استبدال القيم التي تم العثور عليها في الصيغ المقابلة ويتم العثور على القيمة النهائية.

من الناحية العملية، عادة ما ترتبط الحاجة إلى تحديد مركز الكتلة (مركز الثقل) بأعمال التصميم. على سبيل المثال، عند تصميم السفينة، من المهم ضمان استقرارها. إذا كان مركز الجاذبية مرتفعًا جدًا، فقد ينقلب. كيفية حساب المعلمة المطلوبة لكائن معقد مثل السفينة؟ للقيام بذلك، يتم العثور على مراكز الثقل لعناصرها الفردية والتجمعات، وبعد ذلك يتم إضافة القيم الموجودة مع مراعاة موقعها. عند التصميم، يحاولون عادةً وضع مركز الثقل عند أدنى مستوى ممكن، بحيث تقع الوحدات الأثقل في الأسفل.

مصادر:

• مركز الكتلة
• حل المسائل في الفيزياء

مركز الكتلة هو أهم هندسي و المواصفات الفنيةجسم. دون حساب إحداثياتها، من المستحيل تخيل التصميم في الهندسة الميكانيكية، وحل مشاكل البناء والهندسة المعمارية. يتم التحديد الدقيق لإحداثيات مركز الكتلة باستخدام حساب التفاضل والتكامل.

تعليمات

يجب أن تبدأ دائمًا من ثم تنتقل تدريجيًا إلى المزيد المواقف الصعبة. انطلق من حقيقة أنه يجب تحديد مركز كتلة الشكل المسطح المستمر D، الذي يكون ρ ثابتًا وموزعًا بشكل موحد ضمن حدوده. تنتقل الوسيطة x من a إلى b، ومن y إلى c إلى d. اقسم الشكل بشبكة من الخطوط الرأسية (x=x(i-1)، x=xi (i=1,2,…,n)) والخطوط الأفقية (y=y(j-1)، y=xj ( j=1, 2,…,m)) إلى مستطيلات أولية ذات قواعد ∆axis=xi-x(i-1) وارتفاعات ∆yj=yj-y(j-1) (انظر الشكل 1). في هذه الحالة، أوجد منتصف القطعة الابتدائية ∆хi كـ ξi=(1/2)، والارتفاع ∆yj كـ ηj=(1/2). وبما أن الكثافة موزعة بالتساوي، فإن مركز كتلة المستطيل الأولي سوف يتطابق مع مركزه الهندسي. هذا هو Хцi = ξi، Yцi = ηj.

الكتلة M من الشكل المسطح (إذا كان غير معروف)، يتم حسابها كحاصل ضرب المساحة. استبدل المنطقة الأولية بـ ds=∆axis∆yj=dxdy. قم بتمثيل ∆mij كـ dM=ρdS=ρdxdy واحصل على كتلته باستخدام الصيغة الموضحة في الشكل. 2 أ. مع زيادات صغيرة، اعتبر أن ∆mij يتركز عند نقطة مادية بإحداثيات Хцi=ξi، Yцi=ηj. يُعرف من المسائل أن كل إحداثي لمركز كتلة نظام من النقاط المادية يساوي كسرًا، بسطه هو مجموع لحظات الكتلة الساكنة mν بالنسبة إلى المحور المقابل، ويساوي مجموع هذه الجماهير. والعزم الثابت للكتلة mν، بالنسبة إلى المحور 0x هو yν*mν، وبالنسبة إلى 0y xν*mν.

قم بتطبيق ذلك على الموقف قيد النظر واحصل على القيم التقريبية للحظات الثابتة Jx و Jy في النموذج المبالغ المضمنة في التعبير الأخير متكاملة. انتقل إلى الحدود منها عند ∆khν→0 ∆yν→0 واكتب الحدود النهائية (انظر الشكل 2 ب). ابحث عن إحداثيات مركز الكتلة عن طريق قسمة اللحظة الإحصائية المقابلة على الكتلة الإجمالية للشكل M.

تختلف منهجية الحصول على إحداثيات مركز كتلة الشكل المكاني G فقط في ظهور التكاملات الثلاثية، وتعتبر اللحظات الثابتة نسبة إلى تنسيق الطائرات. يجب ألا ننسى أن الكثافة ليست بالضرورة ثابتة، أي ρ(x,y,z)≠const. ولذلك، فإن الشكل النهائي والأكثر عمومية له (انظر الشكل 3).

مصادر:

• بيسكونوف إن إس. حساب التفاضل والتكامل. ت.2، م: 1976، 576 ص، ص.

قانون جاذبيةالتي اكتشفها نيوتن عام 1666 ونشرت عام 1687، تنص على أن جميع الأجسام ذات الكتلة تتجاذب مع بعضها البعض. تسمح الصيغة الرياضية ليس فقط بإثبات حقيقة الجذب المتبادل للأجسام، ولكن أيضًا بقياس قوتها.

تعليمات

وحتى قبل نيوتن، تكهن الكثيرون بوجود الجاذبية الكونية. منذ البداية كان واضحًا لهم أن التجاذب بين أي جسمين يجب أن يعتمد على كتلتهما ويضعف مع المسافة. يوهانس كيبلر، أول من وصف المدارات الإهليلجية النظام الشمسييعتقد أن الشمس تتجاذب بقوة تتناسب عكسيا مع المسافة.

وأخيرًا، يتم صياغة قانون الجذب العام على النحو التالي: أي جسمين لهما كتلة ينجذبان بشكل متبادل، وقوة جذبهما تساوي

F = G* ((m1*m2)/R^2)،

حيث m1 وm2 - كتل الأجسام، R - المسافة، G - ثابت الجاذبية.

إذا كان الجسم المشارك في الجاذبية له شكل كروي تقريبًا، فيجب قياس المسافة R ليس من سطحه، ولكن من مركز الكتلة. نقطة ماديةبنفس الكتلة، الموجودة بالضبط في المركز، ستولد نفس قوة الجذب تمامًا.

على وجه الخصوص، هذا يعني أنه، على سبيل المثال، عند حساب القوة التي تجذب بها الأرض شخصًا يقف عليها، فإن المسافة R لا تساوي الصفر، بل نصف القطر. وفي الواقع، فهو يساوي المسافة بين مركز الأرض ومركز ثقل الإنسان، ولكن يمكن إهمال هذا الاختلاف دون فقدان الدقة.

إن جاذبية الجاذبية تكون دائمًا متبادلة: فالأرض لا تجذب الإنسان فحسب، بل بدورها تجذب الأرض. ونظرا للفرق الكبير بين كتلة الشخص على هذا الكوكب، فإن هذا غير محسوس. وبالمثل، عند حساب المسارات مركبة فضائيةوعادة ما يتم إهمال أن الجهاز يجذب الكواكب والمذنبات إلى نفسه.

ومع ذلك، إذا كانت جماهير الكائنات المتفاعلة قابلة للمقارنة، فإن جاذبيتها المتبادلة تصبح ملحوظة لجميع المشاركين. على سبيل المثال، من وجهة نظر الفيزياء، ليس صحيحًا تمامًا القول بأن القمر يدور حول الأرض. في الواقع، القمر والأرض يدوران حولهما مركز مشتركبالوزن. وبما أن كوكبنا أكبر بكثير من كوكبه الطبيعي، فإن هذا المركز يقع بداخله، لكنه لا يزال لا يتطابق مع مركز الأرض نفسها.

فيديوهات ذات علاقة

مصادر:

• الفيزياء الرائعةللفضوليين - قانون الجاذبية

ربما تكون الرياضيات والفيزياء من أروع العلوم المتاحة للإنسان. ومن خلال وصف العالم من خلال قوانين محددة وقابلة للحساب، يستطيع العلماء "بطرف قلم" الحصول على قيم تبدو للوهلة الأولى مستحيلة القياس.

تعليمات

أحد القوانين الأساسية للفيزياء هو قانون الجاذبية. تنص على أن جميع الأجسام تنجذب لبعضها البعض بقوة تساوي F=G*m1*m2/r^2. في هذه الحالة، G هو ثابت معين (سيتم الإشارة إليه مباشرة أثناء الحساب)، m1 و m2 هما كتلتا الأجسام، و r هي المسافة بينهما.

كتلةيمكن حساب الأراضي على أساس التجربة. باستخدام البندول وساعة التوقيت، يمكنك حساب تسارع السقوط الحر g (سيتم حذف الخطوة لأنها غير ذات صلة)، أي ما يعادل 10 م / ث ^ 2. وفقا لقانون نيوتن الثاني، يمكن تمثيل F كـ m*a. لذلك، بالنسبة لجسم ينجذب إلى الأرض: m2*a2=G*m1*m2/r^2، حيث m2 هي كتلة الجسم، m1 هي كتلة الأرض، a2=g. بعد التحويلات (تخفيض m2 في كلا الجزأين، نقل m1 إلى اليسار، وa2 إلى اليمين)، ستأخذ المعادلة الشكل التالي: m1=(ar)^2/G. استبدال القيمة يعطي m1=6*10^27

يعتمد حساب كتلة القمر على القاعدة: من الأجسام إلى مركز كتلة النظام تتناسب عكسيا مع كتل الأجسام. ومن المعروف أن الأرض والقمر يدوران حول نقطة معينة (سم)، والمسافات من المركزين إلى هذه النقطة هي 1/81.3. وبالتالي، مل \u003d مز / 81.3 \u003d 7.35 * 10 ^ 25.

تعتمد الحسابات الإضافية على قانون كيبلر الثالث، والذي بموجبه (T1/T2)^2*(M1+Mc)/(M2+Mc)=(L1/L2)^3، حيث T هي فترة ثورة النجم السماوي الجسم حولها شمس، L هي المسافة إلى الأخير، وM1، وM2، وMc هي كتلتان الأجرام السماويةوبالمقابل. من خلال تجميع المعادلات لنظامين (+ القمر - / الأرض - القمر)، يمكنك أن ترى أن جزءًا واحدًا من المعادلة يتبين أنه مشترك، مما يعني أنه يمكن مساواة الجزء الثاني.

صيغة الحساب في الأكثر منظر عامهي Lz^3/(Tz^2*(Mc+Mz)=Ll^3/(Tl^2*(Mz+Ml). الطرق بعد تبسيط واستبدال القيم الضرورية، سوف تأخذ المعادلة الشكل: Ms / Ms + مل \u003d 329.390 ومن ثم السيدة \u003d 3.3 * 10 ^ 33.

الطاقة الحركية هي طاقة النظام الميكانيكي، والتي تعتمد على سرعة حركة كل نقطة من نقاطه. بعبارة أخرى، الطاقة الحركيةيمثل الفرق بين الطاقة الإجمالية وبقية الطاقة للنظام قيد النظر، وهو ذلك الجزء من الطاقة الإجمالية للنظام الناتج عن الحركة. وتنقسم الطاقة الحركية إلى طاقةتقدمية و حركة دوارة. وحدة SI للطاقة الحركية هي الجول.

تعليمات

وفي حالة الحركة الانتقالية، فإن جميع نقاط النظام (الجسم) لها نفس سرعة الحركة، وهي تساوي سرعة حركة مركز كتلة الجسم. وفي هذه الحالة فإن النظام الحركي Tpost يساوي:
تي بوست = ؟ (عضو الكنيست Vс2)/2،
حيث mk كتلة الجسم، Vc هو مركز الكتلة، وبالتالي، في الجسم الانتقالي، تكون الطاقة الحركية تساوي حاصل ضرب كتلة الجسم ومربع سرعة مركز الكتلة، مقسمة بمقدار اثنين. وفي هذه الحالة لا تعتمد القيمة الحركية على الحركة.

استنادا إلى الصيغ العامة التي تم الحصول عليها أعلاه، من الممكن الإشارة إلى طرق محددة لتحديد إحداثيات مراكز ثقل الأجسام.

1. إذا كان للجسم المتجانس مستوى أو محور أو مركز تماثل، فإن مركز ثقله يقع على التوالي إما في مستوى التماثل، أو على محور التماثل، أو في مركز التماثل.

لنفترض، على سبيل المثال، أن الجسم المتجانس له مستوى من التماثل. ثم ينقسم بهذا المستوى إلى جزأين متساويين في الأوزان، وتكون مراكز ثقلهما على مسافات متساوية من مستوى التماثل. وبالتالي، فإن مركز ثقل الجسم كنقطة تمر عبرها محصلة قوتين متساويتين ومتوازيتين، سيكون بالفعل في مستوى التماثل. ويتم الحصول على نتيجة مماثلة في الحالات التي يكون فيها للجسم محور أو مركز تناظر.

يستنتج من خصائص التماثل أن مركز ثقل حلقة مستديرة متجانسة، أو لوحة مستديرة أو مستطيلة، أو متوازي سطوح مستطيل، أو كرة وغيرها من الأجسام المتجانسة ذات مركز التماثل يقع في المركز الهندسي (مركز التماثل) للقطر هذه الهيئات.

2. التقسيم. إذا كان من الممكن تقسيم الجسم إلى عدد محدود من هذه الأجزاء، لكل منها موقع مركز الثقل معروف، فيمكن حساب إحداثيات مركز ثقل الجسم بأكمله مباشرة باستخدام الصيغ (59) - (62). وفي هذه الحالة يكون عدد الحدود في كل مجموع مساوياً لعدد الأجزاء التي ينقسم إليها الجسم.

المشكلة 45. حدد إحداثيات مركز ثقل اللوحة المتجانسة الموضحة في الشكل. 106. جميع القياسات بالسنتيمتر.

حل. نرسم محاور x و y ونقسم اللوحة إلى ثلاثة مستطيلات (تظهر الخطوط المقطوعة في الشكل 106). نحسب إحداثيات مراكز ثقل كل مستطيل ومساحته (انظر الجدول).

مساحة اللوحة بأكملها

باستبدال الكميات المحسوبة في الصيغ (61)، نحصل على:

يظهر الموضع الموجود لمركز الثقل C في الرسم؛ النقطة C تقع خارج اللوحة.

3. الإضافة. هذه الطريقة هي حالة خاصة لطريقة التقسيم. ويسري على الأجسام ذات الفتحات إذا كانت مراكز ثقل الجسم بدون الفتحة والمقطع معروفة.

المشكلة 46. تحديد موضع مركز الثقل للوحة مستديرة نصف قطرها R مع قطع نصف القطر (الشكل 107). مسافة

حل. يقع مركز ثقل اللوحة على الخط، لأن هذا الخط هو محور التماثل. رسم محاور الإحداثيات. للعثور على الإحداثيات، نكمل مساحة اللوحة إلى دائرة كاملة (الجزء 1)، ثم نطرح مساحة الدائرة المقطوعة من المساحة الناتجة (الجزء 2). في هذه الحالة، يجب أن تؤخذ مساحة الجزء 2، كما تم طرحها، بعلامة الطرح. ثم

باستبدال القيم الموجودة في الصيغ (61) نحصل على:

مركز الثقل الموجود C، كما ترون، يقع على يسار النقطة

4. التكامل. إذا لم يكن من الممكن تقسيم الجسم إلى عدة أجزاء محدودة، تكون مواقع مراكز ثقلها معروفة، فسيتم تقسيم الجسم أولاً إلى أحجام صغيرة اعتباطية تأخذ الصيغ (60) لها الشكل

أين تقع إحداثيات نقطة معينة داخل الحجم، ثم في المعادلات (63) تمر إلى الحد، مما يجعل كل شيء يصل إلى الصفر، أي تقليص هذه الحجوم إلى نقاط. ثم تتحول المبالغ في المعادلات إلى تكاملات ممتدة على كامل حجم الجسم، وتعطي الصيغ (63) الحد:

وبالمثل، بالنسبة لإحداثيات مراكز ثقل المناطق والخطوط، نحصل على الحد من الصيغتين (61) و (62):

يتم تناول مثال لتطبيق هذه الصيغ لتحديد إحداثيات مركز الثقل في الفقرة التالية.

5. الطريقة التجريبية. يمكن تحديد مراكز ثقل الأجسام غير المتجانسة ذات التكوين المعقد (الطائرات والقاطرات البخارية وما إلى ذلك) بشكل تجريبي. ومن الطرق التجريبية الممكنة (طريقة التعليق) أن يتم تعليق الجسم على خيط أو كابل في نقاطه المختلفة. إن اتجاه الخيط الذي تم تعليق الجسم عليه سيعطي في كل مرة اتجاه الجاذبية. وتحدد نقطة تقاطع هذه الاتجاهات مركز ثقل الجسم. آخر طريقة حل ممكنةالتحديد التجريبي لمركز الثقل هو طريقة الوزن. الفكرة وراء هذه الطريقة واضحة من المثال أدناه.

– حساب مركز ثقل شكل مسطح محدد. يفهم العديد من القراء بشكل حدسي ما هو مركز الثقل، ولكن، مع ذلك، أوصي بتكرار المواد من أحد الدروس الهندسة التحليليةحيث قمت بتفكيكها مشكلة مركز ثقل المثلثو في نموذج يمكن الوصول إليهفك المعنى المادي لهذا المصطلح.

في مستقلة و مهام التحكمللحل، كقاعدة عامة، يتم اقتراح أبسط حالة - حدود مسطحة متجانسشخصية، أي شخصية ذات كثافة بدنية ثابتة - ألعاب زجاجية، خشبية، من الحديد الزهر، طفولة صعبة، إلخ. علاوة على ذلك، افتراضيا، سنتحدث فقط عن هذه الأرقام =)

القاعدة الأولى و أبسط مثال : إذا كان الرقم المسطح لديه مركز التماثل، فهو مركز ثقل هذا الشكل. على سبيل المثال، مركز لوحة مستديرة متجانسة. إنه أمر منطقي ودنيوي واضح - كتلة هذا الشكل "موزعة بشكل عادل في جميع الاتجاهات" بالنسبة للمركز. صدق - لا أريد ذلك.

ومع ذلك، في الواقع القاسي، من غير المرجح أن يتم إلقاء الحلوى قالب شوكولاتة بيضاوي الشكللذا عليك أن تتسلح بأداة مطبخ جادة:

يتم حساب إحداثيات مركز ثقل الشكل المحدود المتجانس بواسطة الصيغ التالية:

, أو:

أين مساحة المنطقة (الشكل) ؛ أو قصيرة جداً:

، أين

سوف نسمي التكامل بشكل مشروط تكامل "X"، والتكامل تكامل "Y".

ملاحظة-مساعدة : لشقة محدودة غير متجانسةالشكل الذي يتم تحديد كثافته بواسطة الوظيفة، تكون الصيغ أكثر تعقيدًا:
، أين - كتلة الشكل؛وفي حالة الكثافة الموحدة، يتم تبسيطها إلى الصيغ المذكورة أعلاه.

في الصيغ، في الواقع، تنتهي كل الحداثة، والباقي هو قدرتك حل التكاملات المزدوجةبالمناسبة، الآن فرصة عظيمة للتدرب على أسلوبك وتحسينه. والكمال كما تعلمون ليس له حدود =)

دعونا نلقي جزءًا من القطع المكافئ المنشط:

مثال 1

أوجد إحداثيات مركز ثقل شكل مسطح متجانس محدد بخطوط.

حل: الخطوط هنا أولية: فهي تحدد محور الإحداثي، والمعادلة - القطع المكافئ، والتي يتم بناؤها بسهولة وسرعة باستخدام التحولات الهندسية للرسوم البيانية:

– القطع المكافئ، تم إزاحة وحدتين إلى اليسار ووحدة واحدة إلى الأسفل.

سأكمل الرسم بأكمله مرة واحدة بالنقطة النهائية لمركز ثقل الشكل:

القاعدة الثانية: إذا كان هذا الرقم لديه محاور التماثلفإن مركز ثقل هذا الشكل يقع بالضرورة على هذا المحور.

في حالتنا، الرقم متماثل مستقيم، أي أننا في الواقع نعرف الإحداثي "x" للنقطة "em".

لاحظ أيضًا أن مركز الجاذبية عموديًا ينزاح بالقرب من المحور السيني، نظرًا لأن الشكل أكثر ضخامة هناك.

نعم، ربما لم يفهم الجميع تمامًا ما هو مركز الثقل: من فضلك ارفع السبابةووضع "نعل" مظلل عليه بنقطة عقليًا. من الناحية النظرية، لا ينبغي أن ينخفض ​​هذا الرقم.

نجد إحداثيات مركز ثقل الشكل من خلال الصيغ ، أين .

ترتيب اجتياز المنطقة (الشكل) واضح هنا:

انتباه!اتخاذ قرار بشأن الأكثر أمر مناسبتجاوز مرة واحدة- واستخدامها للجميعالتكاملات!

1) أولا، حساب مساحة الشكل. نظرًا للبساطة النسبية للتكامل، يمكن صياغة الحل بشكل مضغوط، والشيء الرئيسي هو عدم الخلط في الحسابات:

نحن ننظر إلى الرسم ونقدر المساحة بالخلايا. اتضح حول هذه القضية.

2) تم بالفعل العثور على الإحداثي السيني لمركز الثقل من خلال "الطريقة الرسومية"، لذا يمكنك الرجوع إلى التماثل والانتقال إلى النقطة التالية. ومع ذلك، ما زلت لا أنصح بالقيام بذلك - فمن المحتمل أن يتم رفض الحل بعبارة "استخدم الصيغة".

لاحظ أنه يمكنك هنا القيام بحسابات شفهية حصرية - في بعض الأحيان ليس من الضروري على الإطلاق تقليل الكسور إليها القاسم المشتركأو تعذيب الآلة الحاسبة.

هكذا:
وهو ما كان مطلوبا.

3) أوجد إحداثيات مركز الثقل. دعونا نحسب تكامل "اللعبة":

وهنا سيكون الأمر صعبًا بدون آلة حاسبة. فقط في حالة، سأعلق أنه نتيجة لضرب كثيرات الحدود، يتم الحصول على 9 حدود، وبعضها متشابه. أعطيت مصطلحات مماثلة شفويا (كما يحدث عادة في حالات مماثلة)وكتب على الفور المبلغ النهائي.

نتيجة ل:
وهو قريب جدًا جدًا من الحقيقة.

على المرحلة الأخيرةبمناسبة نقطة على الرسم. وفقًا للشرط، لم يكن مطلوبًا رسم أي شيء، ولكن في معظم المشكلات، نضطر طوعًا أو كرهًا إلى رسم شكل. ولكن هناك ميزة مطلقة - بصرية وهادئة فحص فعالنتيجة.

إجابة:

المثالان التاليان ل قرار مستقل.

مثال 2

أوجد إحداثيات مركز ثقل شكل مستوٍ متجانس محدد بخطوط

بالمناسبة، إذا تخيلت كيف يقع القطع المكافئ ورأيت النقاط التي يتقاطع عندها مع المحور، فيمكنك هنا الاستغناء عن الرسم.

والأصعب:

مثال 3

أوجد مركز ثقل شكل مستوٍ متجانس محاط بخطوط

إذا كنت تواجه صعوبة في التخطيط، فادرس (مراجعة) درس على القطع المكافئةو/أو المثال رقم 11 من المادة التكاملات المزدوجة للدمى.

نماذج من الحلول في نهاية الدرس.

بالإضافة إلى عشرات أمثلة مماثلةيمكن العثور عليها في الأرشيف المقابل على الصفحة حلول جاهزة للرياضيات العليا.

حسنًا، لا يسعني إلا إرضاء عشاق الرياضيات العليا، الذين يطلبون مني غالبًا حل المشكلات الصعبة:

مثال 4

أوجد مركز ثقل شكل مسطح متجانس محدد بخطوط. ارسم الشكل ومركز ثقله على الرسم.

حل: حالة هذه المهمة تتطلب بالفعل بشكل قاطع تنفيذ الرسم. ولكن الشرط ليس رسميا جدا! - حتى الشخص ذو المستوى التدريبي المتوسط ​​يمكنه أن يتخيل هذا الرقم في ذهنه:

يقطع الخط المستقيم الدائرة إلى جزأين وعبارة إضافية (سم. المتباينات الخطية) يدل على أننا نتحدث عن قطعة صغيرة مظللة.

الشكل متماثل حول خط مستقيم (مصور بخط منقط)، لذلك يجب أن يقع مركز الثقل على هذا الخط. ومن الواضح أن إحداثياتها هي modulo. مبدأ توجيهي ممتاز يستبعد عمليا الإجابة الخاطئة!

الآن الأخبار السيئة =) تكامل غير سار من الجذر يلوح في الأفق، والذي قمنا بتحليله بالتفصيل في المثال رقم 4 من الدرس طرق فعالة لحل التكاملات. ومن يدري ماذا سيتم رسمه هناك. ويبدو أنه بسبب وجود الدوائرمربحة، ولكن ليس كل شيء بهذه البساطة. يتم تحويل معادلة الخط المستقيم إلى النموذج والتكاملات لن تتحول أيضًا إلى سكر (على الرغم من أن المعجبين التكاملات المثلثيةيُقَدِّر). وفي هذا الصدد، من الحكمة الخوض في الإحداثيات الديكارتية.

ترتيب اجتياز الشكل:

1) احسب مساحة الشكل:

من الأكثر عقلانية أن تأخذ التكامل الأول تندرج تحت علامة التفاضل:

وفي التكامل الثاني سنقوم بإجراء الاستبدال القياسي:

دعونا نحسب الحدود الجديدة للتكامل:

2) دعونا نجد .

هنا في التكامل الثاني تم استخدامه مرة أخرى طريقة جلب دالة تحت علامة تفاضلية. ممارسة واعتماد هذه الأمثل (في رأيي)طرق حل التكاملات النموذجية

بعد حسابات صعبة وطويلة، نوجه انتباهنا مرة أخرى إلى الرسم (تذكر أن النقاط لا نعرف بعد! ) ونحصل على الرضا الأخلاقي العميق من القيمة الموجودة.

3) بناءً على التحليل الذي تم إجراؤه سابقًا، يبقى التأكد من ذلك.

عظيم:

دعونا نرسم نقطة على الرسم. ووفقا لصياغة الشرط نكتبه على أنه نهائي إجابة:

مهمة مماثلة لحل مستقل:

مثال 5

أوجد مركز ثقل شكل مسطح متجانس محدد بخطوط. نفذ الرسم.

هذه المهمة مثيرة للاهتمام لأنها تحتوي على شخصية ذات أحجام صغيرة بما فيه الكفاية، وإذا ارتكبت خطأ في مكان ما، فهناك احتمال كبير بعدم الدخول إلى المنطقة على الإطلاق. وهو أمر جيد بالطبع من حيث التحكم في القرار.

عينة عينةالترتيبات في نهاية الدرس.

مفيدة في بعض الأحيان الانتقال إلى الإحداثيات القطبية في التكاملات المزدوجة. ذلك يعتمد على هذا الرقم. بحثت-بحثت في المنزل مثال جيد، لكنني لم أجده، لذا سأعرض الحل في المهمة التجريبية الأولى للدرس أعلاه:


تذكر أنه في هذا المثال، تحولنا إلى الإحداثيات القطبية، اكتشف الإجراء الخاص بتجاوز المنطقة وحساب مساحتها

دعونا نجد مركز ثقل هذا الشكل. المخطط هو نفسه: . تكون القيمة مرئية مباشرة من الرسم، وينبغي إزاحة الإحداثيات "x" أقرب قليلاً إلى المحور y، حيث يوجد الجزء الأكثر ضخامة من نصف الدائرة هناك.

في التكاملات، نستخدم صيغ الانتقال القياسية:

ومن المحتمل أنهم لم يكونوا مخطئين.